Interval Kepercayaan Skewness dan Kurtosis Menggunakan Bootstrap pada Data Kekuatan Gempa Bumi

Transkripsi

1 Interval Kepercayaan Skewness dan Kurtosis Menggunakan ootstrap pada Data Kekuatan Gempa umi Hardianti Hafid, Anisa, Anna Islamiyati Program Studi Statistia, FMIPA, Universitas Hasanuddin Gempa bumi yang terjadi di Indonesia dengan ukuran kekuatan gempa lebih dari skala richter merupakan salah satu peristiwa yang datanya tersedia sedikit sehingga dapat digunakan metode bootstrap untuk menganalisis lebar interval kepercayaannya. Metode bootstrap pada dasarnya adalah melakukan pengambilan sampel (resampling) dengan pengembalian dari sampel hasil observasi. Data kekuatan gempa yang akan dianalisis dalam penelitian ini adalah data dari adan Meteorologi Klimatalogi dan Geofisika (MKG) pada bulan Januari sampai Maret 0. Dari data baru yang diperoleh dari hasil bootstrap akan digunakan dalam perhitungan interval kepercayaan skewness dan kurtosis. erdasarkan perbandingan hasil lebar interval kepercayaan kekuatan gempa bumi yang terjadi di Indonesia menggunakan metode bootstrap pada perhitungan statistik skewness dan kurtosis dengan =,00,, dan 00 diperoleh bahwa untuk ukuran sampel yang lebih besar, interval kepercayaan yang dimiliki skewness dan kurtosis lebih baik dibandingkan dengan interval kepercayaan dengan ukuran sampel yang kecil karena memiliki lebar interval kepercayaan yang lebih pendek. Kata kunci : ootstrap, Skewness, Kurtosis, Interval Kepercayaan, Gempa umi. Pendahuluan Datangnya bencana tidak dapat dihindari atau ditolak, melainkan resiko bencananya diusahakan untuk dapat diperkecil. Diantara bencana alam yang dialami manusia adalah gempa bumi, gempa yang terjadi biasanya diikuti dengan bencana sekunder, bencana inilah yang mengakibatkan kerusakan dan kerugian baik materi maupun non materi (Nugroho, 009). Gempa bumi dengan ukuran kekuatan gempa lebih besar dari skala richter yang terjadi di Indonesia pada bulan Januari sampai dengan Maret 0 merupakan salah satu peristiwa yang datanya tersedia sedikit. Konsep yang dapat digunakan dalam analisis data ini adalah metode bootstrap yang dikenal dengan metode resampel (Efron dalam Saraswati, 009). Tugas akhir ini membahas mengenai resampling metode bootstrap yang akan menghasilkan sampel baru dan digunakan dalam perhitungan lebar interval kepercayan skewness dan kurtosis.. Tinjauan Pustaka. Metode ootstrap Metode bootstrap pertama kali diperkenalkan oleh radley Efron pada tahun. Nama bootstrap sendiri diambil dari sebuah frase Pull up by your own bootstrap, yang artinya bergantunglah pada sumbermu sendiri. Dalam hal ini metode bootstrap bergantung pada sampel yang merupakan satu-satunya sumber yang dimiliki oleh seorang peneliti (Efron, 3). Pada penggunaannya, metode bootstrap harus dilakukan dengan bantuan komputer karena melibatkan perhitungan yang sangat banyak. Software software statistik belum ada yang memberikan paket resampling bootstrap secara langsung, sehingga metode ini masih jarang digunakan oleh peneliti (J. Shao dan D.Tu, ).

2 . Fungsi Distribusi Empiris Didefinisikan suatu parameter θ dan diestimasi dengan θ = x, jelas bahwa kuantitas ini diketahui karena data x, x,..., x n telah diobservasi. Sedangkan masalah bootstrap meniru masalah real tetapi distribusi F(x) diganti dengan fungsi distribusi empiris F n (x) dan parameternya didefinisikan melalui fungsi distribusi empiris. F n (x) = {xi x, i n} ; untuk < x <. n Lebih lanjut disimulasikan dalam jumlah yang sama observasi independen dari Fn(x) dapat dinyatakan sebagai sampel bootstrap, x, x,... x n dengan x F n (x) Sampel bootstrap didefinisikan sebagai sampel acak berukuran n yang diambil dari F n (x) pengembalian. Jadi bila terdapat sampel acak berukuran n akan diperoleh kemungkinan sampel bootstrap sebanyak n n, dari tiap sampel bootstrap ini dapat ditentukan θ. Seluruh kemungkinan sampel ini dinamakan jumlah sampel bootstrap ideal (Rahayu, 00)..3 Distribusi Normal Distribusi normal adalah distribusi dengan variabel acak kontinu atau sering disebut distribusi Gauss. Misalkan X, X,..., Xn, adalah sampel acak dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ. Fungsi kepadatan peluang untuk distribusi normal tersebut adalah sebagai berikut. f(x i μ, σ ) = { πσ e σ (x i μ), x i > 0, α > 0, β > 0 0, lainnya Jika data tidak mengikuti distribusi normal, salah satu pengujian yang bisa dilakukan untuk mengetahui distribusi datanya adalah adalah uji Anderson Darling. Uji Anderson Darling. Rumus dari uji Anderson Darling adalah sebagai berikut: A = n n ( n i= i )[ln F (t i ) + ln( F(t n+ i ))], dimana: A = statistik uji untuk metode Anderson Darling n = ukuran sampel F = fungsi distribusi kumulatif dari distribusi tertentu ti = waktu survival Hipotesis: Ho = data mengikuti distribusi tertentu H = data tidak mengikuti distribusi tertentu Suatu data dikatakan mengikuti suatu distribusi tertentu jika nilai Anderson Darling yang diperoleh adalah yang terkecil dibandingkan dengan nilai Anderson Darling pada distribusi yang lain, dan nilai p-value lebih besar dari 0,00. Jika p-value lebih kecil dari 0,0 maka tolak hipotesa awal (Ho).

3 . Pembentukan Resampling ootstrap Langkah-langkah dalam prosedur bootstrap adalah sebagai berikut:. Membangun distribusi empiris F n(x) dari suatu sampel dengan menempatkan probabilitas pada setiap xi dengan i =,,, n. n. Mengambil sampel random sederhana berukuran n dengan pengembalian dari fungsi distribusi empiris F n(x) sebanyak. Hal ini dinamakan sebagai resampel dan disebut x b. Menurut Efron dan Tibshirani (3), jumlah ulangan yang dinotasikan dengan pada resampel bootstrap berkisar diantara nilai Menghitung statistik θ yang diinginkan dari resampel yang disebut θ b Sebanyak.. Membentuk distribusi empiris dari θ b, dengan probabilitas masing-masing pada setiap θ, θ,..., θ n. Distribusi ini adalah estimator distribusi θ yang disebut F (θ ). Jika θ merupakan mean (rata-rata) hasil resampel, maka dapat ditentukan ratarata dan variansi bootstrapnya yaitu (Saraswati, 009) = θ. Skewness dan Kurtosis.. Kemencengan (skewness) i= θ i dan V = (θ i ) θ i= Kemencengan (skewness) merupakan derajat ketidaksimetrisan atau dapat juga didefinisikan sebgai penyimpangan kesimetrisan dari suatu distribusi. Jika suatu kurva frekuensi dari suatu distribusi memiliki ekor kurva yang lebih panjang ke arah sisi kanan dibandingkan ke arah sisi kiri dari nilai maksimum tengah, maka distribusi ini dikenal dengan nama distribusi miring ke kanan, atau memiliki kemencengan positif. Untuk kondisi kebalikannya, distribusinya dikenal sebagai distribusi miring ke kiri atau memiliki kemencengan negatif (Spiegel, 00). Untuk mengetahui derajat tak simetri sebuah model, digunakan ukuran koefisien skewness. Salah satu ukuran skewness lain yang penting menggunakan momen ketiga di sekitar nilai mean yang dinyatakan sebagai berikut α3= (X i X ) 3 ns 3, Ukuran skewness juga sering dinyatakan oleh persamaan β = a 3. Ukuran kurva simetris sempurna, seperti misalnya kurva normal a 3 dan β masing-masing sama dengan nol... Keruncingan (Kurtosis) Kurtosis adalah derajat ketinggian puncak atau keruncingan suatu distribusi. Sebuah distribusi yang mempunyai puncak yang relatif tinggi disebut leptokurtik, sementara kurva yang memiliki puncak datar atau rata diebut

4 platikurtik sedangkan kurva dengan puncak yang tidak terlalu runcing ataupun terlalu datar disebut mesokurtik. Ukuran yang digunakan untuk menyatakan keruncingan kurva distribusi atau kurtosis ini menggunakan momen keempat di sekitar nilai mean yang dinyatakan sebagai berikut: α = (X i X ) ns dimana α = momen keempat di sekitar nilai mean. Ukuran kurtosis juga sering dinyatakan sebagai β = a. (Spiegel, 00). Interval Kepercayaan Skewness dan Kurtosis Interval kepercayaan 9% skewness didefinisikan sebagai berikut: 9% C.I = statistik skewness ±,9 x Standar Error (SE) skewness. Dimana Standar Error (SE) skewness dirumuskan sebagai berikut: n(n ) SES = (n )(n+)(n+3) Sedangkan Interval kepercayaan 9% kurtosis didefinisikan sebagai berikut: 9% C.I = statistik kurtosis ±,9 x Standar Error (SE) kurtosis. (rown, S., 008) SEK = SES n (n 3)(n+) 3. Metodologi Penelitian 3. Sumber Data Data yang digunakan adalah data sekunder yaitu data kekuatan gempa bumi yang diambil langsung dari website adan Meteorologi Klimatalogi dan Geofisika (MKG) Indonesia ulan Januari sampai dengan Maret 0 di 3. Identifikasi Variabel Variabel yang digunakan dalam penelitian ini yaitu: X = Magnitude yaitu kekuatan gempa bumi (dalam Skala Richter) dengan skala kekuatan gempa lebih besar dari skala Richter. 3.3 Metode Analisis. Melakukan pengecekan pada data awal menggunakan uji kolmogorov smirnov. Setelah itu, melakukan resampling menggunakan metode bootstrap.. Metode ootstrap Langkah-langkah resampling bootstrap sebagai berikut: a. Mengambil sampel bootstrap berukuran n secara acak dengan pengembalian dari distribusi empiris F n disebut sebagai sampel bootstrap pertama X sampai dengan X i b. Menghitung statistik θ yang diinginkan dari sampel bootstrap X i disebut θ i c. Mengulangi langkah a dan b sebanyak kali sehingga diperoleh θ, θ,... θ

5 d. Mengkonstruksikan suatu distribusi peluang dari θ dengan memberikan peluang pada setiap θ, θ,... θ n. Distribusi tersebut merupakan n penduga bootstrap untuk distribusi sampling θ dan dinotasikan dengan F e. Pendekatan estimasi bootstrap untuk mean dari distribusi F yaitu θ = i= θ i Sehingga diperoleh hasil resampling bootstrap. 3. Menghitung masing-masing lebar interval berdasarkan statistik skewness dan kurtosisnya dengan koefisien kepercayaan 9 %.. Hasil dan Pembahasan.. Hasil Resampling dengan ootstrap Dari resampling bootstrap untuk =, 00,, dan 00 yang dilakukan, diperoleh data hasil resampling yang dapat digunakan dalam menghitung nilai ratarata, variansi dan deviasi standar. Sehingga diperoleh rata-rata (θ ), variansi (V ) dan deviasi standar (SD) bootstrap sebagai berikut: Tabel. Rata-Rata, Variansi, dan Deviasi Standar Menggunakan Metode ootstrap Rata-Rata (θ ) Variansi (V ) Deviasi standar (SD),380 0,00 0,08 00,3 0,008 0,033,33 0,00 0,088 00,3 0,08 0,808 erdasarkan pengujian uji normalitas pada =, 00, dan 00 melalui uji Kolmogorov-Smirnov diperoleh nilai sig dari variabel prediktor yaitu 0,000 < α = 0,0, berarti data tidak berdistribusi normal. Karena data tidak berdistribusi normal, maka dilakukan uji lanjutan yaitu uji Anderson Darling sehingga diperoleh perbandingan plot distribusi data dari distribusi normal, eksponensial, weibull, dan gamma. Dari keempat distribusi ini akan dilihat distribusi mana yang mendasari data, caranya adalah dengan melihat nilai Anderson-Darling dan nilai p-value. Suatu data dikatakan mengikuti distribusi tertentu jika nilai Anderson-Darling yang diperoleh adalah yang terkecil dibandingkan dengan nilai Anderson-Darling pada distribusi yang lain dan nilai p-value lebih kecil dari 0,0. Normal - 9% C I Probability Plot for C Exponential - 9% C I Goodness of Fit Test Normal - 9% C I Probability Plot for C Exponential - 9% C I Goodness of Fit Test 0 0 Normal A D = 98,38 Exponential A D = 93,8 P-Value < 0, Normal A D = 93, Exponential A D = 83,0 P-Value < 0,003 0,0 C Weibull - 9% C I 0,0 0,00 0,0 0, C Gamma - 9% C I 0 00 Weibull A D = 9, P-Value < 0,00 Gamma A D =,80 0,0 C Weibull - 9% C I 0,0 0,00 0,0 0, 0 C Gamma - 9% C I 00 Weibull A D = 9, P-Value < 0,00 Gamma A D =, ,0 C 0,0 C 0,0 C 0,0 C Gambar. Perbandingan Plot untuk = Gambar. Perbandingan Plot untuk =00

6 Normal - 9% C I Probability Plot for C3 Exponential - 9% C I Goodness of Fit Test Normal - 9% C I Probability Plot for C Exponential - 9% C I Goodness of Fit Test 0 0,0 0 C3 Weibull - 9% C I 0 0,0 0 0,00 0,0 0, 0 C3 Gamma - 9% C I 00 Normal A D = 80,3 Exponential A D =, P-Value < 0,003 Weibull A D = 9,0 P-Value < 0,00 Gamma A D =,3 0 0,0 0 C Weibull - 9% C I 0 0,0 0 0,00 0,0 0, 0 C Gamma - 9% C I 00 Normal A D = 38,3 Exponential A D = 3, P-Value < 0,003 Weibull A D =,9 P-Value < 0,00 Gamma A D = 338,9 0,0 C3 0,0 C3 0,0 C 0,0 C Gambar.3 Perbandingan Plot untuk = Gambar. Perbandingan Plot untuk =00 Dari keterangan gambar dan plot yang diperoleh seperti pada Gambar.,.,.3, dan. menunjukkan bahwa nilai Anderson-Darling untuk =, 00,, dan 00 paling kecil terdapat pada plot (d) distribusi gamma tetapi nilai p- value lebih kecil dari 0,0 maka tolak hipotesa awal (Ho) sehingga data tidak mengikuti distribusi tertentu.. Skewness dan Kurtosis ootstrap Nilai-nilai yang diperoleh dari perhitungan interval kepercayaan skewness dan kurtosis dapat dilihat pada Tabel. di bawah ini: Tabel. Interval Kepercayaan Skewness dan Kurtosis Menggunakan ootstrap Interval Skewness () A Interval -,,3,8 00 -,0,9 8,9 38,080 39,,0 00,38,3 0,0033 Interval Kurtosis () A Interval 8,09,98,9 00 3,38,33,98 03,38 03,3 0, ,0039 0, ,0098 Pada Tabel. dipresentasikan lebar interval skewness dan kurtosis menggunakan bootstrap dari berbagai ukuran =, 00,, dan 00. Terlihat bahwa untuk berbagai ukuran sampel diperoleh lebar interval kepercayaan yang lebih pendek pada ukuran sampel yang lebih besar yaitu untuk = diperoleh lebar interval skewness=,8 dan lebar interval kurtosis=,9, untuk =00 diperoleh lebar interval skewness= 8,9 dan lebar interval kurtosis=,98, untuk = diperoleh lebar interval skewness=,0 dan lebar interval kurtosis=

7 0,003, untuk =00 diperoleh lebar interval skewness= 0,0033 dan lebar interval kurtosis= 0,0098. Semakin pendek lebar interval, maka semakin baik interval kepercayaan yang dimiliki oleh data. Sehingga untuk ukuran sampel yang lebih besar, interval kepercayaan yang dimiliki skewness dan kurtosis lebih baik.. Kesimpulan dan Saran. Kesimpulan. Data kekuatan gempa bumi, dapat dilakukan analisis mengenai lebar interval kepercayaannya untuk berbagai ukuran sampel yaitu =, =00, = dan =00. erdasarkan data analisis lebar interval kepercayaan skewness pada data kekuatan gempa bumi yang terjadi di Indonesia menggunakan metode bootstrap diperoleh bahwa untuk ukuran sampel yang lebih besar, interval kepercayaan yang dimiliki skewness lebih baik dibandingkan dengan interval kepercayaan dengan ukuran sampel yang kecil karena memiliki lebar interval kepercayaan yang lebih pendek.. Lebar interval kepercayaan kurtosis pada data kekuatan gempa bumi yang terjadi di Indonesia menggunakan metode bootstrap diperoleh bahwa untuk ukuran sampel yang lebih besar, interval kepercayaan yang dimiliki skewness lebih baik dibandingkan dengan interval kepercayaan dengan ukuran sampel yang kecil karena memiliki lebar interval kepercayaan yang lebih pendek.. Saran. Pada penelitian ini hanya terbatas pada penggunaan analisis univariat sehingga perlu dilanjutkan dengan penggunaan analisis multivariat.. Pada penelitian ini hanya terbatas pada skala kekuatan gempa yang lebih besar dari skala richter sehingga perlu dilanjutkan dengan skala kekuatan yang lebih besar lagi. 3. Penelitian perlu dilanjutkan pada penggunaan metode bootstrap dengan data kebencanaan lainnya di Indonesia misalnya tsunami dan gunung meletus. DAFTAR PUSTAKA Ankarali, H., Cananyazici, A., Ankarali, S A bootstrap Confidence Interval for Skewness and Kurtosis and Properties of t-test in Small Sample from Normal Distribution, Presented at the XI. National Congress of iostatistics, May -30, 008, Malatya, Turkey. Atinri,O., Hazmira,Y., dan Yudiantri, A. 00. Penentuan Ukuran Contoh Dan Replikasi ootstrap Untuk Menduga Model Regres Linier Sederhana. Jurnal Matematika Unand Vol. 3 No. Hal. 3, Issn : Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Andalas rown, S Measures of Shape: Skewness and Kurtosis.pdf. Oak Road Systems Efron,. and Tibshirani, R. 3. An introduction to the bootstrap. New York: Chapman & Hall. Fauzy, A. 0. Pemanfaatan Metode ootstrap Persentil Dalam idang Analisis Uji Hidup. Prosiding Seminar Nasional, DPPM UII, ISN: Statistika, Fakultas MIPA Universitas Islam Indonesia.

8 Laili, P. A. 03. Inferensi Titik-Titik Pada iplot Ammi Menggunakan Resampling ootstrap. Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember Nugroho, Hapsoro Agung. (009). Analisis Probabilitas Gempabumi Daerah ali Dengan Distribusi Poisson. Stasiun Geofisika Sanglah Denpasar, ali Rachmaniyah. 0. Analisis Survival dengan Model Accelerated Failure Time erdistribusi Log-normal. Universitas Hasanuddin. Rahayu,S. 00. Prediksi Produksi Jagung Di Jawa Tengah Dengan Arima Dan ootstrap. Prosiding SPMIPA. Pp ISN :.0..0 Matematika FMIPA UNDIP Semarang. Saraswati Estimasi Densitas Kernel Epanechnikov Rata - Rata Resampel ootstrap Untuk Penentuan Waktu Panen Optimal Tanaman Rami. FMIPA, Universitas Sebelas Maret Surakarta Shao, J. and Tu, D.,, The jacknife and bootstrap. Springer Verlag Inc., NewYork. Spiegel, M. dan Sthepens, L. 00. Schaum Outlines Statistik Edisi Ketiga. Erlangga : Jakarta.