MATEMATIKA SET 1 PERSAMAAN KUADRAT MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL A. BENTUK UMUM B. MENCARI AKAR/SOLUSI

Transkripsi

1 0 MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL MATEMATIKA SET PERSAMAAN KUADRAT A. BENTUK UMUM a + b + c = 0, a 0 B. MENCARI AKAR/SOLUSI a. Faktorisasi b. Rumus ABC C. OPERASI DASAR AKAR a. b + = - a b. c a c. = D a D. SIFAT-SIFAT AKAR a. Akar real D 0. akar berlainan D > 0. akar kembar D = 0. akar rasional D = k, k =,,,. akar irasional D k, k =,,,

2 b. Akar tidak real D < 0 c. Sifat akar lain, analisis sifat + dan. E. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar dan adalah ( + ) +. = 0 Contoh Soal TIPE SOAL: OPERASI AKAR. Misalkan dan merupakan akar-akar positif dari persamaan m + n = 0. Jika = - dan : = :, maka m : n =... (Soal SIMAK UI Tahun 0 kode 6) A. 0,5 B. C.,5 D. E.,5 > 0, > 0 + > 0 > 0 m > 0 n > 0 = = = - ( ) = - - = - = = + = m m = m n = =,5 Jawaban: C

3 Latihan Soal. Akar-akar positif dari persamaan + m + n = 0 adalah α dan β. Jika β α = dan α = β, maka m + n =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) Jawaban: 9. Jika akar-akar persamaan a + b = 0 memenuhi persamaan (a + ) + (b ) = 0, maka... (Soal SIMAK UI Tahun 009) () a = () b = () a ab + b = 0 () ab = 5 Jawaban: (), (), dan () benar. Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan + p = 0 adalah 98, maka nilai p adalah... A. -0 B. -5 C. - D. 5 E. 0 Jawaban: B. Persamaan kuadrat a = 5a memiliki akar-akar dan. Nilai a a + a + a... adalah A. B. C. D. E. 5 Jawaban: B 5. Akar dari persamaan ( 0) + ( 09) ( + ) = 0 adalah... A. (0, 007) B. (0, 007) C. (-0, 007) D. (-0, 0) E. (-0, -000) Jawaban: A

4 TIPE SOAL: SIFAT AKAR 6. Misalkan α dan β merupakan akar-akar dari persamaan b + 6 = 0. Jika α dan β adalah akar-akar dari persamaan + c = 0, maka akar-akar dari persamaan (bc) + bc = 0 merupakan... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. akar kembar dan positif B. akar kembar dan negatif C. dua akar berbeda dan berlainan tanda D. dua akar berbeda dan positif E. dua akar berbeda dan negatif Jawaban: A 7. Himpunan bilangan k sehingga + (k ) + k + 5 = 0 memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. {k R k -} B. {k R - < k < } C. {k R 0 < k } D. {k R - < k < } E. {k R k > 0} Jawaban: A 8. Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan + (m + ) m = 0 dan persamaan (m m + ) m 66 = 0 mempunyai akar-akar riil yang berlainan tanda, maka hasil kali semua m yang memenuhi adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. - B. 0 C. 6 D. 60 E. tak hingga Jawaban: E 9. Misalkan α dan β adalah akar-akar dari persamaan + (k ) + 9 = 0 dengan α β, maka himpunan semua bilangan k sehingga -6 < α < dan -6 < β < adalah... (Soal SI- MAK Tahun 0) A. {k R 6 < k < 6,75} B. {k R < k < 6,75} C. {k R < k < 9} D. {k R 6,75 < k < 9} E. {k R 6 < k < }

5 0. Akar-akar persamaan + (m ) + m = 0 adalah dan. Batas-batas nilai m agar < < dan < < adalah... A. - 5 < m <0 B. 5 < m < 5 C. 0< m < 5 D. < m < E. - < m < 6 Jawaban: C TIPE SOAL: MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat + = 0, persamaan kuadrat 5 5 yang mempunyai akar-akar + dan + adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A = 0 B = 0 C = 0 D = 0 E = 0 Jawaban: E. Suku banyak yang akarnya 5 adalah... (Soal SNMPTN Tahun 00) A = 0 B. + 9 = 0 C. 9 = 0 D = 0 E = 0 Jawaban: B. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga + = 7 a b 0 SNMPTN Tahun 00) A = 0 B = 0 C = 0 D. 7 0 = 0 E = 0 adalah... (Soal Jawaban: E 5

6 . Jika f() = 6 +, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya pangkat dari akarakar f() = 0 tersebut adalah... (Soal SNMPTN Tahun 00) A = 0 B. + = 0 C. 6 + D. + + E. + 7 = 0 7 = 0 7 = 0 Jawaban: C TIPE SOAL: ANTARRUANG LINGKUP 5. Diberikan suku banyak p() = a + b +. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, ], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah... (Soal SNMPTN Tahun 0 (Persamaan kuadrat, Peluang, Integral)) A. B. C. D. E. 0 Jawaban: B 6

7 0 MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL MATEMATIKA Set MATRIKS A. ORDO MATRIKS A m n, m baris, n kolom B. TRANSPOSE MATRIKS Baris ke i kolom ke i Notasi: A t C. PENJUMLAHAN/PENGURANGAN MATRIKS syarat : ordo sama cara : jumlah/kurang unsur seletak D. PERKALIAN ANGKA DENGAN MATRIKS cara : kalikan angka dengan semua unsur matriks E. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS syarat : A m n B n p C m p cara kolom = baris : baris ke i kolom ke j dengan pola kali tambah 9

8 F. IDENTITAS/MATRIKS SATUAN I = I 0, = sifat : A.I = I.A = A G. INVERS MATRIKS Notasi: A - Sifat-sifat :. A.A - = A -.A = I. (AB) - = B - A -. (A - ) - = A cara : A - = adj A A [ ] A determinan A dimana A = ad bc A gunakan skema Sarrus Bila A = 0, matriks A tidak punya invers/singular Contoh Soal dan Latihan. Jika A= 0 B, =, dan A 0 SIMAK UI Tahun 0) A. 0 B. 0 C. 0 D. 08 E. 609 a b + B =, maka a + b + c + d =... (Soal c d 0 0 A = 0 perhatikan pola A = 0 0 =

9 A = A A = 0 0 = 0 dst = 0 n maka 0 = 0 A A n 0 dengan cara yang sama B 0 = 0 0, maka a b A + B = =, sehingga 0 c d a + b + c + d = 08 Jawaban: D. Jika A= - - -, B = C - -, = 0 - -, dan AB = C y, maka ( y z + w) z w adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 00) A. 0 B. 6 C. 6 D. E. semua salah Jawaban: A. Jika dan y memenuhi persamaan adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 009) A. B. C. - D. - E. - Cara - 5 = - -6 y = y = - -6 y dan a = - 5-6, maka nilai a

10 a= = y =- - y 8 = y - = ( 6-0 ) =- Cara Aturan Cramer a c b p q d d = =, y q a c b d dari soal tampak jelas a = a =78-0 =- a c y = a c p p q b d b Jawaban: E. Diketahui persamaan matriks y = - z a b bila =, z =, - - maka nilai a + b adalah... Jawaban: A

11 5. Hasil jumlah akar-akar persamaan yang dinyatakan dengan... (Soal SIMAK UI Tahun 009) + + = adalah +5 A. - B. C. D. E. Jawaban: A 6. Hubungan yang benar antara matriks A = - dengan matriks B = adalah... - (Soal SIMAK UI Tahun 009) () B = A () A = B - () A = B t () B = 0A - Jawaban: saja yang benar 5 7. Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan = B, maka determinan dari B - adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 009) 5 A. B. C. 0 D. - E. - Jawaban: B

12 8. Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan (Soal SIMAK UI Tahun 009 (Matriks, Persamaan Garis)) () memotong sumbu di titik (-, 0) () memiliki gradien () melalui (, ) () tegak lurus garis + y + = 0 Jawaban: (), (), (), dan () benar y =0 memenuhi sifat-sifat... tan cos a 9. Jika = tan sincos b, dimana b = a, maka 0 π yang memenuhi adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 009 (Matriks, Trigonometri)) π () 6 () () () π 5π 6 5π 0. Jika f( )= +, maka invers dari Tahun 008 (matriks/turunan)) A. B. C. D. E. -0,9-0, 0, 6-0, 6 0, 9-0, 6 0, 0,6 0, 6 0,6-0, 0, 9 0, 6-0, 6 0, 0,9-0,6 0, 6-0, -0,9 Jawaban: () dan () f f 6 f ( ) - f adalah... (Soal UM UGM 6 Jawaban: C

13 0 MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL MATEMATIKA Set PERTIDAKSAMAAN A. PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL a. Bentuk f( ) g( ) syarat: f(), g() 0 cara: f g f g b. Bentuk f( ) g( ) syarat: g() 0 cara: permisalan B. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK a. Bentuk f() < g() 7

14 cara: f() < g() f() < g() b. Bentuk f( ) g < a syarat: g() 0 cara: f() < a g() f() < g() c. Bentuk f() + g() < h() cara: kembalikan pada definisi nilai mutlak f( ) f, f 0 - f, f <0 Contoh Soal. Himpunan penyelesaian dari - +adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. { } B. { -5 } C. { i} D. { -} E. { - -} - + syarat Hp Penyelesaian

15 p - p + misal : - = p p + p 0 p+ p 0 p atau p -- atau - () tidak mungkin - Hp =Hp Hp total { } =, R -... Hp. Himpunan penyelesaian dari >5 adalah.... Himpunan penyelesaian pertidaksamaan + UI Tahun 009) A. -atau B. { atau -} C. { -} D. { - } Jawaban: D Jawaban: - < < adalah... (Soal SIMAK E. Jawaban: B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 +6< < + adalah... Jawaban: < < 5. Himpunan penyelesaian < A. > 5 B. > C. < < 5 D. 0 < < E. 0 < < atau > 5 adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) Jawaban: > 5 9

16 SOAL NILAI MUTLAK 6. Nilai-nilai yang memenuhi adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. semua bilangan riieal B. - atau C. - D. - atau E. atau, Definisi, > maka penyelesaian untuk soal di atas dibagi ke dalam dua domain untuk maka Hp untuk > maka - - > Hp Hp gab = Hp Hp 7. Himpunan penyelesaian dari + < 5 adalah... Jawaban: E Jawaban: 0 < < 8. Himpunan penyelesaian dari + adalah... Jawaban: - 0

17 9. Himpunan penyelesaian dari 0 adalah... Jawaban: < - atau atau > 0. Nilai yang memenuhi adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 00) A. 0 B. - atau C. 0 atau D. atau > E. < atau Jawaban: C. 0 atau

18 0 MATERI MATEMATIKA DAN LATIHAN SOAL UJIAN NASIONAL (UN) TOP LEVEL - XII SMA Set SISTEM PERSAMAAN A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan yang terdiri dari atau lebih peubah yang memiliki derajat tertinggi satu. Bentuk umum sistem persamaan linear peubah a + by = c p + qy = r Bentuk umum sistem persamaan linear peubah a + by + cz = p d + ey + fz = q g + hy + iz = r Solusi sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan proses eliminasi atau substitusi atau eliminasi-substitusi. B. SISTEM PERSAMAAN GABUNGAN Sistem persamaan jenis ini memiliki bentuk bermacam-macam, ada bentuk persamaan linear variabel dengan fungsi kuadrat, contoh: y = 7 y + + = atau bentuk persamaan linear multivariat, contoh: y + y = + y = dan lain-lain.

19 Sistem persamaan n variabel, umumnya membutuhkan n persamaan agar variabelnya bisa ditemukan. Metode memecahkan sistem persamaan gabungan umumnya dengan cara substitusi. Contoh Soal. Diketahui dua sistem persamaan linear berikut mempunyai solusi yang sama: a + y = b+ + y = dan + y = a + + y = maka nilai a b adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. -9 B. -5 C. 0 D. 5 E. 9 Karena solusinya sama, maka, kita eliminasi + y = + y = y = 0 y = 0, = kita substitusikan (, 0) ke a + y = b + a b =.. () + y = a + a = a = ± a =, substitusi ke persamaan (), b = 5 sehingga a b = - a = -, substitusi ke persamaan (), b = -7 sehingga a b = 5 Jawaban: D +5 =b. Jika y y = 6 A. B. 7 C. 9 b log dan log a = + y, maka a =... (Soal SIMAK UI Tahun 009)

20 D. E. 6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: y = 7 y = + 0 adalah {(, y ), (, y )}. Nilai y + y adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 009) A. -6 B. - C. 8 D. E. 0 y = 7 y = 7. () Persamaan () substitusi ke y = + 0, menjadi + 0 = 7 + = 0 ( +)( ) = 0 = - atau = dari persamaan () y = -0 atau y = -6 maka y + y = -6 Jawaban: C Jawaban: A. Dari sistem persamaan + y = 5 + y = 5 nilai + y adalah... Jawaban: 5 5. Diberikan sistem persamaan berikut. + ky = k + y =6 Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi > dan y > 0 adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. 0 B. C. 5

21 D. 5 E. tak hingga Lakukan eliminasi + ky = k + ky = k + y = 6 k + y = 6 k k + k y =k k + y =6 k - y =k 6 k y = 6 k di mana y >0 k 6 k >0 ( k ) k + k >0 k + >0 k >-... Hp + ky = k + ky =6k k = 6k 6 k = k + k = 6 k + di mana > 6 k + > 6 k + k + k + >0 - k + k + >0 - < k <... Hp k bilangan bulat yang memenuhi hanya k = 5( buah bilangan) 6. Jika diketahui sistem persamaan y = a + + y = Jawaban: D mempunyai dua pasang penyelesaian (, y), syarat untuk nilai a adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. - < a < B. a<- atau a> C. a > 0 D. a > E. semua bilangan riil Jawaban: B 6

22 7. Diketahui dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi y + + y = - dan y + y = 6. Nilai y adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. B. 6 C. 9 D. E. y + + y = - y + y = 6 y( + y) = 6 Dua persamaan di atas bisa dipenuhi oleh y = -7 dan + y = -6 nilai dan y yang memenuhi dua persamaan baru di atas adalah = -9 dan y = maka y = Jawaban: E 8. Misalkan dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut: y + y + 5y =0 + y = maka y =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. -6 B. - C. 0 D. E. 6 Jawaban: D 9. Jumlah nilai-nilai yang memenuhi persamaan berikut. ( )(y ) = ( + )(y 5) = 5 A. - B. - C. D. E. 5 y = y = y = +... () 7

23 () disubstitusi ke ( + )(y 5) = 5, menjadi + ( +) 5 = = = =0 + = - b a =- Jawaban: B 0. Diketahui sistem persamaan ( )(y ) = (y )(z ) = 0 (z )( ) = 5, y, z > 0 Nilai + y + z adalah... A. 8 B. 6 C. D. E. 6 Jawaban: A 8

24 05 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 5 FUNGSI Soal-soal matematika IPA yang terkait dengan fungsi, umumnya terkategori ke dalam tipe soal berikut. Fungsi komposisi dan invers. Menentukan daerah asal dan hasil suatu fungsi. Fungsi kuadrat yang lebih kompleks. Menentukan rumus fungsi Definisi, sifat, dan rumus yang terkait adalah. (fog)() = f [g()]. Domain (fog)() adalah irisan dari domain g() dan fungsi akhir dari (fog)(). Domain fungsi secara umum adalah R kecuali a. y = g( ) di mana g() 0 b. y = h g di mana g() 0 c. y = log g() di mana g() > 0. Range fungsi secara umum adalah y R kecuali a. y = g( ) di mana y 0 b. y = c g di mana y 0

25 5. y = f() = f - (y) 6. (fog) - () = (g - of - )() 7. Menentukan fungsi dari soal cerita, bisa melalui langkah-langkah berikut a. Baca soal dengan teliti. b. Tuliskan semua peubah yang disebutkan dalam soal. c. Tuliskan apa yang diketahui. d. Perlu dianalisa apa jenis fungsinya apakah fungsi linear, kuadrat, rasional, dan lainlain. Contoh Soal TIPE SOAL: FUNGSI, KOMPOSISI, DAN INVERS. Soal SIMAK UI Tahun 0 Diberikan fungsi f : R R dengan f( log ) = +. Jika f - adalah invers dari fungsi f, maka nilai f - () =.... A. 5 B. C. D. E. - f( log ) = + maka f - ( + ) = log set + = = = substitusi = ke f - ( + ) = log f - () = log = Jawaban: C. Soal SIMAK UI Tahun 0 Jika diberikan g() = +, maka untuk sembarang t selalu berlaku.... ) g(t ) = ) g(t ) = t

26 ) g(t ) mungkin tak terdefinisi ) g(t) = t + ) g() = + g(t ) = t += t = t benar ) g(t ) = t += t benar ) g(t ) = t += t benar mungkin tak terdefinisi bila - < t < ) g(t) = t + benar Jawaban: ), ), ), dan ) benar. f - () dan g - () menyatakan invers fungsi f() dan g(). Jika h() = + dan (fogoh)( ) = 8 +, maka nilai (g - of - )() =.... A. B. C. D. E. 8 (fogoh)( ) = 8 + fogoh =8 + fog + = 8 + ( fog)( ) =8 + fog = - ( fog) ( ) = + ( g of )( ) = ( g of )= Jawaban: B

27 Invers dari fungsi f() = adalah.... A. - B. - C. 0 D. E = y ( 5) = y 5 = y 5= y y =5 y y =5 y = 5 y y = y 5 y maka = 5 - f ( ) a = b = - maka a + b = 0 adalah f - () = a 5 +b, maka nilai a + b Jawaban: C 5. Soal SNMPTN Tahun 009 Jika fungsi f memenuhi persamaan f() + f(9 ) = untuk setiap bilangan real, maka nilai f() adalah....

28 A. B. 7 C. - D. -5 E. - f() + f(9 ) = substitusi = f() + f(7) = 6... () substitusi = 7 f(7) + f() =... () () f() + f(7) = () f(7) + f() = f() = -9 f() = - Jawaban; C 6. Diketahui f() =, bila f () = f(f()), f () = f(f(f())) dan seterusnya, maka nilai f (5) adalah.... A. B. C. D E. 0 f( ) = f( ) = f ( ) = - - f ( ) = f = - 5

29 = = - - f ( ) = f ( ) = - ( ) ( ) - f = f f f = f f =... f f f f = f( ) = 5 = 5 = 5 5 = 5 f = Jawaban: A, maka jarak antar- 7. Soal Fungsi Kuadrat Jika titik puncak fungsi kuadrat y = (a ) + ac + adalah, 9 titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu adalah.... A. B. C. 9 0 D. E. b p = - = a ac - = a - ac =a = a c -a a 6 y = 9 p a b ac = 9 a -a ac ( a ) = 9 a - a ac 6 a+6=-9a a

30 ac 6 a+6=-9a ( a ) a a ( a ) 6 +6=-9 ( a ) ( a ) =-9a ( a ) 6 ( a ) 6 =-9a 9 a +a 0 =0 ( a )( a ) +0 = 0 a = - 0 atau a = a a a Jawaban: E TIPE SOAL: DOMAIN DAN RANGE 8. Soal SIMAK UI Tahun 00 Jika f() = dan g() =, maka daerah asal dan daerah hasil dari (gof)() adalah.... ) daerah asal { - <, < < } ) daerah asal { < < } ) daerah hasil { - < y, < y < } ) daerah hasil { 0 < y < } g[f()] cari domain input yaitu f() f() = memiliki domain R,... Hp cari domain g[f()] g = syarat 0 > atau bisa ditulis < <... Hp 7

31 Domain komposisi = Hp gabung = Hp Hp = { < < } Untuk daerah hasil R f = {y R, y 0} maka R gof = {y R, y > 0} 9. Misalkan diketahui g() = log, h() =, daerah asal (goh)() adalah.... A. - B. - < < C. - < < - D. < < E. R (goh)() = g[h()] ) cari domain h() h() = h() terdefinisi bila 0 0 ( + )( ) Hp ) cari domain g[h()] g[h()] = log g[h()] terdefinisi bila > 0 < 0 ( + )( ) < 0 - < <... Hp Sehingga domain { R, - < < } Jawaban: B 8

32 TIPE SOAL: MENENTUKAN FUNGSI 0. Soal UMB Tahun 0 POPULASI SATWA LANGKA Seorang peneliti mengamati populasi satwa langka di suatu hutan tertutup. Populasinya pada tahun ke-t diperkirakan sekitar P(t) satwa, dan pada saat diamati (t = 0) adalah sekitar 850 satwa. Berdasarkan data dan prediksi pengamat diperoleh suatu rumus hampiran untuk P(t) yang berlaku untuk setiap saat t. Suatu rumus hampiran untuk besarnya laju perubahan dari P terhadap t adalah t P () t =.800 t +6,0 t dengan P(0) adalah populasi satwa pada saat diamati. Rumus hampiran untuk banyaknya satwa di hutan tertutup pada tahun ke-t, t adalah P(t) =.... A t +6 B t +6 C t +6 D t +6 E t +6 () P(t) = P t dt =.800t ( t +6) =.800 t t +6 dt =.800 t +6 ( t +6) = dt d( t +6) + C 9

33 P()=- t.00 C t +6 + Karena P(0) = 850, maka P(0) = C = 850 = C = 850 C = P(t) =.000 t +6 Jawaban: C Latihan Soal. Soal SNMPTN Tahun 009 Jika f A. 6 B. 5 C. 6 D. 9 E. 8 + =, dengan 0, maka f() =..... Soal SNMPTN Tahun 009 (Fungsi Simetris) DIberikan fungsi f memenuhi persamaan f(-) + f( ) = + untuk setiap bilangan real. Nilai 8f(-) adalah.... A. B. C. 0 D. 6 E Diketahui f() = a 7 + b + c 5. Jika f(-7) = 7, maka f(7) adalah.... A. -7 B. -7 C. D. 7 E.

34 . Soal UMB Tahun 0 Daerah hasil dari f() = adalah.... A. (-, ) B. (-, -) (-, ) C. (-, -) (-, ) (, ) D. -,, E. ( -, 0 ) 0,, 5. UMB 009 denah kebun bunga persegi panjang setengah lingkaran taman bermain Pada gambar diperlihatkan taman bermain yang berbentuk persegi panjang. Bagian tengah taman adalah sebuah kebun bunga yang berbentuk gabungan persegi panjang dengan cakram setengah lingkaran. Keliling kebun bunga ini adalah 60 meter dan diameter setengah lingkarannya adalah meter. Luas kebun bunga sebagai fungsi kuadrat dari adalah L() =.... A. 0 + π B. 0 + π C π D π E π 8 +

35 06 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 6 BARISAN ARITMETIKA a. Ringkasan Formula a. Suku ke-n = U n = a + (n )b a = U = suku pertama b = beda b. b = U U = U U =... = U n U n c. p, q, r barisan aritmetika maka. q = p + r. p + q + r = q d. Suku tengah (U t ) U t a U = + n U n = suku terakhir n = banyak bilangan e. Bila U, U, U,..., U n barisan aritmetika dengan beda b. Bila di antara bilangan berdekatan disisipkan k bilangan baru, maka. U tidak berubah b. beda berubah menjadi b, di mana b = k +

36 f. Jumlah n suku pertama (S n ), di mana. S n n = a + U n Untuk suku awal dan akhir diketahui n. Sn = a n b + ( ) Untuk beda diketahui. U n = S n S n Contoh Soal. Jika suku ke-n dari suatu deret aritmetika adalah U n = log c n (c konstanta positif), maka U + U U n U n =.... (Soal UMB Tahun 0) A. n( n+) logc B. n(n + ) log c C. n(n ) log c D. n(n + ) log c E. n(n + ) log c U n = log c n U = a = log c U = log c = log c beda = b = log c log c = log c S n n = a n b + Sn = n log c + n logc S = nlogc +n n ( ) ( ) ( ) S n = n n logc Jawaban: C. Diketahui a b + c d = 00 dan a + b + c + d =.00. Jika a, b, c, d adalah empat suku pertama dari suatu barisan aritmetika, maka a =.... (Soal SIMAK UI Tahun 0)

37 A..008 B. 898 C. 788 D. 60 E. 50 Misal a, b, c, d barisan aritmetika yang bedanya p a b + c d =.00 (a + b)(a b) + (c + d)(c d) =.00 (a + b)(-p) + (c + d)(-p) =.00 -p (a + b + c + d) =.00 -p (00) =.00 p = - sehingga a + b + c + d =.00 a + (a ) + (a ) + (a ) =.00 a 6 =.00 a =.06 a = 50 Jawaban: E. Misalkan f() adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akarakarnya adalah. Maka akar-akar dari f( + ) adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 0) ) dan ) dan 5 ) dan 5 ) dan misal akar-akar polinom derajat tiga itu adalah,, dimana =... (),, barisan aritmetika, maka = + = + {substitusi ()} = =... () jumlah akar-akarnya, maka + + = + + = {substitusi () dan ()} 6 = =

38 maka =, = 6 akar-akar f( + ) adalah,, yaitu,, 5 Jawaban: A. Diberikan dua buah barisan aritmetika (A n ) dan (B n ). Diketahui jumlah 00 suku pertama dari barisan (A n ) dengan beda bernilai satu adalah Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku terakhir barisan (B n ) sama dengan suku kedua terakhir barisan (A n ). Jika beda barisan (B n ) adalah, maka jumlah barisan (B n ) adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A..85 B..70 C..75 D..900 E..95 misal A n : U, U, U,..., U n, B n = U, U,..., U m S 00 = b = b = S00 = 00 ( a+99 b) =5.850 ( ()) 50 a +99 =5.850 a +99 = 7 a =8 a =U =9=U misal banyak suku barisan A n ada 00 maka untuk barisan B n Um = U 99 U + (m )b = U + 98b (m ) = 98. m = 9 m = 50 maka S = 50 U b =58+98 =.900 Jawaban: D

39 5. Soal SIMAK UI Tahun 00 Jumlah p suku pertama dari suatu bilangan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama ialah p. Maka jumlah (p + q) suku pertama barisan tersebut adalah.... A. (p + q) B. ( p+q) C. p + q + D. -(p + q) E. -(p + q + ) p Sp = q ( a p b q + ( ) ) = S p p b pb ap + = q...() q = p a q b + ( ) = () dan () eliminasi p aq q + b qb = p...() () q () p p qb pqb apq + = q p qb pqb apq + = p p q pq b = q p ( pq p q ) b = q p q+ p p q b =- ( + )...() pq 5

40 p q Sp+q = + a+ p q b ( + ) p q = a + p b + qb + a + q b + pb ( ) p pqb q pqb = ( a + ( p ) b ) + + ( a + ( q ) b ) + = q+ p+ pqb substitusi () =- p+ q - p+ q = p+ q+ pq pq Jawaban: D 6. Jumlah lima puluh suku pertama deret log 5 + log 55 + log log adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 00) A. log (55 50 ) B. log (5 5 5 ) C. log (5 5 5 ) D. log (75 50 ) E..50 log (5) log 5 + log 55 + log barisan aritmetika karena log 55 log 5 = log 605 log 55 log = log = b diketahui: a = log 5 b = log S 50 = 50 a +9b =5log5 + 9log = 50log5+5log =log ( ) 5 5 =log 5 Jawaban: C 7. Diketahui barisan dengan suku pertama U = 5 dan memenuhi U n U n = n +, n. Nilai U 50 + U adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 00) 6

41 A..688 B..70 C..7 D..755 E..76 U n U n = n + U n = U n + n + n = U = U + 7 = n = U = U + 9 = U n = U = U + = U maka U 50 = U + S 9 di mana S 9 jumlah 9 suku pertama dari deret U 9 S9 = 9 ( a b +8 ) = =.695 maka U 50 = U =.70 maka U 50 + U =.7 Jawaban: C 8. Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi p + q + r = s. Nilai p + q adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 00) A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 E. 56 p, q, r, s barisan aritmetika dengan b = maka q = p + r = p + s = p + 7

42 p + q + r = s p + ( p+ ) + ( p+ ) = p+ 6P + P + + P + 6 = P + 6 P + 0P = P + 6 P = 6 maka q = 7 p + q = 5 Jawaban: C 9. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang membentuk barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah, maka kelilingnya adalah.... (Soal UMB Tahun 009) A. 6 B. C. D. 7 E. 5 misal segitiga siku-siku itu a b, a, a + b dengan [a + b] = [a b] + a a + ab + b = a ab + b + a ab = a Luas =, maka ( a b) a= a a a = a = 8 a = a= 7 b = 7 Keliling = K = a = 7 Jawaban: D 8

43 0. Jika akar-akar persamaan suku banyak 8 + a + (5b + ) + c = 0 diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmetika dengan beda. Nilai a + b + c =.... (Soal SIMAK UI Tahun 009) A. - B. C. D. 5 E. 6 misal akar,,, di mana < < < atau < + < + < = - b a = 8 + = 8 = - maka =, =, = 5 maka polinomnya ( + )( )( )( 5) = 0 ( )( 8 + 5) = = 0 dapat disimpulkan a = ; 5b + = 8; c = -5 a = 7 b = c = - maka a + b + c = 5 Jawaban: D. Jumlah sebuah barisan aritmetika dengan n suku adalah S. Diantara suku disisipkan buah bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru yang jumlahnya S. Perbandingan S dan S adalah.... A. n : n + B. n : n + C. n : 5n D. n : 5n + E. n : 5n Barisan pertama n Sn = a n b + ( ) 9

44 Barisan kedua menjadi m suku b b b = = + 5 berlaku Um = Un a + (m )b = a + (n )b (m ) = (n )b m = 5n maka S S n m n ( a U n = + ) m a + U m n n = = m 5 n Jawaban: C Latihan Soal. Diketahui buah bilangan memiliki perbandingan : : 5. Jika bilangan kedua ditambah, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah.... A. 0 B. 0 C. 60 D. 80 E. 00. Misalkan f() adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama dan jumlah akarakarnya sama dengan. Maka sisa dari pembagian f( + 6) oleh + adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 0). Empat buah bilangan a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika. Jika b a = p + 5, d c = p +, dan d = 6, maka nilai a adalah.... A. -5 B. -0 C. -5 D. -0 E. -5 0

45 . Jika U p = q dan U q = p, maka S p + q =.... A. B. C. D. E. ( p+ q) p + q ( p+ q)( p+ q+) ( p+ q)( p+ q ) p q

46 07 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 7 BARISAN GEOMETRI a. Rumus Suku ke-n (U n ) a. U n = ar n b. U n = U p.r q, n = p + q B. Rasio (r) a. U U U n r = = =... = U U U b. r n Up =, U n = p q q + n C. Suku Tengah (U t ), pada n ganjil a. U = a U b. t t n = + n D. Jumlah n suku Pertama S n n n a r = r a r = r

47 E. Deret Geometri Tak Hingga (S ) a. a S = r b. - < r < syarat barisan konvergen F. U U... U t... U n = U t n n bilangan ganjil Contoh Soal. Misalkan dan adalah akar-akar persamaan kuadrat (k k ) + (k + ) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika, k, merupakan suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah.... A. - ( - ) n + B. - - n C. ( - ) n + D. -(-) n E. - n (k k ) + (k + ) = 0 a = b = -(k k ) c = k +, k, barisan geometri k = k = k + k k = 0 (k )(k + ) = 0 k = atau k = - kembali ke persamaan kuadrat untuk k =

48 P.K = 0 akar-akarnya bukan bilangan bulat (k ) untuk k = - P.K. + = 0 akar-akarnya bulat yaitu =, = Barisan geometrinya menjadi, -, dengan r = - maka U n = ar n = - = - - n n =- - n Jawaban: D. Pada suatu barisan geometri dengan r >, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. B. C. 8 D. E. Dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama S = U + U a r ar r = r r = r r + r += r r = Misal barisan geometrinya a, a, a, 8a, disisipkan bilangan-bilangan dengan beda = r = a, a, a +, a, a +, a +, a + 6, 8a ekuivalen dengan

49 a, a, a +, a +, a + 6, a + 8, a + 0, a + a = a + a = a = Maka barisannya menjadi,, 6, 8, 0,,, 6 disisipkan maka jumlah bilangan yang disisipkan = Jawaban: E. Bentuk deret geometri bilangan 8,88888 adalah.... (Soal SBMPTN Tahun 00) A. 8 B. 8 C. 8 n= n=0 n=0 D. 0, 8 E. 8 n= n= n + n + n 0 0 n n 8,8888 = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + = 8 ( + 0, + 0,0 + 0,00 + ) Mencari rumus U n barisan geometri dengan a =, r = 0, U n = ar n = 0 n Menyusun notasi sigma 8,8888 = 8 n= U n

50 = 8 n= 0 n + Jawaban: A. Tiga bilangan bulat membentuk barisan aritmetika. Jika suku kedua ditambah dan suku ketiga dikurangi, maka akan diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan semula ditambah 9, maka ia menjadi tiga kali suku kedua barisan geometri. Jumlah ketiga suku barisan aritmetika sama dengan.... (Soal UMB Tahun 009) A. 8 B. 9 C. 5 D. E. 8 Misal barisan aritmetikanya a b, a, a + b Barisan geometrinya a b, a +, a + b maka (a + ) = (a b)(a + b )... () Sifat lainnya a + b + 9 = (a + ) a + b + 9 = a + 9 b =... () pers () substitusi ke pers () (a + ) = (a a)(a + a ) a + 6a + 9 = -a(a ) a + 6a + 9 = -a + a a 5a + 9 = 0 (a )(a ) = 0 maka a = atau a = kita ambil a = maka jumlah bilangan semula a b + a + a + b = a = 9 Jawaban: B 5. Misalkan U n menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U 6 = 6 dan log U + log U + log U = 9 log, maka nilai U adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 009) A. 8 B. 6 5

51 C. D. E. log U + log U + log U = 9 log log (U.U.U ) = log 9 U.U.U = 9 U. U.U.r = 9 r U = 9 U = = 8 Jawaban: A 6. Barisan geometri diketahui S n = 50, S n + = 55, dan S n + = 57. Maka suku pertamanya adalah.... A. 7,5 B. 75 C. 80 D. 85,5 E. 90 U n + = S n + S n ar n = ar n = 5... () U n + = S n + S n + ar n + = 57,5 55 ar n.r =,5 {substitusi ()} 5r =,5 S n r = 7 n r = a ( ) = 50 r a a n n = 50 =75 6

52 n n = 75 a a a = S n+ a = n+ = 55 n a = 75,5 a 75 a = 75,5 substi a tusi a a+75 a = 75,5 a a +75 = 75,5 a +75=55 { } a =80 7. Deret geometri dengan 0 suku. Diketahui suku ketiga adalah 5 Jawaban: C dan jumlah logaritma semua suku-sukunya adalah 5log 5 5log. Suku ke- barisan itu adalah.... A. B. C. D. 5 E. 6 log U + log U + log U log U 0 = 5log 5 5log U r log U U U... U 0 = log 5 U U U U U 5 U 6 U 7 U 8 U 9 U 0 = 5 U r UUrU r U r U r U r 5 U r 6 U r =

53 U 5 0 r 5 0 r r r = 5 = 5 = = r = 5 U U = = r 5 5 =5 Jawaban: D 8. Diketahui U, U, U, dan U n dari barisan aritmetika membentuk barisan geometri. Nilai n adalah.... A. 60 B. 6 C. 65 D. 68 E. 7 U, U, U barisan geometri U = U U [a + b] = a[a + b] a + ab + b = a + ab b = 8ab b = a Barisan geometrinya dapat ditulis a, a + b, a + b, U n a, a + (a), a + (a), U n a, 5a, 5a, U n = 5a maka Un = 5a a + (n )b = 5a a + (n )(a) = 5a (n )(a) = a n = 6 n = 6 Jawaban: B

54 9. Misal, y, 5z membentuk barisan geometri, sementara,, y z aritmetika. Nilai dari z + adalah.... z 0 A. 6 B. C. D. E , y, 5z barisan geometri membentuk barisan 6y = 5z z y = 6 5,, barisan aritmetika y z = + y z + z = y z 5 + = ( z) y 6 y Nilai y = 5 ( + z) + z = y 5 z z + = + z z + z z = z ( + z) = z y 5 = 6y 5 = 5 Jawaban: B 9

55 0. Barisan geometri positif yang banyak sukunya ganjil. Hasil kali suku pertama dan terakhirnya.500. Jumlah logaritma semua suku-sukunya sama dengan lima kali logaritma suku tengahnya dan kuadrat dari suku kedua sama dengan kali suku keempat. Suku 5 kedua barisan itu adalah.... A. 5 B. 8 C. 0 D. 5 E. 5 U U n =.500 UU n = 50 U t = 50 log U + log U log U n = 5log U t log U U U t U n = log U t 5 n U t = U t 5 n = 5 maka t = n + = sehingga U = 50 U = U 5 U r = U r 5 50 r = r = r maka r =5 maka nilai U = U r = 50 5 =0 Jawaban: C 0

56 Latihan Soal. Hasil penjumlahan + A. 9 7 B. C adalah.... D. E Diketahui barisan bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut (), (,, 8), (6,, 6, 8, 56),. Suku ke-5 dari kelompok ke-0 adalah.... A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 E. 89. Misal sin θ, cos θ, tan θ, adalah barisan geometri untuk beberapa θ R. Pada urutan ke berapa sukunya menjadi cosec θ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9

57

58 08 MATERI DAN LATIHAN SOAL UJIAN NASIONAL (UN) TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 8 LOGARITMA A. Review Singkat Materi a. alog b = c a c = b syarat numerous a, b > 0, a b. Sifat-sifat. a log y = a log + a log y. a log y = a log a log y. a log m = m a log. a log b = log b loga = log b log = p b a loga 5. n a m m a log b = log b n 6. a log b. b log c = a log c 7. a log = 0 8. a alog b = b c. Persamaan a log f() = a log g() f() = g(), f(), g() > 0 p

59 d. Pertidaksamaan a log f() < a log g(), f(), g() > 0. f()< g() bila a >. f() > g() bila 0 < a < Contoh Soal. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (5 + 5) > ( log ) + log + log adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. { R < 0 atau > } B. { R 0 < < } C. { R 0 atau > } D. { R 0 < } E. { R > } log (5 + 5) > ( log ) + log + log log (5 + 5) > log + log 6 log (5 + 5) > log 0 log + log 6 log (5 + 5) > log 5. 6 maka > 5. 6 [5] > 0 (5 5)(5 ) > 0 pembuat nol =, = 0 garis bilangan + 0 _ + Hp = { < 0 atau >, R} Jawaban: A. Nilai dengan > yang memenuhi > UI Tahun 0) 5 adalah.... (Soal SIMAK A. - < < B. >

60 C. > 5 D. > atau < E. > atau < - Karena > maka > 0 sehingga ( ) > ( ) > 5 > 8> >0 + >0 akar = atau = - garis bilangan + - Hp = <-atau > _ +. Batas nilai yang memenuhi pertidaksamaan log < SIMAK UI Tahun 00) - - log 0 Jawaban: D adalah.... (Soal A. > 7 B. 7 < < 7 + C. < 7 +

61 D. < < 7 + E. < 7 + log < ( ) - log 0 syarat: ) > 0... Hp ) ( ) - > 0 >0 akar = garis bilangan _ Hp = > + ) ( ) -... Hp Penyelesaian pertidaksamaan log < - ( ) log log < log log <-log log <-log

62 log <log < <0 <0 -, = = akar pembilang (Rumus ABC) = 7, = akar penyebut = garis bilangan Hp = < < < maka Hp total Hp total = Hp Hp Hp Hp total = < < 7 + Jawaban: D. Jika p dan memenuhi persamaan log (( ) 7) = - + log (9 + 6), maka nilai p + q =.... (Soal SIMAK UI Tahun 009) A. -6 B. - C. 5

63 D. 6 E. log (( ) 7) = - + log (9 + 6) ( ) log 7 = log + log +6 ( ) +6 log 7 = log 7= +6 +7=0 9 = 0 = 9 atau = = atau = p = atau q = maka p+ q = Jawaban: C 5. Himpunan penyelesaian log( ) < adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 009) A. { < < 0} B. { - < < 0} C. { -9 < < 0} D. - 0 < < E. 0 < < log( ) < syarat > 0 >... Hp log( ) < - < log( ) < 6

64 log <log( <log0 ) 0 0 < <0 0 < <... Hp Hp total = Hp Hp 0 Hp total = 0 < <, R Jawaban: E 6. Nilai yang memenuhi 9 log( +) + log ( +) = 85 adalah.... A. -5 dan B. dan C. dan 5 D. E. 5 log( +) log ( +) + = 85 log( +) log ( +) + = 85 ( +) + ( + ) = = =0 + 5 =0 ( +5)( ) = 0 =-5 atau = test + + = bukan solusi = 7 6 solusi solusinya = Jawaban: D 7

65 7. log y. y log y + log ( y). y log ( y) = 0 > y > 0,, y, nilai + y adalah.... A. + B. 7 C. 5 D. + E. + 5 log y. y log y + log ( y). y log ( y) = 0 logy logy log log + log y y log [ log y] + log ( y) = 0 log y logy log y = 0 dan log ( y) = 0 y = y =... () y = &() () substitusi ke () = + =0 a=, b =, c =-, b b a = - c a = - 5 = -+ 5 { >0} =0 8

66 y = y = y = = 5+ + y = maka + y = Jawaban: C log5+log5 log5 8. U n menyatakan suku ke-n dari suatu barisan. Jika log U n = + 5 log5 n + + log5 +log 5 +log5 n, maka rumus U n adalah.... A. 0, 0 n B. 7 0 n C. 0 n D n E. 9 0 n log5+log5 log5 n log Un = + log5 + log5 +log 5 +log5 5 n- = log 7 log0 + +log5 log0 log0 log5 n- = log7+ n log+ n log5 =log+ n ( ) log0 n =log 0 - = 0 U n n- =0, 0 n n- Jawaban: A 9

67 9. Harga yang memenuhi persamaan + = adalah.... A. - log B. - log C. + log D. log + E. log + = + = + = + misal + = y y = y y =y y y =0 ( y +) ( y ) = 0 y =- atau y = + = - + = pilihan pertama tidak mungkin karena + >0 maka + = + + log + = log + = log Jawaban: C 0

68 0. Bila log = a, log = b, dan + = -, maka nilai + adalah.... 5a A. a+ b B. C. D. E. 5a a b 5b a+b 5b a b a+ b 5a + = - log =log + - ( + ) a= ( ) b + log = log a +b =b a a+ b =b a b a = a+b b a a b += a+ b + + a+b += 5 b a+b Jawaban: C Soal Latihan. Diketahui log log log = log log log y = 0, maka + y adalah.... A. 8 B. 9 C. 6 D. 7 E. 8

69 . Bila, log, dan log adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku, nilai yang mungkin adalah.... A. log dan log B. log dan log C. log saja D. log saja E. tidak ada yang memenuhi. Apabila memenuhi A. B. C. D. E. 8 log log log =, maka nilai dari adalah Perhatikan y = 0a, yz = 0b, z = 0c. Nilai dari log + log y + log z adalah.... A. abc B. abc C. a + b + c D. a + b + c E. a+ b+ c 5. Diketahui persamaan log y = 7 y + log = 9 maka nilai + y adalah.... A. B. C. 5 D. 6 E. 8

70 09 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 9 PELUANG A. Ringkasan Materi a. Aturan Perkalian mcara kejadian dan b. Aturan Tambah mcara kejadian atau ncara kejadian = m n cara ncara kejadian = m + n c. Faktorial n (n!) n! = n(n )(n )... d. Permutasi (Kejadian Menyusun Objek). permutasi n unsur = n!. permutasi k unsur dari n unsur P = P n k k n = n! n k!. Permutasi unsur berulang n P = n! k, k k! k!. Permutasi siklis n unsur = n!

71 e. Kombinasi (Kejadian Memilih) C n k = n! k! n k! f. Peluang Suatu Kejadian A P A n A = ns A = kejadian yang diharapkan S = kejadian yang mungkin Contoh Soal. Dari 5 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 6, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah.... (UM UGM 0) A. B. C. 9 D. 5 E. misal banyak anak laki-laki = banyak anak perempuan = 5 banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan CC 5- =6! (! ) ( 5 ) =6 5!! =6 yang memenuhi = maka banyak perempuan orang sehingga selisihnya orang Jawaban: B. Jika L(a) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola y = a +, 0 < a <, maka peluang nilai a sehingga L(a) adalah.... (SBMPTN 0) 8

72 A. B. C. D. E misal A = kejadian L(a) 8 Daerah yang dibatasi oleh y = a + dan sumbu X Luasnya bisa menggunakan D D L = 6 a D = b ac D = a maka a a a L = = 6 6 L(a) 8 a a a maka agar L(a) 8, maka a sedangkan 0 < a < kalau kita gambar pada garis bilangan 0 a n(s) = n(a) =

73 maka peluangnya P A n A = = ns Jawaban: E. Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan angka kedua mempunyai selisih adalah.... (SBMPTN 0) A. 0 B. 0 C. 0 D. 50 E. 60 Bilangan ratusan terdiri dari angka ratusan puluhan satuan Angka ratusan dan puluhan selisih adalah (, )(,) (,)(,) (,5)( 5,) (,6)( 6,) 5 kemungkinan ( 5,7)( 7,5) ( 6,8)( 8,6 ) ( 7,9)( 9,7) (, 0) maka 5 0 ratusan puluhan satuan banyak angkanya adalah 5 0 = 50 Jawaban: D. Enam anak, laki-laki dan perempuan, duduk berjajar. Peluang perempuan duduk berdampingan adalah.... (SBMPTN 0) A. 60 B. 0

74 C. D. E Ada 6 orang duduk berjajar n(s) = 6! L L P P P L Kelompok perempuan dianggap bagian dari bagian, maka cara menyusun laki-laki dan kelompok wanita adalah!. Karena kelompok perempuan terdiri dari orang, maka cara menyusun wanita pada kelompok wanita adalah! maka n(a) =!! Peluangnya P A n A!! = = ns 6! = 6 0 = 5 Jawaban: E 5. Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor,,,, dan 5. Andi mengambil bola secara acak lalu mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melakukan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapatkan jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 0 adalah.... (SBMPTN 0) A. 6 B. C. 5 D. 6 E. 8 angka berjumlah 0,, 5 banyak susunan! = 6,, 5 banyak susunan! = 6 total kejadian = kejadian Jawaban: B 5

75 6. Diberikan suku banyak p() = a + b +. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, ], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah.... (SBMPTN 0) A. 0 B. C. D. 5 6 E. Suku banyak p() = a + b + tidak memiliki akar (pembuat nol) bila D > 0 b ac > 0 a> b... () sedangkan a, b dipilih dari selang [0, ] atau 0 a dan 0 b karena a, b R, perlu kita gambar grafiknya a a = b n(s) = = n(a) b n(a) adalah sekumpulan (b, a) sehingga a> b n A n A = + = + = 0 = 5 6 n A maka P A = = 5 ns 6 Jawaban: D 6

76 7. Di dalam kotak terdapat bola biru, bola merah, dan bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah.... (SBMPTN 0) A. B. C. D. E Kondisi banyak bola merah kali lebih banyak bola putih adalah A = (P, M, B) n(a) = sedangkan n(s) = C 7 8 = 8!!7! =8 P A n A = = ns 8 Jawaban: E 8. Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masingmasing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah.... (SBMPTN 0) A. 0 B. 0 C. 5 D. 8 E. 58 A B mobil A mobil B 7

77 Pilihan : orang di mobil A dan orang di mobil B Pilihan : orang di mobil A dan orang di mobil B Banyak kemungkinan menyusun/menempatkan penumpang adalah 5 CC 5 + CC = 5!!! + 5!!! =0cara Jawaban: B 9. Sepuluh titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah.... (SNMPTN 0) A. 0 B. 60 C. 0 D. 50 E. 00 C 0 = 0!!7! ! = = 0 segitiga 7! Jawaban: C 0. Banyak siswa laki-laki 0 orang dan siswa perempuan 5 orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan 0 orang dan terdiri atas paling sedikit orang perempuan dan paling banyak orang perempuan adalah.... (SNMPTN 0) A..800 B..50 C..700 D..00 E..50 Siswa terdiri dari 0 laki-laki dan 5 perempuan perempuan 0 orang 0 5 C8 C 8 laki-laki perempuan orang C7 C 7 laki-laki perempuan orang C6 C 6 laki-laki 8

78 maka banyak kemungkinan formasi panitia adalah C8 C + C7 C + C6 C = 0! 5! 8!!!! + 0! 5! 7!!!! + 0! 5! 6!!!! = =.700 Jawaban: C Latihan Soal. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah, dan bola putih. Jika diambil 7 buah bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah.... A. B. C. D. E Diketahui segilima ABCDE, dengan A(0, ), B(, 0), C(π +, 0), D(π +, ), dan E(0, ). Titik P dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut APB berukuran tumpul adalah.... (SNMPTN 0) A. B. C. D. E

79 . Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari angka yang disusun oleh angka-angka 0,,, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah.... (SNMPTN 0) A. 600 B. 605 C. 60 D. 60 E. 65. Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah.... (SNMPTN 0) A. 6 B. C. 8 D. E Ada 5 orang, di antaranya adik kakak, duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet. Peluang adik kakak duduk berdampingan adalah.... (SNMPTN 0) A. B. C. D. E

80 0 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 0 TEOREMA SISA A. Ringkasan Materi a. Suatu polinom p() bila dibagi ( a) maka sisanya (S) S = p(a) b. Suatu polinom p() bila dibagi oleh ( a)( b) maka sisanya (S()) S ( a ) ( ) b a p b ( b) = + a b p ( a ) c. Suatu polinom p() bila dibagi oleh ( a)( b)( c) maka sisanya (S()) b c S a b a c p a a c b a b c p b a b = + + c a c b p c d. Bila p() habis dibagi ( a) p(a) = 0 e. Bila ( a) faktor dari p() maka p(a) = 0 f. Untuk polinom derajat, p() = 0 a + b + c + d = 0 yang memiliki akar-akar,, maka berlaku. b + + =- a. c + + = a

81 . = d a g. Untuk p() polinom derajat dan p() = 0 a + b + c + d + e = 0 yang memiliki akar-akar,, maka berlaku b = - a =. d = - a. e a h. Mencari akar polinom derajat tiga atau lebih bisa menggunakan skema Horner c a Contoh Soal. Jika + a + (b 0) = f()( ) dengan f() habis dibagi, maka nilai b adalah.... (Soal SBMPTN Tahun 0 Kode 0) A. B. C. 0 D. - E. - f() habis dibagi ( ) f() = 0 + a + (b 0) = f()( )... () substitusi = + a + b = 0 a + b = 0... () turunkan pers () + a + (b 0) + 5 = f ()( ) + f(). masukkan = + a + b = 0 a + b =... () eliminasi () dan () akan didapat b = - Jawaban: D

82 . Diketahui g() = a b + a b habis dibagi. Jika f() adalah suku banyak yang bersisa a ketika dibagi dan bersisa a + b + ketika dibagi g(), maka nilai a adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode 5) A. - B. - C. D. E. g() = 0 a b + a b = 0 f() = a a b = 0 a = b... () f() : g() S() = a + b + f() = g(). h() + a + b + substitusi = f() = g(). h() + a + b + a = 0. h() + a + b + a + b + = 0 substitusi () a + a + = 0 (a + ) = 0 a = - Jawaban: A. Diketahui f() = (a b) + b + habis dibagi oleh ( ). Jika kurva y = f() bersinggungan dengan garis + y = - di titik (, -), maka nilai a adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode 559) A. - B. - C. D. E. 5 f() = 0 (a b) + b + = 0 -a + b = -... () f() bersinggungan dengan + y = - f () = m gs = - (a b) = m gs

83 substitusi = () (a b) = - a + b = - -a + b = - a b =... () () dan () dieliminasi maka a = 5 Jawaban: E. Diketahui sisa pembagian f() = a + a a oleh + adalah a dan a > 0. Titik minimum grafik f adalah.... (SNMPTN 0 Kode 559) A. (, -6) B. (0, -7) C. (, -7) D. (-6, ) E. (, -7) f(-) = a + a + a + a = a a a = 0 (a + )(a ) = 0 a = - atau a = ambil a = (a > 0) f() = + 7 f () = + 8 f () = + 8 syarat maksimum, minimum f () = = 0 ( + ) = 0 ( )( ) = 0 f (0) = -7 f (0) = 8 > 0 (minimum) f () = -7 f () = 8 > 0 (minimum) f () = 0 f () = - < 0 (maksimum) Jawaban: B dan C 5. Jika suku banyak p() dibagi dengan ( + ) memberikan sisa dan jika dibagi ( ) memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku p() dengan pangkat genap adalah.... (Soal SIMAK UI Tahun 0 Kode )

84 A. 0 B. C. 6 D. 0 E. 0 p(-) = p() = 7 bila p() = a n n + a n- n - + a n- n a0 bila n ganjil maka p(-) = -a n + a n- a n a 0 p() = a n + a n- + a n a = [a n- + a n a 0 ] 0 = a n- + a n a0 Jawaban: D 6. Diketahui suku banyak f() bersisa - bila dibagi +, bersisa bila dibagi. Suku banyak g() bersisa bila dibagi + dan sisa bila dibagi. Jika h() = f(). g(), maka sisa h() dibagi adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode 659/578/559) A. B. C. + D. + E. 5 f(-) = - f() = g(-) = g() = h() dibagi memiliki sisa S() = a + b, maka h() = ( )( + ) + a + b f(). g() = ( )( + ) + a + b = - f(-). g(-) = -a + b = -6 = f(). g() = a + b = 6 -a = - a = b = - sehingga S() = Jawaban: B 5

85 7. Diketahui f() suku banyak derajat tiga dengan koefisien sama dengan, yang habis dibagi ( )( + ). Jika f() = 0, maka f() =.... (Soal UM UGM Tahun 006 Kode 7) A. -8 B. -7 C. - D. 0 E. 7 misal f() = ( )( + )( + p) = f() = 5( + p) = 0 p = f() = ( )( + )( + ) f() = (-)()() f() = - Jawaban: C 8. Diketahui p() = a 5 + b, dengan a dan b konstan. Jika p() dibagi dengan (.006) bersisa, maka bila p() dibagi dengan ( +.006) akan bersisa.... (Soal SPMB Tahun 006 Kode 0) A. - B. - C. - D. - E. -5 p(.006) = a(.006) 5 + b(.006) = a(.006) 5 + b(.006) = p(-.006) = a(-.006) 5 + b(-.006) = -a(006) 5.006b = -(a(006) 5 + b(.006)) = - = -5 Jawaban: E 6

86 9. Diketahui h() = + merupakan salah satu faktor dari g() = + a + b. Jika g() dibagi dengan + akan bersisa.... (Soal SPMB Tahun 006 Kode ) A. 0 B. C. 9 D. E. g() : + g() : ( + )( ) g() = 0 g(-) = y + a + b = 0 a + + b = y 8 = -y maka y = Jawaban: E 0. Diketahui p() = ( )( ) q() + a + b dengan q() suatu suku banyak. Jika p() dibagi dengan ( + ) bersisa 0 dan jika dibagi dengan ( ) bersisa 0, maka jika p() dibagi dengan ( ) bersisa.... (Soal SPMB Tahun 006 Kode 0) A. -0 B. 0 C. 5 D. 5 E. 5 p() = ( )( ) q() + a + b -(-) = 0 -a + b = 0... () p() = 0 a + b = 0... () eliminasi () dan () didapat a = 5 b = 5 maka p()) = ( )( )( + ) sisa pembagian p() oleh adalah p() = 5() + 5 p() = 5 Jawaban: E 7

87 Latihan Soal. Jika + a + (b 0) = f()( ) dengan f() habis dibagi, maka nilai b adalah.... (Soal SBMPTN Tahun 0 Kode 0) A. B. C. 0 D. - E. -. Salah satu akar persamaan = 0 adalah. Jumlah akar-akar yang lain persamaan tersebut adalah.... (Soal SPMB Tahun 005 Kode 80) A. 6 B. 5 C. D. E.. Diketahui f() = 5 + 0, g() = + 5 +, dan h() = +. Jika a dan b merupakan masing-masing sisa hasil pembagian f() dan g() oleh h(), maka a + b =.... (Soal SPMB Tahun 005 Kode 80) A. -0 B. 0 C. D. 8 E.. Jika salah satu akar suku banyak f() = 0 adalah a, maka salah satu akar ( + + 6) f( + ) = 0 adalah.... (Soal SPMB Tahun 006 Kode 5) A. a + B. a + C. a D. a E. a 8

88 5. Diketahui suku banyak g() = a b (a + b) habis dibagi dan salah satu akar persamaan suku banyak f() = 0 adalah. Jika f() dibagi g() sisanya a + b, maka nilai a adalah.... (Soal SNMPTN Tahun 0) A. B. C. D. E

89 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set TRIGONOMETRI SEGITIGA A. RINGKASAN MATERI a. Untuk segitiga siku-siku ABC A sinc = c cosec C = b b c c b cos C = a sec C = b b a B a sin b. tan = cos C tan C = c cotan C = a a c c. sin + cos = tan + = sec cotan + = cosec d. sin ( ± y) = sin cos y ± cos sin y cos ( ± y) = cos cos y sin sin y

90 e. C b a Aturan Sinus a b c sin A = sin B = sin C Aturan Cosinus a = b + c bc cos A A c B b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C f. Sifat sudut pada kuadran Kuadran I sin α = cos (90 α) cos α = sin (90 α) tan α = cot an (90 α) Kuadran II sin (80 α) = -sin α sin (90 + α) = cos α cos (80 α) = -cos α cos (90 + α) = -sin α tan (80 α) = -tan α tan (90 + α) = -cot tanα Kuadran III sin (80 + α) = -sin α sin (70 α) = -cos α cos (80 + α) = -cos α cos (70 α) = -sin α tan (80 + α) = tan α tan (70 α) = cot tanα Kuadran IV sin (60 α) = -sin α sin (70 + α) = -cos α cos (60 α) = cos α cos (70 + α) = sin α tan (60 α) = -tan α tan (70 + α) = -cot tanα g. Jumlah sin dan cos A+ B A B sina+ sinb= sin cos A+ B A B sina-sinb= cos sin A+ B A B cosa + cosb = cos cos A+ B A B cosa cosb= -sin sin h. Sudut ganda. sin = sin cos. cos = cos sin cos = cos cos = sin tan. tan = tan

91 Contoh Soal. Jika dalam segitiga ABC diketahui 5 sin A + cos B = dan 5 cos A + sin B = 6, maka sin C =... (Soal SBMPTN Tahun 0) A. B. C. D. E. 5 C 5 sin A + cos B = 5 cos A + sin B = 6 masing-masing persamaan dipangkat-duakan A B 5 sin A + cos B + 0 sin A cos B = 69 5 cos A + sin B + 0 cos A sin B = (sin A cos B + cos A sin B) = sin (A + B) = 0 sin (A + B) = 7 sin (A + B) = 7 0 Karena sifat sudut segitiga A + B + C = 80 C = 80 (A + B) sin C = sin 80 (A + B) sin C = sin (A + B) sin C = sin (A + B) = 5 Jawaban: E

92 . Diberikan koordinat titik O(0, 0), B (-, 7), dan A(a, 0), dengan a > 0. Jika pada segitiga AOB, OAB = α dan OBA = β, maka cos ( α+ β) =... (Soal UM UGM Tahun 0 Kode 6) A. B. C. 6 D. 7 E. Ilustrasi y B 7 o OB = + 7 OB = β P - O θ α a A misal AOB = θ, berlaku θ+ α+ β = 80 o α+ β= 80 θ α+ β θ = o 90 θ cos ( α+ β)= sin Perhatikan POB! o o POB = 80 θ cos POB = -cosθ cosθ = -

93 sin θ = - 7 sin θ = 8 7 sin 7 = = θ 8 Jawaban: E. D 0 o 0 o A B 50 C Pada gambar, jika CAD = 0 o, ACD = 0 o, dan BC = 50, maka panjang ruas garis AD adalah... (Soal UMB Tahun 0 Kode 8) A. 5(sin 0 ) B. 5(cos 0 ) C. 5(tan 0 ) D. 5(cot 0 ) E. 5(sec 0 ) D Perhatikan 0 o 0 o A B 50 C Perhatikan o BD sin0 = AD BD AD = sin0 o 50tan0 AD = o sin0 o 50sin0 AD = o o cos0 sin0 cos0 AD = 5sec 0 o o o o BD tan0 = BC BD = 50tan0 o Jawaban: E 5

94 . Jika sin t (csc t )( sint + sin t sin t +... =, dengan π < t π, maka nilai dari cos t adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0 Kode 5) A. B. - C. - + D. - E. + sin t (csc t )( sint + sin t sin t +... = sin t sin t sint sin t = sint maka = + sin t atau sin t = Karena t kuadran II maka sin t = > 0 sin t = I t maka cos t = - dengan cos t < 0 Jawaban: B 5. Diketahui segitiga dengan titik sudut (-, 0), (, 0), dan ( cos θ, sin θ) untuk 0 θ π. Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 8 adalah... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode ) A. B. C. 6

95 D. E. 0 B - θ C t A Luas = ( alas)( tinggi ) Luas = = 6 sinθ 8 sin θ = 8 9 sin θ = 8 atau sin θ = maka θ yang memenuhi ada, karena θ mencakup semua kuadran Jawaban: A 6. Dalam segitiga ABC, jika sudut α berhadapan dengan sisi a dan sudut β berhadapan tan ( α+ β) dengan sisi b, maka tan ( α β) =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. a b a+ b B. a+ b a b C. a b a+ b D. a+ b a+ b E. a+ b a b b C a misal C = θ a + b + θ = 80 o a b A B a b = sinα sinβ b asinβ= bsinα sinβ= sinα a 7

96 tan α+ β tan α β sin ( α+ β) cos α β = sin ( α β) cos α + β [ sinα+ sinβ] = [ sinα sinβ] b sinα+ sinα = a a = + b b sinα- sinα a b a Jawaban: B 7. Pada segitiga ABC diketahui sudut α, β, dan γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika a (a + cos α) = bc sin α, maka... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. α = β B. α = γ C. β = γ D. α = β = γ E. salah satu sudut adalah siku-siku a (a + cos α) = bc sin α a (a + cos α) = bc ( cos α) a (a + cos α) = bc ( + cos α)( cos α) a (a + cos α) bc ( + cos α)( cos α) = 0 ( + cos α) (a bc ( cos α)) = 0 ( + cos α) (a bc + bc cos α) = 0 + cos α = 0 cos α = - α = 80 (tidak mungkin) a bc + bc cos α = 0 a = bc bc cos α b + c bc cos α = bc bc cos α b + c bc = 0 (b c) = 0 b = c β = γ Jawaban: C 8

97 8. Diketahui bahwa a dan b adalah besar dua suku pada sebuah segitiga. Jika sin a+ sin b= dan cos a+ cos b= A. - 6, maka cos (a b) =... (Soal SIMAK UI Tahun 00) B. - C. 0 D. E. sin a+ sin b= cos a+ cos b= 6 pangkat dua sin a+ sin b+ sinasinb= cos a+ cos b+ cosacosb= + + cos (a b) = cos (a b) = 0 Jawaban: C 9. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = cm, BC = cm, dan AC = k cm. Jika α adalah sudut ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cosα< 7 8 adalah... (Soal SNMPTN Tahun 008) A. B. C. D. E. 0 < k < < k< atauk < 0 < k < < k< atauk < 0 < k < 9

98 C α b = k cm A c = cm k=, k=, k 0 garis bilangan a = cm B a + b c cosα= ab < 7 8 = + k 7 k 8 < 0 k + 7 = < k 8 0 k + 6 7k < 0 8k k 7k+ 6 < 0 8k ( k ) ( k ) < 0 8k 0 + < + k k< 0 atau < k< Jawaban: B 0. Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui tan a = - dan cos b = , dimana 5o < b < 90 o, maka nilai dari tan γ adalah... A. B. C. D. E

99 cos b = cos β = cos β = 69 5 cos β = 69 5 cosβ = 5 B b tan β= 5 a + b + γ = 80 o γ= 80 o α+ β tanγ= -tan α+ β tanα+ tanβ = - -tanαtanβ - + = = = 8 5 Jawaban: D

100 Soal Latihan. Misalkan sudut pada segitiga ABC adalah A, B, C. Jika sin B + sin C = sin A, maka nilai dari B C tan tan adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 00 Kode 50) A. B. C. D. E Diketahui segitiga ABC dengan AC =, AB =, dan BC = 7. Jika α menyatakan sudut BAC, β menyatakan sudut ABC, p = cos α dan q = cos β, maka 8p + 7q sama dengan... (Soal UMB Tahun 008 Kode 80) A. B. C. 5 D. 6 E. 7. Dalam segitiga ABC, diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c, maka b c =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) b+ c A. B. C. sin β γ cos ( α) cos β γ sin ( α) tan β γ sin ( α)

101 D. E. tan β γ tan ( α) tan β γ cot ( α). Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui sudutb α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c, maka acos β γ A. ( b+ c)sin α B. ( b+ c)cos α C. ( b+ c)tan α =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) D. ( b+ c)cot α E. ( b+ c)csc α 5. Perhatikan gambar berikut. γ b a a b Bila tan α tan β+ tan β tan γ=, maka... A. a + c = b B. a + c = b C. a c = b D. a c = b E. a + b = c

102 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set TRIGONOMETRI A. RINGKASAN MATERI a. sin = sin α = α + k. 0 o k = 0,,,... = 80 o α + k. 60 o, k = 0,,,... b. cos = cos α = + α + k. 60 o, k = 0,,,... c. tan = tan α = α + k. 80 o, k = 0,,,... d. A cos + B sin = k cos( α) dengan k= A + B tanα= B A Penentuan kuadran α A > 0, B > 0 α kuadran I A < 0, B > 0 α kuadran II A < 0, B < 0 α kuadran III A > 0, B < 0 α kuadran IV

103 e. Jumlah sin dan cos A+ B A B sina+ sinb= sin cos A+ B A B sina sinb= cos sin A+ B A B cosa + cosb = cos cos A+ B A B cosa cosb= -sin sin f. sinacosb= sin( A+ B)+ sin( A B) cosasinb= sin( A+ B) sin( A B) cosasinb= cos( A+ B)+ cos( A B) sinasinb= - cos( A+ B) cos( A B) g. sin( ± y)= sincosy± cossiny cos( ± y)= coscosy± sinsiny tan± tany tan( ± y)= mtantany Contoh Soal. Banyaknya solusi dari persamaan sin + cos = 0 untuk -π < < π adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0 Kode 6) A. 0 B. C. D. E. sin + cos = 0 dipenuhi bila sin = 0dan cos = 0

104 sin = 0 sin = 0 sin = sin0 o = 0 + k 60 o = 80 + k 60 o k= 0 = 60 = 80 k o o o o o o o = - = -60 = -80 { - 80, 80 } cos = 0 cos = 0 cos = 0 cos = cos90 o =± 90 + k 60 o o o o k= 0 = 90 = -90 o o o o o k= = 50 = 70 { - 90, 90, 70 } Karena tidak ada irisan maka solsinya tidak ada o Jawaban: A. Jika sin t(csc t )( sin t sin t sin t +...) =, dengan π π < t, maka nilai dari cos t adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0 Kode 5) A. B. - C. - + D. - E. + sin t (csc t )( sint + sin t sin t +... = sin t sin t sint sin t = sint

105 maka = + sin t atau sin t = Karena t kuadran II maka sin t = > 0 sin t = I t maka cos t = - dengan cos t < 0 Jawaban: B. Untuk - π < < π, banyaknya nilai yang memenuhi persamaan = sin+ π cos 5 cos 6 adalah... A. B. C. D. E. 0 Bentuk cos+ sin= Acos θ A = + A = tanθ= = θ = π 6 = π Bentuk sin+ cos 5 cos 6 π Persamaan pada soal bisa dinyatakan cos 5 cos 6 6 = π π cos 5 6 =

106 Nilai - cos π 6 π maka untuk cos 5 6 = tidak ada nilai memenuhi Jawaban: E. cot 05 o. tan 5 o... (Soal SBMPTN Tahun 0) A B. 7+ C. 7 D. -7 E cot 05 o. tan 5 o = -tan 5 o o ( ) o = - tan 5 0 o o tan5 tan0 = - o o + tan5 tan0 - = - + = = - 6 = - = Nilai dari - o sin0 sin5 0) A. - B. - C. 0 D. E. o sec5 o cos0 o sin5 o Jawaban: A adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 5

107 o o o o o sin0 sin0 cos0 ( -sin5 sin0 )+ + = o o cos5 sin5 o o o o o o o cos5 5 + sin cos o o 5 sin cos cos cos sin5 = o o o o - cos5 + sin cos cos = o o o + + cos5 -cos5 + sin5 + o o o -sin0 sin5 + sin5 = o sin5 + sin5 o = Jawaban: E 6. Nilai sec 0 + sec 80 + sec 60 =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. B. C. 6 D. 8 E = o o o cos0 cos80 cos60 o o o o o cos60 cos 80 + cos60 cos0 + cos80 cos0 o o o cos0 cos80 cos60 o o o o o o o sin0 cos60 cos80 + cos60 cos0 + cos 80 cos 0 = o o o sin0 cos 0 cos80 cos60 o sin 0 o o o o o o cos0 + cos 80 + cos00 + cos0 + cos0 + cos 0 o sin 0 8 o o o cos80 cos 0 + cos 0 = o o o cos80 + cos0 cos 0 = o o o o o cos60 cos 0 cos 0 = cos0 cos 0 6 = o = o = Jawaban: C 6

108 7. Jika sin + cos = - 5 dan π < π, maka nilai sin adalah... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode 59) A. - 5 B C. D. E sin+ cos= - 5 ( sin+ cos) = 5 + sin = 5 sin = - 5 Jawaban: A 8. Jika sudut lancip ϕ dan θ memenuhi persamaan (cos ϕ + cos θ) + (sin ϕ sin θ) =, maka tan (ϕ + θ) =... (Soal UMB Tahun 0) A. - B. - C. - D. E. ( cosϕ+ cos θ) + ( sinϕ sinθ) = cos ϕ+ cos θ+ sin ϕ+ sin θ+ cosϕcos θ sinϕsinθ= + + cos( ϕ+ θ)= 7

109 cos( ϕ+ θ)= - ϕ+ θ=0 o maka tan (ϕ + θ) = tan 0 o = -tan 60 o = - Jawaban: A 9. Jumlah dari semua nilai sin dimana 0 < < 80 yang memenuhi cos sin cos + sin = adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. B. C D. 0 E. + 0 cos sin cos + sin = cos + sin sin cos + sin = sin cos + cos = - sin cos cos = 0 -cos ( sin + cos ) = 0 maka cos = 0 atau sin + cos = 0 tan + = 0 = π sin = tan = sin = 0 Jawaban: E 8

110 0. Selesaikan persamaan tan + sin = 0, untuk 0 < π adalah dan. Nilai + adalah... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode 659) A. π B. C. D. E. 5π π π π tan + sin = 0, 0 < π sin + sin = 0 cos sincos + sin = 0 cos cos + cos sin 0 cos = = sin cos + cos 0 cos sin ( cos ) ( cos + ) = 0 cos sin = 0 cos = - = 0 o (salah) = 80 o = 80 o (benar) cos = = 60 o (benar) nilai, yang memenuhi = 60 dan = 80 maka = = 0 o = π Jawaban: D 9

111 Latihan Soal. Diketahui sin A + sin B = dan cos a + cos B = Tahun 0) A. 5. Nilai cos (A B) =... (Soal SBMPTN B. C. D. E.. Nilai dari cos a. cos a. cos a... cos 05a dimana a= π 05 adalah... A. B. 05 C. 05 D. E Diberikan persamaan ( + tan o )( + tan o )... ( tan 5 o ) = n maka nilai n adalah... A. 0 B. C. D. 5 E. 90. Nilai dari ( cot )( cot ) adalah... A. B. C. 0

112 D. E Nilai dari sin0 o. sin 50 o. sin 70 o adalah... A. B. C. D. 8 6 E.

113 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI A. RINGKASAN MATERI Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan:. Buat pertidaksamaan dalam bentuk tunggal sin f() < c cos f() < c tan f() < c cari nilai yang memenuhi persamaannya lalu dibuatkan diagram tanda, dengan memperhatikan domain.. Buat pertidaksamaan dalam bentuk faktor, dengan ruas kanan nol, [sin f()] [cos g()] < 0 cari nilai yang memenuhi sin f() = 0 dan cos g() = 0 khusus untuk tan f(), maka f() 80n 90, dengan nilai n bilangan bulat, nilai dimasukkan ke dalam diagram tanda, dengan tetap memperhatikan domain.. Buat pertidaksamaan dalam bentuk pecahan tunggal dengan ruas kanan nol misal sin f cos g < 0 dengan syarat cos g() 0

114 cari pembuat nol dari sin f() dan cos g() kemudian ditempatkan pada diagram tanda. Contoh Soal. Nilai sin cos < 0, jika... (Soal SNMPTN Tahun 0) A. B. C. D. E. 7π 6 5π 6 5π 7 π 6 π < < < < < < < < < < 7 π 7π 6 0π 7 9π 6 5π sin cos < 0 cos ( 0 o ) < 0 cos ( 0 o ) < 0 cari pembuat nol cos ( 0 o ) = 0 cos ( 0 o ) = cos 90 o 0 o = + 90 o + k. 60 o untuk k = 0 = 0 = 0 k = = 570 = 90 membuat diagram tanda o 0 o 90 o 570 o diantara pilihan yang memenuhi hanya 5 π 6 < < 7π 6 Jawaban: B

115 . Semua nilai [0, π] yang memenuhi pertidaksamaan sin + tan < 0 adalah... (Soal SNMPTN Tahun 0 Kode 5) π π A. < < π π B. < < π atau < <π C. 0 < < π D. E. π π π < < atau < <π π π < < sin+ tan< 0 sin sin + < 0 cos cossin+ sin < 0 cos sin( cos+ ) < 0 cos mencari pembuat nol: i. sin = 0 = 0 + k. 60 = 80 + k. 60 untuk k = 0 = 0 = 80 k = = 60 ii. cos = 0 cos = cos 90 = ± 90 + k. 60 untuk k = 0 = 90 k = = 70 membuat diagram tanda pada garis bilangan 0 90 o 80 o 70 o 60 o uji dengan = 60 o maka diagram tanda menjadi

116 o 80 o 70 o 60 o maka himpunan penyelesaiannya π π < < π atau < <π Jawaban: B. Solusi dari pertidaksamaan berikut. sin > 0,5 tan >, 0 π adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 00 Kode 508) π π π 5π A. < < 6 < < 6 π 5π B. < < 6 6 π π C. < < π π D. < < 6 π 5π E. < < 6 Pertidaksamaan sin > 0,5 cari solusi sin = 0,5 sin = sin 0 = 0 + k. 60 = 50 + k. 60 untuk k = 0 = 0 = 50 k = tidak ada yang memenuhi diagram tanda 0 π 5π π 6 6 uji dengan = 90 o

117 didapat sin 90 = > 0,5, maka diagram tandanya menjadi + 0 π 6 π 5π Hp = < < 6 6 5π 6 Pertidaksamaan tan > mencari solusi tan =, tan = tan 5 = 5 + k. 80 untuk k = 0 = 5 = k = = 5 = membuat diagram tanda π 0 π π 5π π π uji = 60 o tan 60 o = > diagram tanda menjadi π 6 π 5π π π Hp = π π 5π π < < atau < < Solusi sistemnya 0 π 6 π π 5π 5π π 6 5π π π Hp = < < Jawaban: C 5

118 6. Himpunan penyelesaian dari sin sin + + π π untuk 0 π adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 00 Kode 605) A. 5 π π B. 0 π C. 0 π D. 0 5 π E. -π π 5 sin sin cos π π π π sin cos sin - π π π π cos cos π π cos cos Tidak memenuhi π π π cos cos, Jadi π π π π π π Jawaban: D

119 5. Untuk 0 π, maka himpunan penyelesaian dari tan sin SIMAK UI Tahun 009 Kode 965) cos adalah... (Soal A. π π π π π π π B. < < π < π π π C. < π < D. π π < π π < < E. π π < π π < < tansin> cos sin > 0 cos cos sin > 0 cos -cos > 0 cos cos < 0 cos cari pembuat nol pembilang dan penyebut: ) cos = 0 π cos =cos π =± + k π π =± + k π π untuk k = 0 = k = = π 7

120 ) cos = 0 π cos =cos π =± + k π untuk k = 0 = π membuat garis bilangan 0 π π π π uji = 60 o o cos 0 cos 60 <0 (negatif) o maka diagram tandanya π π π π solusi: π π π Hp = < π < Jawaban: C 6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (Soal SNMPTN Tahun 00 Kode 58) A. 0< θ π 6 B. 0 θ π 6 C. 0 <θ< π D. π π <θ 6 E. π <θ π 6 sinθ cos cosθ θ sinθ untuk 0< θ π adalah... 8

121 sinθ cos cos θ θ sin θ sin θ sin θ cos θ sin θ,cos θ>0 sin θ sin θ cos θ 0 sin θ 0 sin θ { } dipenuhi 0 θ π 6 Jawaban: B 7. Nilai-nilai, untuk 0 < < π yang memenuhi cos > sin adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) π π A. 0 < <, < < 8 π B. π 5π π 0 < <, < < 8 8 C. π π π 0 < <, < < D. E. π π 8 cos > sin cos > cos (90 ) = ±(90 ) + k. 60 (i) = (90 ) + k. 60 = 90 + k. 60 =,5 + k. 0 (ii) = k. 60 = k. 60 = -5 + k. 80 untuk k = 0 =,5 = π 8 =,5 = π 8 = π 9

122 maka bila kita cari diagram tandanya π 8 π 5π π 0 < <, < < 8 8 5π π 8 π Jawaban: B 8. Nilai-nilai, untuk 0 60 yang memenuhi sin + sin > sin adalah... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. 0 < < 0, 80 < < 0 B. 0 < < 50, 80 < < 70 C. 0 < < 80, 0 < < 60 D. 50 < < 80, 70 < < 60 E. 0 < < 5, 80 < < 70 sin + sin > sin sin sin sin < 0 cos sin cos sin < 0 sin (cos cos ) < 0 sin (cos cos ) < 0 sin (cos + )(cos ) < 0 sin = 0 atau cos = atau cos = dengan menyelesaikan persamaan di atas didapat = 0, = 0, = 80, = 0, = 60 membuat diagram tanda o 80 o 0 o 60 o Himpunan penyelesaian { 0 < < 0, 80 < < 0 } Jawaban: A 9. Solusi dari pertidaksamaan 5 + cos sin untuk 0 π adalah... A B atau 0 60 C. = 90 atau 0 0 0

123 D. < 90 atau 0 70 E cos sin 5 + ( sin ) sin 7 sin sin misal y = sin 7 y y bila y 7 y (y ) y + 6y 0 0 y + y 5 0 y atau y - 5 solusi di atas diiriskan dengan y didapat y bila y < 7 y -(y ) y 6y 0 y y 0 y - atau y diiriskan dengan y < didapatkan y - Jadi yang memenuhi pertidaksamaan sin dan sin - untuk sin yang bisa dipenuhi adalah sin = sehingga sin = sin = sin 90 = 90 + k. 60 k = 0 = 90 k = dst tidak memenuhi untuk sin - sin = sin -0 = -0 + k. 60 = 0 + k. 60

124 untuk k = 0 = 0 k = = 0 pada garis bilangan berlaku o 0 o 0 0 solusinya = 90 atau 0 0 Jawaban: C 0. Solusi dari pertidaksamaan sin 6 + cos 6 > dengan - π π adalah... 6 A. { -90 o -75 o -5 o 5 o 75 o 90 o } B. { -90 o < -75 o -5 o 5 o 75 o < 90 o } C. { -75 o -5 o 5 o 75 o } D. { -5 o -5 o } E. { 5 o 75 o } 6 6 sin + cos > 6 ( sin + cos ) ( sin sin cos + cos )> 6 ( ( sin + cos ) sin cos ) > 6 sin > 6 sin < 6 sin < cos < - cos < cos >

125 cos = cos = cos60 o =± 60 + k 60 o =± 5 + k 90 o o untuk k = - = -75 k = 0 = 5 = -5 k = = 75 berlaku pada garis bilangan o o -75 o -5 o 5 o 75 o 90 o { -90 o -75 o -5 o 5 o 75 o 90 o } solusi Jawaban: A Latihan Soal. Himpunan penyelesaian sin+ tan, 0 π adalah... π A. 0 < 8 π B. 0 < C. π 0 D. π π < π π E.. Himpunan penyelesaian dari 5 sin + sin > cos dengan 0 π adalah... π π π π A. 6 < 5 7 < 6 < < 6 B. π 7π π < < < < π 6 6

126 C. π 5π π π 6 < 7 < 6 < < 6 D. 0 < π 5 6 π 6 < < π 6 E. π π < < 6 6. Himpunan penyelesaian tan >, 0 80 adalah... A. 60 o < < 90 o B. 60 o < < 90 o 0 o < < 80 o C. 60 o < < 90 o 90 o < < 0 o D. 60 o < < 0 o 50 o < < 80 o E. 0 o < < 80 o. Himpunan penyelesaian sin + cos >, 0 π adalah... A. 0 < < π B. 0 < π C. π 0 D. 0 < < π E. π < < π 5. Himpunan penyelesaian dari sin+cos sin cos > A. 5 o < < 75 o 5 o < < 5 o B. 5 o < < 75 o 55 o < < 55 o C. 5 o < < 90 o 55 o < < 55 o D. 5 o < < 5 o 55 o < < 5 o E. 5 o < < 5 o, 0 π adalah...

127 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set LIMIT A. RINGKASAN MATERI a. Limit aljabar bentuk 0, diselesaikan dengan 0. Faktorisasi. Dalil L Hospital Lim f ( ) Lim f f a a g( ) = a g( ) = g ( a) b. Limit aljabar betuk, gunakan pembagian pangkat tertinggi sin c. Lim tan = Lim = 0 0 d. Rumus bantu bentuk limit trigonometri A cosa = sin cos= cos sin cos = sin π cos= sin tan+ tany tan( + y)= tantany

128 Contoh Soal cos. Lim 0 tan A. 0 B. C. D. E. cos Lim 0 tan... (Soal UM UGM Tahun 0) ( cos) + cos+ cos = Lim 0 tan () ( + + ) = = Jawaban: D +. Diketahui bahwa Lim f g g f terdefinisi. Nilai dari g(5) =... (Soal 5 f( ) ( 5) SIMAK UI Tahun 0) A. B. C. D. 0 E. - Lim f ( ) g ( ) g ( )+ f ( ) Lim g ( ) = f ( ) + f( ) 5 f ( 5 5 ) f( ) ( 5) = + Lim f g 5 f( ) ( 5) maka g(5) + = 0 g(5) = - Jawaban: E

129 . Lim 0 tansin =... (Soal SBMPTN Tahun 0) cos A. 0 B. C. D. 6 E. 6 atanb sin c a b c Lim = 0 cos n n Lim tan sin = cos 0 0 tan sin Lim cos = = 6 Jawaban: D sin cos+. Lim =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) 0 tan A. B. C. - D. - E. - sin cos+ Lim 0 tan sin + sin Lim Lim sin sin sin sin = + 0 tan 0 tan tan = + = Jawaban: A 5. Lim ( ) X X X =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. 0 B.

130 C. 0 D. 5 E. 5 Lim( ) = Lim X X X X X X X = Lim + X 5 5 Lim = 5 5 = 5 = + Jawaban: E 6. Lim =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. - B. - C. 0 D. E. Lim misal: p = - p - Lim p + 7 p p p - Lim p + 7 = - p p Jawaban: B 7. cos Lim X 0 π cot + =... (Soal SNMPTN Tahun 0) A. - B. 0 C.

131 D. E. cos Lim X 0 π = tan π cot + = Jawaban: C tana tan b 8. Lim a b a + a b a =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) tan tan b b A. b B. b C. -b D. - b E. tana tan b Lim a b a + a b a = Lim a b tan tan b b tana tan b Lim a + tana tan b b [ ] a b a b = 9. Jika Lim g 0 A. - B. - C. D. E. tan a-tan b ( + ) tan a b = Lim b a + tana tan b - a tan a tan b b b - = Lim b tan a b a b a b = -b, maka Lim g 0 =... (Soal SNMPTN Tahun 0) Jawaban: C 5

132 Lim g Lim g = 0 0 Lim g ( ) Lim 0 0 = = - - Jawaban: A 0. Jika diketahui Lim a sin + b =, maka nilai a dan b yang memenuhi adalah... (Soal 0 cos SIMAK UI Tahun 00) A. a =, b = 0 B. a =, b = C. a =, b = 0 D. a =, b = - E. a =, b = 0 Lim a sin + b = 0 cos a sin + b cos a b + 0 a= -, b= 0 Jawaban: A Latihan Soal sin cos. Lim 0 tan =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. B. C. - 6

133 D. - E. -. Lim + sin 0 =... (Soal UMB Tahun 0) tan A. 0 B. C. D. 5 E.. Untuk t > 0 maka Lim + t + t t t ( ) =... (Soal SIMAK UI Tahun 00) 0 A. - B. - C. 0 D. E. cos sin cos. Lim 0 A. B. C. D. 8 6 E. =... 7

134 5. Lim 0 tan sin =... A. B. C. D. 8

135 5 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 5 TURUNAN A. RINGKASAN MATERI df a. y = f() y = f ( )= d b. Turunan Aljabar. y = k y' = 0. y = k n y' = nk n dy ( + ) = = d Lim f h f h 0 h. y = k[f() n ] y' = nk[f()] n f'(). y = f() + g() y' = f'() + g'() 5. y = f(). g() y' = f'(). g() + f(). g'() f 6. y = g f ( ) g( ) f( ) g ( ) y = g c. Turunan Fungsi Trigonometri. y = sin y' = cos. y = cos y' = sin. y = tan y' = sec. y = sin f() y' = f'() cos f() 5. y = cos f() y' = f'() sin f() 6. y = tan f() y' = f'() sec f() 7. y = cot f() y' = f'() csc

136 Contoh Soal. Jika f() = dan g Lim f ( ) f = h h 0 h bersifat... (Soal UMB Tahun 0) A. tidak memotong sumbu Y B. ada di atas sumbu X C. menyinggung sumbu X D. memotong sumbu X di dua titik E. ada di bawah sumbu X g Lim f ( ) f = h h 0 h = f () = + 5, maka grafik fungsi y = (f g)() maka y = (f g)() = ( ) ( + 5) y = + memotong sumbu X di dua titik karena D > 0 Jawaban: D. Jika f() = cos, 0 < < π, memenuhi persamaan f() f () =, maka sin =... (Soal UMB Tahun 0) A. - B. - C. 0 D. E. f() = cos f() f'() = cos cos (-sin ) = (cos ) + sin cos = 0 cos + sin = 0 (kuadratkan!) cos + cos sin + sin sin + 0 sin = - Jawaban: A

137 . Diberikan f() = sin. Jika f () menyatakan turunan pertama dari f(), maka Lim f + f X h =... (Soal SIMAK UI Tahun 0) A. sin B. -cos C. cos D. sin E. -cos Lim f + f X h = f''() sehingga f() = sin f () = sin cos = sin f () = cos Jawaban: C. Diketahui fungsi f dan g dengan g() = f( + ). Jika diketahui bahwa g () =, maka f () nilainya adalah... (Soal SNMPTN Tahun 00) A. 0 B. C. D. E. 6 g() = f( + ) g () =. f ( + ), substitusi = g () =. f () =. f () f () = Jawaban: B 5. Diketahui fungsi y = a cos + b sin dan y adalah turunan kedua dari y. Jika y + y = sin cos, maka nilai a + b =... (Soal SIMAK UI Tahun 009) A. B. C. -

138 D. - E. - y = a cos + b sin y = a cos + a (-sin ) + b sin + b cos y = (b + a) cos (a b) sin maka y = b cos (b + a) sin [a sin + (a b) cos ] y = -(b + a) sin (a b) cos maka y + y = -a sin + b cos = sin cos kesimpulannya -a = dan b = a = - b = - maka a + b = - Jawaban: E 6. Jika f( + )= + dan f adalah turunan pertama fungsi f, maka f () =... (Soal SNMPTN Tahun 009) A. 9 B. C. D. E. 5 f( + )= + df ( + ) = + + d + f ( + )= + +, substitusi = + f = + f= f = Jawaban: B

139 7. Diketahui fungsi f dan g dengan nilai f() = f() = g () = g () = dan g() = g() = f () = f () dengan f dan g berturut-turut menyatakan turunan pertama fungsi f dan g. Jika h() = f(g()), maka nilai h () adalah... (Soal SNMPTN Tahun 009) A. 0 B. C. D. 6 E. 8 h() = f(g()) h () = f [g()]. g () suubstitusi = h () = f [g()]. g () h () = f (). =. = 8 Jawaban: E sin sin + sin 8. Diketahui f( )= cos cos + cos A. B. C. D. E. ( sin+ sin) sin f( )= ( cos+ cos) cos sincos sin = coscos cos sin cos = cos cos = tan π maka nilai dari f adalah... 6 f ( )= sec = cos π f o = cos = 6 0 Jawaban: E 5

140 9. Diketahui f() = + a + b + c, jika f() =, f () =, f (-) = 5, maka nilai a + b c adalah... A. 0 B. C. D. - E. - f() = () + a() + b() + c = a + b + c =... () f () = + a + b maka f () = () + a() + b = a + b = () f (-) = (-) + a(-) + b = 5 -a + b =... () () dan () dieliminasi, didapat a = -, b = - nilai a, b disubstitusi ke () didapat a + b c = Jawaban: C 0. Turunan dari y = cos + cos adalah... A. cosec B. cosec cotan C. cosec (cosec cotan ) D. cosec E. cotan Sederhanakan cos + cos = cos cos + cos cos 6 ( cos) = cos = cos sin = csc cot

141 maka y' = -csc. cot + csc y' = csc (csc cot ) Jawaban: C Latihan Soal. Suatu fungsi f() = h( + ), bila f () =, maka nilai dari h (0) adalah... A. B. C. D. E. 5. Diketahui f( )= L A. + maka f () adalah... B. C. D. E. ( + ) ( + ) ( +) - ( +). Diketahui fungs y = ( + )( + )( + )( 8 + )( 6 + ). Nilai dari f (0) adalah... A. - B. - C. 0 D. E. 7

142 . Bila f() = tan, maka nilai Lim f a f a 0 A. sec a B. -sec C. sec D. -sec E. -sec adalah Diketahui fungsi f() = sin + sin + sin5 + maka df A. sec (tan ) B. sec (tan + ) C. tan (sec + ) D. tan (sec ) E. tan ( sec ) adalah... d 8

143 6 TOP MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN LEVEL - XII SMA MATEMATIKA SET 6 TURUNAN RINGKASAN MATERI. Gradien garis singgung di titik (, y ) pada kurva y = f() m gs = f'( ). Fungsi Naik/Turun f() naik bila f'() > 0 f() turun bila f'() < 0 f() tidak naik bila f'() 0 f() tidak turun bila f'() 0. Maksimum/minimum fungsi f() maksimum di bila f'( ) = 0 dan f''( ) < 0 f() minimum di bila f'( ) = 0 dan f''( ) > 0. Titik belok fungsi (, y ) titik belok bila f''( ) = 0

144 CONTOH SOAL. Garis g menyinggung kurva y = di titik (, ). Jika garis g memotong sumbu di A dan memotong sumbu y di B, maka AB = (UMB 0) A. D. 5 B. E. 5 C. 5 Persamaan garis g : y = m + c di titik (, ) m= f () = + = + = y = + c melalui (, ) = () + c c = y = A - B AB = OA +OB AB = +(-) = 5 Jawaban: E. Jika kurva f() = a b + mempunyai titik ekstrem (, -5) maka kurva tersebut naik pada (UM UGM 0) A. { 0 atau } D. { - atau 0} B. { 0 atau } E. { - atau } C. { - atau 0}

145 f() = a b + f() = a b + = 5 a b = -6 a + b = () Titik ekstrem f'() = 0 f'() = a b = 0 = a() b() = 0 a = b Dari persamaan dan, didapat: A =, dan b = () Kurva naik f'() ( ) HP = { 0 atau } Jawaban: B. Diketahui f() = + +. Jika g() = f( ), maka kurva g naik pada selang (SBMPTN 0) A. - D. - 0 B. - E. - C. 0 f() = + + g() = f( ) g() = + ( ) + ( ) ( ) + g naik, jika g() 0 -( ) ( ) + 0 (-) ( ) + ( ) 0 ( + )( ) 0 (- + )(-) 0

146 Diagram tanda 0 Jawaban: C. Grafik fungsi f() = a + b c naik jika (SNMPTN 0) A. b ac < 0 dan a > 0 D. b ac < 0 dan a < 0 B. b ac < 0 dan a < 0 E. b ac < 0 dan a > 0 C. b ac > 0 dan a > 0 f() = a + b c f'() = a + b c > 0 (naik), f() naik f'() > 0 a + b c > 0 (definit positif) D < 0 a > 0 (b) (a)(c) > 0 a > 0 b ac > 0 b ac > 0 Jawaban: C 5 5. Dari semua garis singgung pada kurva y =, maka persamaan garis singgung +6 dengan kemiringan terkecil adalah (SIMAK UI 0) A. y 5 =0 D. y = B. 8y = E. y =7 C. y +5 =0 Maka, y' = -5 ( +6) -0 = - ( +6) Garis singgung minimum: y'' = =0 =0

147 + 6 = 0 = = + Buat diagram tanda Minimal di = -0 Maka m min = ( +6) y = y 5 = =- 5 = -5 y 0 =-5 y 0 =-5 +0 y +5 =0, dan Jawaban: C 6. Diketahui f( )= sin. Persamaan garis singgung di f yang melalui titik asal adalah (SNMPTN 0) A. = 0 D. y = - B. y = 0 E. Tidak ada C. y = f( )= sin di titik (0, 0) - m= f = sin + cos m= sin = 5

148 Tidak ada garis singgung Jawaban: E 7. y / y Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. Keliling kolam renang sama dengan satuan panjang. Agar luas kolam renang maksimum, maka = satuan panjang (SNMPTN 0) A. B. C. a π a π a + π D. E. a +π a + π Keliling = k = + y + π = a π+ + = y a y = a π + a y = π () Luas = L = y + π = a = y + π 8 Substitusi () pada () () L a = + π + π a 8 L = + + π π 8 L a = π 8 + Syarat L' = 0 6

149 a 8 + π =0 + π = a (π + ) = a = a π + Jawaban: E 8. Grafik y = f'() ditunjukkan pada gambar berikut. Pernyataan yang benar adalah (SNMPTN 0) A. Fungsi f mempunyai titik minimum (0, -) B. Fungsi f naik pada interval (0, ) C. Titik minimum lokal f terjadi di = - D. Fungsi f bernilai positif pada selang (-, -) E. Titik minimum lokal f terjadi di = Fungsi naik pada < - atau > Fungsi turun pada - < < Minimum di = Maksimum di = - Jawaban: E 9. Dalam sebuah bola padat yang berjari-jari cm dibuat kerucut tegak. Volume maksimum kerucut itu adalah A. 6 D. 8 B. E. 56 C. 6 7

150 Perhatikan irisan penampang bola C A O D B h Misal: Jari-jari kerucut adalah Tinggi kerucut adalah h Maka volume kerucut V = h Dari gambar di atas, diperoleh: OD = 9 h = + OD h = + 9 Maka: V = + 9 Syarat V ma : V' = = = =0 6 9 = = 6 (9 ) = = 0 ( 8) = 0 = Maka h=+ 9 = 8

151 V = h V = RCS : RCS =0 CS = CS = QR = PQ QR sin60 V = o o V = Jawaban: B 0. Sebuah karton berbentuk segitiga samasisi yang panjangnya 6 cm akan dibuat prisma segitiga beraturan tanpa tutup dengan memotong pojok-pojok nya. Agar memperoleh prisma yang mempunyai volume terbesar, maka ukuran tinggi prsma tersebut adalah A. B. D. E. C. Misal : SR = RCS RCS = 0 o tan 0 o = SR CS = CS CS = R C S BT = CS = Maka sisi alas prisma QR = 6 P Q T Luas alas = (PQ)(QR) sin 60o A B = (6 )(6 ). 9

152 = (6 ) Volume Prisma = Luas Alas Tinggi y = 6 a = +b 5 = 6 + Volume Prisma = Syarat V ma V = = 0 + =0 = 0 = = (Tidak memenuhi) = Jawaban: B 0

153 Latihan Soal. Diketahui f( )= +. Jika g( ) = f( ), maka kurva g naik pada selang 6 (SBMPTN 0) A. - D. - B. - E. - C Grafik fungsi f() = a b + c + 5 turun jika (SNMPTN 0) A. b ac < 0 dan a > 0 D. b ac < 0 dan a > 0 B. b ac < 0 dan a < 0 E. b ac < 0 dan a < 0 C. b ac > 0 dan a < 0. Pesegi panjang PQRS dibuat dengan ketentuan titik P dan Q terletak pada parabola y = +, titik R dan S terletak pada garis y = 6. Luas maksimum persegi panjang PQRS yang dapat dibentuk adalah satuan luas A. 7 Y y = + B. 8 S R y = 6 C. D. 69 E. 6 P Q X. Pada setengah lingkaran yang memiliki persamaan + y = a digambar sebuah persegi panjang (lihat gambar). Luas maksimum persegi panjang itu adalah A. a D. a B. a E. a C. a

154 5. Kurva y a = melalui titik (, ) dan gradien garis singgung di titik tersebut + b 5, maka nilai a + b adalah A. 8 D. B. E. C.

155 7 MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA SET 7 INTEGRAL RINGKASAN MATERI. F'() d = F() + c. Rumus Dasar Integral Aljabar a. a d = a + c b. a a n d = n+ + c, n n + c. a - d = a in + c. Rumus Dasar Integral Trigonometri a. sin d = -cos + c b. cos d = sin + c c. sec d = tan + c d. cosec d = -cotan + c e. sec. tan d = sec + c f. cosec. cotan d = -cosec + c

156 . Sifat Integral a. (f() + g()) d = f() d + g() g() b. af() d = a f() d c. f(). g() d = f() d. g() d 5. Integral Substitusi [f()] n f'() d = u n du di mana: u = f() dan du = f'() d 6. Rumus Bantu Trigonometri a. sin A. cos B = sin (A + B) + b. cos A. sin B = sin (A + B) c. cos A. cos B = cos (A + B) + d. sin A. sin B = - cos (A + B) + sin (A B) sin (A B) cos (A B) cos (A B) e. sin A = f. cos A = + cos A cos A 7. Integral Tentu =b =a b =b f d = f d = f = f b f a 8. Sifat Integral Tentu b a. f d =- f d a b a a b =a b. f d = f d + f d, a c b a c b c. f d = f u du a a b a b c

157 CONTOH SOAL. 0 A. B. C. + d =... + D. 5 7 E. 5 7 ( ) 0 + d d = + - ( + ) ( +) ( + ) d = = 0 ] ( ) = = = sin. cos ( ) d =... SBMPTN 0 A. sin ( ) + sin ( ) + C B. sin ( ) sin ( ) + C

158 C. -sin ( ) + sin ( ) + C D. -sin ( ) sin ( ) + C E. sin ( ) + sin ( ) + C sin. cos ( ) d = (cos [ + ( )] + cos [ ( )]) d = (cos [ ] + cos [ ]) d = sin( ) sin ( ) = -sin ( ) sin ( ) + C. Diketahui f( ) d = a + b + c f() =... (SNMPTN 0) A. + D. + B. + E. - + C. - f( ) d = a + b + c f( )= a + b Diketahui: f(a) = a+ b a a + b = + b a + b = a + b a a = 0 a (a ) = 0 a = 0 atau a = dan a 0. Jika f(a) = a+ b dan f(b) = 6, maka fungsi Sehingga f() = a + b

159 Diketahui: f(b) = 6 b + b = 6 b = Sehingga f() = +. + =... d (UMB 0) 8 A. D. 0 B. 6 E. 5 C d 8 = u -du = -u =-u u du - - ] 8 =-+ γ + = -[. 9. ] = 8 Misal: u = + - du = - - d d = -du 5. Jika f d =6, maka f( 5 ) d =... (SIMAK 00) A. 6 D. - B. E. -6 C. 0 f d f u du Ditanyakan : f 5 d Equivalen 5

160 = = f 5 d = u= = f u -du =- u= f( u) du Misal: u = 5 d du = -d d = -du = u = = u = = f( u) du f( ) d =- f( ) d = 6 b a a b 6. Diketahui f() =. Nilai f d =... (SNMPTN 00) A. 0 D. 0 B. E. C. f() =, untuk, untuk < 0 Ditanyakan: f d = = =0 d = = =0 =0 = d = d = ] 0 = 6

161 7. Jika 0 + d = a, maka =... + d (SNMPTN 00) 0 A. a D. a B. a E. a C. a 0 + d + d = d + 0 a + y = y 0 ] 0 = a 8. + d =... (SIMAK UI 009) A. + in + C D. + in + C B. + in + C E. + in + C C. + in + C + d = ( + ) d = + d = + d = + d = + du u = + in u + C = + in + C Misal: u = du = d du = d 9. (sin + sin + sin ) d adalah (SIMAK 009) A. D. sec + sin + C B. ctg + C E. cosec + C C. sec + C 7

162 Bentuk deret: sin + sin + sin Adalah deret geometri tak hingga dengan rasio sin, maka a sin + sin + sin = r sin = sin = sin cos = sec tan Maka: (sin + sin + sin ) d = sec tan d = sec + C 0. Hasil substitusi u = + pada +d adalah (SNMPTN 009) A. ( u ) u du D. ( u ) u du 0 0 B. u du E. ( u ) u du 0 C. u u du u = + = u du = d Bila = 0 u = = u = 0 +d = = + d =0 0 8 u= = u u= u du = u u du

163 Latihan Soal. + d =... - A. B. C. D. E d =... A. -ln + C D. ln + C B. +ln + C E. ln + + C C. +ln + C.. A. B. C. sin d 5 cos =... tan +cotan + C tan cotan + C ( tan ) +cotan + C D. E. cos +cos d =... + cos tan +cotan + C tan +cotan + C A. sin + + C D. - sin + C B. sin + C E. sin + + C C. - sin + + C 9

164 π 5. sin d =... 0 A. B. C. 6 π + 6 π + 6π D. 6π + E. 6π 0

165 8 TOP MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN LEVEL - XII SMA MATEMATIKA SET 8 INTEGRAL RINGKASAN MATERI. y y = f() Luas daerah b L f g d = a a b y = g(). b y = g(g) = f(g) Luas daerah b L f y g y dy = a a

166 . y y = f() Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu b V = π f g d a a b y = g(). b y = g(y) = f(y) Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu y b V = π f y g y dy a a Contoh Soal. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = dan y = adalah A. - + d D. - + d 0 0 B. - + d E d - ( ) - C d - 0 -

167 Diketahui fungsi y =, dimana:, 0 sketsa y = -, < 0 y Sketsa daerah 6 y y = Karena daerah simetris terhadap sumbu y, maka L= d 0-0 L= + d -. Diketahui lingkaran dengan jari-jari, sebagai mana diberikan dalam gambar di samping. Jika tali busur pada gambar berjarak dari garis tengah, maka luas daerah di bawah tali busur adalah A. π d D. π d 0 0 B. π d E. π d 0 ( ) 0 C. π d - 0 Ilustrasi grafik Persamaan lingkaran + y = y = A l B L arsiran = L lingkaran L y = a - a L arsiran = πr d 0 a = π d 0 = π d 0

168 Mencari absis B = = = Jawaban: D. Jika diketahui garis singgung parabola y = a + pada titik = membentuk sudut terhadap sumbu sebesar π arctan (6), maka luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9 dan parabola tersebut adalah (Simak 0) A. B. C y' = m gs = tan a a + = tan a a. + = tan ( π arctan (6)) 6a + = -tan (arctan (6)) 6a + = -6 a = - Batas daerah menjadi () y = - + () y = 9 D. E. 5 5 Substitusi = m = π arctan (6) y gab = y y = (- + ) (9 ) = a = -, b =, c = 8 D = b ac = (-)(8) = = 5 D D 5 5 L = = 6 a 6 - = 5 Jawaban: E

169 . Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =, =, dan y = c, c > 0 adalah satuan luas, maka jumlah semua bilangan c yang mungkin adalah (SIMAK 0) A. 5 D. 5 B. 5 E. 50 C. 5 Sketsa kemungkinan c c L y = c y = c c Luas L = dy = y y y = 9 c ] ( ) c c 8 9 =0 c c + 7 =0 ( )( ) c 6 c +7=0 c c 7 =0 c = c c = + c = 50 = 5 c = 7 c = 9 Jawaban: D 5. Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu y, kurva y = m dan garis y = a dimana h n diputar mengelilingi sumbu volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu y. Nilai a yang memenuhi adalah (SIMAK 0) 5

170 A. B. C D. E y = y = a a Volume diputar sumbu = Volume diputar sumbu y a a d = ydy 0 a 5 5 a a 0 a ] π = 0 y a = a a ] π 0 a = 5 8 Jawaban: A 6. Luas daerah di bawah y = - + 8, di atas y = 6, dan terletak dikuadran I adalah (SNMPTN 0) ( ) A d + d 0 B d d 0 6 C d d

171 6 8 6 D. 6 d d E. 6 d d 0 6 y y = y = 6 Luas yang diarsir 6 ( ) 0 = - +8 d d = - +8 d d Jawaban: B 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu, dan garis y = adalah (UMB 0) A. D. B. E. C. Rumus Cepat: y = - y = y t L = at - Maka Luas Daerah Arsiran L = L = 6 = 0 = Jawaban: B 7

172 8. Suatu daerah dibatasi oleh y = sin dan sumbu untuk 0 π diputar mengelilingi sumbu, maka volume yang terjadi adalah A. B. π D. π π E. π C. π π π V = sin d 0 o π π V = π d + cos 0 V = + sin ] π π 0 V = π Jawaban: B 9. Besar volume yang terjadi jika elips diputar mengelilingi sumbu adalah A. 0π D. 6π B. π E. 8π C. 6π - y y 9 + = V = π 9 - d = π d 9 0 = π ] 7 0 = π( ) = 6π Jawaban: C 8

173 0. Volume daerah yang dibatasi oleh y = in, = 0, y = 0, y = bila diputar terhadap sumbu y adalah A. B. C. π(e + ) D. π(e ) E. πe πe π y y = in y = in = e y y π V = e dy 0 = π e 0 y dy Catatan: e d = e + C in e = e in = e y ] π 0 = = πe π = π( e ) Latihan Soal. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = A. π D. π B. π E. π C. π dan sumbu adalah. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =, garis singgung kurva di (-, ) dan garis singgung di (, 9) adalah 9

174 A. B. C. 8 0 D. E.. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 5, y = 5, sumbu positif, dan garis = 0 adalah (SPMB 005) 5 A. 5 6 B. C. 6 D y y = 5 y = 5 = 0 E Volume benda berputar dari daerah yang dibatasi oleh y = 0 dan parabola y = 0 mengelilingi sumbu adalah A. B. C. 6 π D. 7 π E. 8 π 5. Volume benda putar dari daerah yang dibatasi y =, garis y =, = 0, = dan diputar terhadap sumbu y adalah 9 π 95 π A. B. C. 6 π D. 7 6 π 6 π E. 8 6 π 5 6 π 0

175 Dinyatakan: 0 - AC ACAB = = 0 AB 8 9 ACAB = = Jawaban: E. Soal SIMAK UI Tahun 0 Dalam segitiga ABC, AB = a, AC = b. Jika titik G adalah berat segitiga ABC maka =... A. ( 6 a+ b ) D. ( a+ b ) B. C. E. ( + ) a+ b a+ b PEMBAHASAN: b G C P AG = a b AP = ( AB BP + ) A Q B = AB + BC = AB + BA + AC = AB + AC = a+ b Jawaban: C. Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ. Jika panjang proyeksi u pada sama dengan tiga kali panjang v, maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah... 5

176 A. : cos θ D. cos θ : B. : cos θ E. : cos θ C. cos θ : PEMBAHASAN: Diketahui: uv = v u v v = v uvcos θ v = v u v = cos θ Jawaban: B 5. Soal SNMPTN Tahun 0 Jika u dan v adalah dua vektor satuan membentuk sudut 0 O, maka ( u + v ). v =... A. B. C. D. + + E. + - PEMBAHASAN: (u + v ). v = u. v + v. u = uvcos θ+ v =..cos 0 o + = + Jawaban: B 6

177 6. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui vektor u = (a,, ) dan v = (a, a, ). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. - D. B. 0 E. C. PEMBAHASAN: u. v = 0 u v a a - a = a a + = 0 (a ) = 0 a = Jawaban: C 7. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui vektor u = (, a +,) dan v = (a a,, 0) dengan < a <. Nilai maksimum u. v adalah... A. 7 D. B. 8 E. - C. PEMBAHASAN: a - a u v -a + 0 u. v = a a 9a + f(a) = a a 9a + fungsi maksimum: f'(a) = 0 a 6a 9 = 0 a a - = 0 (a a)(a + ) = 0 a = atau a = 7

178 + + Maksimum di a = maka, f(-) = 8 Jawaban: B 8. Soal SNMPTN Tahun 0 Vektor u= i+ bj+ ck tegak lurus vektor w= i- j+ k dan u = w, maka nilai b memenuhi... A. b b + 0 = 0 D. b + b + 0 = 0 B. b + b 0 = 0 E. b 0b 0 = 0 C. b b 0 = 0 PEMBAHASAN: Diketahui : u= b, w=, c apabila u w maka: u w=0 b = 0 c 8 b + c = 0 c = b-8 b 8 Diketahui: u = w + b + c = b + c = b + c = 68 b = 5 c b-8 b = 5 b b+ 6 b = 5 9 8

179 9b = 68 b + b 6 b b 0 = 0 Jawaban: C 9. Soal SIMAK Tahun 00 Diketahui vektor-vektor a = (,, z), b = ( 8, y, 5), c = (, y, ), dan d = (, z, 8). Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b, dan vektor c sejajar dengan d, maka (y + z) =... A. 5 D. B. E. 5 C. PEMBAHASAN: a b a b= 0-8 y = 0 z -5 6 y 5z = 0 y 5z = 6...() c // d c = k d 6 k =, maka: y = ( z) 8y + z =...() Mencari y dan z dengan melakukan eliminasi persamaan () dan () () 8y 0z = 6 () 8y + z = z = z = Substitusi balik, didapatkan y = Maka nilai y + z = Jawaban: C 9

180 0. Diketahui a = dan b =, dan vektor c merupakan proyeksi orthogonal 6 vektor a terhadap b. Jika vektor d = memiliki panjang yang sama dengan vektor c, maka nilai dari adalah... A. B. C. 7 9 PEMBAHASAN: d = c d = ab + + = = = = D. E. 9 9 = 9 9 = ± = ± 9 9 Jawaban: C LATIHAN SOAL. Soal SBMPTN Tahun 0 Diketahui A (, 0, 0), B (0, -, 0), dan C ( 0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi AC ke vektor AB adalah... 0

181 A. 5 D. B. E. C.. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ. Jika panjang proyeksi u pada v sama dengan dua kali panjang v, maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah... A. : cos θ D. : cos θ B. : cos θ E. cos θ : C. cos θ :. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui vektor u = (a,, a) dan v = (, 7a, 9) dengan 0 < a < 8. Nilai maksimum u. v adalah... A. 08 D. 6 B. 7 E. C. 5. Soal SNMPTN Tahun 00 Diketahui a, b, dan c vektor dalam dimensi. Jika a b, dan a ( a + c ), maka a.( b c ) =... A. D. 0 B. E. C. 5. Soal UMB Tahun 009 Jika vektor a dan b memenuhi ( a + b ). b =, a =, dan b =, maka sudut antara a dan b adalah... A. 60 o D. 5 o B. 0 o E. 60 o C. 0 o

182

183 0 MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set 0 Dimensi : Jarak dan Sudut A. ringkasan materi a. Jarak titik ke titik adalah ruas garis yang menghubungkan titik A dan B. b. Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang memotong garis tersebut (garis tinggi). A jarak AA A garis c. Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis yang memotong bidang secara tegak lurus. A jarak bidang

184 d. Sudut antara garis dengan garis adalah sudut terkecil pada perpotongan garis tersebut. g α h e. Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan proyeksi garis tersebut pada bidang. p α o ν p proyeksi op pada bidang ν f. Sudut antara bidang dengan bidang adalah sudut pada garis/titik pertemuan dua bidang tersebut yang terbentuk oleh bidang ketiga yang tegak lurus pada dua bidang tersebut. bidang bidang α garis pertemuan bidang

185 g. Rumus Bantu Segitiga. Segitiga siku-siku C AB. BC = AC. BD D B A. Segitiga Sama Kaki A B Garis tinggi AA = garis benar (AB = AC) Garis tinggi BB garis benar ( BA BC) Berlaku BC AA = AC BB B A. Segitiga Sama Sisi C S t t L = = S sin 60 o S. Segitiga Sembarang S C b a A C C B Gunakan segitiga cosinus untuk mencari CC

186 Cos B = a + c b ac Cari sin B CC = a sin B Cos A = b + c a bc Cari sin A CC = b sin A CONTOH SOAL. Soal SBMPTN Tahun 0 Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai sisi cm. Titik P adalah titik tengah CD, titik Q adalah titik tengah EH, dan titik R adalah titik tengah BF. Jarak P ke QR adalah... A. 5 D. 5 B. E. C. 6 PEMBAHASAN: E Q z + H P F G Mencari panjang QR: QR = QE + EF + FR QR = + + QR = = 6 yr A D P B R C + PQ = QH + HD + DP PQ = + + = 6 PR = RB + BC + CP PR = +6 + = 6

187 QPR segitiga sama sisi P Jarak P ke QR = PP PP = PQ sin 60 o = 6 = 8 = a 60 O P R Jawaban: B. Soal SNMPTN Tahun 0 Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 6 dan TA = TB = TC = 5. Jarak titik T ke bidang ABC adalah... A. 8 D. 5 B. E. C. PEMBAHASAN: T Jarak T ke bidang ABC (t) AP = AB BP A S t C o 6 P B AP = 6 - = AO = AP = TO = t = AT AO t = S - = Jawaban: B. Soal SIMAK UI Tahun 00 Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut merupakan pusat bidang EFGH dan ABCD. Jarak antar garis QF dengan DP adalah... A. D. B. E. C. 5

188 PEMBAHASAN: H P E F G Perhatikan bidang diagonal BDHF! H P F D A 6 Q B C D Q B Jarak DF dan QF adalah: BF = 6 = Jawaban: B. Soal SNMPTN Tahun 0 Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak di tengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah... A. t s D. t s B. t + s E. t + s C. t + s PEMBAHASAN: D G t E F DG = S sin 60 o DG = S AG = AD + DG A S 60 o C AG = t + S B AG = t + S AG = t + S Jawaban: B 6

189 5. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG sehingga HG = GP, maka jarak titik G ke garis AP adalah... A. a 6 6 a D. B. a E. a 6 C. a 6 PEMBAHASAN: E A H D a F B G C G' P Jarak G ke AP (GG ) GP = a AP = AH + HP + AP = a a AP = a 6 L AGP =. AH. GP =. AP. GG' a. a = a 6 GG' GG' = = a 6 a Jawaban: D 6. Soal SIMAK Tahun 0 Diberikan bidang empat ABCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika BD = BD = cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan... A. B. C. π 6 π π D. E. π π 7

190 PEMBAHASAN: A ACD, BCD = AP, PB = α BCD = 5 O BP = BC Sin 5 O a B a a α C P D BP = a. BP = a tan α = α = a a = π Jawaban: B 7. Soal SIMAK UI Tahun 0 Diberikan prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan BE = AC. Titik P dan Q adalah titik pusat sisi ADEB dan CFEB. Tititk R adalah titik pusat sisi ABC dan titik S adalah titik tengah rusuk CF. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara garis PQ dan garis RS, maka nilai cos α adalah... A. B. C. D. E. PEMBAHASAN: D F PO, SR = ST, SR CM = CB BM A P M E a a R Q S C CM = a a CM = a CM = a CM = a B 8

191 SR = SC + CR SR = SC + CM SR = a + a SR = a cosα= a a = Jawaban: D 8. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui limas TABC dengan TA tegak lurus bidang ABC, panjang rusuk AB, AC, BC dan TA berturut-turut adalah cm, cm, 5 cm, dan 9 5 cm. Jika ϕ merupakan sudut antara bidang BCT dengan bidang ABC, maka nilai cos ϕ adalah... A. B. C PEMBAHASAN: T D. E C A P B 9

192 Perhatikan TAP! C 5 Berlaku BC AP = AB AC 5 AP = AP = 5 A B T TP = 5 5 = (Triple Pythagoras) 9 5 A 5 5 ν P Maka sin ϕ = = AT TP 9 5 = 5 Jawaban: A 9. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui limas segitiga beraturan R.ABC dengan panjang rusuk 0 cm. Jika sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah α, maka nilai sin α adalah... A. B. C. D. E. PEMBAHASAN: TM = MC = 0 5 = 5 B 0 S M α 0 t B B MO = MC = 5 TO = TM MO = 75 5 = 0 6 0

193 sin α = 0 6 TO TM = 5 = Jawaban: C 0. Soal SIMAK UI Tahun 00 Pada kubus ABCD.EFGH, titik K terletak pada rusuk GH, sehingga HK : GH = :. Titik M terletak pada rusuk EF sehingga EM : MF = :. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara irisan bidang yang melalui titik A, C, K, dan irisan bidang yang melalui A, C, M, maka nilai dari cos α adalah... A. B. C D E PEMBAHASAN: H k G P N Q E M F C B D D A Perhatikan persegi EFGH, misal EH = G F N FQ = FM sin 5 Q K = 8. P = M HP = HL sin 5 H L E = 6. =

194 PQ = HF (HP + FQ) = ( + ) = 5 Perhatikan Bidang BDHF! H P 5 Q F D T α θ γ R S B tan θ = tan γ = α + θ + γ = 80 o α = 80 o ( θ + γ ) tan α = tan ( θ + γ ) tan α = tanα+ tan γ = tanθtan γ = + 5 ( de) sa 5 9 α Maka: cos α= = Jawaban: C LATIHAN SOAL. Soal SNMPTN Tahun 0 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm. Titik M berada di tengah ruas garis EH. Titik N berada di tengah ruas garis EF. Jarak titik E ke bidang MNA adalah...

195 A. D. B. C. E.. Soal SIMAK UI Tahun 00 Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku ABC.DEF dengan alas ABC siku-siku di B. Panjang rusuk tegak prisma satuan, panjang AB = panjang BC = satuan. Maka jarak A ke EF adalah... satuan A. D. 6 B. E. 6 C.. Soal SNMPTN Tahun 009 Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik tengah sisi AB, BF, dan FG diberi simbol X, Y, dan Z. Besar YXZ adalah... A. 5 o D. 60 o B. 0 o E. 90 o C. 5 o. Pada suatu kubus PQRS.TUVW sudut antara garis PW dan bidang diagonal QUWS sama degan... A. 75 o D. 0 o B. 60 o E. 5 o C. 5 o 5. Besarnya cotangent sudut BEG dan ABGH pada kubus ABCD.EFGH adalah... A. D. 6 B. E. C. 5

196

197 MATERI DAN LATIHAN SBMPTN TOP LEVEL - XII SMA MATEMATIKA Set Dimensi : Luas dan Volume A. Ringkasan Materi a. Bidang iris adalah bidang datar yang membagi bangun ruang menjadi bagian. bagian bidang iris bagian b. Untuk membentuk bidang iris minimal dibutuhkan titik. c. Langkah membentuk bidang iris:. Hubungkan semua titik yang terletak pada bidang yang sama. H G E Q D F P C A B