"8, Iurusan r""#iff;mil1ffi$$;i?m"* pontianak APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM.

Transkripsi

1 Kusumastut,N Dsajka ada Semr da Rryat Tahuam BKS-PTN Wlayah Bard ke-21 Uverstas Rau l0 - ll Me 2010,,* G "8, tt'- APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM Iurusa r""#ff;ml1ff$$;i?m"* otaak Emal : umlam@yahoocom ABSTRAK ada makalah dbahas megea semmodul atas semrg yag ddefska seert modul atas rg Semrg demote adalah semrg dega oeras ejumlaha befat demote, yflg dsebut dod Cotohya adalah semrg 'lus fr*, Subsemmodul X dar semmodul bebas S' atas semrg S dsebut semmodul rasoal jka t dbagu oleh subset semlear dar S', dega 9" dadag sebaga mood terhada oeras erkala er et Selajuhya, dtujukka bahwa ada beberaa subsemrg dar fr,*, dega eleme-eleme meruaka blaga bulat, kelas dar semmodul-semmodul rasoal tertutu terhada beberaa oeras aljabar hmua se rt rsa, jumlaba& royeks da la sebagaya Sela tu" dberka beberaa lustras eeraa semmodul rasoal ada Sstem Kejada Dskret (SKD) Lear Maks- Plus Kata kuc : do{ subset semlear, formula Presburger r PENDAHT]LUAN Teor- teor ada struktur aljabar seert teor ruag vektor da modul atas rg telalt bayak dguaka utuk memodelka da megaalss beberaa ermasalaha dalam kehdua yata Permasalaha tersebut atara la sstem roduks sederhaa jarga trasortas, jarga komuter da sebagaya seert daat dlhat ada [1], [2], [3] da t7l Pada dasarya sstem-sstem tersebut meruaka sstem yag damk terhada waktu Aa a*ea dega ama Sstem Kejada Dsbet (SKD)Dalam keyataay4 ada beberaa sstem tersebut d atas haya mejala waktu-waktu atau erode-erode tertetu saja Oleh karea tu, t or struktur aljabar yag telah delajm sekarag dagga mash terlalu umlrm utuk mejelaska beberaa feomea kfusus ada sstem-sstem tersebut Uhrk tu, dalam makalah derkealka semmodul atas semrg yag ddefska seert modul atas rg Seert ada teor sstem lear klasrlq beberaa masalah keterkedala daat dugkaka dega semmodul atas semrg Kesulta dalam edekata adalah semmodul memlk sfat yag sagat berbeda dega ruag vektor, cotohya adalah subsemmodul dar semmodul bebas belum tetu bebas atauu dbagu secara hgga Utuk rfr, datam makalah, gagasa megea semmodul yag dbagu secara hgga derluas mejad suatu kelas yag ddefska sebaga berkut : Subsemmodul 'Y c So dsebut semmodul rasorwl jrka X dbagu oleh subset semlear 9, dega 5' dketahu mertraka mood terhada er et Pegetahua secara legka megea subset semlear dar mood 5' daat dlhat ada [51 Dasgmska embaca telah megeal egerta da kose subset semlear dar mood M, kose -lus semrg da semmodul atas semrg, seert egerta bass, semmodul bebas, homomorfsma semmodul, rclas kekogruea, da kerel

2 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Utuk defs lebh legka daat dbaca ada [4], [6], [10], [11] Selajutya, aka d elajar sfat-sfat yag dmlk oleh semmodul rasoal tersebut da ketertutua kelas dar semmodul rasoal terhada oeras-oeras aljabar hmua seert jumlaha, rsa, hasl kal, emetaa da sebagaya, dega embuktaya megacu ada [7] Kedala yag tmbul adalah beberaa sfat dar semmodul rasoal tdak daat dbuktka secara lagsug Oleh karea tu erlu ddefska juga suatu hmua yag defable oleh formula Presburger Formula Presburger sedr meruaka kalmat logka tgkat ertama ada mood terurut,, dega relas uruta tersebut ddefska dar oeras mum yag bersfat demote 2 HIMPUNAN PRESBURGER PADA DIOID Sebelum sama ada embahasa okok makalah, aka dtjau beberaa kosekose dasar dalam struktur aljabar Semgru (S, ) adalah hmua tak kosog yag dlegka dega oeras ber yag bersfat asosatf Mood M,,0 adalah semgru dega eleme dettas 0 Mood dkataka komutatf jka bersfat * komutatf Dberka sebarag A M, ddefska A yatu submood yag dbagu oleh A * A A A A k dega A 0 k = 0 da A a a A, k 1 Subset lear dar mood M,,0 adalah subset yag daat dyataka dega L m B, * dega mm da B submood yag dbagu oleh hmua berhgga B Subset semlear U dar M adalah gabuga berhgga dar subset-subset lear dar M Keluarga subset semlear R dar mood M,,0 memeuh eryataaeryataa berkut : Jka U = maka U R Jka U berhgga maka U R Jka U, V R maka U V R v Jka M komutatf da U,V R maka U V R v Jka M komutatf da U R maka U R, Bukt selegkaya daat dlhat ada [11] Semrg adalah hmua tak kosog yag dlegka dega dua oeras ber da yag memeuh (, ) meruaka mood komutatf dega eleme dettas 0, (, ) meruaka mood, dega eleme dettas 1, terhada bersfat dstrbutf da eleme 0 meruaka eleme eyera terhada oeras, yatu s 0 s = s 0 = 0 Semrg tersebut dotaska dega (,, ) Semrg (,, ) dkataka demote jka oeras bersfat demote, yatu ( s ) s s = s Semrg demote dsebut juga dod Seta dod,, dlegka dega relas uruta yag ddefska sebaga berkut : a,b a b b = a b Dar relas uruta tersebut deroleh a b meruaka batas atas terkecl dar a da b, defs da bukt selegkaya daat dlhat dalam [1]

3 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Selajutya, aka dbcaraka megea logka Presburger yag ertama kal derkealka oleh M Presburger (1930) Dalam makalah aka dberka erluasa dar defs Logka Presburger klask Utuk defs da embahasa selegkaya daat dlhat ada [9] da [12] Dberka dod,,, 0, 1 dega relas uruta da eryataa-eryataa (formula-formula) megea eleme-eleme dar Hmua Presburger dar,,,,,, 1 yag memeuh 1 adalah hmua logka tgkat ertama dar kods berkut : Utuk sebarag blaga bulat oegatf k, l, dega 1 k x 1 j1 meruaka formula d, dega x, x (21) l j j x = x x x sebayak k da 0 dotaska x 1 ; Jka P 1, P 2 maka P 1 P 2 ; Jka P 1, P 2 maka P 1 P 2 ; v Jka P maka ~P, dega ~P egas dar P; v Jka P(x 1, x 2,, x ), formula x [P(x 1, x 2,, x ) ] Eleme-eleme d dsebut formula Presburger dar,,, 1 Defs 21 Dod,,, 0, 1 dkataka memuya roert Presburger jka subsetsubset dar yag defable meruaka subset semlear dar,, da sebalkya juga berlaku Cotoh 22 Seta eleme dar dod komutatf oleh P, dega hmua Presburger dar,,,0 Bukt : Dketahu ada k,, defable, oeras = da oeras = +, sehgga ertdaksamaa (21) mejad: utuk seta blaga bulat o egatf k, l, dega 1 j j 1 j1 k x l x (22) Aka dtujukka seta eleme dar defable oleh formula Presburger dar,,,0 Dambl x = Karea ersamaa x = ekuvale dega y y x y y x maka (x = ) Jad defable, da dketahu Dambl x =, maka x = sebab (x = ) ekuvale dega y y x Sehgga defable Dambl x = 0 Karea x = 0 ekuvale dega y y x y, maka (x = 0) Sehgga 0 defable

4 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 v Dambl x =1 Karea x = 1 ~(x 0) y ~ 0 y x y, maka (x = 1) Jad 1 defable v Dambl x = r, dega r sebarag blaga bulat ostf Dketahu (z = 1) da dega megambl k = = 1 da l j = r, maka meurut (33) ddaat ersamaa (x = rz) Karea (x = r) ekuvale dega z z 1 x rz, maka (x = r) Jad 0 r \ r defable v Dambl x = -r, dega r sebarag blaga bulat ostf Dar hasl sebelumya ddaat z = r da dega megambl = 2, k 1 = k 2 = 0, l 1 = l 2 = 1, maka meurut (22) ddaat (0 = x + z ) Karea (x = -r) ekuvale dega z z r 0 x z, maka (x = - r) Jad seta blaga bulat egatf defable defable Terbukt seta eleme d Akbat 23 Seta eleme dar,, da max m defable Selajutya aka dberka egembaga dar Teorema Gzburg-Saer (lhat [9]) yag meyataka bahwa keluarga subset-subset semlear dar, detk dega keluarga subset-subset yag defable oleh formula Presburger dar Dar s aka dtujukka bahwa beberaa exotc semrgs da trocal semrg memlk roert Presburger Kesulta yag mugk tmbul adalah ada eleme, utuk tu dberka Lemma Teorema 24 berkut Teorema 24 Dod-dod =, =,+, memlk roert Presburger Bukt : Aka dbuktka utuk,,,,, da m max, yag la dbuktka secara aalog =,, =,,m,+ Dketahu dar Cotoh 22 seta eleme dar max defable oleh formula Presburger dar,,,0 Dotaska Nat(y) = ( y 0) ~ ( y ) yatu formula Presburger yag medefska y Aka dtujukka memlk roert Presburger, sebaga berkut : max (1) Aka dtujukka seta subset semlear dar formula Presburger dar,,,0, defable oleh Dar [11] dketahu keluarga hmua yag defable tertutu terhada oeras gabuga Dega megguaka Lemma 24, cuku dtujukka utuk seta a da formula Presburger dar 1 k r,, r subset lear U = 1 k * a r,, r defable oleh,,,0 Utuk seta 1, ddefska hmua J = {1 j k j r 0}

5 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Ambl sebarag subset lear U = 1 k a r,, r *, maka x U jka da haya jka terdaat 1, 2,, k sedemka sehgga k k x = a r r r (29) Peryataa (29) ekuvale dega 1 k 1 k Nat Nat 1 k,, P x,,, Λ (210) 1 dega k 1 k j j P x,,, z z = a x z r j1 Dar s ddaat, x r z r j j j j jj jj k k j j j j j j j j j1 j 1 jj jj Meurut (22) x z r z r z r r meruaka formula Presburger dar,,,0 Ddaat 1 k j j j j P x,,, z z = a x r z r juga jj jj,,,0 meruaka formula Presburger dar Akbatya eryataa (210) meruaka formula Presburger Dega kata la seta subset semlear dar,,,0 (2) Aka dtujukka seta subset dar semlear dar,, defable oleh formula Presburger dar yag defable meruaka subset Dar [5] dketahu keluarga hmua subset semlear dar, tertutu terhada oeras gabuga da homomorfsma dar subset semlear juga semlear Dar [8] ddaat subset-subset semlear dar rsa da komleme dar subset semlear dar subset semlear Jad utuk meujukka seta subset dar semlear dar,, cuku dtujukka:, tertutu terhada oeras, juga meruaka yag defable meruaka subset Utuk seta blaga bulat o egatf k, l, dega 1, hmua S yatu hmua eyelesaa dar ertdaksamaa j j 1 j1 meruaka subset semlear dar k x l x (211),

6 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Dbetuk emetaa : 0 utuk seta x, x x, dega r r 0 Mudah dtujukka meruaka homomorfsma Dotaska ( x ) ola dar x Utuk meujukka S subset semlear,, cuku dtujukka utuk seta 0 semlear, yag ddefska sebaga berkut : da,, hmua solus dega ola, yatu S S 1 Dbetuk hmua I ={1 = } da J ={1 } Dmsalka x memuya ola, maka x daat dyataka dega dega I (212) a k x b l x J a k da b l j j ji j j jj Ddaat la la yag mugk dar a da b adalah 0, Peyelesaa dar (212) dbag mejad beberaa kasus : Kasus 1 Jka a = maka (212) tereuh utuk seta x 1 S x x utuk I da x utuk J dotaska k =, sehgga Jka I da m = k m 0, dmaa 0 S, J maka k, meruaka subset semlear da m subset semlear Karea hmua ergadaa kartesus dar subset-subset semlear juga semlear, maka S meruaka subset semlear Dega kata la, hmua eyelesaa S S dar ertdaksamaa (211) meruaka subset semlear dar 0,, 3 SIFAT KERTERTUTUPAN DARI KELAS SEMIMODUL RASIONAL Semmodul kr atas semrg,, 0, 1 adalah hmua mood komutatf, S 0 yag dlegka dega emetaa (aks kr), (,x) x, da, X memeuh aksoma-aksoma x, y da, x x x y x y x x x v 1x x, 0S x 0 x, 0 x 0 x Utuk meygkat eulsa, selajutya semmodul kr atas semrg dtuls dega semmodul atas Jka semrg,,, 0, 1 meruaka dod maka S

7 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010, 0X demote Hmua X dsebut subsemmodul dar jka da haya jka x, y da, x y X Semmodul atas dsebut semmodul bebas jka memuya bass Dmsalka bass dar semmodul bebas atas adalah ˆx =x, maka utuk seta x I daat dyataka secara tuggal sebaga x = x utuk suatu da 0 sebayak berhgga Hmua dsebut koordat x relatf terhada bass ˆx = x, dotaska dega x I ˆx memuya bass berhgga x I I Khususya, utuk semmodul bebas yag, dyataka dega, yatu hmua vektorvektor bars berukura dar koordat x Oeras teral ada ddefska I x y x y da Oeras ergadaa skalar ( x ) = ( x ) dega Dberka hmua G Subsemmodul dar yag dbagu oleh G ddefska dega : Sa(G) = x x,, sebayak berhgga da g 0 g G I Defs 31 (Semmodul rasoal) Subsemmodul dbagu oleh subset semlear dar mood, dsebut rasoal jka Teorema 32 Dberka semrg komutatf Jka, da meruaka semmodul rasoal, maka x y x da y meruaka semmodul rasoal = x x da z meruaka semmodul rasoal z Bukt : Dketahu, da semmodul rasoal, maka = Sa(A), = Sa(B), dega A, B subset semlear,, da = Sa(C), dega C subset semlear, Karea = Sa(A B) da dketahu A B meruaka subset semlear dar,, ddaat meruaka semmodul rasoal Aka dtujukka semmodul rasoal Aka dtujukka = Sa(D), dega D subset semlear dar, Dketahu A subset semlear dar,, dbetuk A subset semlear dar, Sela tu, dketahu C subset semlear dar dar, dtujukka, sehgga A C subset semlear dar, dbagu oleh A C, dbetuk C subset semlear Selajutya, aka

8 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Dambl sebarag = x dega x da z, maka z 1 = k a a k l l 0 0 c c a Selajutya utuk = 1,, k dotaska da d 0, da utuk = k +1,, k + l dotaska da d 0 ddaat : b 1d, dega da d A C Jad, Sa( A C ) atau dbagu oleh A C, sehgga semmodul rasoal dar, Lemma 33 Dberka dod dega relas uruta total Jka G da x Sa(G), maka terdaat hmua berhgga B G dega kardaltas sedemka sehgga x Sa(B) Lemma 33 meyataka bahwa jka dod dega relas uruta total, maka utuk sebarag G, hmua Sa(G) dbagu secara hgga Teorema 34 Dberka dod komutatf dega relas uruta total da memlk roert Presburger Utuk sebarag hmua, eryataa-eryataa berkut ekuvale: meruaka semmodul rasoal meruaka semmodul da subset semlear dar mood, Bukt : Dketahu meruaka semmodul da subset semlear dar mood, Karea dbagu oleh sedr, maka semmodul rasoal Dketahu semmodul rasoal maka terdaat subset semlear G sedemka sehgga = Sa(G) Karea memlk roert Presburger maka G defable Dmsalka P formula Presburger dar,,, 1 yag medefska G Dar Lemma 33 dketahu dbagu secara hgga, ddaat 1 x g G,, g G, 1,, 1 P( g ) P( g ) x 1 g Karea formula tersebut meruaka formula Presburger dar,,, 1 da karea memlk roert Presburger akbatya meruaka subset semlear dar mood,

9 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Dberka semmodul, atas Hmua semua homomorfsma semmodul Hom, Khususya, dar semmodul ke atas semrg dotaska dega dberka da Homomorfsma semmodul A : matrks A berukura m ŷ ˆx m semmodul bebas atas dega bass ˆx x 1 m da ŷ y 1 m daat dreresetaska secara tuggal sebaga Teorema 35 Dberka dod komutatf dega relas uruta total da memlk roert Presburger Jka,,, meruaka semmodul rasoal da A Hom,, maka hmua-hmua : ; x v da 2 v x da u z A Ax x ; 1 v A u Au ; u ; z meruaka semmodul rasoal Bukt : Dketahu da semmodul rasoal, maka da meruaka subset semlear dar mood, Dar [8] ddaat meruaka subset semlear dar,, da jelas subsemmodul Jad rasoal Aka dtjau ada hmua, utuk kasus dbuktka secara aalog meruaka semmodul x Dketahu v x, aka dtujukka meruaka v semmodul rasoal dar, Mudah dtujukka subsemmodul dar subset semlear dar, Dketahu Selajutya, aka dtujukka semmodul rasoal, maka meruaka subset semlear dar,, da karea memlk roert Presburger maka defable Dmsalka P formula Presburger yag medefska Dla hak, semmodul rasoal, maka subset semlear dar, da dmsalka Q formula Presburger yag medefska Ddaat, x v jka da haya jka x Q x P v Akbatya, defable oleh formula Presburger dar,,, 1 maka meruaka subset semlear, Dega kata la meruaka semmodul rasoal

10 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Dketahu subset semlear dar, da A Hom, Aka dtujukka A semmodul rasoal Dar struktur aljabar dketahu jka A homomorfsma dar ke maka Im(A) meruaka subsemmodul dar Da jka A dbatas ada dega subsemmodul maka Im A = A juga meruaka subsemmodul Dar [5] dketahu jka subset semlear dar, da A homomorfsma, maka A meruaka subset semlear Jad, A semmodul rasoal v Dketahu subset semlear dar, da A Hom, 1 Aka dtujukka A u Au semmodul rasoal u Betuk Im A = u Au Karea semmodul bebas yag dbagu secara hgga maka meruaka semmodul rasoal atas drya sedr Dar [5] Im(A) semmodul rasoal, da dar Teorema 32 meruaka semmodul rasoal u Dar ddaat u z Au = z semmodul rasoal 1 A meruaka 4 APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL PADA TEORI SISTEM Dberka ersamaa SKD Lear Maks-Plus atas semrg sebaga berkut: x(k) = A x(k-1) B u(k) y(k) = C x(k) (41) x(0) = x 0 q dega A, B, C, x, x 0 k, u(k) q, y(k) k = 1, 2, Vektor x(k) meyataka keadaa(state), u(k) dsebut vektor ut, y(k) dsebut vektor outut da x(0) dsebut vektor keadaa awal dar Sstem (41) Vektor x(k) dkataka tercaa ada saat k dar kods awal x(0) = jka terdaat ut u(k) sedemka sehgga x(k) memeuh (31) Ruag ketercaaa ada saat k, A, B, adalah hmua semua vektor-vektor yag tercaa ada saat k, da ruag ketercaaa ada sebarag waktu, A, B, adalah gabuga dar A, B Dar [2] da [10], dkaraktersaska bahwa (res Sela tu, derkealka matrks ketercaaa ada saat k da ada sebarag waktu 2 k 1 2 R B AB A B A B, R B AB A B A, B A, B ) meruaka semmodul yag dbagu oleh R (resr ) (41) dega A maka A, B meruaka semmodul rasoal dar Teorema 41 Dberka SKD Lear atas semrg B Bukt : da

11 Kusumastut, N Dsajka ada Semar da Raat Tahua BKS-PTN Wlayah Barat ke-21 Uverstas Rau Me 2010 Aka dtujukka A, B meruaka semmodul rasoal dar Dberka sgleto {A} subset semlear dar, dega 1, A 0 A, maka A 0 A 0 A, A A, da seterusya Jad,,,, 0 2 A A A = A * Dar [5], * 0 1 2,, sehgga jka dbetuk = Sa,,, meruaka semmodul rasoal dar Dketahu A, B Ddaat : A A A = A meruaka subset semlear dar A A A maka subsemmodul yag dbagu oleh kolom-kolom dar matrks R 2 2 A, B = Sa B B AB AB A B A B,,,,,,,,, = Sa B, AB, 1 1 B AB = A, B1 A, B2 A, B Sa,, 2 2 Sa B AB,, Dar Teorema 32 ddaat bahwa jumlaha dar semmodul rasoal juga meruaka semmodul rasoal, sehgga cuku dtujukka utuk kasus B yag haya memlk satu kolom, atau = 1 Ddaat 2 A, B B, AB, A B = Sa 2 = B AB A B, dega 0 sebayak berhgga = 1A 2A 3A B 0 2 A, B = Jad A A A B (42) Selajutya ddefska emetaa f dar 1 X f X XB Jelas f meruaka homomorfsma semmodul Dketahu = Sa,,, A A A sebaga berkut : A A A semmodul rasoal dar, sehgga dar (32) ddaat A, B = mage dar f yag dbatas ada Karea semmodul rasoal dar meurut Teorema 35 A, B semmodul rasoal dar Im f, ddaat, yatu, maka 5 UCAPAN TERIMAKASIH Peuls g megucaka terma kash yag sebesar-besarya keada ata Semrata BKS-PTN Barat ke-21 Uverstas Rau yag telah meerma makalah eelta Sela tu, euls juga berterma kash keada Ketua Jurusa Matematka da Deka FMIPA Uta yag telah megjka euls megkut kegata

12 Kusumastut,N Dsajka ada Semar da Reat Tahuar BIG-PTN Wlayah Bard ke'21 Uverstas fuau l0- ll Me2010 DAFTAR PUSTAKA ;''"t;;;,, : 6r lg {c,# "-r: t -: ' :",'3 tu Baccell, F, Cohe, G, Olsder, GJ, Quadrat, JP, 1992, Sychrbzato ad Lemty, Wley, New York l2l Brewer, JW, Buce, JW, Va-Vleck, FS, 1986, Lear Systems Over Commutatve Rgs, Marcel Dekker,Ico New York t3l Cohe, G, Gaubert, S, Quadrat, JP,1999, Malr-Plus Algebra ad Systems Theory: Where We Are ad Where to Go Now, Aual Revew Cotrol, 23, , htt ://wwwifac-natestex t4l Devlru K,1992, Sets, Fucto ad Logc, eds 2, Chama ad Hall, New York t5] Eleberg, S ad Schttzeberger, MP, 1969, Ratoal Sets Commutatve Moods J Algebra, 2, 13, t6l GauberL S 1998, Exotc Semrgs : Examles ad Geeral Result, htt://www amadeusrafr, Maret 1998, dalses 5 Desember 2008 t7l Gaubert, S ad Katz,R, 2002, Ratoal Semmodules Over The Max-Plus Semrgs ad Geometc Aroach of Dscrete Evet Systems, htt://wwwarxv mathc,u v2,13 November 2002, dakses 25 Oktober 2008 t8l Gsburg, S ad Saer, EH, 1964, Bouded ALGOL-Lke Laguages, Trcs Amer Math,Soc, 113, t9l Gsburg, S ad Saer, 8H, 1966, Semgrous, Presburger Formulas, ad Laguages P acfc Joural of Mathematcs, 2, 16 [0] Kusumastut, N,2009, Semmo& Rasaal atas Semrg lderote, Tess : Program Pascasarjaa Uverstas Gadjah Mada Il] Lallemet, G,1979, Semgrous ad Combatoral Alcatos, Joh Wley ad Sos, [c, New York

13 {L s tr = ot 6 s [t {El (: L- ct m r -ct 5 (? a- r\- 5< 'E c - L- t'= l-o)e '/qj {=E o; : -) Yofc F tf :-= - o- lj-'- :t]' FEctt le=a :-- h cer te s+ H'T F t/ \t e '* Ec g \'r'l cl F (l, \1 - g c' ""ltt ct m $$ =Ss E F E$$E g E =g$es= g, =, gei*d$es: t Es=E$$*EE # se =$R EE E E' E 3$SE #R NE N { a 5 b0 d 0 tl o (s