Statistika. Matematika Kelas XI Program IPA. Ukuran Pemusatan Data dan Penafsirannya. Ukuran Letak Data dan Penafsirannya

Transkripsi

1

2 Statistika Membaca dan Menyajikan Data Ukuran Pemusatan Data dan Penafsirannya Ukuran Letak Data dan Penafsirannya Ukuran Penyebaran Data dan Penafsirannya Penyajian data Mean Median Modus Kuartil Persentil Jangkauan Simpangan kuartil Simpangan baku Mampu bersikap kritis dalam menghadapi permasalahan dan menyelesaikannya. Mampu menjelaskan istilah-istilah dalam statistika. Mampu menjelaskan cara mengumpulkan data. Mampu membaca data dalam bentuk tabel dan diagram. Mampu menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram. Mampu menjelaskan arti mean, median, dan modus. Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data tunggal. Mampu menghitung nilai, mean, median, dan modus data berkelompok. Mampu menghitung nilai kuartil data tunggal. Mampu menghitung nilai kuartil data berkelompok. Mampu menghitung nilai persentil data tunggal. Mampu menghitung nilai persentil data berkelompok. Mampu menghitung jangkauan, jangkauan antarkuartil, dan simpangan kuartil data tunggal dan data berkelompok. Mampu menghitung simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tunggal dan data berkelompok. Matematika Kelas XI Program IPA

3 A. Pilihan Ganda. Jawaban: d Titik tengah kelas interval ( + ) 8. Jawaban: b Kelas interval kedua adalah. Kelas interval ketiga adalah 0. Tepi atas kelas interval adalah,. Tepi bawah kelas interval 0 adalah,. Dengan demikian, tepi kelas, sebagai tepi atas kelas interval kedua dan sekaligus sebagai tepi bawah kelas interval ketiga.. Jawaban: a Jumlah siswa Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 0 +. Persentase banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 0 kg 00% 0,...% 0,%. Jawaban: b Misalkan Burhan memasukkan bola ke dalam ring sebanyak n kali. Jumlah frekuensi bola masuk ke dalam ring n n 0 n 8 Jadi, Burhan memasukkan bola ke dalam ring sebanyak 8 kali.. Jawaban: b Selisih banyak lulusan yang diterima di perguruan tinggi negeri tahun 00 dan siswa.. Jawaban: e Berdasarkan diagram di atas, titik tertinggi terjadi pada tahun 0, yaitu sebanyak 0 siswa.. Jawaban: b Jumlah siswa kelas XI orang TNI/polri orang 0 Wiraswasta 90 00% % 0 PNS orang 0 Selisih banyak orang tua siswa bekerja sebagai 08 PNS dan pedagang orang 0 8. Jawaban: c Usia (Tahun) Jumlah Banyak Pengunjung 8 0 Jadi, banyak pengunjung yang berusia kurang dari 0 tahun orang. 9. Jawaban: e Poligon frekuensi merupakan diagram yang menyajikan titik-titik tengah nilai data. Titik tengah ( + ), Titik tengah, mempunyai frekuensi. Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan cm ada anak. 0. Jawaban: e Ogive di atas merupakan ogive positif (kurang dari). Banyak siswa yang berat badannya kurang dari, kg ada anak. Banyak siswa yang berat badannya kurang dari 0, kg ada anak., merupakan tepi bawah dan 0, merupakan tepi atas. Dengan demikian kelas intervalnya 0. Banyak siswa yang berat badannya 0 kg anak. B. Uraian. Jawaban: a. Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Kenaikan Penjualan (Eksemplar) Dari tabel kenaikan penjualan buku di atas, terlihat kenaikan penjualan tertinggi terjadi pada bulan Mei Juni, yaitu sebanyak eksemplar. Statistika

4 b. Banyak penjualan buku pada bulan April 0 eksemplar. Banyak penjualan buku pada bulan Mei 80. Persentase penurunan penjualan buku pada bulan April Mei % %,% Frekuensi. Misalkan: Hasil panen ikan dari kolam III n. Hasil panen ikan dari kolam VI n. Jumlah hasil panen ikan dari keenam kolam kuintal n n 0 + 8n 8n n Hasil panen ikan dari kolam III n kuintal Hasil panen ikan dari kolam VI n 0 kuintal Jadi, banyak hasil panen ikan dari kolam III dan VI berturut-turut kuintal dan 0 kuintal.. SD orang 00 SMP orang SMA orang SMK orang 00 Perguruan Tinggi orang 00.,,,9,, Panjang Bambu (m) Tabel distribusi frekuensi: Histogram: f Nilai 0 0 Nilai 0 0 f k 9 9 f f Panjang Bambu (m) Titik Tengah Frekuensi,,8,9,,,, 8,0 8, 9,,,,9,, 0 0,, 0,, 0,, Nilai Matematika Kelas XI Program IPA

5 A. Pilihan Ganda. Jawaban: b Modus data pada diagram batang ditunjukkan dengan batang paling tinggi. Usia tahun mempunyai batang paling tinggi, maka modus data.. Jawaban: c Usia (tahun) Banyak data 0. Oleh karena banyak data genap maka: M e (nilai data ke- n + nilai data ke-( n + )) (nilai data ke- 0 + nilai data ke-( 0 + )) (nilai data ke- + nilai data ke-) ( + ), tahun Jadi, median data adalah, tahun.. Jawaban: c f x i i x f i 8 f k tahun Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis di sanggar tersebut tahun.. Jawaban: d Rata-rata hasil panen teh.000 (00 + n n ) n n.00 n.00 n 00 Hasil panen teh tahun 00 n ton. Hasil panen teh tahun ton. Persentase kenaikan hasil panen teh tahun % % 8,%. Jawaban: d Nilai Jumlah M e nilai data ke- + nilai data ke-, Nilai data ke-, terletak pada kelas interval 0 9. n f km M e L + e f p Me 0 9, , + 0. Jawaban: c Untuk menentukan rata-rata, tabel dilengkapi menjadi tabel berikut. x Nilai Jumlah fi xi i fi i 8 0 f k Kelas median x i 9 8 8, x i Jadi, rata-rata data di atas adalah,. Statistika

6 . Jawaban: b Tabel dari histogram pada soal sebagai berikut. Nilai Frekuensi 0 8 Kelas modus Kelas modusnya yaitu 8 dengan frekuensi 0. Jadi, selisih terhadap kelas modus: L, d 0 d 0 p,, d M o L + d+ d p, + +, +, 0 Jadi, modus data tersebut adalah Jawaban: d Selisih terbesar antara dua f k yang berdekatan 0 8 sehingga frekuensi kelas modus. Frekuensi dimiliki kelas interval yang mempunyai tepi bawah, dan tepi atas,. Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus 8. Frekuensi kelas interval setelah kelas modus 0. Dengan demikian diperoleh: L, p,, d 9 d d M o L + d+ d p 9, + 9+, + 9, +,8, Jadi, modus panjang ikan, cm. 9. Jawaban: a x fi xi i fi i.890 0,8 Jadi, rata-rata data adalah,8. 0. Jawaban: c Banyak data Median nilai data ke- ( + ) nilai data ke-, Nilai data ke-, terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah. Tepi bawah kelas median L ( +), Tepi atas kelas median ( + 0) 8, p 8,, f M e 8 f k Me + M e L + x i (, +,) (, +,) 9 (, +,) (, +,) 9 (, +,) (, +,) Jumlah x i 0, n f km e fm e f k 9 p Kelas M e x i , +, +, Jadi, median volume benda cm. Matematika Kelas XI Program IPA

7 0n B. Uraian. Misalkan banyak siswa yang memerlukan waktu menit n, maka banyak siswa yang memerlukan waktu 0 menit n. Rata-rata waktu,9 n n n,9 n n + 8,9 n +,9(n + 8) n +,8n +,, n, n Waktu (Menit) Jumlah siswa 0 f k 0 Letak median Median (nilai data ke- 0 + nilai data ke-( 0 + )) (nilai data ke- + nilai data ke-) ( + ) menit Jadi, median waktu yang diperlukan siswa dari rumah ke sekolah menit.. Modus terletak di kelas interval dengan frekuensi paling banyak. Modus pada data tersebut terletak di kelas interval 0 9. d 9 d 8 p 9, 9, 0 L 9, d M o L + d+ d p. Banyak data n 0 Median nilai data ke- (n + ) nilai data ke- (0 + ) nilai data ke-0, Nilai data ke-0, terletak di kelas interval. L 0, 0, f Me f kme p,, M e L + 0, + n f km e fm e p 0 0, + 9 0, + 0, 0,8 Jadi, median data di atas adalah 0,8 cm. x i 0 0 Banyak data n Median nilai data ke- ( + ) nilai data ke-, Nilai data ke-, terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah gram. L ( + ), f M e f + + k Me f k 8 kelas M e. 9, + Tinggi Badan (cm) , +, Jadi, modus data di atas adalah,. f k kelas M e p ( + ), 9,, M e L + n f km e fm e p, +, + 0, Jadi, median berat apel, kg. Statistika

8 . Titik Tengah (x i ) x i Rata-rata usia karyawan bagian produksi fi xi (9, +,) i fi (, + 9,) i.90 00,9 cm Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kota (9, +,) 8 tersebut,9 cm. (, + 9,) 0 0 (9, +,) (, + 9,) 0 0 i i f00 i i f x.90 i A. Pilihan Ganda. Jawaban: c n 0 Q nilai data ke- (0 + ) nilai data ke-, x + 0,(x x ) ,(8 80) , 80, Jadi, kuartil atas data tersebut, yaitu 80,.. Jawaban: e Ukuran Sepatu n 0 9 f k D 9 nilai data ke- 9 ( + ) 0 nilai data ke-, x + 0,(x 8 x ) 0 + 0, ( 0) 0 + 0, 0, Jadi, desil ke-9 data tersebut 0,.. Jawaban: b Data terurut:,,,, 8, 9, 0,,, P 0 Nilai data ke- 0 (0 + ) 00 Nilai data ke-, x + 0,(x 8 x ) 0 + 0,( 0) 0 +,,. Jawaban: c Tinggi Badan (cm) Q nilai data ke- + nilai data ke-8 Nilai data ke-8 terletak di kelas interval. kq Q L + n f f p Q, +, + (, ), +,, Jadi, kuartil pertama data tersebut,.. Jawaban: d Nilai n f k 8 f k 0 8 Matematika Kelas XI Program IPA

9 Q nilai data ke- + nilai data ke- Nilai data ke- terletak di kelas interval kq Q L + n f f p Q 8, +, 8, + 8, + 0, 88, ( + ) Q nilai data ke- nilai data ke- Nilai data ke- terletak di kelas interval kq Q L + n f f p Q 99, + 99, +, 99, +, 0, Jangkauan antarkuartil: H Q Q 0, 88,, Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut,.. Jawaban: a Data setelah diurutkan: x f x i i n Simpangan rata-rata SR x x i fi ( ) + ( 0) + ( ) ,00. Jawaban: a Data yang telah diurutkan: 8 9 n n x S x i i n x i 8 9 i i fi i i i f x x Σf 0, Jadi, simpangan baku data tersebut adalah,. 8. Jawaban: a x i x 0 Banyak Pengunjung D nilai data ke- (9 + ) 0 nilai data ke- 0 0 nilai data ke- (x i x Nilai data ke- terletak di kelas interval. kd D L + n f 0 f p D 0 9 0, + 8 9,, + 8, +,, Jadi, desil ke- data tersebut,. 9. Jawaban: a P nilai data ke- (0 + ) 00 nilai data ke-, f k 0 9 fi i (x i x 0 (x i x 0 8 Statistika

10 Nilai data ke-, terletak di kelas interval yang mempunyai tepi bawah 0, dan tepi atas 0,. n 0 f k P Pf 9 p 0, 0, 0 kp P L + n f 00 f p P , + 0 0, + 0, 0 0, +, Jadi, persentil ke- data tersebut,. 0. Jawaban: c Data yang telah diurutkan: 8 9 n xi i x n Varians V(S) i i (x x) n ( ) + ( ) + ( ) + (8 ) + (9 ) , Jadi, variansi data tersebut adalah,. B. Uraian. Usia (Tahun) 0 x k 0 0 Jumlah Q nilai data ke- n + nilai data ke- nilai data ke- 0 (n + ) Q nilai data ke- nilai data ke- nilai data ke-8 H Q Q 0 Jadi, jangkauan antarkuartil data.. Data setelah diurutkan:,,, 8, 8, 8, 9, 9, 0, x , Simpangan rata-rata SR Σ xi x n 8, + 8, + 8 8, + 9 8, + 0 8, 0, +, + 0, + 0, + 0,8 +,8 0, +, + 0, +, +, 0 0, 0,0 Jadi, simpangan rata-rata data adalah,0. Panjang (cm) Jumlah a. x S 0 f x i i i fi i i i i fi i f(x x) x i 9, 9, 9, 9, 89, 99, 09,.0 0 x i , 8 8, , x i x Jadi, variansi data tersebut. (x i x) Matematika Kelas XI Program IPA 9

11 . a. b. S S 8, Jadi, simpangan baku data tersebut 8,. Tinggi (m) D 8 nilai data ke- 8 (0 + ) 0 nilai data ke-8,8 Nilai data ke-8,8 terletak di kelas interval. 8 0 f 0 kd D 8 L f p D8, + 8 9, + 9, +,, Jadi, desil kedelapan data tersebut, cm. b. P 9 nilai data ke- 9 (0 + ) 00 nilai data ke-,9 Nilai data ke-,9 terletak di kelas interval 8. L 9, f k P9 Pf f k 9 0 Kelas P 9 Kelas D 8. a. b. 9 kp9 P 9 L 9 + n f 00 f p P , +, +,, + 0,, Jadi, nilai persentil ke-9 data tersebut,. Nilai Jumlah x fi xi i fi i 80 0 Jadi, rata-rata data. S Nilai Jumlah f(x x) i i i f i i , 0 Jadi, variansi data tersebut 8,. x i x i x i x i x 8 (x i x ) A. Pilihan Ganda. Jawaban: a Penurunan hasil panen tertinggi terjadi pada bulan VI VIII. Banyak penurunan 0 ton.. Jawaban: c Kenaikan hasil panen tertinggi terjadi pada tahun Persentase kenaikan hasil panen tahun % %,% Penurunan hasil panen terendah terjadi pada tahun Statistika

12 Persentase penurunan hasil panen tahun % %,% Jawaban: c Misalkan banyak angkatan kerja di provinsi Sumatra Selatan x (,0 +, +,8 +,9 +, + x + 0,89 +,8) , 9, + x x, Jadi, banyak angkatan kerja di Provinsi Sumatra Selatan, juta atau orang.. Jawaban: d Jumlah nilai ekspor (. +.99,) + (., +.80,8) + (.0,9 +.0,) + (x +.9,9) + (.0,8 +.,) 80.9,.00,8 + x x.8, Jadi, nilai ekspor migas pada bulan April.8, juta dolar Amerika.. Jawaban: a Misalkan seluruh alat yang digunakan y. Persentase juring laptop %. Pengguna laptop orang sehingga: % y 00 y y 00 Perentase juring tablet 00 (% + % + % + 0%) 00% 9% % Banyak pengguna tablet % 00 orang Jadi, banyak pengguna tablet ada orang.. Jawaban: c M o terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah,. Tepi bawah kelas modus L (0, +,) (9) 09, Tepi atas kelas modus (, +,) (9) 9, p 9, 09, 0 d M o L + d+ d p 09, + ( ) + ( ) 0 09, , +, Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak, kg.. Jawaban: c Juring dusun D dan dusun C menempati lingkaran, besar sudut juring dusun D dan dusun C 80. Besar sudut juring dusun D Juring dusun A, dusun B, dan dusun E menempati lingkaran, besar sudut juring dusun A, dusun B, dan dusun E 80. Besar sudut juring dusun A 80 (0 + 0 ) Besar sudut juring dusund Besar sudut juring dusun A Banyak sapi di dusun D Banyak sapi di dusun A n n n Jadi, banyak sapi di dusun A ada ekor. 8. Jawaban: d Misalkan N hasil penjualan seluruh barang Persentase juring busana 00% (% + 9% + % + %) 00% 80% 0% Penjualan busana penjualan kosmetik 0% N % N (0% %) N % N N Rp ,00 Penjualan alat tulis % N Rp ,00 Jadi, hasil penjualan tas sebanyak Rp ,00. Matematika Kelas XI Program IPA

13 9. Jawaban: c Jarak per Liter Bensin 0 8 f k Sepeda motor yang tidak tergolong irit menggunakan liter bensin untuk menempuh jarak kurang dari 8 km. Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada 0 unit. Persentase banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit 0 00%,% 0 Jadi, banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit sebesar,%. 0. Jawaban: c Data tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagai berikut. Tinggi Tanaman (cm) 0 f k Banyak tanaman yang mempunyai ketinggian kurang dari cm adalah. Persentase 00% 0% 0 Jadi, banyak tanaman tersebut sebesar 0%.. Jawaban: e Frekuensi kurang dari, 00. Frekuensi kurang dari 9, 9 Berdasarkan grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatini paling kecil Tinggi badan siswa paling sedikit adalah 0 cm.. Jawaban: e Data setelah diurutkan:,,, 9, 0, 0,,, Banyak data 9 Median Me data ke Jawaban: c Sumbangan kelompok I: x Rp.000,00 Rp0.000,00 Sumbangan kelompok II: x 8.00 Tidak irit Irit Tinggi tanaman kurang dari cm data ke- 0. Rp.000,00 Sumbangan kelompok III: x 0.00 Rp.000,00 Sumbangan kelompok IV: x.000 Rp.000,00 Sumbangan kelompok V: x.000 Rp0.000,00 Rata-rata sumbangan seluruh kelompok: x+ x + x + x + x x Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp.00,00. Sumbangan kelompok II: x 8.00 Rp.000,00 Sumbangan kelompok III: x 0.00 Rp.000,00 Sumbangan kelompok IV: x.000 Rp.000,00 Sumbangan kelompok V: x.000 Rp0.000,00 Rata-rata sumbangan seluruh kelompok: x+ x + x + x + x x Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp.00,00.. Jawaban: a Banyak siswa di kelas A n A Banyak siswa di kelas B n B 0 Banyak siswa di kelas C n C Rata-rata nilai gabungan x 8, Rata-rata nilai di kelas A x A Rata-rata nilai di kelas C x C 0 Statistika

14 n x + n x + n x n + n + n x A A B B C C 8, A B C + 0 xb xB +.0 8, x B +.0 0x B 00 x B 0 Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 0.. Jawaban: d Tabel untuk data pada histogram. Data x i x i M e L + 0, + n f km e fm e p , + 0 0, +, Jadi, mediannya adalah,. 8. Jawaban: e Poin x i 9 8 x i 8 0 Jumlah 8 Jumlah 0 x n fi xi i n fi i 8,. Jawaban: e Frekuensi terbesar adalah 0, yaitu pada interval 0 (kelas modus). L 9, d 0 9. d 0 8. p 9,, d M o L + d+ d p 9 9, , +,,8 Jadi, modus data di atas adalah,8.. Jawaban: c Nilai 0 0 Jumlah 0 0 f k Kelas Median M e nilai data ke- 0 + nilai data ke-, Nilai data ke-, terletak di kelas interval. x fi xi i fi i 0, Jadi, rata-rata poin yang dicetak pemain tersebut,. 9. Jawaban: b Data Frekuensi Modus terdapat pada interval dengan f d 0 d L, p d M o L + d+ d p + ( ) +, +,, Modus data tersebut adalah,. Matematika Kelas XI Program IPA

15 0. Jawaban: e Skor 8 0 Jumlah x fi xi i fi i 8 0 9, Jadi, rata-rata skor tersebut 9,.. Jawaban: b Data setelah diurutkan: 8 Q nilai data ke- + nilai data ke- ( + ) Q nilai data ke- nilai data ke-9 Jadi, kuartil atas dan kuartil bawah berturut-turut dan.. Jawaban: c Kuartil bawah Q. Q nilai data ke- (8 + ) data ke-, Data ke-, terletak pada kelas interval Q 9, , +,,0 Jadi, kuartil bawah data adalah,0.. Jawaban: c Data setelah diurutkan:,,,,, 8, 9, 9, (9 + ) Letak Q 0 Q x + (x x ) + ( ) Letak Q 0 x i 9 (9 + ) x i Q x + (x 8 x ) 9 + (9 9) 9 Jangkauan Q Q 9 Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah.. Jawaban: c Data setelah diurutkan: Q nilai data ke- + nilai data ke-, x + 0,(x x ) + 0,(9 ) + 0,, ( + ) Q nilai data ke- nilai data ke-, x + 0,(x x ) + 0,(8 ) +,, Simpangan kuartil (Q Q ) (,,) (9,),8 Jadi, simpangan kuartil data tersebut,8.. Jawaban: e x SR ( ) ( ) ( ) 9 0 9, Jadi, simpangan rata-rata data adalah,.. Jawaban: e n x Nilai (x) 8 Jumlah x i x 0 (x i x ) x 9 9 Statistika

16 s i i i f(x x) n Ragam s, Jadi, ragam data adalah,.. Jawaban: d Nilai D nilai data ke- (0 + ) nilai data ke-, 0 Nilai data ke-, terletak pada kelas interval f 0 kd D L + f p D, +, + 9, Jadi, desil ke- data tersebut 9,. 8. Jawaban: a Usia (Tahun) P 0 nilai data ke- 0 (0 + ) 00 nilai data ke-9, Nilai data ke-9, terletak di kelas interval 8. 0 kp P 0 L 0 + n f 00 0 f p P0, f k f k 0 Kelas D Kelas P 0, + 9, Jadi, persentil ke-0 data tersebut 9,. 9. Jawaban: d Tinggi (meter) x S fi xi i fi i i i i fi i f(x x) ,9 Jadi, ragam data tersebut 9,9. 0. Jawaban: c f x i i i fi i i i i x.80 0 f x x Simpangan rata-rata: SR Jumlah x i i i i fi i f x x 9 0 (9, +,) (, + 9,) (9, +,) (, + 9,) (9, +,) Jumlah x i x i x i x 0 Jadi, simpangan rata-rata data adalah (x i x ) x i Matematika Kelas XI Program IPA

17 B. Uraian. a. Diagram Garis b. Hasil perikanan terbanyak, yaitu ton yang terjadi pada tahun 0. c. Besar penurunan hasil perikanan tahun 0 ton.. a. Jumlah siswa SMA Karya Jaya 00 orang 80 orang b. Banyak siswa kuliah di fakultas Fisip orang orang 00 orang. x i x Jumlah (ton) Jumlah fi xi i fi i Tahun x i , Benda yang mempunyai berat minimal kg di atas rata-rata berat benda adalah benda yang mempunyai berat minimal 8, kg. Banyak benda yang mempunyai berat minimal 8, kg + 8. Jadi, terdapat benda yang mempunyai berat minimal kg di atas rata-rata berat.. a. b. Nilai (x i ) Jumlah x f x i i r fi r 80 0 Jadi, rata-rata data tersebut. i i i fi i Jadi, ragam data tersebut,. (x i x ) , 0. Untuk menentukan mean, tabel dilengkapi menjadi tabel berikut. x fi xi i fi i.8 0, Jadi, mean data tersebut adalah, cm. Banyak data n 0 sehingga letak mediannya pada frekuensi 0. M e terletak di kelas interval 0. M e L + 0 Nilai (x i ) Ragam: S Jumlah 0 n f km e fm e x i x i x 0 f(x x) Tinggi Badan (cm) Jumlah Tinggi Badan (cm) p 0 0 f k 8 0 x i x i Kelas median Statistika

18 9, , +, Jadi, median data di atas adalah, cm.. M e nilai data ke- + nilai data ke-8 Nilai data ke-8 terletak pada kelas interval yang mempunyai tepi bawah, dan tepi atas 9,. L, p 9,, f k Me f M e 0 n f km e M e L + f M e, +, p, +,, Jadi, median data di atas adalah, cm.. Titik tengah yang frekuensinya paling banyak adalah 8. Berarti modus data terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 8.. Tepi bawah kelas modus L ( + 8), Tepi atas kelas modus (8 + ) 0, p 0,, d 9 d d M o L + d+ d p 9, + 9+, + 8, Jadi, modus data 8,. Tinggi Badan (cm) f f k 80 Kelas Q Kelas Q 8. Q nilai data ke- (80 + ) nilai data ke-0, Nilai data ke-0, terletak di kelas interval 9. Q L + 8, + n f kq fq 8, + 0 8, + 9, p 80 0 Q nilai data ke- (80 + ) nilai data ke-0, Nilai data ke-0, terletak di kelas interval 0. n f kq Q L p f Q 80, +, +, + 8, Simpangan kuartil: Q d (Q Q ) (8, 9,) 9, Jadi, simpangan kuartil tinggi siswa putri, cm. Nilai f k Kelas D D nilai data ke- (0 + ) 0 nilai data ke-9, Nilai data ke-9, terletak pada kelas interval. Matematika Kelas XI Program IPA

19 9. kd D L + n f 0 f p D 0 0, + 0, + 0, +, Jadi, nilai desil ke- data tersebut,. Berat (gram) P 0 nilai data ke- 0 (0 + ) 00 nilai data ke-, f k 8 0 Kelas M e Nilai data ke-, terletak di kelas interval kp P 0 L 0 + n f 00 0 f p P , + 0, + 8 0, + 08, Jadi, nilai persentil ke-0 data tersebut 08,. 0. a. b. x fi xi i fi i Jadi, rata-rata panjang potongan bambu 8 cm. i i i f(x x) ( 8) + 0( 8) + ( 8) + ( 8) + 0( 8) + ( 8) + 9( 8) ( ) + 0( ) + ( ) + ( ) + 0() + (9) + 9() Variansi: S Panjang (cm) Jumlah i i i fi i f(x x) x i x i Jadi, variansi panjang potongan bambu cm. 8 Statistika

20 Peluang Kaidah Pencacahan Peluang Suatu Kejadian Peluang Kejadian Majemuk Aturan perkalian Permutasi Kombinasi Ruang sampel dan titik sampel Peluang kejadian Frekuensi harapan Peluang dua kejadian saling lepas Peluang dua kejadian saling bebas Peluang dua kejadian bersyarat Bersikap jujur dalam melakukan kegiatan percobaan maupun dalam berbuat keseharian. Mampu mendefinisikan pengertian aturan perkalian. Mampu menggunakan aturan perkalian. Mampu mendefinisikan pengertian permutasi. Mampu menggunakan permutasi. Mampu mendefinisikan pengertian kombinasi. Mampu menggunakan kombinasi. Mampu mendefinisikan pengertian ruang sampel suatu percobaan. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan. Mampu mendefinisikan pengertian peluang suatu kejadian. Mampu menentukan peluang suatu kejadian. Mampu menentukan kisaran nilai peluang. Mampu menentukan frekuensi harapan. Mampu mendefinisikan pengertian kejadian majemuk. Mampu menentukan peluang kejadian majemuk. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aturan perkalian. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan permutasi. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kombinasi. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan peluang. Matematika Kelas XI Program IPA 9

21 A. Pilihan Ganda. Jawaban: c n! (n )! n(n )(n )! (n )! n(n ) n n 0 (n )(n + ) 0 n atau n Nilai n harus positif. Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu.. Jawaban: b (n + )! (n )! (n + ) P 9 n P (n + )! (n + )! (n + )! (n )! (n )! n! n! (n )! n! (n )! (n + )n! n! 9 n + 9 n 8 Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8.. Jawaban: b n C n n!!(n )! n n(n )(n )(n )! (n )! n n(n )(n ) n n(n )(n ) n (n )(n ) n n + 0 n n 0 0 (n )(n + ) 0 n atau n n harus positif. Jadi, n n C 0 C 0! 0 9 8!!!! 0. Jawaban: e Permasalahan tersebut dapat diselesaikan menggunakan aturan perkalian. Banyak pasangan menu makanan dan minuman banyak menu makanan banyak menu minuman 0 0 Jadi, banyaknya pasangan menu makanan dan minuman ada 0.. Jawaban: e Angka yang tersedia,,,,, dan. Akan disusun bilangan terdiri atas angka dengan angka-angka yang berlainan. Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara Angka I dapat diisi oleh angka yang tersedia. Setelah satu angka digunakan untuk mengisi angka I, tersisa angka. Angka II dapat diisi oleh angka yang tersisa. Setelah dua angka digunakan untuk mengisi angka I dan II, tersisa angka. Angka III dapat diisi oleh angka yang tersisa. Setelah tiga angka digunakan untuk mengisi angka I, II, dan III, tersisa angka. Angka IV dapat diisi oleh angka yang tersisa. Banyak susunan bilangan angka yang tersusun 0 Cara lain: Bilangan. berbeda dengan bilangan.. Artinya penyusunan bilangan tersebut memperhatikan urutan (permutasi). Banyak bilangan angka yang dapat disusun dari angka yang tersedia permutasi dari P!!!! 0. Jawaban: a Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan aturan perkalian. Banyak cara berpakaian Joni dengan penampilan berbeda cara Jadi, banyak cara berpakaian Joni adalah penampilan berbeda.. Jawaban: c Akan dipilih anak sebagai ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas. Pemilihan ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas merupakan pemilihan yang memperhatikan urutan (permutasi). Banyak cara memilih pengurus dari pengurus permutasi dari P!!!.0! Jadi, banyak cara memilih pengurus.0 cara. 0 Peluang

22 8. Lima anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka adalah Andre, Monika, Susan, Dea, dan Resa. Jika Resa harus berdiri di salah satu ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah.... a. 8 d. 8 b. 8 e. 0 c. 08 Jawaban: a Resa selalu ada di salah satu ujung sehingga ada cara. Sisanya ada anak yang dapat diatur dengan P cara. Sehingga banyak urutannya P! 8 Jadi, banyak urutan yang dibentuk ada Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata NUSANTARA adalah.... a d..0 b. 0.0 e..0 c..0 Jawaban: b NUSANTARA banyak huruf 9 banyak huruf N banyak huruf A Banyak susunan kata yang dapat dibentuk 9 8! 0.0! Jadi, banyak susunan kata ada Jawaban: c Banyak tim yang mungkin dibentuk 0 C 0!!! 0 9 8!!! 0 9!!! Jadi, banyak tim yang mungkin dibentuk ada 0.. Jawaban: c Banyak cara memilih huruf dari huruf hidup ada C. Banyak cara memilih angka dari 0 angka ada 0 C. Banyak cara menyusun angka dan huruf yang sudah terpilih ada P!. Banyak kata sandi yang dapat disusun C 0 C!. Jawaban: d Banyak cara menyusun ketiga merek motor! Banyak cara menyusun motor Honda! Banyak cara menyusun motor Yamaha! Banyak cara menyusun motor Suzuki! Banyak penyusunan barisan dengan setiap merek tidak boleh terpisah!!!!.8. Jawaban: e n banyak cara mengambil potongan kue dari 8 potongan kue kombinasi dari 8 8 C 8!!! 8!!! 8 8 n banyak cara mengambil potongan semangka dari 0 potongan semangka kombinasi dari 0 0 C 0!!! 0 9 8!! 0 Banyak cara Andi mengambil potongan kue dan potongan semangka adalah n n Jawaban: b Kemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit putri yaitu terdiri atas ( putra dan putri), ( putra dan putri), atau ( putri). n banyak kemungkinan anggota tim putra dan putri memilih putra dari putra dan memilih putri dari putri C C!!!!!! 0 0 n banyak kemungkinan anggota tim putra dan putri memilih putra dari putra dan memilih putri dari putri C C!!!!!! n banyak kemungkinan anggota tim putri memlih putri dari putri C!!! 0 Matematika Kelas XI Program IPA

23 Banyak cara memilih anggota tim n + n + n Jawaban: a n banyak kupon bernomor terdiri atas angka (boleh berulang) yang dapat dibuat dari angka n banyak kupon bernomor terdiri atas angka (boleh berulang) dengan angka terakhir 0 dan angka pertama 0 Banyak kupon bernomor terdiri atas angka dengan angka pertama atau terakhir tidak nol n n 00 B. Uraian. a. n! n(n )! n(n )(n )(n )! n(n )! (n )(n ) n n + n n 0 (n )(n + ) 0 n atau n Nilai n harus bilangan positif. Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu. b. (n ) P 0 Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara (n )! (n )! (n )(n )(n )! (n )! 0 0 (n )(n ) 0 n n n n 8 0 (n )(n + ) 0 n atau n Nilai n harus bilangan positif. Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu. c. (n + ) P n P (n + )! (n )! n! (n )! (n + )!(n )! n! (n )! (n + )n!(n )! n!(n )(n )(n )! n + (n )(n ) n + n n + n n + n 0 n n + 0 (n )(n ) 0 n atau n Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu atau. d. C P!!! n! (n )!!!! n! (n )! n(n )(n )! (n )! n(n ) n n n n 0 (n )(n + ) 0 n atau n Nilai n harus bilangan positif. Jadi, nilai n yang memenuhi yaitu.. P (siklis) ( )!! 0 cara. a. Bola merah ada 9 buah. Banyak cara pengambilan tiga bola merah kombinasi dari 9 9 C 9! 9 8! 8!!! b. Bola biru ada buah. Banyak cara pengambilan bola biru C!! 0!!! c. Dari tiga bola yang diambil, terambil bola biru. Artinya, bola yang terambil bola biru dan bola merah. Banyak cara pengambilan bola biru dan bola merah C 9 C! 9!!! 8!!! 9 8! ! 8! Peluang

24 d. Dari tiga bola yang diambil, terambil bola merah. Artinya, bola yang terambil bola merah dan bola biru. Banyak cara pengambilan bola merah dan bola biru 9 C C 9!!!!!! 9 8!! 80!!!!. Orang-orang dari negara duduk secara melingkar dengan ( )!! cara. orang dari Amerika dapat duduk dengan! cara. orang dari Irlandia dapat duduk dengan! cara. orang dari Korea dapat duduk dengan! cara. orang dari Filipina dapat duduk dengan! cara. Jadi, seluruhnya!!!!!. cara.. Banyak huruf konsonan yang dapat dipilih! C! 0 cara!!! Banyak huruf vokal yang berbeda yang dapat dipilih C!! cara!!! Banyak huruf yang berbeda yang dapat disusun P! 0 cara Banyak huruf berbeda dengan huruf konsonan dan huruf vokal yang terbentuk C C P Jadi, banyak password yang terbentuk ada.00. A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Jawaban: e Banyaknya hasil yang mungkin: Lemparan I Lemparan II Lemparan III cara cara cara Jadi, hasil yang mungkin ada.. Jawaban: e Peluang terambilnya kartu As P(A). Peluang terambilnya selain kartu As P(A ). P(A ) P(A) Jadi, peluang terambil kartu selain As adalah.. Jawaban: a Pengambilan bola merupakan pengambilan tanpa memerhatikan urutan sehingga dalam pengambilan bola digunakan kombinasi. Banyak ruang sampel pengambilan bola dari 8 bola 8 C 8!!! 8! 8!! Jadi, banyak ruang sampel percobaan tersebut ada 8.. Jawaban: b n(s) 0 dan n(m) P(M) n(a) n(s) 0 Jadi, peluang muncul huruf M adalah 0.. Jawaban: e Frekuensi muncul gambar 9. Frekuensi relatif muncul gambar 9 0 0,.. Jawaban: e S kejadian pelemparan dadu n(s) A kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya A {(, ), (, ), (, ), (, )} n(a) P(A) n(a) n(s) 9 Jadi, peluang muncul mata dadu yang hasil kalinya adalah 9.. Jawaban: d P(gambar) n(gambar) n(s) n 00 F h (gambar) P(gambar) n 00 0 kali Jadi, frekuensi harapan muncul gambar adalah 0 kali. Matematika Kelas XI Program IPA

25 8. Jawaban: d S kejadian pelemparan dadu bersama-sama n(s) A kejadian jumlah mata kedua dadu yang muncul habis dibagi kejadian jumlah mata kedua dadu yang muncul adalah atau 0 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(a) P(A) n(a) n(s) Jadi, peluang jumlah mata kedua dadu yang muncul habis dibagi adalah. 9. Jawaban: a S kejadian terambil dua kartu dari kartu n(s) C. A kejadian terambil dua kartu King n(a) C P(A) n(a) n(s). Jadi, peluang terambil dua kartu King 0. Jawaban: d n 0 A G. n(s) A kejadian muncul sisi angka pada mata uang dan mata prima pada dadu n(a) F h (A) P(A) n n(a) n(s) Jadi, frekuensi harapannya adalah 0 kali.. Jawaban: e Jumlah siswa seluruhnya orang. S kejadian dipilih siswa untuk lomba cerdas cermat n(s) C! 8!! A kejadian terpilih siswa laki-laki dan siswa perempuan n(a) C C (A, ) (G, )!!! P(A) n(a) n(s) (A, ) (G, )!!! (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) Jadi, peluang terpilih tim terdiri atas siswa lakilaki dan siswa perempuan adalah.. Jawaban: d S kejadian pelemparan dadu secara bersamaan n(s) A kejadian muncul jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan prima {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(a) P(A) n(a) n(s) F h (A) P(A) n 80 kali Jadi, frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan prima adalah kali.. Jawaban: c Bibit yang hidup A kejadian bibit yang disemai hidup P(A) F h (A) n P(A).00.0 Jadi, ada.0 bibit yang diharapkan hidup.. Jawaban: a S kejadian terbentuknya susunan angka berbeda dari angka n(s) P 0 A kejadian terbentuknya angka genap kurang dari 00 Untuk menyusun angka kurang dari 00, angka I yang dapat dipilih,, atau. Untuk angka I adalah ada cara. Angka III dapat dipilih dan,,, 8, cara Angka I Angka II Angka III cara cara cara Banyak cara cara. Untuk angka I adalah atau ada cara. Angka III dapat dipilih,,, 8, cara (dikurangi karena telah dipakai di angka I). Jadi, ada cara. Angka I Angka II Angka III cara Banyak cara cara. n(a) + 0 cara Peluang

26 P(A) n(a) n(s) 0 0 Jadi, peluang muncul angka genap kurang dari 00 adalah.. Jawaban: c Peluang terjadinya banjir P (A). Peluang tidak terjadi banjir P(A ). P(A ) P (A) Ternyata > Jadi, peluang terjadinya banjir di kota X dalam lima tahun ke depan lebih tinggi daripada peluang tidak terjadinya banjir. B. Uraian. Tabel berikut ini menunjukkan ruang sampel untuk kejadian pelemparan sebuah dadu dan sekeping uang logam. Mata Uang A G (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) Dadu n(s) a. A kejadian muncul mata dadu kelipatan {(A, ), (A, ), (G, ), (G, )} n(a) P(A) n(a) n(s) Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan kelipatan adalah. b. B kejadian muncul gambar dan mata dadu bilangan kuadrat {(G, ), (G, )} n(b) P(B) n(b) n(s) Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu bilangan kuadrat adalah. (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) (A, ) (G, ) c. C kejadian muncul mata dadu bilangan komposit {(A, ), (A, ), (G, ), (G, )} n(c) P(C) n(c) n(s) Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu bilangan komposit adalah.. Dadu bermata 8 dilempar sebanyak kali Lemparan I Lemparan II 8 8 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (8, ) (, 8) (, 8) (, 8) (, 8) (, 8) (, 8) (, 8) (8, 8) n(s) 8 8 a. A kejadian muncul angka lemparan pertama lebih kecil dari lima {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8)} P(A) n(a) n(s) Jadi, peluang muncul angka lemparan pertama lebih kecil dari lima adalah. b. B kejadian muncul angka lemparan pertama lebih kecil dari angka lemparan kedua {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, 8), (, ), (, ), (, 8), (,, (, 8), (, 8)} 8 P(B) n(b) 8 n(s) Jadi, peluang muncul angka lemparan pertama lebih kecil angka lemparan kedua adalah. Matematika Kelas XI Program IPA

27 . a. S kejadian terbentuk bilangan angka dari angka,,,, dan boleh berulang Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara n(s) A kejadian terbentuk bilangan angka dari angka,,,, angka boleh berulang dan bilangan bernilai lebih dari.000 Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara n(a) 9 P(A) n(a) n(s) 9 Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih besar daripada.000 dan angka-angka dapat berulang adalah. b. S kejadian terbentuk bilangan angka dari angka,,,, dan angka tidak boleh berulang Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara n(s) B kejadian terbentuk bilangan angka dari angka,,,, angka tidak boleh berulang dan bilangan bernilai lebih dari.000 Angka I Angka II Angka III Angka IV cara cara cara cara n(b) 8 P(B) n(b) n(s) 8 Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih besar daripada.000 dan angka-angka dapat berulang adalah.. a. S {,,,,,,, 8, 9, 0} n(s) 0 Misalnya munculnya faktor dari 8 adalah A, maka A {,,, 8} n(a) P(A) n(a) n(s) 0 0, b. S {,,,,,,, 8, 9, 0} n(s) 0 Misalnya nomor prima adalah B, maka B {,,, } n(b) Bukan nomor prima B P(B) n(b) n(s) 0 0, P(B ) P(B) 0, 0,.. Jumlah bendera + + S kejadian terambil bendera dari bendera n(s) C!!!!! 80 a. A kejadian terambil bendera kuning n(a) C!!!!! P(A) n(a) n(s) 80 F h (A) P(A) n Jadi, frekuensi harapan terambil bendera kuning adalah kali. b. B kejadian terambil bendera hijau dan bendera merah n(b) C C!!!!!!!!!!! 0 P(B) n(b) n(s) 0 80 F h (B) P(B) n Jadi, frekuensi harapan terambil bendera hijau dan bendera merah adalah 0 kali. c. C kejadian terambil semua bendera berwarna berbeda Hal ini berarti terambil bendera hijau, bendera kuning, dan bendera merah. n(c) C C C!!!!!!!!!!!!!!!!! 8 P(C) n(c) 8 n(s) 80 F h (C) P(C) n Jadi, frekuensi harapan terambil semua bendera berwarna berbeda adalah 8. Peluang

28 A. Pilihan Ganda. Jawaban: e A kejadian muncul angka genap pada dadu pertama {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(A) n(a) n(s) 8 B kejadian muncul angka ganjil pada dadu kedua {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(B) n(b) n(s) 8 A B {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(A B) n(a B) n(s) 9 P(A) P(B) 8 8 Oleh karena P(A B) P(A) P(B) maka A dan B merupakan dua kejadian saling bebas. Jadi, dua kejadian pada pilihan e merupakan dua kejadian saling bebas.. Jawaban: c S Kejadian melempar dua mata dadu {(, ), (, ), (, ),... (, )} n(s) A Kejadian muncul mata dadu berjumlah 9 {(, ), (, ), (, ), (, )} n(a) B Kejadian muncul mata dadu berjumlah {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(b) P(A B) P(A) + P(B) n(a) n(s) + n(b) n(s) + 9 Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 9 atau adalah 9.. Jawaban: c S kejadian melempar dua dadu sebanyak satu kali n(s) A kejadian muncul mata dadu berjumlah {(, ), (, ), (, ), (, )} n(a) P(A) n(a) n(b) B kejadian muncul mata dadu berjumlah 9 {(, ), (, ), (, ), (, )} n(b) P(B) n(b) n(s) A B kejadian muncul mata dadu berjumlah dan 9 { } n(a B) 0 n(a B) P(A B) 0 n(s) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah atau 9 adalah 8.. Jawaban: e S {,,,,,, } n(s) Misalkan A kejadian terambilnya kartu bernomor bilangan prima dan B kejadian terambilnya kartu bernomor genap. A {,,, } n(a), P(A) n(a) n(s) B {,, } n(b), P(B) n(b) n(s) A B {} n(a B) P(A B) n(a B) n(s) Peluang terambilnya kartu bernomor bilangan prima atau genap P(A B) P(A) + P(B) P(A B) +. Jawaban: e n(s) Banyak anak lulus ujian Matematika n(m) Banyak anak lulus ujian Fisika n(f) 9 Banyak anak yang tidak lulus keduanya n(m F) Anak yang lulus keduanya n(m F) n(m) + n(f) + n(m F) n(s) P(M F) n(m F) n(s) 8 Jadi, peluang siswa yang terpilih lulus Matematika dan Fisika adalah. Matematika Kelas XI Program IPA

29 . Jawaban: c Misalkan: A himpunan murid yang mengikuti IMO B himpunan murid yang mengikuti IBO C himpunan murid yang mengikuti IChO x banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO n(s) 0 n(a) n(b) n(c) 0 n(a B) n(a C) 9 n(b C) 8 n(a B C) n(s) x 0 + x x 0 D himpunan murid yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO n(d) x P(D) n(d) n(s) 0 Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah 0.. Jawaban: e Berambut keriting Berambut tidak keriting Jumlah S kejadian terpilih murid dari 0 murid n(s) 0 C 0 A kejadian terpilih murid laki-laki dari 0 murid laki-laki n(a) 0 C 0 P(A) n(a) n(s) 0 0 B kejadian terpilih murid berambut keriting dari murid berambut keriting n(b) C P(B) n(b) n(s) 0 A B kejadian terpilih murid laki-laki berambut keriting dari murid laki-laki berambut keriting n(a B) C P(A B) n(a B) n(s) Murid Perempuan Murid Laki-Laki 0 Jumlah 0 A B kejadian terpilih murid itu laki-laki atau berambut keriting P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Jadi, peluang terpilih murid itu laki-laki atau berambut keriting adalah Jawaban: d Nomor kelipatan, yaitu dan 8. Peluang terambil bola bernomor kelipatan, yaitu P (kelipatan ) 0 Peluang bola bernomor P() 0 Jadi, P (kelipatan dan nomor ) P (kelipatan ) P() Jawaban: e Jumlah buku + + n(s) kejadian terambil buku dari buku C!!!!! 0 Kemungkinan pasangan yang terambil adalah (buku komik, buku komik, buku novel) atau (buku komik, buku komik, buku dongeng). A kejadian terambil buku komik dan buku novel n(a) C C!!!!!!!!!! P(A) n(a) n(s) B kejadian terambil buku komik dan buku dongeng n(b) C C!!!!!!!!!! 0 P(B) n(b) n(s) 0 0 Peluang terambil buku komik P(A) + P(B) Jadi, peluang terambil buku komik adalah Peluang

30 0. Jawaban: c n(s) A kejadian munculnya jumlah mata dadu {(, ); (, ); (, )} n(a) B kejadian munculnya jumlah mata dadu 8 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(b) P(A B) P(A) + P(B) n(a) n(s) + n(b) n(s) + 9 Jadi, peluang muncuinya jumlah mata dadu sama dengan atau 8 adalah 9.. Jawaban: c Jumlah bola + 9 S kejadian terambil bola n(s ) 9 C 9 A kejadian terambil bola kuning pada pengambilan pertama n(a) C P(A) n(a) n(s) 9 Jumlah bola di kotak sekarang 9 8 S kejadian terambil bola setelah terambil bola n(s ) 8 C 8 B kejadian terambil bola merah pada pengambilan kedua n(b) P(B) n(s ) 8 A B kejadian terambil bola kuning pada pengambilan pertama dan bola merah pada pengambilan kedua P(A B) P(A) P(B) 8 Jadi, peluang terambil bola kuning kemudian merah adalah.. Jawaban: d P(G) P(gol) P(T) P(tidak gol) P(gol) A kejadian terjadi kali tendangan penalti dengan tendangan gol {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)} Kejadian tendangan penalti kali merupakan kejadian saling bebas. P(G, G, T) 8 P(G, T, G) 8 P(T, G, G) 8 Peluang terjadi tendangan penalti gol P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G) Jadi, peluang Ali untuk membuat gol dalam kali tendangan penalti adalah.. Jawaban: b Banyak kartu kuning n(k) Banyak kartu merah n(m) Banyak anggota ruang sampel n(s) Kemungkinan kartu yang terambil M K K, K M K, atau K K M. M K K kejadian terambil pertama kartu merah, kedua kartu kuning, ketiga kartu kuning P(M K K ) P(M ) P(K ) P(K ) n(m) n(s) n(k) n(s) n(k) n(s) K M K kejadian terambil pertama kartu kuning, kedua kartu merah, ketiga kartu kuning P(K M K ) P(K ) P(M ) P(K ) n(k) n(s) n(m) n(s) n(k) n(s) K K M kejadian terambil pertama kartu kuning, kedua kartu kuning, ketiga kartu merah P(K K M ) P(K ) P(K ) P(M ) n(k) n(s) n(k) n(s) n(m) n(s) Jadi, peluang terambil satu kartu merah: P P(M K K ) + P(K M K ) + P(K K M ) Matematika Kelas XI Program IPA 9

31 . Jawaban: c S kejadian Ari, Beta, Cika, Devi, dan Erna duduk secara acak pada kursi n(s) P 0 A kejadian Ari duduk di pinggir n(a) P 8 Ari P Ari P B kejadian Erna duduk di pinggir n(b) P 8 A kejadian terpilih ketua laki-laki Ketua Sekretaris Bendahara cara 9 cara 8 cara orang telah terpilih. Sisa 8 orang. orang telah terpilih sebagai ketua. Sisa 9 orang. Dipilih dari laki-laki n(a) 9 8 B kejadian terpilih sekretaris wanita Ketua Sekretaris Bendahara 9 cara cara 8 cara Erna P Erna P A B kejadian Erna dan Ari duduk di pinggir P orang telah terpilih. Sisa 8 orang. Dipilih dari wanita orang telah terpilih sebagai sekretaris. Sisa 9 orang. n(b) A B kejadian terpilih ketua laki-laki dan sekretaris wanita Ketua Sekretaris Bendahara cara cara 8 cara Ari P Erna orang telah terpilih. Sisa 8 orang. Dipilih dari wanita Dipilih dari lelaki Erna P(A B) P(A) + P(B) P(A B) n(a) n(s) P + n(b) n(s) Ari n(a B) n(s) Jadi, peluang Ari atau Erna duduk di kursi paling pinggir adalah 0.. Jawaban: d S kejadian penyusunan ketua, sekretaris, dan bendahara n(s) 0 P 0 n(a B) 8 9 A dan B merupakan dua kejadian tidak saling lepas P(A B) P(A) + P(B) P(A B) n(a) n(s) + n(b) n(s) n(a B) n(s) Jadi, peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris wanita adalah. 0 Peluang

32 B. Uraian. a. Misalkan dadu pertama dadu merah dan dadu kedua dadu putih A kejadian muncul mata dadu pada dadu merah {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(a) P(A) n(a) n(s) B kejadian muncul mata dadu pada dadu putih {(,), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A B {(, )} n(a B) P(A B) n(a B) n(s) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + Jadi, peluang muncul mata dadu pada dadu merah atau muncul mata dadu pada dadu putih adalah. b. Misalkan: A kejadian muncul jumlah kedua mata dadu {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(a) P(A) n(a) n(s) B kejadian muncul jumlah mata dadu 0 {(, ), (, ), (, )} n(b) P(B) n(b) n(s) A B { } P(A B) 0 A dan B dua kejadian yang saling asing P(A B) P(A) + P(B) Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu atau 0 adalah 9. c. Misalkan: A muncul mata dadu genap pada dadu merah B muncul mata dadu genap pada dadu putih A B {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(a B) 9 P(A B) 9 Jadi, peluang muncul kedua mata dadu genap adalah. d. Misalkan: A kejadian muncul mata dadu pada dadu merah {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(A) B Kejadian muncul jumlah mata dadu {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A B B A {(, )} P(A B) P(B A) P(B A) P(A) P(A B) P(A) Jadi, peluang muncul jumlah mata dadu jika muncul pada dadu merah adalah.. a. P(A) peluang terambil kubus dari kotak A P(B) peluang terambil kubus dari kotak B P(C) peluang terambil kubus dari kotak C P(A B C) Jadi, peluang terambil ketiganya kubus. b. P(D) peluang ketiganya kubus P(E) peluang ketiganya kerucut P(F) Peluang ketiganya limas Peluang ketiganya bangun yang sama: P(D E F) P(K) + P(Kr) + P(L) + + Jadi, peluang terambil ketiganya bangun yang sama. Matematika Kelas XI Program IPA

33 . A kejadian munculnya mata dadu merah n(a) 8 B kejadian munculnya mata dadu biru n(b) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) P(A B) P(A) P(B) 8 Jadi, peluang munculnya mata dadu merah dan mata dadu biru adalah.. a. Pengambilan dilakukan secara acak dua sekaligus. Banyak buah 9 + buah A kejadian terambil jeruk P(A) n(a) n(s) C C 0 B kejadian terambil apel P(B) n(b) n(s) C C 0 9 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama P(A) + P(B) b. Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa pengembalian. Peluang terambil dua jeruk: P(Q) P (jeruk pada pengambilan I) P (jeruk pada pengambilan II) 9 C C 8 C C Peluang terambil dua apel: P(R) P (apel pada pengambilan I) P (apel pada pengambilan II) C C C C 0 0 Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama P(Q) + P(R) Menggunakan skema kemungkinan hasil pelemparan yang mungkin seperti di bawah ini. Uang logam I Gambar Uang logam I Angka Uang logam II Gambar Uang logam II Angka Dadu Genap Dadu Ganjil Dadu Genap Dadu Ganjil Uang logam III Gambar Uang logam III Angka Dadu Genap Dadu Ganjil Dadu Genap Dadu ganjil Dadu Genap Dadu Ganjil Dadu Genap Dadu Ganjil B kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu kejadian selalu muncul mata uang {Gambar, Gambar, Gambar} P(B) 8 Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu 8. Peluang

34 A. Pilihan Ganda. Jawaban: b Banyak warna Banyak warna baru yang dapat dibuat C. Jawaban: e Banyak cara menempatkan bendera-bendera tersebut 9 P 9! 9! (9 )!! 9 8!! 8.0 cara. Jawaban: b Tempat juara I sudah terisi, sehingga ada tempat yang tersisa. Banyak cara menempatkan anak pada tempat yang tersisa P. Jadi, ada foto berbeda yang mungkin tercetak.. Jawaban: c Jadi, banyak bilangan empat angka berlainan yang dapat dibentuk 0. Jawaban: a P L Angka Ribuan L P L P L P Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Banyak cara duduk laki-laki mengelilingi meja bundar ( )!! Banyak cara duduk perempuan mengisi tempat di antara laki-laki P! Banyak cara duduk mengelilingi meja bundar setiap perempuan duduk di antara dua laki-laki:!! cara. Jawaban: e Banyak cara menyusun huruf berlainan dari huruf P. Banyak cara menyusun angka berlainan dari 0 angka 0 P. Jadi, banyak cara menyusun pelat nomor 0 P.. Jawaban: c ) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah A 8 n C 8 n! (n )!! n(n )(n )! (n )! 8 8 n(n ) n n 0 (n + )(n ) 0 n (tidak memenuhi) n Banyak siswa sekolah A orang. ) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah B 0 n C 0 n! (n )!! n(n )(n )! (n )! 0 0 n(n ) 0 n n 0 0 (n )(n + ) 0 n atau n (tidak memenuhi) Banyak siswa sekolah A orang. Banyak siswa seluruhnya + 8 orang Banyak jabat tangan dari 8 orang 8 C 8!!! 8 cara. 8. Jawaban: c Misalkan: A kejadian terambil bola putih dan bola merah B kejadian terambil bola putih n(a B) n(a) + n(b) C C + C 0 C 0!!!!!!!!!!! +!!! + +!!!! 0!!! 0!! Jawaban: d Bilangan yang kurang dari.000 terdiri atas angka dengan urutan diperhatikan sehingga digunakan permutasi. Matematika Kelas XI Program IPA

35 Banyak bilangan yang dapat disusun dari angka:! a. 0, 0, dan ada bilangan!! b. 0,, dan ada! bilangan c. 0,, dan ada! bilangan! d. 0,, dan ada bilangan!! e.,, dan ada! bilangan! f.,, dan ada bilangan!! g.,, dan ada! bilangan! Banyak bilangan kurang dari.000 dengan jumlah angka penyusunnya Jadi, ada 8 bilangan. 0. Jawaban: d Banyak cara mengambil buku C Banyak cara meletakkan buku secara berderet P Banyak cara mengambil dan meletakkan buku C P 0 0 Cara lain: Permasalahan tersebut merupakan permutasi dari. Banyak cara mengambil dan meletakkan buku P 0 Jadi, ada 0 cara.. Jawaban: c Ada cara memilih bilangan yang pertama (ribuan), yaitu,,, dan (angka 0 tidak termasuk). Jika angka pertama, ada cara memilih angka kedua (ratusan), yaitu dengan memilih angka 0,,, dan. Jika angka kedua 0, ada cara memilih angka ketiga (puluhan), yaitu dengan memilih,, dan. Jika angka ketiga, ada cara memilih angka keempat (satuan), yaitu dengan memilih dan. Banyak cara untuk menyusun bilangan tersebut 9 Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun, yaitu 9 buah.. Jawaban: a ARITMETIKA Ada huruf A yang sama, maka p Ada huruf I yang sama, maka q Ada huruf T yang sama, maka r Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata ARITMETIKA P(0,,, ) 0!!!! Jawaban: b Terdapat kelas. Banyak susunan duduk berdasarkan kelasnya ada! cara. Wakil kelas XI IPA dapat duduk dengan! cara. Wakil kelas XI IPA dapat duduk dengan! cara. Wakil kelas XI IPA dapat duduk dengan! cara. Banyak cara mereka duduk!!!!.8 Jadi, banyak cara mereka duduk ada.8.. Jawaban: c Banyak susunan soal yang dikerjakan 0 C 0!!(0 )! 0!!! 0 9 8!! cara Jadi, banyak susunan soal yang dikerjakan ada cara.. Jawaban: c Ruang sampel urutan dua anak dengan satu anak laki-laki S {LP, PL, LL} n(s) A kejadian anak berjenis kelamin laki-laki {LL} n(a) P(A) n(a) n(s) Jadi, peluang semuanya anak laki-laki.. Jawaban: b A kejadian jumlah mata dadu yang muncul kurang dari 0 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(A) B n(a) n(s) 0 kejadian jumlah mata dadu yang muncul bilangan prima (,,,, atau ) {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} P(A) n(b) n(s) A B {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Peluang

36 n(a B) P(A B) n(s) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Jadi, peluang jumlah mata dadu yang muncul kurang dari 0 atau bilangan prima Jawaban: c Jumlah bola +. S kejadian terambil bola dari bola n(s) C 0 Kemungkinan bola yang terambil putih atau hitam. A kejadian terambil bola putih dari bola putih n(a) C P(A) n(a) n(s) 0 B kejadian terambil bola hitam dari bola hitam n(b) C P(B) n(b) n(s) 0 Peluang bola yang terambil berwarna sama P ( putih) + P ( hitam) P(A) + P(B) Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama. 8. Jawaban: d Misalkan: S kejadian terambil kelereng dari 8 kelereng n(s ) 8 C 8 A kejadian terambil kelereng putih dari kelereng putih n(a) C P(A) 8 Setelah terambil kelereng putih, kelereng putih tidak dikembalikan. Kelereng yang tersisa dalam kotak ada. S kejadian terambil kelereng dari kelereng yang tersisa n(s ) C B kejadian terambil kelereng putih dari kelereng putih yang tersisa n(b) C P(B) Peluang terambil kelereng putih: P(A B) P(A) P(B) 8 Jadi, peluang terambil keduanya berwarna putih Jawaban: d Kemungkinan panitia yang terbentuk ( putri, putra), ( putri, putra), atau putra. Jumlah siswa + 0. Banyak anggota ruang sampel n(s) 0 C P(A) peluang panitia yang terbentuk putri dan putra C C 0C P(B) peluang panitia yang terbentuk putri dan putra C C 0C 0 0 P(C) peluang panitia yang terbentuk putra C 0C 0 Peluang panitia yang terbentuk terdiri paling banyak siswa putri P(A) + P(B) + P(C) Jawaban: d Peluang terpilih dompet I. Dompet I berisi keping uang logam lima ratusan dan keping ratusan rupiah. Peluang terpilih uang ratusan. A kejadian terpilih dompet I dan terpilih uang ratusan rupiah P(A) Peluang terpilih dompet II. Dompet II berisi keping lima ratusan dan keping ratusan rupiah. Peluang terpilih uang ratusan. B kejadian terpilih dompet II dan terpilih uang ratusan P(B) 8 Peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah P(A) + P(B) Jadi, peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah 9. Matematika Kelas XI Program IPA

37 . Jawaban: a Lisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai elemen, maka permasalahan menjadi permutasi siklis dari elemen. Adapun cara duduk Lisa, Tera, dan Wisnu ada! cara. A kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk bersebelahan n(a)! permutasi siklis elemen!( )! n(s) permutasi siklis elemen ( )!! 0 P(A) n(a) n(s) 0 0 Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk bersebelahan 0.. Jawaban: c Dalam kotak terdapat bola lampu mati dan bola lampu hidup. A kejadian pengambilan pertama mendapat dua bola lampu mati P(A) n(a) C n(s) 0C 90 9 Dua bola lampu mati yang telah terambil tidak dikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat bola lampu mati dan bola lampu hidup. B kejadian pengambilan kedua mendapat dua bola lampu hidup P(B) n(b) C n(s) 8C 0 0 A B kejadian pengambilan pertama mendapat dua bola lampu mati dan pengambilan kedua mendapat dua bola lampu hidup P(A B) P(A) P(B) Jadi, peluang pengembalian dengan kedua bola lampu mati dan pengambilan kedua dengan kedua 8 bola lampu hidup adalah.. Jawaban: e Berambut keriting Berambut tidak keriting Jumlah S kejadian terpilih orang dari 0 orang n(s) 0 C 0!!! Pria 0 9 8!! A kejadian terpilih pria dari 0 pria n(a) 0 C 0! 0 9 8! 0!!! 0 Wanita Jumlah 0.00 B kejadian terpilih orang berambut keriting dari orang n(b) C!!!!! A B kejadian terpilih orang pria dan berambut keriting n(a B) C!!!!! 0 A B kejadian terpilih ketiganya pria atau berambut keriting: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) n(a) n(s) + n(b) n(s) n(a B) n(s) Jadi, peluang terpilih ketiganya pria atau berambut keriting adalah.00.. Jawaban: a Misalkan x banyak siswa tidak gemar basket dan futsal S A B 0 n(s) n(a B) + n(a B) 00 (( ) + + (0 )) + x x x 0 C kejadian terpanggil siswa yang tidak gemar basket maupun futsal n(c) 0 C 0 S kejadian terpanggil siswa dari 00 siswa n(s) 00 C 00 P(C) n(c) 0 n(s) 00 0 Jadi, peluang siswa yang terpanggil tidak gemar basket maupun futsal adalah 0.. Jawaban: e S {(, ), (, ), (, ),..., (, )} n(s) A Kejadian muncul jumlah mata dadu {(, ), (, ), (, )} n(a) B Kejadian muncul jumlah mata dadu {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(b) x Peluang

38 P(A B) P(A) + P(B) n(a) n(s) + n(b) n(s) + 9. Jawaban: b P(B) P(B c ) 0, 0, P(A B) P(A) + P(B) P(A B) 0,8 P(A) + 0, 0, P(A) 0,8 0, + 0, 0, P(A c ) P(A) 0, 0,. Jawaban: a Banyak percobaan: N Jumlah uang logam dalam mangkuk 8 + Banyak anggota ruang sampel: n(s) C Kemungkinan uang logam yang terambil uang logam seribuan atau uang logam seribuan dan uang logam lima ratusan. A kejadian terambil uang logam seribuan n(a) 8 C 8 P(A) n(a) n(s) 8 B kejadian terambil uang logam seribuan dan uang logam lima ratusan n(b) 8 C C 8 P(B) n(b) n(s) Peluang terambil uang logam seribuan: P P(A) + P(B) 8 + F h P N Jadi, frekuensi harapan selalu terambil uang logam seribuan adalah kali. 8. Jawaban: b A kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya bilangan ganjil {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(a) 9 n(s) P(A) n(a) 9 n(s) F h (A) P(A) n 00 kali Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu yang hasil kalinya bilangan ganjil adalah kali. 9. Jawaban: a Jumlah bola + 9 S kejadian terambil bola dari 9 bola n(s) 9 C 9 9 8!! 8 A kejadian terambil sekurang-kurangnya bola putih Kemungkinan bola yang terambil: bola putih, bola hitam bola putih A kejadian terambil bola putih, bola hitam n(a ) C C!!!!!!!!!!!! 0 0 n(a ) P(A ) 0 n(s) 8 A kejadian terambil bola putih n(a ) C!!! 0 P(A ) n(a ) n(s) 0 8 P(A) P(A ) + P(A ) F h (A) n P(A) kali 8 Jadi, frekuensi harapan terambil sekurangkurangnya bola putih adalah 0 kali. 0. Jawaban: d P(A B) P(A) P(B). B. Uraian. a. (n + )! 0 (n )! (n + )n(n )! (n )! 0 n + n 0 n + n 0 0 (n )(n + ) 0 n atau n Oleh karena n harus positif maka nilai n yang memenuhi, yaitu. Matematika Kelas XI Program IPA

39 b. n P (n+) P n! (n )! (n + )! (n )! n!(n )! (n + )!(n )! n!(n )(n )(n )! (n + )n!(n )! n!(n )(n )(n )! (n + )n!(n )! (n )(n ) (n + ) n n + n + n n + 0 (n )(n ) 0 n atau n Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu dan.. a. foto yang disusun selalu berdampingan dianggap sebagai benda. Permasalahan menjadi permutasi dari benda, yaitu ada P cara. Penyusunan foto yang selalu berdampingan ada P cara. Banyak cara seluruhnya P P!! 0 cara Jadi, banyak cara menyusun foto dengan foto selalu berdampingan ada 0 cara. b. Banyak foto dipasang dengan tidak ada batasan cara P! 0 cara Banyak foto dipasang dengan foto selalu berdampingan P P!! 0 cara Jadi, banyak cara menyusun foto dengan foto tidak pernah berdampingan cara.. a. Banyak cara membentuk kelompok banyak cara memilih siswa dari siswa C 9 b. n banyak cara membentuk kelompok beranggotakan putra dan putri 8 C C 0 80 n banyak cara membentuk kelompok beranggotakan putra dan putri 8 C C n banyak cara membentuk kelompok beranggotakan putra dan putri 8 C C 8 n banyak cara membentuk kelompok beranggotakan putra 8 C 8 Banyak cara membentuk kelompok dengan anggota kelompok putra paling sedikit empat n + n + n + n Bentuk taman yang diinginkan II Banyak cara menanam pohon I ( )!! Banyak cara menanam pohon II ( )!! 0 Banyak cara menanam pohon-pohon itu 0 0 cara.. Password terdiri atas huruf. Huruf pertama diawali dengan huruf s. Ketiga huruf lain dapat dipilih dari huruf p, q, r, t, u, dan v. Banyak huruf yang dapat dipilih C!!!!!! 0 cara Banyak angka yang dapat dipilih: C!!!! I II II II I II II I cara Banyak susunan password yang dapat disusun P! 0 cara. Banyak password yang dapat dibentuk cara Jadi, banyak password yang dapat disusun ada.00 cara. 8 Peluang

40 . Sebuah kotak berisi bola merah, bola hijau, dan bola biru. Tiga bola diambil secara acak. Berapa banyak cara pengambilan bola jika bola yang terambil dua di antaranya berwarna hijau? Jawaban: Banyak cara pengambilan bola jika bola yang terambil dua di antaranya berwarna hijau C C + C C!!!!!! +!!!!!! + + cara. Jumlah uang logam 8 + Kemungkinan uang logam yang terambil pertama seribuan dan kedua lima ratusan, atau pertama lima ratusan dan kedua seribuan. P(A) peluang terambil uang logam seribuan pada pengambilan pertama dan uang logam lima ratusan pada pengembalian kedua P(A) B kejadian terambil uang logam lima ratusan pada pengambilan pertama dan uang logam seribuan pada pengambilan kedua P(B) Peluang terambil uang logam seribuan satu kali: P P(A) + P(B) Jumlah bola S kejadian terambil bola dari 8 bola n(s) 8 C 8!!! 8!! kali Kemungkinan bola yang terambil adalah (P, H), (P, K), dan (K, H) A kejadian bola yang terambil putih dan hijau n(a) C C B kejadian bola yang terambil putih dan kuning n(b) C 8 C 8 8 C kejadian bola yang terambil kuning dan hijau n(c) 8 C C 8 Peluang terambil bola berbeda warna: P P(A) + P(B) + P(C) n(a) n(s) + n(b) n(s) + n(c) n(s) F h (P) P n Jadi, frekuensi harapan terambil bola berbeda warna P(A) peluang pada pengambilan bola pertama berwarna merah Oleh karena tanpa pengembalian, dalam kotak tersebut tinggal bola merah dan bola hijau. Peluang terambil kelereng hijau pada pengambilan kedua P(BlA). Jadi, peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama dan bola hijau pada pengambilan kedua P(A B) P(A) P(B A) a. A kejadian nasabah tidak bermasalah dalam angsuran kreditnya A kejadian nasabah yang macet angsurannya P(A) 0,8 P(A ) P(A) 0,8 0,8 Jadi, peluang kejadian nasabah macet angsurannya 0,8. b. F h (A) n P(A) ,8.00 Jadi,.00 nasabah akan tepat waktu dalam membayar angsuran. Matematika Kelas XI Program IPA 9

41 A. Pilihan Ganda. Jawaban: a Banyak karyawan banyak karyawan SMA 0 Jadi, banyak karyawan PT NUSA adalah 0 orang.. Jawaban: c Persentase karyawan lulusan sarjana 00% (0% + % + 0%) 00% % % Banyak karyawan lulusan sarjana n persentase sarjana banyak karyawan % 0 Jadi, banyak karyawan lulusan sarjana adalah orang.. Jawaban: b Jumlah siswa ada 0. Jumlah siswa yang memperoleh nilai 0 dan 80 0 ( ) 0 Perbandingan antara banyak siswa yang memperoleh nilai 0 dan 80 adalah :. Banyak siswa yang memperoleh nilai Jadi, banyak siswa yang memperoleh nilai 0 adalah 0 orang.. Jawaban: a Σ ,99 Jadi, rata-rata dari data tersebut,99.. Jawaban: b Banyak data: n Median di kelas interval 0. M e L + p 9, + 9, +, Modus di kelas interval 9. M 0 L + + p, + + 8,9 Jadi, median dan modus pendapatan tahunan pekerja berturut-turut $.00 dan $ Jawaban: b Jumlah besar sudut 0 x x x + x 0 ( ) x 0 0 x 00 x 0 Besar sudut sepak bola x 0. Banyak anak yang memilih sepak bola y 0 Jadi, banyak anak yang memilih sepak bola 0 orang. 0 Ulangan TengahSemester

42 . Jawaban: d Rata-rata: Jadi, jumlah siswa yang nilainya di atas rata-rata (nilai ) adalah Jawaban: e Banyak siswa laki-laki : banyak siswa perempuan : 8 Banyak siswa laki-laki n 0 orang Banyak siswa perempuan n 0 orang Rata-rata nilai siswa laki-laki, Rata-rata nilai siswa perempuan 8 Nilai rata-rata siswa dalam kelas ,8 Jadi, nilai rata-rata siswa dalam kelas tersebut adalah Jawaban: c Rata-rata 8 orang: Σ Σ kg Rata-rata 9 orang: Σ x Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut kg. 0. Jawaban: e Modus di kelas interval M o L + + p 09.'.0'' + + ' 09.'.0'' + 09.'.0'' +,' 09.'.0'' + '.'' 09.'.'' Jadi, modus dari waktu kedatangan bus tersebut 09.'.''.. Jawaban: d Banyak data: n Median di kelas interval ketiga ( ). M e L + p, +, + 0,8,8 Jadi, median kata tersebut adalah,8.. Jawaban: a Kelas Ke- Data f f k Kuartil atas Q dan n 0. Q terletak pada data ke- 8,. Q terletak pada kelas interval 9. T b,, p, f Q, f k Q T b Jumlah p 0, +, +, 8, Jadi, kuartil atas dari data tersebut adalah 8, Matematika Kelas XI Program IPA

43 . Jawaban: e x i Jumlah Q nilai data ke- + nilai data ke-, Q di kelas interval 0. Q L + p 0, + 0 0, +, + Q nilai data ke- nilai data ke-, Q di kelas interval Q L + p 80, , + 8, Jangkauan antarkuartil Q Q 8,, Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah.. Jawaban: d Diketahui n 0 Q nilai data ke- + nilai data ke-,. Q di kelas interval 9. Q L + p, +, + 0,8, Q nilai data ke- + nilai data ke-, f k Kuartil atas (Q ) di kelas interval 9. Q L + p, +, +, Rataan kuartil: R k (Q + Q ) (, + ), Jadi, rataan kuartil data adalah,.. Jawaban: b Desil ke- D terletak di kelas 0. L 9, f D Σf D Σ D L + p 9, + 9, + 9, +, Jadi, nilai desil ke- adalah,.. Jawaban: b Simpangan rata-rata Σ Jadi, simpangan rata-rata data adalah. Ulangan TengahSemester

44 . Jawaban: d S R , Jadi, simpangan rata-rata data adalah,. 8. Jawaban: c S R,, Jadi, simpangan rata-rata data adalah,. 9. Jawaban: e S Data x i x i x i x x i x Jumlah , Jadi, variansi data adalah,., 9,, 0,, 0, Data x i (x i x ) (x i x ) Jumlah , 90, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Jawaban: d Jadi, mean data tersebut adalah.. Jawaban: c Baju Celana Merah Hitam Putih Biru Hitam Putih Cokelat Hitam Putih Jadi, baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan berbeda dengan cara.. Jawaban: d Soal nomor harus dikerjakan sehingga hanya dapat dipilih soal. Dari soal tersebut soal harus dikerjakan. Banyak pilihan soal dapat dilakukan cara. Jawaban: e Tiga orang yang selalu duduk berdampingan dianggap unsur sehingga permasalahan menjadi permutasi siklis dari unsur. Banyak cara duduk orang yang berdampingan P! Banyak cara duduk delapan orang! ( )!!! 0 Jadi, banyak cara duduk ada 0.. Jawaban: c n + P n P n + n Jadi, nilai n. Matematika Kelas XI Program IPA

45 . Jawaban: c Banyak angka Banyak angka Banyak angka Banyak angka Banyak bilangan angka yang dapat disusun dari,,,,, dan 0. Jawaban: b Kemungkinan yang terpilih anak laki-laki dan anak perempuan, anak laki-laki dan anak perempuan, dan anak perempuan. Banyak cara memilih anak laki-laki dan anak perempuan 0 C C 0 0 Banyak cara memilih anak laki-laki dan anak perempuan 0 C C 0 0 Banyak cara memilih anak perempuan C Jadi, banyaknya cara memilih paling banyak anak laki-laki disertakan adalah cara.. Jawaban: b Misalkan: A kejadian muncul jumlah kedua mata dadu B kejadian muncul jumlah kedua mata dadu C kejadian muncul jumlah kedua mata dadu D kejadian muncul jumlah kedua mata dadu E kejadian muncul jumlah kedua mata dadu A {(, )} B {(, ), (, )} C {(, ), (, ), (, ), (, )} D {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} E {(, ), (, )} Peluang muncul jumlah kedua mata dadu prima sebagai berikut P Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan prima adalah. 8. Jawaban: a A kejadian muncul angka genap pada dadu pertama {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} B kejadian muncul angka pada dadu kedua {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A B {(, ), (, ), (, )} n(a) 8, n(b), n(a B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + + Jadi, peluangnya adalah. 9. Jawaban: c M kejadian muncul bilangan prima pada dadu pertama dan bilangan ganjil pada dadu kedua {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(m) 9 P(M) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) Jadi, peluangnya adalah. Ulangan TengahSemester

46 0. Jawaban: c S pengambilan kelereng n(s) 8 C 8.8 A kejadian terambil kelereng biru dan putih n(a) 0 C 8 C P(A) Jadi, peluang terambil kelereng biru dan kelereng putih adalah.. Jawaban: a M kejadian terambil bola putih pada pengambilan pertama P(M) N kejadian terambil bola kuning pada pengambilan kedua setelah kejadian pengambilan bola pertama P(N) P(M N) P(M) P(N) Jadi, peluang terambil sebuah bola putih pada pengambilan pertama dan sebuah bola kuning pada pengambilan kedua adalah.. Jawaban: e n(s) banyak cara mengambil kelereng dari kelereng C A 9 9 kejadian terambil kelereng merah dan hijau n(a) banyak cara mengambil kelereng merah dan hijau n(a) C C P(A) Jadi, peluang terambilnya kelereng merah dan kelereng hijau adalah.. Jawaban: a Banyak bola Banyak bola merah dan bola putih + 8 A kejadian terambil bola merah atau bola putih P(A) Jadi, peluang terambil bola merah atau bola putih adalah.. Jawaban: b S {(, ), (, ),..., (, )} n(s) A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (,)} n(a) F h (A) n P(A) n 0 0 kali Jadi, frekuensi harapan muncul dadu pertama mata dadu adalah 0.. Jawaban: a Misalkan B kejadian muncul mata dadu bilangan komposit. B {, } n(b) Frekuensi harapan P(B) n Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan komposit adalah.. Jawaban: d A {bilangan tidak ganjil maupun prima} {bilangan genap} {} {,, 8,..., 0} n(a) Matematika Kelas XI Program IPA

47 P(A) Jadi, peluang terpilih bilangan tidak ganjil maupun prima adalah.. Jawaban: c A kejadian terambil kartu berwarna hitam n(a) B kejadian terambil kartu berangka 0 n(b) n(a B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + Jadi, peluang terambil kartu berwarna hitam atau berangka 0 adalah. 8. Jawaban: d S {,,,,, } A kejadian munculnya bilangan ganjil {,, } n(a) P(A) B kejadian munculnya bilangan prima {,, } n(b) P(B) A B {, } P(A B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + Jadi, peluang kejadian muncul bilangan ganjil atau prima adalah. 9. Jawaban: c A G B kejadian tidak muncul hasil yang sama pada kedua uang logam {(A, G), (G, A)} n(b) P(B) Jadi, peluang tidak muncul hasil yang sama pada kedua uang logam adalah. 0. Jawaban: b Misalkan: A kejadian muncul mata dadu bilangan prima B kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil Diperoleh: A {,, } n(a) B {,, } n(b) A B {, } n(a B) Peluang kejadian muncul mata dadu bilangan prima atau ganjil: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + + Frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan prima atau ganjil P(A B) n 08 Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan prima atau ganjil adalah. B. Uraian. Besar sudut pada merek D 0 ( ) 0 Besar sudut pada merek E Banyak merek D banyak merek E 0 Jadi, komputer merek D terjual unit. A (A, A) (A, G) G (G, A) (G, G) Ulangan TengahSemester

48 .. x i Jumlah Σ Σ + 0, +., +,n.0 + 0n, n, n Banyak data + n M e nilai data ke- (00 + ) nilai data ke-0, Median di kelas interval 8. M e L +, + p, +, +, Jadi, median data tersebut,. Ukuran Kuartil atas terletak pada data urutan ke- (0 + ),, yaitu pada interval 0. Q L + n n 0 + n f k 9 0 p 9, + 9, +,, P 0 nilai data ke- (0 + ) nilai data ke-, P 0 di kelas interval 9 x i 0n 00n n P 0 L +, +, + 0, Jadi, nilai kuartil atas adalah, dan P 0 adalah, a + a a Data menjadi: b,, 8, + b Variansi, Σ ( ), , , b b b ± Jadi, nilai a dan b atau b Σ (x i ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (9 ) Simpangan baku s Jadi, variansi s ( ).. Komite yang terbentuk kemungkinan terdiri atas guru laki-laki dan guru perempuan atau guru laki-laki dan guru perempuan. Banyak cara membentuk komite C C + C C + + Matematika Kelas XI Program IPA

49 0 + 0 Jadi, banyak cara membentuk komite ada cara.. Jumlah kelereng dalam kotak 0. Pasangan kelereng yang mungkin terambil adalah (putih, kuning), (putih, merah), (putih, biru), atau (putih, putih). Peluang terambil kelereng pertama putih dan kelereng kedua kuning: P (putih, kuning) Peluang terambil kelereng pertama putih dan kelereng kedua merah: P (putih, merah) Peluang terambil kelereng pertama putih dan kelereng kedua biru: P (putih, biru) Peluang terambil kelereng pertama putih dan kelereng kedua putih: P (putih, putih) Peluang terambil kelereng pertama putih: P P (putih, kuning) + P (putih, merah) + P (putih, biru) + P (putih, putih) Jadi, peluang terambil kelereng pertama putih adalah. 8. a. A {,,, 8, 0} B {,, } A B {} Jadi, kejadian A dan B saling asing. b. S {,,,,,,, 8, 9,0} n(s) 0 A {,,, 8,0} n(a), P(A) B {,, } n(b), P(B) A B {} n(a B) 0, P(A B) 0 P(A B) P(A) + P(B) + Jadi, peluang kejadian A atau B adalah. 9. Misalkan: Q kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah R kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 8 Q {(, ), (, ), (, ), (, )} n(q) R {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n(r) Q dan R kejadian saling asing, maka: P(Q R) P(Q) + P(R) + + Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah atau 8 adalah. 0. Kotak I merah, biru Kotak II merah, putih Peluang terambilnya bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II Jadi, peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah. 8 Ulangan TengahSemester

50 Trigonometri Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Rumus Sudut Rangkap Rumus Penjumlahan dan Perkalian Trigonometri Kosinus jumlah dan selisih dua sudut Sinus jumlah dan selisih dua sudut Tangen jumlah dan selisih dua sudut Sinus sudut rangkap Kosinus sudut rangkap Tangen sudut rangkap Penjumlahan dan pengurangan trigonometri Perkalian trigonometri Memiliki rasa ingin tahu dan bersikap pantang menyerah dalam menyelesaikan permasalahan tentang trigonometri. Mampu menurunkan rumus sinus, kosinus, dan tangen jumlah dua sudut. Mampu menurunkan rumus sinus, kosinus, dan tangen selisih dua sudut. Mampu mengubah bentuk a cos x + b sin x menjadi bentuk k cos (x a). Mampu menentukan rumus sinus, kosinus, dan tangen sudut rangkap/ ganda. Mampu menentukan rumus sinus, kosinus, dan tangen sudut pertengahan. Mampu menurunkan rumus penjumlahan sinus dan kosinus. Mampu menurunkan rumus pengurangan sinus dan kosinus. Mampu mengubah bentuk perkalian sinus dan kosinus menjadi bentuk penjumlahan. Mampu mengubah bentuk penjumlahan atau pengurangan sinus dan kosinus menjadi bentuk perkalian. Mampu menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus untuk memecahkan masalah. Mampu menggunakan rumus jumlah dan selisih kosinus untuk memecahkan masalah. Matematika Kelas XI Program IPA 9

51 A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Jawaban: d cos (p q) cos ((x y) (x + y)) cos (x y) cos x cos y + sin x sin y. Jawaban: e cos ( π A) (cos π cos A + sin π sin A) ( cos A + sin A) cos A + sin A. Jawaban: e tan 0 tan ( ) tan tan + tan tan p + p p + p. Jawaban: b tan (x + y) tan x + tan y tanx tany + tany tany + tan y 99 tan y tan y + 99 tan y 00 tan y 0 tan y 0 00 tan y 0 Jadi, nilai tan y 0.. Jawaban: a p sin 0 sin (0 + ) sin 0 cos + cos 0 sin + p ( + ). Jawaban: d cos ( ) cos (0 ) cos 0 cos + sin 0 sin + +. Jawaban: c sin β cos (θ α) sin α cos (β θ) sin β cos (θ α) sin α cos (β θ) 0 sin β (cos θ cos α + sin θ sin α) sin α (cos β cos θ + sin β sin θ) 0 sin β cos θ cos α + sin α sin β sin θ sin α cos β cos θ sin α sin β sin θ 0 cos θ cos α sin β sin α cos β cos θ 0 cos θ (cos α sin β sin α cos β) 0 Kedua ruas dibagi ( cos q) sehingga: cos α sin β + sin α cos β 0 sin α cos β cos α sin β 0 sin (α β) 0 Jadi, sin (α β) Jawaban: b x y sin x, x sudut tumpul cos x cos y, y sudut lancip sin y cos (x y) cos x cos y + sin x sin y Trigonometri

52 9. Jawaban: d sin (p q) sin p cos q cos p sin q sin A cotan B sin 0 sin p cos q sin p cos q sin Jawaban: e cos (A + B) cos A cos B sin A sin B π cos cos A cos B cos A cos B cos A cos B + cos (A B) cos A cos B + sin A sin B + Jadi, nilai cos (A B).. Jawaban: d Pada segitiga ABC berlaku: A + B + C 80 A + B 80 C A + B 80 A + B cos (A + B) cos A cos B sin A sin B cos cos A cos B cos cos A cos B cos A cos B cos A cos B cos (A B) cos A cos B + sin A sin B ( ) + ( ) cos A sin B cos B cos C cos (80 (A + B)) cos (A + B) (cos A cos B sin A sin B) 8 Oleh karena cos C negatif berarti sudut C merupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C.. Jawaban: a Menentukan nilai sin α β k 9 Oleh karena α sudut di kuadran II, cos α bernilai negatif. cos α k Menentukan nilai sin β dan cos β. Jawaban: e 0 k + 9 Oleh karena β sudut di kuadran III, sin β bernilai positif dan cos β bernilai negatif. A B sin β k cos β k Matematika Kelas XI Program IPA

53 Menentukan nilai sin (α + β) sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β ( ) + ( ) 0. Jawaban: c cos (A + B) cos A cos B sin A sin B π cos sin A sin B 8 sin A sin B 8 sin A sin B 8 sin A sin B 8 sin A sin B 8 cos (A B) cos A cos B + sin A sin B. Jawaban: e tan A tan B sin A sin B cos A cos B sin A sin B cos A cos B tan A tan B 9 cos (A B) cos (A + B) cos A cos B + sin A sin B cos A cos B sin A sin B Jawaban: a ACB 80 (0 + ) sin sin (0 + ) sin 0 cos + cos 0 sin + Ingat aturan sinus: AC sin AB sin + a sin A AC b sin B sin sin c sin C. AB + 00 ( + ) 00 0( + ) cm Jadi, panjang AC 0( + ) cm.. Jawaban: b Bentuk cos x sin x mempunyai nilai a dan b. k tan α b a ( ) + ( ) + tan α tan α Oleh karena a positif dan b negatif maka α terletak di kuadran IV sehingga: tan α α π a cos x + b sin x k cos (x α) cos x sin x cos (x π) 8. Jawaban: b cos (0 α) cos (0 o + α) cos 0 o cos α + sin 0 o sin α (cos 0 o cos α sin 0 o sin α) cos 0 o cos α + sin 0 o sin α cos 0 o cos α + sin 0 o sin α sin 0 o sin α sin α sin α 9. Jawaban: c cos x + sin x a dan b k + tan α tan π α π cos x + sin x π cos (x ) π cos (x ) π π cos (x ) cos Trigonometri

54 ) x π π + k π x π + k π k 0 x π π π ) x + k π x π + k π k 0 x π Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi π atau π. 0. Jawaban: d sin x cos x cos x + sin x a dan b k ( ) + ( ) + 8 tan α b a α π (α di kuadran II) cos x + sin x cos (x π) cos (x π) B. Kerjakan soal-soal berikut.. a. sin + sin 9 sin (0 + ) + sin (0 ) sin 0 cos + cos 0 sin + (sin 0 cos cos 0 sin ) + ( + + ( ) + ) Jadi, nilai sin + sin 9. b. cos cos cos (0 + ) + cos ( 0 ) (cos 0 cos sin 0 sin ) (cos cos 0 + sin sin 0 ) (( ) ( ( + ) ( ) ) + ) c. tan tan tan (00 + ) tan (0 ) tan 00 + tan tan 0 tan tan 00 tan + tan0 tan cos (x π) cos π ( ) + ( ) + ) x π π + k π x π + k π k 0 x π ) x π π + k π x π + k π k x π + π π Jadi, nilai x yang memenuhi π dan π. Matematika Kelas XI Program IPA

55 . a. b. sin 8 cos cos 8 sin sin 9 sin 8 cos 9 cos 8 sin 8 cos cos 8 sin (cos 9 cos 8 sin 9 sin 8 ) sin (8 ) (cos (9 + 8 )) sin 0 cos ( ) tan tan 8 + tan tan 8 tan ( 8 ) tan ( 0 ) tan 0. a. Diketahui sin α, cos β, α dan β di kuadran I α 9 β Oleh karena α di kuadran I maka cos α dan tan α bernilai positif. cos α dan tan α Oleh karena β di kuadran I maka cos β dan tan β bernilai positif. sin β dan tan β sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β cos (α + β) cos α cos β sin α sin β 8 tan (α β) tan α tan β + tanα tanβ b. Diketahui sin α, cos β, α di kuadran II dan β di kuadran IV. α Oleh karena α di kuadran II maka cos α dan tan α bernilai negatif. cos α dan tan α Oleh karena β di kuadran IV maka sin β dan tan β bernilai negatif. sin β dan tan β sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β + ( ) ( ) + cos (α + β) cos α cos β sin α sin β ( ) ( ) ( ) ( ) tan (α + β) tan α + α tan β + tanα tanβ ( ) ( ) + ( )( ) Trigonometri

56 . cos (A + B) cos A cos B sin A sin B cos (A B)... () cos A cos B + sin A sin B... () Tambahkan persamaan () dan persamaan (): cos A cos B sin A sin B cos A cos B + sin A sin B + cos A cos B cos A cos B Kurangkan persamaan () dari persamaan (): cos A cos B sin A sin B cos A cos B + sin A sin B sin A sin B sin A sin B tan A tan B sin A sin B cos A cos B Jadi, nilai tan A tan B.. cos (A B) cosa cos B + sin A sin B sin A sin B sin A sin B ( ) Dengan demikian, cos(a B) cos(a + B) + sin A sin B cos(a B) cos A cos B sin A sin B ( ) a + b + c 80 o c 80 o (a + b) tan c tan (80 o (a + b)) tan c tan (a + b) tan a + tan b tan c tan a tan b tan c tan c ( ) tan c Jadi, tan c. + ( )(). a. sin ( + θ) sin ( θ) (sin cos θ + cos sin θ) (sin cos θ cos sin θ) ( cos θ + sin θ) ( cos θ sin θ) cos θ + sin θ cos θ + sin θ sin θ + sin θ sin θ (terbukti) b. sin (0 + θ) + cos (0 + θ) (sin 0 cos θ + cos 0 sin θ) + (cos 0 cos θ sin 0 sin θ) ( cos θ + sin θ) + ( cos θ sin θ) ( ) cos θ + sin θ + cos θ sin θ cos θ + cos θ cos θ (terbukti) Matematika Kelas XI Program IPA

57 c. tan ( θ) tan tan θ + tan tan θ tan θ + tan θ tan θ tan + θ (terbukti) d. tan ( + θ) tan + tan θ tan tan θ + tan θ tan θ + tan θ tanθ sin θ + cos θ sin θ cos θ cos θ + sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ AD AC CD 9 cm DB AB AD cm BC DB + DC + Diperoleh: sin α, cos α, tan α, sin β, cos β, dan tan β. sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β cos θ+ sin θ cos θ sin θ (terbukti) 8. cos (x + π ) cos (x π ) π π (cos x cos sin x sin ) π π cos x cos + sin x sin cos x cos π sin x sin π ) cos x cos π + sin x sin π cos x 0 sin x cos x 0 + sin x 0 sin x 0 + sin x sin x sin x 0 sin x 0 sin x 0 (terbukti) 9. C 0. a. + 0 tan (α β) tan + 0 α tan β + tanα tanβ + Jadi, nilai sin (α + β) + tan (α β) 0 cos x + sin x +. cm cm Diperoleh nilai a dan b. k a + b A α β D B ( ) + ( ) cm 9 + Trigonometri

58 Oleh karena a positif dan b positif maka α berada di kuadran I. tan α b a α 0 Diperoleh: cos x + sin x cos (x 0 ) Dengan demikian dapat ditulis: cos x + sin x cos (x 0 ) cos (x 0 ) cos (x 0 ) cos 0 ) x k 0 x 0 + k 0 k 0 x 0 ) x k 0 x 0 + k 0 k 0 x 0 k x 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya {0, 0, 0 ). b. sin x cos x 0 cos x + sin x Diperoleh nilai a dan b k a + b ( ) + Oleh karena a negatif dan b positif maka α berada di kuadran II. tan α b a tan α tan α α 0 Diperoleh cos x + sin x cos (x 0 ) cos x + sin x cos (x 0 ) cos (x 0 ) cos (x 0 ) cos ) x 0 + k 0 x 9 + k 0 k 0 x 9 ) x 0 + k 0 x 0 + k 0 k 0 x 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya {0, 9 ). Matematika Kelas XI Program IPA

59 A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Jawaban: c I. sin x sin x cos x sin 8 sin 9 cos 9 (benar) II. cos x sin x cos sin sin cos sin (salah) III. cos x cos x cos cos cos cos cos (salah) tanx IV. tan x tan x tan tan (benar) tan Jadi, pernyataan yang benar I dan IV.. Jawaban: d tanx Oleh karena tan x maka berlaku: tan tan tan ( ) tan 0 tan tan x Jadi, tan.. Jawaban: b sin cos (cos sin ) (cos ) (cos 0 ) (cos ( )) ( sin 0 ) sin 0. Jawaban: c cos α cos α cos α cos α. Jawaban: d sin α, α sudut lancip cos α sin α. Jawaban: a sin A A k k panjang salah satu sisi siku-siku k 9 Oleh karena A terletak di kuadran IV maka cos A bernilai positif. cos A k sin A sin A cos A ( ). Jawaban: b sin a cos a p (sin a cos a) (p) sin a sin a cos a + cos a p sin a + cos a sin a cos a p sin a cos a p p sin a cos a p sin a Jadi, nilai sin a p. 8 Trigonometri

60 8. Jawaban: b tan θ sin θ θ cos θ sin sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ cos θ ( ) ( 9 ) Jadi, nilai cos θ Jawaban: c tan a tana tan a 8 tan a + tan a tan a 8 tan a 0 ( tan a + ) (tan a ) 0 tan a atau tan a Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi tan a. tan (a b) tan a tan b + tan a tan b tanb + tanb tan b + tan b tan b tan b Jadi, nilai tan a tan b () () Jawaban: d Oleh karena tan x ± cosx maka: tan tan ( 0 ) cos0 + cos0 p + p + cosx. Jawaban: d cos x cos x cos x cos 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 k 0 x k x x 0 + k 0 x 0 + k 0 k 0 x (TM) k x Jadi, himpunan penyelesaiannya {0, 00, 0 }.. Jawaban: b cos x cos x + 0 cos x cos x + 0 cos x cos x + 0 ( cos x )(cos x ) 0 cos x 0 atau cos x 0 Untuk cos x 0, diperoleh nilai x berikut. cos x 0 cos x cos x π cos x cos π x + k π π k 0 x x (π π ) + k π π + k π k 0 x π Untuk cos x 0 diperoleh nilai x berikut. cos x 0 cos x cos x cos 0 x 0 + kπ k 0 x 0 k 0 + π π x (π 0) + k π π + k π k 0 x π Jadi, himpunan penyelesaian cos x cos x π + 0 adalah {0,, π, π}.. Jawaban: a cos x cos x cos x cos x cos x cos x 0 cos x (cos x ) 0 cos x 0 atau cos x 0 Matematika Kelas XI Program IPA 9

61 Untuk cos x 0 diperoleh nilai x berikut. cos x 0 cos x 0 cos x cos π x ± π + kπ Untuk k 0 diperoleh: π x Untuk k diperoleh: x π + π π Untuk cos x 0 diperoleh nilai x berikut. cos x 0 cos x cos x cos 0 x ± 0 + kπ Untuk k 0 x 0 Untuk k x π Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {0, π, π, π}.. Jawaban: d sin x sin x cos x 0 (sin x) sin x 0 (sin x + )(sin x ) 0 sin x atau sin x sin x tidak ada nilai x yang memenuhi sin x sin 0 ) x 0 + k 0 x + k 80 k 0 x k x ) x (80 0 ) + k 0 x 90 + k 0 x + k 80 k x Jadi, himpunan penyelesaiannya {, }.. Jawaban: b sin x sin x 0 ( sin x + )(sin x ) 0 sin x + 0 atau sin x 0 sin x atau sin x (TM) Nilai sinus negatif di kuadran III dan IV, sehingga penyelesaiannya: Kuadran III sin x sin ( ) sin 0 Jadi, x 0. Kuadran IV sin x sin (0 0 ) sin 0 Jadi, x 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya {0, 0 }. B. Kerjakan soal-soal berikut.. a. Diketahui sin θ dan θ di kuadran IV. Oleh karena θ di kuadran IV maka tan θ bernilai negatif dan cos θ bernilai θ positif. tan θ dan cos θ sin θ sin θ cos θ ( )( ) cos θ cos θ sin θ ( ) ( ) tanθ tan θ tan θ ( ) ( ) b. Diketahui tan θ dan θ di kuadran II. θ Oleh karena θ di kuadran II maka sin θ bernilai positif dan cos θ bernilai negatif. sin θ dan cos θ sin θ sin θ cos θ ( )( 0 ) 0 Trigonometri

62 cos θ cos θ sin θ ( ) ( tanθ tan θ tan θ ) ( ) ( ) c. Diketahui cos θ dan θ di kuadran III. Oleh karena θ di kuadran III maka sin θ bernilai negatif dan tan θ bernilai positif. sin θ dan tan θ. Diketahui sin a di kuadran II). p α di kuadran II sehingga: cos α 8 0 sin α 0 dengan π < α < p (α terletak 8 cosα α 0 p sin θ sin θ cos θ ( )( ) cos θ cos θ sin θ θ cos α 8 + cosα 0 0 ( ) ( ) 0 9 sin α cos α 0 0 tanθ tan θ tan θ ( ) ( ) a. sin, ( sin, ) (cos, ) (cos ) (cos (80 + )) ( cos ) ( ) Matematika Kelas XI Program IPA

63 b. tan, ( tan, )(+ tan, ) sin sin α αcosα + cos sinα α cosα. a. tan, tan, tan, tan tan (90 + ) cotan c. 0 sin 8, cos 8, sin 8, cos 8, sin 8, sin, Oleh karena sin, bernilai positif, bentuk di atas dapat dinyatakan: ( ( ( cos, cos cos (0 ) ) cos sin α sinαcosα cos α sin α sinα cosα ) ) sinαcos α sinαcosα cos α cosα + cos α (terbukti) cosα b. cosec a sin α sin α+ cos α sinαcosα c. sec α sec α+ cos cotan α + cotan α cotan α + cotan α cotan α + cotan α cotan α α cos α + cosα cos α + cosα cos α cos α + cosα (terbukti) cosα + cosα tan α tan α (terbukti). sin 8 cos 8 (sin ) (cos ) (sin cos )(sin + cos ) (sin cos )(sin + cos ) ((sin + cos ) sin cos ) (cos sin )()( ( sin cos ) ) (cos )( (sin ) ) cos 0 ( sin 0 ) ( )( ( ) ) ( 8 ) 8 Trigonometri

64 A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Jawaban: d sin x cos y (sin (x + y) + sin (x y)) Pernyataan I dan II salah cos x cos y (cos (x + y) + cos (x y)) Pernyataan III dan V salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah IV.. Jawaban: e sin cos ( sin cos ) (sin ( + ) + sin( )) (sin 0 + sin 0 ). Jawaban: a ( + ) ( ) cos + cos cos cos cos cos cos cos ( + ) ( ) cos0 cos( ) cos0 cos cos0 cos cos0 cos. Jawaban: d cos ( a) + cos ( + a) sin ( + a) + sin ( a) cos (( a) + ( + a) ) cos (( a) ( + a) ) sin (( + a) + ( a) ) cos (( + a) ( a) ) ( + ) +. Jawaban: b Oleh karena cos α sin β sin (α + β) sin (α β) diperoleh: cos α sin β sin (α + β) sin (α β). Jawaban: a sin cos 9 (sin ( + 9 ) + sin ( 9 )) (sin 0 + sin ( 0 )) (sin 0 sin 0 ) cos cos ( a) sin cos a cos a cos a 8. Jawaban: d sin sin cos ( + ) sin cos 0 sin ( ) cos 0 sin ( ) ( ) ( ). Jawaban: e cos 0 cos 00 sin0 sin00 sin ( ) sin (0 00 ) cos ( ) sin (0 00 ) sin0 sin 0 cos 0 sin 0 sin0 cos 0 sin ( ) cos ( ) cos 0 sin 0 9. Jawaban: e sin 0 sin 0 sin 80 (sin 0 sin 0 ) sin 80 (cos (0 + 0 ) cos (0 0 )) sin 80 (cos 0 cos ( 0 )) sin 80 ( cos ( 0 )) sin 80 sin 80 + cos ( 0 ) sin 80 sin 80 + ( (sin ( ) sin ( 0 80 )) sin 80 + sin 0 sin ( 00 ) Matematika Kelas XI Program IPA

65 sin sin 00 (sin 80 sin 00 ) + ( cos 90 sin ( 0 )) + 8 ( 0 sin ( 0)) Jawaban: e tan 9 + tan 0 sin (9 + 0 ) cos (9 + 0 ) + cos (9 0 ) sin 00 cos 00 + cos 90 ( ) + 0. Jawaban: b sin A cos A tan ( π + A) tan ( π A) tan ( π + A) + tan ( ( π A)) π π sin[( + A) ( A)] π π π π cos [( + A) ( A)] + cos [( + A) + ( A)] sina cos A + cos π sina cos A ( cos A ) + sinacosa + ( ) cos A ( ) sin (sin 0 + sin ) sin (0 + sin ) sin (0 + sin ) sin cos ( ) cos. Jawaban: c sina + sinb cos A + cosb sin cos sin cos A+ B A B ( ) cos ( ) A B A B ( ) cos( ) A+ B sin ( ) A B cos ( ) + + A + B tan A + B A + B sin A + sin B sin A + B cos A B ( ) cos A B cos (A B) cos cos cos A B A B A B ( ) 0. Jawaban: d sin (x + 0) + sin (x 0) sin (x + 00) cos (0 ) Jawaban: c sin cos sin sin ( sin cos ) sin (sin ( + ) + sin )) sin (x + 0) sin (x + 0) sin 0 x k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 80 Trigonometri

66 k x 0 k x 0 x + 0 (80 0) + k 0 x 00 + k 0 x 0 + k 80 k 0 x 0 k x 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya {0, 0, 0, 0}.. Jawaban: a cos (x + π) cos (x π) sin (x) sin ( π) sin x sin π sin x sin x ) x π + k π k x π ) x (π ( π)) + k π x π + k π k 0 x π Jadi, nilai x yang memenuhi B. Kerjakan soal-soal berikut. sin x sin π dan π. π. a. cos α cos β cos cos ( cos cos ) (cos ( + ) + cos ( )) (cos 90 + cos 0 ) (0 + ) b. sin α cos β sin α ( sin α cos β) sin ( sin cos ) (sin ( + 0 )(sin ( + ) + sin ( )) (sin cos 0 + cos sin 0 )(sin 90 + sin 0 ) ( + )( + ) ( + )( + ) a. sin 0 sin 0 sin 80 ( sin 0 sin 0 ) sin 80 (cos 0 cos 0 ) sin 80 cos 0 sin 80 cos 0 sin 80 sin 80 cos 0 cos 0 sin 80 (sin 00 + sin 0 ) sin 80 sin (80 80 ) + sin 0 sin 80 sin 80 + sin 80 b. sin 0 sin 0 sin 0 sin 0 sin 0 sin 0 ( sin 0 sin 0 ) sin 0 (cos 0 cos 0 ) sin 0 (cos 0 ( )) sin 0 cos 0 sin 0 + sin 0 (sin 0 sin 0 ) + sin 0 sin 0. a. (cos + cos )(sin + sin 0 ) ( cos cos ( 0 ))( sin 0 cos ( )) cos cos 0 sin 0 cos cos (0 + ) cos ( ) sin 0 sin sin ( sin 0 ) sin 0 sin b. cos 0 cos 80 cos 0 (cos 0 cos 80 ) cos 0 ( sin 0 sin ( 0 )) cos 0 sin 0 ( sin 0 ) cos 0 sin 0 sin 0 cos 0 Matematika Kelas XI Program IPA

67 sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 cos 0 cos 0 0. a. sin sin 8 sin cos cos cos 8 (cos 0 cos ( )) (sin + sin ( 0 )) (cos + cos ( )) (cos 0 cos ) (sin cos θ sin θ tan θ (cos θ+ sin θ)(cos θ sin θ) (+ tan θ)( tan θ) (cos θ sin θ) cos ( )( ) θ sin θ cos θ sin θ + cos θ cos θ cos θ cos θ (cos θ sin θ) cos ( )( ) θ+ sin θ cos θ sin θ cos θ ( ) cos θ cos θ (cos θ sin θ) (cos θ sin θ) sin 0 ) (cos + cos ) cos 0 + cos sin + sin 0 cos cos sin + cos + sin cos sin (80 ) cos (90 + ) sin ( sin ) sin + sin b. sin 9 sin cos (sin 9 sin )(sin 9 cos ) (cos (9 + ) cos (9 ) ) (sin (9 + ) + sin (9 ) ) (cos 0 cos 0 ) (sin 0 + sin 0 ) (0 ( )) ( + ) 8 ( + ) 8 ( ). Akan dibuktikan bahwa ruas kiri ruas kanan. cos θ cos θ (terbukti). x sin θ + sin θ sin (θ + θ) cos (θ θ) sin θ cos θ y cos θ + cos θ cos (θ + θ) cos (θ θ) cos θ cos θ a. x + y sin θ cos θ + cos θ cos θ cos θ (sin θ + cos θ) (terbukti) x sin θ cos θ b. y cos θ cos θ sin θ cos θ tan θ (terbukti) c. x + y ( sin θ cos θ) + ( cos θ cos θ) sin θ cos θ + cos θ cos θ cos θ (sin θ + cos θ) cos θ + cos θ + cos θ (terbukti). a. cos θ cos θ cos θ cos θ (cos θ + cos 0) cos θ (cos θ + ) cos θ (cos θ cos θ + cos θ) cos θ ( (cos θ + cos θ) + cos θ) cos θ ( cos θ + cos θ) cos θ Trigonometri

68 (cos θ + cos θ) cos θ (cos θ cos θ + cos θ cos θ) cos θ ( (cos θ + cos θ) + (cos θ + cos 0)) cos θ (cos θ + cos θ + cos θ + ) cos θ 8 (cos θ cos θ + cos θ cos θ + cos θ) 8 8 ( (cos θ + cos θ) + (cos θ + cos θ) + cos θ) 8. a. + sin θ sin θ sin θ) ( sin θ + sin θ 0 sin θ) (0 sin θ sin θ + sin θ) (terbukti) α+β α β sinα+ sinβ sin cos cosα+ cosβ α+β cos cos α+β sin α+β cos α β α+β tan (terbukti) (cos θ + cos θ + cos θ + cos θ + cos θ) (cos θ + cos θ + 0 cos θ) (0 cos θ + cos θ + cos θ) (terbukti) b. sin θ sin θ sin θ sin θ (cos θ cos 0) sin θ (cos θ ) sin θ (cos θ sin θ sin θ) sin θ ( (sin θ sin θ) sin θ) sin θ ( sin θ sin θ) sin θ (sin θ sin θ) sin θ (sin θ sin θ sin θ sin θ) sin θ ( (cos θ cos θ) ( ) (cos q cos 0)) sin q ( cos θ + cos θ + cos θ ) sin θ 8 ( cos θ sin θ + cos θ sin θ 8 + cos θ sin θ sin θ) 8 ( (sin θ sin θ) + (sin θ sin θ) + (sin θ sin θ) sin θ) ( sin θ + sin θ + sin θ sin θ b. α+β α β sinα+ sinβ sin cos cosα cosβ α+β sin sin cos sin α β α β α β α β cotan α β cotan ( ( )) β α cotan (terbukti) 9. Jumlah besar sudut segitiga 80 A + B + C 80 B + C 80 A B+ C 90 A A + B + C 80 B + C C 80 A C B C 80 (A + C) B C 90 ( A + C) sin B + sin C sin A sin B + sin C sin (80 (B + C)) sin B + sin C sin (B + C) sin ( B + C sin ( B + C sin ( B + C cos ( B C ) cos ( B C ) cos ( B C ) sin ( B + C ) ) cos ( B + C ) cos ( B + C cos B cos C + sin B sin C (cos B cos C sin B sin C ) ) ) ) Matematika Kelas XI Program IPA

69 sin B sin C + sin B sin C cos B cos C cos B cos C sin B sin C cos B cos C sin cos B C sin B C cos tan B tan C Jadi, nilai tan B tan C adalah. 0. cos a + cos b sin a + sin b cos (a + b) cos (a b) sin (a + b) cos (a b) cos (a + b) sin (a + b) cotan (a + b) cotan 0 (a + b) 0 a + b 0 Jadi, sin (a + b) sin 0. A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Jawaban: c 8 (sin π sin π + cos π cos π) 8 (cos π cos π + sin π sin π) 8 (cos ( π π)) 8 (cos ( π)) A sudut lancip (kuadran I) maka cos A. B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B. cos (A B) cos A cos B + sin A sin B ( ) Jawaban: b sin α (α lancip) cos β (β tumpul) 8 (cos ( π)) 8. Jawaban: b cos cos (80 + ) cos 80 cos sin 80 cos. Jawaban: d sin A 0 sin B B β α cos α sin β sin λ sin (80 (α + β)) sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β ( ) A 8 Trigonometri

70 . Jawaban: a sin( α+β) tanα+ tanβ sinαcosβ+ cosαsinβ sinα sinβ + cos α cosβ sinαcosβ+ cosαsinβ sinαcosβ+ cos αsinβ cos αcosβ cos α cos β. Jawaban: e tan α tan β sin α cos α sin β cos β sin α cos β sin β cos α cos α cos β sin αcos β cos αsin β 8 sin α cos β cos α sin β 8 sin (α β). Jawaban: e π α β cos (α β) cos π cos α cos β + sin α sin β cos α cos β + cos α cos β cos (α + β) cos α cos β sin α sin β 0 8. Jawaban: c sin (α β) sin α cos β cos α sin β cos α sin β cos α sin β 9. Jawaban: e sin θ Oleh karena cos θ < 0 maka cos θ bernilai negatif. cos θ tan θ 9 tanθ tan θ tan θ ( ) 9 0. Jawaban: e cos x a cos x cos x a cos x cos x (a ) (a a + ) 8a 8a + 8a 8a +. Jawaban: c sin cos (cos sin ) (cos ) (cos ) ( 0,) 0,. Jawaban: e cos cos + sin sin cos ( ) cos cos α sin β sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β. Jawaban: d cos θ + sin θ cos θ sin θ os θ sin θ θ tan θ Matematika Kelas XI Program IPA 9

71 Oleh karena θ sudut lancip maka diperoleh sin θ dan cos θ. Oleh karena θ sudut lancip maka θ juga sudut lancip sehingga tan θ bernilai positif. tan θ cosθ + cosθ. Jawaban: d cos α cos α cos α ± cos α+ Oleh karena, berada di kuadran II maka cos, bertanda negatif. cos, cos ( ) ( ) Jadi, nilai tan θ.. Jawaban: b sin α + cos α (sin α + cos α) ( ) sin α + sin α cos α + cos α 9 + sin α cos α 9 sin α cos α sin α. Jawaban: c sin 8 p p cos 8 p p sin 9 sin ( 8 ) sin 8 cos 8 p p 8 p p. Jawaban: a tan A + tan B tan A + tan B tan A tan B tan A tan B tan B tan B tan A + tan B tan A + tan A tan A tan A tan A tan (A + B) tana + tanb tanatanb + tan A 9 8. Jawaban: a sin, sin, (cos cos 90 ) (cos (90 + ) 0) ( sin ) ( ) 0 Trigonometri

72 9. Jawaban: e sin 8, cos, sin (8, +, ) + sin (8,, ) sin 0 o + sin o sin ( 0 o ) + sin o sin 0 o cos 0 o + sin o + + ( + ) 0. Jawaban: e sin80 + sin0 cos80 + cos0 sin cos cos cos. Jawaban: a sin0 cos0 Diketahui tan x. Oleh karena x lancip maka cos x dan sin x. cos x + cos x cos x cos x ( cos x ) cos x cos x cos x ( ) ( ) ( ) ( ). Jawaban: b cos x + sin x ( sin x) + sin x sin x sin x 0 ( sin x + )(sin x ) 0 sin x + 0 atau sin x 0 sin x atau sin x sin x sin x sin 0 x 0 + k 0 x 0 + k 80 k 0 x 0 sin x sin x (80 0 ) + k 0 x 0 + k 0 x + k 80 k x Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, }.. Jawaban: b sin C sin (80 (A + B)) sin (A + B) sin (A B) sin 0 sin A cos B (sin (A + B) + sin (A B)) ( + ) 8. Jawaban: d cos (A + B) maka sin (A + B) cos (A B) maka sin (A B) cos A cos B sin (A + B) sin (A B). Jawaban: c Diketahui α + β 90 maka sin α cos β dan cos α sin β. cosα cosβ α + β sin ( )sin ( α β ) sinα sinα cosα sin( α +β)sin( α β) sinα cosα sin 90 sin ( α β) sin α cos α (sin α cos β cos α sin β) sin α cos α sin α cos β cos α sin β + sin α cos α sinα cos α cos β cos α + sin β sin α sin α cos α + sin β cos β tan α + tan β tan β tan α Matematika Kelas XI Program IPA

73 . Jawaban: b cos x sin x cos 9x sin 9x cos x sin x 8. Jawaban: e cos ( π x + ) cos ( π x ) cos x cos 9x sin x sin 9x sin x cos x sin x sin ( x) sin x cos x sin x cos x sin x sin x sin x cos x sin x cos x sin x ( sin x ) cosx(sinx ) (cos x cos π sin x sin π ) ( cos x cos π + sin x sin π cos x sin x) cos x + sin x sin x cos x tan x. Jawaban: b cos x sin x Diperoleh a dan b k ( ) + ( ) + 9 Oleh karena a positif dan b negatif maka α berada di kuadran IV. tan α α 00 cos x sin x cos (x 00 ) cos (x 00 ) cos (x 00 ) cos 0 x k 0 x 0 + k 0 k x 0 k x 0 x k 0 x 0 + k 0 k 0 x 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya {0, 0, 0 ). cos x sin x cos x sin x 0 cos x sin x 0 cos x sin x sin x Dengan demikian, sin x sin x cos x cosx cos x cos x cos x 9. Jawaban: a cos x + sin x + 0 ( sin x) + sin x + 0 sin x + sin x + 0 sin x + sin x + 0 ( sin x + )( sin x + ) 0 sin x atau sin x Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan sin x karena batas nilai minimum sin x adalah. sin x sin x sin ( π) x π + k π k x π x (π ( π) + k π x π + k π k 0 x π Jadi, himpunan penyelesaiannya { π, π}. Trigonometri

74 0. Jawaban: d cos x + cos x 0 cos x cos x 0 cos x 0 atau cos x 0 a. Untuk cos x 0 π cos x 0 cos x cos x π + k π x π + k π k 0 x π k x π k x π x π + k π x π + k π k x π k x π k x π b. Untuk cos x 0 π cos x 0 cos x cos x π + k π b.. a. b. tan 8, tan, (tan 8, tan, ) (tan 8, + tan, )(tan 8, tan, ) ( tan 8, tan, )( + tan 8, tan, ) tan (8, +, ) tan (8,, ) tan 0 tan ( ) cos cos sin9 + sin sin sin ( 0 ) sin cos 0 sin sin0 cos cos 0 sin0 sin cos + cos cos0 sin cos 0 cos cos0 sin ( cos 0 ) cos ( ) k 0 x π x π + k π k x 9 π Jadi, himpunan penyelesaiannya { π, π, π, π, 9 π, π}. B. Kerjakan soal-soal berikut.. a. cos cos + sin sin sin 0 cos 0 + cos 0 sin 0 cos ( ) sin (0 + 0 ) cos sin 0. a. sin (00 + a) cos (0 a) cos (00 + a) sin (0 a) sin ((00 + a) (0 a)) sin (80 + a) sin a b. cos (00 a) cos (0 a) sin (00 a) sin (0 a) cos ((00 a) + (0 a)) cos (0 a) sin a. Oleh karena 0 < A < 90 sehingga sin A, cos A, dan tan A bernilai positif. cos A sin A sin A Matematika Kelas XI Program IPA

75 sin A 8 sin y 0 sehingga: sin A cos A ( ) a. tan A sina cos A 8 0 p 0 00 p 8 cos y 8 0 tan y 8 Jadi, tan A. b. sin A sin A cos A Jadi, sin A.. a. tan x sehingga: p p + +. a. cos (x + y) cos x cos y sin x sin y b. sin (x + y) sin x cos y + cos x sin y cos (A B) 9 cos (A + B) cos (A B) 9 cos (A + B) (cos A cos B + sin A sin B) 9(cos A cos B sin A sin B) cos A cos B + sin A sin B 9 cos A cos B 9 sin A sin B sin A sin B cos A cos B b. tan B sina cos A cos B sin B tan A cotan B (dapat ditunjukkan) 9 sin x cos x tan B cotan B tan A cotan B tan A ( ) tan A Trigonometri

76 AC AD tan (A + B) tana + tan B tana tan B + Jadi, tan (A + B).. Ingat: tan (A + B) tana + tanb tana tanb tan A + tan B tan (A + B)( tan A tan B) Oleh karena itu, maka: tan A + tan B + tan C tan (A + B)( tan A tan B) + tan C tan (80 C)( tan A tan B) + tan C ( tan C)( tan A tan B) + tan C tan C + tan A tan B tan C + tan C tan A tan B tan C (terbukti) 8. cm CD C cm α α A cm D cm B a. sin C sin (80 α) sin (α) sin α cos α ( )( ) 0 9 Jadi, sin C 0 9. b. tan (80 α) tan a tanα tan α ( ) ( ) Jadi, tan C cos x cos x Oleh karena π < x < π π< x < π maka cos x bernilai negatif. cos x cosx + a + a+ a + a + (a + ) a a+ a a + cm sin α cos α tan α A + B + C 80 C 80 ( A + B) C 80 ( A + B) C 80 α a + x sin x a+ tan x sin x cos x a a+ a a+ a a a Matematika Kelas XI Program IPA

77 0. a. sin x cos x cos x + sin x a, b, k ( ) + tan α b a, (α di kuadran II) α 0 sin x cos cos (x 0 ) cos (x 0 ) cos (x 0 ) cos 0 x k 0 x 0 + k 0 k 0 x 0 x k 0 x 90 + k 0 k 0 x 90 Jadi, himpunan penyelesaiannya {90, 0 }. b. cos ( x) cos ( x) 0 sin (90 x) sin (0 ) 0 sin ( x) sin 0 0 sin ( x) 0 sin ( x) 0 sin ( x) sin 0 x 0 + k 0 x + k 0 x k 0 k 0 x x 80 + k 0 x + k 0 x k 0 k x Jadi, himpunan penyelesaiannya {, }. Trigonometri

78 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lngkaran Persamaan Lingkaran Garis Singgung Lingkaran Persamaan lingkaran. Kedudukan titik terhadap lingkaran. Kedudukan garis terhadap lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran. Menghargai pendapat saat menuliskan berbagai bentuk persamaan lingkaran. Bersikap kreatif untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Mampu menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan P(a, b). Mampu menentukan unsur-unsur lingkaran apabila diketahui persamaannya. Mampu menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran. Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran. Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran. Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran. Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya. Matematika Kelas XI Program IPA

79 A. Pilihan Ganda. Jawaban: d Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x + y r. Lingkaran melalui titik (, ): x + y r () + ( ) r r + 0 Jadi, persamaan lingkarannya x + y 0.. Jawaban: d Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran P(0, ) dan jari-jarinya 0. Persamaan lingkarannya: (x 0) + (y ( )) 0 (x 0) + (y + ) 00. Jawaban: d Lingkaran berpusat di (, ) dan melalui titik (, ). Jarak titik ke titik pusat sama dengan jari-jari. r Persamaan lingkaran: L: (x ) + (y + ) ( ) x x + + y + y x + y x + y x + y x + y x + y x + y 0. Jawaban: a Titik pusat lingkaran terletak di tengah titik ujungujung diameter. P, (, ) Persamaan lingkarannya (x ) + (y + ) r. Lingkaran melalui titik (, ), berarti: ( ) + ( + ) r r + 9 Persamaan lingkaran: (x ) + (y + ) r x x + + y + y + 9 x + y x + y 0. Jawaban: a x + y x y 0 x x y y (x ) + (y ) Diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (, ) dan jari-jarinya. Grafik lingkaran yang sesuai ada pada pilihan a.. Jawaban: d Lingkaran x + y + x y + a 0 melalui titik (, ), berarti: () + () + () () + a a 0 a Diperoleh persamaan lingkaran x + y + x y 0. Jari-jari lingkaran: r Jawaban: c Lingkaran x + y + px + 8y berpusat di titik p,. r ( ) Lingkaran menyinggung sumbu X sehingga diperoleh: r ordinat pusat + + p + p 9 p p ± Jadi, pusat lingkaran adalah (, ) atau (, ). 8. Jawaban: d L: x + y + ax + by + c 0 ) Melalui titik A (0, 0): a 0 + b 0 + c 0 c 0... () 8 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

80 ) Melalui titik B (, ): ( ) + () + a ( ) + b + c 0 + a + b + c 0 a b + c 0 a b a b 0 a b () ) Melalui titik C (, ): ( ) + + a ( ) + b + c a + b a + b 0 a b 0... () Substitusikan persamaan () ke dalam persamaan (). a b 0 b + 0 b 0 b 0 b 8 a b + 0 ( 8) Jadi persamaan lingkaran adalah: x + y + ax + by + c 0 x + y x 8y 0 9. Jawaban: e Y Lingkaran L menyinggung y x sumbu Y di titik (0, ) dan pusatnya di r garis y x. P y x x Pusat lingkaran P(, ) 0 X dan jari-jari. Jadi, persamaan lingkaran L adalah (x ) + (y ) x x y y + 9 x + y x y Jawaban: b Persamaan lingkaran L dengan pusat (, ) dan jari-jari r : (x + ) + (y ) x + y + x y () Garis g: ax + y 0 y ax... () Substitusikan persamaan () ke persamaan (). x + ( ax) + x ( ax) x + a x + x + ax (a + )x + ( + a)x Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D 0. ( + a) (a + ) a + a a 0 a a Jadi, syarat agar garis ax + y 0 menyinggung lingkaran L adalah nilai a B. Uraian. a. Persamaan lingkaran yang berpusat di (, ) dan jari-jari. L: (x ) + (y ) (x ) + (y ) b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (, ) dan melalui titik (, ). r + + L: (x ) + (y + ) ( ) (x ) + (y + ) Persamaan lingkarannya: L: (x ) + (y + ). a. L : x + y x + 8y + 0 x x + + y + 8y (x ) + (y + ) Lingkaran L berpusat di titik (, ) dan berjari-jari r. b. Persamaan lingkaran L yang berpusat di (, ) dan berjari-jari adalah: (x ) + (y + ) ( ) x x + + y + 8y + 0 x + y x + 8y 0. x + y 8x y + n 0 a. Lingkaran melalui titik (, ) berarti: ( ) + 8( ) () + n n 0 n 8 b. x + y 8x y Pusat: ( 8), ( ) (, ) Jari-jari: r Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (, ). d Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada di luar lingkaran. c. Jarak garis y x x y 0 ke titik pusat lingkaran (, ) adalah: s Oleh karena s, < r,8 maka garis y x memotong lingkaran di dua titik. Matematika Kelas XI Program IPA 9

81 . Pusat lingkaran (, ). a. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat (, ) ke garis x y + 0, yaitu: r + b. Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan jari-jari r : (x ) + (y + ) x x + + y + 8y + 0 x + y x + 8y 0. Titik pusat lingkaran: P(, ). Jari-jari lingkaran: r + + a. Jarak titik P(, ) ke garis x + y 8 0: + d + Oleh karena d > r maka garis x + y 8 0 tidak berpotongan dengan lingkaran L. b. Jarak titik P(, ) ke garis x y + 0: d + + Oleh karena d < r maka garis x y + 0 memotong lingkaran L. c. Jarak titik P(, ) ke garis x y 0: + d Oleh karena d r maka garis x y 0 menyinggung lingkaran L. d. Jarak titik P(, ) ke garis x + y 0: x + y 0: + d + Oleh karena d < r maka garis x + y 0 memotong lingkaran L.. : x + y k Û y k x Substitusi ke persamaan lingkaran L: x + (k x) x + k kx + x x kx + k 0 Syarat garis tidak memotong lingkaran L di dua titik yaitu D < 0. ( k) (k ) < 0 k 0k + 80 < 0 k + 80 < 0 k 0 > 0 (k )(k + )> 0 (k )(k + )> 0 k < atau k > Jadi, batas-batas nilai k adalah k < atau k >.. Jari-jarinya sama dengan jarak titik P(, ) ke garis g: x y 9 0 r d O X 0 8 A B r r P x + y 0 r Persamaan lingkarannya: L: (x ) + (y + ) 8. Y OB OA + Titik pusat lingkaran: P(r, ). Panjang jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P ke garis x + y 0, yaitu: + r + r + + r r 9r 0r + 00 r + 0 r 00 0 r + r 0 0 (r )(r + 0) 0 r atau r 0 Oleh karena r > 0 maka r. 80 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

82 9. Persamaan lingkaran berpusat di P(, ) dan berjari-jari r : x + (y ) x x + + y 0y + x + y x 0y + 0 Jadi, persamaan lingkarannya: x + y x 0y + 0. Y P P P r r r r T O Titik pusat kedua lingkaran pada garis y berarti ordinat titik pusat adalah. Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x 0), maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r). Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, ) dan persamaannya: (x r) + (y ) r Lingkaran juga menyinggung garis y x. Substitusi y x (x r) + x r y y X ke persamaan lingkaran: x rx + r + x x + r x (r + )x + 0 Oleh karena lingkaran menyinggung garis, maka diskriminan (D) 0, yaitu: b ac 0 (r + ) 0 r + 8r + 0 r + 8r 0 r + r 0 (r + )(r ) 0 r atau r Diperoleh titik pusat P (, ) dan P (, ). Jarak kedua titik pusat: P P Segitiga ABC siku-siku di A, maka sisi BC merupakan diameter lingkaran. Titik tengah diameter BC merupakan titik pusat lingkaran, yaitu titik (, ). Panjang diameter sama dengan panjang BC, yaitu: d BC + + Jari-jari: r d Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan jarijari r : (x ) + (y ) ( ) x x y y + x + y x y 0 Jadi, persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalah x + y x y 0. A. Pilihan Ganda. Jawaban: a Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x + y r. Lingkaran melalui titik A(, ): x + y r () + () r r Diperoleh persamaan lingkaran: x + y 0. Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(, ): x x + y y r ()x + ()y 0 x + y 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik A adalah x + y 0.. Jawaban: d x + y x + y 0 Untuk x dan y diperoleh: + () + () Diperoleh titik (, ) terletak pada lingkaran sehingga persamaan garis singgungnya: x + y (x + ) + (y + ) 0 x + y x + y + 0 x + y 0 Matematika Kelas XI Program IPA 8

83 . Jawaban: a Lingkaran: (x + ) + (y ) 0 Memotong sumbu X berarti: y 0 (x + ) + (0 ) 0 (x + ) + 0 (x + ) x + ± x ± x 8 atau x 0 Diperoleh titik potong lingkaran terhadap sumbu X adalah ( 8, 0) dan (0, 0). Persamaan garis singgung di titik ( 8, 0): ( 8 + )(x + ) + (0 )(y ) 0 (x + ) + ( )(y ) 0 x y x y 0 x + y + 0 Persamaan garis singgung di titik (0, 0): (0 + )(x + ) + (0 )(y ) 0 (x + ) + ( )(y ) 0 x + y x y 0 x y 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya x + y Jawaban: a Garis y x + 0 mempunyai gradien m. Titik pusat lingkaran: P(, ). Jari-jari lingkaran: r Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m. Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garis y x + 0 maka m m. Persamaan garis singgung lingkaran: y y P m(x x P ) ± r + y ( ) (x ) ± y + x ± y x ± y x ± 0. Jawaban: d Persamaan garis singgungnya: + x x + y y (x + x ) + 8 (y + y ) 0 0 x y (x + ) + (y ) 0 0 x y x + y x y 8 0 y x 8. Jawaban: e Titik A(0, ) terletak di luar lingkaran L karena (0 ) + ( + ) >. Persamaan garis kutub titik A(0, ) terhadap lingkaran L: (0 )(x ) + ( + )(y + ) x + + y + x + y x y y x Substitusikan y x ke dalam persamaan lingkaran L: (x ) + (x + ) x x + + x 0 x x 0 x(x ) 0 x 0 atau x Untuk x 0 maka y 0. Untuk x maka y. Diperoleh titik singgung (0, ) dan (, ).. Jawaban: c x + y x y 0 x x + y y x x + + y y (x ) + (y ) Diperoleh pusat lingkaran (, ) dan jari-jari r. Garis y x + bergradien, maka garis yang tegak lurus dengan garis tersebut bergradien. Persamaan garis singgung: y m(x ) ± y (x ) ± y x + ± y x + ± + + Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya y x Jawaban: c Misalkan lingkaran L: x + y + x y 0. Titik pusat lingkaran L: P,. Jari-jari lingkaran L: r Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

84 Titik A(, ) di luar lingkaran L. Garis AB merupakan garis singgung lingkaran L yang ditarik dari titik A. Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran L di titik B dan B. Panjang garis AB AB s. s P r r B B 0 A + Y + Jadi, panjang garis AB adalah. 9. Jawaban: d x + y x + y + 0 Garis melalui O(0, 0): y mx Substitusikan y mx ke dalam persamaan lingkaran. x + (mx) x + (mx) + 0 x + m x x + mx + 0 ( + m )x + (m )x + 0 Garis y mx menyinggung lingkaran, berarti: D 0 (m ) ( + m ) 0 m m + 0 0m 0 m m + 0 m + m 0 (m )(m + ) 0 m atau m Jadi, gradiennya dan. 0. Jawaban: b x + y + x 8y 8 0 x + y + x y 0 x + x + y y x + x + + y y + ( ) + + ( ) (x + ) + (y ) + + ( ) (x + ) + (y ) 9 Pusat P (, ) dan r X Persamaan garis singgung sejajar dengan garis x + y 0 sehingga a dan b. Substitusikan a, b, pusat, dan r ke dalam rumus persamaan garis singgung. x + y ( ) + () ± + x + y 9 ± 9 x + y 9 ± 9 0 Jadi, diperoleh dua persamaan garis singgung: x + y dan x + y 8 0 B. Uraian. a. Persamaan: x + y Untuk x dan y diperoleh: ( ) + () 9 + Titik (, ) terletak pada lingkaran sehingga persamaan garis singgungnya: x x + y y x + y x y + 0 b. Persamaan: x + y + x y 0 Untuk x dan y diperoleh: () + () + () () Titik (, ) terletak pada lingkaran sehingga persamaan garis singgungnya: x x + y y + (x + x ) + (y + y ) 0 x + y + (x + ) (y + ) 0 x + y + x + y 0 x + y 0. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x + y r. Lingkaran melalui titik (, ): x + y r ( ) + () r r + Diperoleh persamaan lingkaran: x + y. Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(, ): x x + y y r ( )x + ()y x + y Jadi, persamaan lingkaran x + y dan garis singgungnya di titik A adalah x + y. b. Lingkaran dan garis singgungnya: Y A, 0 X Matematika Kelas XI Program IPA 8

85 . Misalkan titik singgung lingkaran L: (x ) + (y + ) adalah T(, b) maka: ( ) + (b + ) 9 + b + b + 0 b + b 0 (b + )(b ) 0 b + 0 atau b 0 b atau b Diperoleh titik singgung T (, ) dan T (, ). Persamaan garis singgung di titik T (, ) pada lingkaran L: ( )(x ) + ( + )(y + ) x + y x y 9 0 x + y Persamaan garis singgung di titik T (, ) pada lingkaran L: ( )(x ) + ( + )(y + ) x + + y + x + y 0 x y + 0 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x + y dan x y Titik T(, ) terletak pada lingkaran L karena: ( ) + + 0( ) + () Persamaan garis singgung lingkaran L di titik T: g: x + y + (x ) + (y + ) x + y + x 0 + y x + y + 0 Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik P(, ) ke garis singgung g. Jari-jari lingkaran L : + + r + Persamaan lingkaran L : (x ) + (y + ) x 8x + + y + y + x + y 0x + 0y Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y 0x + 0y L: x + y 8x 8y + 0 x 8x + y 8y x 8x + + y 8y (x ) + (y ) 8 Diperoleh titik pusat lingkaran P(, ) dan jari-jari r. Garis y x melalui titik pusat lingkaran, maka garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran L dan garis y x tegak lurus dengan garis y x. Oleh karena garis y x bergradien, garis singgungnya bergradien. Persamaan garis singgungnya: y (x ) ± + y x + ± y x + 8 ± y x + atau y x + Jadi, persamaan garis singgungnya y x + dan y x +.. g: x + y + 0 y x y x m g - Syarat tegak lurus m m g m m g m m x + y x + 8y + 0 Titik pusat lingkaran (, ) sehingga: r + Persamaan lingkaran: (x ) + (y + ) Persamaan garis singgung: y b m(x a) ± r + y + (x ) ± + y x ± y x ± g : y x + g : y x Jadi, garis singgungnya adalah g : y x + dan g : y x.. L: x + y + x y 0 x + x + + y y (x + ) + (y ) 0 Diperoleh koordinat titik pusat (, ) dan jari-jari r. g: x + y 0 y x + Diperoleh gradien garis g adalah. 8 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

86 Garis singgung yang tegak lurus garis g bergradien. Persamaan garis singgung lingkaran L yang bergradien m adalah: y (x + ) ± + y x + ± 0 x y + ± 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah x y + 0 dan x y Titik pusat lingkaran L : P (, ). Jari-jari lingkaran: r + +. Titik pusat lingkaran L : P (0, ). Jari-jari lingkaran: r 0. P Y Q 0 P + Lingkaran L dan L bersinggungan di titik Q. Garis adalah garis singgung persekutuan lingkaran L dan L. Gradien garis P P. m Misalkan gradien garis adalah m. Garis tegak lurus garis P P maka m m m m Menentukan koordinat titik Q. L : x + y + x y 0 L : x + y 0x + y x 8y 0 x y 0 y Substitusikan y ke dalam persamaan L. x + + x 0 x x x + 0 9x + x 88x + + x 8x + 0 X x 00x x x + 0 (x ) 0 x Substitusikan x ke dalam y. y Diperoleh koordinat titik Q(, ). Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x, y ): y y m(x x ) Garis bergradien dan melalui titik Q(, ) maka persamaan garis : y + (x ) y + x 8 x y 0 Jadi, persamaan garis singgung di titik singgung lingkaran L dan L adalah x y Lingkaran: (x ) + (y ) Titik pusat (, ) dan jari-jari r. Titik (, ) berada di luar lingkaran. Persamaan garis kutub dari titik (, ): (x )(x ) + (y )(y ) ( )(x ) + ( )(y ) ( )(x ) + ( )(y ) x + y + y x y Substitusikan persamaan garis kutub ke dalam persamaan lingkaran. (x ) + (y ) (x ) + ( ) x + x + + ( ) 0 x + x + ( ) 0 x + + x + 0 x x 9 + 9x + 0x x x 9 0 (x )(x + ) 0 x y x atau x Matematika Kelas XI Program IPA 8

87 x y Persamaan garis singgung di titik (, ): (x )(x ) + (y )(y ) ( )(x ) + ( )(y ) (0)(x ) + ( )(y ) y + y 8 y Persamaan garis singgung di titik (, ): (x )(x ) + (y )(y ) ( )(x ) + ( )(y ) ( )(x ) + ( )(y ) ( 9)(x ) + ( 8)(y ) 00 9x + 9 8y x 8y 0 x + y 0 Jadi, persamaan garis singgungnya y dan x + y r y b m(x a) ± r + y + 0 (x ) ± + y + 0 x + ± y + 0 x + ± y x ± Jadi, persamaan garis singgungnya: g : y x 0 dan g : y x 8 A. Pilihan Ganda. Jawaban: d Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran O(0, 0) dan jari-jarinya. Persamaan lingkaran: x + y x + y. Jawaban: e y x x y 0 Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0) ke garis x y 0, yaitu: r + Persamaan lingkaran L: x + y r x + y r x + y x + y 8 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y 8.. Jawaban: d (x a) + (x b) r (x ) + (x ( )) ( ) (x ) + (x + ) Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (, ) dengan jari-jari adalah (x ) + (x + ).. Jawaban: b Lingkaran berdiameter berarti jari-jarinya r. Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan jarijari r adalah: (x ) + (y ) (x ) + (y ) Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x ) + (y ).. Jawaban: b Lingkaran yang berpusat di titik (, ) dan menyinggung sumbu X sebagai berikut. Y 0 r Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (, ) dan jari-jari. Persamaan lingkaran: (x ) + (y ( )) (x ) + (y + ) 9 x x + + y + y x + y x + y + 0 X 8 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

88 . Jawaban: c x + y + x y 9 0 x + x + y y 9 x + x + + y y (x + ) + (y ) 9 (x + ) + (y ) Diperoleh koordinat titik pusat (, ) dan jari-jari.. Jawaban: a Titik pusat lingkaran:, p. Lingkaran menyinggung sumbu Y maka r absis titik pusat + + p 00 p ± ±0 Jadi, nilai p adalah ±0. 8. Jawaban: e x + y 0x + y + 0 Pusat ( ( 0), ) P(, ) Jadi, titik pusatnya (, ). 9. Jawaban: a x + y x + 0 x x y + 9 (x ) + y Diperoleh koordinat titik pusat (, 0). Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (, 0) dan berjari-jari adalah: (x ) + y x x y x + y x Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y x Jawaban: a y x + 0 y... () x + y... () Substitusikan persamaan () ke dalam persamaan (). x + y x + x + + x + 9x 0x + 00 x 0x + 0 x x (x ) 0 x Substitusikan x ke dalam persamaan (). x y Jadi, koordinat titik A (, ).. Jawaban: c Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (, ) dengan garis singgungnya x y r + Jadi, diameter lingkaran: d r.. Jawaban: e Lingkaran x + y + 8x y + a 0 berpusat di titik (, ) (, ). Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (, ) dan berjari-jari adalah (x + ) + (y ) x + 8x + + y y + x + y + 8x y x + y + 8x y 9 0 Jadi, nilai a 9.. Jawaban: e Lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y berpusat di titik (a, a) atau (a, a) dan berjari-jari a. ) Misalkan titik pusat (a, a) terletak pada garis x y 8, maka: a a 8 a 8 a Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan berjari-jari adalah (x ) + (y ). ) Misalkan titik pusatnya (a, a) terletak pada garis x y 8, maka: a ( a) 8 a + a 8 a 8 a Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan berjari-jari adalah: (x ) + (y + ). Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah (x ) + (y ) dan (x ) + (y + ). Jawaban: c Titik pusat L : P (, ) Jari-jari L : r + +. Matematika Kelas XI Program IPA 8

89 Titik pusat L : P (, ) Jari-jari L : r + + Jarak kedua titik pusat: d P P + + r + r + 8 r r Oleh karena r r < d < r + r maka kedua lingkaran saling berpotongan.. Jawaban: d Misalkan lingkaran L di kuadran I maka titik pusatnya: P(, ). Y r O r P r A L Lingkaran L bersinggungan di dalam dengan L di titik A. Jari-jari L : r OP + PA L + + r + + Persamaan L : x + y r x + y ( + ) x + y x + y + 8 Jadi, persamaan lingkarannya x + y Jawaban: d Persamaan garis singgung di titik (, 8) pada lingkaran x + y 00 x x + y y r x 8y 00 x y 0 Jadi, persamaan garis singgung adalah x y 0. X. Jawaban: c (x + ) + (y ) Untuk x dan y diperoleh: r ( + ) + ( ) + Diperoleh titik (, ) terletak pada lingkaran, sehingga persamaan garis singgungnya: (x + )(x + ) + (y )(y ) ( + )(x + ) + ( )(y ) ( )(x + ) + ()(y ) x + y 0 x + y 0 x y + 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah x y Jawaban: a Persamaan: x + y + x + y 0 Untuk x 0 dan y diperoleh: (0) + () + (0) + () Diperoleh titik (0, ) terletak pada lingkaran, sehingga persamaan garis singgungnya: x x + y y + (x + x ) + (y + y ) 0 0x + y + (x + 0) + (y + ) 0 y + x + y + 0 y + x + y 0 x + 8y 0 y 0 x + 8(0) 0 x x Jadi, garis singgung lingkaran berpotongan dengan sumbu X di titik (, 0). 9. Jawaban: c Misalkan titik singgung lingkaran L: x + y x + 8y + 0 adalah T(a, ) maka a + ( ) a + 8 ( ) + 0 a + a + 0 a a + 0 (a )(a ) 0 a atau a Diperoleh titik singgung T (, ) dan T (, ). Persamaan garis singgung di T (, ): x y (x + ) + (y ) + 0 x y x + y x + y + 0 x y 0 88 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

90 Persamaan garis singgung di T (, ): x y (x + ) + (y ) + 0 x y x + y x + y + 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya x y Jawaban: b Misalkan persamaan garis singgung yang melalui (, ) dengan gradien m adalah: y + m(x ) y mx m... () Substitusi () ke persamaan x + y Diperoleh: x + (mx m ) x + m x m x mx + 9m + m + ( + m )x (m² + m)x + (9m² + m ) 0 Nilai diskriminan, yaitu D (m + m) ( + m )(9m + m ) D 9m + m + m 00m m + 9 9m m D 9m m + 9 Syarat garis menyinggung lingkaran, yaitu D 0 sehingga: 9m m atau m + m 0 + m atau m ) Untuk m y x y x y x + 0 ) Untuk m y x ( ) y x + y + x 0 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y x + 0 atau y + x 0.. Jawaban: a Lingkaran: x + y Pusat: (0, 0) dan jari-jari r x + y 0 0 y x Diperoleh gradien m. Persamaan garis singgung: y x ± + y x ± + y x ± y x ± 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya: y x 0 x + y Jawaban: c Persamaan lingkaran: (x ) + (y + ) 0 Persamaan garis singgung yang bergadien m : y b m(x a) ± r + y + (x ) ± y + x + ± + x + y ± 0 x + y + 0 dan x + y 0 x + y dan x + y 8 Jadi, persamaan garis singgungnya x + y dan x + y 8.. Jawaban: e Selidiki kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaran L: x + y x 8y Substitusikan titik (0, 0) ke dalam persamaan lingkaran L > 0 Oleh karena hasil substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L hasilnya lebih dari nol maka titik (0, 0) terletak di luar lingkaran L. Persamaan garis kutub titik (0, 0) terhadap lingkaran L: 0 x + 0 y (x + 0) (y + 0) x y y Substitusikan y ke dalam persamaan lingkaran L. x + x x + + x 0 + x x x + 9x 0 0 x 0x x x + 0 (x )(x ) 0 x 0 atau x 0 x atau x Matematika Kelas XI Program IPA 89

91 Untuk x maka y Untuk x maka y Diperoleh titik singgung, dan (, ). Persamaan garis singgung pada lingkaran L: () Di titik, x + y x + y x y x + y x 0y 0 x + y 0 x y 0 () Di titik (, ): x + y (x + ) (y + ) x + y x y x y 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x + y x 8y di titik (0, 0) adalah x y 0 atau x y 0.. Jawaban: d Diketahui lingkaran dengan pusat (, ) dan r. Persamaan garis singgung: y b m(x a) ± r + y + (x ) ± y x ± Y Q(, ) O B B P(, b) r + y x ± g : y x g : y x 9 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah y x 9.. Jawaban: d Garis singgung tegak lurus PB dan garis singgung tegak lurus PB. Jarak PQ + X ( ) + ( b) 9 + 0b + b b 0b (b )(b 9) 0 b atau b 9 Jadi, nilai b atau b 9.. Jawaban: e L: (x + ) + (y ) 9 Substitusikan x ke dalam persamaan lingkaran L. ( + ) + (y ) 9 (y ) 9 y ± y ± y 9 atau y Diperoleh titik potong (, 9) dan (, ). Persamaan garis singgung di titik (, 9): ( + )(x + ) + (9 )(y ) 9 0(x + ) + (y ) 9 y y 9 Persamaan garis singgung melalui (, ): ( + )(x + ) + ( )(y ) 9 0(x + ) (y ) 9 y y Jadi, garis singgungnya y dan y 9.. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: (, ). Jari-jari lingkaran: r + +. Lingkaran memotong sumbu Y maka x y 0 + y 0 y + y 0 (y + )(y ) 0 y + 0 atau y 0 y atau y Diperoleh titik A(0, ) dan B(0, ). Persamaan garis singgung di titik A: 0 + y (x + 0) + (y + ) 0 y x + y + 0 x + y 0 x y + 0 Persamaan garis singgung di titik B: 0 y (x + 0) + (y ) 0 y x + y 0 0 x y 0 x + y + 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah x y + 0 dan x + y Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

92 8. Jawaban: d Dari persamaan lingkaran x + y + x y + 0 diperoleh: Titik pusat lingkaran: P(, ). Jari-jari lingkaran: r +. Garis yang sejajar sumbu Y mempunyai persamaan x a atau x a 0. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(, ) ke garis x a 0. r a r a + a + a a + a 0 (a + )(a ) 0 a + 0 atau a 0 a atau a Jadi, persamaan garis singgungnya x atau x. 9. Jawaban: b Misalkan garis singgung lingkaran L di titik A adalah g dan gradiennya m g. OA merupakan jari-jari lingkaran L. Persamaan garis yang melalui OA: y x Gradien garis yang melalui OA: m Garis g tegak lurus garis yang melalui OA maka m g m a Jadi, nilai a. 0. Jawaban: d g: x + y 0 y x + y x + mg Syarat tegak lurus m m g m m g m m Persamaan lingkaran: (x ) + (y + ) a, b, r Persamaan garis singgung: y b m(x a) ± r + y + (x ) ± + y + x + ± + y x + ± y x + ± y x ± y x + atau y x y x + atau y x y x + 9 atau y x Jadi, persamaan garis singgungnya adalah h : y x + 9 dan h : y x. B. Uraian. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x + y r. Lingkaran melalui titik (, ): x + y r () + ( ) r r 9 + Jadi, persamaan lingkaran: x + y. b. Lingkaran berdiameter 8 berarti jari-jarinya r. Persamaan lingkaran dengan pusat P(, ) dan jari-jari r adalah: (x ( )) + (y ) (x + ) + (y ) x + x y y + 0 x + y + x y 0. L: x + y + x y a. Titik pusat: (), ( ) (, ) Jari-jari r Jadi, pusat lingkaran L(, ) dan jari-jarinya. b. Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan r : (x + ) + (y ) x + x y y x + y + x y + 0 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y + x y Titik pusat L : P (0, ). Jari-jari L : r +. Titik pusat L : P (, ). Jari-jari L : r +. Matematika Kelas XI Program IPA 9

93 Oleh karena jari-jari r r maka titik P merupakan titik tengah garis P P. Koordinat titik pusat: P, P, P (, ) Jari-jari L : r r r. Persamaan lingkaran L : (x x P ) + (y y P ) r (x ) + (y + ) ( ) x x + + y + y + x + y x + y 0 Jadi, persamaan lingkaran L : x + y x + y 0. x y y... () x + y x + 8y () Substitusikan persamaan () ke dalam persamaan (). x + y x + 8y x + x x + + x + x x + x 0x + x + x x 0x 0 x x 0 D b ac ( ) ()( ) + > 0 Oleh karena D > 0, garis x y memotong lingkaran x + y x + 8y di dua titik berbeda. Titik-titik potongnya, yaitu: x x 0 (x )(x + ) 0 x atau x Untuk x diperoleh y Untuk x diperoleh y Jadi, titik potongnya adalah (, ) dan (, ).. a. Pusat lingkaran: P(, ) Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat ke garis x + y 0, yaitu: + + r + r Persamaan lingkaran: (x ( )) + (y ) (x + ) + (y ) x + x + + y y + 9 x + 8x y y + 8 x + y + 8x y + 0 b. x + y + 8x y + 0 Untuk x dan y diperoleh: ( ) + () + 8( ) () > 0 Oleh karena hasilnya positif, maka titik Q di luar lingkaran L.. a. Lingkaran L berpusat di O(0, 0) dan melalui (, ). r + + Persamaan lingkaran L: x + y x + y b. Persamaan garis singgung bergradien pada lingkaran x + y. y mx ± r + x ± + x ± Jadi, persamaan garis singgungnya y x + dan y x.. Persamaan lingkaran: (x ) + (y + ) a. Untuk x dan y diperoleh: (x ) + (y + ) ( ) + ( + ) + 9 Jadi, titik (, ) terletak pada lingkaran. b. Persamaan garis singgung lingkaran di titik P(, ) yaitu: (x )(x ) + (y + )(y + ) ( )(x ) + ( + )(y + ) (x ) (y + ) x + 8 y 9 x + y L: x + y + x y 0 x + x + + y y (x + ) + (y ) 0 Diperoleh koordinat titik pusat (, ) dan jari-jari r. g: x + y 0 y x + Diperoleh gradien garis g adalah. a. Garis singgung yang sejajar garis garis g bergradien m. Persamaan garis singgung lingkaran L yang bergradien m adalah: y (x + ) ± + y x ± y x ± 0 x + y ± 0 () x + y + 0 x + y () x + y 0 x + y Jadi, persamaan garis singgungnya x + y dan x + y. 9 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

94 b. Garis singgung yang tegak lurus garis g bergradien m. Persamaan garis singgung lingkaran L yang bergradien m adalah: y (x + ) ± + y x + ± y x + ± y x + ± 0 x y ± 0 () x y + 0 x y () x y 0 x y Jadi, persamaan garis singgungnya x y dan x y. 9. Ordinat titik pusat. Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, ). Garis g: x y + 0 melalui titik pusat lingkaran berarti titik P(a, ) terletak pada garis g, sehingga: a + 0 a Diperoleh titik pusat: P(, ). Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(, ) ke titik A(0, ): r r 0 Persamaan lingkaran: (x x P ) + (y y P ) r (x ) + (y ) 0 Persamaan garis singgung di titik A(0, ): (0 )(x ) + ( )(y ) 0 x + y + 0 x y 0 x + y + 0 Jadi, persamaan garis singgung di titik A x + y L: x + y x + 8y 0 Titik pusat: P(, ) a. : x y + 0 y x + y x + Gradien garis : m Garis g tegak lurus garis maka gradien garis g adalah m. Persamaan garis g: y x + c dengan c > 0 karena memotong sumbu Y positif. Persamaan garis g menjadi x + y c 0. Jarak garis g dari titik pusat P(, ) adalah maka: + ( ) 0 c 00 c ± 0 Oleh karena c > 0 maka c 0. Persamaan garis g: x + y 0 0 y x + 0 b. Mencari koordinat titik potong M dan N. Substitusi y x + 0 ke persamaan L: x + ( x + 0) x + 8( x + 0) 0 x + x 0x + 00 x x x 0x + 0 x x + 0 (x )(x ) 0 x atau x Untuk x maka y + 0 Untuk x maka y Diperoleh titik M(, ) dan N(, 0). c. Persamaan garis singgung L di titik M(, ): x y (x + ) + (y ) 0 x y x + y 0 x 0 x Persamaan garis singgung L di titik N(, 0): x 0 (x + ) + (y + 0) 0 x x 0 + y 0 x + y 0 Jadi, persamaan garis singgungnya x dan x + y 0. Matematika Kelas XI Program IPA 9

95 A. Pilihan Ganda. Jawaban: b n, n n + 0, + 0,0, + +, + + +, Jadi, nilai rata-rata ulangan susulan siswa adalah.. Jawaban: a x i x i Rata-rata Banyak siswa tidak lulus banyak siswa yang nilainya < + 8 Jadi, banyak siswa yang tidak lulus 8 orang.. Jawaban: e Nilai Frekuensi Jumlah 0 0 Frekuensi Kumulatif 8 0 Median terletak di kelas interval 80. L,; f me ; f kme ; n 0; dan p. Me L + p, +, +, + 8, Jadi, median data tersebut 8,.. Jawaban: c Kecepatan Σ 0 + n Σ x i. + n x ΣΣ n. + n 0n 0 n Banyak mobil yang berkecepatan kurang dari 0 km/jam +.. Jawaban: a Panjang (cm) Frekuensi Kumulatif Diperoleh: n n 0 8 x i 8 x i 0 n Frekuensi Ulangan Akhir Semester