III. BESARAN, LOKASI, DAN VARIASI

Transkripsi

1 III. BESARAN, LOKASI, DAN VARIASI RATA-RATA Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili sehimpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata cenderung berada di tengah-tengah jika data disusun terurut. Sebagai nilai yang memiliki kecenderungan memusat, maka rata-rata disebut juga ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency). Jenis rata-rata: * Rata-rata hitung (arithmetic mean, disingkat mean saja) * Rata-rata ukur (geometirs mean: median, modus) * Rata-rata harmonis (harmonic mean) Rata-rata hitung (disingkat rata-rata saja), digunakan sebagai dasar melakukan perbandingan antara dua nilai atau dua kelompok atau lebih. Rata-rata juga digunakan untuk menentukan target/standar dari suatu persyaratan. Rumus rata-rata hitung N μ = 1/N X i μ = 1/N (X 1 + X 2 + X X N ) μ dibaca myu (simbol rata-rata sebenarnya/parameter). Rata-rata ini dihitung berdasarkan populasi (N). Rumus rata-rata perkiraan X = 1/n X i n X dibaca X-bar, simbol rata-rata X merupakan perkiraan μ X = 1/n (X 1 + X 2 + X X N ) Contoh 2-1 X = hasil ujian Statistik 50 orang Mahasiswa sebuah perguruan tinggi di Jakarta, sebagai berikut: Catatan: Urutan membaca tabel di atas (X 1, X 2,..., X 50 ) adalah berdasarkan urutan kolom/dari atas ke bawah). 13

2 Berdasarkan data di atas: a). Hitunglah rata-rata hasil ujian yang sebenarnya; b).ambillah sampel sebanyak 10 dan hitunglah rata-rata perkiraan. Sampel yang terpilih secara acak tersebut adalah X 2, X 4, X 8, X 15, X 25, X 30, X 32, X 40, X 45, dan X 50. : N a). μ = 1/N X i = 1/50 (X 1 + X 2 + X X 50 ) = 1/50 ( ) = 1/50 (3,259) = 65,18 65,2 n b). X = 1/n X i = 1/10 (X 2 + X 4 + X 8 + X 15 + X 25 + X 30 + X 32 + X 40 + X 45 + X 50 ) = 1/10 ( ) = 1/10 (771) = 71,1 Rata-rata perkiraan ternyata jauh lebih tinggi. Namun jika jumlah sampel ditambah lagi, maka hasilnya akan mendekati nilai rata-rata yang sebenarnya. Contoh 2-2 X f Berdasarkan data di atas, hitunglah rata-ratanya! f i X i 2(8) + 3(6) + 4(4) + 3(5) + 2(7) + 1(9) X = = f i = 88/15 = 5,87 Contoh 2-3 X = upah karyawan per bulan dalam ribuan rupiah f = banyaknya karyawan yang menerima upah X X f Hitunglah rata-rata upah per bulan per karyawan! f i X i 8(55) + 10(65) (150) X = = f i = 5845/70 = 83,50 Jadi rata-rata upah karyawan per bulan Rp

3 Menghitung Rata-rata dalam Kelompok/Kelas Contoh 2-4 Hitunglah rata-rata perkiraan berat badan 100 orang mahasiswa Fikom, Universitas Esa Unggul, tahun 2010, dengan data sebagai berikut: Berat Badan Banyaknya Mahasiswa (kg) (f) Berat Badan (kg) M f Mf Jumlah f = 100 Mf = Mf i X = = f i = / 100 = 67,45 Jadi rata-rata perkiraan berat per mahasiswa = 67,45 kg Rata-rata Tertimbang (Wighted Aritmethic Mean) Contoh 2-5 Seorang mahasiswa menempuh ujian matakuliah Strategi Kreatif (3 SKS), Kuliah Kerja Praktik (5 SKS), Komunikasi Antarbudaya (3 SKS), dan Lab Bahasa Inggris (1 SKS). Nilai pada KHS adalah Strategi Kreatif = 82, Kuliah Kerja Praktik = 86, Komunikasi Antarbudaya = 90 dan Lab Bahasa Inggris = 70. Hitung rata-rata nilai tersebut! X W

4 WX i 3(82) + 5(86) + 3(90) + 1(70) X = = = 1/12 (1.016) = 84,67 W i MEDIAN Adalah nilai tengah. Jika sekelompok nilai sebanyak n, kemudian diurutkan mulai dari yang terkecil X 1 sampai dengan yang terbesar X n, maka diperoleh nilai tengah (Median/Med).. Jika n ganjil, maka n = 2k + 1 misal n = 7 7 = 2k + 1 k = 6/2 = 3 Contoh 2-6 Ada 7 karyawan dengan upah per hari, masing-masing Rp , Rp , Rp , Rp , Rp , dan Rp Tentukan berapa besarnya Median! Urutan data, mulai dari terkecil hingga terbesar: Menentukan nilai k dari 7 = 2k + 1 k = 6/2 = 3 Jadi Median = Med = X k+1 = X 4 = Rp Jika n genap, maka n = 2k misal n = 8 8 = 2k k = 8/2 = 4 Median = ½ (X k + X k+1 ) Contoh 2-7 Ada 10 orang mahasiswa memperoleh nilai ujian, masing-masing: 40, 70, 60, 75, 65, 80, 90, 45, 50, 95. Berapa besarnya median dari nilai tersebut? Urutan data, mulai dari terkecil hingga terbesar: Menentukan nilai k dari 10 = 2k k = 10/2 = 5 Jadi Median = Med = ½ (X k + X k+1 ) = ½ (X 5 + X 6 ) = ½ ( ) = 67,5 Menghitung Median untuk Data Berkelompok/Berkelas Menghitung Median secara interpolasi Median = Med = L 0 + c n/2 ( f i ) 0 f m L 0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median; n = banyaknya semua frekuensi/pengamatan ( f i ) 0 = jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median, tidak termasuk); 16

5 f m c = frekuensi dari kelas yang mengandung median; = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya (besarnya kelas interval yang mengandung median). Contoh 2-8 X = upah karyawan di suatu perusahaan, yang dibulatkan menjadi ribuan rupiah. Ada 40 karyawan yang diriset dengan kuesioner. Satu hal yang ditanya adalah tentang besarnya upah bulanan dalam ribuan rupiah, yang hasilnya sebagai berikut: Berapa besarnya nilai median upah karyawan, secara langsung dan berkelompok? Mengurutkan data dari terkecil (X 1 = 119) hingga terbesar (X 40 = 176) Mengelompokkan data dan disajikan dalam tabel frekuensi sbb.: Upah Frekuensi Menentukan nilai k: 40 = 2k k = 40/2 = 20 Menghitung Med Med = ½ (X k + X k+1 ) = ½ (X 20 + X 21 ) = ½ ( ) = 146 Menghitung Med secara interpolasi Tahapannya adalah: * Memeriksa bahwa 20 observasi terletak di bawah median, dan 20 observasi lainnya terletak di atas median. * Memeriksa bahwa f 1 + f 2 + f 3 = = 17 observasi, yang berarti bahwa belum mencapai 20. Untuk mencapai 20, diperlukan 3 observasi yang berarti terletak pada f 4 (f 4 = 12 observasi). * Jadi median terletak pada f 4 atau kelas keempat, yaitu Sebagai data kontinu berarti sama dengan 144,5 153,5. Karena itu median akan terletak di posisi 3/12 pada 144,5 153,5. * L 0 = 144,5 (batas bawah yang sebenarnya/data kontinu) n/2 = 40/2 = 20 ( f i ) 0 = f 1 + f 2 + f 3 = = 17 f m = 12 c = (153,5 144,5) = 9 17

6 Med = L 0 + c Med = 144,5 + 9 n/2 ( f i ) 0 f m 40/ = 144,5 + 9 (20 17) : 12 = 144,5 + 27/12 = 146,75 MODUS Adalah nilai dari suatu kelompok data yang mempunyai frekuensi tertinggi, atau sering disingkat Mod. Contoh 2-9 Dari data berikut, apakah ada Mod-nya. Jika ada, tentukan nilainya! a) b) c) * Dapat dibuat tabel frekuensinya, juga dengan gamabar diagram. a) X f Mod Mod b) Semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, sehingga tidak ada Mod. c) 4 merupakan Mod 1 dan 7 sebagai Mod 2 Modus untuk Data Berkelompok Rumus Mod = L 0 + c (f 1 ) 0 (f 1 ) 0 + ( f2 ) 0 L 0 f m0 = nilai batas bawah, kelas yang memuat nodus; = frekuensi kelas yang memuat modus; (f 1 ) 0 = f m0 f (m0-1) = seleisih frekeuensi kelas yang memuat modus dengan 18

7 frekuensi kelas sebelumnya (bawahnya); ( f2 ) 0 = f m0 f (m0+1) = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (atasnya); c = besarnya jarak antara nilai batas atas dan nilai batas bawah dari kelas yang memuat modus. Contoh 2-10 Carilah modus dari data pada tabel frekuensi di bawah ini! Kelas f 50,00 59, ,00 69, ,00 79,99 16 kelas yang berisi modus, f m0 = 16 80,00 89, ,00 99, ,00 109, ,00 119,99 2 Jumlah 65 L 0 = ½ (69, ,00) = 69,995 dan nilai batas kelas atas = ½ (79, ,00) = 79,995; c = 79,995 69,995 = 10 f (m0-1) = 10 dan f (m0+1) = 14; (f 1 ) 0 = = 6; ( f2 ) 0 = = 2 (f 1 ) 0 Mod = L 0 + c = 69, (f 1 ) 0 + ( f2 ) = 69, /8 = 69, ,5 = 77,495 77,50 19