REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS. ( Skripsi ) Oleh ANGGER PAMBUDHI

Transkripsi

1 REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS ( Skripsi ) Oleh ANGGER PAMBUDHI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017

2 ABSTRACT REPRESENTATION OF OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE by Angger Pambudhi The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices where [ ] and { ( ) ( ) } is a sequence real numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to sequence space by using a standard basis ( ) and it can be proven that the collection all the operators become Banach space. Key Words : Operator, finite sequence space

3 ABSTRAK REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Oleh Angger Pambudhi Suatu pemetaan pda ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks dengan [ ] dan { ( ) ( ) } merupakan barisan bilangan real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar * + dan ditunjukkan bawa koleksi semua operator membentuk ruang Banach. Kata Kunci : Operator, ruang barisan terbatas

4 REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Oleh ANGGER PAMBUDHI Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017

5

6

7

8 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Angger Pambudhi, Dilahirkan di Metro, pada tanggal 28 Februari 1994, sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Bapak Prayitno dan Ibu Ponisri. Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Aisiyah Metro Pusat tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 7 Metro Pusat tamat pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 2 Metro tamat pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Muhammadiyah 1 Metro tamat pada tahun Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, melalui jalur tertulis atau SNMPTN. Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus. Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) s ebagai Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2012/2013), sebagai Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2013/2014). Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah Praktek (KP) di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) provinsi Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari Selanjutnya bulan januari-maret 2016 melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Karang Agung, Kecamatan Semaka, Kabupaten Tanggamus.

9 MOTTO Winning isn t everything, even if you win everything (Leo Messi) Realisasikan perkataan dengan perbuatan (Angger Pambudhi)

10 PERSEMBAHAN Teriring do a dan rasa syukur kepada Allah SWT, ku persembahkan karya kecil ini sebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada: Orang Tua Tercinta Bapak Prayitno dan ibu Ponisri atas limpahan kasih sayang, do a dan tetesan keringat dalam merawat dan menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku Adik Tercinta Rani Prambandari, Adel Lia dan Ma ruf Zakaria yang selalu memberikan semangat dan dukungan Serta Keluarga Besarku. Para Pendidikku, Dosen Dan Guru-Guruku Yang Telah Memberikan Ilmu Kepadaku Teman-teman seperjuangan angkatan 2012 Almamater tercinta.

11 SANWACANA Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Representasi Operator Pada Ruang Barisan Terbatas sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada: 1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik sekaligus Dosen Pembimbing II yang selalu sabar membimbing dan mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini. 3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembahas yang telah memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini 4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung 5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.

12 6. Seluruh dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah memberikan ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis. 7. Bapak dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku. 8. Adik Rani, Adel, Zaka dan keluarga besarku yang telah memberikan dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis. 9. Rara Berthania, yang dengan tulus memberikan bantuan selama penulis menyelesaikan studi. 10. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika: Pras, Candra, Danar, Topik, Anwar, Rendi, Ernia, Dwi, Anggi, Yanti, Imah, Elva, Putri, Selvi, Riyama, Maya dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bias disebutkan satu-satu terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini. 11. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan kenangan selama di kampus. Bandar Lampung, Januari 2017 Penulis Angger Pambudhi

13 DAFTAR ISI Halaman I. PENDAHULUAN 1.1. LatarBelakangMasalah TujuanPenelitian ManfaatPenelitian... 2 II.TINJAUANPUSTAKA 2.1. Operator RuangMatriks RuangVektor RuangBernorma RuangBanach Barisan Basis III. METODE PENELITIAN 3.1. WaktudanTempatPenelitian MetodePenelitian IV. HASIL DAN PEMBAHASAN V. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA

14 1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks dengan [ ] dan { ( ) ( ) } merupakan barisan bilangan real. Jika ( ) maka ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

15 2 Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya ( ). Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut. 1.2 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penelitian ini diantaranya : 1. Mengkaji ruang barisan terbatas. 2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan terbatas. 3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas. 1.3 Manfaat Penelitian Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan ini, diantaranya : 1. Memahami sifat dari operator linear. 2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatas. 3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatas. 4. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut tentang operator.

16 3 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Operator Definisi (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama. a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator. b. Operator A : X Y dikatakan linear jika untuk setiap X dan setiap skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay. Definisi (Kreyszig, 1989) Diberikan ( ) dan ( ) masing-masing ruang bernorm. a. Operaror A : X Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan M 0 sehingga untuk setiap berlaku. b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada bilangan sehingga untuk setiap dengan berlaku. c. Jika A kontinu di setiap, A disebut kontinu pada X.

17 4 Teorema (Ruckle, 1991) Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas field yang sama maka l c (X, Y) merupakan ruang linear. Bukti : Diambil sebarang ( ) dan sebarang untuk setiap diperoleh ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, ( ) merupakan operator linear. Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M 1, M 2 0 sehingga, ( ) = = = ( )

18 5 Dengan demikian, terbatas (kontinu). Jadi ( ) Telah dibuktikan bahwa untuk setiap ( ) dan sebarang skalar berlaku ( ). Jadi ( ) linear. Teorema (Maddox, 1970) Jika Y ruang Banach maka (( ) ) ruang Banach. Bukti : Diambil sebarang barisan Cauchy * + (( ) ). Jadi untuk setiap bilangan terdapat sehingga jika dengan berlaku. Misal, untuk setiap dan diperoleh = ( ) Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilh bilangan sehingga ada sehingga untuk setiap dengan berlaku. Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy * + dan Y lengkap, dengan kata lain * + konvergen ke Jadi, dan x menentukan suatu operator A sehingga.

19 6 Proses di atas dapat diulang untuk tetap, dengan. Jadi diperoleh dan z menentukan suatu operator A sehingga. Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh, ( ) dan menentukan suatu operator A sehingga ( ). Jadi ( ) ( ) ( ) = = = = Jadi operator A bersifat linear. Untuk diperoleh ( ) = = ( ) = ( ) Jadi operator ( ) dengan bersifat linear terbatas.

20 7 Karena dan masing-masing terbatas, serta ( ) maka A terbatas (kontinu). Jadi (( ) ) dengan kata lain (( ) ) ruang Banach. Definisi (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm X dengan field. a. Pemetaan disebut fungsi. b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X, biasanya ditulis ( ). Teorema (Ruckle, 1991) Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y maka A kontinu. Bukti : Misal A = ( ) X = ( ) y = ( ) dapat dinyatakan Mendefinisikan suatu fungsi linear kontinu pada X. Jelas bahwa untuk setiap :

21 8 ( ) Misal ( ), ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

22 9 ( ( )) Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X. Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X. Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X. Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga ( ) Oleh karena itu : ( ) Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x ( ) ( ) Maka f juga kontinu pada x. Karena y ruang BK diperoleh ( ) Atau

23 10 ( ) ( ) [ ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Jika y = Ax maka bukti lengkap Definisi (Berberian, 1996) a. Matriks takhingga ( ) adalah matriks dengan dan elemen pada baris dan kolom sebanyak takhingga. b. Jika ( ) dan ( ) masing-masing matriks takhingga dan skalar maka ( ) ( ) dan ( ) dengan, (Cooke, 1955)

24 11 Definisi (Fuhrmann, 1987) Diketahui suatu operator ( ) maka ( ) disebut operator adjoint operator T jika untuk setiap dan berlaku ( ) ( ). 2.2 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R. Definisi (Kreyszig, 1989) Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metriks di X adalah suatu fungsi, ), sehingga untuk setiap pasangan ( ) berlaku : i. ( ) untuk setiap ii. ( ) jika dan hanya jika x = y iii. ( ) ( ) untuk setiap (sifat simetri) iv. ( ) ( ) ( ) untuk setiap (ketidaksamaan segitiga) Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah metrik pada X disebut ruang metrik. Setiap anggota X disebut titik dan nilai d(x,y) disebut jarak(distance) dari titik x ke titik y atau jarak antara titik x dan titik y.

25 12 Definisi (Kreyszig, 1989) Suatu barisan (x n ) dalam ruang metrik (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli ( ) sehingga ( ) untuk setiap. Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Definisi (Maddox, 1970) Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika ( ) ( ) maka terdapat seningga ( ) ( ). Definisi (Beberian, 1996) Misal (X,d) adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan ( ) dikatakan konvergen jika terdapat suatu titik sehingga ( ) untuk (yaitu untuk setiap ( ) ). Titik x adalah unik sebab jika ( ) maka ( ) ( ) ( ) menunjukkan bahwa x = y. Dapat dikatakan x n konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis Lemma (Kreyszig, 1989) Jika X = (X,d) adalah ruang metrik, maka : i. Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik. ii. Jika dan di X, maka ( ) ( ).

26 13 Teorema (Parzynsky dan Zipse, 1987) Setiap barisan Cauchy adalah terbatas. Bukti : Jika {a n } barisan Cauchy maka untuk ada bilangan asli N sehingga dimana n, m > N. Perhatikan bahwa untuk maka untuk setiap n > N. Jika ( ) jelas untuk setiap bilangan asli N sehingga barisan {a n } terbatas. 2.3 Ruang Vektor Definisi (Maddox, 1970) Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi penjumlahan ( ) dan fungsi perkalian skalar ( ) sehingga untuk setiap skalar dengan elemen berlaku : i. ii. ( ) ( ) iii. ada sehingga iv. ada sehingga ( ) v. vi. ( ) vii. ( ) viii. ( ) ( )

27 Ruang Bernorma Definisi (Darmawijaya, 1970) Diberikan ruang linear X. Fungsi yang mempunyai sifat-sifat : i. untuk setiap ii., jika dan hanya jika, (0 vektor nol) iii. untuk setiap skalar dan. iv. untuk setiap disebut norma(norm) pada X dan bilangan nonnegatif disebut norma vektor x. Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma disebut ruang bernorma (norm space) dan dituliskan singkat dengan atau X saja asalkan nrmanya telah diketahui. Lemma (Maddox, 1970) Dalam ruang linier bernorm X berlaku untuk setiap. Bukti : untuk setiap diperoleh :.

28 Ruang Banach Definisi (Darmawijaya, 2007) Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen 2.6 Barisan Definisi (Mizrahi dan Sulivan, 1982) Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian dengan bilangan real x n tertentu, maka x 1, x 2,...,x n,... dikatakan barisan. Definisi (Yahya, Suryadi, Agus, 1990) Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga c n disebut suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan. Definisi (Mizrahi dan Sulivan, 1982) Misal L adalah suatu bilangan real dan {x n } suatu barisan, {x n } konvergen ke L jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga untuk setiap Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga jika ada bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung

29 16 pada sehingga untuk setiap, daan suatu barisan dikatakan konvergen jika ia mempunyai nilai limit. Teorema (Martono, 1984) Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas. Bukti : Misalkan barisan bilangan real {a n } konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat suatu bilangan real sehinga untuk setiap. Karena {a n } konvergen ke a, maka terapat suatu sehingga. Akibatnya untuk setiap. Ambillah ( ), maka setiap berlaku, yang berarti bahwa barisan bilangan real {a n } terbatas. Definisi (Maddox, 1970) Suatu barisan ( ) dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan sehingga. Himpunan dari semua barisan terbatas dilambangkan dengan Definisi (Yahya, Suryadi, Agus, 1990) Suatu barisan {x n } dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan dapat dicari suatu nomor indeks sedemikian sehingga untuk berlaku (atau ) artinya jika L adalah limit dari {x n } maka x n mendekati L jika n mendekati tak hingga.

30 17 Definisi (Martono, 1984) Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen. Definisi (Soeparna, 2007) Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi : * * + + a. Untuk setiap bilangan real p dengan didefinisikan { { } } dan norm pada yaitu ( ) b. Untuk didefinisikan { * + } dan norm pada yaitu Definisi (Darmawijaya, 2007) Misal ( ) dengan (q konjugat p), untuk dan ( )

31 18 Teorema (Darmawijaya, 2007) ( ) merupakan ruang bernorma terhadap norm. Bukti : a) Akan dibuktikan bahwa merupakan ruang bernorm terhadap. Untuk setiap skalar * + * + diperoleh ) * + ) ) berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan norm pada. Dengan kata lain ( ) ruang bernorma. b) Untuk diambil sebarang * + * + dan skalar. Diperoleh : ) { } { } * +

32 19 ) { } { } jelas bahwa ) { } { } Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan norm pada. Dengan kata lain ( ) ruang bernorm. Teorema (Darmawijaya, 2007) Jika bilangan real p dengan, maka ( ) merupakan ruang banach. Bukti : Telah dibuktikan bahwa ( ) merupakan ruang bernorm Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap. Dibuktikan dahulu untuk diambil sebarang barisan Cauchy { ( ) } dengan a) ( ) { ( ) } ( ( ) ( ) ( ) ) Untuk sebarang terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap dua bilangan asli berlaku b) ( ) ( ) ( ) ( ). /. Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli diperoleh ( ) ( ) untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan Cauchy ( ) untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan sehingga

33 20 ( ) atau ( ). Berdasarkan b) diperoleh untuk berlaku ( ) ( ) ( ). Selanjutnya dibentuk barisan * +. Menurut ketidaksamaan minkowski. c) * + { ( ) ( ) } { ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) } Yang berarti * +. Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh untuk berlaku d) ( ) { ( ) } { ( ) } Maka barisan { ( ) } konvergen ke. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti bahwa barisan Cauchy { ( ) } konvergen ke * + atau terbukti bahwa ( ), ( ) merupakan ruang banach. Definisi (Ruckle, 1991) Misalkan X merupakan ruang barisan, X dikatakan ruang BK (banach lengkap) jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya ( ) ( ) kontinu. Contoh ruang BK (banach lengkap) adalah ruang barisan,.

34 Basis Definisi (Darmawijaya, 2007) Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor sehingga, -. Dalam keadaan seperti itu * + disebut pembangkit (generator) ruang vektor V. Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor ada skalar-skalar sehingga Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi atau B pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor dan skalar sehingga Definisi (Darmawijaya, 2007) Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diberikan ruang vektor V atas lapangan. Himpunan disebut basis (base) V jika B bebas linear dan.

35 22 Contoh : Himpunan * +, dengan vektor di dalam yang komponen ke-k sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis ruang vektor.

36 23 III. METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. 3.2 Metode Penelitian Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain : 1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar * + dengan ( ( ) ). 2. Mengkonstruksikan norma operator A 3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan pada barisan ke ruang barisan dengan basis standar * + dengan ( ( ) ).

37 33 V. KESIMPULAN Operator linear dan kontinu : merupakan operator SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi : (i). = { } untuk setiap = ( ) (ii). (iii). Koleksi semua operator SM : yang di notasikan dengan SM ( ) membentuk ruang Banach.

38 34 DAFTAR PUSTAKA Berbrian, S. K Fundamental of Real Analysis. Springer, Texas. Darmawijaya, S Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta. Fuhrmannn, P. A Linear Syatem and Operator in Hibert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York. Kreyszig, E Introductory Function Analysis with Application. Willey Calssic Library, New York. Maddox, I.J Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press, London. Martono, k Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung. Mizrahi, A. dan Sullivan, M Calculus and Analitic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California. Parzynski and Zipse Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore. Ruckle, W. H Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company. Boston Yahya, Y., Suryadi, D. H. S. dan Agus, S Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.