Pertemuan 12 INVERS MATRIKS. 9 Metode Partisi

Transkripsi

1 Pertemuan 12 INVERS MATRIKS 9 Metode Partisi

2 5.4. MENeARI MATRIKS INVERS DENGAN SEKATAN (PARTlSI) Kalau matriks berukuran besar, kadang-kadang lebih mudah bila dikerjakan sccara bertahap, dengan membagi matriks tersebut menjadi submatriks-submatriks (membuat sekatan/partisi}. Sebuah submatriks (matrik bagian) dari matriks A adalah suatu rnatrik yang diperoleh dari A dengan menghapuskan beberapa baris/kolom A (ataupun sarna sckali tidak menghapuskannya, artinya A merupakan submatriks A sendiri). Mr-ulnya : b e h 111l'll~hapll~kanbaris 2, baris, dan kolom, ataupun, misalnya bentuk submatriks (a, b) dengan tiq)l'j"i)kh dcngan menghapuskan baris 2 dan kolom 2..\pabda xuatu matriks Akita pecah-pecah menjadi submatriks-submatriks ckll~,11\ mcmbcri sekatan-sekatan garis horizontal di antara dua baris dan garis \ c'l I 11--,11 dl antura dua kolorn, maka matriks A tadi dikatakan telah dipartisi. ('til/tahuya:,i b d L' CJ f ~ h J.uaupun ataupun ~J ~ j_ ~ - -j_--- [ g I h j 211

3 dan lain-lain. Jadi kita mempunyai banyak cara untuk membentuk partisi-partisi dari suatu matriks. Pemecahan dt-;-~ a b c~ [ g I h J (*) ataupun a b I del ----i g h I ~ (**) bukan suatu partisi, sebab misalnya pada (*) garis vertikal ndak rnemisahkan seluruh kolom I dan 2 dan pad a (**) sekarang matriks-rnatriks yang telah dipartisi A == dan B rnaka : (I) Jumlah A + B == [p + T R+V Q + UJ S + W asalkan syarat-syarat penjumlahan rnatriks terpenuhi (artinya ukuran-ukuran P == T, Q == U, R == V, S == w). (2) Perkalian AB = PT + QV [ RT + SV PU + QWl RU + SWJ asalkan segal a syarat untuk perkalian dan penjumlahan dapat dipenuhi. 212

4 Contohnya: l2 I I J ~2 4 I IJ _1 '-...!. _! l_~l o 2 I 7 o 0 I 0 = [~ ~J[~ ~J +[~J (0 0) [~~J [~] + [~J () (0 2) [~ ~J + (7) (0 0) (0 2) [~J + (7) () ~[~ IOJ + [~ ~J[I~J + [~J = [~ :~][::J] 10 (2 4) + (0 0) (6) + (21) (2 4) (27) = r~ 10 Perkalian dan penjumlahan seperti di atas berlaku pula untuk matriks partisi dengan ukuran-ukuran yang lain. Yang penting diperhatikan cara melakukan partisi supaya perkalian dapat dilakukan. () Det(A) == det(p) det(s) - det(q) deter). (asalkan p. Q. R. S bujur sangkar). Pandang sekarang matriks bujur sangkar A berordo n yang mempunyai invers A-I = B. Kita lakukan partisi sebagai berikut : A= I:J 10 1 L All I AI2 ~~~L~~q) B == A21 I A22 (q X p): (q x q) BII I BI2 ---,--- (p x p) I (p x q) B21 I B22 (q x p) I (q x p) 21

5 ~ ~~-._- - dimana p + q = n Karena AB = BA = In maka diperoleh : (i) AlIBl1 + Al2B21 = Ip (ii) AllB 12 + AI2B22 = 0 (iii) B21AII + B22Azl = 0 (iv) B21Al2 + B22A22 = Iq Misalkan B22 = L-I, dari (ii) B12 = -(AII-1AdL-I, dari (iii) B21 = _L-I(A21Alltl, dari (i) BII = All-I - AII-IAI2BZI = All-I + (AII-IAI2) L-1(A2IAll-l) dan bila disubstitusikan ke (iv) : -L-I(AzIAII-I) AJ2 + VI A22 = Iq ~ L = A22 - (A2IAII-l) AI2 = An - A21(AII-IAI2)' Jadi harus diperhatikan bahwa All harus nonsinguiar. Contoh (5.12) : 4 J 4 Hitunglah A-I dengan partisi. Akita partisikan sebagai berikut : I : J.L _4_J 1 I 4 214

6 berarti All = [: :J [ :],A21 = (l ), A22 = (4). A11-1 = ~~ -~J= 4 ~ 4 -J (dengan menggunakan matriks adjoin) [:] 14 -l L-I IJ = = (I 0) L = A" - A,,(A,,-' Ad ~ (4) - (1.) [~] ~ (I) dan L- I = (I). ~ ~~ -~J+ [~] (I) (I 0) ~ ~~ -~] + [~ ~] = ~~ -~] BI2 = -(A,,-' Ad L' ~ - G] (I) = [~] 215

7 _., B21 = -L-1(A2IAII-I) = (-I 0) B22 = L-I = (1) Jadi A-I = [BII B21 :::J = [-~ -1 - o 5.5. INVERS KIRI DAN INVERS KANAN DARI MATRIKS YANG TIDAK BUJUR SANGKAR DEFINlSl: Matriks A berukuran (m x n) disebut invers kiri, bila ada matriks B sedemikian sehingga BA = In dan disebut mempunyai invers kanan bila ada matriks C sedemikian sehingga AC = 1m. Catatan (7) : Matriks Amxn hanya mempunyai invers kiri, bila ranknya rca) = n dan mempunyai invers kanan bila rca) = m. Catatan (8) : Ukuran dari invers kiri maupun kanan adalah (n x m), Catatan (9) : Kalau matriks A tersebut mempunyai invers, maka invers tersebut salah satu : lovers kiri atau invers kanan, hal ini jelas karena kalau A mempunyai invers, rca) harus salah satu = n atau m. Catatan (10) : lnvers kiri atau invers kanan tidak tunggal. Contoh (5.1) : Carilah invers dari A = [: Ukuran A = ( x 4). ~ 216

8 Di sini r(a) =. Jadi A mempunyai invers kanan. Kita boleh mengambil suatu submatriks dari A yang nonsingular R berukuran ( x ) : l: : R = 4 rl maka invers kanan dari A yaitu : A-I = [~-Jbefukuran (4 x ) R-I = '/ [: -9 -:], jadi A-I = '/ I Kita boleh mengambil submatriks yang lain dari matriks A, misalnya : S = r: 4!l, asalkan submatriks tersebut nonsingular S-I = l-~ I 0 ~l ' kita tulis invers kanan dari A : A-I = 7-2 (perhatikan baris dimana harus kita tulis vektor -I 1 0 baris nol dari A-I tersebut) I 0 Jadi invers kanan dari A tidak tunggal. 217

9 5.6. SOAL DAN PEMECAHANNYA Matriks A adalah matriks bujur sangkar. Buktikan : (a) Invers dari matnks A (bila ada) adalah tunggal. (b) (A-Itl = A. (c) (ABt' = B-' A-I Bukti : (a) Misalkan B dan C adalah invers-invers dari A. Maka : AB = BA = I dan AC = CA = L sedangkan BAC = (BA)C = IC = C dan BAC = B(AC) = BI = B. Berarti C = B. Atau invers dari A adalah tunggal. (Di sini kita memakai sifat asosiatif dari perkahan matriks). (b) Kalau B = A-I maka BA = AB = I (I) Sedangkan B-1 mempunyai sifat BB--I = B-'B = I. (2) Jadi mengingat sifat matriks invers yang tunggal dari (2) dan (I) dapar dirarik kesimpulan bahwa B-1 = A, atau (A-I)-' = A. (c) c:) (B-'A-')AB = B-1(A-'A)B = B-'IB = B-IB ~ I C':') AB(B-'A-') = A(B.B-I)A = AIA-I = AA-' = 1. Judi (B-'A-1) adalah invers dari AB atau B-'A-' = (ABr' BU"-II"-anbahwa bila A adalah matriks bujur sangkar ordo n : adj.a -\ I - dett A) -:;:.O. dd(a) Penyelesaian : Misalkan A = (ail) dan misalkan pula A (AdJ.A) = (hll). Baris ke-i dari A adalah (a,[, a,:'.,..., a,n) dan karena adj.a adalah transpose dari matriks kofaktor-kofaktor dan A, kolom ke-j dari adj.a adalah hasil transpose dari baris ke-j dari matriks kofaktor A tersebut : (A", A,:'.,..., A,n)' Jadi elemen bl, dari A. (adj.a) adalah : 218

10 BII = CI, a12,..., am) Ajl = ailajl + <lj2aj ainajn Aj2 Kita ingat sifat kofaktor (pada deterrninan Bab 4, Catatab 8) : b., = IAI untuk i = j. = 0 untuk i :t: j. Berarti A.(adj.A) adalah sebuah rnatriks diagonal sebagai berikut : rial IAI 0 = IAI. I l0 () IAI Dengan cara yang sama diperoleh (adj.a).a = IAI. I adj.a Jadi, bila IAI :t: 0 maka A. -- IAI adj.a atau A-I = -- IAI adj.a =. A = 1 IAI Carilah rnatriks adjoin dari : (i) A = [~ :] (ii) [~~l 219

11 Penyelesaian : (i) All = I, A22 = 1, Al2 = -2,A21 = -I, adj.a = det(a) = -1 berarti A-I = 1-1 L2 -~ II (ii) All = 4, A22 =, Al2 = -2, A21 = ll L-2 IJ adj.a ~ ~: ~ ] dan karena del(a) ~ [~ ~ ~ 0 A matriks yang singular dan tidak mempunyai invers, Carilah x dan y dari susunan persamaan linier berikut : X+Y:Ij 2x + Y = 1 dengan menggunakan invers dari matriks koefisien. Penyelesaian : Secara matriks, susunan persamaan di atas dapat ditulis A x B = r [:] [:] dan dad Soal 5.16: ~ ~ -I ~ L~_~ awn[; ] ~ L~-~][:] ~ [~] atau x = 0, y = 1 220