STATISTIKA MATEMATIKA. Di Susun: Dr. Ahmad Yani T.,M.Pd. NIP

Transkripsi

1 STATISTIKA MATEMATIKA Di Susu: Dr. Ahmad Yai T.,M.Pd. NIP PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 3

2

3 KATA PENGANTAR Assalamualaikum Wr.Wb. Alhamdulillah, Puji syukur kami ucapka kehadirat Allah Swt karea atas rahmat da hidayahya lah kami dapat meyelesaika peyusua buku ii, sebagai prasyarat utuk meyelesaika tugas kuliah Statistika Matematika Semoga makalah ii dapat bermafaat bagi para pembaca utuk kedepaya. Terima kasih kami ucapka kepada Bapak Dr. Ahmad Yai. T.selaku dose mata kuliah Statistika Matematika yag telah bayak membimbig dalam perkuliaha. Kami sebagai peulis meyadari bahwa dalam peyusua makalah ii terdapat kekuraga oleh sebab kami sagat membutuhka kritik da sara demi kesempuraa makalah ii.akhirya saya ucapka terima kasih atas kesediaaya membaca makalah ii. Wassalamualaikum Wr.Wb. Potiaak, Jui 3 Hormat kami, i

4 DAFTAR ISI Kata Pegatar... ii Daftar Isi... ii Bab Koefisie Korelasi... Bab Hubuga Harapa Da Variasi Dari Peubah Acak Khusus (Bahasa ) 8 Bab 3 Hubuga Harapa Da Variasi Dari Peubah Acak Khusus (Bahasa ) 36 Bab 4 Kebebasa Stokastik Bab 5 Sifat-Sifat Kebebasa Stokastik Dua Peubah Acak Bab 6 Peubah Acak Diskrit... 8 Bab 7 Distribusi Hipergeometrik & Distribusi Poisso Bab 8 Beberapa Model Distribusi Kotiu... 6 Bab 9 Distribusi Normal... 3 Bab Distribusi Gamma, Ekspoesial, Da Chi-Square Bab Trasformasi Peubah... 6 Bab Uji t, Distribusi F, Distribusi X Da Distribusi S Lampira... 5 ii

5 BAB I KOEFISIEN KORELASI Tujua pembelajara secara umumya mempelajari materi ii adalah diharapka mampu memahami kosep korelasi dega baik. Adapu tujua istruksioal khususya adalah sebagai berikut:. Diharapka dapat mejelaska maka korelasi.. Diharapka dapat mejelaska da meghitug koefisie korelasi 3. Diharapka dapat mejelaska da megguaka hubuga dega mea bersyarat E ( Y x ) yag berupa fugsi liear dari x. 4. Diharapka dapat mejelaska da megguaka hubuga dega mea bersyarat E ( X y ) yag berupa fugsi liear dari y. 5. Diharapka dapat mejelaska da megguaka dega variasi bersyarat dari Y diketahui X = x. Khususya bila variasi tersebut berupa fugsi dari x yag berharga kosta. 6. Diharapka dapat mejelaska da megguaka dega variasi bersyarat dari X diketahui Y = y. Khususya bila variasi tersebut berupa fugsi dari y yag berharga kosta. A. MATERI Apakah usia pada seseorag ada kaita dega berat da tiggi. Jika ada kaitaya maka dapat diyataka jika usia bertambah pada seseorag maka berat bada seseorag bertambah. Peryataa ii haya berlaku pada seseorag yag berusia sampai 8 tahu, amu tidak berlaku lagi pada seseorag usia di atas 4 tahu. Hubuga da kaita atara peubah pertama dega peubah kedua disebut korelasi. Korelasi pada cotoh-cotoh di atas dapat berupa garis lurus atau disekitar garis lurus. Korelasi atara peubah yag ditujukka oleh cotoh-cotoh di atas adalah positif atau egatif atau ol. Korelasi positif meujuka bahwa ada hubuga atau kaita atara kedua peubah tersebut. Korelasi egatif meujukka bahwa kedua peubah tersebut tidak mempuyai hubuga atau kaitaya. Cotoh hubuga atara jauh perjalaa kedara bermotor dega baha bakar yag ada di dalam tagkiya. Korelasi ol atau hampir medekati ol meujukka hubuga atara kedua peubah tidak ada atau tidak meetu (Ruseffedi, 993:4). Berdasarka uraia di atas, korelasi itu dapat positif, ol da egatif. Jika diyataka dalam bilaga bahwa korelasi itu palig kecil - da palig besar +. Atau jika r adalah korelasi maka -. Koefisie korelasi diperluka utuk medeteksi apakah suatu kasus distribusi bersama merupaka kebebasa stokastik atau tidak. Koefisie korelasi

6 juga dapat diartika sebagai ilai yag meujukka kekuata da arah hubuga liier atara dua buah peubah acak. Korelasi bermafaat utuk megukur kekuata hubuga atara dua variabel atau lebih dega skala-skala tertetu, misalya Pearso data harus berskala iterval atau rasio; Spearma da Kedal megguaka skala ordial; Chi Square megguaka data omial. E X- Y- diamaka kovariasi X da Y, da ditulis Kov(X,Y). Utuk meghitug kovariasi, aka lebih mudah megguaka teorema berikut: Dari teorema di atas, sebelum meetuka kov(x,y), kita harus meetuka ilai Ekspektasi X, Ekspektasi Y, da Ekspektasi XY. Yag perlu diperhatika dalam mecari ilai-ilai ekspektasi tersebut adalah bagaimaa betuk soal yag diberika. Apakah betuk kotiu atau diskrit. Setelah medapatka ilai kov(x,y) kita dapat meetuka koefise korelasi dega cara membagi kov(x,y) dega simpaga baku dari X da simpaga baku dari Y. Kov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Utuk lebih jelas perhatika defiisi koefisie korelasi: ρ = Kov(X, Y) σ x σ y Dega σ x da σ y masig-masig adalah variasi X da variasi Y, diamaka koefisie korelasi atara X da Y (σ x, σ y ). Rumus mecari koefisie korelasi juga dapat diyataka dalam betuk ρ = XY X Y { X ( X) }{ Y ( Y) } Koefisie korelasi meujukka kekuata hubuga liear da arah hubuga dua variabel acak. Jika koefisie korelasi positif, maka kedua variabel mempuyai hubuga searah. Artiya jika ilai variabel X tiggi, maka ilai

7 variabel Y aka tiggi pula. Sebalikya, jika koefisie korelasi egatif, maka kedua variabel mempuyai hubuga terbalik. Artiya jika ilai variabel X tiggi, maka ilai variabel Y aka mejadi redah (da sebalikya). Koefisie korelasi terletak atara - da. Berikut ii adalah arti dari koefisie korelasi: ). Jika,9 <ρ< atau -,9 <ρ< -, maka hubuga atara dua peubah acak sagat kuat. ). Jika,7 <ρ<,9 atau -,7 <ρ< -,9, maka hubuga atara dua peubah acak kuat. 3). Jika,5 <ρ<,7 atau -,5 <ρ< -,7, maka hubuga atara dua peubah acak moderat. 4). Jika,3 <ρ<,5 atau -,3 <ρ< -,5, maka hubuga atara dua peubah acak lemah. 5). Jika <ρ<,3 atau <ρ< -,3, maka hubuga atara dua peubah acak sagat lemah 6). Jika ρ =, maka tidak ada hubuga atara dua peubah acak. CONTOH : Misalya X da Y dua peubah acak diskrit yag memiliki f. k. p bersama sebagai berikut:, utuk x =, f (x) = {, utuk x yag lai Hituglah koefisie korelasi atara X da Y! Peyelesaia: Kita buat dulu tabel distribusi peluag bersama dari X da Y 3

8 Y X ½ ½ ½ ½ ½ ½ a. Jumlah ke bawah membetuk f.k.p margial X, yaitu:, utuk x =, f (x) = {, utuk x yag lai Jadi, mea da variasi X adalah E(X) = X= x. f(x) =. ( ) +. () = σ = E(X ) (E(X)) =. ( ) +. ( ) = σ = b. Jumlah ke sampig membetuk f.k.p margial Y, yaitu:, utuk x =, f (x) = {, utuk x yag lai Jadi, mea da variasi Y adalah E(Y) = y= y. f(x) =. ( ) +. () = σ = E(Y ) (E(Y)) =. ( ) +. ( ) = 4

9 σ = c. Kov(X,Y) X= y= E(XY) = xy. f(x, y) =..f(,) +..f(,) +..f(,) +..f(,) = + Jadi Kov(X,Y) = E(XY) E(X).E(Y) =. = 4 = 4 Akibatya, koefisie korelasi atara X da Y adalah: ρ = Kov (X, Y) σxσy = 4. = 4 = =,5 Pada cotoh di atas diperoleh =,5. Ii meadaka hubuga yag moderat atara X da Y. CONTOH : Jika X da Y peubah acak dega variasi σx = 5,σy = da kovariasi σxy = 4 Tetuka variasi peubah acak Z = 4X Y +! Peyelesaia: σz = σ4x-y+ = σ4x-y = 6 σx - 6 σxy + 4 σy = 6(5) 6(4) + 4() 5

10 = 4 Jadi, variasi peubah acak Z = 4x y + yaitu 4 CONTOH 3 : Berikut ii adalah data tiggi bada da berat bada mahasiswa P. MTK Data A B C D E F G H I J Tiggi Bada (X) Berat Bada (Y) Tetukalah koefisie korelasi tiggi bada da berat bada mahasiswa P. MTK, serta berika kesimpula! Peyelesaia : X X=.669 Y Y= 648 X X = Y Y = 44. 6

11 X XY= Y Dari tabel di atas, diperoleh : X=.669, Y= 648, X = 79.3, Y = 44., da XY= Maka, koefisie korelasiya adalah : XY X Y ρ = { X ( X) }{ Y ( Y) } (8.883) (.669)(648) ρ = {(79.3) (669) }{(44.) (648) } ρ = { }{ } 7.38 ρ = (4669)(.6) ρ = ,6 ρ =,7 Karea, ilai ρ=,7 terletak di atara,7 da,9, maka terdapat hubuga yag kuat da berbadig lurus atara tiggi bada da berat bada mahasiswa P.MTK. ρ = (,7) =,584 = 5,84%, artiya variasi tiggi bada yag dapat dijelaska oleh variasi berat bada mahasiswa oleh persamaa regresi Ŷ = -97,3 +,57X adalah sebesar 5,84%. Sisaya sebesar 48,6% dijelaska oleh faktor lai di luar variabel pada persamaa regresi tersebut. 7

12 Sifat-Sifat Koefisie Korelasi Teorema.6.: Jika E ( Y x ) berupa fugsi liier dari x maka E ( Y x ) ( x ) Bukti: Misalka E ( Y x ) merupaka fugsi liier dari x. Maka E ( Y x ) = a + bx. Aka dicari ilai a da b. Karea E ( Y x ) y f ( Y x ) dy y f ( x) f ( x, y ) dy Atau f ( x) y f ( x, y ) dy = a + bx y f ( x, y ) dy = (a + bx) f(x).. () Kedua ruas pers () kita itegrasika terhadap x dari - sampai, maka: y f ( x, y ) dy dx = (a + bx) f (x) dx E ( Y ) = a + b E ( X ) 8

13 Atau a b () Selajutya jika kedua ruas pers () dikalika dega x kemudia kita itegrasika terhadap x dari - sampai maka: xy f ( x, y ) dy dx = x (a + bx) f (x) dx Atau E ( XY ) = a E ( X ) + b E ( ) atau a b( ) (3) Igat: kov( X, Y) ( X ) ( Y) atau Kov ( X, Y ) = ( X ) ( Y ) Kov ( X, Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E ( Y ) Jadi E ( XY ) = Dari pers () da (3) diperoleh da b a E ( Y x ) = a + bx + x ( ) x 9

14 Jika E ( Y x ) berupa fugsi liier dari x maka E ( Y x ) = ( x ) Terbukti. Teorema.6.: Jika E ( X y ) berupa fugsi liier dari y maka E ( X y ) ( x ) Bukti: Misalka E ( X y ) merupaka fugsi liier dari y. Maka E ( X y ) = a + by. Aka dicari ilai a da b. Karea E ( X y ) x f ( X y ) dx f( y) x f ( x, y ) dx Atau f( y) x f ( x, y ) dx = a + by x f ( x, y ) dx = (a + by) f(y).. () Kedua ruas pers () kita itegrasika terhadap y dari - sampai, maka: x f ( x, y ) dx dy = (a + by) f (y) dy

15 E ( X ) = a + b E ( Y ) Atau a b () Selajutya jika kedua ruas pers () dikalika dega y kemudia kita itegrasika terhadap y dari - sampai maka: yx f ( x, y ) dx dy = y (a + by) f (y) dy Atau E ( XY ) = a E ( Y ) + b E ( Y ) atau a b( ) (3) Igat: kov( X, Y) ( X ) ( Y) atau Kov ( X, Y ) = ( X ) ( Y ) Kov ( X, Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E ( Y ) Jadi E ( XY ) = Dari pers () da (3) diperoleh da b a E ( X y ) = a + by + y

16 ( y ) Jika E ( X y ) berupa fugsi liier dari y maka E ( X y ) = ( y ) Terbukti. Teorema.6.3 Misalka E(Y x) berupa fugsi liear dari x. Jika k(x) = E [{Y E(Y x)} x] maka E[k(x)]=σ ( ρ ) Bukti : Igat : E (Y x) = μ + ρ σ σ (x μ ) K(x) = E [{Y E(Y x)} x] ~ = {Y μ ρ σ (x μ σ )} f(y x)dy ~ ~ {(Y μ f(x) ) ρ σ (x μ σ )} f(y x)dy ~ = Jika kedua ruas kita kalika dega f(x) kemudia kita itegrasika terhadap x dari ~ sampai, maka ~ k(x)f(x) = ~ ~ ~ ~ ~ {Y μ ρ σ (x μ σ )} f(y x)dydx ~ = ~ ~ ~ {(Y μ ) ρ σ σ (x μ )(Y μ ) + ρ σ σ (x μ ) } f(x, y)dydx

17 = E[(Y μ ) ρ σ σ (x μ )(Y μ ) + ρ σ σ E[(x μ ) ] ] =σ ρ σ (ρσ σ σ ) + ρ σ Igat ρ = E(x μ )(Y μ ) σ σ =σ ρ σ + ρ σ =σ ρ σ =σ ( ρ ) σ σ ~ Karea k(x)f(x) = ~ E[k(x)] berarti E[k(x)]=σ ( ρ ) (terbukti) CONTOH 4 : Misalka E(Y x) = 4x+3 da E (X y) = 6 y 3 Hituglah σ, σ, daρ! Peyelesaia : Diketahui : E (Y x) = μ + ρ σ σ (x μ ) E (Y x) = μ + ρ σ σ (y μ ) sehigga E (Y σ ) = μ E (X σ ) = μ sehigga E(Y σ ) = 4x+3 da E (X σ ) = 6 y 3 (σ )= 4x+3 da E (σ ) = 6 y 3 3

18 Kemudia diperoleh σ = 5 4 da σ = Utuk meghitug ρ perhatika persamaa da dega megalika koefisie dari x da koefisie dari y. =ρ σ σ ρ σ σ = ρ Akibatya ρ = 4. = jadi ρ = 6 4 4

19 LATIHAN SOAL Misalya X da Y dua peubah acak diskrit yag memiliki f. k. p bersama sebagai berikut: f(x) ={ 4, utuk x = (,), (,), (,), (3,3), utuk x yag lai. Berapakah mea dari x? a. b. c. 3 d.. Berapakah mea dari y? a. b. c. 3 d. 3. Berapakah variasi dari x? a. 4 b. 3 4 c. 5 4 d Berapakah variasi dari y? a. 4 b. 3 4 c. 5 4 d Berapakah ekspetasi xy? a. b. 3 5

20 c. 5 d Berapakah kovariasi x da y? a. b. 3 c. 5 4 d. 7. Berapakah koefisie korelasi atara x da y? a. b. 3 c. d Jika X da Y peubah acak dega variasi σx = 3,σy = 3 da kovariasi σxy = 3.Tetuka variasi peubah acak Z = X 3Y + 7! a. b. c. 3 d. 4 PEMBAHASAN Tabel distribusi peluag bersama dari X da Y Y X

21 Mea dari x 3 E(X) = X= x. f(x) =. ( ) +. 4 () +. 4 () () = 3 4. Mea dari y 3 E(X) = X= x. f(y) =. ( ) +. 4 () +. 4 () () = Variasi dari x σx = E(X ) (E(X)) = [. ( 4 ) +. ( 4 ) + 4. ( 4 ) + 9. ( 4 )] (3 ) = Variasi dari y σy = E(Y ) (E(Y)) = [. ( ) +. 4 () () ()] 4 (3 ) = Ekspetasi xy 3 X= 3 y= E(XY) = xy. f(x, y) =..f(,) +..f(,) +..f(,) +.3.f(,3) +..f(,) +..f(,) +..f(,) +.3.f(,3) +..f(,) +..f(,) +..f(,) +.3.f(,3) + 3..f(3,) + 3..f(3,) + 3..f(3,) f(3,3) = = = 7 6

22 6. Kov(X,Y) = E(XY) E(X).E(Y) = = 4 7. Koefisie korelasi atara X da Y 8. σz = σx-3y+7 = σx-3y ρ = = 4σx - σxy + 9σy = 4(3) (3) + 9(3) = 3 Kov (X, Y) σxσy = Jadi, variasi peubah acak Z = 4x y + yaitu 3 = = = 7

23 BAB HUBUNGAN HARAPAN DAN VARIANSI DARI PEUBAH ACAK KHUSUS (bahasa ). Tujua Adapu tujua dari mempelajari materi hubuga harapa da variasi dari peubah acak adalah : a. Megetahui bagaimaa hubuga harapa da variasi dari peubah acak. b. Memeuhi tugas mata kuliah statistik matematika. Materi Utuk meetuka ilai variasi dari peubah acak khusus terlebih dahulu kita harus dapat mecari ilai harapaya (ekspektasi). Hubuga harapa da variasi dari peubah acak khusus ditujukka oleh rumus sebagai berikut : Var (x) = E(x ) (E(x)) σ = E(x ) μ E(x) = x. f(x) Disii terdapat beberapa teorema yag aka meujukka hubuga harapa da variasi, beberapa teorema tersebut diataraya : 8

24 Teorema.7. : Jika x berdistribusi Beroulli p(x) = { px ( p) x, x =,, utuk x yag lai Maka E(x) = p da Var(x) = pq Bukti : E(X) = x. p(x) x E (X) = xp x x ( p) x = p ( p) p( p) = ( p ). p = p Jadi E (X) = p. E (X ) = x x x p ( p) x = p ( p) p( p) = ( p ). p = p Jadi E (X ) = p. Var (X) = E (X ) - E X = p p 9

25 = p ( p) = pq Igat : q = p. Jadi, jika X berdistribusi Beroulli p(x) =, utuk x yaglai,., ) ( x p p x x maka E (X) = p da Var (X) = pq. Teorema.7. : Jika x berdistribusi biomial p(x) = { ( x )px ( p) x, x =,, 3,,, utuk x yag lai maka E(x) = p da Var(x) = pq Bukti : E (X) = x. p(x) x E (X) = x x x p p x x ) ( = x x x q p x ( p) = q = x x p x q x = x x x q p x p

26 = x x x q p x p = k k p k q k p = q p p = p Jadi E (X) = p. E (X ) = x x x p p x x ) ( = x x x p p x x x x ) ( = x x x x x x p p x x p p x x x ) ( = x x x X E p p x ) ( ) ( ) ( = x x x X E q p x p ) ( ) ( = ) ( ) ( x x x X E q p x p = ) ( ) ( k k k X E q p x p, k = x- = p q p p ) ( ) (

27 = p p p = p p p = p pq Jadi E (X ) = p pq Var (X) = E (X ) - E X = p pq - (p) = pq. Jadi, jika X berdistribusi Beroulli p(x) = x x p ( p), x,,,...,. x, utuk x yag lai maka E (X) = p da Var (X) = pq. Terbukti. Teorema.7.3 :, x =,,, Jika x berdistribusi poisso p(x) = { x!, utuk x yag lai maka E(x) = λ da Var(x) = λ e λ λx Bukti : M x ( t) E( e tx )

28 ~ x e tx. e x x! ~. ( ( ) x e e t ) x x! e. ee t ee t. e e ( e t ) Jika x~p(x) maka f.p.m adalah ( e t ) M ( t) e x akibatya : ( t ) '( ) ( t e M t e ) e Jika t = maka M '() ( e ) e ( e ) M '() (.) M '() M"( t) ( e t ) e ( et ) ( e t ) e ( et ) Jika t = maka M"() E( x ) M"() Jadi, jika x berdistribusi poisso x. e, x,,,... f ( x) x!, utuk x yag lai maka da.terbukti 3

29 Teorema.7.4 : Jika X berdistribusi seragam f (x) =,b x c, b c c b, utuk x yag lai maka E (X) = Bukti : E( X ) c b b c x dx c b da Var (X) = c b x c b c b = = [c b c b ] (c + b)(c b) (c b) = (c + b) c E(x ) = x c b dx = 3 c b x3 c Ι b = 3 c b (c3 b 3 ) = 3 c b (c + bc + b )(c b) b = 3 (c + bc + b ) 4

30 Var (x) = E[x] [E(x)] = 3 (c + bc + b ) [ (c + b)] = (c b), b x c, b c c b Jadi, jika berdistribusi seragam f(x) = {, utuk x yag lai Maka E(x) = b+c da Var (x) = (c b) terbukti 5

31 SOAL-SOAL DAN PEMBAHASANNYA A. Piliha bergada Jawablah pertayaa di bawah ii dega memilih jawaba yag tepat dega memberi tada silag pada huruf A, B, C, D, atau E.. Probabilitas utuk memperoleh sedikitya 4 kali tada gambar dalam 6 kali pelempara sebuah koi adalah... A. /3 D. /3 B. /64 E. /96 C. /96 Jawaba : A Peyelesaia : Misalya X meyataka bayak tada gambar yag mucul Dalam hal ii, x = 4, = 6 da p = / Fugsi peluag dari X adalah : p(x) = ( 6 x ) ( )x ( )6 x ; x = 4, 5, 6 Jadi : P(X 4) = P(X = 4, 5, 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = ( 6 4 ) ( )4 ( ) + ( 6 5 ) ( )5 ( ) + ( 6 6 ) ( )6 ( ) = P(X 4) = =

32 . Misalka X adalah peubah acak berdistribusi poisso dega parameter λ. Jika P (X = ) =,, maka ilai P ( X = ) adalah. Jawab : A.,584 D.,376 B.,356 E.,443 C.,334 Jawaba : A Peyelesaia : P(X) = P(X = x) = λx e λ ; x =,,, 3, P(X = ) =, x! λ e λ! =, e λ =, λ =,6 Jadi : P(X= ) = (,6) e,6 =, 584! 3. Misalka fugsi desitas dari X berbetuk : g (x) = ; < x < 4 4 =, x laiya Berapakah ilai P ( < x < 3) 7

33 Jawab : A. /3 C. 3/4 E. 4/5 B. / D. 3/ Jawaba : B Peyelesaia : Berdasarka sifat dari fugsi desitas, maka : 3 P( < x < 3) = 4 dx 3 = [ 4 x] = [ 4. 3] [ 4. ] = [ 3 4 ] [ 4 ] = [ 4 ] = [ ] P( < x < 3) = 4 =. Suatu suku cadag dapat meaha uji gucaga tertetu dega probabilitas.75. Hitug probabilitas bahwa tepat dari 4 suku cadag yag diuji tidak aka rusak. a. b. c d. 5 8 e

34 Jawaba : A Peyelesaia : Misalya X meyataka bayak tada gambar yag mucul Dalam hal ii, x =, = 4 da p =,75 = 3/4 Fugsi peluag dari X adalah : p(x) = ( x )(p)x ( p) x ; x = p() = ( 4 ) (3 4 ) ( 4 )4 ; p() = 4!!! (3 4 ) ( 4 ) = 7 8 B. Selesaikalah soal di bawah ii!. Apakah artiya Y ~ P(y, )? Kemudia tuliska betuk fugsi peluagya. Fugsi peluag dari Y. Peyelesaia : Y ~ P(y, ) artiya peubah acak Y berdistribusi poisso dega parameter λ = Fugsi peluag dari Y berbetuk : P(y) = y e ; y =,,, 3, y!. Apakah artiya Y ~ B(y, 6, ) kemudia tuliska betuk fugsi 4 peluagya. Peyelesaia : Y ~ B(y, 6, ) artiya peubah acak Y megikuti distribusi biomial 4 dega bayak pegulaga eksperimeya sampai 6 kali, peluag terjadiya peristiwa sukses sebesar da bayak peristiwa sukses y. 4 9

35 Fugsi peluag dari Y adalah : P(y) = ( 6 y ) ( 4 )y ( 3 4 )6 y ; y =,,, 3, 4, 5, 6, 3. Misalka Y~ B(y,, ) 4 Tetuka fugsi distribusi dari Y. Peyelesaia : Fugsi peluag dari Y adalah : P(y) = P(Y=y) = ( 4 )y ( 3 4 ) y ; y =, Jadi : p() = 3 4 P() = 4 Distribusi peluag dari Y adalah : Y P(y) Fugsi distribusi dari Y adalah Utuk y < F(y) = Utuk y < F(y) = y p(t) = p(t) = p() F(y) = 3 4 3

36 Utuk y F(y) = y p(t) = p(t) = p() + p() = F(y) = Sehigga : F(y) =, y < = 3 4 ; y < = ; y 4. Misalka fugsi desitas dari X berbetuk : g(x) = 5, <x < 6 =, x laiya Hitug P( < x < 4)! Peyelesaia : Berdasarka sifat dari fugsi desitas, maka : 4 P( < x < 5) = dx 5 = 4 (x] x= 4 ) P( < x < 5) = 3 4 3

37 5. Misalka x adalah peubah acak berdistribusi ormal dega rataa 3 da varia 5. Jika y = 3x -, maka E(y) adalah. peyelesaia : diketahui E(x)= 3 da var(x)=5 maka : var(x)= E(x ) (E(x)) 5= E(x ) 9 E(x )= 4 Sehigga E(y) = E(x -) = E(x ) = (4) E(y) = 7 6. Hituglah probabilitas peristiwa biomial! p =, q =, r =, da = 5 peyelesaia : Diket: p =, q =, r =, da = 5 Ditayaka: P(r) = probabilitas peristiwa biomial Jawab: P(r) = ( r ) pr ( p) r, dega p = q 3

38 P() = ( 5 ) ( ) ( 5 ) P() = 5.4.3!!.3!. ( 4 ) ( 8 ) P() = 5 6 Jadi, probabilitas peristiwa biomial tersebut adalah Dalam pegetosa 3 buah uag logam, berapakah probabilitas utuk memperoleh buah H? Peyelesaia: Diket: p = Peluag satu koi mucul H r = memperoleh buah H = 3 3 buah uag logam Ditayaka: P() = probabilitas memperoleh H Jawab: P(r) = ( r ) pr ( p) r, dega p = q P() = ( 3 ) ( ) ( 3 ) P() = 3.!!.!. ( 4 ) ( ) P() = 3 8 Jadi, probabilitas utuk memperoleh buah H adalah Adaika kita memperoleh soal tipe objektif bear-salah sebayak buah. Dalam meyelesaika soal-soal itu adaikata ada aak yag tidak belajar, 33

39 mejawabya itu haya melalui tebak-meebak, berapakah probabilitas (ilai peluag) yag memperoleh palig tidak 7 buah soal jawabaya bear. Peyelesaia: Diket: p = Peluag satu soal dega piliha bear-salah r = 7, 8, 9, palig tidak satu buah soal bear = buah soal Ditayaka: P(r) = probabilitas palig tidak 7 buah soal bear. Jawab: Membuat tabel distribusi r ( r ) p r (q) r ilai peluag = ( r ) pr (q) r 7 ( 7 ) = ( ) 7 ( ) 3 ( ) 8 ( 8 ) = 45 ( ) 8 ( ) 45 ( ) 9 ( 9 ) = ( ) 9 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Peluag total 76 4 =,7 Jadi, probabilitas palig tidak 7 buah soal bear adalah,7 34

40 . Distribusi Beroulli RANGKUMAN a. Fugsi peluag : p x ( p) x, x =, b. Notasi :X ~ B (x ;, p) c. Rataa : μ = p d. Varias : σ = p( p) e. Fugsi pembagkit Mome :M x (t) = ( p) + p. e t ; t ε R. Distribusi Biomial a. Fugsi peluag : p(x) = P(X = x) = ( x )px ( p) x, x =,, 3,, b. Notasi X~ B (x ;, p) c. Rataa : μ = p d. Variasi : σ = p( p) e. Fugsi pembagkit Mome :M x (t) = [( p) + p. e t ] ; t ε R 3. Distribussi Poisso a. Fugsi peluag : p(x) = P(X = x) = e b. Notasi X ~P (x ; ℷ) c. Rataa : μ = ℷ d. Variasi : σ = ℷ λ λx, x =,,, x! e. Fugsi pembagkit Mome :M x (t) = e ℷ(et ) ; t ε 4. Distribusi Seragam a. Fugsi desitas : f(x) = β α b. Rataa ( μ ) = E(X) = ( ) (α + β) ; α < x < β c. Varias = σ = Var (X) = ( ) (β α) d. Fugsi pembagkit Mome : M x (t) = eβt e αt t(β α) ; t = ; t = 35

41 BAB 3 HUBUNGAN HARAPAN DAN VARIANSI DARI PEUBAH ACAK KHUSUS (bahasa ) Tujua Adapu tujua dari mempelajari materi hubuga harapa da variasi dari peubah acak kotiu adalah a. Megetahui bagaimaa hubuga harapa da variasi dari peubah acak kotiu. b. Memeuhi tugas mata kuliah statistik matematika Materi Ekspektasi Jika X meyataka suatu variabel acak kotiu yag dapat megambil setiap ilai x yag memiliki probabilitas f(x), maka ekspektasi atau ilai harapa diyataka sebagai berikut: Variasi E(X) = x. f(x) dx Misalka X peubah acak kotiu dega distribusi peluag f(x) da rataa μ, maka Var(X) = σ adalah σ = E[(X μ) ] Var (X) = σ = E(X μ) = E(X ) μ = E(X ) [E(X)] Teorema.7.5 Jika x berdistribusi ekspoe f(x) = { λ e x λ, x, utuk x yag lai Maka E(x) = λdavar(x) = λ 36

42 Bukti : E(x) = x λ e x λ dx = ye y λdy = λ ye y dy = λ(!) E(x) = λ E(x ) = x λ e x λ dx = x x λ e x λ dx = λ x λ x λ e x λ dx = λyye y λ dy = λ y e y dy = λ (!) = λ Misalka : y = x λ dy = λ dx Misalka : y = x λ dy = λ dx Catata : e y = y! dy e y =!! = e y! = y y dy y dy dy ey! = y e y dy Karea =, diperoleh :! = y e y dy 37

43 Var (x) = E(x ) (E(x)) Var (x) = λ (λ) Var (x) = λ λ Var(x) = λ Jadi, jika x berdistribusi ekspoe f(x) = { λ e x λ, x, utuk x yag lai Maka E(x) = λ da Var(x) = λ (terbukti) Cotoh : Tetuka fugi desitas dari X~Exp()! Jawab : X~Exp() merupaka peubah acak X berdistribusi ekspoesial dega parameter θ =. Fugsi desitas dari X berbetuk : g(x) =. e x ; x > = o ; x laiya Teorema.7.6 Dipelajari pertama kali pd abad ke -8 Pecetus : De Moivre (733) Laplace (775) Gauss (89) Dist. Gauss. 38

44 Suatu variabel radom kotiu x dikataka berdistribusi ormal dg mea da variasi adalah jika mempuyai fugsi probabilitas yag berbetuk : f ( X ) e ( X ) Utuk - < x < - << > da = 3,4 da e =,78 Jika X berdistribusi ormal da Var x x f ( x) e, x maka E x x Bukti : Ex x e dx Misalka : Sehigga E x x y y x maka dy dx dx dy y x e dy E x y e y dy E x y e y dy + y e dy y ye dy + dy... () y e 39

45 Misalka : I e y dy Aka dibuktika I sehigga I Pilihlah z x maka dz = dx sehigga I e z dz I e y dy e z dz I e y z dy dz Dalam koordiat polar diketahui: y r.cos maka y r. cos x r.si maka x r. si Sehigga diperoleh : y z r. cos r si r Kita substitusika y r z r maka diperoleh : I e r. dr. d Dega megguaka teori limit diperoleh I, substitusika I e dy = kedalam persamaa () y E x y dy + dy = E x x x e dx Misalka : x y maka x y 4

46 y x x y Maka dy dx, sehigga y E x y e dy E y y y x e dy E x y y e dy + y ye dy + y e dy E x Misalka : y y e dy () y z maka z dy y dz sehigga Ex z z e dz + E x z z e dz + x E + E x Var x Ex Ex Jadi, Jika X berdistribusi ormal E x da Var x. Terbukti. x f ( x) e, x maka 4

47 Sifat-sifat distribusi ormal :. Harga modus, yaitu harga pada sumbu x dega kurva maksimum terletak pada x =. Kurva ormal simetris terhadap sumbu vertikal melalui 3. Kurva ormal mempuyai titik belok pada x = 4. Kurva ormal memotog sumbu medatar secara asimtotis 5. Luas daerah dibawah kurva ormal da diatas sumbu medatar sama dega. Kurva Normal μ Luas bagia kurva ormal atara x=a da x=b dapat ditulis mejadi P(a x b) Nilai ii utuk distribusi ormal stadar telah ditabelka Tabel III Distribusi ormal stadar adalah distribusi ormal yag mempuyai mea = da stadar deviasi = Utuk distribusi ormal yag buka distribusi ormal stadar maka diubah dega rumus trasformasi Z : z x Cotoh: Misalka peubah acak Y berdistribusi gamma dega parameter α = daβ = 3. Peluag bahwa harga Y lebih dari 4 adalah. a.,65 d.,543 b.,65 e.,53 x 4

48 c.,65 Peyelesaia : Fugsi desitas dari Y berbetuk :h(y) = ( y ) 9 e y 3 ; y > Jadi : P(y>4) = 4 y. e y 3 dy 9 = lim 9 b e y 3 dy = ; yag laiya Itegral di atas dapat diselesaika dega itegral parsial. Misalya u = y, maka du = dy dv = e y 3 dy, makav = 3. e y 3 p(y > 4) = lim ( 3y. e y b 3 +3 e y 3 dy 4 9 y=4 b ) = lim ( 3y 9 y=4 b 9. e y 3 ] y=4 bdy ) = 9 lim ( 3b. e y 3 +. e y e y e y 3 ) = 9 [ lim ( 3b. e y 3 ) +. e y 3 lim (9. e b 3 )] = ( +. e 4 3 ) 9 p(y > 4) = ( 9 ) e 4 3 =,65 Teorema.7.7 Defiisi fugsi Gamma. Utuk > (tidak perlu bilaga bulat) 43

49 bukti: Γ() x e x dx = y e y dy Γ() x e x dx Subtitusi x = y dx = yd Sehigga x e x dx = (y ) e (y) ydy = y e y ydy = y e y dy Peubah acak X berdistribusi gamma da diamaka peubah acak gamma jika Fkpya berbetuk: f(x) = { αβ α xa e x, x > (α, β > ) β, x Jika X berdistribusi Gamma G(x,, A = ) maka μ = EX = αβ σ = Var(X) = αβ 44

50 Bukti: μ = EX = xf(x)dx x x = Γαβ α x α e x βdx x = Γαβ α xα e x βdx Misalka x = y maka x = βy da dx = βdy da karea < x <, maka < β y < Maka μ = EX = Γαβ α (βy)α e x βdx x x = β Γα yα e y dy o = β Γ(α + ) Γα = β α α Γα = αβ Sehigga terbukti bahwa μ = E(X) = αβ Sifat fugsi Gamma :. (p + ) = p (p). (p + ) = p!, utuk p bilaga bulat positif 45

51 3. ( ) = π Bukti: Γ() = x e x dx = e x ] = Γ() = x e x dx = x e x ] + e x ( )x dx Γ() = ( )Γ( ) Jadi, secara lagsug dibuktika bahwa Γ() =, da dega megguaka itegrasi perbagia telah diperlihatka bahwa utuk >, Γ() = ( )Γ( ). Berdasarka iduksi matematika Γ() = ( )! bila suatu bilaga bulat positif. Cotoh: Misalka peubah acak x berdistribusi Gamma G(x4,, 3). Tetuka titik a sehigga peluagya 5% memperoleh ilai x yag lebih kecil atau sama dega a [P (x a) =,5]. (ilai a disebut media dari x juga suatu distribusi x). Jawab: Diketahui : G(x4,, 3) maka = 4 = A = 3 berarti 3 x < Sehigga α f(x)dx = α 4+ (4+) (x ) 4 e x 9 dx Dari tabel 9 pada baris = 4 da lajur y =.5 46

52 a 3 = 4,67 Karea = maka a = (4,67) + 3 =,34 Jadi media G(x4,, 3) adalah,34. Teorema.7.8 Suatu variabel acak dikataka memiliki distribusi Beta dega parameter a da b, jika fugsi kepadataya adalah f(x) = { B(a,b) xa ( x) b < x < utuk x yag lai di maa B (a, b) merupaka fugsi Beta yag didefiisika sebagai B(a, b) = x a ( x) b a <, b < Fugsi Beta dihubugka dega fugsi Gamma oleh B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) Sehigga distribusi Beta juga dapat didefiisika oleh fugsi kepadata Γ(a)Γ(b) f(x) = { Γ(a + b) xa ( x) b < x < utuk x yag lai Mea da variasi dari distribusi Beta dega parameter a da b masig-masig adalah Bukti : μ = a a + b da ab σ = (a + b + )(a + b) 47

53 Meghitug mome dari distribusi Beta bisa dilakuka dega metode sebagai berikut EX = B(a, b) x x a ( x) b dx = B(a,b) x(a+) ( x) b dx.() maka juga dapat diperoleh persamaa EX = B(a+,b) B(a,b) = Γ(a+)Γ(a+b) Γ(a+b+)Γ(a)..() Berdasarka persamaa () da persamaa (), maka utuk memperoleh mea (EX) da Var(X) = (EX ) [(EX)] adalah dega mesubsitusika = da = ke persamaa (), maka μ = EX = = Da Var(X) = (EX ) [(EX)] Karea Maka Γ(a + )Γ(a + b) Γ(a + b + )Γ(a) aγ(a)γ(a + b) (a + b)γ(a + b)γ(a) EX = = a a + b Γ(a + )Γ(a + b) Γ(a + b + )Γ(a) (a + )a Var(X) = (a + b + )(a + b) ( a a + b ) 48

54 = (a + )a (a + b + )(a + b) a (a + b) = (a + b)(a + a) a (a + b + ) (a + b) (a + b + ) = ab (a + b + )(a + b) 49

55 SOAL-SOAL DAN PEMBAHASANNYA Jawablah pertayaa di bawah ii dega memilih jawaba yag tepat dega memberi tada silag pada huruf A, B, C, D, atau E.. Misalka peubah acak y berdistribusi ekspoesial dega parameter θ = 3. Peluag bahwa y berilai lebih dari adalah a.,534 d.,5 b.,534 e.,5 c.,6 peyelesaia : Fugsi desitas dari y adalah :h(y) = ( ). 3 e y 3 ; y > = ;utuk yag laiya. p(y > ) = p(y ) = 3. e y 3 dy =. ( 3. e y 3 ] 3 y= ) = + (e 3 ) p(y > ) = e 3 =,534 5

56 . Jika peubah acak X berdistribusi ekspoesial dega parameter θ =, dega P(X > 4 X > ) adalah... Peyelesaia : Fugsi desitas dari y adalah :g(x) = ( x ). e ; x > = ;utuk yag laiya. p(x > 4) = p(x 4) 4 =. e x dx =. [. e x ]] = + (e ) p(x > 4) = e 4 p(x > ) = p(x ) =. e x dx =. [. e x ]] = + (e ) p(x > ) = e 5

57 P(X > 4 X > ) = = e e = e e = e ( ) = e,5 p(x > 4) p(x > ) 3. Jika peubah acak X berdistribusi umum dega rataa da varias,6. Maka P(X >,3) adalah a.,5 d.,734 b.,75 e.,66 c.,3 peyelesaia: dalam hal ii μ = daσ =,4 X μ P(X >,3) = P ( σ >,3 ) = P(Z >,75),4 Kurva berdistribusi ormal baku utuk Z =,75 bisa dilihat berikut ii,,75 Daerah yag dicari mulai dari z=,75 sampai z= Jadi P(X>,3) =,5 ( daerah dari Z = sampai Z =,75 )=,5,734 5

58 P(X>,3) =,66 4. Utuk = 6, maka fugsi Gamma da ilaiya adalah: ~ a. Γ(6) = x 6 e x dx da Γ(6) = ~ ~ ~ b. Γ(6) = x 5 e x dx da Γ(6) = 7 c. Γ(6) = x 6 e x dx da Γ(6) = 7 d. Γ(6) = x 5 e x dx da Γ(6) = Jawaba: D Peyelesaia: Utuk =6 ~ Γ() = x e x dx ~ Γ(6) = x 6 e x dx Γ(6) = (6 )! = 5! = 5. Jika X peubah acak berdistribusi beta dega parameter a= da b=4, maka rerata X adalah a., b., c.,3 d.,4 Jawaba : B Peyelesaia: μ = a a + b = + 5 =, 53

59 BAB 4 KEBEBASAN STOKASTIK A. Proses Stokastik Berhigga Pegertia Suatu eksperime berupa deret berhigga di maa tiap eksperime mempuyai sejumlah berhigga hasil yag mugki dega peluag tertetu. Cotoh: Terdapat 4 buah kotak yag berisi bola merah da bola biru pada tiap-tiap kotak. Kotak I berisi bola, 3 di ataraya berwara merah. Kotak II berisi 8 bola, di berwara merah. Kotak III berisi 5 bola, di ataraya berwara merah. Kotak IV berisi bola, 4 di ataraya berwara merah. Kita aka megambil satu kotak secara radom da kemudia dari kotak tersebut diambil satu buah bola biru secara radom. Berapakah peluag bola berwara biru terambil? Jawab: Dalam soal ii kita aka melakuka dua eksperime sebagai berikut:. Memilih dari 4 kotak. Megambil buah bola yag mugki berwara merah atau biru Peluag megambil kotak dari 4 kotak secara radom adalah 4. Jadi, peluag terambil kotak I = peluag terambil kotak II = peluag terambil kotak III = peluag terambil kotak IV. Dari kotak I yag berisi bola, 3 diataraya berwara merah. Peluag terambil bola merah adalah 3 da peluag terambil bola biru adalah 7. Dari kotak II yag berisi 8 bola, diataraya berwara merah. Peluag terambil bola merah adalah 8 da peluag peluag terambil bola biru adalah

60 Dari kotak III yag berisi 5 buah duria, diataraya berwara merah. Peluag terambil bola merah adalah 5 da peluag peluag terambil bola biru adalah 4. 5 Dari kotak IV yag berisi buah duria, 4 diataraya berwara merah. Peluag terambil bola merah adalah 4 da peluag peluag terambil bola biru adalah 6. Sehigga dapat digambarka sebagai berikut: Diagram Peluag biru I II III IV baik busuk baik busuk baik busuk baik busuk merah biru merah biru merah biru merah Proses da Hasil dari Perhituga Peluag Bersyarat: Peluag terambil bola biru dari kotak I adalah 4 7 = 7 4 Peluag terambil bola biru dari kotak II adalah = 6 3 = 3 6 Peluag terambil bola biru dari kotak III adalah = 4 = 5 Peluag terambil bola biru dari kotak IV adalah 4 6 = 6 4 = 3 Jadi, peluag terambil bola biru adalah peluag terambil bola biru dari kotak I + Peluag terambil bola biru dari kotak II + Peluag terambil bola 55

61 biru dari kotak III + Peluag terambil bola biru dari kotak IV adalah = B. Kebebasa Stokastik Diskrit Defiisi: Misalya dua peubah acak diskrit X da Y mempuyai ilai fugsi peluag gabuga di (x, y), yaitu p(x, y) serta masig-masig mempuyai ilai fugsi peluag margial dari X di x, yaitu p (x) da ilai fugsi peluag margial dari Y di y, yaitu p (y). Kedua peubah acak X da Y dikataka bebas stokastik, jika da haya jika: p(x, y) = p (x). p (y) Utuk semua pasaga ilai (x, y) Cotoh: Misalya fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk: p(x, y) = ( ) (x + y); x =,,,3 da y =,,,3 7 Apakah X da Y bebas stokastik? Peyelesaia: Fugsi margial dari X adalah: 3 p (x) = ( ) (x + y) 7 y= = ( ) {x + (x + ) + (x + 4) + (x + 6)} 7 = ( ) (4x + ) 7 = ( ). 4(x + 3) 7 p (x) = ( ) (x + 3) 8 56

62 Jadi, p (x) = ( ) (x + 3); x =,,,3 8 Fugsi margial dari Y adalah: 3 p (y) = ( ) (x + y) 7 x= = ( ) {y + ( + y) + ( + y) + (3 + y)} 7 = ( ) (8y + 6) 7 = ( ). (4y + 3) 7 p (y) = ( ) (4y + 3) 36 Jadi, p (y) = ( ) (4y + 3); y =,,,3 36 Misalya pasaga ilai dari X da Y diambil (x, y) = (,). p(x =, y = ) = ( ) ( + ) = 7 p (x = ) = 3 8 = 6 p (y = ) = 3 36 = p(x =, y = ) = ( ) (x + y) 7 = ( ) ( + ()) 7 = ( 7 ) () = p (x = ). p (y = ) = ( ) (x + 3). ( ) (4y + 3) 8 36 = ( ) ( + 3). ( ) (4() + 3) 8 36 = ( 8 ) (3). ( 36 ) (3) 57

63 = 6. = 7 karea p(x =, y = ) p (x = ). p (y = ), maka X da Y dua peubah acak tidak bebas stokastik C. Kebebasa Stokastik Kotiu Defiisi : Misalya dua peubah acak kotiu X da Y mempuyai ilai fugsi desitas, gabuga di (x, y), yaitu f(x, y) serta masig-masig mempuyai ilai fugsi desitas margial dari X di x, yaitu f (x) da ilai fugsi desitas margial dari Y di y, yaitu f (y). Kedua peubah acak X da Y dikataka bebas stokastik, jika da haya jika : f(x, y) = f (x)f (y) Dalam praktikya, soal yag meyagkut kebebasa stokastik dua peubah acak kotiu ii ada dua kemugkia, yaitu sebagai berikut.. Fugsi desitas gabuga dari kedua peubah acak diketahui betukya. Kita harus meetuka terlebih dahulu fugsi desitas margial dari masig-masig peubah acakya. Kemudia kita megguaka persyarata kebebasa stokastik, da kita memperhatika hasilya dega kriteria sebagai berikut. a. Apabila ruas kiri sama dega ruas kaa, maka kedua peubah acak itu dikataka bebas stokastik. b. Apabila ruas kiri tidak sama dega ruas kaa, maka kedua peubah acak itu dikataka tidak bebas stokastik atau bergatuga.. Fugsi desitas gabuga dari kedua peubah acak tidak diketahui betukya. Dalam hal ii fugsi desitas margial dari masig-masig peubah acak diketahui betukya. Kemudia kita megguaka pesyarata kebebasa stokastik da kriteriaya sama dega sebelumya. Cotoh : Misalya fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk : f(x, y) = x + y ; < x <, < y < 58

64 Apakah X da Y bebas stokastik? Peyelesaia : = ; x, y laiya. Kita harus meetuka dahulu fugsi desitas margial masig-masig dari X da Y. Fugsi desitas margial dari X adalah : g (x) = f(x, y) dy = f(x, y) dy + f(x, y) dy + f(x, y) dy = dy + (x + y) dy + dy = + {xy + ( ) y }] + y= g(x) = x + Jadi, g(x) = x + ; < x < = ; x laiya. Fugsi desitas margial dari Y adalah : h(y) = f(x, y) dx = f(x, y) dx + f(x, y) dx + f(x, y) dx = dx + (x + y) dx + dx = + {( ) x + xy}] + x= h(y) = + y Jadi, h(y) = + y ; < y < 59

65 = ; y laiya. Maka g(x). h(y) = (x + ) ( + y) = x + xy + y + 4 Teryata f(x, y) g(x). h(y), karea x + y x + xy + y + 4 Sehigga X da Y merupaka peubah acak yag tidak bebas stokastik atau bergatuga. Teorema.. Misalka f.k.p bersama dari X da Y adalah f(x, y). Maka X da Y bebas stokastik jika da haya jika terdapat fugsi-fugsi o egatif g(x) da h(y) sehigga f(x, y) = g(x) h(y) da domai dari g tidak tergatug dari y serta domai h tidak tergatug dari x. Bukti: a. Misalka x da y bebas stokastik. Maka f(x, y) = f(x) f(y). Dalam hal ii cukup diambil g(x) = f(x) da h(y) = f(y). b. Misalka f(x, y) = g(x)h(y); g(x) da h(y). Aka dibuktika X da Y bebas stokastik, utuk itu dicari f(x) da f(y). f(x) = f(x, y)dy = g(x)h(y)dy = g(x) h(y)dy = Kg(x)dega K = h(y)dy suatu kostata f(x) = f(x, y) dx = g(x) h(y)dx = h(y) g(x) dx = Lh (y)dega L = g(x)dx suatu kostata 6

66 Aka tetapi, KL = h(y)dy g(x) = g(x)h(y) dy dx = f(x, y)dy dx = Akibatya, f(x, y) = g(x)h(y) = f(x) K. f(y) L = f(x)f(y) Dari persamaa (a) da (b) berarti X da Y bebas stokastik. Cotoh: Diketahui f.k.p bersama dari X da Y sebagai berikut: xy ( y); < x < ; < y < f(x, y) = { ; utuk x yag lai Buktika bahwa X da Y bebas stokastik! Jawab: x da y yag lai, yag mugki : g(x) = x ( y) g(x) = x g(x) = x g(x) = x ( y) h(y) = y h(y) = y ( y) h(y) = y ( y) h(y) = y Cotoh : Tulislah g(x) = x da h(y) = y( y). 6

67 Jelas bahwa : a. g(x) > utuk setiap x; < x < b. h(y) > utuk setiap y; < y < c. f(x, y) = g(x)h(y); < x < ; < y < Berarti X da Y bebas stokastik. 6

68 Soal Latiha da Jawaba. Suatu mata kuliah statistika matematika diikuti 5 mahasiswa agkata, 5 mahasiswa agkata 9 da mahasiswa agkata 8. Diketahui mahasiswa yag medapatka ilai A sebayak orag dari mahasiswa agkata, 8 orag dari mahasiswa agkata 9 da 5 orag mahasiswa agkata 8. Bila seorag mahasiswa dipilih secara acak, berapakah peluag dia medapat ilai A? a. 75 b c. 3 d Peyelesai: Nilai A Selai A Nilai A Selai A 8 5 Nilai A 5 Selai A Peluag mahasiswa yag medapatka ilai A = ( ) + ( ) + ( 75 5 ) 63

69 = = 3 75 Jadi, peluag mahasiswa yag medapat ilai adalah 3. Fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk: p(x, y) = kxy; x =,,3, da y =,,3 Dega X da Y merupaka peubah acak bebas stokastik. Nilai k adalah a. 36 b. 6 c. 36 d. 6 Peyelesaia: Fugsi peluag margial dari X adalah: 3 p (x) = (kxy) y= p (x) = kx( + + 3) p (x) = kx(6) p (x) = 6kx Fugsi peluag margial dari Y adalah: 3 p (y) = (kxy) x= p (y) = k( + + 3)y p (y) = k(6)y p (y) = 6ky Karea peubah acak X da Y bebas stokastik maka p(x, y) = p (x). p (y), sehigga kxy = 6kx. 6ky. jika diambil (x, y) = (,) maka: k()() = 6k().6k() k = 36k k k = 36 k = 36 k = 36 64

70 Jadi, ilai k yag memeuhi pada p(x, y) = kxy; x =,,3, da y =,,3 adalah Fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk: p(x, y) = xy; x =,,3, da y =,,3 36 Tetuka (X, Y < )! a b. 36 c d. 5 6 Peyelesaia: Fugsi peluag margial dari X adalah: p (x) = ( 36 xy) 3 y= p (x) = x( + + 3) 36 p (x) = 36 x(6) p (x) = 6 x Fugsi peluag margial dari Y adalah: p (y) = ( 36 xy) 3 x= p (y) = ( + + 3)y 36 p (y) = 36 (6)y p (y) = 6 y p(x, Y < ) = p (X ). p (Y < ) p(x, Y < ) = 6 x. y 6 p(x, Y < ) = ( + 6 3). () 6 p(x, Y < ) =

71 p(x, Y < ) = 5 36 Jadi, p(x, Y < ) pada fugsi peluag gabuga p(x, y) = 36 xy; x =,,3, da y =,,3 adalah Misalka fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk : P(x, y) = ( ) (x + y); x =, da y =,, 3, 4 3 Apakah X da Y bebas stokastik? a. Bebas stokastik c. ragu-ragu b. Tidak bebas stokastik d. tidak jelas Peyelesaia : Fugsi peluag margial dari X adalah : 4 p (x) = ( ) (x + y) 3 y= = ( ) ((x + ) + (x + ) + (x + 3) + (x + 4)) 3 = ( ) (4x + ) 3 = ( ) (x + 5) 6 Jadi, p (x) = ( ) (x + 5) ; x =, 6 Fugsi peluag margial dari Y adalah : p (y) = ( ) (x + y) 3 x= = ( ) (( + y) + ( + y)) 3 = ( ) (3 + y) 3 Jadi, p (y) = ( ) (3 + y) ; y =,, 3, 4 3 Misalya pasaga ilai dari X da Y diambil (x, y) = (,) p(x =, y = ) = ( 3 ) ( + ) = ( 3 ) () = 6 66

72 p (x = ) = ( 6 ) (( ) + 5) = ( 6 ) (7) = 7 6 p (y = ) = ( ) (3 + ( )) = ( ) (5) = Teryata p(x =, y = ) p (x). p (x), karea 35 6 Maka X da Y dikataka dua peubah acak yag bergatuga atau tidak bebas stokastik Misalka fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk : f(x, y) = ( ) (x + y); < x <, < y < 4 Apakah X da Y bebas stokastik? = ; x, y laiya a. Bebas stokastik c. ragu-ragu b. Tidak bebas stokastik d. tidak jelas Peyelesaia : Kita harus meetuka dahulu fugsi desitas margial masig-masig dari X da Y. Fugsi peluag margial dari X adalah : g(x) = f(x, y)dy = f(x, y)dy = dy + f(x, y)dy + ( ) (x + y)dy 4 = + ( ) {xy + 4 () y }] y = + g(x) = ( ) (4x + ) 4 Jadi, g(x) = ( ) (4x + ) ; < x < 4 = ; x laiya Fugsi peluag margial dari Y adalah : + f(x, y)dy + dy 67

73 h(y) = f(x, y)dx = f(x, y) dx = dx + f(x, y) dx + ( ) (x + y) dx 4 = + ( ) 4 {x + xy}] x = + h(y) = ( ) ( + y) 4 Jadi, h(y) = ( ) ( + y) ; < y < 4 = ; y laiya + f(x, y) dx + dx Maka : g(x). h(y) = ( 4 ) (4x + ). ( 4 ) ( + y) = x + xy + y + Teryata f(x, y) g(x). h(y), karea ( 4 ) (x + y) x + xy + y + Maka X da Y dikataka dua peubah acak yag bergatuga atau tidak bebas stokastik. 6. Misalka fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk : f(x, y) = ( 6 ) x3 y 3 ; < x <, < y < Apakah X da Y bebas stokastik? = ; x, y laiya a. Bebas stokastik c. ragu-ragu b. Tidak bebas stokastik d. tidak jelas Peyelesaia : Kita harus meetuka dahulu fugsi desitas margial masig-masig dari X da Y. Fugsi peluag margial dari X adalah : g(x) = f(x, y)dy 68

74 = f(x, y)dy = dy + f(x, y)dy + ( ) 6 (x3 y 3 )dy = + ( ) 6 {() 4 x3 y 4 }] y = + g(x) = ( 6 ) (4x3 ) Jadi, g(x) = ( 6 ) (4x3 ) ; < x < = ; x laiya Fugsi peluag margial dari Y adalah : h(y) = f(x, y)dy = f(x, y)dx = dx + f(x, y)dx + ( ) 6 (x3 y 3 )dx = + ( ) 6 {() 4 x4 y 3 }] x = + h(y) = ( 6 ) (4y3 ) Jadi, h(y) = ( 6 ) (4y3 ); < y < = ; y laiya + f(x, y)dy + dy + f(x, y)dx + dx Maka : g(x). h(y) = ( 6 ) (4x3 ). ( 6 ) (4y3 ) = ( 6 ) (x3 y 3 ) Teryata f(x, y) = g(x). h(y), karea ( 6 ) (x3 y 3 ) = ( 6 ) (x3 y 3 ) Maka X da Y dikataka dua peubah acak yag bebas stokastik. 7. Misalka fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk : f(x, y) = ( 6 ) x3 y 3 ; < x <, < y < Apakah X da Y bebas stokastik? = ; x, y laiya a. Bebas stokastik c. ragu-ragu 69

75 b. Tidak bebas stokastik d. tidak jelas Peyelesaia : Kita harus meetuka dahulu fugsi desitas margial masig-masig dari X da Y. Fugsi peluag margial dari X adalah : g(x) = f(x, y)dy = f(x, y)dy = dy + f(x, y)dy + ( ) 6 (x3 y 3 )dy = + ( ) 6 {() 4 x3 y 4 }] y = + g(x) = ( 6 ) (4x3 ) Jadi, g(x) = ( 6 ) (4x3 ) ; < x < = ; x laiya Fugsi peluag margial dari Y adalah : h(y) = f(x, y)dy = f(x, y)dx = dx + f(x, y)dx + ( ) 6 (x3 y 3 )dx = + ( ) 6 {() 4 x4 y 3 }] x = + h(y) = ( 6 ) (4y3 ) Jadi, h(y) = ( 6 ) (4y3 ); < y < = ; y laiya + f(x, y)dy + dy + f(x, y)dx + dx Maka : g(x). h(y) = ( 6 ) (4x3 ). ( 6 ) (4y3 ) = ( 6 ) (x3 y 3 ) Teryata f(x, y) = g(x). h(y), karea ( 6 ) (x3 y 3 ) = ( 6 ) (x3 y 3 ) 7

76 Maka X da Y dikataka dua peubah acak yag bebas stokastik. 8. Misalka fugsi peluag gabuga dari X da Y berbetuk : Apakah X da Y bebas stokastik? f(x, y) = 4xy ; < x <, < y < = ; x, y laiya a. Bebas stokastik c. ragu-ragu b. Tidak bebas stokastik d. tidak jelas Peyelesaia : Kita harus meetuka dahulu fugsi desitas margial masig-masig dari X da Y. Fugsi peluag margial dari X adalah : g(x) = f(x, y)dy g(x) = x = f(x, y)dy = dy + f(x, y)dy + (4xy)dy = + y x] y = + Jadi, g(x) = x ; < x < = ; x laiya Fugsi peluag margial dari Y adalah : h(y) = f(x, y)dy h(y) = y = f(x, y)dx = dx + dy + f(x, y)dx + (4xy)dx = + x y] x = + + dx + f(x, y)dy + f(x, y)dx 7

77 Jadi, h(y) = y ; < y < = ; y laiya Maka : g(x). h(y) = x.y = 4xy Teryata f(x, y) = g(x). h(y), karea 4xy = 4xy Maka X da Y dikataka dua peubah acak yag bebas stokastik. 7

78 BAB 5 SIFAT-SIFAT KEBEBASAN STOKASTIK DUA PEUBAH ACAK A. PENDAHULUAN Pada hal ii, kita aka mempelajari akibat dari kebebasa stokastik itu sediri atau dega kata lai, sifat-sifat apa saja yag ada pada kebebasa stokastik itu. Adapu tujua istruksioal khususya adalah sebagai berikut:. Diharapka dapat meghitug peluag bila terjadi kebebasa stokastik. Diharapka dapat meghitug ekspektasi hasil kali dua peubah acak, bila terjadi kebebasa stokastik 3. Diharapka dapat medeteksi kebebasa stokastik melalui f.p.m 4. Diharapka dapat membetuk f.p.m bersama bila terjadi kebebasa stokastik B. MATERI Sifat bebas stokastik yag dimiliki dua (atau lebih) peubah acak, dapat diguaka utuk meghitug; peluag, ekspektasi, ataupu meetuka f.p.m bersama. Pada teorema berikut dikemukaka cara perhituga peluag apabila X da Y bebas stokastik. Teorema.. Jika X da Y bebas stokastik, maka P (a < X b, c < Y d) = P(a < X b) P(c < Y d) 73

79 Bukti: Aka dibuktika utuk kasus kotiu. Utuk kasus diskrit, haya meggati lambag itegral dega lambag jumlah. Karea X da Y bebas stokastik, maka f(x, y) = f (x)f (y). Akibatya P(a < X b, c < Y d) = f(x, y)dy dx b a c b d d = f (x)f (y) dy dx a c b = f (x) dx f (y) dy a c = P(a < X b, c < Y d) Jadi, terbukti bahwa P (a < X b, c < Y d) = P(a < X b) P(c < Y d). Pada Teorema.., terlihat bahwa kebebasa stokastik memberika kemudaha dalam perhituga peluag. Ada lagi beberapa kemudaha perhitugaya atara lai: kemudaha meghitug ekspektasi da kemudaha meetuka f.p.m. d Cotoh Soal:. Diketahui f.k.p bersama dari X da Y adalah sebagai berikut: f(x, y) = { 4 ; (x, y) = (,), (,), (,), (3,) ; utuk (x, y) yag lai Buktika bahwa X da Y tidak bebas stokastik! 74

80 . Diketahui f.k.p bersama dari X da Y adalah sebagai berikut: Apakah X da Y bebas stokastik? Peyelesaia: ; x =,,3 y =,,3 f(x, y) = { 9 ; utuk (x, y) yag lai. f. k. p margialya adalah sebagai berikut: y x Syarat bebas stokastik adalah f(x, y) = f(x). f(y) Dari table terlihat bahwa f(x, y) f(x). f(y) utuk setiap x da y. Jadi x da y tidak bebas stokastik.. F. k. p margialya adalah sebagai berikut: Ambil g(x) = 3 da h(y) = 3 Jelas bahwa g(x) > utuk setiap x =,, 3 da h(y) > utuk setiap y =,, 3 75

81 Sehigga f(x, y) = g(x). h(y), x, y =,, 3 9 = = 9 Teorema.. Misalka Karea f(x, y) = g(x). h(y), maka x da y bebas stokastik. (i) (ii) X da Y dua peubah acak u(x) da v(y) masig-masig berupa fugsi dari X da fugsi dari Y Jika X da Y bebas stokastik, maka : Bukti : Aka dibuktika utuk kasus kotiu. Ε[u(X)v(Y)] = Ε[u(X)] Ε[v(Y)] Misalka f (x, y) f.k.p bersama dari X da Y. f.k.p margialya kita tulis f(x) da f(y), jadi E[u(X)v(Y)] = u(x)v(y)dxdy = u(x)v(y)f (x)f (y)dx dy = { u(x)f (x)dx = E[u(X)] E[u(Y)] } { v(y)f (y)dy } Jadi, terbukti bahwa Ε[u(X)v(Y)] = Ε[u(X)] Ε[v(Y)]. 76

82 Teorema..3 Misalka ) M(t,t) f.p.m bersama dari X da Y ) M(t) da M(t) masig-masig f.p.m X da f.p.m Y Maka X da Y bebas stokastik jika da haya jika : M(t,t) = M(t). M(t) Bukti : (i) Misalka X da Y bebas stokastik, maka M(t,t) = E(e t X+ t Y ) = E(e tx e ty ) = E(e tx )E(e ty ) = M (t ). M (t ) (ii) Misalka M(t,t) = M(t). M(t), jadi M(t, t ) = { e t X f (x)dx} { e t Y = e t X+t Y f (x)f (y)dxdy f (y)dy} Aka tetapi M(t,t) adalah f.p.m bersama dari X da Y. Ii berarti : M(t, t )9 = e t X+t Y f(x, y)dxdy 77

83 Akibatya, karea f.p.m bersifat uik, maka f(x,y) = f(x) f(y), kecuali mugki di himpua yag peluagya Ii berarti X da Y bebas stokastik. Dari pejelasa (i) da (ii) maka teorema diatas terbukti. Teorema..4 a. Jika X, X,..., X salig bebas stokastik, maka P(a < X b, a < X b,, a < X b ) = P(a < X b ). P( a < X b ) P(a < X b ) b. Jika X, X,..., X salig bebas stokastik maka E[u (X )u (X ). u (X )] = E[u (X )]. E[ u (X )]. E[u (X )] c. X, X,..., X salig bebas stokastik jika da haya jika M(t,t,..., t) = M(t). M(t).... M(t) Ruas kiri adalah f.p.m bersama X, X,..., X M(t) adalah f.p.m dari Xi ; i =,, 3,..., Bukti : Teorema..4 bagia a Karea X, X,..., X bebas stokastik, maka P(a < X b, a < X b,, a < X b ) = P(a < X b ). P( a < X b ) P(a < X b ) 78

84 Akibatya pada kasus kotiu, P(a < X b, a < X b,, a < X b ) b b b =. f(x, x,., x )dx dx dx b a b a b a =. f(x ) f(x ), f(x )dx dx dx a a a b b b = f(x )dx f(x )dx f(x )dx a a = P(a < X b ). P( a < X b ) P(a < X b ) a Jadi teorema di atas terbukti Bukti : Teorema..4 bagia b Pada kasus kotiu. Misalka f.k.p bersama dari X, X,..., X. f.k.p margialya ditulis : E[u (X )u (X ). u (X )] = E[u (X )]. E[ u (X )]. E[u (X )] =. U (x )U (x ) U (x ) f(x, x,., x )dx dx dx =. U (x )U (x ) U (x ) f(x ) f(x ), f(x ) dx dx dx = [ U (x )f(x )dx ] [ U (x )f(x )dx ] [ U (x ) f(x ) dx ] 79

85 = E[u (X )]. E[ u (X )]. E[u (X )] Jadi teorema di atas terbukti Bukti : Teorema..4 bagia c (i) Misalka X, X,., X bebas stokastik, maka : M(t, t,, t ) = E (e t x +t x + +t x ) = E(e t X ) E(e t X ) E(e t X ) = M(t ). M(t ) M(t ) (ii) Misalka M(t, t,, t ) = M (t ) M (t ) M (t ) M(t, t,, t ) = { e t X f (x )dx } { e t X f (x )dx } { e t X f (x )dx } = e t X +t X + +t X f (x )f (x ) f (x )dx dx dx Aka tetapi, M(t, t, t ) adalah f.p.m bersama dari X, X X. Ii berarti : M(t, t,, t ) = e t X +t X + t X f(x, x, x )dx dx dx Sehigga : M(t, t,, t ) = M(t, t,, t ) 8

86 e t X +t X + +t X f (x )f (x ) f (x )dx dx.. dx = e t X +t X + +t X f(x, x, x )dx dx dx Akibatya, karea f.p.m bersifat uik, maka : f (x )f (x ) f (x ) = f(x, x, x ) Kecuali mugki di himpua yag peluagya. Ii berarti bebas stokastik. Jadi, dari pejelasa (i) da (ii) maka teorema di atas terbukti. Cotoh Soal Ketiga peubah acak X, X da X 3 diketahui bebas stokastik da memiliki f.k.p yag sama, yaitu: x; < x < f(x) = { ; x yag lai Misalka Y = maks { X, X, X 3 } yaitu harga terbesar di atara X, X da X 3. Tetuka f.k.p bersama dari X, X da X 3 Peyelesaia : Karea X, X da X 3 salig bebas stokastik, maka f.k.p bersamaya adalah : g(x, x x 3 ) = f(x ) f(x ) f(x 3 ) = x x x 3 = 8x x x 3 Sehigga dapat dituliska : g(x, x x 3 ) = { 8x x x 3 ; < x i < ; i =,,3 ; x, x, x 3 laiya 8

87 BAB 6 PEUBAH ACAK DISKRIT A. Distribusi Diskrit Seragam. Distribusi Diskrit Seragam adalah suatu distribusi di maa setiap variabel acak x diasumsika memiliki peluag yag sama. Defiisi Distribusi Seragam: Jika peubah acak X medapat ilai X, X,..Xk, dega asumsi peluag yag sama, maka distribusi dari X disebut sebagai distribusi seragam yag diyataka sebagai f(x;k)= k, x= x,x,x3,.,xk Secara umum: k C N ilai k dapat diaggap sebagai kombiasi N da N = bayakya titik cotoh dalam ruag cotoh/populasi = ukura sampel acak = bayakya usur peubah acak X Lambag f(x;k) dipakai sebagai peggati f(x) utuk meujukka bahwa distribusi seragam tersebut bergatug pada parameter k. Teorema Rataa da variasi distribusi seragam. Rataa da variasi distribusi seragam diskret f(x;k) dirumuska oleh: k k μ = k x i σ = k (x i μ) i= i= 8

88 Bukti: Dega defiisi: k μ = E(X) = x i f(x i ; k) = x i k i= k i= k k = k x i σ = E[(x μ) ] = (x i μ) f(x i ; k) = (x i μ) == k k (x i μ) i= k i= i= k i= Cotoh : Sebuah dadu seimbag dilatuka, tetuka distribusi diskrit seragamya, tetuka juga rataa da variasiya! Solusi : Sebuah dadu seimbag dilemparka satu kali, maka tiap usur dalam ruag sampel S={,,3 4, 5, 6}. Mucul dega probabilitas /6. Jadi jika X meyataka mata dadu yag mucul, maka X terdistribusi peluag seragam (uiform) yaki ; f(x; 6) = 6, x =,,3,4,5,6. Tabel Distribusi probabilitas X x f(x; k) = f(x) Utuk rataa ; 83

89 k μ = x k i= i = ( ) = () = Variasi ; k σ = k (x i μ) i= = 6 [( 3.5) + ( 3.5) + + (6 3.5) ] =.9 Berikut histogramya: f(x; 6) x B. Distribusi Biomial Perhatika eksperime-eksperime berupa melatuka koi atau dadu, megambil kartu dari satu set kartu Bridge semuaya secara berulag. Setiap latua da pegambila disebut usaha ( trial ). Kemugkia hasil dari eksperime yag demikia dapat berupa sukses atau gagal. Suatu usaha 84

90 berulag, tiap usaha dega dua kemugkia hasil tersebut disebut percobaa biomial. Suatu percobaa biomial ialah yag memeuhi persyarata sebagai berikut:. Percobaa terdiri atas usaha yag berulag. Tiap usaha memberi hasil yag dapat ditetuka dega sukses atau gagal 3. Peluag sukses, diyataka dega p, tidak berubah dari usaha yag satu ke yag berikutya. 4. Tiap usaha bebas dega usaha laiya. Dalam eksperime biomial, peluag sukses diotasika dega p da gagal dega q = p atau p + q =. Cotoh: Sebuah koi seimbag dilatuka sebayak 7 kali, berapa peluag medapatka; i) Tepat 3 belakag ii) Sekurag-kuragya 5 belakag iii) Palig bayak 3 belakag iv) Atara 3 sampai 5 belakag v) 3 muka da 4 belakag Solusi: Misalka M = muka da B = belakag 85

91 Sebuah koi yag seimbag dilatuka 7 kali merupaka suatu percobaa biomial. Dega jumlah usaha yag salig bebas sama dega = 7. Peluag medapatka belakag dalam tiap usaha = p =. Peluag tidak medapatka belakag dalam tiap usaha = q = p = Misalka X meujukka bayakya mucul belakag dalam 7 kali pelempara. X dapat berilai,,,3,4,5,6,7 P(X x) = ( 7 x x ) ( ) ( 7 x ), x =,,3,,7 = ( 7 x ) ( ) x+7 x = ( 7 x ) ( ) 7 = (7 x ) 8, x =,,3,,7 i. P(tepat 3 belakag) = P(X = 3) ii. P(X = 3) = (7 3 ) 8 = 35 8 P(sekurag kuragya 5 belakag) = P(lebih dari sama dega 5) = P(X 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = (7 5 ) 8 + (7 6 ) 8 + (7 7 ) 8 = 9 8 iii. P(palig bayak 3 belakag) = P(kurag dari sama dega 3) = P(X 3) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) = (7 ) 8 + (7 ) 8 + (7 ) 8 + (7 3 ) 8 = 86

92 iv. P(atara 3 sampai 5 belakag) = P(3 x 5) v. P(3 Muka da 4 belakag) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = (7 3 ) 8 + (7 4 ) 8 + (7 5 ) 8 = 9 8 Karea kejadia sukses adalah muculya belakag pada pelatua koi, maka saat kita meghitug peluag muculya 3 muka da 4 belakag sama saja dega meghitug peluag muculya 4 belakag. jadi ; P(X = 4) = (7 4 ) 8 = 35 8 Defiisi Distribusi Biomial Percobaa biomial adalah suatu percobaa yag terdiri atas beberapa usaha di maa tiap usaha mempuyai dua kemugkia hasil yag dapat diberi ama sukses atau gagal. Bayakya sukses X dalam usaha suatu percobaa biomial disebut suatu peubah acak biomial. Distribusi peluag peubah acak biomial X disebut distribusi Biomial da diyataka dega b (x;,p), karea ilaiya tergatug pada bayakya usaha () da peluag sukses dalam suatu usaha (p). Tiap sukses terjadi dega peluag p da kegagala dega peluag q = p. Dalam percobaa tersebut yag meghasilka x sukses da x yag gagal. Bayakya ii sama dega bayakya cara memisahka hasil mejadi dua kelompok sehigga x hasil berada pada kelompok pertama da sisaya x hasil pada kelompok kedua, jumlah ii dapat diyataka dega ( x ) 87

93 Bila suatu usaha biomial dapat meghasilka sukses dega peluag p da gagal dega peluag q = p, maka distribusi peluag peubah acak biomial X yaitu bayakya sukses dalam usaha bebas, ialah b(x,, p) = ( x ) px q x x =,,3,, Distribusi di atas disebut distribusi biomial, sebab + buah suku dalam peguraia biomial (q + p) berpadaa dega berbagai ilai b(x; ;p) utuk x=,,,, yaitu q p q pq p q... p =b(;,p)+b(;,p)+ b(;,p)+ + b(;,p). Karea p + q =, maka jelas bahwa bx, p x ; suatu syarat yag harus dipeuhi setiap distribusi peluag. Cotoh: Seorag pasie sakit darah yag jarag terjadi mempuyai peluag,4 utuk sembuh. Bila diketahui ada 5 pasie yag telah megidap peyakit tersebut, berapakah peluagya :. Palig sedikit aka sembuh.. Atara 3 sampai 8 yag sembuh. 3. Tepat 5 yag sembuh. Solusi: Dega jumlah usaha yag salig bebas sama dega = 5 Peluag sembuh = p =,4 88

94 Peluag tidak sembuh = q = p =,6 Misalka X meyataka jumlah pasie yag sembuh i). P(X ) = P(X < ) 9 = b(x; 5;,4) x= = [b(; 5;,4) + b(; 5;,4) + + b(9; 5;,4)] ( 5 ) (,4) (,6) 5 + ( 5 ) (,4) (,6) 5 + = ( 5 ) (,4) (,6) 5 + ( 5 3 ) (,4)3 (,6) [ ( 5 4 ) (,4)4 (,6) ( 5 9 ) (,4)9 (,6) 5 9 ] =.966 =,338 ii). P (3 x 8) = 8 8 b (x; 5;,4) = b (x; 5;,4) b (x; 5;,4) x =3 x= x = =,95,7 =,8779 iii). P (x = 5) = b (5; 5;,4) = 5 4 b (x; 5;,4) b (x; 5;,4) =,43,73 =,859 x = x = Teorema Rataa da Varia distribusi biomial Distribusi biomial b(x,,p) mempuyai rataa da variasi berturut-turut sebagai = p da σ = pq 89

95 Bukti: misalka hasil pada usaha ke-j diyataka oleh peubah acak Ij yag medapat ilai atau, masig-masig dega peluag q da p. Sehigga bayakya sukses dalam suatu percobaa biomial dapat dituliska sebagai jumlah peubah bebas, yaitu X = j= I j Jadi diperoleh rataa distribusi biomial. setiap Ij mempuyai E(Ij) = ()(q) +()(p)=p. µ = E(X) = E ( I j ) = E(I ) + E(I ) + E(I 3 ) + + E(I ) p p p = p suku j= Variasi setiap E(Ij) diberika E[Ij p) ] = E(I j)-p I j = (o) q + () p - p = p p = p(- p) = pq Hal ii dapat diperluas ke dalam kasus peubah bebas maka diperoleh variasi distribusi biomial, σ X = σ Ij j= = pq + pq + pq + pq + + pq suku = pq C. Percobaa Multiomial Seadaiya dalam percobaa biomial tersebut setiap ulaga meghasilka lebih dari dua kemugkia hasil, maka percobaa itu kita sebut Percobaa Multiomial. Misalya dalam percobaa pelempara dua dadu kita megamati 9

96 apakah dari kedua dadu mucul bilaga yag sama, total kedua bilaga sama dega 7 atau, atau buka keduaya. Bila ii yag kita amati maka percobaa ii merupaka percobaa multiomial. Umumya, bila suatu usaha dapat meghasilka k hasil yag mugki E, E,, E k dega peluag p, p,, p k, maka distribusi multiomial aka memberika peluag bahwa E terjadi sebayak x kali, E x kali,... E k x k kali dalam usaha bebas dega x + x + +x k =. Distribusi peluag seperti ii diyataka dega f(x, x,, x ; p, p,, p k, ). Jelas p + p + + p k = karea hasil tiap usaha haruslah salah satu dari k hasil yag mugki. Distribusi Multiomial Jika suatu usaha tertetu dapat meghasilka k macam hasi E, E,..., Ek dega peluag p, p,,pk, maka distribusi peluag acak X, X,, Xk yag meyataka bayakya kejadia E, E,..., Ek dalam usaha bebas adalah f(x, x,.., xk) dalam usaha bebas adalah: f(x,x,,xk;p,p pk,)= x, x,..., x k x x P P... P x k k dega x i k t k p i t da. Ii dapat dikerjaka dega cara sebayak! ( ) = X, X,, X k X!, X!,, X k! Karea tiap bagia salig terpisah da terjadi dega peluag yag sama, maka distribusi multiomial dapat diperoleh dega megalika peluag utuk tiap uruta tertetu dega bayakya sekata. Cotoh : 9

97 Bila dua dadu dilatuka 6 kali, berapakah peluag medapat jumlah 7 atau mucul kali, sepasag bilaga yag sama kali da pasaga laiya 3 kali? Jawab : Misalaka kejadia berikut meyataka E I : jumlah 7 atau mucul E : Jumlah bilaga yag sama mucul E 3 : Baik pasaga yag sama maupu jumlah 7 atau yag tidak mucul Peluag masig-masig kejadia di atas adalah Koi Koi (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) E= {(,6),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(6,),(5,6),(6,5)} E= {(,), (,), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 9

98 E3= {(,), (,3), (,4), (,5), (,), (,3), (,4), (,6), (3,), (3,), (3,5), (3,6), (4,), (4,), (4,5), (4,6), (5,), (5,3), (5,4), (6,), (6,3), (6,4)} p = 8 36 = 9 ; p = 6 36 = 6 ; p 3 = = 36 8 Nilai ii tidak berubah selama keeam usaha dilakuka. Dega megguaka distribusi multiomial dega x =, x =, dax 3 = 3, maka diperoleh peluag yag diyataka f (,,3; 9, 6, 8, 6) = ( 6,,3 ) ( 9 ) ( 6 ) ( 8 ) 3 LATIHAN SOAL = 6!!! 3! ( 9 ) ( 6 ) ( 8 ) 3 =,7. Jika Abi, Badu da Cici berpeluag sama medapat beasiswa, Hituglah distribusi peluag seragamya! Solusi : distribusi peluag seragamya adalah : f(x; 3) = 3 utuk x = Abi, Badu, Cici atau x =,,3(mahasiswa diomori). Jika kemasa Batu Baterai terdiri dari 4 batu baterai, maka bagaimaa distribusi peluag seragam cara meyusu batu baterai utuk batu baterai? Solusi : N! k C C4 495 ada 495 cara 4! 8! 93

99 f(x; k) = f(x; 495) = 495 utuk x =,,3,..., Diketahui suatu hasil produksi mempuyai peluag ¾ dalam suatu pegujia kekuata tertetu. Hituglah peluag bahwa tepat dari 4 hasil produksi yag diuji tidak aka rusak. Solusi : Misalka tiap pegujia bebas, jadi pegujia yag satu tidak mempegaruhi oleh pegujia yag berikutya. Dari soal diperoleh bahwa, p = 3/4, x =, da = 4. Jadi, peluag bahwa tepat da 4 hasil produksi tidak aka rusak adalah 3 b;4, Jika % dari baut-baut yag diproduksi oleh suatu mesi rusak, tetuka peluag bahwa dari 4 baut yag dipilih secara acak terdapat yag rusak: a. () b. () c. Kurag dari Solusi : (a) P(X = ) = b(; 4, (,)) = ( 4 ) (,) (,8) 3 =,496 (b) P(X = ) = b(; 4, (,)) = ( 4 ) (,) (,8) 4 =,496 (c) P(X < ) = P (X=) + P (X=) =,496 +,496 =, 89 94

100 5. Peluag seorag perwakila datag ke suatu koferesi di suatu kota megguaka pesawat, bus, mobil pribadi, da kereta berturut-turut adalah.4,.,.3, da.. Hitug peluag dari 9 perwakila yag datag 3 orag datag megguaka pesawat, 3 orag dega bus, orag dega mobil pribadi, da orag dega kereta. Solusi: Misalka Xi : bayakya perwakila yag datag megguaka trasportasi i, i=,,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, da kereta. 6. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, da 3 bola biru. Sebuah bola dipilih secara acak dari kotak, waraya dicatat, da kemudia bolaya dimasukka kembali kemudia bolaya dimasukka kembali. Tetuka peluag bahwa dari 6 bola yag diambil secara acak dega cara ii, 3 diataraya berwara merah, adalah putih, da biru. Solusi : Cara : (megguaka rumus distribusi multiomial) P(merah pada sembarag pegambila) = 5 P(putih pada sembarag pegambila) = 4 P(biru pada sembarag pegambila) = 3 = = 6 95

101 P (3 merah, putih, biru) = f (3,, ; 5, 4, 3, 6) = ( 6 3,, ) ( 5 )3 ( 4 ) ( 3 ) = Cara : Peluag terpilihya satu bola merah adalah 5, sehigga utuk 3 bola merah peluagya adalah ( 5 )3. Jadi, peluag utuk memilih 3 bola merah, bola putih, da bola biru adalah: ( 5 ) 3 ( 4 ) ( 3 ) Tetapai piliha yag sama dapat diperoleh dalam uruta yag lai (misalya putih dulu, baru merah), da bayakya cara berbeda adalah : C(6; 3,,) = 6! 3!!! Sehigga peluag yag dicari adalah : ( 5 3 ) ( 4 ) ( 3 ) 6! 3!!! =

102 BAB 7 DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK & DISTRIBUSI POISSON Distribusi Hipergeometrik Misalka sebuah populasi suatu barag sebayak N buah beda yag terdiri atas k buah barag yag baik da sisaya (N k) buah barag rusak. Kemudia diambil sebuah sampel acak berukura ( N) secara sekaligus, teryata dari sampel acak itu berisi x buah barag baik da sisaya ( x) buah barag rusak. Dalam hal ii, kita aka meghitug peluag bahwa dari sampel acak itu aka berisi x buah barag baik. Utuk meyelesaika persoala ii, perlu diperhatika hal-hal berikut :. Bayak susua yag mugki utuk medapatka x buah barag baik dari k buah barag baik ada ( k ) cara yag berbeda. x. Bayak susua yag mugki utuk medapatka ( x) buah barag N k rusak dari (N k) buah barag yag rusak ada ( ) cara yag berbeda. x 3. Bayak susua yag mugki utuk medapatka buah barag dari N buah barag ada ( N ) cara yag berbeda. 4. Gabuga pegambila seluruh barag baik atau barag rusak meghasilka ( k k ) (N x x ) cara. adalah: P(X = x) = Maka peluag bahwa sampel acak itu aka berisi x buah barag baik ( k k ) (N x x ) ( N ) Defiisi: 97

103 Adaika sebuah populasi berisika Neleme berhigga, keleme suksesda (N k)eleme gagal. Sampel berukura diambil secara acak dari populasitersebut. xmerepresetasika jumlah sukses dalam sampel. Peubah acak x disebutberdistribusi Hipergeometrik dega otasi h(n,, r) jika da haya jika fugsi peluagya berbetuk: h(x ; N,, k) = Teorema: ( k k ) (N x x ) ( N ; x =,,, 3,, ) Misalka distribusi hipergeometrik h (x; N,, k) maka μ = k N da σ = N N.. k N ( k N ) Bukti:. Berdasarka defiisi rataa diskrit, maka: E(X) = x x= ( k x )(N k x ) ( N ) (k )! ( N k x = k ) (x )! (k )! ( N ) x= = k (k x )(N k ( N ) x= x ) Ambillah y = x-, maka betuk di atas mejadi Karea E(X) = k (k y ) ( N k ( N ) y= y ) 98

104 ( N k ) (k ) ) = ((N ) y y Da ( N ) = N!! (N )! = N (N ) Maka E(X) = k N ( y= k y ) ((N ) (k ) y ) ( N ) Karea pejumlaha megataka jumlah semua peluag dalam percobaa hipergeometrik bila - beda dipilih secara acak dari N-, k- diataraya berama sukses. Berdasarka defiisi varia, maka: E[X(X )] = k(k )( ) N(N ) Berdasarka teorema : σ = E(X ) μ = E[X(X )] + μ μ = = k(k )( ) N(N ) k(n k)(n ) N (N ) + k N k N = N N k N ( k N ) 99

105 Bila relatif kecil dibadigka dega N, maka peluag pada setiap pegambila aka berubah kecil sekali. Sehigga praktis dapat dikataka bahwa kita berhadapa dega percobaa biomial, da kita dapat meghampiri distribusi hipergeometrik dega megguaka distribusi biomial p = k. N Rata-rata da variasiya dapat dicari dega rumus sebagai berikut : μ = p = k N σ = pq = k N ( k N ) Jika dibadigka dega di atas dega rumus teorema 3.3. kita aka melihat bahwa rata-rataya sama, sedagka variasiya berbeda sebesar faktor koreksi (N ) yag dapat diabaika bila relatif kecil dibadigka dega N. (N ) Distribusi hipergeometrik dapat diperluas utuk meagai kasus jika N beda dapat dikelompokka dalam k sel A, A,..., Ak dega a beda dalam sel pertama, a beda dalam sel kedua,..., ak beda ke sel ke-k. Sekarag igi diketahui peluag suatu ruag sampel ukura yag berisi x beda dari sel A, x beda dari sel A, xk beda dari sel Ak Meyataka peluag ii dega f(x, x,..., xk ; a, a,..., ak, N, ) utuk memperoleh rumus umum, perhatika bahwa jumlah seluruh sampel ukura yag dapat dibuat dari N masih tepat [ N ]. Ada [a x ] cara memilih x beda dari

106 sel A, da utuk setiap cara ii terdapat [ a x ] cara utuk memilih x beda dari sel A. Jadi utuk memilih x beda dari sel A da xbeda dari sel A dapat dilakuka dalam [ a x ] [ a x ] cara. Dega meeruska cara ii utuk memilih beda yag terdiri atas x dari A, x dari A,..., xk dari Ak da dapat dilakuka dalam [ a x ] [ a x ]... [ a k x k ] cara. berikut. Distribusi peluag yag diyataka sekarag dapat didefiisika sebagai Distribusi hipergeometrik peubah gada. Jika N beda dapat dikelompokka dalam k sel A, A,..., Ak masigmasig berisi a, a,..., ak beda, maka distribusi peluag peubah acak x, x,..., xk yag meyataka bayakya beda yag terambil dari A, A,..., Ak dalam suatu sampel acak ukura adalah f(x, x,..., xk ; a, a,..., ak, N, ) = (a x )(a x ) (a k x k ) dega ( N ) k k i= x = da i= a = N Distribusi Poisso Sejarah Distribusi Poisso Distribusi Poisso disebut juga distribusi peristiwa yag jarag terjadi, ditemuka oleh S.D. Poisso (78 84), seorag ahli matematika berkebagsaa Peracis. Distribusi Poisso termasuk distribusi teoritis yag memakai variabel radom diskrit.

107 Meurut Walpole (995), distribusi Poisso adalah distribusi peluag acak Poisso X, yag meyataka bayakya sukses yag terjadi dalam suatu selag waktu atau daerah tertetu. Defiisi Distribusi Poisso Distribusi Poisso adalah: Distribusi ilai-ilai bagi suatu variabel radom X (X diskrit), yaitu bayakya hasil percobaa yag terjadi dalam suatu iterval waktu tertetu atau di suatu daerah tertetu. Distribusi probabilitas diskrit yag meyataka peluag jumlah peristiwa yag terjadi pada periode waktu tertetu apabila rata-rata kejadia tersebut diketahui da dalam waktu yag salig bebas sejak kejadia terakhir. Eksperime yag meghasilka peubah acak X yag berilai umerik yaitu bayakya sukses selama selag waktu tertetu atau dalam daerah tertetu disebut Eksperime Poisso. Pajag selag tertetu dapat berupa semeit, sehari, semiggu, atau setahu. Eksperime Poisso memiliki karakteristik sebagai berikut. Ciri-Ciri Distribusi Poisso. Bayakya sukses yag terjadi dalam selag waktu atau daerah tertetu terpegaruh.. Peluag terjadiya satu kali sukses dalam setiap selag yag sempit sebadig dega lebar selag. 3. Jika A da B dua buah selag dimaa A irisa B kosog, maka bayakya sukses dalam A tidak tergatug (idepede) dega bayakya sukses dalam B.

108 Pejelasa megeai distribusi Poisso, baik dari pegertia, da jeisjeis, melahirka beberapa ciri yag dimiliki oleh distribusi Poisso sebagai berikut (Hassa,): ) Bayakya hasil percobaa yag terjadi dalam suatu iterval waktu atau suatu daerah tertetu, tidak bergatug pada bayakya hasil percobaa yag terjadi pada iterval waktu atau daerah lai yag terpisah. ) Probabilitas terjadiya hasil percobaa selama suatu iterval waktu yag sigkat atau dalam suatu daerah yag kecil, sebadig dega pajag iterval waktu atau besarya daerah tersebut da tidak bergatug pada bayakya hasil percobaa yag terjadi diluar iterval waktu atau daerah tersebut. 3) Probabilitas lebih dari satu hasil percobaa yag terjadi dalam iterval waktu yag sigkat atau dalam daerah yag kecil dapat diabaika. Selai itu diketahui pula dalam distribusi Poisso, probabilitas lebih dari satu hasil percobaa yag terjadi dalam iterval waktu yag sigkat atau dalam daerah yag kecil dapat diabaika. Pegguaa Distribusi Poisso Distribusi Poisso bayak diguaka dalam hal meghitug probabilitas terjadiya peristiwa meurut satua waktu, ruag atau isi, luas, pajag tertetu, seperti meghitug probabilitas dari: Bayakya pegguaa telepo per meit Bayakya mobil yag lewat selama dalam selag waktu tertetu di suatu ruas jala Bayakya bakteri dalam satu tetes air Bayakya kesalaha ketik per halama sebuah buku Bayakya kecelakaa mobil di jala tol selama periode waktu tertetu Defiisi 3

109 Misalka peubah acak X dikataka berdistribusi Poisso dega parameter λ ditulis X ~ p(λ). Jika X memiliki f.k.p. sebagai berikut: λ x e λ f(x) = { x!, x =,,,, utuk x yag lai e,788e λ = rata rata keberhasila = p x = bayak usur berhasil dalam sampel = jumlah atau ukura populasi p = probabilitas kelas sukses Teorema Jika X berdistribusi Poisso f(x) = { λ x e λ x!, x =,,,, utuk x yag lai Maka μ = λ da σ = λ Bukti: Aka ditujukka bahwa M x (t) = E(e tx ) M x (t) = e tx λx e λ x= x! M x (t) = e λ ( (λet ) x ) x! x= M x (t) = e λ e λet 4

110 M x (t) = e λet e λ M x (t) = e λ(et ) Jika X ~ p(λ) maka f.p.m. adalah M x (t) = e λ(et ) Akibatya, M (t) = (λe t )e λ(et ) Jika t = maka M () = λ = μ M (t) = (λe t )e λ(et ) + (λe t ) e λ(et ) Jika t = maka M (t) = λ + λ = E(X ) = σ M () μ = λ + λ λ = λ Jadi, Jika X berdistribusi Poisso f(x) = { λ x e λ x!, utuk x yag lai, x =,,, Maka μ = λ da σ = λterbukti Igat e x = ( x) = x +!! x e x = (x) = + x +!! x + = 5

111 (x + y) = ( k ) xk y k k= Rata-rata, Varias, da Simpaga Baku Distribusi Poisso. Rata-rata Utuk mecari ilai rata-rata pada distribusi Poisso diguaka rumus sebagai berikut (Hasa,) E(x) = μ = λ = p. Varias Utuk mecari ilai varias pada distribusi Poisso diguaka rumus sebagai berikut (Hasa,) E(x λ) = σ = p Kurva Distribusi Poisso 6

112 Soal da Pembahasa. Tumpuka 4 kompoe masig-masig dikataka dapat diterima bila isiya tidak lebih dari 3 yag cacat. Prosedur pearika cotoh tumpuka tersebut adalah memilih 5 kompoe secara acak da meolak tumpuka tersebut bila ditemuka suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat cacat ditemuka dalam cotoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruha tumpuka itu? Diketahui: N = 4, k = 3, = 5 da x = Jawab: Dega megguaka sebara hipergeometrik, didapat probabilitas peroleha cacat, yaitu: h( ; 4, 5, 3) = = ( 3 ) (4 3 5 ) ( 4 5 ) ( 3 ) (37 4 ) ( 4 5 ) = =,3. Sekelompok orag terdiri dari 5 orag da 3 orag diataraya lahir pada taggal 3 Desember. Bila secara acak dipilih 5 orag, berapakah peluag yag terpilih itu tidak lebih dari orag yag lahir pada taggal 3 Desember? Diketahui: N = 5, = 5, k = 3 da x (x =, ) Jawab: Dega megguaka sebara hipergeometrik, didapat probabilitas tidak lebih dari orag yag lahir pada taggal 3 Desember, yaitu : P(x ) = P(x = ) + P(x = ) 7

113 = ( 3 ) (5 3 5 ) ( ) ( 3 ) (5 3 5 ) ( 5 5 ) = ( 3 ) (47 5 ) ( 3 ( 5 + ) (47 4 ) 5 ) ( 5 5 ) = =,7398 +,555 =, Profesor Jo Hammer mempuyai kumpula 5 pertayaa piliha gada tetag distribusi probabilitas. 4 dari pertayaa tersebut adalah soal tetag distribusi hipergeometrik. Berapa probabilitas sekurag-kuragya dari kumpula pertayaa ii aka mucul soal hipergeometrik pada kuis di hari Sei yag terdiri dari 5 pertayaa? Diketahui: N = 5, = 5, k = 4 da x (x =,, 3, 4) Jawab: Dega megguaka sebara hipergeometrik, didapat probabilitas sekuragkuragya dari kumpula pertayaa ii aka mucul soal hipergeometrik, yaitu : P(x ) = P(x = ) + P(x = ) + P(x = 3) + P(x = 4) = ( 4 ) (5 4 5 ) ( 4 ( 5 + ) (5 4 5 ) 5 ) ( ) ( 4 3 ) ( ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( 5 5 ) = ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 5 + ) ( 3 ) ( 4 5 ) ( ) ( ) 5 ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( 5 5 ) 8

114 = = 3.3 = =, Jika 5 kartu diambil secara acak dari seperagkat kartu bridge, tetuka mea da variasiya dega meafsirka selag μ ± α. Diketahui: N = 5, = 5, k = 3 berdasarka teorema 3.3., maka μ = k N μ = (5)(3) 5 = 65 5 = 5 4 =,5 σ = N N.. k N ( k ) σ = ( ) (5) (3) ( ) = 47 (5) (3 5 5 ) ( ) 9

115 = (,956867)(5)(,5)(,75) =,864 Dega mearik akar maka σ =,93. Maka selag yag dimita adalah,5 ± (,93) atau dari -,6 sampai 3,. Dalil chebyshev meyataka bahwa bayak kartu hati yag diperoleh jika 5 kartu diambil secara acak tapa pegambila aka terletak atara -,6 da 3, dega peluag sekuragkuragya ¾. Jadi jika pegambila 5 kartu ii diulag-ulag maka ¾ ya aka megadug kurag dari 4 kartu hati. 5. Suatu paitia 5 orag aka dipilih secara acak dari 3 kimiawa da 5 fisikawa. Hituglah mea da variasiya! Jawab: Diketahui N = 8, =5, k=3, maka μ = () () + () + (3) = 5 56 E(x ) = 5 56 Sehigga σ = 5 56 [5 8 ] = Perusahaa listrik melaporka bahwa diatara 5 pemasag listrik yag baru, 4 megguaka sistem prabayar. Bila diatara pemasag baru tersebut diambil secara acak, berapa peluag tepat 3 orag yag megguaka sistem paskabayar?

116 Diketahui: N = 5, = Karea ukura populasi relatif besar jika dibadigka dega cotoh =, maka kita aka mecari peluag yag aka ditayaka dega megguaka distribusi biomial. Peluag orag megguaka sistem paskabayar adalah,, maka peluag tepat ada 3 orag yag megguaka sistem paskabayar diatara orag tersebut adalah h(3 ; 5,, ) b( 3;, 5 ) a x b ( x;, ) 5 =,879,6778 =,3 x b( x;, ) 5 7. Sebuah kapal memuat 6 peumpag, 3 orag diataraya berumur dibawah 7 tahu. Jika 8 orag diatara peumpag tersebut dikumpulka dalam suatu ruaga, berapa peluag tepat orag yag berusia dibawah 7 tahu? Diketahui: N = 6 = 8 Karea ukura populasi relatif besar jika dibadigka dega cotoh =8, maka kita aka mecari peluag yag aka ditayaka dega megguaka distribusi biomial. Peluag peumpag yag berumur dibawah 7 tahu adalah,, maka peluag tepat ada peumpag yag berumur dibawah 7 tahu diatara 8 orag cotoh tersebut adalah

117 h(; 6, 8, 3) b(; 8, 5 ) = ( x ) px q x = ( 8 ) ( 5 ) ( ) = 8!! 6! ( 5 ) ( ) = 8 ( 5 ) ( ) = =,936 Jadi, peluag terdapatya tepat peumpag yag berumur dibawah 7 tahu diatara 8 orag yag dikumpulka sebesar, Di dalam sebuah kotak terdapat 8 buah kelereg. diataraya berwara merah, 4 berwara biru, da berwara hijau. Jika Fai megambil 4 buah kelereg dari kotak tersebut, berapakah peluag didapatka kelereg berwara merah, kelereg berwara biru, da kelereg berwara hijau? Dega megguaka peluasa distribusi hipergeometrik, maka x = x = x3 =

118 a = a = 4 a3 = N = 8 = 4 Peluag yag dicari adalah f(,, ;, 4,, 8, 4) = ( )(4 )( ) ( 8 4 ) =! 4!!!! 3!!!! 8! 4!4! = 4 7 = 8 7 = Rata-rata bayakya partikel radioaktif yag melewati suatu perhituga selama milidetik dalam suatu percobaa dilaboratorium adalah empat. Berapakah peluag eam partikel melewati peghituga dalam milidetik tertetu? Diketahui λ = 4 da x = 6 Maka 3

119 f(x) = 46 e 6 =, !. Dua ratus peumpag telah memesa tiket utuk sebuah peerbaga luar egeri. Jika probabilitas peumpag yag telah mempuyai tiket tidak aka datag adalah.7 maka berapakah peluag ada 7 orag yag tidak datag. Diketahui: = p =.7 x = λ = p =.,7 =,4 P(x; λ) =,4 e,4! P(x; λ) =,47. Jika rata-rata kedataga kapal di suatu pelabuha adalah kapalsetiap jam, berapakah peluag dari kedataga 4 kapal dalam waktu 3 meit. Guaka proses Poisso! Diketahui: λ = kapal/ jam uit waktu = jam atau 6 meit, maka 3 meit =/ uit waktu x = 4 P(x; λ) = (λt)x e (λt) x! P(x; λ) = (. ( ))4 e (.( )) 4! P(x; λ) =,4 4

120 . Rata-rata bayakya permitaa sambuga telepo per meit di suatu setral telepo adalah buah. Kapasitas setral tersebut haya mampu melayai 5 permitaa per meit. Berapa peluagya dalam meit tertetu ada permitaa yag tidak dilayai? Jawab : Misalka X adalah bayakya permitaa per meit. Jadi X ~ p(λ) dega λ =. Dega demikia, p (ada permitaa yag tidak dilayai) P(x > 5) = P(X 5) 5 P(x > 5) = x e x= P(x > 5) =,953 P(x > 5) =,467 x! 5

121 BAB 8 BEBERAPA MODEL DISTRIBUSI KONTINU A. Distribusi Normal. Tujua Mahasiswa diharapka : a. Megetahui arti distribusi ormal da kurva ormal. b. Mejelaska fugsi kepadata peluag da fugsi pembagkit mome dari distribusi ormal. c. Meghitug peluag berdasarka distribusi ormal dega megguaka tabel.. Materi Distribusi ormal merupaka distribusi dari peubah acak kotiue yag palig bayak sekali dipakai sebagai pedekata yag baik dari distribusi laiya dega persyarata tertetu. Sifat-sifat distribusi ormal umum secara matematika dipelajari pertama kali oleh tiga orag ahli, yaitu:. Abraham de moivre ( ). Pierre laplace (749-87) 3. Karl gauss ( ) Abraham de moivre, seorag matematikawa dari iggris yag meemuka distribusi ormal pada tahu 733 sebagai hasil dari pedekata distribusi biomial da pegguaaya terhadap masalah dalam permaia yag bersifat utug-utuga. Kemudia laplace pada tahu 774 megeal distribusi ormal sebagai hasil dari beberapa kekelirua dalam astroomi. Gauss pada tahu 89 megguaka kurva ormal utuk meggambarka teori kekelirua pegukura meliputi perhituga orbit bitag dilagit. Sepajag abad ke 8 da ke 9, 6

122 beberapa upaya dibuat utuk meetapka model ormal sebagai dasar hukum utuk semua peubah acak kotiu. Distribusi ormal adalah distribusi yag berbetuk loceg, bel, simetris; simetrisya itu terhadap sumbuya yag melalui ilai rerataya, sedagka kurva ormal adalah kurva bagia atas dari distribusi ormal. Distribusi ormal merupaka distribusi peluag kotiu yag terpetig dalam bidag statistika, karea bayak diguaka didalam peelitia da pegukura yag berulag-ulag megeai baha yag sama. Peulisa otasi dari peubah acak X berdistribusi ormal umum adalah N(μ, σ ), artiya peubah acak X berdistribusi ormal dega rataa variasi σ. µ da Peubah acak X berdistribusi ormal dega rataa µ da variasi σ biasa juga ditulis sebagai : X ~ N(μ, σ ) Defiisi : Fugsi padat peubah acak χ mempuyai µ (rataa) da σ (variasi) dikatakaberdistribusi ormal ditulis χ berdistribusi N (µ, σ ) jika fugsi kepadata peluag (f.k.p) ya adalah f(x) = σ π е (x μ σ ), < < Atau (x; μ, σ) = σ π е (x μ σ ), < < Dega π = 3,45 da e =,78 Suatu peubah acak kotiu x yag berdistribusiya berbetuk loceg seperti gambar 4... disebut peubah acak ormal. Persamaa matematika distribusi 7

123 peluag peubah ormal kotiu tergatug pada dua parameter µ da σ, yaitu rataa da simpaga bakuya. Jadi fugsi padat x aka diyataka dega (x ; µ, σ). Dega megetahui μ da σ maka seluruh kurva ormal diketahui, sebagai cotoh jika jika μ = 5 da σ = 5, maka ordiat (x,5,5) dapat dega mudah dihitug utuk berbagai ilai x da kurvaya dapat digambarka. Berikut ii disajika kurva ormal berdasarka rataa da variasiya. x Gambar 4... kurva ormal Gambar 4... kurva ormal dega µ µ da = 8

124 = x Gambar kurva ormal dega µ =µ da σ < σ Pada gambar diatas, terlukis dua kurva ormal dega rataa yag sama tapi simpaga bakuya berlaia. Terlihat bawa kedua kurva memilki titik tegah yag sama pada sumbu datar, tapi kurva dega simpaga baku yag lebih besar tampak lebih redah da lebih melebar. Perhatika bahwa luas dibawah kurvapeluag harus sama dega sehigga bila kumpula data maki berbeda maka maki redah da melebar kurvaya. Gambar kurva ormal dega µ <µ da σ < σ Dega megamati gambar diatas serta memeriksa turua pertama da kedua dari (x; μ, σ) dapat diperoleh lima sifat kurva ormal berikut:. Modus, titik pada sumbu datar yag memberika maksimum kurva, terdapat pada x = μ 9

125 . Kurva melegkug terdapat garis tega yag melalui rataa µ. 3. Kurva mempuyai titik beloik pada x= µ ± σ Jika µ σ < x < μ + σ maka kurva cekug dari bawah. Jika x µ ± σ maka kurva cekug dari atas. 4. Kedua ujug kurva ormal medekati asimtot sebagai sumbu datar. Jika harga x bergerak mejauhi µ baik kekiri maupu kekaa. 5. Seluruh luas dibawah kurva da diatas sumbu datar sama dega. Berikut ii aka ditujukka bahwa luas dibawah kurva ormal diatas sumbu datar sama dega. Dega meujukka bahwa Bukti : f(x) dx = σ π е Misalka : у = x μ σ f(x) dx = (x μ σ ) dx y = x σ µ σ dy dx = σ σ dy=dx Sehigga f(x) dx = = (π) σ(π) e y dy e y σdy

126 Misalka: I = e y dy Aka dibuktika I sehigga I Pilihlah: Z x dz dx σ dz = dx sehigga: I = I I = e y = e dy (y+ z ) e z dy dz dz Dalam koordiat polar diketahui: y = r cos Ψ maka y = r cos Ψ z = r si y Ψ maka z = r si Ψ srhigga diperoleh: y + z = r cos Ψ + r si Ψ = r (cos Ψ + r si Ψ)

127 = r [cos Ψ + r si Ψ = ]= r Kita substitusika persamaa di atas maka diperoleh : π r I = e π I = r dr dψ dψ I = π I = π Sehigga f(x)dx = = (π) (π) e y e y dy dy = (π). I = (π) (π) = Jadi diperoleh: f(x)dx = (Terbukti)

128 Parameter Distribusi Normal Umum Rataa, varias da fugsi pembagkit mome dari distribusi ormal umum dirumuska sbb:. E(X) = μ. Var (X) =σ 3. M X (t) = exp ( μt+σ t ) ; t R Bukti:. Berdasarka defiisi rataa kotiu, maka: E(X) = = x x f(x)dx σ π е (x μ σ ) dx Misalya z = x μ, maka x = σ z + μ Batas-batas : σ Utuk x =, maka z = Utuk x =, maka z = dx = σ dz E(X) = σ π = σ π (σ z + μ) е z σ dz z е z dz + μ π е z Kita aka meguraika kedua itegral secara satu persatu. Utuk : σ π z е z dz = Karea g(z) = z exp ( z )merupaka fugsi gajil maka hasil itegralya sama dega ol. dz 3

129 Kemudia utuk: μ π е z atas μ π Sehigga : E(X) = + μ е z dz = μ π [ π] dz = π sesuai dega pembuktia yag telah dikerjaka di е z E(X) = μ (terbukti) dz = μ. Berdasarka defiisi varias kotiu maka: Var (X) = E(X μ) = (X μ) f(x)dx = (X μ) π σ exp [ (x σ μ) ] dx Misalya : y = ( x μ ), maka (x μ) = σ y Batas-batas : σ dx = σ dy Utuk x =, maka y = Utuk x =, maka y = x = σ y + μ Var (X) = σ y exp [ σ π y ] σ dy = σ [ π y exp ( y ) dy] Misalya : t = y, maka y = t, =>y = t 4

130 dy = dt y, =>dy = dt t y dy = dt Var (x) = σ t exp( t). π t dt = σ π t exp( t) dt t = σ π = σ π t exp( t) t dt t exp( t) dt = σ π t exp( t) dt = σ π t exp( t) dt Berdasarka defeisis fugsi gamma : τ () = x exp( x)dx Maka dari defiisi tersebut dapat kita ketahui bahwa t exp( t) dt = τ ( 3 ) = σ π τ (3 ) Berdasarka salah satu sifat fugsi gamma : τ (p + ) = p τ (p) Berarti τ ( 3 ) = τ ( + ) = τ ( ) Maka = σ τ π (), =>τ () = π 5

131 = σ π π = σ Var (X) = σ (terbukti) 3. Berdasarka defiisi fugsi pembagkit mome kotiu, maka : = exp(tx) = = = = = = π σ π σ π σ π σ π σ π σ M x (t) = exp(tx) f(x) dx π σ exp [ (x σ μ) ] dx exp(tx) exp [ (x σ μ) ] dx exp [tx (x μ σ ) ] dx exp [ σ tx ((x μ) )] dx σ exp [ μx+μ σ tx (x )] dx σ exp [ +μ (μ+σ t)x (x )] dx σ exp [ σ (x (μ + σ t)x + μ )] dx Setelah dilakuka pegkuadrata sempura didapatlah : = σ t) )] dx = (μ + σ t) )dx (μ + σ t) ) π σ π σ exp [ (( x (μ + σ σ t) + μ (μ + exp ( ( x (μ + σ σ t) ). exp σ (μ = exp( σ (μ (μ + σ t). =exp( σ (μ μ μσ t σ 4 t ). (μ + σ t) )dx π σ π σ exp σ ( x exp σ (x 6

132 Karea = exp (μt + σ t ). π σ π σ exp σ (x (μ + σ t) )dx exp σ (x (μ + σ t) )dx merupaka itegral dari fugsi desitas distribusi ormal umum dega rataa (μ + σ t) da varias σ dega batas-batas itegral sampai yag ilaiya sama dega. Sehigga M x (t) = exp (μ t + σ t ) Maka terbukti bahwa : M x (t) = exp (μ t + σ t ) t R Soal da Kuci. Fugsi padat peubah acak χ mempuyai µ (rataa) da σ (variasi) dikatakaberdistribusi ormal ditulis χ berdistribusi N (µ, σ ) jika fugsi kepadata peluag (f.k.p) ya adalah a. f(x)= b. f(x)= c. f(x)= d. f(x)= e. f(x)= Jawab : D f(x)= σ π e ( σ σ π e (x σ μ x μ ), < x < ), < x < σ π e (μ x σ ), < x < σ π e (x μ σ ), < x < π e (x μ σ ), < x < σ π e (x μ σ ), < x < 7

133 . Diketahui peubah acak x berdistribusi ormal dega μ =5 da σ =. Fugsi distribusi ormalya adalah. a. f(x)= b. f(x)= c. f(x)= d. f(x)= e. f(x)= π e (x 5 ), < x < π e (x 5 ), < x < π e (x 5 ), < x < π e 3 (x 5 ), < x < π e (x 5 ), < x < Jawab : A Diketahui :μ =5 σ = f(x)= σ π e (x μ σ ), < x < sehiggadiperoleh f(x)= π e (x 5 ), < x < 3. Perhatika gambar berikut : Peryataa yag sesuai dega gambar di atas adalah 8

134 a. µ= µ da = b. µ µ da = c. µ µ da > d. µ µ > da = e. µ =µ da > Jawab : B 4. Ada prosedur meyiapka pesawat pemburu utuk take off. Cara pertama memerluka waktu rata-rata 4 meit dega stadar deviasi 5 meit sedagka cara kedua memerluka rata-rata 4 meit dega stadar deviasi meit dega aggapa distribusi ormal, maka jika waktu yag tersedia haya meit. Cara maa yag lebih baik? Jawaba: B Pembahasa : Diketahui : a. Prosedur da b. Prosedur c. Prosedur d. Tidak ada prosedur yag baik μ = 4; σ = 5 x N (4;5) μ = 4; σ = 4x N (4;4) a. P ( X ) = P (P ( x μ σ = P (Z<,8) =,5,88 =,9 b. P ( X ) = P (P ( x μ σ = P (Z< ) < 4 ) 5 < 4 ) 9

135 =,5,477 =,8 Jadi, cara yag terbaik meurut perhituga adalah prosedur pertama karea peluagya lebih besar. 5. Perhatika gambar berikut : Peryataa yag sesuai dega gambar di atas adalah a. µ= µ da = b. µ µ da = c. µ µ da > d. µ µ > da = e. µ =µ da < Jawab : E 6. Jika peubah acak X bedistribusi umum dega rataa da varias,6. Maka P(X >,3) adalah a.,5 b.,75 c.,3 d.,734 e.,66 Jawaba : E 3

136 Peyelesaia: Dalam hal ii μ = daσ =,4 X μ P(X >,3) = P ( >,3 σ,4 ) = P(Z >,75) Kurva berdistribusi ormal baku utuk Z =,75 bisa dilihat berikut ii,,75 Daerah yag dicari mulai dari z=,75 sampai z= Jadi P(X>,3) =,5 ( daerah dari Z = sampai Z =,75 ) =,5,734 P(X>,3) =,66 3

137 BAB 9 DISTRIBUSI NORMAL A. Meghitug Luas di Bawah Kurva Normal Luas daerah yag diarsir pada kurva ormal tersebut diatarakedua koordiat x = x da x = x sama dega peluag peubah X. Utuk medapatka ilai x = x da x = x maka P(x X x ) x x e x dx Diyataka oleh luas daerah yag diarsir X x Luas kurva ormal sagat tergatug pada rataa da simpaga ormal da simpaga baku distribusi. Jika pegamata dega setiap peubah acak ormal X dapat ditrasformasika mejadi himpua pegamata baru suatu peubah acak ormal Z dega rataa ol da variasi. Trasformasiya dapat dilakuka dega: Z X Z = agka baku / stadar 3

138 X = ilai data μ = rata-rata populasi σ = stadar deviasi / simpaga baku populasi Jika X berharga atara x = x da x = x maka peubah acak Z adalah x Z da Z x Jadi P(x X x ) x x e x dx P z x x e z Z z dz z z ( z;,) dz Dega z terlihat merupaka suatu peubah acak ormal dega rataa ol da variasi. Distribusi Normal Baku Defiisi: Distribusi peubah acak ormal dega rataa ol da variasi disebut distribusi ormal baku. f(x) = exp ( π x ) ; < x < 33

139 x x x z z Bayakya tabel luas kurva ormal yag diperluka telah diperkecil mejadi satu, yaitu distribusi ormal baku. Setelah kita memperoleh distribusi ormal baku maka kita mecari luas daerah dibwah kurva ormal baku tersebut. Caraya adalah sebagai berikut :. Hitug z higga desimal. Gambarka kurvaya 3. Letaka harga z pada gambar datar, lalu tarik garis vertikal higga memotog kurva 4. Luas daerah yag tertera dalam daftar, adalah luas daerah garis atara garis ii dega garis tegak titik ol. 5. Dalam daftar distribusi ormal baku, cari harga z pada kolom palig kiri haya desimal, da desimal keduaya dicari pada baris palig atas. 6. Dari z dikolom kiri, maju kekaa da dari z pada baris ke atas turu ke bawah, maka didapat bilaga yag merupaka luas daerah yag dicari. Bilaga yag didapat, ditulis dalam betuk,xxxx (4 desimal) 34

140 Karea luas seluruh kurva adalah, da kurva simetris di m=, maka luas dari garis tegak pada titik ol ke kiri ataupu ke kaa adalah,5. Distribusi Biomial yag Medektati Distribusi Normal Utuk distribusi biomial yag cukup besar da (-p) > 5, maka dapat diguaka distribusi ormal dega µ = p da da stadar deviasi σ = pq Sehigga, z = x p pq Utuk megubah pedekata dari biomial ke ormal diperluka faktor koreksi yag besarya,5.selai syarat biomial terpeuhi, yaitu (a) haya terdapat dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat idepede, (c) besarya probabilitas sukses da gagal sama setiap percobaa, da (d) data merupaka hasil perhituga. Faktor koreksi ii diperluka utuk metrasformasika dari biomial meuju ormal yag merupaka variabel acak kotiu Faktor Koreksi Kotiuitas : Nilai koreksi kotiuitas sebesar,5 yag dikuragka da ditambahka pada data yag diamati Cotoh soal :. Ditetuka distribusi ormal baku, carilah luas dibawah kurva yag terletak disebelah kaa z =,5 Jawab :,5z 35

141 Pada tabel luas legkuga ormal stadar dari ke z z=,5 yaitu P(<Z<,5) =,4537, sehigga luas di bawah kurva yag terletak disebelah kaa z =,5 adalah P(Z>,5) = P(Z> ) P(<Z<,5) =,5 -,4537 =,463. Ditetuka distribusi ormal baku. Carilah luas dibawah kurva yag terletak Atara z= -,97 da z=,8 jawab : -,97,8 z Pada tabel luas legkuga ormal stadar dari ke z z= -,97 yaitu P (-,97<Z<)=,4756 da z=,8 yaitu P(<Z<,8)=,88 Luas kurva yag terletak Atara z= -,97 da z=,8 adalah P(-,97<Z<,8) = P (-,97<Z<) + P(<Z<,8) =,4756 +,88 =, Ditetuka distribusi ormal baku, carilah ilai k sehigga P( Z> k )=,349 Jawab : 36

142 k z Pada gambar terlihat ilai z = k membuat luas,349 ke sebelah kaa, sehigga luas atara dega k adalah P(<Z<k ) = P (Z>) P(Z>k) =,5,349 =,59 Sehigga dari tabel luas di bawah kurva ormal stadar dari ke z, ilai k adalah,4 4. Ditetuka distribusi ormal baku, carilah ilai k sehigga P( k<z< -,5) =,45 Jawab : k -,5 z Pada tabel luas dibawah legkuga ormal stadar dari ke z, ilai z= -,5 yaitu P(-,5< Z< )=,596, sehigga 37

143 P(k<Z<-,5) = P( k <Z< ) P (-,5<Z<),45 = P( k <Z< ) -,596 P( k <Z< ) =,45 +,596 =,48 Pada tabel luas dibawah legkuga ormal stadar dari ke z, ilai k adalah -, 5. Diketahui suatu distribusi ormal dega 5 da. Tetukalah peluag bahwa X medapat ilai atara 4 da 7. Jawab : Diketahui : 5 da Nilai z yag berpadaa dega x= 4 da x= 7 adalah z = x μ σ 4 5 z = =,9 da z = x μ σ 7 5 z = = Jadi P (4<X<7) = P (-,9<Z<) Pada tabel luas dibawah legkuga ormal stadar dari ke z, ilai z= -,9 yaitu P(-,9<Z<) =,359 da z= yaitu P(<Z<) =,477, sehigga P (-,9<Z<) = P(-,9<Z<) + P(<Z<) =,359 +,477 =,793 38

144 -,9 z B. Aplikasi Distribusi Normal Bayak masalah yag dapat diselesaika dega megguaka distribusi ormal. Berikut ii cotoh pegguaa distribusi ormal dalam peyelesaia soal-soal. Cotoh :. Suatu Toko agar-agar mejual agarya per-loyag seharga Rp.75.Jika berat agar-agar tersebut berdistribusi ormal dega simpaga baku Rp.5, peluag produk tersebut dapat dijual lebih dari Rp. adalah? Jawab : Dik : μ = 75, σ = 5, da x = Dit : P( X > ) Nilai z yag berpadaa dega x= adalah z = 75 5 = P( X > ) = P(Z>) P(Z>) = P(Z>) P(<Z<) =,5,477 =,8 39

145 z Jadi peluag agar-agar tersebut dapat dijual lebih dari Rp. adalah sebesar,8. Nilai murid TK Gembira Riag memiliki ilai rata-rata 75,ilai tersebut berdistribusi ormal da memiliki simpaga baku 5,berapa jumlah persetase murid TK yag medapat ilai lebih dari 7? Jawab: Dik : μ = 75, σ = 5, x= 7 Dit : persetase P(X>7) Nilai z yag berpadaa dega x= 7 adalah z = =,3333,33 Jadi P(X>7) = P (Z>-,33) P (Z>-,33) = P(Z>) + P(-,33<Z<) =,5 +,93 =,693 -,33 z Sehigga, % P ( x > 7 ) =,693 X = 6,93 % 4

146 Jadi,jumlah persetase murid TK Riag Gembira yag medapat ilai lebih dari 7 adalah sebesar 6,93 % 3. Dalam suatu ujia metematika ilai rata-rata adalah 8 dega simpaga baku 6.9. Semua mahasiswa yag berilai dari 88 sampai dega 94 medapat ilai B. Bila ilai berdistribusi ormal da delapa mahasiswa medapat ilai B. Berapa orag yag megikuti ujia tersebut? Jawab : Dik : x= 88, x=94, μ = 8, σ = 6,9 Dit : jumlah mahasiswa yag megikuti ujia z = z = , ,9 =,87 =,74 Jadi, P(,87 < Z <,74) P(,87 < Z <,74) = P(<Z<,74) - P(,87<Z<) =,459 -,378 =,53,87,74 z (,87 < Z <,74) x jumlah mahasiswa= 8 mahasiswa, sehigga jumlah mahasiswa adalah Jumlah mahasiswa= 8,53 = 5,87 5 mahasiswa 4

147 Jadi jumlah mahasiswa yag megikuti ujia adalah mahasiswa 4. Tiggi mahasiswa berdistribusi ormal dega rata-rata 74.5 cm da simpaga baku 6.9 cm. Berapa bayak mahasiswa dapat diharapka, yag tiggiya a) Kurag dari 6. cm b) Atara da termasuk 7.5 da 8 cm c) Sama dega 75. cm d) Lebih besar atau sama dega 88 cm jawab : a) Kurag dari 6. cm z = 6 74,5 6,9 =, P(Z<-,) = P(Z<) P(-,<Z<) =,5,48 =,79 Jumlah mahasiswa =,79 x = 7,9 8 mahasiswa b) Atara da termasuk 7.5 da 8 cm z = z = 7,5 7,5 6,9 8 74,5 6,9 =,43 =,9 P(-,43<Z<,9) = P(-,43<Z<)+ P(<Z<,9) =,664 +,36 =,585 4

148 -,43,9z Jumlah mahasiswa =,585 x = 58 mahasiswa c) sama dega 75 tidak dapat dihitug d) lebih besar atau sama dega 88 z = 88 74,5 6,9 =,96 P(Z>,96) = P(Z>) P( <Z<,96) =,5-,475 =,5,96 z Jumlah mahasiswa =,5 x = 5 mahasiswa 5. IQ 6 pelamar ke suatu pergurua tiggi berdistribusi ormal dega rata-rata 5 da simpaga baku. Berapa pelamar yag aka ditolak, jika pergurua tiggi tersebut haya meerima IQ lebih besar dari? Jawab : 43

149 Dik : jumlah pelamar 6 μ = 5; σ = ; x = Dit : jumlah pelamar yag ditolak z = 5 =,4 P(Z< -,4) = P(Z<) P(-,4<Z<) =,5,68 =,337 Jumlah pelamar yag ditolak =,337 x 6 = pelamar 6. Seorag pedagag buah setiap hari membeli 3 kg buah di Pasar Iduk Kramat Jati. Probabilitas buah tersebut laku dijual adalah 8 % da % kemugkia tidak laku da busuk. Berapa probabilitas buah sebayak 5 kg laku dijual da tidak busuk? Jawab: = 3, probabilitas laku, p =,8 q =, µ = p = 3 x,8 = 4 pq = 3 x,8 x, = 6,93 X = 5 kg da dikuragi faktor koreksi,5 sehigga X = 49,5 Z = 49,5 4 =,37 6,93 44

150 Dari tabel diperoleh,447 Jadi, probabilitas sama dega luas kurva P(z <,37) = P(Z < ) + P( < Z <,37) =,5 +,447 =,947 Jadi harapa buah laku terjual sebayak 5 kg adalah,947 x % = 9,47% 45

151 BAB DISTRIBUSI GAMMA, EKSPONENSIAL, DAN CHI-SQUARE TUJUAN PEMBELAJARAN Adapu tujua dari mempelajari materi ii adalah sebagai berikut:. Megetahui defiisi-defiisi terkait pegaplikasia distribusi gamma, ekspoesial, da khi-kuadrat.. Megetahui teorema-teorema terkait pegaplikasia distribusi gamma, ekspoesial, da khi-kuadrat. 3. Megetahui cara meyelesaika soal tetag distribusi gamma, ekspoesial, da khi-kuadrat. DISTRIBUSI GAMMA Distribusi Gamma merupaka turua dari distribusi Poisso, diguaka utuk megkali peubah acak o egatif. Distribusi Gamma memaika pera yag petig dalam teori atria da teori keadala (reliabilitas). Jarak atara waktu tiba difasilitasi pelayaa (misalya Bak da Loket tiket kereta api). Defiisi Fugsi Gamma didefiisika sebagai: Γ(α) = x α e x dx, utuk α > Jika di itegralka megguaka itegral parsial dega permisala u = x α da dv = e x dx du = (α )x α dx v = e x = (α )x α dx 46

152 maka diperoleh, Γ(α) = lim( e x x α b ( e x (α )x α )) dx b~ b = lim( e x x α b ) + lim (e x (α )x α ) dx b~ b = lim( e b b α ) + (α ) lim (e x (α )x α ) dx b~ b = + (α ) (e x x α ) dx = (α ) (e x x α ) dx Utuk α > yag meghasilka rumus berulag: b Γ(α) = (α )Γ(α ) Dega memakai rumus berulag berkali-kali diperoleh: b Γ(α) = (α )(α )Γ(α ), Γ(α) = (α )(α )(α 3)Γ(α 3), Da seterusya. Perhatika jika α = dega bilaga bulat positif, maka Utuk α =, Γ(α) = (α )(α )(α 3) (3)()()Γ() Γ() = x e x dx = e x dx = e dx = 47

153 Γ() = meujukka bahwa Γ() = =! Sehigga, Γ() = ( )! Defiisi Peubah acak kotiu X berdistribusi Gamma, dega parameter α da β jika fugsi padatya berbetuk: x f(x) = { β α Γ(α) xα e β, x >, utuk x yag laiya Γ(α) >, dimaa α >, β >, da Sifat fugsi Gamma : 4. (p + ) = p (p) 5. (p + ) = p!, utuk p bilaga bulat positif 6. ( ) = π DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Pada saat α =, distribusi gamma megambil suatu betuk khusus yag dikeal sebagai distribusi ekspoesial. Defiisi : Peubah acak kotiu X berdistribusi ekspoesial dega parameter β, jika fugsi padatya berbetuk: x f(x) = { β e β, x >, β >, utuk x yag laiya Dega E(x) = β da var(x) = β 48

154 Cotoh : Misalya peubah acak Y brdistribusi ekspoesial dega parameter β =. Hituglah peluag bahwa Y berilai lebih dari. Jawaba : Fugsi desitas dari Y adalah : f(y) = ( ) e y ; y > P(Y > ) = P(Y ) = e y = ; utuk y yag lai dy = (. e y ] ) y= = ( e + ) = (,6) =,639 =, P(Y > ) =,369 Jadi, peluag bahwa Y berilai lebih dari adalah P(Y > ) =,369 Hubuga distribusi Poisso, Ekspoesial, da Gamma 49

155 Pada suatu kejadia yag megikuti proses Poisso, waktu atar kejadia (atau waktu kejadia pertamaatau ke- dari kejadia terakhir, karea sifatya yag memoryless) tersebut aka berdistribusi ekspoesial. Sedagka waktu sampai terjadiya kejadia ke-α aka berdistribusi gamma. Teorema 4.4.: Jika X berdistribusi Γ(α, β), maka f.p.m adalah: M(t) = ( Bt) α ; t < β Bukti: M(t) = E(e tx ) = e tx = x β α Γ(α) xα e β dx β α Γ(α) xα e x( βt) β dx Misalka : y = x( βt), maka β x = dx = βy βt β βt dy 5

156 Akibatya, M(t) = β α Γ(α) ( βy α βt ) e y β ( βt ) dy = β α Γ(α) ( βy α βt ) ( βy βt ) α = β α Γ(α) ( β βt ) y α β ( βt ) α = β α Γ(α) ( β βt ) y α y e y α β = ( βt ) β α Γ(α) yα e y dy e y β ( βt ) dy dy y e y β ( βt ) dy Berdasarka defiisi fugsi Gamma Γ(α) = α β M(t) = ( βt ) β α Γ(α) Γ(α) β α = ( ( βt) α) β α x α e x dx, maka: = ( βt) α = ( βt) α, t < β Jadi, terbukti bahwa jika X berdistribusi Γ(α, β), maka f.p.m adalah: 5

157 M(t) = ( Bt) α ; t < β Teorema 4.4. Jika X berdistribusi Gamma dega parameter α da β jika fugsi padatya berbetuk x F(x) = { β α Γ(α) xα e β, x >, utuk x yag laiya α > da β >, maka μ = αβ da σ = αβ Bukti : μ = E(x) = β α Γ(α) xα e y dy Misalka : y = x β Sehigga μ = β Γ(α) xα e y dy = = βγ(α + ) Γ(α) β((α ) + )! (α )! = β(α)! (α )! = βα(α )! (α )! = αβ 5

158 Utuk memperoleh variasi distribusi gamma, Sehigga, E(X ) = β Γ(α + ) Γ(α) = β ((α ) + )! (α )! = β (α + )! (α )! = β (α + )α(α )! (α )! = (α + )αβ σ = E(X ) μ = (α + )αβ (αβ) = α β + αβ α β = αβ Sehigga, terbukti bahwa rataa da variasi distribusi gamma adalah μ = αβ da σ = αβ DISTRIBUSI KHI-KUADRAT (CHI-SQUARE) Hal khusus yag amat petig dari distribusi gamma diperoleh dega megambil α = v da β =, utuk v bilaga bulat positif. Hasilya disebut distribusi Chi-Kuadrat. Distribusi mempuyai parameter tuggal v disebut derajat kebebasa. 53

159 Kosep peluag (probability) serig dikaitka dega distribusi variabel yag ditelaah dalam suatu populasi tertetu. Abraham Demoivre ( ) megembagka teori galat atau kekelirua (theory of error). Pada tahu 757 Thomas Simpso meyimpulka bahwa terdapat suatu distribusi yag berlajut (cotiuous distributio) dari suatu variabel dalam suatu frekuesi yag cukup bayak. Pierre Simo de Laplace (749-87) megembagka kosep Demoivre da Simpso ii lebih lajut da meemuka distribusi ormal. Hal tersebut merupaka sebuah kosep yag mugki palig umum da palig bayak diperguaka dalam aalisis Statistika (teori peluag). Tekik kuadrat terkecil (least squares) simpaga baku da galat baku utuk rata-rata (the stadard error of the mea) dikembagka Karl Friedrich Gauss ( ). Pearso melajutka kosep-kosep Galto da megembagka kosep regresi, korelasi, distribusi chi-kuadrat da aalisis statistika utuk data kualitatif di sampig meulis buku The Grammar of Siece sebuah karya klasik dalam filsafat ilmu. William Searly Gosset, yag terkeal dega ama samara Studet, megembagka kosep tetag pegambila cotoh. Desai eksperime dikembagka oleh Roald Alylmer Fisher (89-96) di sampig aalisis varias da kovarias, distribusi-z, distribusi-t, uji sigifika da teori tetag perkiraa (theory of estimatio). Tekik kuadrat terkecil merupaka salah satu estimasi dalam aalisis regresi dega memperkecil sum square error. Metode tersebut terus megalami peyempuraa oleh metode-metode laib seirig perkembaga di berbagai bidag. Aalisis regresi adalah aalisis utuk megetahui hubuga variabel respo dega prediktor da membetuk hubuga tersebut ke dalam suatu model matematis. Itiya bila dalam suatu eksperime terdapat dua hasil keluara (misal pelempara koi), kita bisa megguaka distribusi ormal. Namu jika lebih dari, maka dega megguaka Distribusi Chi-Square. 54

160 Defiisi: Peubah acak kotiu x berdistribusi Chi-Kuadrat, dega derajat kebebasa v, bila fugsi padatya diberika oleh x v F(x) = { v Γ ( v e x, x > ), utuk x yag lai Dega v bilaga bulat positif. Distribusi Chi-Kuadrat memegag peraa petig dalam statistika iferesi. Karea distribusi chi-kuadrat merupaka hal khusus dari gamma, dega megambil α = v da β =. Distribusi Khi-Kuadrat diotasika dega lambag X~x (v) yg dibaca peuabah acak X berdistribusi khi-kuadrat. Aka ditujukka bahwa fugsi pembagkit momeya adalah M(t) = ( t) v ; t < Bukti: M(t) = E(e tx ) ~ = e tx f(x) dx ~ = e tx x v v Γ ( v e x dx ) = ~ v Γ ( v ) xv e (t )x dx 55

161 ~ = x v v Γ ( v e x( t) dx ( ) ) Misalya y = x ( y t) x = y = t t dx = t dy Sekarag x da dx didistribusika pada pers (*) diperoleh M(t) = = ~ ~ ( y v Γ ( v ) t ) v ( t ) e y dy ( y v v Γ ( v ) t ) y ( t ) ( t ) e y dy = ~ ( y v Γ ( v ) t ) v y e y dy = v Γ ( v ) ~ v ( t) v y v y e y dy = v Γ ( v ). v ( t) v ~ y v e y dy = y v ( t) v Γ ( v e y dy ) Berdasarka defiisi fugsi gamma Γ(α) = ~ x α e x dx, maka diperoleh 56

162 M(t) = ( t) v Γ ( v ) Γ ( v ) = ( t) v = ( t) v Dega meyelesaika itegral tersebut diperoleh M(t) = ( t) v Utuk memperoleh rataaya M (t) = v ( t) v ( ) = v( t) v Jika t = maka diperoleh M () = v() v = v Jadi μ = v Variasiya (σ ) M"(t) = ( v v ) v( t). ( ) = v + v( t) v M"() = v + v( ) v = v + v Jadi σ = M (t) M (t) = v + v v = v Cotoh: 57

163 Misalka x berdistribusi χ (). Hitug: a. P(3,5 x,5) b. Harga K sehigga P(x > K) =,5 Jawab:,5 a. P(3,5 x,5) = f(x) dx 3,5 =,5,5 = f(x) dx T(5) 5 x4 e x Berdasarka tabel B diperoleh bahwa: 3,5 f(x) dx dx 3,5 T(5) 5 x4 e x dx P(x,5) P(x 3,5) =,975,5 =,95 (lihat tabel) b. P(x > K) = P(x K) =,5 =,95 Jadi P(x K) =,95 Berdasarka Tabel, diperoleh harga yag memeuhi adalah K = 8,4 58

164 Soal Latiha. Misalya peubah acak X berdistribusi gamma dega parameter α = da β = 3. Hitug peluag bahwa X berharga lebih dari 4. Jawaba: Fugsi desitas dari X berbetuk: f(x) = ( x 9 ) e x 3 ; x > = ; x yag lai Jadi: P(X > 4) = x. 9 e x 3 4 dx = 9 lim x x. e 3 dx b 9 Itegral di atas diselesaika dega megguaka itegral parsial. Misalya: u = x, maka du = dx dv = e x 3dx, maka v = 3. e x 3 P(X > 4) = 9 lim b x b ( 3x. e 3] x=4 = 9 lim x ( 3x. e b b 3] x=4 b + 3 e x 3 4 b dx) 9. e x 3] ) dx x=4 = 9 lim b ( 3b. e 3 +. e e b e 4 3) b = 9 [ lim b b ( 3b. e 3) +. e 4 3 lim = ( 9 ) ( +. e 4 3 ) (9. e b b 3)] = 9. e 4 3 =.65. Misalya peubah acak Y brdistribusi ekspoesial dega parameter β = 3. Hituglah peluag bahwa Y berilai lebih dari. 59

165 Jawaba : Fugsi desitas dari Y adalah : f(y) = ( 3 ) e y 3 ; y > = ; utuk y yag lai P(Y > ) = P(Y ) = 3 e y 3 dy = 3 ( 3. e y 3] ) y= = + (e 3 ) P(Y > ) = e 3 =,534 Jadi, peluag bahwa Y berilai lebih dari adalah P(Y > ) =, Jika peubah acak X berdistribusi chi-kuadrat dega derajat kebebasa v = 4, maka tetuka fugsi pembagkit mome dari y = ( X ) Jawaba: FPM dari X berbetuk: M x (t) = ( t) ; t < Berdasarka defiisi pembagkit mome, maka fugsi pembagkit mome dari Y adalah: M Y (t) = E(e ty ) 6

166 = E (e t[(x ) ] ) = E(e tx e t ) = e t E (e tx ) = e t. M x ( t ) = e t. [ ( t )] e t M Y (t) = ( t) 4. Misalya peubah acak X berdistribusi chi-kuadrat dega derajat kebebasa v =. Hitug P(X > 4,865) da P(3,47 X,48). Jawaba: a. P(X > 4,865) = P(X 4,865) = F(4,865) Berdasarka tabel distribusi chi-kuadrat dega derajat kebebasa v =, diperoleh F(4,865) =,. Jadi: P(X > 4,865) = P(X 4,865) =, =,9 b. P(3,47 X,48) = P(X,48) P(X 3,47) = F(,48) F(3,47) Berdasarka tabel distribusi chi-kuadrat dega derajat kebebasa v =, diperoleh F(,48) =,975 da F(3,47) =,5 Jadi: P(3,47 X,48) = P(X,48) P(X 3,47) =,975,5 =,95 6

167 BAB TRANSFORMASI PEUBAH A. Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fugsi yag megaitka suatu bilaga real pada setiap usure dalam ruag sampel. Peubah acak biasaya diyataka dega huruf besar, misalya X, sedagka ilaiya aka diyataka dega huruf kecil padaaya, misalya x. Peubah acak ada, yaitu peubah acak diskrit peubah acak kotiu.. Peubah Acak Diskrit Jika suatu ruag sampel megadug titik yag berhigga bayakya atau sederetaaggota yag bayakya sebayak bilaga bulat, maka ruag sampel itu disebut ruag sampel diskrit.dega kata lai peubah acak diskrit itu adalah variabel yag haya memiliki ilai tertetu. Nilaiya merupaka bilaga bulat da asli, tidak berbetuk pecaha.peubah acak ii jika digambarka pada sebuah garis iterval, aka berupa sedereta titik-titik yag terpisah. Di dalam praktek suatu sampel T, umumya kita medefiisika lebih buahpeubahacak. Misalka kita medefiisika buah peubah acak X, X,...,X kita tuliska Xi(c) = xi, i =,,..., bila c di T. Maka rua peubah dari peubahpeubah acak X, X,..., X atau ruag bersama X, X,..., X. Yaki jelajah dari X, X,..., X adalah himpua uruta buah bilaga berikut:. Peubah acak kotiu Peubah acak kotiu adalah peubah acak yag megambil seluruh ilai yag ada dalam sebuah iterval atau variabel yag dapat memiliki ilai-ilai pada suatu iterval tertetu. Nilaiya dapat merupaka bilaga bulat maupu pecaha. B. Tekik Distribusi Peubah Acak 6

168 Dalam hal ii aka dibahas beberapa tekik yag diguaka dalam meetuka distribusi dari fugsi peubah acak, yaitu tekik fugsi distribusi, tekik trasformasi peubah acak, da tekik fugsi pembagkit mome. Misalka kita mempuyai peubah acak, baik diskrit maupu kotiu.kita bisa meetuka fugsi peluag atau fugsi desitas berdasarka sifatya.kemudia kita mempuyai peubah acak baru yag merupaka fugsi dari peubah acak semula. Dalam hal ii, kita aka meetuka distribusi dari peubah acak baru tersebut. Tetu saja, peetua distribusi tersebut bergatug pada bayak peubah acak yag dilibatkaya, yaitu satu peubah acak atau dua peubah acak. C. Tekik Trasformasi Peubah Acak Tekik ii bisa berlaku utuk satu maupu dua buah peubah acak sehigga trasformasipeubah acakya juga bisa merupaka fugsi dari satu peubah acak maupu fugsi dari dua buah peubah acak. Khusus trasformasi dari fugsi dua peubah acak, idealya harus ada dua trasformasi peubah acak yag diketahui. Dalam praktikya, trasformasi peubah acak yag diketahui mugki haya sebuah. Oleh karea itu kita harus memisalka satu trasformasi peubah acak lagi berdasarka betuk trasformasi peubah acak yag diketahui. Trasformasi peubah acak yag diketahui itu bisa berupa pejumlaha, peguraga, perkalia atau pembagia. D. Tekik Trasformasi Satu Peubah Acak. Tekik Trasformasi Satu Peubah Acak Diskrit Teorema Misalka X suatu peubah acak diskrit dega distribusi peluag f(x). Misalka Y = u(x) suatu trasformasi satu satu atara ilai X da Y sehigga persamaa y = u(x) mempuyai jawaba tuggal utuk x diyataka dalam y. Misalya x = w(y), maka distribusi peluag Y adalah g (y) = f[w(y)] 63

169 Bukti Fugsi Desitas F Y ( y ) = P ( Y = y ) = P ( u(x) = y ) = P ( X = w(y) ) = F X ( w(y)) Cotoh Misalka fugsi peluag dari peubah acak X adalah : p(x) = x ; x =,,3, Tetuka Fugsi peluag dari peubah acak Y = x 4 + Peyelesaia Trasformasiya : Y = x 4 + Hubuga Atara ilai x dari peubah acak X da ilai y dari peubah acak Y diberika dega : y = x 4 + Iversya :x = (y ) 4 Nilai-Nilai yag mugki dari Yadalah Y = {y y =,7,8, }. Jadi fugsi peluag dari Yadalah : p (y) = (y ) 4 ; y =,7,8,. Tekik Trasformasi satu Peubah Acak Kotiu Sekarag kita aka meetuka fugsi desitas dari fugsi peubah acak kotiu tapa melalui fugsi distribusi melaika dega tekik trasformasi peubah acak. Dalam hal ii, peetua fugsi desitas ii dibagi dua bagia, yaitu: 64

170 a. Peetua fugsi desitas dega tekik trasformasi peubah acak yag melibatka satu peubah acak kotiu, sehigga diperoleh tekik trasformasi satu peubah acak kotiu. b. Peetua fugsi desitas dega tekik trasformasi peubah acak yag melibatka dua peubah acak kotiu, sehigga diperoleh tekik trasformasi dua peubah acak kotiu. Berikut ii aka dibahas kedua macam tekik trasformasi peubah acak tersebut. Teorema Misalka X suatu peubah acak kotiu dega distribusi peluag f(x). misalka Y = u(x) meyataka hubuga satu satu atara ilai X da Y sehigga persamaa y = u(x) mempuyai jawaba tuggal utuk x da y misalya x = w (y). Maka distribusi peluag Y adalah g(y) = f[w(y)] J dega J = w (y) da disebut Jacobi trasformasi. Bukti Misalka y = u(x) fugsi aik, terlihat bahwa bila y berilai a dab maka peubah acak X berilai atara w(a) da w(b). jadi: P(a < Y < b) = P[w(a) < X < w(b)] w(b) = f(x) dx w(a) dega x = w(y), diperoleh bahwa dx = w (y) dy. sehigga: P(a < Y < b) = f[w(y)]w (y) dy a b y = u(x) b a w(a) w(b) Karea itegral memberika ilai peluag yag dicari utuk setiap a < b dalam batas ilai y yag mugki, maka distribusi peluag Y adalah: 65

171 g(y) = f[w(y)]w (y) = f[w(y)] J.() Jika J=w (y) adalah kemiriga ivers dari garis tage ke kurva aik y=u(x), tetulah J= J, sehigga g(y) =f[w(y)] J Kemudia dimisalka bahwa y = u(x) fugsi turu, terlihat bahwa bila y berilai a da b maka peubah acak X berilai atarw(b) da w(a), jadi: P(a < Y < b) = P[w(b) < X < w(a)] w(a) = f(x) dx w(b) b a w(a) w(b) y = u(x) dega x = w(y), diperoleh bahwa dx = w (y) dy. Sehigga: a P(a < Y < b) = f[w(y)]w (y) dy b b = f[w(y)]w (y) dy a Karea itegral memberika ilai peluag yag dicari utuk setiap a < b dalam batas ilai y yag mugki, maka distribusi peluag Y adalah: g(y) = f[w(y)]w (y) = f[w(y)] J.() Karea slope dari kurva adalah egatif, da -J= J, maka distribusi peluag Y adalah: 66

172 g(y) = f[w(y)] J Cotoh Misalka X peubah acak kotiu dega distribusi peluag f(x) = x {, < x < 5, utuk x yag lai Hituglah distribusi peluag peubah acak Y = X 3 Jawab : Fugsi kebalika dari Y = X 3 adalah x = y+3 sehigga diperoleh = d dy (y + 3 ) = d dy ( (y + 3)) J = w (y) = () + (y + 3) = + = Kemudia utuk iterval daerahya didapat: x = maka y = x = 5 maka y = 7 Dega demikia didapatlah bahwa: ( y+3 ) g(y) = { ( ), < y < 7, utuk y yag lai Bukti lai dari Teorema g(y) = { y , < y < 7, utuk y yag lai 67

173 Jika y = u(x) adalah satu-satu,makay aik mooto atau turu mooto. Pertama, kita asumsika aik, maka u(x) y jika da haya jika x w(y). Dega demikia F Y (y) = P( u(x) y) = P(X w(y) = F X (w(y)), Sehigga fugsi desitasya mejadi mooto turu F Y (y) = d dy F X (w(y)) = d d(w(y) F X (w(y)) d dy w(y) =F X (w(y)) d dy w(y) Dalam hal ii d w(y)>, karea y mooto aik. Sekarag dalam kasus dy u(x) yjika da haya jika w(y) x. Dega demikia : F Y (y) = P( u(x) y) = P( X w(y)) = P( X w(y) = F X (w(y)) Sehigga Fugsi desitasya mejadi F Y (y) = d dy ( F X (w(y))) = d dy ( ) d dy (F X (w(y))) = d F d d(w(y) X (w(y)) w(y) dy = f X (w(y)) d dy w(y) =f X (w(y)) d dy w(y) Dalam hal ii d w(y)<, karea y mooto turu. dy 68

174 Dalam koteks kasusu kotiu, turua w(y) disebut jacobia da diotasika : J = d dy w(y) E. Tekik Trasformasi Dua peubah Acak. Tekik Trasformasi Dua peubah Acak Diskrit Teorema Misalka X da X peubah acak diskrit dega distribusi peluag gabuga f(x, x ). Misalka Y = u (X, X ) da Y = u (X, X ) merupaka trasformasi satu satu atara himpua titik (x, x ) da (y, y ) sehigga persamaa Y = u (x, x )da Y = u (x, x )mempuyai jawaba tuggal utuk x da x yag diyataka dalam y, y. Misalka x = w (y, y )da x = w (y, y ). Maka distribusi peluag gabuga Y da Y adalah g(y, y ) = f[w (y, y ), w (y, y )]. Bukti Misalka Y = u (X, X ), Y = u (X, X ) meyataka trasformasi satu-satu yag memetaka A ke B, Maka trasformasi iversya adalah x = w (y, y ),x = w (y, y ) yag memetaka (Y, Y ) B ke A. Jadi Distribusi peluag gabuga Y da Y adalah g(y, y ) = f[w (y, y ), w (y, y )]ε B, Nol utuk yag laiya. Trasformasi ii sagat bergua utuk meetuka distribusi peubah acak y = u(x, X) peubah acak diskrit dega distribusi peluag f(x,x). Utuk meetuka distribusi peluag gabuga g(y,y) cukup dibetuk fugsi kedua misalya Y = u(x,x) da (y,y) dapat dipertahaka. Distribusi Y ii hayalah distribusi margial dari g(y,y) yag dapat diperoleh dega mejumlahkaya terhadap ilai y. Jika distribusi Y diyataka dega h(y), maka distribusiya dapat diyataka dega h ( y) g( y y) y Trasformasi ii sagat bergua utuk meetuka distribusi peubah acak y = u(x, X) peubah acak diskrit dega distribusi peluag f(x,x). Utuk meetuka distribusi peluag gabuga g(y,y) cukup dibetuk fugsi kedua 69

175 misalya Y = u(x,x) da (y,y) dapat dipertahaka. Distribusi Y ii hayalah distribusi margial dari g(y,y) yag dapat diperoleh dega mejumlahkaya terhadap ilai y. Jika distribusi Y diyataka dega h(y), maka distribusiya dapat diyataka dega h( y) g( y y) y Cotoh Misalka X da X dua peubah acak bebas dega distribusi Poisso, masig masig dega parameter μ da μ. Tetuka distribusi peubah acak Y = X + X. Jawab : Karea X da X salig bebas maka dapat ditulis f(x, x ) = f(x ) f(x ) = e μ μ x x! e μ μ x x! = e (μ +μ )μ x μ x degax x!x! =,,, dax =,,, Betuk peubah acak kedua, misalya Y = X, kemudia didapat fugsi kebalikaya yaitu x = y y dax = y. Dega demikia distribusi peluag gabuga Y da Y didapat, yaitu: g(y, y ) = e (μ +μ ) μ y y μ y (y y )! y degay =,,,, da y =,,,, y kareax > trasformasi x = y x megakibatka x, jadi juga y, harus selalu lebih kecil atau sama dega y, jadi distribusi peluag pias y adalah y h(y ) = g(y, y ) y = y = e (μ +μ ) y μ y y μ (y y )! y y = 7

176 y = e (μ +μ ) μ y y y μ (y y )! y! = e (μ +μ ) y! = e (μ +μ ) y! y = y y! (y y )! y! μ y y y μ y = y ( y y y ) μ y y μ y = = e (μ +μ ) (μ y! + μ ) y y =,,3, Dari rumus tersebut dapat disimpulka bahwa jumlah dua peubah acak bebas yag berdistribusi Poisso dega parameter μ da μ aka berdistribusi Poisso juga dega parameter μ + μ.. Tekik Trasformasi Dua peubah acak Kotiu Teorema Misalka X da X peubah acak kotiu dega distribusi peluag gabuga f(x, x ). Misalka Y = u (X, X ) merupaka trasformasi satu satu atara titik (x, x ) da (y, y )sedemikia rupa sehigga persamaa y = u (x, x ) da y = u (x, x ) mempuyai jawaba tuggal utuk x da x diyataka dalam y da y misalka x = w (y, y ) da x = w (y, y ). Maka distribusi peluag gabuga Y da Y adalah g(y, y ) = f[w (y, y ), w (y, y )] J dega Jacobi adalah determia x x x y y x x y x J = da adalah turua x y = w (y, y ) terhadap y bilay y tetap, disebut turua parsial x terhadap y. Turua parsial laiya didefiisika dega cara yag sama. 7

177 x y Keteraga : : Adalah turua parsial dari x = w (y, y) terhadap y Dega y Kosta x y : Adalah turua parsial dari x = w (y, y) terhadap y Dega ykosta x y : Adalah turua parsial dari x = w (y, y) terhadap y Dega ykosta x y : Adalah turua parsial dari x = w (y, y) terhadap y Dega ykosta Cotoh Misalka X da X dua peubah acak kotiu dega distribusi peluag gabuga f(x, x ) = { 4 x x, < x <, < x <, utuk x da x laiya Cari distribusi peluag gabuga Y = X da Y = X X. Jawab : Iversi y = x x = y y = x x x = y y Sehigga diperoleh: y J = y = ( ) ( y 3 y y y 3 y y ) = y = y 7

178 Utuk meetuka himpua B dari titik titik dibidag y y yag mejadi peta himpua A dari titik titik dibidag x x tulislah= x = y da x = y y da kemudia ambil x =, x =, x =, x =, yaitu batas batas himpua A, ditrasformasika ke y =, y =, y = y atau y = y, yaitu batas batas himpua B. Kedua daerah digambarka sebagai berikut. x y y = y x y Terlihat trasformasi satu satu memetaka himpuaa = {(x, x ) < x <, < x < } ke himpua B = {(y, y ) y < y <, < y < } dega teorema tersebut diperoleh distribusi peluag gabuga Y da Y g(y, y ) = 4 y y y y = y y Kemudia dapat ditulis distribusi peluag gabuga Y da Y y, y g(y, y ) = { y < y <, < y <, utuky day laiya Dalam praktekya, peetua fugsi desitas dari peubah acak trasformasi bisa terjadi dalam empat kemugkia, yaitu:. Dua Trasformasi Peubah Acak Da Fuagsi Desitas Gabuga diketahui 73

179 Misalka kita mempuyai fugsi desitas gabuga dari dua peubah acak kotiu da dua peubah acak trasformasi yag masig-masig merupaka fugsi dari dua peubah acak kotiu tersebut.kedua peubah acak trasformasi itu merupaka peubah acak yag baru. Lagkah-lagkah utuk meetuka fugsi desitas margialdari salah satu peubah acak trasformasi itu sebagai berikut: Ubah betuk dua peubah acak trasformasi dari huruf besar (dalam betuk peubah acak) mejadi huruf kecil (dalam betuk ilai peubah acak), sehigga diperoleh ilai peubah acak trasformasi. Tetuka ivers dari ilai peubah acak trasformasi itu, sehigga aka diperoleh dua ilai peubah acak lama yag merupaka fugsi dari ilai peubah acak trasformasi. Hitug ilai Jacobia (ditulis dega J) dari dua ilai peubah acak lama, dega jacobiaya berupa determia dari matriks berordo x. Kemudia hitug harga mutlak dari jacobia itu. Tetuka distribusi gabuga dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka batas-batas ilai dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka fugsi desitas margial dari salah satu peubah acak trasformasi yag diigika.. Dua Trasformasi Peubah Acak diketahui Da Fugsi Desitas Gabuga tidak diketahui Misalka kita mempuyai fugsi desitas dari masig-masig peubah acak kotiu da kedua peubah acakya salig bebas.kemudia diketahui dua buah peubah acak trasformasi yag masig-masig merupaka fugsi dari dua peubah acak kotiu semula. Lagkah-lagkah utuk meetuka fugsi desitas margial dari salah satu peubah acak trasformasi itu sebagai berikut: Tetuka fugsi desitas gabuga dari kedua peubah acak kotiu semula. 74

180 Ubah betuk dua peubah acak trasformasi dari huruf besar (dalam betuk peubah acak) mejadi huruf kecil (dalam betuk ilai peubah acak), sehigga diperoleh ilai peubah acak trasformasi. Tetuka ivers dari ilai peubah acak trasformasi itu, sehigga aka diperoleh duailai peubah acak lama yag merupaka fugsi dari ilai peubah acak trasformasi. Hitug ilai Jacobia (ditulis dega J) dari dua ilai peubah acak lama, degajacobiaya berupa determia dari matriks berordo x. Kemudia hitug harga mutlak dari jacobia itu. Tetuka distribusi gabuga dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka batas-batas ilai dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka fugsi desitas margial dari salah satu peubah acak trasformasi yag diigika. Cotoh Misalka fugsi desitas gabuga dari X da Y berbetuk : f(x, y) = 4 ; < x (, < y < dari U. = ; x, y laiya Jika U = X Y da V = X + Y,maka tetuka fugsi desitas margial Peyelesaia : Kedua peubah acak trasformasiya : U = X Y da V = X + Y. Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai u dari U da ilai v dari V diberika dega : u = x y da v = x + y Iversya : x = ( u + v) da y = ( u v) Jacobiaya : J = δx δx δuδv δy δy δuδv = = 75

181 J = 4 = J = Fugsi desitas gabuga dari U da V adalah : g(u, v) = f([ (u + v), ( ) ( u v)]. J = ( 4 )( ) g(u, v) = 8 Batas-batas dari U da V adalah : < x < < y < < ( u + v) < < ( u v)< <u + v < 4 <v u < 4 u < v < 4 u u < v < 4 + u Jadi, g( u, v ) = ; utuk u < v < 4 u, u < v < 4 + u 8 = ; u, v laiya. Jadi fugsi desitas margialya dari U adalah g (u) = Maka 4+u u 8 dv = 8 v g (u) = ; < u < = ; u yag laiya. 4+u v=u ] = 8 ( 4 + u u) = 4 8 = 3. Satu Trasformasi Peubah Acak Da Fugsi Desitas gabuga Diketahui Misalka kita mempuyai fugsi desitas gabuga dari dua peubah acak kotiu da sebuah trasformasi peubah acak yag merupaka fugsi dari kedua peubah acak kotiu tersebut. Lagkah-lagkah utuk meetuka fugsi desitas dari trasformasi peubah acak itu sebagai berikut: 76

182 Kita megambil atau memisalka satu trasformasi peubah acak lagi dega betukya disesuaika dega betuk trasformasi yag diketahui. Jika trasformasi yag diketahui berbetuk pejumlaha, peguraga, atau perkalia, maka kita bebas megambil trasformasi yag kedua. Jika trasformasi yag diketahui berbetuk pembagia, maka kita sebaikya megambil trasformasi yag keduaya adalah peyebutya. Ubah betuk dua peubah acak trasformasi dari huruf besar (dalam betuk peubah acak)mejadi huruf kecil (dalam betuk ilai peubah acak), sehigga diperoleh ilai peubah acak trasformasi. Tetuka ivers dari ilai peubah acak trasformasi itu, sehigga aka diperoleh duailai peubah acak lama yag merupaka fugsi dari ilai peubah acak trasformasi. Hitug ilai Jacobia (ditulis dega J) dari dua ilai peubah acak lama, degajacobiaya berupa determia dari matriks berordo x. Kemudia hitug harga mutlak dari jacobia itu. Tetuka distribusi gabuga dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka batas-batas ilai dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka fugsidesitas margial dari peubah acak trasformasi yag diketahui. Pejelasa dari Uraia diatas adalah : Teorema A Trasformasi Berbetuk Pejumlaha Misalka X da Y adalah peubah acak kotiu dega fugsi desitas gabugaya f(x,y). Jika S = X + Y, maka fugsi desitas dari S dirumuska sebagai berikut: Atau, k (s) = f( w, s w)dw k (s) = f( s w, w)dw 77

183 Misalka X da Y adalah peubah acak kotiu dega fugsi desitas gabugaya f(x,y). Jika S = X +Y, maka fugsi desitas dari S dirumuska sebagai berikut. k l (s) = f(x, s w)dw atau k l (s) = f(x w, w)dw Bukti: Karea trasformasipeubah acak yag diketahui berbetuk S = X + Y, maka kita megambil trasformasi peubah acak keduaya adalah W = X. Jadi trasformasi peubah acakya: S = X + Y da W = X Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai s dari S da ilai w dari W diberika sebagai: S = x + y da w = x Iversya: x = w da y = s w Jacobiaya : J = x w y w x s y s = =, J = Fugsi desitas gabuga dari S da W adalah: k(s, w) = f(w, s w). J = f(w, s w). k(s, w) = f(w, s w) Jadi fugsi desitas margial dari S adalah: k l (s) = f(w, s w)dw 78

184 Cotoh :. Pejumlaha Misalka fugsi desitas gabuga dari peubah acak kotiu X da Y berbetuk: f(x, y) = x; < x <, < y < = ; x, y laiya Jika S = X + Y, maka tetuka fugsi desitas dari S Peyelesaia : Karea trasformasi peubah acak yag diketahui berbetuk S = X + Y, maka kita megambil trasformasi peubah acak keduaya adalah W = X. Jadi trasformasi peubah acakya: S = X + Y da W = X. Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai s dari S da ilai w dari W diberika dega: s = x + y da w = x Iversya: x = w da y = s w Jacobiaya: J = x w y w x s y s = =, J = Fugsi desitas gabuga dari S da W adalah: g(s, w) = f(w, s w). J = (w)() = w Batas-batas dari S da W adalah: < x < < y < < w < < s w < + w < s < + w Jadi:g(s, w) = w; < w < da + w < s < + w. 79

185 = ; s, w laiya Kita aka meggambar daerah yag memeuhi < w < da + w < s < + w Bagu ABCD merupaka daerah yag memeuhi <w< da +w<s<+w. Fugsi desitas margial dari S adalah: s g (s) = wdw = w = wdw = w s ws s ] w g Maka: (s) = (s ) ; < s < = (s ) ; s 3 = ; laiya. ] = (s ) ; < s < = (s ) ; s 3 Teorema B 8

186 Trasformasi Berbetuk Peguraga Misalka X da Y adalah peubah acak kotiu dega fugsi desitas gabugaya f(x,y). Jika S = X - Y, maka fugsi desitas dari S dirumuska sebagai berikut: Bukti: Atau, k (s) = f( w, w s)dw k (s) = f( s + w, w)dw Karea trasformasipeubah acak yag diketahui berbetuk S = X Y, maka kita megambil trasformasi peubah acak keduaya adalah W = X. Jadi trasformasi peubah acakya: S = X Y da W = X Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai s dari S da ilai w dari W diberika sebagai: s = x y da w = x Iversya: x = w da y = w s Jacobiaya : J = x w y w x s y s = =, J = Fugsi desitas gabuga dari S da W adalah: k(s, w) = f(w, w s). J = f(w, w s). k(s, w) = f(w, w s) Jadi fugsi desitas margial dari S adalah: k l (s) = f(w, w s)dw 8

187 Cotoh Misalka fugsi desitas gabuga dari peubah acak kotiu X da Y berbetuk: f(x, y) = y; < x <, < y < = ; x, y laiya. Jika U = X Y, maka tetuka fugsi desitas dari U. Peyelesaia: Karea trasformasi peubah acak yag diketahui berbetuk U = X Y, maka kita megambil trasformasi peubah acak keduayaadalah T = X. Jadi trasformasi peubah acakya: U = X Y da T = X. Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai t dari T da ilai u dari U diberika dega: u = x y da t = x Iversya: x = t da y = t u Jacobiaya: : J = x t y t x u y u = =, J = Fugsi desitas gabuga dari T da U adalah: h(t, u) = f(t, t u). J = (t u)() = t u Batas-batas dari T da U adalah: < x < < y < < t < < t u < u < t < + u Kita meggambarka daerah yag memeuhi < t < da u < t < + u 8

188 Bagu ABCD merupaka daerah yag memeuhi < t < da u < t < + u Fugsi idetitas margial dari U adalah: +u h (u) = (t u)dt; < u < = t tu u ] t = ( + u) u( + u ) = + u + u u = u u h (u) = (t u)dt; < u < u = t tu ] tu 83

189 = (4 u ) u( u) = 4 u 4u + u = 4 4u + u = (u ) Sehigga: h (u) = u u ; < u < = (u ) ; < u < = ; u laiya. Teorema C Trasformasi Berbetuk Perkalia Misalka X da Y adalah peubah acak kotiu dega fugsi desitas gabugaya f(x,y). Jika W = XY, maka fugsi desitas dari W dirumuska sebagai berikut: Bukti: Atau, h (w) = h (w) = f ( u, w u ). u du f ( w u, u). u du Karea trasformasi peubah acak yag diketahui berbetuk W=XY, maka kita megambil trasformasi peubah acak keduaya adalah U = X Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai u dari U da ilai w dari W diberika dega: w = xy da u = x Iversya x = u da y = w u Jacobiaya: J= x u y u x w y w = w = u u u 84

190 J = u Fugsi desitas gabuga dari U da W adalah: h(u, w) = f (u, w u ). J = f (u, w u ). u Sehigga fugsi desitas margial dari W adalah: Cotoh h (w) = f ( u, w u ). u du Misalka fugsi desitas gabuga dari X da Y berbetuk: f(x, y) = x + y; < x <, < y < = ; x, y laiya. Jika W = XY, maka tetuka fugsi desitas dari W. Peyelesaia : Karea trasformasi peubah acak yag diketahui berbetuk W = XY, maka kita megambil trasformasi peubah acak keduaya adalah U = X. Jadi trasformasi peubah acakya: W = XY da U = X. Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai u dari U da ilai w dari W diberika dega: w = xy da u = x Iversya: x = u da y = w u Jacobiaya: : J = x u y u x w y w = w = u u u, J = u Fugsi desitas gabuga dari U da W adalah: h(u, w) = f (u, w u ). J 85

191 = f (u, w u ). u = + w u Batas-batas dari U da W adalah: < x < < y < < u < < w u < < w < u Jadi:g(u,w) = + w u ; < u <, < w < u = ; u, wlaiya. Kita meggambarka daerah yag memeuhi <u< da <w<u. Segitiga ABC merupaka daerah yag memeuhi <u< da <w<u. Fugsi desitas margial dari W adalah: w g( w) du u w 86

192 w u u ] uw ( w) ( w ) w w g ( w) w; w = ; w laiya. Teorema D Trasformasi Berbetuk Pembagia Misalka X da Y adalah peubah acak kotiu dega fugsi desitas gabugaya f(x,y). Jika Z = X/Y, maka fugsi desitas dari Z dirumuska sebagai berikut: Bukti : h (z) = f( vz, v). v dv Karea trasformasi peubah acak yag diketahuiya Z = X, maka kita megambil Y trasformasi peubah acak keduaya adalah V = Y. Jadi trasformasi peubah acakya adalah z = X serta hubuga atara ilai v dari Y V da ilai z dari Z diberika dega: z = x da v = y y Iversya: x = vz da y = v Jacobiaaya: x J = v y v x z z v = = v J = v = v y z 87

193 Fugsi desitas margial dari Z adalah: Cotoh h (z) = f(vz, v). vdv Misalka fugsi desitas gabuga dari X da Y berbetuk: f(x, y) = 4xy ; < x <, < y < 9 = ; x, y laiya. Jika Z = X, maka tetuka fugsi desitas dari Z. Y Peyelesaia: Karea trasformasi peubah acak yag diketahuiya Z = X, maka kita megambil Y trasformasi peubah acak keduayaadalah V = Y. Jadi trasformasi peubah acakya adalah Z = X da V = Y. Y Hubuga atara ilai x dari X da ilai y dari Y serta hubuga atara ilai v dari V da ilai z dari Z diberika dega: z = x da v = y y Iversya: x = vz da y = v Jacobiaya: J = x v y v x z y z z v = = v, J = v = v Fugsi desitas margial dari Z adalah: g(v, z) = f(vz, v). J = ( 4 9 ) (vz)(v)(v) = (4 9 ) v3 z Batas-batas dari V da Z adalah: < x < < y < < vz < < v < v < z < v 88

194 89 Jadi: g(v, z) = ( 4 9 ) v3 z; < v <, v < z < v = ; v, zlaiya. Kita meggambarka daerah yag memeuhi < v < da v < z < v. Bagu ABCD merupaka daerah yag memeuhi < v < da v < z < v. Fugsi desitas dari Z adalah ] 9 ; 9 4 z z z z zv z zdv v g z v z z z z z zv z zdv v g z v z ] 9 ;

195 Jadi, 6 g z z ; z 6 z 9 3 z; z 9 =; laiya. 4. Satu Trasformasi Peubah Acak diketahui Fugsi Desitas Gabuga Tidak Diketahui Misalka kita mempuyai dua peubah acak kotiu yag salig bebas da masig-masig mempuyai fugsi desitasya.kemudia kita juga mempuyai sebuah trasformasi peubah acak yag merupaka fugsi dari kedua peubah acak itu. Lagkah-lagkah utuk meetuka fugsi desitas dari trasformasi peubah acak itu sebagai berikut: Kita meetuka fugsi desitas gabuga dari kedua peubah acak tersebut. Kita megambil atau memisalka satu trasformasi peubah acak lagi dega betukya disesuaika dega betuk trasformasi peubah acak yag diketahui. Jika trasformasipeubah acak yag diketahui berbetuk pejumlaha, peguraga, atau perkalia, maka kita bebas megambil trasformasi peubah acak yag kedua. Jikatrasformasi peubah acak yag diketahui berbetuk pembagia, maka kita sebaikya megambil trasformasi peubah acak yag keduaya adalah peyebutya. Ubah betuk dua peubah acak trasformasi dari huruf besar (dalam betuk peubah acak) mejadi huruf kecil (dalam betuk ilai peubah acak), sehigga diperoleh ilai peubah acak trasformasi. 9

196 Tetuka ivers dari ilai peubah acak trasformasi itu, sehigga aka diperoleh duailai peubah acak lama yag merupaka fugsi dari ilai peubah acak trasformasi. Hitug ilai Jacobia (ditulis dega J) dari dua ilai peubah acak lama, degajacobiaya berupa determia dari matriks berordo x. Kemudia hitug harga mutlak dari jacobia itu. Tetuka distribusi gabuga dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka batas-batas ilai dari kedua peubah acak trasformasi. Tetuka fugsi desitas margial dari salah satu peubah acak trasformasi yag Diigika. Latiha Soal. Misalka Fugsi peluag dari peubah acak X berbetuk : p(x) = x 6 ; x =,,3 Jika Y = X, Maka tetuka a. Fugsi Distribusi dari Y b. Fugsi Peluag dari Y. Diketahui X peubah acak kotiu dega fugsi padat peluag x utuk x 5 f ( x) utuk x laiya Tetuka distribusi peluag peubah acak Y = X 3 3. Diketahui X da X dua peubah acak bebas yag berdistribusi Poisso, masig-masig berparameter da. Jika ditetuka distribusi peubah acak y = X +X, maka buktika bahwa peubah acak tersebut berdistribusi Poisso! 4. Misalka X da X dua peubah acak kotiu dega fugsi padat peluag gabuga 9

197 4xx f ( x, x) x ; x x laiya tetuka rumus fugsi utuk y = y x da y xx 5. Peubah X mempuyai sebara peluag, x 8 3, x 6 f(x) P(X x), x 4 3, x 6, x a. Tetuka sebara 4 peluag y = x b. Tetuka sebara peluag z = x. a. F(y) = ; y < = 6 ; y < 4 = 3 6 ; 4 y < 9 = ; 9 y b.p(y) = y 6 ; y =,4,9 SOLUSI ( y 3). Ivers dari y = x-3 adalah x =, sehigga diperoleh sehigga diperoleh. Utuk x, maka 3 dx, dy y, sedagka utuk x = 5, maka y (5) 3 7, dega megguaka trasformasi di atas, diperoleh : g( y) Atau y 3 y 3 48 Utuk y 7 Utuk y laiya 9

198 93 3. Karea X da X dua peubah acak bebas yag terdistribusi Poisse,maka f(x,x) = f(x), f(x) =!!!.! ) ( x x e x e x e x x x x, dega x =,,,... da x =,,,... Sekarag dibetuk peubah acak kedua yaitu y = x. Fugsi balikaya diberika oleh x = y-y da x= y. dega megguaka trasformasi diperoleh distribusi peluag gabuga y da yyaitu:! )! ( ), ( ) ( y y y e y y g y y y Dega,,, y da y =,,,...,y Karea x =,,, maka trasformasi x=y y megakibatka x da juga y harus selalu kurag dari atau sama dega y. Jadi distribusi peluag margial y adalah :

199 94 ) ( ) ( ) (!!! )! (!! )! ( ), ( ) ( y y y y y y y y y y y y y y y y y e y y y y y e y y y e y y g y h Karea ( ) y y y y y y y y, maka diperoleh ) ( ) ( ) ( y e y h y, dega y =,,,... Dari rumus ii terbukti bahwa jumlah dua peubah acak bebas yag berdistribusi Poisso dega parameter. 4. Ivers dari y = x da y = xx adalah y x da y y x sehigga diperoleh 3 y y y y y J Trasformasi ii satu-satu memetakka titik {(x,x) x ; <x<} ke himpua {(y,y) ; y y }. Dega megguaka trasformasi di atas, diperoleh distribusi Gabuga yag diyataka sebagai berikut: laiya x y y y y y y y y y y g ; 4 ) (, 5. a. Sebara peluag peubah acak Y = x adalah y, 8 3 y, 8 3 y, 4 x ) P(Y g(y)

200 b.sebara peluag utuk Z = X h z P Z x, z 4 3, z 8 3, z

201 BAB UJI t, DISTRIBUSI F, DISTRIBUSI X DAN DISTRIBUSI S Tujua pembelajara:. Mejelaska distribusi t da distribusi F. Membetuk fugsi desitas dari distribusi t 3. Membetuk fugsi desitas dari distribusi F 4. Meetuka mea da variasi distribusi t 5. Meetuka mea da variasi distribusi F 6. Mejelaska da megguaka hubuga atara distribusi t da distribusi F 7. Meghitug peluag pada distribusi t dega megguaka tabel 8. Meghitug peluag pada distribusi F dega megguaka tabel 9. Mejelaska mea sampel X da variasi sampel S. Membetuk fugsi desitas dari distribusi X A. Distribusi t Distribusi t dikealka pada tahu 98 oleh William S. Gosset, seorag karyawa perusahaa Guiess Breweries, Irladia. Dalam meuruka distribusi ii, Gosset megasumsika bahwa sampel berasal dari populasi ormal, sehigga betuk kurva dari distribusi t seperti kurva distribusi ormal, yaki setagkup, amu mempuyai sisi yag lebih redah dari kurva ormal, artiya data cederug utuk lebih jauh darirata-rataya. Distribusi t diguaka sebagai hampira utuk distribusi ormal dega ukura sampel kecil (biasaya 3) da stadar deviasi populasi (σ) tidak diketahui. Utuk sampel ukura 3, taksira σ yag baik dapat diperoleh dega meghitug ilai S. Jika ukura sampelya kecil, ilai S berubah cukup 96

202 besar dari sampel ke sampel laiya da distribusi peubah acak meyimpag cukup jauh dari distribusi ormal baku. x μ S Di bawah ii adalah kurva distribusi t utuk ilai r berturut-turut (dari grafik terbawah) dari,, 3, 5, da 3. Tampak bahwa semaki besar ilai r, maka kurva distribusi t semaki medekati betuk distribusi ormal (berwara biru). r = 3 r = 3 r = r = r = r = 5 Kurva distribusi ormal Utuk megatasi masalah ii kita megeal suatu distribusi statistik yag diamaka distribusi T dega rumus: x μ T = ; S S 97

203 Defiisi. Sebuah variabel acak dega distribusi tdidefiisika sebagai rasio dari variabel acakz~n(,)dibagi dega akar dari hasil pembagia variabel acakv~χ ( )oleh derajatkebebasaya yaitur = Secara matematis, dapat dituliska sebagai T = z v = z r Aka dibuktika bahwa T = x μ ~t( ) S v Bukti: Berdasarka teorema, telah terbukti bahwa: z = x μ σ ~N(,) v = ( )s σ ~χ ( ) zdavsalig bebas Dari ketiga teorema di atas, diperoleh, T = z v = x μ σ ( )S σ = x μ σ S σ = x μ σ S = σ x μ S x μ = S dega, x adalah mea sampel μadalah mea populasi S = (x i x ) i= Dega derajat kebebasar =, adalah stadar deviasi 98

204 Defiisi. Misalka z~n(,) da v~χ (r) da T = x μ S ~t(r), maka T aka memiliki fugsi desitas, h(t) = Γ (+r) t πr Γ ( r ( + ) r ) +r ; < t < Utuk membuktika ii, aka ditujukka terlebih dahulu fugsi desitas gabuga dari z da v fugsi desitas z Aka ditujukka bahwa: F(z) = P(Z z) x μ F(z) = P ( σ z) F(z) = P(x μ + σz) F(z) = F(z) = μ+σz f(x) μ+σz f(z) = π e z ; < z < dx σ π e (x μ σ ) dx Misalka, y = x μ, maka x = μ + σy dx = σ dy Batas-batas: F(z) = z z σ utuk x =, maka y = utuk x = μ + σz, maka y = z σ π e F(z) = π e y y dy σ dy 99

205 z F(z) = π e z dz Karea F(z)~N(,), maka didapat fugsi desitas z, yaitu: f(z) = π e z ; < z < fugsi desitas v Aka ditujukka bahwa: f(v) = { r Γ ( r ) v r e v ; v > ; v laiya Karea v~χ (r), maka dapat dimisalka v = z, maka, F(v) = P(V v) F(v) = P(z v) F(v) = P( v z v) v F(v) = f(z) dz F(v) = v v v π e z dz v z F(v) = π e dz Misalka, z = y dz = y dy Batas-batas: utuk z = maka y = F(v) = F(v) = v v utuk x = v, maka y = v π e y y πy e dy y dy

206 F(v) = v v πv e dv Didapat, fugsi desitas dari v adalah, f(v) = v πv e = r Γ ( r ) v r e v Atau, f(v) = { r Γ ( r ) v r e v ; v > ; v laiya Karea z da v bebas stokastik, maka dapat dibetuk fugsi desitas gabuga dari z da v, yaitu: f(z, v) = { π e z. v r r Γ ( r e v ; < z <, v > ) ; utuk z, v yag lai Misalka didefiisika variabel acak kedua yaitu u dega u = v Karea t = z v = z r u r Karea v = u, maka u = v Didapat,, maka z = t u r z J = t v t z u = u v r ur = u r u Trasformasi ii adalah trasformasi satu-satu yag memetaka titik di {(z, v) < z <, v > } ke titik di {(t, u) < t <, u > } Dega demikia, diperoleh fugsi desitas gabuga dari t = v, yaitu: z v r da u =

207 g(t, u) = { π r Γ ( r ) u r e u (+t ). u r ; < t <, u > ; utuk t, u yag lai Hasil itegrasi g(t, u) terhadap u meghasilka fugsi desitas T, yaitu: h(t) = g(t, u) du h(t) = r u π r Γ ( r e u (+t ). u du ) r h(t) = πr r Γ ( r ) +r u e u (+t ) Misalka, z = u ( + t z ), maka u = + t du du = dz +r h(t) = ( z ). e z dz. πr r Γ ( r ) + t + t h(t) = πr r Γ ( r ) h(t) = πr r Γ ( r ) h(t) = t πr Γ ( r ( + ) ) (z) +r dz +r. e z. ( + t ) + t +r. z +r +r ( + t ) +r. e z. dz z +r. e z dz + t Peyelesaia itegral di atas dilakuka dega megguaka fugsi gamma, yaitu: Γ() = z. e z dz

208 Sehigga, h(t) = t πr Γ ( r ( + ) ) +r Γ ( + r ) ; < t < h(t) = Γ (+r) t πr Γ ( r ( + ) ) +r ; < t < Jadi, diperoleh fugsi desitas dari T, yaitu: h(t) = Γ (+r) t πr Γ ( r ( + ) r ) +r ; < t < Teorema. Diketahui fugsi desitas dari T, yaitu: h(t) = Γ (+r) t πr Γ ( r ( + ) r ) +r Maka, rataa da variasi dari distribusi T adalah:. E(t) =. Var(t) = r r ; < t < Bukti:. Karea h(t) simetris di t =, semua mome sekitar pusat yag gajil sama dega ol, yaitu μ k+ =, k =,,, 3,. Mome di sekitar pusat yag geap adalah: μ k = E[(t μ ) k ] μ k = E[t k ] μ k = t k. h(t)dt μ k = t k. h(t)dt 3

209 μ k = t k. Γ ( +r ) t πr Γ ( r ( + ) r ) +r μ k = Γ (+r) πr Γ ( r ) tk ( + t +r r ) dt dt μ k = Γ (+r) r Γ ( ) Γ (r) tk ( + t +r r ) dt Misalka: +t r = y,makat = r( y) y Batas-batas : utuk t =, maka y = utuk t =, maka y = μ k = Γ (+r) y) r Γ ( ) Γ (r( (r ) y k ) t dt = r y dy y r+ μ k = rk+ Γ ( +r ) r Γ ( ) Γ (r) yr k ( y) k r y ( r( y) ) y dy dy Peyelesaia itegral di atas dilakuka dega megguaka fugsi beta, yaitu: B(α, β) = y α ( y) β Dalam hal ii, α = r k, da β = k + Sehigga, μ k = rk+ Γ ( +r ) r Γ ( ) Γ (r). Γ ( r k) Γ (k + ) Γ ( r + ) μ k = r k Γ (r k) Γ (k + ) Γ ( ) Γ (r ) dy = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) 4

210 μ k = r k Γ (r k) (k ) (k 3 ) (3 ) ( ) Γ ( ) Γ ( ) (r ) (r ) (r k) Γ (r k) μ k = r k (k ) (k 3 ) (3 ) ( ) ( r ) (r ) (r k) μ k = r k (k ) (k 3 ) (3 ) ( ) Γ ( r ) Γ (r ) Γ (r k) (k )(k 3) (3)() k μ k = r (r )(r 4) (r k) utuk k = diperoleh μ = r r ; r > Karea μ =, maka σ = μ μ = Jadi, Var(t) = σ = r r r r = r r Teorema. (Teorema Limit Pusat) Jika h(t) adalah suatu fugsi desitas dega rataa μ da variasi σ dega X adalah rataa sampel acak X i, i N yag berukura dari h(t), maka, T = X μ S aka berdistribusi ormal stadar utuk Bukti: Utuk membuktika teorema di atas aka diguaka fugsi pembagkit mome (f.p.m.), karea jika f.p.m. ada, maka aka terjadi korespodesi satusatu atara f.p.m. dega fugsi distribusi. Sehigga jika ada dua variabel 5

211 acak misalya X da Y dega f.p.m. M X (t) da M Y (t) keduaya ada da sama, maka baik X da Y aka mempuyai fugsi distribusi yag sama. Diketahui f.p.m. dari fugsi distribusi ormal stadar adalah M X (t) = e t, maka aka ditujukka bahwa M T (t) = e t utuk M T (t) = E[exp(tT)] M T (t) = E [exp (t. X μ )] S M T (t) = E [exp ( t X i μ )] S i= M T (t) = E [exp ( t. X i μ )] S i= M T (t) = E [ exp (t. X i μ S ) ] i= Karea X, X, X 3,, X adalah peubah acak yag salig bebas, maka, M T (t) = E [exp (t. X i μ S )] i= Misalka Y i = X i μ M T (t) = E [exp ( ty i S )] i= M T (t) = M Yi ( t ) S i= Karea X, X, X 3,, X adalah peubah acak yag berdistribusi idetik, maka setiap M Yi ( t ), i N dapat diotasika dega M σ Y ( t ), sehigga, σ 6

212 M T (t) = M Y ( t ) σ i= M T (t) = (M Y ( t )) σ Sekarag kita tijau M Y ( t ) σ M Y ( t ) = E [exp ( σ Yt )] σ M Y ( t ) = E [ ( Yt σ σ )k ] k! k= Diketahui bahwa Y = X μ, maka, M Y ( t (X μ)t ) = E [ ( σ σ ) k= k ] k! Karea masig-masig ( (X μ)t σ )k, k N peubah acak yag salig bebas, maka, M Y ( t (X μ)t ) = E [( σ σ ) k= k k! ] M Y ( t ) = E [(X μ) k ( t σ σ )k k! ] k= M Y ( t ) = ( t σ σ )k k! E[(X μ)k ] k= Karea μ r = E[(X μ) r ], maka, M Y ( t ) = ( t μ k σ σ )k k! k= M Y ( t ) = + μ t σ σ + μ t σ + ( t μ k σ )k k! k=3 7

213 Karea μ =, μ = da μ = σ, sehigga, M Y ( t ) = + ( t σ + ( t μ k σ )k ) k! k=3 M Y ( t ) = + ( t k σ + (t σ ) μ k ( ) k ) k! k=3 Misalka Sehigga, U() = t k + (t σ ) μ k ( ) k k! k=3 M Yi ( t ) = ( + U() σ ), maka M Y ( t ) = + U() σ Karea, maka ilai M Yi ( t )aka ditetuka dega meerapka σ proses limit pada ( + U() ), dimaa, Sehigga, lim ( + ) lim M Y i ( t ) = lim ( + U() σ lim M Y i ( t ) = lim (( + σ lim M Y i ( t ) = ( lim ( + σ ) U() U() lim M Y i ( t ) = (exp()) lim U() σ lim M Y i ( t ) = exp ( lim U()) σ = e = exp() ) ) U() U() ) ) U() lim U() 8

214 Karea, Maka, k lim U() = lim (t + (t σ ) k=3 μ k ( ) k ) = t k! Akhirya kita peroleh, lim M Y i ( t ) = exp ( t σ ) = e t = M X (t) lim M T(t) = M X (t) Dari tahap ii, dapat disimpulka bahwa utuk, maka distribusi dari T = X μ σ medekati distribusi ormal stadar B. Distribusi F Peubah acak X yag berdistribusi F disebut juga peubah acak F Peulisa otasi dari peubah acak X yag berdistribusi F adalah F(r, r ), artiya peubah acak X berdistribusi F dega derajat kebebasa pembilag r da derajat kebebasa peyebut r atau bisa juga ditulis sebagai, X~F (r, r ) Fugsi distribusi F memiliki grafik seperti gambar berikut, 9

215 Defiisi.3 Misalka U da V adalah dua peubah acak kotiu yag salig bebas da berdistribusi chi-kuadrat masig-masig dega derajat kebebasaya r da r da peubah acak F = U r ~F(r V r, r ), maka peubah acak F memiliki fugsi desitas berbetuk, φ(f) = { Γ ( r + r ) (r Γ ( r ) Γ (r r ) r f r ). ( + r f r+r ) r ; < f < ; f laiya Bukti: U~χ ( ), maka, V~χ ( ), maka, r u f(u) = { r Γ ( r e u ; < u < ) ; u laiya r u g(v) = { r Γ ( r e v ; < v < ) ; v laiya Karea U da V salig bebas, maka fugsi desitas gabugaya adalah: h(u, v) = { r u Γ ( r u r e (u+v) ; < u <, < v < ) Γ (r ) ; u, v laiya r +r Karea trasformasi peubah acak yag diketahui berbetuk F = U r V r kita memisalka trasformasi peubah acak kedua, yaituz = V Jadi, trasformasi peubah acakya adalah F = U r V r da Z = V maka

216 Hubuga ilai atara u da U da ilai v dari Y serta hubuga atara ilai f dari F da ilai z dari Z diberika dega f = u r v da z = v serta iversya r u = r r fz da v = z u f J = v f u r r z z f v = r r = r z r z Sehigga, dapat dibetuk fugsi desitas gabuga dari F da Z yaitu, k(f, z) = { r+r ( r Γ ( r )Γ (r ) r fz) z r r e z (r f r +). r z ; < f <, < z < r, ; f, z laiya Fugsi desitas margial dari F adalah hasil itegrasi k(f, z) terhadap z, yaitu, φ(f) = k(f, z)dz φ(f) = φ(f) = r ( r +r Γ ( r ) Γ (r ) r fz) r ( r f r r +r Γ ( r ) Γ (r z ) r fz) r+r r z r e z e (r f r +) dz Misalka z (r f + ) = p, maka z = p r rf dz = rf + Batas-batas: utuk z =, maka p = φ(f) = r utuk z =, maka p = ( r r ) f r r ( r +r Γ ( r ) Γ (r ) r f p r + ) r+r z (r f r +). r z r e p. dp + r p r f r + dp dz

217 φ(f) = φ(f) = r ) r ( r f r. r +r r +r Γ ( r ) Γ (r ) (r f r + ) ( r r ) f r r Γ ( r ) Γ (r ) (r f r + ) r+r r+r p r +r p r +r.. e p dp e p dp Peyelesaia itegral di atas dilakuka dega megguaka fugsi gamma, yaitu, Sehigga, φ(f) = φ(f) = r ( r ) f r r Γ ( r ) Γ (r ) (r f r + ) r Γ ( r +r ). (r ) f r r Γ() = z. e z r+r Γ ( r ) Γ (r ) (r f r + ) r+r Γ ( r + r ) Jadi, fugsi desitas dari distribusi F adalah, r Γ ( r +r (r ) f r r r+r φ(f) = Γ ( r (r (r f + ) r ; < f < { ; f laiya dz Teorema.3 Diketahui fugsi desitas dari F, yaitu, φ(f) = Γ ( r r +r ). (r ) f r r ; < f < r+r Γ ( r ) Γ (r ) (r f + ) r { ; f laiya

218 Maka, rataa da variasi dari distribusi F adalah:. E(f) = r r. Var(f) = r (r +r ) r (r ) (r 4) Bukti: Berdasarka defiisi ilai ekspektasi kotiu, maka : μ k = E(f k ) μ k, μ k, μ k, = f k φ(f)df = f k = r ) r Γ ( r + r ) (r. Γ ( r ) Γ (r ). Γ ( r + r ) (r Γ ( r ) Γ (r r ) r ) f r r+r ( + r f ) r f k+r r+r ( + r f ) r Misalka r f r = y, maka df = r r dy Batas-batas : utuk f =, maka y = μ k = μ k, Γ ( r +r ) (r Γ ( r ) Γ (r df utuk f =, maka y = r ) r ). = ( r k Γ ( r + r ) ) r Γ ( r ) Γ (r ). ( r y) k+ r r ( + y) r +r y k+r df. r r dy ( + y) r +k+r k Peyelesaia itegral di atas dilakuka dega megguaka fugsi gamma, yaitu, Dalam hal ii, yp + y dy = dy Γ(p)Γ( p) Γ(p + p) 3

219 p = k + r p = r + k = r + k + r k = p + r k p = r k Sehigga, μ k = ( r k ) r μ k = ( r k ) r utuk k =. Γ ( r +r ) Γ ( r ) Γ (r ).. Γ (r + k) Γ (r k) Γ ( r + k) Γ (r k) Γ ( r +r ) Γ ( r ) Γ (r ) ; r < μ = r. Γ ( r + ) Γ (r ) r utuk k = μ = ( r ) r Jadi, Γ ( r ) Γ (r ) =. Γ (r + ) Γ (r ) r r. Γ ( r ) Γ (r ) = r r r r r r r. ( r + ) (r ) ( r ) (r ) = σ = μ μ = r (r + ) r r (r 4) ( r r ) = r (r + r ) r (r ) (r 4) r (r + ) r r (r 4) Sehigga terbukti bahwa, E(F) = μ = μ = r r Var(F) = σ = r (r + r ) r (r ) (r 4) C. Distribusi Rataa Sampel (X ) Misalka X, X, X 3,, X adalah sebuah sampel acak berukura ( > ) yag berasal dari distribusi ormal umum dega rataa μ da variasi σ. Rataa dari sampel acak tersebut ditulis sebagai, 4

220 X = X i i= Teorema.4 Diketahui fugsi distribusi peluag dari X i, i N, dega, X = X i i= Maka, rataa da variasi dari distribusi X adalah:. E(f) = μ. Var(f) = σ Bukti: KareaX i, i N~N(μ, σ ), maka fugsi pembagkit mome dari X i adalah, M Xi (t) = exp (μt + σ t ) Fugsi pembagkit mome dari X adalah, M X (t) = E[exp(tX)] M X (t) = E [exp (t X i )] i= M X (t) = E [exp ( X it )] i= M X (t) = E [ exp ( X it ) ] i= Karea X, X, X 3,, X adalah peubah acak yag salig bebas, maka, M X (t) = E [exp ( X it )] i= M X (t) = M i ( t ) i= 5

221 Karea X, X, X 3,, X adalah peubah acak yag berdistribusi idetik, maka setiap M i ( t ), i N dapat diotasika dega M (t ), sehigga, M X (t) = M ( t ) i= M X (t) = exp ( μt + σ t ) i= M X (t) = (exp ( μt + σ t )) M X (t) = exp (μt + σ t ) Terlihat bahwa X berdistribusi ormal dega mea μ da variasi σ Dalam peerapa pegguaa X, utuk memudahka perhitugaya X hedakya diubah ke dalam agka baku Z dega rumus Z = X μ σ D. Distribusi Variasi Sampel (S ) Misalka X, X, X 3,, X adalah sebuah sampel axak berukura ( > ) yag berasal dari distribusi ormal umum dega rataa μ da variasi σ.variasi dari sampel acak tersebut ditulis sebagai, Teorema.5 S = (X i X ) i= Diketahui fugsi distribusi peluag dari X i, i N, dega, maka, S ~χ ( ) Bukti: S = (X i X ) i= 6

222 (X i X ) = (X i μ + μ X ) i= i= (X i X ) = ((X i μ) (X μ)) i= i= (X i X ) = ((X i μ) (X i μ)(x μ) + (X μ) ) i= i= (X i X ) = (X i μ) (X i μ)(x μ) + (X μ) i= i= i= i= (X i X ) = (X i μ) (X μ) (X i μ) + (X μ) i= i= i= (X i X ) = (X i μ) (X μ) ( X i μ) + (X μ) i= i= i= i= (X i X ) = (X i μ) (X μ)(x μ) + (X μ) i= i= (X i X ) = (X i μ) (X μ)(x μ) + (X μ) i= i= (X i X ) = (X i μ) (X μ) + (X μ) i= i= (X i X ) = (X i μ) (X μ) i= i= Karea S =, maka (X i X ) ( )S = (X i X ) Sehigga, ( )S = (X i μ) (X μ) i= Kedua ruas dikalika dega σ i= i= 7

223 i= ( )S σ = (X i μ) σ (X μ) σ ( )S σ = ( X i μ σ ) ( X μ σ ) i= ( X i μ σ ) = i= Misalka, ( )S σ + ( X μ σ ) L = ( X i μ σ ) ( )S, J = σ, K = ( X μ σ ) i= Sehigga, L = J + K Fugsi pembagkit mome dari L adalah, M L (t) = E[exp(tL)] M L (t) = E[exp(t(J + K))] M L (t) = E[exp(tJ + tk)] M L (t) = E[exp(tJ). exp(tj)] Dalam hal ii, S da X salig bebas, karea E(S ) tidak megadug X, maka, M L (t) = E[exp(tJ)]. E[exp(tK)] M L (t) = M J (t). M K (t) atau, M J (t) = M L (t) M K (t) Sekarag, aka diretuka fugsi pembagkit mome dari L da K Fugsi pembagkit mome dari L M L (t) = E(exp(tL)) M L (t) = E [exp (t ( X i μ σ ) )] i= 8

224 M L (t) = E [exp ( t ( X i μ σ ) )] i= M L (t) = E [ exp (t ( X i μ σ ) )] i= Diketahui bahwa, a. X i, i N~N(μ, σ ) b. Z i = X i μ ~N(,) σ c. U i = Z = ( X i μ σ ) ~χ () d. M Ui (t) = ( t) ; t < Karea X, X, X 3,, X adalah peubah acak yag salig bebas, maka, M L (t) = E [exp (t ( X i μ σ ) )] i= M L (t) = E[exp(tU i )] i= M L (t) = M Ui (t) i= M L (t) = ( t) i= M L (t) = ( t) Fugsi pembagkit mome dari K M K (t) = E[exp(tK)] M K (t) = E [exp (t ( X μ σ ) )] Diketahui bahwa, a. X i, i N~N(μ, σ ) 9

225 b. X ~N (μ, σ ) c. Z i = X i μ ~N(,) σ d. V i = Z = ( X i μ σ ) ~χ () Sehigga, M V (t) = ( t) ; t < Didapat, M J (t) = M L(t) M K (t) ( t) = = ( t) ; t < ( t) Karea M J (t) = ( t) ; t < ( )S, berarti J = mempuyai fugsi σ pembagkit mome yag berdistribusi chi-kuadrat dega derajat kebebasa Terbukti bahwa J = ( )S σ ~χ ( )

226 CONTOH SOAL A. Distribusi T. Tetuka k yag memeuhip(k < T <,76) =, 45utuk sampel acak ukura 5 yag diambil dari suatu distribusi ormal dega derajat kebebasav = 4 Peyelesaia: Pada tabel distribusitdapat dilihat bahwa,76adalah ilait,5 bila v = 4. Jadi, t,5 =,76. Karea k dalam soal ii berada di sebelah kiri dari t,5 =,76,maka ambilah k = t α selajutya diperoleh,45 =,5 αatauα =,5 Jadi, dari Tabel Distribusi t, dega v = 4 k = t_,5 =, 977 Da P(,977 < T <,76) =,45,45 k,5 µ t. Hituglah dega megguaka tabel distribusi t : a. P (T 4,6) b. P (, 53 T 4,6) c. P (T,53) Peyelesaia:

227 a. Utuk mejawab soal ii maka, kita perlu melihat tabel distribusi t, cari kolom palig kiri, temuka agka 4 (sesuai dega derajat kebebasa-4), dari agka 4 ii kita tarik ke kaa, sehigga meemuka agka 4,6. Dari 4,6 ii kita tarik ke atas, maka kita temuka agka t,99 5. Jadi, P(T 4,6) =, 995. b. Seperti lagkah soal a, tetapi kita temuka dahulu P(T,53) =,9 da P(T 4,6) =,995, Jadi, P(,53 T 4,6) = P(T 4,6) P(T,53) =.995,9 =,95 c. P (T,53) = P (T,53) =,9 =, Jawaba tersebut digambarka dega grafik seperti di bawah ii B. Distribusi F. Utuk pasaga derajat kebebasa V = 4 da V = 8, ditulis juga (V, V) = (4,8), maka utuk P =,5 didapat F = 3,, sedagka utuk P =,, didapt F = 5,8 (lihat tabel 6, lampira 6). Ii diperoleh dega cara mecari 4 pada baris atas da 8 kolom kiri. Jika dari 4 turu da dari 8 ke kaa, maka diperoleh agka-agka tersebut. Yag atas utuk P =,5 da yag bawah utuk P =,. Notasi legkap utuk ilai-ilai F daftar distribusi F dega peluag P da dk = (V, V) adalah FP(V da V).. Sehigga pada cotoh ii, F.5(4.8) = 3. da F. (4.8) = 5.8.

228 Meskipu daftar yag diberika haya utuk peluag P =.5 da P =., tetapi sebearya masih bisa didapat ilai-ilai F dega peluag,99 da,95. Utuk itu diperluka hubuga F ( P)(V,V ) = F P(V,V ). Dalam rumus di sampig, perhatika atara P da -P da pertukara atara derajat kebebasa (V, V) mejadi (V, V). Telah didapat F.5 (4,8) = 3,, maka F,95(8,4) = Jadi, P(F,44) =,95 =,5 F,5(4,8) =,3 C. Distribusi X Misalka X adalah rataa dari sampel acak berukura 5 yag berdistribusi ormal dega rataa 3 da simpaga baku 4, a. Hitug P(X < 8) b. Hitug P(7 < X < 3) Peyelesaia: Dalam hal ii, μ = 3, σ = 4, da = 5 a. P(X < 8) = P ( X μ σ < = P(Z <,5) =,5 P(,5 < Z < ) =,5 P( < Z <,5) =,5,4938 =,6 b. P(7 < X < 3) = P ( 7 3 ) 4 < X μ σ < = P( 3,75 < Z <,5) = P( 3,75 < Z < ) + P( < Z <,5) ) 3

229 D. Distribusi S = P( < Z < 3,75) + P( < Z <,5) =,4999 +,4938 =,9937 Misalka S adalah variasi dari sampel acak berukura 6 yag berdistribusi ormal dega rataa μ da variasi. Hitug P(,3 < S <,) Peyelesaia: Peubah acak J = ( )S σ ~χ ( ) P(,3 < S <,) = P ( (5)(,3) = P(,96 < J < 9,5) = P(J < 9,5) P(J <,96) ( )S < σ < (5)(,) ) Dari Tabel Distribusi Chi-Kuadrat dega dk = 5, diperoleh: P(J < 9,5) =,9 P(J <,96) =,35 Jadi, P(,3 < S <,) =,9,35 =,865 4

230 LAMPIRAN Tabel t 5

231 Tabel Z Tab el F 6

232 7

233 Tabel χ 8