LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY
|
|
- Doddy Indradjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY Pada bagian ini, kita akan melanjutkan menganalisis dinamika keluarga fungsi kuadrat Q (x) = x + c. Pada bagian sebelumnya, diperoleh dinamika fungsi yang cukup sederhana untuk c >. Selanjutnya, kita akan melihat perubahan perilaku dinamika yang luar biasa untuk c.. A. Kasus c = Pada eksperimen sebelumnya, sudah dianalisis orbit-orbit dari Q (x) = x untuk variasi nilai awal pada interval x. Sebagian besar orbit mempunyai pergerakan tak tentu (acak); hanya terdapat sedikit periodic points atau eventually periodic, serta mempunyai fixed point (- dan ) dan eventually fixed point (-,,). Pada bagian ini akan diperlihatkan bahwa sebenarnya terdapat banyak titik periodik yang luput dari perhitungan komputer. Fungsi Q (x) = x mempunyai dua titik tetap, yaitu p = dan p =. Karena (Q ) (x) = x, sehingga kedua titik tetap tersebut mempunyai sifat repelling. Melalui graphical analysis, dapat ditunjukkan bahwa setiap orbit dari x < p atau x > p menuju tak hingga. Sehingga kita akan menganalisis orbit pada interval I = [ p, p ] = [,]. Perhatikan bahwa jika x [,], maka orbit titik tersebut akan dikurung dalam persegi [,] [,] = [ p, p ] [ p, p ]. Selanjutnya,fungsi Q merupakan Fungsi naik pada interval [,] one to one dan onto I, dan Fungsi turun pada interval [,] one to one dan onto I. Jadi, Q : I I, dengan setiap titik di x I, x, memiliki tepat dua prapeta (preimages) di I: satu di [,] dan satu lagi di [,].
2 Sekarang perhatikan grafik Q dan Q. Pada iterasi pertama Q di atas, interval [,] dipetakan ke I, sementara untuk seluruh interval I dipetakan lagi ke I dengan bentuk grafik parabola terbuka ke atas ( lembah ). Dengan demikian, grafik Q pada interval [,] mempunyai lembah. Hal yang sama juga terjadi pada interval [,]. Oleh karena itu, grafik Q pada interval I = [,] [,] mempunyai lembah, seperti yang terlihat pada gambar. Jadi, terdapat 4 subinterval dari I yang masing-masing dipetakan oleh Q onto I. Selanjutnya, dengan cara yang sama, grafik Q akan mempunyai = 4 lembah di I ( di [,] dan di [,]). Q Q Secara umum, Q mempunyai lembah pada interval I. Sehingga grafik Q memotong diagonal y = x tepat kali pada I. Semua titik potong tersebut merupakan titik tetap dari Q atau titik periodik periode n (n-cycle) dari Q. Theorem. Fungsi Q mempunyai paling sedikit titik periodik periode n pada interval x. Teorema tersebut mengatakan bahwa sebenarnya terdapat banyak sekali titik periodik dari Q, bahkan banyak tak terbatas seiring bertambahnya iterasi n. Hal tersebut kontras dengan hasil eksperimen menggunakan komputer sebelumnya, dimana sangat sedikit (susah) menemukan titik periodik tersebut. Hal ini menimbulkan beberapa pertanyaan. Untuk keluarga fungsi kuadrat Q, untuk nilai c >, terdapat sedikit titik periodik. Di sisi lain, ketika c =, terdapat banyak titik periodik untuk semua periode yang muncul. The big question is: How did these periodic points arise? Where did they come from?
3 5 4 4 Q c, c = > 5 4 Q c, c = > 5 4 B. Kasus c < Pada eksperimen sebelumnya, kita sudah menganalisis beberapa orbit dari Q untuk c < menggunakan komputer. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa hampir semua orbit dari Q menuju tak hingga. Pada grafik di atas, kita juga dapat melihat kotak persegi [ p, p ] [ p, p ]. Namun, terdapat bagian bawah grafik yang menonjol keluat dari kotak tersebut (tidak seperti kasus c = ). Selanjutnya didefinisikan I = [ p, p ]. Pada kasus c =, terdapat titik yang hanya memiliki preimage pada I, sedangkan pada kasus c <, semua titik di I memiliki preimage pada I. Selain itu, terdapat interval terbuka di I yang memuat yang oleh Q dipetakan keluar I (diluar kotak). Semua orbit dari titik-titik pada inteval tersebut, berhasil keluar dari I, sehingga akan menuju tak hingga. Misal interval tersebut dinotasikan dengan A : himpunan titik-titik I yang keluar dari I setelah satu itearsi Q.
4 Semua orbit yang keluar meninggalkan interval I akan menuju tak hingga. Selanjutnya, kita akan menganalisis orbit dari titik-titik lain yang tidak pernah meninggalkan I. Dimisalkan = {x I Q (x) I untuk semua n}. Bagaimana bentuk dari himpunan? Untuk setiap x A, preimage dari titik tersebut, Q (x), terdiri dari titik. Sehingga, himpunan semua preimage dari titik-titik di A, A = {x I Q (x) A }, memuat interval. Orbit dari x A keluar dari I setelah iterasi. Jadi, jika x A, maka Q (x) untuk n, dan A. Selanjutnya, karena A memuat interval, maka semua preimage dari titik-titik di A, A = {x I Q (x) A } = {x I Q (x) A }, memuat 4 interval. Orbit dari x A keluar dari I setelah iterasi. Jadi, A, karena jika x A, maka Q (x). Secara umum, diperoleh A = {x I Q (x) A } = {x I Q (x) A }. Jumlah interval dalam A adalah dua kali jumlah interval dalam A. Dan jika x A, maka Q (x) untuk n, sehingga A. Jadi, diperoleh = I A. Jadi, himpunan diperoleh setelah menghilangkan semua interval terbuka (open interval) A, yaitu memuat interval tertutup (closed interval). Himpunan ini disebut himpunan Cantor (Cantor set). Apakah terdapat titik-titik pada himpunan? Ya, jelas titik tetap p ±, karena Q (p ± ) = p ± untuk setiap n. Titik p juga berada di, karena merupakan eventually fixed point ke p, yaitu Q ( p ) = p. Selain itu, titik-titik ujung (endpoint) dari setiap interval pada A juga berada di himpunan. Jika x titik ujung tersebut, diperoleh Q (x) = p, sehingga Q (x) = p.
5 Himpunan tidak memuat interval. Diasumsikan c < =.68, sehingga diperoleh Q (x) > untuk setiap x I A. Dengan demikian terdapat konstanta μ sedemikian sehingga Q (x) μ >. Untuk setiap x I A. Sekarang diasumsikan terdapat suatu interval J, dengan panjang l >. Karena Q (x) > μ untuk setiap x J, maka berdasarkan teorema nilai rata-rata (Mean Value Theorem) diperoleh Q (x) = ( ) ( ) > μ, dengan x = min {x xεj} dan x = max {x xεj} dan untuk beberapa x di antara x dan x. Sehingga diperoleh Q (x ) Q (x ) > μ x x Q (J) > μl. Selain itu, karena J, maka Q (J). Dengan argumen yang sama diperoleh Q (J) > μ l dan Q (J). Jika proses yang sama dilanjutkan, maka diperoleh Q (J) > μ l dan Q (J). Tetapi, karena μ >, sehingga μ untuk n. Oleh karena itu Q (J) untuk n. Sedangkan interval Q (J) berada di dalam I, yang memiliki panjang terbatas. Sehingga terjadi kontradiksi. Dengan kata lain, himpunan tidak memuat interval. Himpunan merupakan himpunan tertutup dari I. Komplemen dari memuat interval-interval terbuka (, p ), (p, ), dan semua A. Karena gabungan semua himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka. Sehingga c = (, p ) (p, ) A merupakan himpunan terbuka (open set). Akibatnya merupakan himpunan tertutup (closed set). Theorem. Diberikan keluarga fungsi kuadrat Q = x + c dengan c <. Himpunan titik-titik yang memiliki orbit tidak menuju tak hingga merupakan himpunan tak kosong, tertutup di I, dan tidak memuat interval. Teorema di atas berlaku untuk semua nilai c <. Bukti diberikan untuk c < =.68, karena untuk nilai c cukup dekat dengan, teorema memiliki bukti yang cukup kompleks. Suatu himpunan bagian (subset) dari R yang tidak memuat interval disebut totally disconnected.
LECTURE 7: THE CUANTOR SET
LECTURE 7: THE CUANTOR SET A. The Cantor Middle-Thirds Set Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan konstruksi himpunan Cantor Middle-Thirds atau cukup disebut himpaunan Cantor. Kita akan melihat bagaimana
Lebih terperinciDINAMIKA KELUARGA FUNGSI KUADRAT TITIK TETAP. Jl. Prof. Soedarto, S.H, Semarang, 50275
DINAMIKA KELUARGA FUNGSI KUADRAT TITIK TETAP BERDASARKAN Rineka Eight Neenty 1, Siti Khabibah 2, YD Sumanto 3 1,2,3 Program Studi Matematika Jl Prof Soedarto, SH, Semarang, 50275 ABSTRAK Sistem dinamik
Lebih terperinciDiscrete Time Dynamical Systems
Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x
Lebih terperinciBAB 7 TEORI HIMPUNAN FUZZY
7 TEORI HIMPUNN FUZZY Himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah generalisasi konsep himpunan ordiner. Untuk semesta wacana (universe of discourse) U, himpunan fuzzy ditentukan oleh fungsi yang memetakan anggota
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
IDEAL FUZZY PADA NEAR-RING Dwi Ayu Anggraini Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : dwiayuanggraini55@gmail.com Dr.Raden Sulaiman M.Si. Matematika,
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciBAB III PELABELAN KOMBINASI
1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan
(Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciKONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
KONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD Khoiroh Alfiana, Siti Khabibah, Robertus Heri S.U,, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciNAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com
1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinciUrian Singkat Himpunan
Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK TUGAS 3. Oleh RIRIN SISPIYATI ( ) Program Studi Matematika
SISTEM DINAMIK TUGAS Oleh RIRIN SISPIYATI (16 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 9 EXERCISE 4 4. 1. In Eercise. of chapter we analysed the eistence of perios solutions in an invariant
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
Lebih terperinciBAB I H I M P U N A N
1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciModul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Himpunan fuzzy adalah suatu himpunan yang setiap anggotannya memiliki derajat keanggotaan. Derajat keanggotaan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Lebih terperinciRING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES
J. Sains Dasar 2016 5(1) 28-39 RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES Rifki Chandra Utama * dan Karyati Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email:
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso December 14 th, 2011 Yogyakarta Maximum-minimum Misalkan S adalah suatu interval yang merupakan domain dari fungsi f dan S memuat c. Nilai f (c) disebut
Lebih terperinciROOTS OF NON LINIER EQUATIONS
ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS Metode Bagi dua (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Metode Grafik Iterasi Titik-Tetap (Fi Point Iteration) Metode
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciTeorema Pemetaan Buka
dan Lemma Schwarz dan Lemma Schwarz dan Lemma Schwarz dan Lemma Schwarz Peta dari sebuah himpunan buka terhadap pemetaan analitik yang tidak konstan senantiasa buka. Misalkan f : C C suatu fungsi analitik
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciPROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO 2013 ISBN: DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE
DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE Mohammad Mahfuzh Shiddiq 1 1) Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Abstract Meir and Keeler introduced type of contraction
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data panel ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar yang berkaitan dengan pendugaan parameter,
Lebih terperinciSTATISTIKA LINGKUNGAN. DISTRIBUSI FREKUENSI DAN NILAI SENTRAL Minggu ke-2
STATISTIKA LINGKUNGAN DISTRIBUSI FREKUENSI DAN NILAI SENTRAL Minggu ke-2 PENGUMPULAN DATA Data yang terkumpul variabel Variabel sebuah karakteristik yang dapat bervariasi dari satu item ke item yang lain
Lebih terperinciOPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner
Lebih terperinciKOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciSTATISTIKA LINGKUNGAN
STATISTIKA LINGKUNGAN DISTRIBUSI FREKUENSI DAN NILAI SENTRAL Minggu ke-2 PENGUMPULAN DATA Data yang terkumpul variabel Variabel sebuah karakteristik yang dapat bervariasi dari satu item ke item yang lain
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Kegiatan Pembelajaran 1. mendiskusikan pengertian atau batasan. Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan 1. Pengertian atau batasan
SILABUS MATAKULIAH Matakuliah : Teori Himpunan Kode Matakuliah : SKS/JS : 2/3 Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahan mahasiswa diharapkan: (1) dan operasinya, (2) bilangan dan serta sifat-sifatnya,
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciA. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan
MODUL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain Pesan soal-soal matematika untuk SD, SMP dan SMA? Soal ulangan harian, ulangan mid, ulangan semester, soal-soal UAN dll. Tulis
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciOPERASI PADA GRAF FUZZY
OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email: b_diset@yahoo.com,
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang mempelajari
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang mempelajari himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan garis. Suatu graf adalah himpunan tidak kosong yang
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciFUNGSI CANTOR KAJIAN TEORI ABSTRAK 2.1 HIMPUNAN KOMPAK 2.2 HIMPUNAN COUNTABLE 2.3 HIMPUNAN TERUKUR I. PENDAHULUAN
FUNGSI CANTOR Kisti Nur Aliyah 1, Manuharawati 2, 1 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri Surabaya Kampus Ketintang 60231,Surabaya email : chist_kiss@yahoocoid 1, manuhara1@yahoocoid
Lebih terperinciBAB 3 KONDISI SPECTRUM. Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang
BAB 3 KONDISI SPECTRUM Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang diperoleh berdasarkan penjelasan - penjelasan yang telah dipaparkan pada bab - bab sebelumnya. Hasil
Lebih terperinci0,1, Holder s continue function in rank of and. 0,1, fungsi kontinu Holder berpangkat-,
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal 233-240 HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATI- DENGAN DIMENSI- DARI SUATU KURVA Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika MIPA UNS Surakarta Email supriyadi_w@yahoocoid
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperinciHIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si
HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas
Lebih terperinciDAFTAR NOTASI. Notasi Operasi Matematis
DAFTAR NOTASI Notasi Operasi Matematis Komponen Notasi 1 Ekspansi Matriks χ chi 2 Indikasi Koordinat Matriks ι iota 3 Enumerasi Komponen Matriks ε epsilon 4 Pencacahan Komponen Matriks ξ xi 5 Penggantian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciBAB II: TINJAUAN PUSTAKA
BAB II: TINJAUAN PUSTAKA Bab ini akan memberikan penjelasan awal mengenai konsep logika fuzzy beserta pengenalan sistem inferensi fuzzy secara umum. 2.1 LOGIKA FUZZY Konsep mengenai logika fuzzy diawali
Lebih terperinciBab II LANDASAN TEORI
Bab II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari 3 bagian. Pada bagian pertama berisi tinjauan pustaka dari penelitian-penelitian sebelumnya. Pada bagian kedua diberikan teori penunjang untuk mencapai tujuan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya
Lebih terperinciANTI SUBGRUP FUZZY. Kata Kunci: Lower level subset, Anti subgrup fuzzy, Lower Level Subgrup.
ANTI SUBGRUP FUZZY Ahmad Yasir, Saman Abdurrahman, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email: Ahmad.yasir.syahti@gmail.com ABSTRAK Subgrup yaitu himpunan bagian
Lebih terperinciLEMBAR PENGESAHAN PERNYATAAN ABSTRAK...
DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN PERNYATAAN ABSTRAK... i KATA PENGANTAR... ii UCAPAN TERIMA KASIH... iv DAFTAR ISI... vi DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR SIMBOL... x BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1
Lebih terperinciIMAGE DAN PRE-IMAGE TRANSLASI PADA GRUP FUZZY INTUITIONISTIK. Dian Pratama
JMP : Vol. 8 No. 2, Des. 2016, hal. 41-56 IMAGE DAN PRE-IMAGE TRANSLASI PADA GRUP FUZZY INTUITIONISTIK Dian Pratama dianpratama3789@gmail.com ABSTRACT. A intuitionistic fuzzy set in is set gives a membership
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN PECAHAN
PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciBAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciβ α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu.
Silabus Jenjang : SMP dan MTs Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Semester : 1 Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan garis lurus. Kompetensi Dasar Materi Ajar
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER
PERSAMAAN NON LINIER Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan non linier 2. Mengerti metode biseksi dan regulafalsi 3. Mampu menggunakan metode biseksi dan regula falsi untuk mencari solusi PENGANTAR
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah
Lebih terperinciMATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan
MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciPRODUK GRAF FUZZY INTUITIONISTIC. Zumiafia Ross Yana Ningrum 1 dan Lucia Ratnasari 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, tembalang, Semarang
PRODUK GRAF FUZZY INTUITIONISTIC Zumiafia Ross Yana Ningrum 1 Luia Ratnasari 1, Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, tembalang, Semarang Abstrat: An intuitionisti fuzzy graph G: V,
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciPersamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : a + b + c = 0 Solusi : 1 = b ± b 4 ac a Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari.
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi
Lebih terperinciPeubah Acak. Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang. Peubah Acak. Peubah Acak
Peubah Acak Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang Peubah Acak (Random Variable): Sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen) Untuk setiap anggota dari ruang sampel percobaan,
Lebih terperinciBAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017
BAB 2. FUNGSI Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 15th March 2017 Ilham Saifudin (TM) BAB 2. FUNGSI 15th March 2017 1 / 24 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Fungsi
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai teori dan terminologi graph, yaitu bentukbentuk khusus suatu graph dan juga akan diuraikan penjelasan mengenai shortest path. 2.1 Konsep Dasar
Lebih terperinciTeller 1. Teller 2. Teller 7. Gambar 3.1 Proses antrian pada sistem antrian teller BRI Cik Ditiro
Berikut ini adalah pembahasan mengenai sistem antrian teller BRI Cik Ditiro dan optimasinya berdasarkan model tingkat aspirasi. Deskripsi mengenai sistem antrian teller BRI Cik Ditiro dapat diuraikan sebagai
Lebih terperinci