Smart Solution TAHUN PELAJARAN 2012/201 /2013. (Program Studi IPA) Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN Disusun oleh : Pak Anang

Transkripsi

1 Smart Solution TAHUN PELAJARAN 0/0 /0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang

2 SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA Program IPA Per Indikator Kisi-Kisi UN 0 By Pak Anang ( anang.blogspot.com) SKL. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah... Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Implikasi Kesetaraan Implikasi ~~~ Penarikan Kesimpulan Modus Ponens & Tollens implikasi + pernyataan = pernyataan Silogisme implikasi + implikasi = implikasi Coret pernyataan yang sama Selesai Keterangan: Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi. Modus Ponens dan Modus Tollens Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal. Contoh: Premis : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis : Bona keluar rumah. Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras. Silogisme Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain. Contoh: Premis : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung. Premis : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah. Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah. = Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

3 .. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor. Ingkaran Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor Dan, Atau Jika Maka Semua, Ada Ubah operator dan pernyataan dan tidak Ubah kuantor dan pernyataan Keterangan: Selesai Dan, Atau Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator dan ingkarkan semua pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju adalah: Saya tidak makan mie atau dia tidak membeli baju Jika Maka Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah dan tidak. Contoh: Ingkaran dari Jika saya lulus ujian maka ayah memberi hadiah adalah: Saya lulus ujian dan ayah tidak memberi hadiah Semua, Ada Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan ingkarkan pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin. adalah: Ada siswa tidak ikut upacara bendera pada hari Senin Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

4 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis : Bona keluar rumah. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah... A. Hari ini hujan deras B. Hari ini hujan tidak deras C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah. Ingkaran pernyataan Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat adalah... (,)(,)(,)(,) A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi. C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi. D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat. E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.. Diketahui premis-premis berikut: Premis : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit. Premis : Jika Tio sakit, maka ia demam. Modus tollens : Jadi kesimpulannya hari ini tidak hujan deras. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah... A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan. B. Jika Tio kehujanan maka ia demam. C. Tio kehujanan dan ia sakit. D. Tio kehujanan dan ia demam. E. Tio demam karena kehujanan. Silogisme : Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan, maka ia demam. 4. Ingkaran pernyataan Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet adalah... A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet. B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet. C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet. D. Ada mahasiswa berdemonstrasi. E. Lalu lintas tidak macet. (,)(,) 5. Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis I : Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung. Premis II : Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah... A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang. D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian. Silogisme : Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang. 6. Negasi dari pernyataan: Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan, adalah... (,)(,) A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan. B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan. C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan. D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan. E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

5 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

7 SKL. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah... Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma. Pangkat Syarat: Definisi untuk 0, berlaku: Bilangan Pokok Sama ; 0 Sifat Kurung ( ) ( ) ; 0 Pangkat Pecahan Bentuk Akar Syarat:, Definisi Invers Pangkat "Pangkat Pecahan" Bentuk Akar Sama ( ) ( ) Sifat Kurung ; 0 Haram menjadi penyebut pecahan Rasionalisasi kalikan sekawan penyebut "Bentuk Akar Beda" Untuk, berlaku: ( ) ( ) Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

8 Logaritma Syarat:, 0 Definisi log "Penjumlahan Pengurangan" Sifat "Perbandingan Perbandingan" Sehingga diperoleh: log 0 log log log() log log log log log log log log log log log log log log log Tipe soal yang sering keluar Pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 8 6. Penyelesaian: 8 6 ( ) ( ) ( ) Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 4 6. Penyelesaian: () () () 8 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

9 Bentuk Akar Menyederhanakan Bentuk Akar Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh: Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep ( ) Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka. Jika bukan, maka ubahlah menjadi. Contoh: 5 4. Penyelesaian: ( ) Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar Kalikan dengan (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut) Sekawan dari adalah. Sekawan dari adalah. Sekawan dari adalah. Contoh: Bentuk sederhana dari 7 7 adalah. Penyelesaian: Logaritma Menyederhanakan bentuk logaritma Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 5 log log 5 log 5. log 9 Penyelesaian: 5 log log 5 log 5 log log 5 log 5 log 9 log 9 log 5 5 log 9 log log 9 log log( ) log 9 log 9 Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

10 Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika log dan log 5. Nilai dari log 50. Penyelesaian: log 50 log 50 log log( 5 ) log log log 5 log log log 5 log( ) log log log log Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai. TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui. log dan log. Ternyata bilangannya adalah,, dan 5. 5 Lalu, cari bilangan yang sama. Ternyata bilangan yang sama adalah. Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut. log log 5 log Cara membacanya: Bilangan pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan. Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan. Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan. log Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (,, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan. 50 Jadi, 5 5 log Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

11 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin: a. b. c. Diketahui a =, b =, dan c =. Nilai dari a. b. c A. B. 4 C. 6 D. 64 E adalah... 4 b. Diketahui a = 4, b =, dan c =. Nilai ( a ) adalah... c ( A. ) ) B C. 8 8 D. 6 E. 4. Jika diketahui x =, y =, dan =. 5 z Nilai x yz x y z 4 A. B. 60 () () () C. 00 D. 0 E () adalah... Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

12 4. Bentuk 5. Bentuk A. 5 5 B C D. 5 + E. 5 A. 4 6 B. 4 6 C D. 4 6 E dapat disederhanakan menjadi bentuk dapat disederhanakan menjadi bentuk LOGIKA PRAKTIS: Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E). 6. Bentuk + 5 dapat disederhanakan menjadi bentuk A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. ( ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

13 7. Diketahui 5 log = a dan log 4 = b. Nilai 4 log5 =... + a A. log 5 log 5 ab log 4 + a log 5 B. + b log 4 + b log( 5) C. a log 4 log log 5 ab D. log 4 a ab Jadi, E. b 8. Diketahui log 6 = p, log = q. Nilai 4 log 88 =... p + q A. log 88 p + q log 88 p + q log 4 log 6 B. log( 6 ) log p + q log( 6) log p + q C. log log 6 p + q log log 6 p + q D. log log 6 Jadi, p + q log log 6 q + p E. p + q log Diketahui log = x, log0 = y. Nilai 6 log0 =... x + y + A. log 0 x + log 0 x + log 6 B. x + y + log( 0) x log( ) C. log log log 0 xy + log log xy + D. log log log 0 x log log Jadi, xy E. x + TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! log log 5 bertemu 5 tulis log 4 bertemu 4 tulis log bertemu tulis Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! log bertemu 6 tulis bertemu tulis bertemu tulis 88 4,, 6 6 TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!, log TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! log bertemu tulis log 0 bertemu 0 tulis log bertemu tulis Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

15 .. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan Kuadrat (PK) Akar-Akar PK atau Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK Selisih Akar-Akar PK Bentuk Simetri Akar-Akar PK ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

16 Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:. Penyelesaian: Ingat bentuk ( ), maka diperoleh: ( ) Selisih Kuadrat Akar-Akar PK. Penyelesaian: Ingat bentuk ( ), maka diperoleh: ( ) Atau ingat bentuk ( )( ), maka diperoleh: ( )( ) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK. Penyelesaian: Ingat bentuk ( ) ( )( ) maka diperoleh: ( ) ( )( ) Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:. Penyelesaian: Ingat bentuk ( ), maka diperoleh: ( ) Dan lain-lain. ( ) ( ) Contoh: Persamaan kuadrat 0 memiliki akar-akar dan, maka nilai... Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut: Kedua, cari bentuk identik dari yang memuat bentuk dan. ( ) () Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

17 Menyusun PK Baru Diketahui: adalah PK Lama dan adalah akar-akar PK Lama dan adalah akar-akar PK Baru Cek dan perhatikan! Apakah dan identik atau tidak? Jika dan identik Cari invers akar PK Baru, Jika dan tidak identik Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama dan Substitusi ke PK Lama cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru dan menggunakan nilai dan Rumus PK Baru adalah 0 Rumus PK Baru adalah ()()0 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah 0, maka:. PK Baru yang akar-akarnya () dan () () ()0. PK Baru yang akar-akarnya () dan () () ()0. PK Baru yang akar-akarnya () dan () 0 4. PK Baru yang akar-akarnya dan 0 5. PK Baru yang akar-akarnya () dan () 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

18 Contoh : Akar-akar persamaan kuadrat 0 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya () dan () adalah. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? Akar-akar PK Baru () dan (), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (). Invers dari () adalah (). Ketiga, Substitusikan () menggantikan variabel pada PK Lama: () ()0 ( 44) Jadi, PK Baru yang akar-akarnya () dan () adalah 480. Contoh : Akar-akar persamaan kuadrat 480 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? Akar-akar PK Baru dan, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama. Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai dan. () Keempat, rumus PK Baru adalah: (jumlah akar-akar PK baru)hasil kali akar-akar PK baru0 ()0 0 Jadi, PK Baru yang akar-akarnya dan adalah 0. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

19 Contoh Akar-akar persamaan kuadrat 50 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya () dan () adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (). Jadi, PK Baru adalah: () 5()0 Jabarkan sendiri ya! Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 0 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya () dan () adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (). Jadi, PK Baru adalah: () ()0 Jabarkan sendiri ya! Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat 4 70 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan. OK? Jadi, PK Baru adalah: 4 ( )( )7( )0 Jabarkan sendiri ya! Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 7 50 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan. OK? Jadi, PK Baru adalah: 7 (5 )5(5 )(5 )0 Jabarkan sendiri ya! Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 50 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 5 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

20 Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat 40 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien dikalikan (). Jadi, PK Baru adalah: ()40 40 Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat 50 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya () dan () adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (). Jadi, PK Baru adalah: ( )5( )( )0 00 Dilanjutkan dengan substitusi (). () 0()0 Jabarkan sendiri ya! Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

21 Berlawanan 0 Berkebalikan Sifat-Sifat Akar-Akar PK Perbandingan () Selisih () Keterangan: Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat 0 yang mungkin keluar di soal:. Jika akar yang satu kelipatan dari akar yang lain ( ), maka (). Jika selisih akar-akarnya adalah ( ), maka (). Jika akar-akarnya berlawanan ( atau 0), maka 0 4. Jika akar-akarnya berkebalikan atau, maka Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 60 adalah dan. Jika dan, positif maka nilai. Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu. Karena, maka jelas nilai. Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. () () 6 4 Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga: Sehingga pilih nilai yang negatif. Jadi,. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

22 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Akar-akar persamaan kuadrat x + ax 4 = 0 adalah p dan q. Jika p pq + q = 8a, maka nilai a =....4 A. 8 B. 4 8 C. 4 () 48 D E (4)(4)0 4. Persamaan kuadrat x + ( m ) x 5 = 0 mempunyai akar-akar x dan x. Jika x + x xx = 8m, maka nilai m =... 8 A. atau 7 ( ) 4 8 B. atau 7 C. atau 7 D. 6 atau 4 E. 6 atau 4. 5 () ()(7)0 0 atau Persamaan kuadrat x + 4 px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x dan x. Jika x x + x x =, maka nilai p =... A. 4 4 ( ) B.. 4 4(4) C. D. 4 E Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

24 .. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan. Persamaan Kuadrat (PK) Diskriminan Persamaan Kuadrat 0 Fungsi Kuadrat () akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah 0 0 0, 0 0, 0 berbeda kembar definit positif definit negatif rasional TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis! Persamaan kuadrat ()40 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai. Fungsi kuadrat ()4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai yang memenuhi adalah. Grafik ()4 memotong garis di dua titik. Batas-batas nilai yang memenuhi adalah. akar real sumbu X di titik 0 garis di titik akar real () sumbu X di titik 0 garis di titik akar real / sumbu X / garis 0 Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi 0. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

25 Soal yang sering ditanyakan PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda. Contoh: Jika persamaan kuadrat ()40 akan memiliki dua akar berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat ()40 diperoleh:,(),dan (4) Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan harus memenuhi () 4()(4) (5)()8 5 Sehingga nilai m yang memenuhi adalah. Persamaan kuadrat memiliki akar kembar. Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat ()40 memiliki dua akar kembar. Maka nilai yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat ()40 diperoleh:,(), 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan harus memenuhi () 4()(4)0 () ()(7)0 atau Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai atau 7. Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

26 Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner) Contoh: Persamaan kuadrat () 0 tidak memiliki akar real untuk nilai. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat () 0 diperoleh:,(), 7 Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan harus memenuhi () ()()0 ( ) Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

27 FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong). Contoh: Grafik ()4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat ()4 diperoleh:,(), (4) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan harus memenuhi () 4()(4) (5)()8 5 Sehingga nilai m yang memenuhi adalah. Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung). Contoh: Grafik fungsi kuadrat () ()4 menyinggung sumbu X pada satu titik. Maka nilai yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat () ()4 diperoleh:,(), 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan harus memenuhi () 4()(4)0 () ()(7)0 atau Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai atau 7. Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

28 Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah) Contoh: Fungsi kuadrat () tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X untuk nilai. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat () diperoleh:,(), 7 Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan harus memenuhi 0. 0 () ()()0 ( ) Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

29 Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong memotong). Contoh: Grafik fungsi kuadrat () 4 memotong garis 4. Nilai b yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Substitusikan 4 dan ()0 Koefisien-koefisien persamaan kuadrat,(), 0 Kurva memotong garis, maka diskriminan harus memenuhi D0 0 () 4()(0)0 () 00 () 0 0 Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b. Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas,, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK? Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung). Contoh: Grafik fungsi kuadrat () 4 menyinggung garis 4. Nilai b yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan harus memenuhi 0 0 () 4()(0)0 () 00 () 0 0 Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai. Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah terpisah). Contoh: Grafik fungsi kuadrat () 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis 4. Nilai b yang memenuhi adalah. Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan harus memenuhi 0 0 () 4()(0)0 () 00 () 0 0 Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

30 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Persamaan kuadrat x + ( m ) x + m 4 = 0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah... Akar-akar real 0 A. m atau m 0 40 B. m 0 atau m () 4..(4)0 0 C. m < atau m > 0 00 Jadi daerah penyelesaian: D. < m < 0 atau 0 E. 0 < m ()(0)0 0 atau Persamaan kuadrat x ( p 4) x + p = 0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah... Akar-akar real berbeda 0 A. p atau p 8 40 B. p < atau p > 8 (4) C. p < 8 atau p > Jadi daerah penyelesaian: D. p 8 atau 8 E. 8 p 4()(8)0 0 atau 80 8 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

32 . 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. Ingat lagi tentang konsep determinan matriks Determinan Matriks Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks! Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV SPLDV) Bentuk Umum SPLDV Penyelesaian SPLDV Nilai Kolom diganti! Nilai Kolom diganti! Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

33 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPL SPLTV) Bentuk Umum SPLTV Penyelesaian SPLTV Nilai Nilai Nilai Kolom diganti! Kolom diganti! Kolom diganti! Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi. Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi. Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke? Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

34 TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh. Contoh Soal: Penyelesaian dari SPL 5 adalah. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 5 Karena yang paling pojok kiri variabel, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel. Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara atau 5. 5 Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan, ya? 5 Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan! Hasilnya adalah: dikalikan silang dengan, dikurangi dengan dikalikan silang dengan 5. ()()()(5)5 5 Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah: dikalikan silang dengan, dikurangi dikalikan silang dengan 5. ()()()(5)90 Jadi, nilai variabel adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua. Selesai! Paham, kan? Kalau mencari nilai, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi: 5 Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel di atas. Oke? Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

35 Contoh : Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah... Penyelesaian: Misal: hari biasa hari lembur Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: Ditanyakan: 44? Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks Jadi, 444(9.000)4(5.000) TRIK SUPERKILAT: Dengan acuan koefisien variabel adalah 4, maka nilai variabel diperoleh dengan cara: (4 dikali silang dengan ) dikurangi ( dikali silang dengan ) dibagi dengan (4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

36 Contoh : Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli kg apel, kg salak, dan kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli kg apel, kg salak, dan kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli kg apel, kg salak, dan kg kelengkeng dengan harga Rp6.000,00. Jika Vero membeli kg apel dan kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero? Penyelesaian: Misal: buah apel buah salak buah kelengkeng Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks Contoh : Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp4.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp00.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah. Penyelesaian: Misal: uang Artha uang Deby uang Yanti Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya! Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp4.000, Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp00.000, Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah: Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks Jadi nilai pasti ketemu deh! Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

37 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Umur pak Andi 8 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 9 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah... A. 86 tahun B. 74 tahun C. 68 tahun D. 64 tahun E. 58 tahun. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah... A. 5 tahun B. 45 tahun C. 4 tahun D. 9 tahun E. 5 tahun Misal Pak Andi Bu Andi Amira Misal Umur Deksa Umur Elisa Umur Firda (6)(8) (4)() Jadi, Jadi, Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

38 Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang

39 . 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Bentuk Umum (x a) + (y b) = r x + y + Ax + By + C = 0 dibagi ( ) Pusat Jari-jari Pusat (a, b) r ( A, B) Jumlah kuadrat pusat dikurangi C Jari-jari r = ( A) + ( B) C Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

40 Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran PGS Lingkaran di titik (x, y ) pada lingkaran PGS Lingkaran dengan gradien m Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Ingat pola persamaan garis lurus y = mx + c Lalu perhatikan gambar berikut! x (x a) x diganti diganti diganti x x (x a)(x a) (x + x) Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien m, maka PGS tersebut adalah y = mx ± c dimana c = r + m PGS lingkaran di titik (x, y ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari r x x + y y = r PGS lingkaran di titik (x, y ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari r (x a)(x a) + (y b)(y b) = r PGS lingkaran di titik (x, y ) pada lingkaran dengan bentuk umum x + y + Ax + By + C = 0 PGS dengan gradien m dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari r y = mx ± r + m PGS dengan gradien m dari lingkaran pusat (a, b) dan jari-jari r (y b) = m(x a) ± r + m x x + y y + A (x + x) + B (y + y) + C = 0 Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (x, y ) ke garis ax + by + c = 0: d = ax + by + c a + b TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (x, y ) jari-jari r yang sejajar dengan garis ax + by + c = 0: ax + by = ax + by ± r a + b PGS lingkaran pusat (x, y ) jari-jari r yang tegak lurus dengan garis ax + by + c = 0: bx ay = bx ay ± r a + b Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

41 PGS Lingkaran di titik (x, y ) yang berada di luar lingkaran (a, b) (0, 0) (x, y ) Titik Singgung (a, b) Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel a, b). Substitusi titik (x, y ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran Diperoleh dua titik Singgung (a, b ) dan (a, b ) Substitusikan ke PGS di langkah kedua Selesai TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

42 Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran x + y = 0! Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (a, b). Artinya titik (a, b)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. (a, b) (0, 0) (5, 5) Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel a dan b. Perhatikan bahwa (a, b) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (a, b) adalah ax + by = 0 Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (a, b) adalah a + b = 0 Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (5, 5) ke PGS akan diperoleh: ax + by = 0 5a + 5b = 0 a + b = b = a Dari persamaan lingkaran a + b = 0 dan b = a, substitusikan b = a ke persamaan lingkaran diperoleh: a + ( a) = 0 a + (4 4a + a ) = 0 a 4a + 4 = 0 a 4a = 0 a 4a 6 = 0 a a = 0 (a + )(a ) = 0 a = atau a = Dari a = atau a = akan diperoleh nilai b, yaitu: a = b = a = + = a = b = a = = Jadi dua titik singgung tersebut adalah (, ) dan (, ). Sehingga PGS lingkaran pada titik (, ) dan (, ) adalah: x + y = 0 dan x y = 0. TRIK SUPERKILAT: Lingkaran x + y = 0 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari r = 0. Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari 0 ke dalam rumus: y = mx ± r + m 5 = m(5) ± 0 + m 5 5m = ± 0 + m (kuadratkan kedua ruas) 5 50m + 5m = 0 + 0m 5m 50m + 5 = 0 m 0m + = 0 (m )(m ) = 0 m = atau m = Jadi, persamaan garis singgung melalui (5,5) dan gradien m = y y = m(x x ) y 5 = (x 5) x + y = 0 Persamaan garis singgung melalui (5,5) dan gradien m = y y = m(x x ) y 5 = (x 5) x y = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

43 Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh:. Diberikan persamaan lingkaran x + y = 5, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah. Penyelesaian: (x 0) + (y 0) = 5 Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5. r = 5 r = 5. Diberikan persamaan lingkaran (x ) + (y 4) = 5, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah. Penyelesaian: (x ) + (y + 4) = 5 Pusat di (, -4) dan jari-jari 5. r = 5 r = 5. Diberikan persamaan lingkaran x + y x + 4x 0 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah. Penyelesaian: x + y x + 4x 0 = 0 dibagi (-) Maka pusat (, ), dan jari-jari adalah r = () + ( ) ( 0) Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

44 Menentukan persamaan lingkaran Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran. Misal diketahui pusat lingkaran (a, b) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka r = b. Misal diketahui pusat lingkaran (a, b) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka r = a. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung. Contoh:. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, ) dan jari-jari adalah. Penyelesaian: Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dengan jari-jari r: (x a) + (y b) = r (x 5) + (y + ) = 9 atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran: (x 5) + (y + ) = 9 x 0x y + y + 9 = 0 x + y 0x + y + 7 = 0. Persamaan lingkaran dengan pusat di (, ) yang menyinggung sumbu X adalah. Penyelesaian: (x ) + (y ) = x + y 6x 4y + 9 = 0. Persamaan lingkaran dengan pusat di (, ) yang menyinggung sumbu Y adalah. Penyelesaian: (x + ) + (y ) = ( ) x + y + x 4y + 4 = 0 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (, 4) dan menyinggung garis x 4y = 0 adalah. Penyelesaian: Pusat (x, y ) = (, 4) Garis x 4y = 0, dengan a =, b = 4, dan c =. Persamaan lingkaran dengan pusat (x, y ) menyinggung garis ax + by + c = 0 adalah: (x a) + (y b) = [ ax +by +c a +b ] (x ) + (y 4) () 4(4) = [ ] + 4 x x + + y 8y + 6 = 9 x + y x 8y + 8 = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

45 Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh:. Persamaan garis singgung lingkaran x + y = 5 di titik (4, ) adalah. Penyelesaian: x = 4 dan y = Ingat, ganti x menjadi x x, dan x menjadi ( x +x ). x + y = 5 x x + y y = 5 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4x y = 5. Persamaan garis singgung lingkaran (x ) + (y 4) = 5 di titik (, 0) adalah. Penyelesaian: x = dan y = 0 Ingat, ganti x menjadi x x, dan x menjadi ( x +x ). (x ) + (y 4) = 5 (x )(x ) + (y 4)(y 4) = 5 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: ( )(x ) + (0 4)(y 4) = 5 ( )(x ) + ( 4)(y 4) = 5 x 4y 6 = 0. Persamaan garis singgung lingkaran x + y 6x + 4y = 0 di titik (7, ) adalah. Penyelesaian: x = 7 dan y = Ingat, ganti x menjadi x x, dan x menjadi ( x +x ). x + y 6 x + 4 y = 0 x x + y y 6 ( x + x ) + 4 ( y + y ) = 0 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 7x + y (7 + x) + ( + y) = 0 4x + y = 0 Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

46 Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.. Persamaan garis singgung lingkaran x + y = 9 di titik (, ) adalah. Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT: Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari r =. Cek apakah titik (, ) berada di dalam atau di luar lingkaran (?). x + y = 9 () + () = 0 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut: y = mx ± r + m = m() ± + m m = ± + m (kuadratkan kedua ruas) 9 6m + m = 9 + 9m 8m + 6m = 0 m(4m + ) = 0 m = 0 atau m = 4 Melalui (,) dan gradien m = 0 y y = m(x x ) y = 0(x ) y = Melalui (,) dan gradien m = 4 y y = m(x x ) y = (x ) 4 4y = x + x + 4y = 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

47 Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.. Persamaan garis singgung lingkaran (x ) + (y + 5) = 80 yang sejajar dengan garis y x + 5 = 0 adalah. Penyelesaian: Trik Superkilat: Sesuaikan sejajar apa nggak? PGS lingkaran pusat (x, y ) jari-jari r yang sejajar dengan garis ax + by + c = 0: Masukkan substitusikan pusat ax + by = ax + by ± r a + b ± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien Lingkaran pusat (, 5) dan jari-jari r = 80 PGS yang sejajar y x + 5 = 0 adalah y x juga!!! y x = ( 5) () ± 80 + ( ) y x = ± 0 y = x ± 0. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x + y 4x 8y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + y = 6 adalah. Penyelesaian: Trik Superkilat: Lingkaran pusat (, 4) jari-jari r = 5 PGS yang sejajar x + y = 6 adalah x + y harus diubah menjadi x y!!! x y = () (4) ± 5 () + () x y = 0 ± 5 x y = 5 dan x y = 5 Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

48 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Lingkaran L y 9 x memotong garis y. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah... A. dan Memotong garis y = PGS lingkaran B. x dan x y = (x + ) + ( ) = 9 (x + a)(x + a) + (y + b)(y + b) = r C. x (x + ) = 9 ( 4, ) ( 4 + )(x + ) + 0 = 9 D. x = 9 E. dan x x 4 x dan 4 x dan x 8 TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran x 4 x 0 x + = ± x + = atau x + = x = 4 x = Jadi titik potongnya di ( 4, ) dan (, ) (, ) ( + )(x + ) + 0 = 9 x + = 9 x = x = 4 y = x = 4 x = Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 4

50 . 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor. Polinomial (Suku Banyak) F(x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a 0 Nilai Suku Banyak Jika diketahui F(x) = x 5x + x Tentukan nilai F(x) untuk x =! Cara Biasa Substitusi x F() = () 5() + () = = 9 Cara Horner Kalikan miring-miring x = Jadi F() = 9 Pembagian Suku Banyak Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian x 5x + x oleh x! Cara Biasa Porogapit x + x + 4x x x 5x + x x 6x x + x x x Cara Horner Kalikan miring-miring x = 0 x = hasil bagi sisa x + x x 4x 9 Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

51 7 6 Tips mengingat konsep pembagian suku banyak! Jika 7 dibagi, hasilnya, tapi masih sisa. Jadi 7 = + Yang dibagi = pembagi hasil bagi + sisa F(x) = P(x) H(x) + S(x) Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah: Gimana kalau pembaginya adalah nol? dan Gimana kalau sisa pembagian adalah nol? Suku Banyak Teorema Sisa F(x) = P(x) H(x) + S(x) F(x) = (x a) H(x) + S(x) F(a) = 0 H(a) + S(a) F(a) = S(a) Teorema Faktor F(x) = P(x) H(x) + S(x) F(k) = (x k) H(k) + S(k) F(k) = (x k) H(k) + 0 F(x) = (x k) H(x) Jika suku banyak di bagi (x a) (x k) adalah faktor suku banyak maka sisanya adalah F(a) jika dan hanya jika F(k) = 0 Artinya: Artinya: Jika F(x) dibagi oleh (x a) maka sisanya adalah F(a) Jika (x k) adalah faktor dari F(x), maka F(k) = 0 Jika F(x) dibagi oleh (ax + b) maka sisanya adalah F ( b a ) Jika F(k) = 0, maka (x k) merupakan faktor dari F(x) Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi F(x) dibagi (x a) sisanya p F(x) dibagi (x a)(x b) sisanya px + q Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 4

52 TRIK SUPERKILAT Contoh Soal: Tentukan sisa pembagian suku banyak x 6x 5 oleh x x! Penyelesaian: Karena x x bisa difaktorkan menjadi (x + )(x ), maka sisa pembagian suku banyak bisa kita cari menggunakan konsep teorema sisa. Mari kita kerjakan: f(x) dibagi (x + ), artinya sisanya adalah f( ) = 0 f(x) dibagi (x ), artinya sisanya adalah f() = 4 Susun dalam susunan seperti matriks. 0 4 Maka sisa pembagiannya adalah: (selisih kolom pertama)s(x) = (selisih kolom kedua)x + (determinan matriks) (( ) ()) S(x) = (0 4) x + (( 4) (0)) 4 S(x) = 4x + ( 4) S(x) = x + Jadi sisa pembagian x 6x 5 oleh x x adalah x +. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi: Perhatikan pembagi: x x = 0 x = x + Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi: hasil bagi sisa x + x + Jadi sisa pembagian x 6x 5 oleh x x adalah x +. Halaman 44 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

53 Contoh Soal: Suku banyak f(x) dibagi (x + ) sisanya 0 dan jika dibagi (x ) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (x x ), sisanya adalah. Penyelesaian: Ingat jika pembaginya berderajat, maka sisanya adalah suku banyak berderajat. Jika suku banyak f(x) dibagi (x x ), sisanya adalah px + q. Ingat sisa pembagian suku banyak oleh (x a) adalah f(a). Dan sisa pembagian suku banyak oleh (ax + b) adalah f ( b a ). Mari kita kerjakan: f(x) dibagi (x + ) sisa 0, artinya f( ) = 0 f(x) dibagi (x ) sisa 5, artinya f ( ) = 5 Susun dalam susunan seperti matriks. 0 5 Maka sisa pembagiannya adalah: (selisih kolom pertama)s(x) = (selisih kolom kedua)x + (determinan matriks) (( ) ( )) S(x) = (0 5) x + (( 5) (5)) 5 S(x) = 5x + ( 0) S(x) = x + 8 Jadi sisa pembagian f(x) dibagi (x x ) adalah x + 8. Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketik Selalu update di Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 45

54 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Suku banyak berderajat, jika dibagi x 6. x 4 Suku banyak tersebut adalah... A. x x x 4 B. x x x 4 C. x x x 4 D. x x 4 E. x x 4. Suku banyak berderajat, jika dibagi x. Suku banyak tersebut adalah... A. x x x B. x x x C. x x x D. x x x E. x x x x 5x x bersisa, x 4 x bersisa,. Suatu suku banyak berderajat jika dibagi x x bersisa Suku banyak tersebut adalah... A. x x x 4 B. x x x 4 C. x x x 7 D. x x 8x 7 E. x 4x 0x 9 8x 0 TRIK SUPERKILAT: f(x) dibagi (x + )(x ) bersisa (5x ) Artinya: f( ) = 5( ) = f() = 5() = f(x) dibagi (x + )(x ) bersisa (x + 4) Artinya: f( ) = ( ) + 4 = f() = () + 4 = TRIK SUPERKILAT: f(x) dibagi (x + )(x ) bersisa (x 4) Artinya: f( ) = ( ) 4 = f() = () 4 = f(x) dibagi (x + )(x ) bersisa (x + ) Artinya: f( ) = ( ) + = f() = () + = 9 4x 6 TRIK SUPERKILAT: f(x) dibagi (x )(x ) bersisa (4x 6) Artinya: f() = 4() 6 = f() = 4() 6 = f(x) dibagi (x + )(x ) bersisa (8x 0) Artinya: f( ) = 8( ) 0 = 6 f() = 8() 0 = 4 jika dibagi x x bersisa Misal kita pilih satu fungsi saja, f( ) = Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan x = maka hasilnya adalah. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban D saja. jika dibagi x x bersisa Misal kita pilih satu fungsi saja, f() = Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan x = maka hasilnya adalah. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban B saja. dan jika dibagi x x 6 bersisa Misal kita pilih satu fungsi saja, f() = Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan x = maka hasilnya adalah. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban A saja. Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 46 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

56 . 7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers. Fungsi Komposisi Definisi Sifat f g Tidak Komutatif (f g)(x) (g f)(x) x f(x) g(f(x)) = (g f)(x) Assosiatif (f (g h))(x) = ((f g) h)(x) g f (g f)(x) = g(f(x)) (f g)(x) = f(g(x)) Identitas (f I)(x) = (I f)(x) Fungsi Invers x = f (x) Definisi f f y = f(x) Grafik fungsi f(x) dan f (x) simetris terhadap garis y = x Sifat Identitas (f f ) = (f f) = I Invers Komposisi itu Dibalik (f g) = (g f ) (g f) = (f g ) Penyusun Komposisi (f g) = h f = (h g ) (f g) = h g = (f h) TRIK SUPERKILAT Balik Operasi, Balik Urutan + a a a log x a x TRIK SUPERKILAT Hilangkan Yang Lain (f g) = h f g g = h g identitas f = h g Gambarkan g f h f = g h Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 47

57 Tipe Soal yang Sering Muncul Menyusun komposisi fungsi Contoh Soal : Diketahui f(x) = x dan g(x) = x 5x +. Tentukan (f g)(x) =? Penyelesaian: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 5x + ) = (x 5x + ) = x 0x + 4 = x 0x + Contoh Soal : Diketahui f(x) = x dan g(x) = x 5x +. Tentukan (g f)(x) =? Penyelesaian: (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) 5(x ) + = 4x 4x + 0x = 4x 4x + Menentukan nilai komposisi fungsi Contoh Soal : Diketahui f(x) = x dan g(x) = x 5x +. Tentukan (f g)(5) =? Penyelesaian: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 5x + ) = (x 5x + ) = x 0x + 4 = x 0x + Jadi, (f g)(5) = (5) 0(5) + = = Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena g(5) =, maka: f(g(5)) = f() = Contoh Soal : Diketahui f(x) = x dan g(x) = x 5x +. Tentukan (g f)( ) =? Penyelesaian: (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) 5(x ) + = 4x 4x + 0x = 4x 4x + 8 Jadi, (g f)( ) = 4( ) 4( ) + 8 = = 6 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena f( ) =, maka: g(f( )) = g( ) = 6 Halaman 48 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

58 Menentukan fungsi pembentuk komposisi Contoh Soal : Diketahui (f g)(x) = x + dan f(x) = x, maka g(x) =? Penyelesaian: (f g)(x) = x + f(g(x)) = x + g(x) = x + g(x) = x + + g(x) = x + g(x) = x + g(x) = x + Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena f g = h, maka g = f h. Jadi g(x) = f (h(x)), artinya substitusikan fungsi komposisi h ke fungsi f. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal : Diketahui (f g)(x) = x + dan g(x) = x +, maka f(x) =? Penyelesaian: (f g)(x) = x + f(g(x)) = x + f(x + ) = x + munculkan bentuk (x+) f(x + ) = (x + ) f(x) = x Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena f g = h, maka f = h g. Jadi f(x) = h(g (x)), artinya substitusikan fungsi g ke fungsi komposisi h. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal : Diketahui (f g)(x) = x 0x + dan f(x) = x, maka g(x) =? Penyelesaian: (f g)(x) = x 0x + f(g(x)) = x 0x + g(x) = x 0x + g(x) = x 0x + 4 g(x) = x 0x + g(x) = x 5x + Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena f g = h, maka g = f h. Jadi g(x) = f (h(x)), artinya substitusikan fungsi komposisi h ke fungsi f. Invers akan dibahas nanti. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 49

59 Contoh Soal 4: Diketahui (f g)(x) = x 0x + dan g(x) = x 5x +, maka f(x) =? Penyelesaian: (f g)(x) = x 0x + f(g(x)) = x 0x + f(x 5x + ) = x 0x + munculkan bentuk (x 5x+) f(x 5x + ) = (x 5x + ) f(x) = x Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena f g = h, maka f = h g. Jadi f(x) = h(g (x)), artinya substitusikan fungsi g ke fungsi komposisi h. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 5: Diketahui (g f)(x) = 4x 4x + 8 dan f(x) = x, maka g(x) =? Penyelesaian: (g f)(x) = 4x 4x + 8 g(f(x)) = 4x 4x + 8 g(x ) = 4x 4x + 8 munculkan bentuk (x ) g(x ) = (x ) + 4x 4x + 8 g(x ) = (x ) 0x + 7 g(x ) = (x ) 5(x ) g(x ) = (x ) 5(x ) + g(x) = x 5x + karena (x ) = 4x 4x +, maka 4x = (x ) + 4x ) karena 5(x ) = 0x + 5, maka 0x = 5(x ) 5 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena g f = h, maka g = h f. Jadi g(x) = h(f (x)), artinya substitusikan fungsi f ke fungsi komposisi h. Invers akan dibahas nanti. Halaman 50 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

60 Menentukan Invers Fungsi Contoh Soal : Jika f(x) = x, tentukan f (x)! Penyelesaian: f(x) = x y = x x = y + x = y + f (x) = x + Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan y = x, Urutan operasi yang dilakukan terhadap x adalah:. Dikalikan. Dikurangi Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:. Ditambah. Dibagi Sehingga: f (x) = x + Contoh Soal : Jika g(x) = x 4x +, tentukan g (x)! Penyelesaian: g(x) = x 4x + y = x 4x + y = x 4x + 4 y = (x ) (x ) = y + x = y + x = y + + f (x) = x + + Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: g(x) = x 4x + ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi g(x) = (x ). Urutan operasi yang dilakukan terhadap x adalah:. Dikurangi. Dikuadratkan. Dikurangi Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:. Ditambah. Diakar kuadrat. Ditambah Sehingga: f (x) = x + + Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

61 Contoh Soal : f(x) = x + 5 x + Tentukan f (x)! Penyelesaian: f(x) = x + 5 x + 4 y = x + 5 x + 4 y(x + 4) = x + 5 xy + 4y = x + 5 xy x = 4y + 5 x(y ) = 4y + 5 x = 4y + 5 y f (x) = 4x + 5 x Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: ax + b f(x) = cx + d dx + b f (x) = cx a Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama. f(x) = x + 5 x + 4 f (x) = 4x + 5 x Halaman 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

62 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui fungsi f ( x) x dan g ( x) x. Komposisi fungsi ( g f )( x)... A. 9x x B. 9x 6x C. 9x 6x 6 D. 8x x E. 8x x (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) = (9x 6x + ) = 8x x + = 8x x TRIK SUPERKILAT: (g f)(x) artinya substitusikan f(x) ke g(x). Coba ah iseng saya substitusikan x = 0 ke f(x), ternyata hasilnya f(x) =. Iseng lagi ah, saya substitusikan x = ke g(x), Ternyata hasilnya g( ) =. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya? Ternyata jawaban E saja!. Diketahui fungsi f ( x) x dan g ( x) x x. Komposisi fungsi ( g f )( x)... A. x 4x 9 B. x 4x C. 4x 6x 8 D. E. 4x 8x 4x 8x (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) + (x ) = (4x x + 9) + (4x 6) = 4x 8x TRIK SUPERKILAT: (g f)(x) artinya substitusikan f(x) ke g(x). Coba ah iseng saya substitusikan x = ke f(x), ternyata hasilnya f() =. Iseng lagi ah, saya substitusikan x = ke g(x), ternyata hasilnya g( ) = 4. Lalu saya substitusikan ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya 4? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban E saja!. Diketahui fungsi f ( x) x dan g( x) x 4x. Komposisi fungsi ( f g)( x)... A. x 8x B. x 8x C. x 8x D. x 8x E. x 8x (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 4x) = (x 4x) + = x 8x + TRIK SUPERKILAT: (f g)(x) artinya substitusikan g(x) ke f(x). Coba ah iseng saya substitusikan x = 0 ke g(x), ternyata hasilnya g(0) = 0. Iseng lagi ah, saya substitusikan x = 0 ke f(x), ternyata hasilnya f(0) =. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban C saja! Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

64 . 8. Menyelesaikan masalah program linear. Program Linear Definisi Sebuah metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai optimum) Konsep yang dibutuhkan Langkah Penyelesaian. Buat model matematika.. Lukis grafik model matematika.. Tentukan daerah penyelesaian. 4. Cari titik pojok daerah penyelesaian. 5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif. 6. Pilih nilai optimum. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Contoh Soal Program Linear dan Penyelesaiannya a O y ax + by ab Sebuah area parkir dengan luas.750 m, b x dan maksimal hanya dapat ditempati 00 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m dan bus 5 m, biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus adalah Rp.000 dan Rp5.000, maka berapa jumlah sedan dan bus yang parkir supaya pendapatan parkirnya menjadi maksimal! Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sedan Bus (x) (y) Total Banyak kendaraan 00 Luas kendaraan Biaya Parkir y a p O ax + by ab px + qy pq x 0 y 0 b q x Fungsi kendalanya: x + y 00 x + y 750, bentuk sederhana 5x + 5y 750 x 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif { y 0, jumlah bus tidak mungkin negatif x, y elemen bilangan cacah. Fungsi Objektif: f(x, y) =.000x +.000y Model Matematika Sebuah area parkir dengan luas.750 m, dan maksimal hanya dapat ditempati 00 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m dan bus 5 m, maka tentukanlah model matematikanya! Sedan Bus (x) (y) Total Banyak kendaraan 00 Luas kendaraan x + y 00 x + y 750, bentuk sederhana 5x + 5y 750 x 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif y 0, jumlah bus tidak mungkin negatif { x, y elemen bilangan cacah. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: y O Titik potong garis x + y = 00 dan x + y = 750: x = 5 dan y = 75 Jadi titik pojoknya adalah: (0, 0), (00, 0), (5, 75), dan (0, 50). Uji titik pojok: (x, y) f(x, y) =.000x +.000y (0, 0).000(0) +.000(0) = 0 (00, 0).000(00) +.000(0) = (5, 75).000(5) +.000(75) = (0, 50).000(0) +.000(50) = Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp untuk parkir 50 bus. x Halaman 54 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

65 TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang menghabiskan banyak waktu. Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN Matematika SMA itu hanya sekitar menit saja! Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut: Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif. Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius. Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam bidang koordinat Cartesius. Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan substitusi dari kedua persamaan garis tersebut. Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya. Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut. Perhatikan gambar di bawah: Model Matematika TRIK SUPERKILAT Grafik Max itu YEX Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan x y Titik Pojok Letak Fungsi Objektif Substitusi Titik Pojok Nilai Optimum Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja. Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear. Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X. (Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X). Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y. Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien x dan koefisien y dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif. Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar. Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien x dan koefisien y dari fungsi objektif. Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan x = 0 ke fungsi di sebelahnya. Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya. Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan y = 0 ke fungsi di sebelahnya. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 55

66 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Contoh Soal: Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 000 rupiah, setiap sepatu untungnya 000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah. a. sepatu b. sepatu c. tas d. 4 tas e. tas dan sepatu Penyelesaian: Model Matematika Tas (x) Sepatu (y) Total Unsur A 4 Unsur B 6 Untung Fungsi kendala: x + y 4 (perbandingan koefisien x dan y adalah /) x + y 6 (perbandingan koefisien x dan y adalah ) Fungsi objektif: maks 000x + 000y =. (perbandingan koefisien x dan y adalah /) LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT: Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!! Sumbu Y Eliminasi Sumbu X Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y Cari perbandingan koefisien x dan y untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar. Sumbu Y Eliminasi Sumbu X / / Letak Fungsi Objektif Perhatikan tabel tadi: Sumbu Y Eliminasi Sumbu X / / Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah / terletak pada kolom Sumbu X, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai ) Artinya substitusikan y = 0 untuk persamaan x + y = 6 x + y = 6 x + (0) = 6 x = Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00. Halaman 56 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

67 Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan x dan y yang sama. Contoh Soal : Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 0 unit vitamin A dan unit vitamin B. Dalam hari anak tersebut memerlukan 5 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah. Penyelesaian Cara Biasa: Model Matematika Fungsi kendala: 5x + 0y 5; x + y 5; x 0; y 0, x, y elemen bilangan cacah. Fungsi objektif: Minimumkan f(x, y) = 4.000x y TRIK SUPERKILAT: Tablet I Tablet Jumlah Perbandingan II koef x dan y / Vitamin A Vitamin 5 / B Harga / Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y / / / Grafik dan Daerah Penyelesaian Y 5,5 Kesimpulan: Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai / terdapat di X dan E, Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan /. Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik potong antara fungsi kendala dengan perbandingan / dan /. 5 5 X Titik Pojok Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5x + 0y = 5 x + 0y = 5 5 5x + 0y = 75 5x + 5y = 5 5y = 50 y = 50 5 y = Substitusi y = ke salah satu persamaan: x + y = 5 x + = 5 x = 5 x = x = x = Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (, ) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (, ), dan (0,5) Substitusi Titik Pojok Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil. Titik pojok (x, y) Fungsi objektif f(x, y) = 4.000x y (5, 0) 4.000(5) (0) = = (, ) 4.000() () = = (0, 5) 4.000(0) (5) = = Nilai Optimum Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x, y) terjadi pada titik (5, 0) dan (, ) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp0.000,00. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 57

68 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 0 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung gr kalsium dan gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp..000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah... A. Rp.000,00 B. Rp4.000,00 C. Rp8.000,00 D. Rp4.000,00 E. Rp6.000,00 TRIK SUPERKILAT: Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan koef x dan y Kalsium / Zat Besi 0 / Harga /8 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y / 0/8 5/ Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. Artinya titik minimumnya berada di hasil eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode determinan matriks) 60 x = = 6 = 0; y = = 6 = 5 Jadi nilai minimumnya adalah: f(x, y) =.000(0) + 800(5) = Rp4.000,00. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 5 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp ,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp ,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp ,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp ,00 dan sebuah sepeda balap Rp ,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah... A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 E. Rp ,00 TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) Sepeda gunung Sepeda balap Jumlah Jumlah 5 / Harga /4 Untung /6 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. Y E X /4 5/8 / Perbandingan koef x dan y Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks 5 x = = = 6; x + y = y = 5 y = 9; Jadi nilai maksimum adalah: f(x, y) = 500(6) + 600(9) = Rp.400. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 0 gram gula. Kue jenis II memerlukan 0 gram tepung dan 0 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual dengan harga Rp.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah... Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban A, B, C, D, dan E kurang satu angka nol. A. Rp0.400,00 B. Rp48.000,00 C. Rp56.000,00 D. Rp59.00,00 E. Rp7.000,00 TRIK SUPERKILAT: Kue jenis I Kue jenis II Jumlah Perbandingan koef x dan y Tepung / Gula / Harga /6 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. Y E X 4/ 40/6 / Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks x = = = 00; 0x + 0y = y = y = 00; Jadi nilai maksimum adalah: f(x, y) = 4.000(00) +.600(00) = Rp Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 58 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

70 . 9. Menyelesaikan operasi matriks. Matriks Bentuk Umum a a a a a n a n A m n = ( ) a m a m a mn Transpose Matriks Tukar Baris Kolom A = ( a b c d ) a c AT = ( b d ) Determinan Matriks Diagonal Utama Diagonal Samping A = ( a b c d ) A = a b = ad bc c d Operasi Aljabar Matriks Kesamaan Matriks Elemen yang Sama, Nilainya Sama a b ( ) = ( 5 5 ) { a = b = Penjumlahan Matriks Jumlahkan Elemen yang Sama a b f + e b + f ( ) + (e ) = (a c d g h c + g d + h ) Pengurangan Matriks Kurangkan Elemen yang Sama a b f e b f ( ) (e ) = (a c d g h c g d h ) Invers Matriks Pembagian Matriks AA = A A = I A = ( a b c d ) A = A ( d b c a ) Perkalian Matriks dengan Skalar Kalikan dengan Semua Elemen k ( a b kb ) = (ka c d kc kd ) Perkalian Matriks dengan Matriks Persamaan Matriks Dikali Invers dari Kanan atau Kiri??? AB = C { A = AB B = A C ( ) m n Syarat Harus Dipenuhi ( ) sama n k = ( ) m k Jumlah Perkalian Elemen Baris Kolom a b f + bg af + bh ( ) (e ) = (ae c d g h ce + dg cf + dh ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 59

71 TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah, asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan aljabar sederhana. Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks, Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks. Sifat Operasi Aljabar Matriks: A + B = B + A A B B A A + (B + C) = (A + B) + C A(B + C) = AB + AC AB BA Sifat Transpose Matriks: (A + B) T = A T + B T (A T ) T = A (A B) T = B T A T (ka) T = ka T Sifat Determinan Matriks: A T = A A = A A B = A B A B = C A B = C A B = C B = C A (A B) = B A Sifat Invers Matriks: AA = A A = I (A B) = B A Halaman 60 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

72 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan Operasi Aljabar Matriks. Contoh Soal : Diketahui matriks-matriks A = ( c 4 a 4 b ), B = ( ), C = ( ), dan D = ( 0 b ) Jika A B = CD maka nilai dari a + b + c =. a. 6 b. c. 0 d. e. 8 Penyelesaian: A B = CD ( c 0 ) ( 4 a b ) = ( 0 ) ( 4 b ) ( c 4 0 ) ( 4 a b + 9 ) = ( 0 ) b c 4 4 a b + 9 ( ) = ( 0 ) b Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh: c 4 = 0 c = c = 6 c = b = 4 b = 4 + b = b = 4 a = b a = () a = 8 a = 8 4 a = 4 a = 4 Jadi nilai a + b + c = ( 4) + () + () = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 6

73 Menentukan Determinan Matriks. Contoh Soal : Diketahui matriks A = ( ), dan B = ( ). Jika A t = transpos matriks A dan AX = B + A t, maka determinan matriks X=. a. 6 b. c. 0 d. e. 8 Penyelesaian: AX = B + A t X = A (B + A t ) = A Adj(A)(B + At ) = 5 (5 ) (( ) + ( 0 5 )) = (5 5 0 ) ( ) = 0 5 ( ) = ( ) Karena X = ( ), maka determinan matriks X adalah : X = = = Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini. AX = B + A t A X = B + A t X = B+At A Kita gunakan sifat determinan matriks Maka cari lebih dulu matriks (B + A t ) Ternyata B + A t = (( 7 0 ) + ( 0 5 )) = ( ) Jadi, B + A t = 5 X = B+At A = 5 5 = Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

74 Contoh Soal : Diketahui matriks A = ( 4 ), dan B = (5 4 ). Jika CA = B dan C adalah invers matriks C maka determinan dari matriks C =. a. b. c. d. e. Penyelesaian: C A = B C = B A C = (B A ) C = A B = ( 4 4 ) ( 5 ) = (4 4 ) ( 5 ) = ( 0 ) = ( 0 ) Karena C = ( 0 ), maka determinan matriks C adalah : C = 0 = 0 = Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini. C A = B C = B A C = (B A ) C = A B C = A B = = Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 6

75 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui matriks A = Jika A + B C = A. 8 B. C. 8 D. 0 E. y 5, B = 8 5x, maka nilai x 4 x 5 6 A + B C = ( 8 5x x 4 ) x + 6 y + 6 ( y 4 ) = ( 8 5x x 4 ) x + 6 = 8 x = y = x y = 4 dan C = y x xy y adalah... 9 Substitusi x = dan y = 4 x + xy + y = =. Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 64 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

77 . 0. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu. Vektor Notasi Vektor a a = a i + a j + a k = ( a ) a ka ka = ka i + ka j + ka k = ( ka ) ka a komponen pada sumbu X a komponen pada sumbu Y a komponen pada sumbu Z Operasi Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Jumlahkan Komponen yang Sama a b a + b a + b = ( a ) + ( b ) = ( a + b ) a b a + b Pengurangan Vektor Panjang Vektor Akar dari jumlah kuadrat a = a + a + a Kurangkan Komponen yang Sama a b a b a b = ( a ) ( b ) = ( a b ) a b a b Perkalian Skalar Vektor Posisi A(x a, y a, z a ) a O Dua Vektor Harus Searah Kalikan Komponen yang Sama a b = a b cos θ a b = a b + a b + a b Titik Koordinat = Komponen Vektor x a OA = a = ( y a ) z a Vektor Pada Dua Titik O a A(x a, y a, z a ) b B(x b, y b, z b ) Belakang Kurangi Depan x b x a AB = b a = ( y b y a ) z b z a a O Perkalian Vektor Dua Vektor Harus Tegak Lurus Putar Komponen yang Beda a b = a b sin θ i j k a b = a a a b b b Pembagian Ruas Garis Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya A(x a, y a, z a ) m p b P(x p, y p, z p ) n B(x b, y b, z b ) p = mb + na m + n Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 65

78 Sifat Operasi Vektor: a + b = b + a (a + b ) + c = a + (b + c ) a + 0 = 0 + a = a a + ( a ) = 0 Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor: a b = b a a (b + c ) = a b + a c a a = a a b a b = 0 Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor: i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j Halaman 66 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

79 TRIK SUPERKILAT: Jabarkan Lihat Syarat Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus. Misal diketahui a, b, dan c. Jika a b, maka tentukan hasil dari (a + b ) (a c )! Maka jabarkan (a + b ) (a c ) = a (a c ) + b (a c ) Tips dan triknya adalah, Lihat syarat, = (a a ) (a c ) + (a b ) (b c ) = a (a c ) + 0 (b c ) Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product). Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut. Perhatikan tulisan berwarna merah (a b ). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL! Perhatikan warna biru (a a ). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR! Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (a c ) atau (b c )? Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 67

80 KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA. Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama. PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut: k i + j i j = k Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya. i dikalikan silang dengan j maka hasilnya POSITIF k. j dikalikan silang dengan k maka hasilnya POSITIF i. k dikalikan silang dengan i maka hasilnya POSITIF j. Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF. Contohnya yaitu apabila j dikalikan silang dengan i maka hasilnya NEGATIF k. j i = k Halaman 68 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

81 Tipe Soal yang Sering Muncul Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal: k Diketahui vektor a = ( ), b = ( 5) dan c = ( ). Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka tentukan nilai dari a (b c ) =. a. 0 b. 6 c. d. 8 e. 4 Penyelesaian: a b a b = 0 k ( ) ( 5) = 0 k = 0 k 4 = 0 k = 4 k = Dengan demikian diperoleh: a = ( ) Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: a b a b = 0 a c = ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ( )) = 4 + = 4 a (b c) = a b a c = (a b ) 6(a c ) = (0) 6(4) = = 4 Jadi nilai a (b c) = 4 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Lihat bahwa a tegak lurus b, maka a b = 0 Jabarkan perkalian titik pada soal: a (b c ) = (a b ) 6(a c ) = 0 6(4) = 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 69

82 Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal: Diketahui vektor a = ( m ), b = ( ) dan c = ( ). Jika vektor a berlawanan dengan vektor c, maka 4 tentukan nilai dari 4a (c b ) =. a. 4 b. 0 c. d. 48 e. 7 Penyelesaian: a berlawanan arah dengan c a = kc ( m ) = k ( ) 4 Dari persamaan tersebut diperoleh: = k( ) k = Maka, m = k() m = ( ) () = Dengan demikian diperoleh: a = ( ) Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: a b = ( ) ( ) = ( ) + (( ) ( )) + (( ) ) = + = a c = ( ) ( ) = ( ( )) + (( ) ) + (( ) 4) = 8 = 4 4a (c b ) = 4a c 4a b = 8(a c ) 4(a b ) = 8() 4( ) = 4 ( 48) = 7 Jadi nilai 4a (c b ) = 7 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor a dan vektor c berikut: a = ( m ) dan c = ( ) 4 Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau itu, maka itu. Jelas bahwa m =. Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

83 Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal: Diketahui vektor a = ( p ), b = ( ) dan c = ( ). Jika panjang vektor a sama dengan panjang vektor 4 b, dan p < 0, maka tentukan nilai dari (a + b ) (b c ) =. a. 5 b. c. d. 9 e. 5 Penyelesaian: a = b () + (p) + ( ) = () + ( ) + () () + (p) + ( ) = () + ( ) + () + p + 4 = p + 5 = 4 p = 0 p 9 = 0 pembuat nol (p + )(p ) = 0 p + = 0 atau p = 0 p = atau p = Karena syarat p > 0, maka p =. Dengan demikian diperoleh a = ( ) Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: a b = ( ) ( ) = ( ) + ( ( )) + (( ) ) = 9 = 9 a c = ( ) ( ) = ( ( )) + ( ) + (( ) 4) = = 4 4 b c = ( ) ( ) = ( ( )) + (( ) ) + ( 4) = = 6 4 b = () + ( ) + () = = 4 (a + b ) (b c ) = a b a c + b b b c = a b a c + b b c = ( 9) ( 4) + 4 ( 6) = = 5 Jadi nilai (a + b ) (b c ) = 5 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor a dan b a = ( m ) dan b = ( ) Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: ( ) = () = 4. Sekarang bandingkan bilangan pada vektor a dan b. Pada vektor b memuat bilangan,, dan. Logika praktisnya. Karena vektor a sudah ada bilangan dan, maka pasti p = (pilih yang positif sesuai syarat pada soal p > 0). Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

84 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui vektor a b. c adalah... A. 7 B. 6 C. 6 D. E. 7 p a ; 4 b 6 ; dan c. Karena a b a b = 0 p 4 ( ) ( ) = 0 6 4p 6 6 = 0 p = 8 6 (a b ) (c ) = ( ( 6)) ( ) 9 = ( ) ( ) 9 = = 7 Jika a tegak lurus b, maka hasil dari. Diketahui vektor a i x j k, b i j k, dan c i j k Jika maka hasil dari a. b c A. 0 B. C. 0 D. 8 E. adalah... Karena a b a b = 0 ( x) ( ) = 0 x = 0 x = (a ) (b c ) = ( ) ( ) 6 = ( ) ( ) 6 = 4 8 = 0 a tegak lurus b,. Diketahui vektor a i j x k, b i j k, dan c i j k. Jika maka a b a c A. 4 B. C. 0 D. E. 4. adalah... Karena a c a c = 0 ( ) ( ) = 0 x + x = 0 x = a tegak lurus + (a + b ) (a c ) = ( ) ( ) + 4 = ( 0 ) ( ) 4 = = 0 c, Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 7 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

86 .. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor. Sudut Antara Dua Vektor Diketahui Komponen Vektor Titik Koordinat Panjang dan ResultanVektor a α = (a, b ) b B A α = (BA, BC ) C α a b a = a i + a j + a k b = b i + b j + b k BA = b a BC = c b a + b = a + b + a b cos α a b = a + b a b cos α Kosinus Sudut Antara Dua Vektor Kosinus Sudut Antara Dua Vektor cos α = a b a +b ( a + b ) a b cos α = a b cos α = atau ( a + b ) a b a b Besar Sudut Antara Dua Vektor Sudut berapa yang nilai cosnya x" cos α = x α = cos (x) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

87 TRIK SUPERKILAT: Tentukan dua vektor Cek Perkalian titik Perkalian titik = 0 Perkalian titik 0 α = 90 Gunakan rumus cos α Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor. Langkah TRIK SUPERKILAT: Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut α. Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut α pasti 90! Kalau perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos α yang sesuai dengan kondisi soal. Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

88 LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras: Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik.! Misal vektor a = i 4j + k, maka tentukan panjang vektor a? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: a = + ( 4) + = = 69 = Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut: a = i 4j + k Keterangan: 4 (ingat tripel Pythagoras, 4, 5) 5 (ingat tripel Pythagoras 5,, ) Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor a yaitu, 4,. Karena kita ingat tripel Pythagoras, 4, 5. Maka, 4 kita sederhanakan menjadi 5. Jadi, sekarang komponen vektor semula, 4, 5 kini menjadi 5,. Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5,,. Maka 5 dan bisa kita sederhanakan menjadi. Selesai! Panjang vektor a adalah! Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras yang sering muncul Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti, 5, 7, 9, dst maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut! Contoh: = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka adalah, 4, 5. 5 = 5 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 5 adalah dan, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5,, Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 75

89 LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah: x a c Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah a b dan a c, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah x, maka nilai x bisa ditentukan oleh: x = (a b) + (a c) a b x = a b + a c x = a (b + c) x = a b + c x = a b + c Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar a b a c a b + c a b + c a c bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya Contoh: a b jumlahkan saja bilangan di dalam akar 8 Cari FPB dari dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. Artinya = 4 9 dan 8 = 4 4, Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah = Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini! Misal vektor a = 4i j + 6k, maka tentukan panjang vektor a? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: a = 4 + ( ) + 6 = = 56 = 4 4 = 4 Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut: a = 4i j + 6k (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif) 4 6 (FPB dari 4,, dan 6 adalah. Ubah bilangan 4,, 6 menjadi dikali akar berapa gitu ) 4 9 (jumlahkan ) Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

90 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor. Contoh Soal: Diketahui vektor a = 4i + j + k dan b = i + j. Besar sudut antara vektor a dan b adalah. a. 0 b. 45 c. 60 d. 90 e. 0 Penyelesaian: 4 a = 4i + j + k = ( ) a = = = 4 = 4 6 = 6 b = i + j = ( ) b = = = 8 = 9 = 0 Dengan demikian diperoleh: cos α = a b a b 4 ( ) ( ) = 0 6 (4)() + ()() + ()(0) = 6 = = 8 = 8 = 8 6 = Jadi karena cos α =, maka besar sudut α = 0 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Lihat bahwa a b 0, maka jelas jawaban D (90 ) pasti salah! Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 4 4 a = 4i + j + k = ( ) = ( ) a = = 6 b = i + j = ( ) = ( ) b = + = 0 0 Lanjutkan dengan menghitung nilai cos α menggunakan rumus: 4 cos α = a b ( ) ( ) a b = 0 = dst dst dst 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 77

91 Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat. Contoh Soal: Diketahui segitiga ABC dengan A(,, ), B(6,, ), dan C(6, 5, ). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC, maka sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah a. 0 b. 45 c. 60 d. 90 e. 0 Penyelesaian: 6 4 AB = b a = ( ) ( ) = ( 0) AB = = = 6 = AC = c a = ( 5) ( ) = ( 4) AC = = = = 4 0 Dengan demikian diperoleh: cos α = AB AC AB AC 4 4 ( 0) ( 4) = (4)(4) + (0)(4) + (0)(0) = 6 = = 6 6 = = = Jadi karena cos α =, maka besar sudut α = 45 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Lihat bahwa AB AC 0, maka jelas jawaban D (90 ) pasti salah! Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 6 4 AB = b a = ( ) ( ) = ( 0) AB = 4 (karena komponen yang lain nol) AC = c a = ( 5) ( ) = ( 4) = ( 4 ) AC = 4 + = serta hasil kali titik dari AB AC tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar. Karena panjang AC memuat bilangan. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos α =, dan satusatunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos α = adalahα = 45. Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

92 Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor. Contoh Soal: Diketahui a =, b =, dan a + b = 9. Besar sudut antara vektor a dan b adalah. a. 0 b. 45 c. 60 d. 90 e. 0 Penyelesaian: Ingat a + b = a + b + a b cos α Dengan demikian diperoleh: a + b = a + b + a b cos α ( 9) = () + () + ()() cos α 9 = cos α 9 = + cos α 9 = cos α 6 = cos α 6 = cos α = cos α cos α = Jadi, karena cos α =, maka besar sudut α = 60 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah: cos α = a + b ( a + b ) a b 9 (4 + 9) = 9 = = 6 = Jadi, karena cos α =, maka besar sudut α = 60 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 79

93 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui vektor A. 5 B. 0 C. 90 D. 60 E. 45 a dan cos (a, b ) = a b a b b. 4 = = 0 cos θ = 0 θ = 90 Sudut antara vektor a dan b adalah... TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.. Diketahui titik A (, 0, ), B (,, ), C (, 0, ). Sudut antara vektor A. 0 AB = B A = (, 0, ) B. 45 AC = C A = (, 0, C. 60 D. 90 cos (AB, AC ) = AB AC E. 0 AB AC = + 0 = 0 cos θ = 0 θ = 90 AB dengan AC TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. adalah... Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

95 .. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi. Proyeksi Vektor Proyeksi Orthogonal Vektor a pada Vektor b Bayangan vektor a pada vektor b a α c b Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor c Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku, cos α = c a Sehingga, c = a cos α Masih ingat dengan sudut antara dua vektor? cos α = a b a b sehingga c = a a b a b Panjang Proyeksi Vektor Proyeksi skalar c = a b b Masih ingat dengan panjang vektor satuan? b = b b sehingga c = c b b Vektor Proyeksi Proyeksi vektor c = a b b b Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 8

96 TRIK SUPERKILAT: Vektor Proyeksi Perhatikan dua vektor yang terkait. Proyeksi vektor apa ke vektor apa? Proyeksi vektor a pada vektor b Vektor yang diproyeksikan: Vektor a Diproyeksikan ke vektor apa? Vektor b Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda Cek opsi jawaban yang merupakan kelipatan dari vektor b Hanya ada satu jawaban Lebih dari satu jawaban SELESAI! Lanjutkan dengan rumus Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor tujuan proyeksi. a b b dikali b SELESAI Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor. Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut. Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar. Kok bisa? Buktinya apa? Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut: a b c = b hasilnya konstanta b = k b = kelipatan k dari b Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

97 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan panjang proyeksi vektor. Contoh Soal: Diketahui vektor a = 4i + j + k dan b = i + j. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah. a. 8 b. 8 c. 8 d. 8 e. 4 8 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh: c = a b b 4 ( ) ( ) = (4)() + ()() + ()(0) = = = 8 8 = = = 8 Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 8. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 8

98 Menentukan vektor proyeksi. Contoh Soal : Diketahui vektor a = 5i 8j dan b = i j + k, maka vektor proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah. a. i j k b. i + 4j + 4k c. i j 4k d. i + j k e. 4i j + 4k Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh: c = a b b b 5 ( 8) ( ) = 0 ( + ( ) + ) (i j + k ) = (5)() + ( 8)( ) + (0)() + ( ) + (i j + k ) = (i j + k ) = 8 9 (i j + k ) = (i j + k ) = 4i j + 4k Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor b = i j + k. Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor b = i j + k hanyalah jawaban E yaitu dua kalinya vektor b. Selesai! Halaman 84 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

99 Contoh Soal : Diketahui vektor p = i j + k dan q = i j + k, maka vektor proyeksi orthogonal vektor p pada q adalah. a. i j + k b. c. d. e. 7 9 (i j + k ) 9 (i j + k ) 9 7 (i j + k ) (i j + k ) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh: p q c = q q ( ) ( ) = ( + ( ) + ) (i j + k ) = ()() + ( )( ) + ()() + ( ) + (i j + k ) = (i j + k ) = 7 9 (i j + k ) Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor q = i j + k. Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor q = i j + k adalah semua jawaban. Jadi kerjakan dengan cara biasa saja. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 85

100 Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya. Contoh Soal: Diketahui vektor a = ( ) dan b = ( 0 ), dan panjang proyeksi vektor a pada b adalah. Maka nilai x =. x 4 a. b. c. 0 d. e. Penyelesaian: Panjang vektor proyeksi vektor a pada b adalah: c = a b b ( ) ( 0 ) = x ( 4) ()() + ()(0) + (x)(4) = = x 5 = 4x = 4x = 4x 4 = 4x 4 4 = x = x x = Jadi nilai dari x = () = Halaman 86 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

101 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui vektor a 5 i 6 j k dan b i j k. Proyeksi orthogonal vektor A. i j k B. i j k C. i j k D. i j k E. i j k. Proyeksi orthogonal vektor a 4i j k pada b i j k adalah... A. (i j k) 4 Proyeksi a ke b = a b b b 5 B. (i j k) = ( ) (i + j + k ) 8 C. (i j k) = (i + j + k ) 9 = 9 D. (i j k) 7 (i + j + k ) 7 E. 4i j 6k Proyeksi a ke b = a b b b = 5 ( ) b = 9 9 b = i + j + k a pada b adalah... TRIK SUPERKILAT: Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari b. Lihat pola tanda pada b plus min min. Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus min min atau min plus plus. Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D. Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 87

103 .. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih. Transformasi Geometri Acuan Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi Pergeseran terhadap x = 0 sebesar θ pusat O sebesar k pusat O terhadap y = 0 terhadap titik (0, 0) terhadap y = ±x terhadap y = mx + 0 Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum Transformasi terhadap Titik Bayangan A(x, y) adalah A (x, y ) ( x y ) = M ( x y ) M = Matriks Transformasi Transformasi terhadap Kurva Substitusikan x, y pada fungsi kurva (x y ) = M ( x y ) M = Invers Matriks Transformasi Komposisi Transformasi Ingat (f g) artinya g dikerjakan lebih dulu daripada f (M n M M ) merupakan komposisi transformasi M dilanjutkan oleh transformasi M dan seterusnya sampai dengan transformasi M n Komposisi Dua Transformasi Titik Bayangan A(x, y) adalah A (x, y ) ( x y ) = (M M ) ( x y ) Komposisi Dua Transformasi Kurva Substitusikan x, y pada fungsi kurva (x y ) = (M M ) ( x y ) Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

104 Tabel Transformasi Geometri Translasi Translasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi. Transformasi identitas A(x, y). Translasi oleh ( a b ) A(x, y) I A (x, y) ( x 0 ) = ( y 0 ) (x y ) T=( a b ) A (x + a, y + b) ( x 0 ) = ( y 0 ) (x y ) + (a b ) Pencerminan Pencerminan terhadap garis x =.. Pencerminan terhadap sumbu Y (x = 0). Pencerminan terhadap garis x = a A(x, y) M sby Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi A ( x, y) ( x 0 ) = ( y 0 ) (x y ) M x=a A(x, y) A (a x, y) ( x a 0 a ) = ( ) (x y 0 y ) Pencerminan terhadap garis y =.. Pencerminan terhadap sumbu X (y = 0) 4. Pencerminan terhadap garis y = b A(x, y) M sbx Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi A (x, y) ( x 0 ) = ( y 0 ) (x y ) M y=b A(x, y) A (x, b y) ( x y b ) = ( 0 0 ) ( x y b ) Pencerminan terhadap titik (.,.) 5. Pencerminan terhadap titik asal O(0, 0) 6. Pencerminan terhadap titik P(a, b) A(x, y) M O(0,0) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi A ( x, y) ( x 0 ) = ( y 0 ) (x y ) M P(a,b) A(x, y) A (a x, b y) ( x a y b ) = ( 0 0 a ) (x y b ) Pencerminan terhadap garis y = ±x Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi 7. Pencerminan terhadap y = x 8. Pencerminan terhadap garis y = x A(x, y) A(x, y) M y=x A (y, x) ( x ) = (0 y 0 ) (x y ) M y= x A ( y, x) ( x 0 ) = ( y 0 ) (x y ) Pencerminan terhadap garis y = mx Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi 9. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan θ A(x, y) M y=mx A (x, y ) x = x cos θ + y sin θ y = x sin θ y cos θ ( x θ sin θ ) = (cos y sin θ cos θ ) (x y ) 0. Pencerminan terhadap garis y = mx + c dimana m = tan θ A(x, y) M y=mx+c A (x, y ) x = x cos θ + (y c) sin θ y = x sin θ (y c) cos θ + c ( x θ sin θ y ) = (cos c sin θ cos θ ) ( x y c ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 89

105 Rotasi Rotasi sebesar θ terhadap titik (.,.). Rotasi θ berlawanan jarum jam terhadap pusat O(0, 0). Rotasi θ berlawanan jarum jam terhadap pusat P(a, b) A(x, y) R[O,θ] R[P(a,b),θ] Pemetaan A (x, y ) x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ A(x, y) A (x, y ) x = (x a) cos θ (y b) sin θ + a y = (x a) sin θ + (y b) cos θ + b Persamaan Matriks Transformasi ( x θ sin θ ) = (cos y sin θ cos θ ) (x y ) ( x a θ y ) = (cos b sin θ sin θ a ) (x cos θ y b ) Dilatasi Dilatasi pusat (.,.) faktor dilatasi k. Dilatasi [O, k]. Dilatasi [P(a, b), k] Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi D[O,k] A(x, y) A (kx, ky) ( x 0 ) = (k y 0 k ) (x y ) D[P(a,b),k] A(x, y) A (x, y ) x = k(x a) + a y = k(y b) + b ( x a y b ) = (k 0 0 a ) (x k y b ) Keterangan: Transformasi terhadap titik: Masukkan titik (x, y) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (x, y ). ( x y ) = M ( x y ) Transformasi terhadap fungsi (kurva): Substitusikan x dan y ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel x dan y. Untuk mempermudah gunakan invers matriks: ( x y ) = M ( x y ) M ( x y ) = ( x y ) ( x y ) = M ( x y ) Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir. Keterangan warna: = Transformasi ACUAN. = Transformasi TURUNAN. cos θ sin θ ( ) = Matriks Transformasi ACUAN sin θ cos θ P(a, b) = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap ACUAN. Halaman 90 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

106 TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN. Buat dua titik, A(, 0) dan B(0, ) pada bidang koordinat B(0, ) Transformasikan kedua titik (, 0) A(, 0) Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom (0, ) Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 0 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi Misalkan M = ( a c b ) adalah matriks transformasi T, d maka hasil dari transformasi titik A(, 0) adalah: ( x A y ) = ( a b A c d ) ( 0 ) = (a c ) dan hasil dari transformasi titik B(0, ) adalah: ( x B y ) = ( a b B c d ) (0 ) = (b d ) Sehingga proses menyusun matriks transformasi M adalah dengan meletakkan titik A(, 0) dan B(0, ) pada bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, ( x A y A ) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan ( x B y B ) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah: M = ( a c x B b d ) = (x A y A y ) B Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis x = 0). A (, 0) A(, 0) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis x = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi A (, 0). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di B (0, ). sb Y sb Y B (0, ) Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis x = 0) adalah: M sby = ( 0 0 ) Koordinat A (, 0) Koordinat B (0, ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

107 Pencerminan terhadap sumbu X (garis y = 0). sb X sb X B(0, ) A (, 0) B (0, ) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis y = 0), maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di A (, 0). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi B (0, ). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis y = 0) adalah: M sbx = ( 0 0 ) Koordinat A (, 0) Koordinat B (0, ) Pencerminan terhadap titik asal O(0, 0). A (, 0) A(, 0) O(0, 0) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal O(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi A (, 0). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi B (0, ). B(0, ) O(0, 0) (0, ) Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal O(0, 0) adalah: M O(0,0) = ( 0 0 ) Koordinat A (, 0) Koordinat B (0, ) Pencerminan terhadap garis y = x. A (0, ) y = x B(0, ) y = x A(, 0) B (, 0) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis y = x, maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi A (0, ). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi B (, 0). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis y = x adalah: M y=x = ( 0 0 ) Koordinat A (0, ) Koordinat B (, 0) Halaman 9 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

108 Pencerminan terhadap garis y = x. A (0, ) B (, 0) A(, 0) y = x B(0, ) y = x Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis y = x, maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi A (0, ). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi B (, 0). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis y = x adalah: M y= x = ( 0 0 ) Koordinat A (0, ) Koordinat B (, 0) Rotasi 90 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0). A (0, ) A(, 0) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi A (0, ). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi B (, 0). rotasi 90 berlawanan jarum jam B(0, ) B (, 0) rotasi 90 berlawanan jarum jam Jadi matriks transformasi rotasi 90 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0): M R(O,90 ) = ( 0 0 ) Koordinat A (0, ) Koordinat B (, 0) Rotasi 80 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0). A (, 0) A(, 0) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 80 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi A (, 0). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi B (0, ). rotasi 80 berlawanan jarum jam B(0, ) B (0, ) rotasi 80 berlawanan jarum jam Jadi matriks transformasi rotasi 80 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0): M R(O,80 ) = ( 0 0 ) Koordinat A (, 0) Koordinat B (0, ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

109 Rotasi 70 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0). atau sama dengan Rotasi 90 searah jarum jam dengan pusat O(0, 0). A(, 0) A (0, ) rotasi 70 berlawanan jarum jam rotasi 90 searah jarum jam B(0, ) B (, 0) rotasi 70 berlawanan jarum jam rotasi 90 searah jarum jam Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 70 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0) atau sama dengan rotasi 90 searah jarum jam dengan pusat O(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi A (0, ). dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi B (, 0). Jadi matriks transformasi rotasi 70 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0) atau sama dengan rotasi 90 searah jarum jam dengan pusat O(0, 0): M R(O,70 ) = M R(O, 90 ) = ( 0 0 ) Koordinat A (0, ) Koordinat B (, 0) Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar k dengan pusat O(0, 0). A(, 0) A (k, 0) dilatasi dengan faktor skala k Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar k dengan pusat O(0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi A (k, 0). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi B (0, k). B (0, k) B(0, ) dilatasi dengan faktor skala k Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar k dan pusat O(0, 0): M D(O,k) = ( k 0 0 k ) Koordinat A (k, 0) Koordinat B (0, k) Halaman 94 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

110 Pencerminan terhadap garis y = mx, dengan m = tan θ. B(0, ) 90 θ A (cos θ, sin θ) θ θ A(, 0) θ θ Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis y = mx dengan m = tan θ, maka titik A akan berputar sejauh θ, sehingga menjadi A (cos θ, sin θ). dan titik B akan berputar sejauh (90 θ), sehingga menjadi B (sin θ, cos θ). Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis y = mx dengan m = tan θ: cos θ sin θ M y=mx = ( sin θ cos θ ) Koordinat A (cos θ, sin θ) B (cos (90 θ), sin(90 θ)) atau dengan sifat kuadran bisa diubah menjadi B (sin θ, cos θ) Koordinat B (sin θ, cos θ) Rotasi sebesar θ berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0). B ( sin θ, cos θ) B(0, ) θ θ A (cos θ, sin θ) A(, 0) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 80 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0), maka titik A akan berputar sejauh θ, sehingga koordinatnya menjadi A (cos θ, sin θ). dan titik B akan berputar sejauh θ, sehingga koordinatnya menjadi B ( sin θ, cos θ). Jadi matriks transformasi rotasi 80 berlawanan jarum jam dengan pusat O(0, 0): cos θ sin θ M R(O,θ) = ( sin θ cos θ ) Koordinat A (cos θ, sin θ) Koordinat B ( sin θ, cos θ) Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan: Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut, yaitu: Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik A(, 0) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik B(0, ) terhadap transformasi tersebut. M = ( a c x B b d ) = (x A y A y ) B Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 95

111 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN. Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita. Pencerminan: terhadap garis y = 0 (sumbu X) terhadap garis x = 0 (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis y = ±x terhadap garis y = mx + 0 Rotasi Dilatasi sebesar θ berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0) faktor dilatasi k dengan pusat O(0, 0) Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan: Rotasi Dilatasi pencerminan terhadap garis y = b pencerminan terhadap garis x = a pencerminan terhadap titik (a, b) pencerminan terhadap garis y = mx + c rotasi sebesar θ berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik P(a, b) dilatasi dengan faktor dilatasi k, tapi dengan pusat rotasi titik P(a, b) Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar θ, kok pusatnya di titik P(a, b) bukan O(0, 0)? Maka lakukan translasi ( a ) pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke O(0, 0) b x a ( y b ) Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud! ( x x a y ) = M R(P,θ) ( y b ) Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu T = ( a b ). ( x x a y ) = M R(P,θ) ( y b ) + (a b ) atau biasa ditulis dengan: ( x a y b ) = M x a R(P,θ) ( y b ) Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN: Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut: ( x a a y ) = M (x b y b ) Halaman 96 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

112 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi T = ( p q r s ). Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk x =.atau y =. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya. ( x y ) = M ( x y ) Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan ax + by + c = 0, maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( p q ) adalah.??? r s Nah, misalkan matriks transformasi M adalah T = ( p q ) dan M adalah determinan matriks transformasi r s tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi: ( x y ) = M ( x y ) ( x y ) = M ( s q r p ) (x y ) Dari persamaan matriks tersebut diperoleh: x = M (sx qy ) y = M ( rx + py ) Substitusikan x dan y pada persamaan ax + by + c = 0, maka akan diperoleh: a [ M (sx qy )] + b [ M ( rx + py )] + c = 0 (kalikan semua ruas dengan M ) a(sx qy ) + b( rx + py ) + M c = 0 asx aqy brx + bpy + M c = 0 asx brx + bpy aqy + M c = 0 (as br)x + (bp aq)y + M c = 0 a b r s p q x + a b p q y + a b c = 0 TRIK SUPERKILAT: Jadi rumus cepat untuk bayangan garis ax + by + c = 0 terhadap matriks transformasi T = ( p q r s ): a b q q x + p y + p r s a b r s c = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 97

113 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal : Bayangan dari titik A(, 5) oleh transformasi T = ( ) adalah. a. (5, 8) b. (5, ) c. (, ) d. ( 5, ) e. ( 5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh: ( x y ) = ( x y ) + (a b ) = ( 5 ) + ( ) = ( 5 ) Contoh Soal : Bayangan dari titik B(, 5) oleh pencerminan terhadap garis y = adalah. a. (5, 8) b. (5, ) c. (, ) d. ( 5, ) e. ( 5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu y = 0 alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya? y + ) = M sbx ( x y + ) ( x ( x y + ) = ( 0 0 ) ( ( 5) + ) ( x y + ) = ( 0 0 ) ( ) ( x y ) + ( 0 ) = ( ) ( x y ) = ( ) (0 ) ( x y ) = ( ) Atau menggunakan pemetaan: M y=b A(x, y) A (x, b y) Jadi: x = x = y = b y = ( ) ( 5) = = Jadi bayangan titik tersebut adalah B (, ) Atau menggunakan grafik. (, ) (, 5) y = Halaman 98 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

114 Contoh Soal : Bayangan dari titik C(, ) oleh rotasi sebesar 45 dengan pusat (, ) adalah. a. (, ) b. (, ) c. ( +, ) d. ( +, ) e. (, + ) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat O(0, 0) masih ingat kan matriks transformasinya? ( x y ) = M R(O,45 ) ( x y ) ( x 45 sin 45 y ) = (cos sin 45 cos 45 ) ( ) ( x y ) = ( ) ( ) ( x y ) + ( ) = ( ( x y ) + ( ) = ( ) + ) ( x y ) = ( ) ( ) ( x y ) = ( ) Contoh Soal 4: Bayangan dari titik D(4, ) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi dan pusat (0, 5) adalah. a. (8, 4) b. (8, ) c. ( 8, ) d. ( 8, ) e. ( 8, ) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat O(0, 0) masih ingat kan matriks transformasinya? y 5 ) = M D(O, ) ( x y 5 ) ( x ( x y 5 ) = ( 0 0 ) ( 4 5 ) ( x y 5 ) = ( 0 0 ) ( 4 ) ( x y ) + ( 0 5 ) = ( 8 6 ) ( x y ) = ( 8 6 ) ( 0 5 ) ( x y ) = ( 8 ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 99

115 Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik. Bayangan dari titik E(, 0) oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90 terhadap titik asal O(0, 0) adalah. a. (, 0) b. (, ) c. (, ) d. (0, ) e. (0, ) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka: ( x y ) = M R(O,90 ) M sbx ( x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 ) ( x y ) = ( 0 0 ) ( 0 ) ( x y ) = ( 0 ) Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(, 0) di transformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90, hasilnya A (0, ) Titik B(0, ) ditransformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90, hasilnya B (, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah: M = ( 0 0 ) Sehingga, ( x y ) = M ( x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) ( 0 ) ( x y ) = ( 0 ) Selesai! Halaman 00 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

116 Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva. Contoh Soal : Bayangan dari kurva x y = 7 oleh transformasi T = ( ) adalah. 5 a. x y = b. x y = 5 c. x y = 9 d. x y = e. x y = Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh: ( x y ) = ( x y ) + (a b ) invers ( x y ) = (x y ) ( a b ) ( x y ) = (x y ) ( a b ) ( x y ) = (x y ) ( 5 ) ( x y ) = (x y 5 ) x = x y = y 5 Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan x y = 7, diperoleh: (x ) (y 5) = 7 x 6 y + 0 = 7 x y + 4 = 7 x y = 7 4 x y = Jadi persamaan bayangannya adalah x y = TRIK SUPERKILAT: ax + by = c T=( p q ) ax + by = c + ap + bq x y = 7 T=( 5 ) x y = 7 + () (5) x y = x y = Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 0

117 Contoh Soal : Bayangan dari kurva y = x + x oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah. a. y = x + x b. y = x + x c. y = x x d. y = x x e. y = x x Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh: ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) x = x y = y invers x = x y = y Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan y = x + x, diperoleh: y = x + x y = ( x ) + ( x ) y = x x Jadi persamaan bayangannya adalah y = x x. TRIK SUPERKILAT: Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau. Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa. Contoh Soal : Bayangan dari kurva y = 4x oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut θ = π dengan pusat P(, ) adalah. a. y = 4x + 6x b. y = 4x + 6x c. y = 4x 6x d. y = 4x 6x + e. y = 4x 6x + Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 80 terhadap pusat P(, ) diperoleh: ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) + ( ) = ( x + y + ) ( x y ) = ( x + y + ) ( ) invers ( x ( x y ) = ( x + y + 4 ) x = x + y = y + 4 y ) = ( 0 0 ) (x y ) Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan = 4x, diperoleh: y = 4x y + 4 = 4( x + ) y + 4 = 4(x 4x + 4) y = 4x 6x y = 4x 6x + y = 4x + 6x Jadi persamaan bayangannya adalah y = 4x + 6x. Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

118 Contoh Soal 4: Bayangan dari kurva y = 6x oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala dengan pusat P(, 0) adalah. a. (5, 8) b. (5, ) c. (, ) d. ( 5, ) e. ( 5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala terhadap pusat P(, 0) diperoleh: ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) invers ( x y ) = 4 ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) + ( 0 ) = 4 (x y ) ( x y ) = 4 (x y ) ( 0 ) ( x y ) = ( x ) ( 0 ) y ( x y ) = ( x + x = ) x + y y = y Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan y = 6x, diperoleh: y = 6x ( y ) = 6 ( x + ) y = x + y = x + Jadi persamaan bayangannya adalah y = x +. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 0

119 Contoh Soal 5: Bayangan dari kurva x y + = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( ) adalah. a. x y + = 0 b. x + y + = 0 c. x + y + = 0 d. x y = 0 e. x y + = 0 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh: y ) = ( ) (x y ) invers ( x y ) = ( ) (x y ) ( x y ) = + y ( x x + y ) x = x + y y = x + y ( x Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan y = 6x, diperoleh: x y + = 0 ( x + y ) ( x + y ) + = 0 x + y + x 4y + = 0 x + x + y 4y + = 0 x y + = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah x y + = 0 TRIK SUPERKILAT Bayangan garis ax + by + c = 0 terhadap matriks transformasi T = ( p q r s ): a b q q x + p y + p r s a b r s c = 0 Bayangan garis x y + = 0 terhadap matriks transformasi T = ( ): x + y + c = 0 ( ( ))x + ( 4 ( ))y + ( ( )) = 0 x y + = 0 Halaman 04 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

120 Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva. Contoh Soal : Bayangan garis x y + 6 = 0 oleh refleksi terhadap garis y = x diikuti oleh rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh setengah putaran adalah. a. x y + 6 = 0 b. x + y + 6 = 0 c. x y + 6 = 0 d. x + y + 6 = 0 e. x + y + 6 = 0 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh: ( x y ) = (T T ) ( x y ) ( x y ) = M R(O,80 ) M y=x ( x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) (0 0 ) (x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) = ( y x ) invers x = y y = x Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan x y + 6 = 0, diperoleh: x y + 6 = 0 ( y ) ( x ) + 6 = 0 x y + 6 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah x y + 6 = 0 Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(, 0) dicerminkan oleh garis y = x dilanjutkan rotasi 80 pusat O, hasilnya A (0, ) Titik B(0, ) dicerminkan oleh garis y = x dilanjutkan rotasi 80 pusat O, hasilnya B (, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah: M = ( 0 0 ) Sehingga, ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) = ( y x ) invers x = y y = x Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan x y + 6 = 0, diperoleh: x y + 6 = 0 ( y ) ( x ) + 6 = 0 x y + 6 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah x y + 6 = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 05

121 Contoh Soal : Bayangan garis y = x x + oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O(0, 0) dan faktor skala adalah. a. x 9x y + 8 = 0 b. x 9x + y + 8 = 0 c. x x + 9y + 8 = 0 d. x + 9x y 8 = 0 e. x 9x y 8 = 0 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh: ( x y ) = (T T ) ( x y ) ( x y ) = M D(O,) M sumbux ( x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) ( x y ) = ( x y ) invers x = x y = y Sehingga, substitusi nilai x dan y pada persamaan y = x x +, diperoleh: y = x x + y = ( x ) ( x ) + y = 9 x x + (kalikan semua ruas dengan 9) y = x 9x + 8 x 9x + y + 8 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah x 9x + y + 8 = 0 Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi pusat O, hasilnya A (, 0) Titik B(0, ) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi pusat O, hasilnya B (0, ) Maka matriks komposisi transformasinya adalah: M = ( 0 0 ) Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama dengan penyelesaian cara biasa di atas. Halaman 06 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

122 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Bayangan garis x y 5 pencerminan terhadap sumbu X adalah... A. x 4y 5 a b q B. 4x y 5 x + p r s a b C. 4x y 5 T D. x 5y 5 = ( 5 ) ; T = E. x y 5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi 5 dilanjutkan dengan. Bayangan kurva y x 9x jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala adalah... A. x y y T = ( 0 B. x y y C. x y y D. y x x E. y x y. Bayangan kurva y x x jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala adalah... A. x 9x y 7 0 T = ( 0 y = x + x + B. x 9x y 7 0 C. x 9x y 7 0 D. x 9x y 7 0 E. x 9x Persamaan bayangan lingkaran x y 4bila dicerminkan terhadap garis x dilanjutkan dengan TRIK SUPERKILAT: translasi adalah... 4 (x, y) M x= (4 x, y) ( 4 ) ( x, y + 4) x A. x y x 8y 0 = x x = x B. x y x 8y 0 C. x y x 8y 0 D. x y x 8y 0 E. x y 8x y 0 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. TIPS SUPERKILAT: Bayangan garis ax + by + c = 0 terhadap matriks transformasi T = ( p q r s ): q y + p r s c = 0 M sb x 0 ( 0 ) ; T = T T = ( 0 0 ) ( 5 ) = ( 5 ) Bayangan garis x y 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah : 5 x + y + 5 ( 5) = 0 4x y + 5 = 0 4x + y = 5 0 ) ; T = ( 0 0 ) T T = ( 0 ) (0 ) = ( ) y ) = ( 0 0 ) (x y ) ( x x = y y = x y = x x = y 0 ) ; T = ( 0 0 ) T T = ( 0 0 ) ( 0 0 ) = ( 0 0 ) ( x y ) = ( 0 0 ) (x y ) x = x x = x y = y y = y y = y + 4 y = y 4 x + y = 4 ( x) + (y 4) = 4 x x + + y 8x + 6 = 4 x + y x 8y + 7 = 4 x + y x 8y = 0 x + y x 8y + = 0 y = x 9x ( x ) = ( y ) 9 ( y ) x = y y (dikali ) x = y y ( y ) = ( x) + ( x ) + y = 9 x + x + (dikali 9) y = x + 9x = x + 9x + y + 7 Bayangkan titik pusat (0, 0) dicerminkan terhadap x =, akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi - satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (, 4). Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (, 4) adalah jawaban A!!! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 07

124 . 4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma. Pertidaksamaan Eksponen atau Logaritma Eksponen a f(x) Logaritma a log f(x) Syarat Eksponen Syarat Logaritma a > 0 dan a a > 0 dan a f(x) bebas berapapun boleh f(x) > 0 Perhatikan bilangan pokoknya a f(x) atau a log f(x) pasti sudah memenuhi syarat Lebih Dari Satu Diantara Nol dan Satu a > 0 < a < Tanda pertidaksamaan tetap a f(x) a g(x) f(x) g(x) a f(x) a g(x) f(x) g(x) a log f(x) a log g(x) f(x) g(x) a log f(x) a log g(x) f(x) g(x) Tanda pertidaksamaan dibalik a f(x) a g(x) f(x) g(x) a f(x) a g(x) f(x) g(x) a log f(x) a log g(x) f(x) g(x) a log f(x) a log g(x) f(x) g(x) Syarat Eksponen Syarat Logaritma f(x) bebas berapapun boleh f(x) > 0, g(x) > 0 Halaman 08 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

125 TRIK SUPERKILAT Baca soal Cek topik soal tentang apa? Pertidaksamaan Eksponen Pertidaksamaan Logaritma Selesaikan pertidaksamaan Selesaikan pertidaksamaan Syarat numerus harus positif Iriskan dalam garis bilangan Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang pertidaksamaan eksponen atau logaritma, mau tidak mau kita harus paham tentang bagaimana sifat perpangkatan atau logaritma itu sendiri. Lalu yang tak kalah pentingnya adalah untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, maka perlu diperhatikan juga syarat logaritma itu terdefinisi, selain bilangan pokok harus positif dan tidak boleh satu, juga harus dipenuhi syarat numerus harus positif. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 09

126 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk a f(x) a g(x). Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( 8 )x+ ( )x adalah. a. 5 x b. x 5 c. x atau x 5 d. x 5 atau x e. x 5 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: ( 8 )x+ ( )x kita punya dua pilihan, yaitu mengubah 8 dan menjadi pangkat berapa atau pangkat berapa konsekuensinya? kalau memilih maka tanda pertidaksamaan harus dibalik, sedangkan bila memilih maka tanda pertidaksamaan tetap } ( ) x+ ( ) x (x+) (x ) x 9 x + x 9 x + x x 0 0 (x + )(x 5) 0 Pembuat nol x + = 0 atau x 5 = 0 x = atau x = 5 Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, saya lebih memilih, supaya tandanya tidak berubah Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x atau x 5}. Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

127 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk A{a f(x) } + B{a f(x) } + C 0 Contoh Soal : Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x+ 4. x+ + 4 > 0 adalah. a. 0 < x < b. < x < c. x < atau x > d. x < 0 atau x > e. x > Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: x+ 4. x+ + 4 > 0 (Ingat x+ = x dan x+ = x ). x ( x ) + 7 > 0. ( x ) 6. ( x ) + 7 > 0 Misal a = x a 6a + 8 > 0 (a )(a 9) > 0 Pembuat nol a = 0 atau a 9 = 0 a = atau a = 9 Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, Jadi daerah penyelesaian: a < atau a > 9 x < atau x > 9 x < atau x > Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x < atau x > }. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

128 Contoh Soal : Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 5 x > 6 adalah. a. < x < b. < x < 9 c. x < atau x > d. x < atau x > 9 e. x > Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: x + 5 x > 6 (Jadikan ruas kiri sama dengan nol) x + 5 x 6 > 0 (Ingat 5 x = 5 x dan 5 = 4) x + 4. x 6 > 0 (Kalikan semua ruas dengan x, supaya tidak ada bentuk x ) x. x + 4. x. x 6. x > 0 x x > 0 x 6. x + 4 > 0 ( x ) 6. x + 4 > 0 Misal a = x a 6a + 4 > 0 (a 9)(a 7) > 0 Pembuat nol a 9 = 0 atau a 7 = 0 a = 9 atau a = 7 Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, Jadi daerah penyelesaian: a < 9 atau a > 7 x < atau x > 9 x < atau x > Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x < atau x > }. Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

129 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk a log f(x) a log g(x). Contoh Soal : Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 log(x x) < adalah. a. 0 < x < b. < x < c. x < 0 atau x > d. < x < 0 atau < x < e. x > Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh: 4 log(x x) < (Ingat ubah menjadi bentuk logaritma 4 log berapa ya?) 4 log(x x) < 4 log x x < x x < 0 (x + )(x ) < 0 Pembuat nol x + = 0 atau x = 0 x = atau x = Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, + + Daerah yang memenuhi adalah < x <...() Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif. (x x) > 0 x(x ) > 0 Pembuat nol x = 0 atau x = 0 x = 0 atau x = Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, Daerah yang memenuhi adalah x < 0 atau x >...() Dari () dan (), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: 0 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x < x < 0 atau < x < }. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

130 Contoh Soal : Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log( x) + log(x + 5) < log(x + ) adalah. a. 0 < x < b. < x < c. x < atau x > d. 0 < x < atau < x < e. x > 5 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh: log( x) + log(x + 5) < log(x + ) log( x)(x + 5) < log(x + ) ( x)(x + 5) < (x + ) x x + 5 < x + x + 4x > 0 (x + 6)(x ) > 0 Pembuat nol x + 6 = 0 atau x = 0 x = 6 atau x = Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, Daerah yang memenuhi adalah x < 6 atau x >...() Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif. x > 0 x > x <...() x + 5 > 0 x > 5...() x + > 0 x > x >...(4) Dari (), (), () dan (4), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: 6 5 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x < x < }. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

131 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk A{ a log f(x)} + B{ a log f(x)} + C 0 Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (x ) log(x ) + > 0 adalah. a. < x < b. x < atau x > c. x < atau x > 5 d. < x < 5 atau x > 5 e. x > Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh: log (x ) log(x ) + > 0 (Ingat log(x ) =. log(x )) log (x ). log(x ) + > 0 ( log(x )). log(x ) + > 0 Misal a = log(x ) a a + > 0 (a )(a ) > 0 Pembuat nol a = 0 atau a = 0 a = a = Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan, + + Jadi daerah penyelesaian: a < atau a > log(x ) < atau log(x ) > x < atau x > x < atau x > 4 x < + atau x > 4 + x < atau x > 5... () Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif. x > 0 x >...() Dari () dan (), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: 5 5 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x < x < atau x > 5}. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

132 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9 x x A. B. atau C. D. x atau x E. x atau x 0 x atau x atau x 9 x x x x x. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. B. C. D. x atau x E. atau x 5 x 5 x atau x 5 x x 5 9 x 0. 9 x + 9 > 0 (9 x ) 0. (9 x ) + 9 > 0 Misal a = 9 x a 0a + 9 > 0 (a )(a 9) > 0 Pembuat nol a = 0 atau a 9 = 0 a = a = 9 5 x 6. 5 x+ + 5 > 0 (5 x ) 0. (5 x ) + 5 > 0 Misal a = 5 x a 0a + 5 > 0 (a 5)(a 5) > 0 Pembuat nol a 5 = 0 atau a 5 = 0 a = 5 a = 5, x R adalah Jadi daerah penyelesaian: a < atau a > 0 9 x < atau 9 x > 9 x < 0 atau x >, x R adalah Jadi daerah penyelesaian: a < 5 atau a > 5 5 x < 5 atau 5 x > 5 x < atau x >. x x Penyelesaian pertidaksamaan adalah... A. atau B. x atau C. atau D. E. x 0 x 0 x x 4 x x 4 x 4 x+ 5. x ( x ) 0. ( x ) Misal a = x a 0a (a )(a 4) 0 Pembuat nol a = 0 atau a 4 = 0 a = a = Jadi daerah penyelesaian: a atau a 4 x atau x 4 x 0 atau x 4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. x atau x B. x atau x C. x D. x atau x E. x atau x x atau x x , x x x > 0 x 8. x + 9 > 0 Misal a = x a 8a + 9 > 0 (a )(a 9) > 0 Pembuat nol a = 0 atau a 9 = 0 a = a = 9 R adalah / 9 Jadi daerah penyelesaian: a < atau a > 9 x < atau x > 9 x < atau x > Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

134 . 5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma. Fungsi Eksponen atau Logaritma Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma f(x) = a x saling invers g(x) = a log x Syarat Fungsi Eksponen Syarat Fungsi Logaritma a > 0 dan a a > 0 dan a x bebas berapapun boleh x > 0 Perhatikan syarat fungsi Sifat Fungsi Eksponen Sifat Fungsi Logaritma Definit positif, untuk berapapun nilai x Logaritma terdefinisi apabila x > 0 f(x) selalu positif (grafik di atas sumbu X) (grafik selalu di sebelah kanan sumbu Y) a 0 = memotong sumbu Y di titik (0, ) a log = 0 memotong sumbu X di titik (, 0) Tidak pernah memotong sumbu X, Tidak pernah memotong sumbu Y, memiliki asimtot datar sumbu X (y = 0) memiliki asimtot tegak sumbu Y (x = 0) Grafik Fungsi Logaritma Grafik Fungsi Eksponen a > 0 0 < a < a > 0 0 < a < monoton naik monoton turun monoton naik monoton turun Y f(x) = a x Y Y g(x) = a log x Y (0, ) O X (0, ) O f(x) = a x X O (0, ) X O (0, ) X g(x) = a log x Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

135 TRIK SUPERKILAT menentukan persamaan fungsi jika diketahui grafik fungsinya. Lihat Grafik Cek Jenis Grafik Fungsi Fungsi Logaritma Fungsi Eksponen Perhatikan transformasi apa yang terjadi pada fungsi Logaritma atau Eksponen Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang grafik fungsi eksponen atau logaritma, mutlak kita harus paham tentang sifat dan aturan eksponen atau logaritma. Hal lain yang tidak kalah pentingnya adalah mengingat bagaimana transformasi yang terjadi pada sebuah fungsi. Misalkan y = f(x) adalah fungsi logaritma atau fungsi eksponen, maka transformasi yang terjadi pada grafik antara lain sebagai berikut: y = f(x k), grafik digeser k satuan ke arah kanan. y = f(x + k), grafik digeser k satuan ke arah kiri. Transformasi sumbu X sifatnya berlawanan. y = f(kx), grafik didilatasi dengan faktor. k y = f(x) + k, grafik digeser k satuan ke arah atas. y = f(x) k, grafik digeser k satuan ke arah bawah. Transformasi sumbu Y sifatnya bersesuaian. y = k f(x), grafik didilatasi sebesar faktor k. y = f( x), grafik dicerminkan terhadap sumbu X. y = f(x), grafik dicerminkan terhadap sumbu X. LOGIKA PRAKTIS mengingat transformasi yang terjadi pada grafik fungsi. Apabila variabel x yang diubah-ubah, maka sifatnya berlawanan dengan yang seharusnya. Contoh: y = x+, artinya grafik y = x digeser ke kiri sebesar satuan. y = x, artinya grafik y = x diciutkan kali lipat dari semula. Apabila variabel y atau fungsinya f(x) yang diubah-ubah, maka sifatnya bersesuaian dengan yang seharusnya. Contoh: y = x +, artinya grafik y = x digeser ke atas sebesar satuan. y = ( x ), artinya grafik y = x direnggangkan kali lipat dari semula. Apabila variabel x maupun y atau f(x) dikalikan dengan negatif. Maka harus dicerminkan. y = x, artinya grafik y = x dicerminkan terhadap sumbu X y = ( x ), artinya grafik y = x dicerminkan terhadap sumbu Y. Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

136 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan persamaan dari grafik fungsi eksponen. Contoh Soal : Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik di samping adalah. a. y = x b. y = x Y x+ c. y = d. y = x + e. y = x O X Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi eksponen diperoleh persamaan umum grafik fungsi eksponen: y = a x Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: 0 = a 0 Dengan memandang sifat logaritma a 0 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu Y, sehingga persamaan umum grafik fungsi eksponen menjadi: y = a x + B Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: y = a x + B 0 = a 0 + B 0 = + B B = Sehingga, persamaan grafiknya sekarang adalah y = a x. Uji titik yang lain untuk menemukan nilai a. Grafik melalui titik (, ), sehingga diperoleh: y = a x = a = a + = a = a a = Jadi, persamaan grafiknya adalah y = x. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

137 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan grafik eksponen monoton turun berarti 0 < a <. Coba perhatikan jawaban pada soal, pilih jawaban yang menggunakan bilangan pokok. Artinya pangkat berapa gitu Jadi jawaban A jelas tidak tepat. Nah, sekarang ingat grafik dari y = x adalah sebagai berikut: y = x Y Jadi, grafik pada soal tersebut adalah hasil pergeseran dari grafik y = x ke bawah sejauh satuan di sumbu Y, artinya variabel y atau f(x) harus dikurangi. Jadi, persamaan grafik pada soal adalah y = x. O (, 0) X Selesai!! Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Grafik melewati titik (, ), cek f( ) = pada semua opsi jawaban: A. y = x f( ) = B. y = x f( ) = ( ) = 9 f(x) C. y = x+ f( ) = ( )+ = f(x) D. y = x + f( ) = ( ) + = 4 f(x) E. y = x f( ) = = = (Jadi inilah jawaban yang benar!) Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

138 Menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma. Contoh Soal : Fungsi logaritma yang sesuai dengan grafik di samping adalah. a. y = log x b. y = log(x ) c. y = log(x + ) d. y = log x (, 0) e. y = log x + Y O 7 X Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi logaritma diperoleh persamaan umum grafik fungsi logaritma: y = a log x Grafik melalui titik (, 0), sehingga diperoleh: 0 = a log( ) Dengan memandang sifat logaritma a log = 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu X, sehingga persamaan umum grafik fungsi logaritma menjadi: y = a log(x + A) Grafik melalui titik (, 0), sehingga diperoleh: 0 = a log( + A) a 0 = + A = + A + = A = A A = Sehingga persamaan grafiknya sekarang adalah y = a log(x + ). Uji titik yang lain untuk menemukan nilai a. Grafik melalui titik (, ), sehingga diperoleh: = a log( + ) a log = a = a = Jadi, persamaan grafiknya adalah y = log(x + ). Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Grafik logaritma monoton naik, berarti a >. Dan ternyata tepat, nilai a lebih dari. Coba perhatikan jawaban pada soal, semua menggunakan bilangan pokok. Artinya semuanya log(berapa gitu) Nah, sekarang ingat grafik dari y = log x adalah sebagai berikut: Y Jadi, grafik pada soal di atas adalah hasil pergeseran dari y = log x grafik y = log x ke kiri sejauh satuan di sumbu X, artinya variabel x harus ditambah. O 9 X Jadi, persamaan grafik pada soal adalah y = log(x + ). Selesai!! Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Grafik melewati titik (, ), cek f() = pada semua opsi jawaban: A. f(x) = log x f() = log B. f(x) = log(x ) f() = log( ) C. f(x) = log(x + ) f() = log = (Jadi inilah jawaban yang benar!) D. f(x) = log x f() = log E. f(x) = log x + f() = log + Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

139 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah... A. f ( x) x B. f ( x) x C. f ( x) log x D. f ( x) log( x ) E. f ( x) x TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik y = x Jadi grafik tersebut adalah y = x (-, - ) Y (, ) - - (, ) X. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah... A. x f ( x) Y B. f ( x) 0 C. f ( x) x D. f ( x) x E. f ( x) 4 - TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik y = x Jadi grafik tersebut adalah y = x X. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah... A. x f ( x) B. f ( x) C. x f ( x) D. f ( x) E. f ( x) 4. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah... A. x f ( x) B. f ( x) C. f ( x) D. f ( x) E. x f ( x) Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu X untuk grafik y = x Jadi grafik tersebut adalah y = x TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik y = x Jadi grafik tersebut adalah y = x + Y y (0, ) (, ) - 0 X x X Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

141 . 6. Menyelesaikan masalah deret aritmetika. Deret Aritmetika Barisan Bilangan U, U, U,, U n Deret Bilangan S n = U + U + U + + U n Barisan Aritmetika U n = a + (n )b Deret Aritmetika S n = n (a + (n )b) = n (a + U n) Hubungan U n dan S n U n = S n S n Keterangan: U n = suku ke-n S n = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

142 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara U n dan S n, maupun beda suku barisan. Suku depan U n diintegralkan, jumlah koefisien U n dan S n harus sama. U n S n Suku depan S n diturunkan, jumlah koefisien U n dan S n harus sama. Koefisien suku depan ambil aja Koefisien suku depan dikali dua beda beda Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini, maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu U n (suku ke-n), dan S n (jumlah n suku pertama). Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh: S n = n (a + (n )b) U n = a + (n )b = a + bn b dan = n (a + bn b) = bn + (a b) = b n + (a b) n Kesimpulan! Dari konsep U n = a + (n )b akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk U n = bn + (a b) Lho ini kan integral!!! Berarti ini turunan!! Dari konsep S n = n (a + (n )b) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk S n = b n + (a b) n Untuk suku pertama berlaku U = S b + (a b) = b + (a b). Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga membuktikan bahwa jumlah koefisien baik U n maupun S n adalah sama. Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari U n Dari konsep U n = a + (n )b akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk U n = bn + (a b) Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan S n dikalikan. Dari konsep S n = n (a + (n )b) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk S n = b n + (a b) n Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

143 Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan S n jika diketahui U n : Jumlah n suku pertama jika diketahui U n = n + adalah. Langkah logika praktis: n diperoleh dari integral n. Perhatikan U n jumlah koefisiennya adalah + =, sementara S n = n + sesuatu. Karena jumlah koefisien S n dan U n harus sama, maka jelas sesuatunya adalah. Jadi S n = n +. SELESAI. Menentukan U n jika diketahui S n : Rumus suku ke-n jika diketahui S n = n + 5 adalah. Langkah logika praktis: 6n diperoleh dari turunan n. Perhatikan S n jumlah koefisiennya adalah + 5 = 8, sementara U n = 6n + sesuatu. Karena jumlah koefisien U n dan S n harus sama, maka jelas sesuatunya adalah. Jadi U n = n +. SELESAI. Menentukan beda jika diketahui U n : Jika diketahui U n = n 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah. Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel n pangkat terbesar), yaitu. Koefisien tersebut ambil aja. Sehingga beda barisan aritmetika adalah. SELESAI. Menentukan beda jika diketahui S n : Jika diketahui S n = n + 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel n pangkat terbesar), yaitu. Koefisien tersebut kalikan dua. Sehingga beda barisan aritmetika adalah = 6. SELESAI. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

144 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika, maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan: Bukti: b = U p U q p q U p = a + (p n)b..() U q = a + (q n)b..() Dengan mengeliminasi a pada persamaan () dan () akan diperoleh: U p = a + (p n)b U p = a + bp nb U q = a + (q n)b U q = a + bq nb U p U q = (p q)b b = U p U q p q Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika: Jika diketahui U 7 = 9 dan U 0 = 8, beda barisan aritmetika tersebut adalah b = = 9 =. Langkah logika praktis: Beda adalah suku besar kurangi suku kecil, lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Selisih suku dibagi selisih indeks suku. SELESAI. Menentukan suku ke-n jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika: Jika diketahui U = 4 dan U 8 = 54, tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 5 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi. Jadi, U 5 = U 8 + 7b = ( ) = (6) = = 96 SELESAI. Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

145 Menentukan suku ke-n jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya sama: Jika diketahui U = 4 dan U 8 = 54, tentukan suku ke- dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-, suku ke-8 dan suku ke-. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 8 = 8, yaitu sama-sama berselisih 5. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama! Suku ke adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-. Jadi, U 5 = U 8 + U 8 U = 54 + (54 4) = = 84 Atau 4 ke 54 itu ditambah 0, maka 54 ditambah 0 lagi sama dengan 84. SELESAI. Menentukan suku ke-n jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya berkelipatan. Jika diketahui U = 5 dan U 5 = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-, suku ke-5 dan suku ke-4. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 4 5 adalah 9, sementara itu selisih 5 adalah. Jadi 9 dibagi itu adalah. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga kali lebih besar! Suku ke 4 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-. Jadi, U 4 = U 5 + (U 5 U ) = 45 + (45 5) = = 5 SELESAI. Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku. Jika diketahui U + U 5 + U 6 = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-, suku ke-5 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi! = 4 Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut. Jadi, U 4 = (U +U 5 +U 6 ) = 45 = 5 SELESAI. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

146 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n + 4n. Suku ke-9 dari deret aritmetika tersebut adalah... A. 0 B. 4 C. 8 D. 4 E. 46. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n n. Suku ke-0 deret aritmetika tersebut adalah... A. 0 B. 4 C. 8 D. 4 E. 46. Jumlah suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan 5 Sn n n. Suku ke-0 dari deret aritmetika tersebut adalah... A. 49 n B. 47 C. 5 D. E. 9 n 4. Jumlah suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n 5n. Suku ke-0 dari deret aritmetika tersebut adalah... A. 44 B. 44 C. 40 D. 8 E Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp8.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke- adalah... A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 E. Rp ,00 TRIK SUPERKILAT : U 9 = S 9 S 8 = (9 8 ) + 4(9 8) = (7) + 4 = 8 TRIK SUPERKILAT : U 0 = S 0 S 9 = (0 9 ) + (0 9) = 9 + = 4 TRIK SUPERKILAT : U 0 = S 0 S 9 = 5 (0 9 ) + (0 9) = 95 + = 49 TRIK SUPERKILAT : U 0 = S 0 S 9 = (0 9 ) + 5(0 9) = = 44 a = Rp46.000,00 b = Rp8.000,00 S =? TRIK SUPERKILAT : S n = n + 4n U n = 4n + U 9 = 4n + = 4(9) + = 6 + = 8 S n = n (a + (n )b) S = ((46) + ()8) dalam ribuan rupiah = 6(9 + 98) = 6(90) =.740 Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( TRIK SUPERKILAT : S n = n + n U n = n + U 9 = n + = (0) + = 40 + = 4 TRIK SUPERKILAT : S n = 5 n + n U n = 5n U 9 = 5n = 5(0) = 50 = 49 TRIK SUPERKILAT : S n = n + 5n U n = n + 4 U 9 = n + 4 = (0) + 4 = = 44 TRIK SUPERKILAT: U n = 8.000n S n = 9.000n n S = 9.000() () = 9.000(44) = =

147 6. Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 0 tahun dengan gaji awal Rp ,00. Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp00.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah... A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 E. Rp ,00 7. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 0 unit sampai tahun ke-6. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-6 adalah... A B C D E a = Rp ,00 b = Rp00.000,00 S 0 =? a =.960 b = 0 S 6 =? S n = n (a + (n )b) S 0 = 0 ((.600) + (9)00) dalam ribuan rupiah = 5( ) = 5(5.000) = Rp5.000 S n = n (a + (n )b) S 6 = 6 ((.960) + (5)( 0)) = 8( ) = 8(.0) = Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

149 . 7. Menyelesaikan masalah deret geometri. Deret Geometri Barisan Bilangan U, U, U,, U n Deret Bilangan S n = U + U + U + + U n Barisan Geometri Deret Geometri U n = ar n S n = a(rn ) r, r > S n = a( rn ), r < r Deret Geometri Tak Hingga S = a r Hubungan U n dan S n U n = S n S n Keterangan: U n = suku ke-n S n = jumlah n suku pertama S = jumlah deret geometri tak hingga a = suku pertama r = rasio n = banyaknya suku Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

150 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan: r = p q U p U q Bukti: U p = ar n p..() U q = ar n q..() Dengan membagi pada persamaan () dan () akan diperoleh: U p U q = arn p ar n q U p U q = r (n p) (n q) U p U q = r (p q) U q U p = r p q p q r = U p U q Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama. Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama, U U 5 U 8 Bukti: Dari rumus suku ke-n U n = ar n diperoleh: U = ar U 5 = ar 4 U 8 = ar 7 Rasio U 5 dan U adalah U 5 = ar4 = U ar r Rasio U 8 dan U 5 adalah U 8 = ar7 = U 5 ar 4 r Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama. Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama, maka rasio antar dua suku tersebut juga sama. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

151 Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri: Jika diketahui U = 6 dan U 7 = 56, rasio barisan geometri tersebut adalah. Langkah logika praktis: 7 r = U 7 U 4 = = 6 = Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil, lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku. SELESAI. Menentukan suku ke-n jika diketahui dua suku dari barisan geometri: Jika diketahui U = 6 dan U 7 = 56, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat. 7 r = U 7 U 4 = 56 6 Jadi, U 9 = U 7 r SELESAI. = 56 = 56 4 = 04 4 = 6 = Menentukan suku ke-n jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya sama: Jika diketahui U = 6 dan U 4 = 4, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-, suku ke-4 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 6 4 = 4, yaitu sama-sama berselisih. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama! Suku ke 4 adalah suku ke- ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-. Jadi, U 6 = U 4 U 4 U = = 96 Atau 6 ke 4 itu dikali 4, maka 4 dikali 4 lagi sama dengan 96. SELESAI. Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

152 Menentukan suku ke-n jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya berkelipatan. Jika diketahui U = 4 dan U 5 =, tentukan suku ke- dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-, suku ke-5 dan suku ke-. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 5 adalah 6, sementara itu selisih 5 adalah. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat lebih besar! Suku ke 4 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-. Jadi, U 4 = U 5 ( U 5 ) U SELESAI. = 45 ( 4 ) = 45 () = 45 7 = 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

153 TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan p maka lintasan yang q ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut: Bukti: q + p S = a ( q p ) Perhatikan gambar lintasan bola berikut: dst Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut: Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan a, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh ar, sehingga diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola: S = a r + ar a( + r) = r r Misal r = p, maka diperoleh: q a ( + p q ) q + p a ( q ) S = p = q p q q (q + p) Jadi, S = a (q p) q + p = a ( q ) ( q + p ) = a (q q p q p ) Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 0 m dan memantul kembali dengan ketinggian dari ketinggian sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah. Langkah logika praktis: Misal r = q =, maka p = dan q = ; p Ketinggian awal bola, a = 0 m. (q + p) Jadi, S = a (q p) ( + ) = 0 ( ) = 0 5 = 50 m SELESAI. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

154 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah dan rasio, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah... A. 7 B. 9 C. 7 D. E. 8 4 U 5 r = U 9 =? = = ar4 U 9 = ar 8 = (ar 4 )r 4 = ( ) ( ) 4 = 5 = 4. Barisan geometri dengan A..90 B..07 C D E U 7 84 dan rasio =. Suku ke-0 barisan tersebut adalah... U 7 = ar 6 = 84 r = U 0 =? U 0 = ar 9 = (ar 6 )r = 84() = 84 8 =.07. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 6 dan 56. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah... A. 500 U = 6 = ar B. 504 U 7 = 56 = ar 6 S 7 = a(r7 ) r C. 508 S 7 =? 4(8 ) D. 5 U 7 = 56 = E. 56 U 6 ar6 ar = 6 r4 = 6 r = U = 6 ar = 6 4a = 6 a = 4 = 4(7) = 508 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

156 SKL. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut... Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang. Dimensi Tiga Garis Tegak Lurus Bidang jika garis tersebut setiap garis pada bidang minimal dua garis saja α Jarak Sudut Titik dan Sesuatu Selain Titik dan Sesuatu Syarat keduanya harus sejajar Jarak Titik dan Titik Jarak Garis dan Garis Sudut Garis dan Garis berupa garis lurus harus tegak lurus sudut terkecil θ Jarak Titik dan Garis Jarak Garis dan Bidang Sudut Garis dan Bidang harus tegak lurus harus tegak lurus sudut garis dengan proyeksinya α α α θ Jarak Titik dan Bidang Jarak Bidang dan Bidang Sudut Bidang dan Bidang α harus tegak lurus harus tegak lurus sudut dua garis garis potong α α α θ α β β β Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

157 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga H P G Pada kubus ABCD.EFGH berlaku: Misal sisi kubus adalah a cm, E F Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut: Diagonal sisi kubus AC = a cm. Diagonal ruang kubus adalah EC = a cm. D O C Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik potong diagonal sisi atas adalah P, maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut: Ruas garis OG = AP = a 6 cm. Serta akan diperoleh EC OG dan OG AP. A B H G E P G P E F Q Q R R D O C A O C A B Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi tiga bagian yang sama panjang yaitu: EQ = QR = RC = EC = a cm. Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya. Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik. Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya. Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor? Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

158 LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras: Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik.! Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang telah adik-adik dapatkan di sekolah. Oke kita mulai trik menghafalnya dulu. c b a Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut: c = a + b, dengan catatan pada gambar tersebut sisi a adalah sisi terpendek! Seumpama diubah menjadi a = c b, kan ya nggak papa to ya? Hehe Sama aja! Perhatikan: a = c b a = (c + b) (c b) carilah bilangan yang selisihnya satu Jadi disini kita mencari dua bilangan b, c yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan kuadrat sisi terpendek! Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu, 5, 7, 9, dst. Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras yang sering muncul Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti, 5, 7, 9, dst maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut! Contoh: = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka adalah, 4, 5. 5 = 5 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 5 adalah dan, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5,, Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya. Contoh: Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 0 dan 4 yaitu. x 5 Coret semua sisi dengan dibagi. Maka akan ditemukan pola dasar dari 0 tripel Pythagoras yaitu 5,,. Jadi, sisi miringnya adalah = 6 cm. 4 Selesai! Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

159 LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah: x a c Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah a b dan a c, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah x, maka nilai x bisa ditentukan oleh: x = (a b) + (a c) a b x = a b + a c x = a (b + c) x = a b + c x = a b + c Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar a b a c a b + c a b + c a c bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya Contoh: a b jumlahkan saja bilangan di dalam akar 8 Cari FPB dari dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. Artinya = 4 9 dan 8 = 4 4, Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah = Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah: E H P F G Perhatikan AEP, AE = a cm dan EP = a cm, maka: E a P AE = a cm = a 4 cm. EP = a cm a 4 Jelas bahwa panjang D O C A AP = a 6 cm. A B Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

160 KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga: Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP. Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP. Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti. :) Terus kunjungi Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

161 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin: E A H D P cm. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah... P BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis miring dari segitiga siku-siku dengan sisi cm dan 6 cm. G A. 8 cm 6 cm F B P C cm B. 6 C cm cm D. 6 cm E. 6 cm B cm PB = BC + PC = + 6 = = 80 = 6 5 cm C BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH). BH adalah diagonal ruang, BH = cm. Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi P (titik P ) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang BP = PH = 6 cm. Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP. B P 6 5 cm 6 5 cm P PP = BP BP = (6 5) (6 ) = = 7 = 6 cm TRIK SUPERKILAT: Perhatikan garis PP. Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. AC = cm Tapi panjangnya PP cuma separuh dari AC. Jadi, PP = = 6 cm E A H D P 8 cm. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah... E Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. A. cm G E F B C 8 cm B. C. TRIK SUPERKILAT: 4 cm cm D. 8 cm E. 6 cm Perhatikan bidang diagonal ACGE E P G 8 cm A 4 cm P EP = EA + AP = 8 + (4 ) = 64 + = 96 = 6 6 = 4 6 cm Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang tersebut adalah bidang diagonal ACGE. Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG. Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E. Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E. Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena EP = GP = 4 6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8 cm. E A P P E G C Perhatikan sudut EGP sin EGP = EE EG = PP GP EE = PP GP EG = = 6 cm E A P C EC adalah diagonal ruang, sehingga EC = 8 cm Jadi, EE = EC = 6 8 = cm Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 4

162 . Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas cm dan rusuk tegak cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah... A. B. C. D. E. Q T cm P P R cm cm S Alas limas bentuknya persegi dengan sisi cm. Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = cm. Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P. Dimana P terletak di perpotongan kedua diagonal alas. Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR ( PTR). Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP, maka akan lebih mudah menemukan tangen PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. ( PTR = PTP ) cm P T P cm PP = PT TP = ( ) ( ) = 8 9 = 7 = = 6 cm Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah: tan (PT, QRST) = PP TP = 6 = 4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas cm dan rusuk tegak tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah... A. B. C. D. E. 4 A D cm T T B cm cm C Alas limas bentuknya persegi dengan sisi cm. cm. Nilai Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = cm. Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T terletak di perpotongan kedua diagonal alas. Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis TD dengan DB ( TDB). Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT, maka akan lebih mudah menemukan tangen TDB menggunakan segitiga siku-siku tersebut. ( TDB = TDT ) cm T TT = TD DT = ( ) ( ) = = cm Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah: tan (TD, ABCD) = TT DT = = D T cm 5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah... T T A. Alas limas bentuknya segitiga 6 cm 6 dengan sisi 6 cm. Dan semua sisi limas adalah segitiga sama 6 cm 6 cm cm B. A sisi dengan rusuk 6 cm. D Perhatikan jika T adalah B D T cm proyeksi T pada alas ABC C. B C 6 cm dan D adalah titik tengah AB, maka CD adalah ruas D. garis yang melewati T. Perhatikan segitiga CDT, karena TT T tegak lurus CD, maka bidang CDT E. tegak lurus bidang ABC. 6 cm cm Karena TC berada di CDT dan CDT tegak lurus ABC, maka sudut yang dibentuk oleh garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan ruas garis CD. C D cm TD = TB BD = (6) () = 7 = cm cos (TC, ABC) = TC + DC TD TC DC = 6 + ( ) ( ) 6 ( ) = 6 6 = Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

163 6. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah. Nilai sin =... A. B. C. D. E. 4 E A H D P 4 cm F B G C 4 cm Kubus rusuk 4 cm. EG adalah diagonal sisi, maka EG = 4 cm. Karena P perpotongan diagonal sisi atas, maka EP = EG EP = cm Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru. cm AP = AE P + EP E = (4) + ( ) 4 cm = = 4 = 6 cm A Jika sudut antara AE dan AFH adalah α dan AFE siku-siku di E, maka sin α = sisi didepan sudut sisi miring sin α = EP AP = 6 = = Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 4

165 Pengantar Konsep Dasar Trigonometri Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras c a b c = a + b Tripel Pythagoras dst Teorema Pythagoras Bentuk Akar a b + c a b a c Tripel Pythagoras Bentuk Akar a b a c a b + c Halaman 44 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

166 Definisi Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku sisi Miring sudut θ sisi Samping sisi Depan Sinus Kosinus Tangen mi mi de θ θ θ sa sa de sin θ = sisi depan sisi miring cos θ = sisi samping sisi miring tan θ = sisi depan sisi samping DEMI SIN, SAMI COS, DESA TAN Identitas Trigonometri Kebalikan Perbandingan Pythagoras sec x = cos x csc x = sin x cot x = tan x SEC = SEper Cos tan A = sin A cos A TAN A adalah SINA DIPERKOSA θ c b Ingat teorema Phytagoras: a + b = c a c + b c = c c ( a c ) + ( b c ) = a Jadi, dibagi sin x dibagi cos x sin x + cos x = tan x + = sec x + cot x = csc x Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 45

167 Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kuadran I Segitiga Sama Sisi Persegi Segitiga Tripel Pythagoras Sudut 0 dan 60 Sudut 45 Sudut diapit sisi 5 dan adalah Sudut Istimewa Kuadran I Sudut Istimewa Pythagoras sin 0 = sin 60 = sin 45 = sin 7 = 5 sin 5 = 4 5 cos 0 = cos 60 = cos 45 = cos 7 = 4 5 cos 5 = 5 tan 0 = tan 60 = tan 45 = tan 7 = 4 tan 5 = 4 Trik Menghafalkan Cepat, urutannya 0 s/d 4 Trik Menghafal, gambarkan segitiga 4 5. Tabel Nilai Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri θ sin θ cos θ tan θ θ sin θ cos θ tan θ dibalik sina diperkosa Halaman 46 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

168 Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri θ sin θ cos θ tan θ Kuadran Relasi Sudut Periodisasi 90 sin + Semua + Kuadran II Kuadran I 80 Kuadran III Kuadran IV tan + cos + 70 SEMUA SINdikat TANgan KOSong 0 60 Periksa Sudut Pilih Acuan sin x = sin( + n 60 ) x (80 x) cos x = cos( + n 60 ) Genap Ganjil x ( x) 80 ± α 90 ± α 60 α 70 ± α tan x = tan( + n 80 ) x Fungsi Fungsi Berubah dimana n bilangan bulat Tetap sin cos tan cot Grafik Cek Kuadran sin α Tanda ± 60 Selesai cos α 60 tan α Relasi Sudut Negatif Persamaan Trigonometri sin x = sin α x = + n 60 α (80 α) cos x = cos α x = + n 60 α ( α) tan x = tan α x = + n sin( α) = sin α cos( α) = cos α tan( α) = tan α α dimana n bilangan bulat Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 47

169 Nilai Perbandingan Trigonometri Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana? B c a A C b a adalah sisi di depan sudut A b adalah sisi di depan sudut B c adalah sisi di depan sudut C Aturan Sinus dan Aturan Kosinus Aturan Sinus Ada pasangan sudut sisi yang berhadapan Aturan Kosinus Diketahui dan ditanyakan sisi dan sudut A? b c b c b B C B?? sisi sudut sudut sisi sisi sudut sisi sudut sisi c? a sisi sisi sisi b (diketahui satu sisi dan dua sudut) (diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya) (diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya) (diketahui ketiga sisi segitiga) a sin A = b sin B = c sin C a = b + c bc cos A cos A = b + c a bc Luas Segitiga a t a C b B a A C c a b alas tinggi sisi sudut sisi satu sisi dan semua sudut sisi sisi sisi L = (a t) L = ab sin C L = a sin B sin C sin A L = s(s a)(s b)(s c) dimana s = (a + b + c) sin C = t b t = b sin C a sin A = b sin B b = a sin B sin A Halaman 48 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

170 Luas Segitiga b a C sisi sudut sisi L = ab sin C Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki. Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 60 8 = 45. Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut. r r Luas dan Keliling Segi-n Beraturan 60 n r r sudut pusat = 60 n L = n r sin ( 60 n ) K = nr ( cos ( 60 n )) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 49

171 Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan buah juring masing-masing bersudut A, B, dan ( B). O R B A B Q P S Diperoleh dua segitiga yaitu, POR dan SOQ dengan POR = SOQ sehingga, PR = SQ O R Q P Dengan membuktikan PR = SQ, diperoleh: cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B O S cos(a B) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif cos(a + ( B)) sin(a + B) dan sin(a B) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B Substitusi B = A sin(a + A) = sin A cos(a + A) = cos A Eliminasi sin(a + B) dengan sin(a B) cos(a + B) dengan cos(a B) Trigonometri Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sin A = sin A cos A Sudut Rangkap Kosinus cos A = cos A sin A Jumlah, Selisih dan Perkalian S + S S S Substitusi identitas trigonometri sin A + cos A = C + C CC C C SC CS SS Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos A = sin A cos A = cos A Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut cos A sin A = Kosinus Setengah Sudut + cos A cos A = Khusus untuk tan(a ± B), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas TAN A = SINA DIPERKOSA Halaman 50 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

172 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri. Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 0. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan konsep dasar Trigonometri Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara Mudah Menghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segera. :) Kunjungi laman untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri ini :) Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

174 SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah. 4.. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus. Nilai Perbandingan Trigonometri Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana? B c a A C b a adalah sisi di depan sudut A b adalah sisi di depan sudut B c adalah sisi di depan sudut C Aturan Sinus dan Kosinus Aturan Sinus Ada dua pasangan sudut sisi yang berhadapan Aturan Kosinus Diketahui dan ditanyakan sisi dan sudut A? b c b c b B C B?? sisi sudut sudut sisi sisi sudut sisi sudut sisi c? a sisi sisi sisi b (diketahui satu sisi dan dua sudut) (diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya) (diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya) (diketahui ketiga sisi segitiga) a sin A = b sin B = c sin C a = b + c bc cos A cos A = b + c a bc Luas Segitiga a t a C b B a A C c a b alas tinggi sisi sudut sisi satu sisi dan semua sudut sisi sisi sisi L = (a t) L = ab sin C L = a sin B sin C sin A L = s(s a)(s b)(s c) dimana s = (a + b + c) sin C = t b t = b sin C a sin A = b sin B b = a sin B sin A Halaman 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

175 Luas Segitiga b a C sisi sudut sisi L = ab sin C Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki. Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 60 8 = 45. Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut. r r Luas dan Keliling Segi-n Beraturan 60 n r r sudut pusat = 60 n L = n r sin ( 60 n ) K = nr ( cos ( 60 n )) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

176 LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus: Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu sisi dan sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah sisi dan sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah sisi dan sudut, maka penyelesaiannya adalah: - Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah: o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 80, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus. o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 80 ) Atau bisa digambarkan seperti berikut: Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan sisi dan sudut sisi dan sudut Gunakan aturan kosinus Periksa! Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan Gunakan aturan sinus Periksa! Berapa jumlah sudut yang diketahui Dua sudut Satu sudut Cari sudut ketiga, lalu gunakan aturan sinus Gunakan aturan kosinus dilanjutkan dengan aturan sinus Halaman 54 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

177 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah. 0 cm a. 4 cm A b. 6 cm 60 c. 7 cm d. 5 6 cm D 0 45 C e. 7 6 cm B Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut. Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga.. ABC dengan diketahui sisi dan sudut.. ACD dengan diketahui sisi dan sudut. Nah, ternyata ABC tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati ACD ternyata sudah diketahui komponen segitiga, sehingga agar ABC tepat diketahui minimal komponen maka kita harus mencari panjang AC terlebih dahulu. Perhatikan ACD, A? D 0 45 C Diketahui sisi dan sudut, ditanyakan sisi AC. ( sisi dan sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada ACD berlaku aturan sinus: AC sin D = AD AD AC = sin D sin C sin C = 0 sin 0 sin 45 = 0 = 0 = 0 (rasionalisasi penyebut bentuk akar) = 0 = 5 cm Nah, sekarang perhatikan ABC, A 0 cm 60 5 cm C? B Diketahui sisi dan sudut, ditanyakan sisi BC. ( sisi dan sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada ABC: BC = AB + AC AB AC cos A = (0 ) + (5 ) (0 )(5 ) cos 60 = = = 50 cm Jadi, BC = 50 = 5 6 = 5 6 cm Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 55

178 Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi- beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah. a. 9 cm b. 7 cm c. 6 cm d. 48 cm e. 44 cm Penyelesaian: Ingat luas segitiga: b a C sisi sudut sisi L = ab sin C Segi- beraturan terdiri atas segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi- beraturan tersebut. Perhatikan AOB, L AOB = OA OB sin AOB = 8 8 sin 0 A 8 O θ 8 B = = 6 cm Jadi, luas segi- beraturan adalah: L segi beraturan = L AOB = 6 = 9 cm Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar r adalah: L segi n beraturan = n r sin 60 n = 8 sin 0 = 9 cm Halaman 56 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

179 Menentukan keliling segi-n beraturan. Contoh Soal: Keliling segi- beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah. a cm b. 96 cm c. 8 + cm d. 8 cm e. 8 cm Penyelesaian: Segi- beraturan terdiri atas segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi- beraturan tersebut, yaitu panjang sisi AB. Perhatikan AOB, Diketahui sisi dan sudut ditanyakan sisi AB. ( sisi dan sudut) Pasti berlaku aturan kosinus: AB = r + r r r cos θ = (8) + (8) (8)(8) cos 0 r = 8 O θ r = 8 Jadi, = = 8 64 cm A B AB = 8 64 cm Sehingga, keliling segi- beraturan adalah K segi beraturan = AB = 8 64 cm = 64 cm = 8 cm = 96 cm Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar r adalah: K segi n beraturan = nr ( cos θ) = 8 ( ) = 96 cm Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 57

180 Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 7 cm, dan AC = cm. Tinggi prisma adalah 0 cm. Volume prisma adalah. a. 55 cm b. 60 cm c. 75 cm d. 90 cm e. 0 cm E A D F C Penyelesaian: Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut: B D F E A C B Perhatikan ABC, A cm C 6 cm 7 cm B Ingat lagi tentang luas segitiga, a t a C b B a A C c a b alas tinggi sisi sudut sisi satu sisi dan semua sudut sisi sisi sisi L = (a t) L = ab sin C L = a sin B sin C sin A L = s(s a)(s b)(s c) dimana s = (a + b + c) Ternyata kita bisa menggunakan rumus L = s(s a)(s b)(s c). Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti. Pilih saja rumus luas segitiga yang L = ab sin C, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari segitiga tersebut. Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan B), dengan diketahui sisi segitiga. ( sisi dan sudut) Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu: AC = AB + BC AB BC cos AB Halaman 58 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

181 Sehingga, Jadi, AC = AB + BC AB BC cos B cos B = AB + BC AC cos B = 5 7 AB AC = (6) + ( 7) () (6)( 7) = 6 7 = = 5 7 Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut, 7 B 5 Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari B, sin B = 7 Dari nilai sinus B dan panjang sisi AB dan BC dan rumus luas segitiga L = ab sin C diperoleh luas segitiga ABC, yaitu: L ABC = AB BC sin B = (6)( 7) ( 7 ) = 9 cm Jadi, volum prisma tersebut adalah: V = La t = L ABC t = 9 0 = 90 cm Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 59

182 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 0 satuan, maka luas segienam beraturan tersebut adalah... A. 50 satuan luas B. satuan luas C. satuan luas D. 00 satuan luas E. satuan luas 00 L segi n = n r sin 60 n L segi 6 = 6 (0) sin 60 6 = 00 sin 60 = 00 = 50 TRIK SUPERKILAT: Karena bangunnya adalah segienam, berarti sudut pusatnya 60, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat yang berasal dari nilai sin 60. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah... 6 x 6 A. 06 cm B. cm C. 6 cm D. 48 cm E. 7 cm x = r + r r r cos 60 n K segi n = n x = n ( r + r r r cos 60 n ) = n ( r ( cos 60 n )) K segi 8 = 8 6 ( ( ) ) = 48 cm. Luas segi- beraturan adalah 9 cm. Keliling segi- beraturan tersebut adalah... 8 x 8 A. 96 B. 96 C. 8 cm cm cm D. 8 cm E. 8 cm L = r sin ( π ) 9 = r r = 64 r = 8 cm x = r + r r r cos 60 n K segi n = n x = n ( r + r r r cos 60 n ) = n ( r ( cos 60 n )) K segi 8 = 6 ( ( ) ) = 96 cm 4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 7 cm. Luas segienam tersebut adalah... A. 4 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 6 cm E. 6 cm Karena bangun segienam, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Akibatnya semua sisi segitiga adalah cm. L segi n = n r sin 60 n L segi 6 = 6 () sin 60 6 = 44 sin 60 = 4 = 6 cm TRIK SUPERKILAT: Karena segienam, berarti sudut pusatnya 60, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat yang berasal dari nilai sin 60. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja. Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 60 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

184 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri θ sin θ cos θ tan θ Kuadran Relasi Sudut Periodisasi 90 sin + Semua + Kuadran II Kuadran I 80 Kuadran III Kuadran IV tan + cos + 70 SEMUA SINdikat TANgan KOSong 0 60 Periksa Sudut Pilih Acuan sin x = sin( + n 60 ) x (80 x) cos x = cos( + n 60 ) Genap Ganjil x ( x) 80 ± α 90 ± α 60 α 70 ± α tan x = tan( + n 80 ) x Fungsi Fungsi Berubah dimana n bilangan bulat Tetap sin cos tan cot Grafik Cek Kuadran sin α Tanda ± 60 Selesai cos α 60 tan α Relasi Sudut Negatif Persamaan Trigonometri sin x = sin α x = + n 60 α (80 α) cos x = cos α x = + n 60 α ( α) tan x = tan α x = + n sin( α) = sin α cos( α) = cos α tan( α) = tan α α dimana n bilangan bulat Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 6

185 LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri: Persamaan Trigonometri Sederhana sin x = sin α x = + n 60 α (80 α) cos x = cos α x = + n 60 α ( α) tan x = tan α x = + n 80 α dimana n bilangan bulat Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut: o Jika ada persamaan sin x = sin α, maka penyelesaiannya adalah: x = α + n 60 x = (80 α) + n 60 o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah: x = α + n 60 x = ( α) + n 60 o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah: x = α + n 80 Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal cos 4x cos x = Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri ( cos x ) cos x = cos x cos x = cos x cos x = 0 cos x ( cos x ) = 0 Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana cos x = 0 atau cos x = sin x = sin α cos x = cos α tan x = tan α Cari Himpunan Penyelesaian Jadi, untuk cos x = 0 = cos 90, maka x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 Jadi, untuk cos x = = cos 60, maka x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 Dst dst. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut. Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

186 LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri: Grafik periode 60 periode 60 Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu. Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan? Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: sin x = = sin 90 x = 90 periode 60 Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan dipenuhi oleh sin 90. Daerah kuadran bernilai positif Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan. Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf S tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 60. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi, sin x = sin α x = + n 60 α (80 α) Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf C tidur. Berulang-ulangnya setiap 60. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi, cos x = cos α x = + n 60 α ( α) Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 80. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 80. Jadi, tan x = tan α x = + n 80 α Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 6

187 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4x cos x = ; 0 x 60 adalah. a. {0, 45, 5, 50, 0, 5, 5, 0 } b. {0, 60, 5, 80, 0, 5, 00, 0 } c. {0, 0, 5, 50, 0, 5, 00, 0 } d. {0, 45, 0, 5, 0, 5, 00 } e. {0, 45, 5, 50, 40, 5, 5 } Penyelesaian: cos 4x cos x = ( cos x ) cos x = cos x cos x = cos x cos x = 0 cos x ( cos x ) = 0 cos x = 0 atau cos x = Jadi, untuk cos x = 0 = cos 90, maka x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 untuk n = 0 x = 45 untuk n = x = 5 x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 untuk n = x = 5 untuk n = x = 5 Jadi, untuk cos x = = cos 60, maka x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 untuk n = 0 x = 0 untuk n = x = 0 x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 untuk n = x = 50 untuk n = x = 0 Sehingga himpunan penyelesaian adalah {0, 45, 5, 50, 0, 5, 5, 0 }. Halaman 64 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

188 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Himpunan penyelesaian persamaan cosx cosx ; 0 x π adalah... A. {0, π, π, π } B. {0, C. {0, D. {0, π, π, π, E. {0, π, π, π, π, π π } } π } } cos x cos x = ( cos x ) cos x + = 0 cos x cos x = 0 cos x (cos x ) = 0 cos x = 0 atau cos x = 0 cos x = 0 cos x = cos x = 0 = cos π Penyelesaiannya: x = ± π + k π ) x = π + k π = π cos x = = cos 0 Penyelesaiannya: x = 0 + k π ) x = 0 + k π = 0, π ) x = π + k π = π Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < x < π maka yang memenuhi hanya { π, π} Jika intervalnya diubah 0 x π, maka penyelesaiannya {0, π, π, π}. Himpunan penyelesaian persamaan cos4x sinx ; 0 x 80 adalah... A. { 0,50} cos 4x + sin x = ( sin B. { 50,65} x) + sin x + = 0 sin x + sin x + = 0 sin x = C. { 0,50} ( sin x + )( sin x + ) = 0 Penyelesaiannya: D. { 0,65} sin x + = 0 atau sin x + = 0 E. { 5,05} sin x = (mustahil) sin x = sin x = = sin 0 = sin( 0 ) = sin 50 = sin( 50 ) ) x = 0 + k 60 = 5 + k 80 = 65 ) x = 50 + k 60 = 75 + k 80 = 05 Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 50, tapi salah ketik. Seharusnya 05.. Himpunan penyelesaian persamaan cos x sin x ; 0 x π adalah... π cos x sin x = A. { 0, π,, π} ( sin x) sin x = 0 sin x sin x = 0 4π sin x (sin x + ) = 0 B. { 0, π,, π} sin x = 0 atau sin x + = 0 sin x = 0 sin x = ) x = 0 + k π C. { 0, π, π, π} = 0 TRIK SUPERKILAT: D. { 0, π, π} Satu-satunya jawaban yang tidak memuat ) x = π π + k π π adalah E. Perhatikan batas yang E. { 0, π, } diminta soal. π tidak diikutkan. = π sin x = 0 = sin 0 = sin π sin x = = sin π Penyelesaiannya: ) x = π + k π = π Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 65

189 4. Himpunan penyelesaian persamaan cosx cosx 0 untuk 0 x π adalah... π cos x cos x + = 0 A. 0,, π, π cos x = = cos π ( cos x ) cos x + = 0 cos x cos x + = 0 Penyelesaiannya: π 5 ( cos x )(cos x ) = 0 x = ± π + k π B. 0,, π, π cos x = 0 atau cos x = 0 π cos x = ) x = π + k π cos x = C. 0,, π, π = π D. π cos x = = cos 0 0,, π, π Penyelesaiannya: x = 0 + k π E. π 0,, π, π ) x = 0 + k π = 0, π ) x = π + k π = 5 π Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 x < π maka yang memenuhi hanya {0, π, 5 π} Jika intervalnya diubah 0 x π, maka penyelesaiannya {0, π, 5 π, π} Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 66 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

191 4.. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut. Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan buah juring masing-masing bersudut A, B, dan ( B). O R B A B Q P S Diperoleh dua segitiga yaitu, POR dan SOQ dengan POR = SOQ sehingga, PR = SQ O R Q P Dengan membuktikan PR = SQ, diperoleh: cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B O S cos(a B) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif cos(a + ( B)) sin(a + B) dan sin(a B) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B Substitusi B = A sin(a + A) = sin A cos(a + A) = cos A Eliminasi sin(a + B) dengan sin(a B) cos(a + B) dengan cos(a B) Trigonometri Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sin A = sin A cos A Sudut Rangkap Kosinus cos A = cos A sin A Jumlah, Selisih dan Perkalian S + S S S Substitusi identitas trigonometri sin A + cos A = C + C CC C C SC CS SS Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos A = sin A cos A = cos A Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut cos A sin A = Kosinus Setengah Sudut + cos A cos A = Khusus untuk tan(a ± B), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas TAN A = SINA DIPERKOSA Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 67

192 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut. Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(a + B). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(a ± B) dan cos(a ± B). sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B Perhatikan, untuk sin(a ± B), diawali huruf S, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan: SELANG-SELING SIN SAMA Keterangan: Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian. SELANG-SELING dimulai dari SIN sin(a ± B) SAMA tanda plus minusnya Tanda SAMA Keterangan: Kalau cos(a ± B) berarti kebalikannya. SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS SAMA >< BERBEDA sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(a B) = sin A cos B cos A sin B Dimulai dari SIN SELANG-SELING, bergantian SIN COS lalu COS SIN Jadi, untuk cos(a ± B) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(a ± B) di atas. Tidak SELANG-SELING (KEMBAR) Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos) Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda) Tanda BEDA cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B cos(a B) = cos A cos B + sin A sin B Dimulai dari COS KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN Halaman 68 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

193 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya?? Asyik. sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B dan cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin A dan cos A, diperoleh dari rumus sin(a + B) dan cos(a + B) dengan mengganti B = A. sin(a + B) dan cos(a + B) Ganti B = A sin A dan cos A Konsep untuk mendapatkan sin A adalah: sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(a + A) = sin A cos A + cos A sin A sin A = sin A cos A Konsep untuk mendapatkan cos A adalah: cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B cos(a + A) = cos A cos A sin A sin A cos A = cos A sin A Jadi, sin A = sin A cos A cos A = cos x sin x Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 69

194 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya?? Asyik. cos A = cos A sin A Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos A yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos A dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos A = cos A sin A Substitusi sin A + cos A = cos A = cos A cos A = sin A Konsep untuk mendapatkan cos A = cos A adalah: cos A = cos A sin A cos A = cos A ( cos A) sin A + cos A = sin A = cos A cos A = cos A Konsep untuk mendapatkan cos A = sin A adalah: cos A = cos A sin A cos A = ( sin A) sin A sin A + cos A = cos A = sin A cos A = sin A TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka, selalu ada sin atau cos. Polanya selalu bentuk pengurangan. cos A = C I cos A = cos A cos A = C I S Keterangan TRIK SUPERKILAT: Ingat posisi huruf alfabet, posisi C lebih awal dari S. Gunakan singkatan CIS, jadi cos A memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS. cos A = I S cos A = sin A Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

195 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya?? Asyik. cos A = cos A cos A = sin A Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep cos A Pythagoras. Pak Anang menyebut rumus cos A Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. cos A Pythagoras cos A = cos A cos A = sin A Invers, pindah ruas sampai diperoleh cos A dan sin A + cos A cos A = cos A sin A = Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFAL! Kenapa? Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep cos A Pythagoras menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias pindah ruas saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI SAJA..!!!!! Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini: Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut. Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut. cos A = cos A dan cos A = sin A Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya. Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya. LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka, selalu ada angka, selalu ada cosa. Polanya selalu bentuk akar. + cos A = cos + cos A A cos A = cos A = sin cos A A sin A = Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dihasilkan dari invers konsep cos A Pythagoras Tanda plus minus dilihat dari tanda koefisien trigonometri. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

196 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi?? Asyik. sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B dan cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(a + B) dan sin(a B) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(a + B) dan cos(a B). Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(a ± B) cos(a ± B) Eliminasi sin(a + B) dengan sin(a B) Eliminasi cos(a + B) dengan cos(a B) sin(a + B) sin(a + B) cos(a + B) cos(a + B) sin(a B) sin(a B) cos(a B) cos(a B) + + sin A cos B cos A sin B cos A cos B sin A sin B Substitusi (A + B) = α (A B) = β (A + B) = α (A + B) = α (A B) = β (A B) = β + A = (α + β) B = (α β) A = (α + β) B dibagi dibagi = (α β) sin α sin α cos α cos α sin β + sin β cos β + cos β sin (α + β) cos (α β) cos (α + β) sin (α β) cos (α + β) cos (α β) sin (α + β) sin (α β) LOGIKA PRAKTIS cara membacanya: S + S S S C + C C C SC CS CC SS Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: S adalah sin dan C adalah cos. A S + S = S C B (A + B) (A B) sin A + sin B = sin (A + B) cos (A B) sin(a + B) + sin(a B) = sin A cos B (A + B) (A B) A B S + S = S C Halaman 7 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

197 LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri: Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT: Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan? S + S S S C + C C C SC CS CC SS sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut: S+= SC + CS C+= CC SS Lihat ruas kiri ada S + dan C +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan bergantian. Tanda + dan ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah S + S, lalu S S, dan C + C lalu C C. S + S S S C + C C C Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah SC, CS, CC, dan SS. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka. Angka tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. SC CS CC SS Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: S + S S S C + C C C SC CS CC SS Perhatikan cara membacanya: tanda dibaca (A + B) dan tanda dibaca (A B) S + S SC dibaca: sin A + sin B = sin (A + B) cos (A B) S + S SC dibaca: sin A cos B = sin(a + B) + sin(a B) JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri: Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduh. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif ( ). Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

198 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen. Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu: TAN A adalah SINA DIPERKOSA atau dituliskan sebagai: tan A = Sehingga, Jadi, sin A cos A tan(a + B) = tan(a ± B) = sin(a + B) sin A cos B + cos A sin B tan(a + B) = cos(a + B) cos A cos B sin A sin B tan A ± tan B tan A tan B sin A cos B = cos A cos B cos A cos B cos A cos B sin A sin B = cos A + cos B sin A sin B cos A cos B tan A + tan B = tan A tan B + cos A sin B cos A cos B sin A sin B cos A cos B cos A cos B cos A cos B Sehingga jika B = A, akan diperoleh: tan(a + A) = tan A + tan A tan A tan A tan A = tan A tan A Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut: Jadi, cos A sin A = + cos A cos A = } sin A cos A tan A = cos A = cos A = + cos A + cos A = cos A + cos A cos A tan A = + cos A Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

199 Rumus Khusus untuk Tangen Khusus untuk tan(a ± B), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas TAN A = SINA DIPERKOSA Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen tan(a ± B) = sin(a±b) tan A±tan B = cos(a±b) tan A tan B Substitusi B = A sin(a + A) = sin A cos(a + A) = cos A Substitusi B = A tan(a + A) = tan A Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sin A = sin A cos A Sudut Rangkap Kosinus cos A = cos A sin A tan A = tan A tan A Substitusi identitas trigonometri sin A + cos A = Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos A = sin A cos A = cos A Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut cos A sin A = + cos A cos A = sin A tan A = cos A = cos A + cos A TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish. Jadi, kunjungi selalu laman web untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 75

200 Tipe Soal yang Sering Muncul Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin 75 + cos 75 adalah. a. b. c. d. e Penyelesaian: Ingat, sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B dan cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B. Perhatikan juga bahwa 75 = ( ). Sehingga, sin 75 + cos 75 = sin( ) + cos( ) = (sin 45 cos 0 + cos 45 sin 0 ) + (cos 45 cos 0 sin 45 sin 0 ) = ( + ) + ( ) = = 6 Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 84. Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

201 Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal : Diketahui sin A = 4 dan sin B = 7, dengan A sudut lancip dan B sudut tumpul. Nilai dari cos(a B) =. 5 5 a. 7 5 b c d e. 5 Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin A = 4 adalah: (Ingat A adalah sudut lancip) Sehingga, cos A = 5 A Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin B = 7 adalah: (Ingat B adalah sudut tumpul) 5 B Sehingga, cos B = 4 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif) 5 Jadi, cos(a B) = cos A cos B + sin A sin B = 5 ( 4 5 ) = = 44 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 77

202 Contoh Soal : Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4 5 a. b. c. d. e dan sin B =, maka sin C =. Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos A = 4 adalah: (Ingat A adalah sudut lancip) 5 A 5 4 Sehingga, sin A = 5 Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin B = adalah: (Ingat B adalah sudut lancip) Sehingga, cos B = 5 B 5 Ingat, besar sudut dalam segitiga ABC = 80. A + B + C = 80 C = 80 (A + B) Sehingga, sin C = sin(80 (A + B)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(80 α) = sin α) sin C = sin(a + B) Jadi, sin C = sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B = = = 6 65 Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

203 Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin 45 cos 5 + cos 45 sin 5 sama dengan. a. b. c. d. e. 6 Penyelesaian: Ingat, sin A cos B + cos A sin B = sin(a + B) Sehingga, sin 45 cos 5 + cos 45 sin 5 = sin( ) = sin 60 = Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 79

204 Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya. Contoh Soal: Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p q = 0. Jika cos p sin q =, maka nilai dari sin p cos q =. 6 a. b. c. d. e Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut p q, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos p sin q. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(p q). Jadi, sin(p q) = sin p cos q cos p sin q sin 0 = sin p cos q 6 = sin p cos q 6 + = sin p cos q = sin p cos q 6 4 = sin p cos q 6 Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

205 Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya Contoh Soal: Diketahui (A + B) = π a. b. c. d. 4 e. dan sin A sin B =. Nilai dari cos(a B) =. 4 Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut A + B, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin A sin B. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(a + B). Sehingga untuk mencari nilai cos(a B) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(a B): Jadi, cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B cos π = cos A cos B 4 = cos A cos B 4 + = cos A cos B = cos A cos B 4 = cos A cos B 4 cos(a B) = cos A cos B + sin A sin B = = Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 8

206 Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari a. b. c. d. e. 4 cos 0 cos 40 cos 50 adalah. Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi, cos 0 cos 40 cos 50 = cos 0 (munculkan bentuk cos A cos B = cos(a + B) + cos(a B)) cos 40 cos 50 cos 0 = (dibagi (cos( ) + cos(40 50 )) = dikali ) cos 0 = cos 90 + cos( 0 ) (ingat relasi sudut negatif, cos( α) = cos α) cos 0 = 0 + cos 0 cos 0 = cos 0 = Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

207 Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 95 + cos 05 adalah. a. b. c. d. 0 6 e. 6 Penyelesaian: Ingat cos A + cos B = cos (A + B) cos (A B) Jadi, cos 95 + cos 05 = cos ( ) cos (95 05 ) = cos (00 ) cos (90 ) = cos 50 cos 45 = ( ) ( ) = 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 8

208 TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75 + cos 75 adalah. a. b. c. d. e Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin sin, cos + cos, dan cos cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90 α) = cos α atau cos(90 α) = sin α. Jadi, sin 75 + cos 75 = sin 75 + cos(90 5 ) = sin 75 + sin 5 = sin ( ) cos (75 5 ) = sin (90 ) cos (60 ) = sin 45 cos 0 = ( ) ( ) = 6 Kunjungi selalu laman web untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya. Halaman 84 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

209 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin: π. Diketahui α β dan sin α sin β dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos(α β)... 4 A. cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β (diketahui dari soal sin α sin β = dan α β = π ) 4 B. C. D. 4 4 E. 0. Diketahui nilai sin α cos β dan 5 Nilai sin (α β)... A. B. C. D. E sin (α β) untuk 0 α 80 dan 0 β Diketahui sin α dan cos ( dan sudut lancip). Nilai sin (α β)... 5 A. 5 sin α = cos β = 5 5 α β cos α = 4 sin β = 5 B. 4 5 C. D. E cos α cos β = 4 = cos α cos β + 4 cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α + β) = 4 4 cos(α + β) = 0 sin(α β) = sin α cos β cos α sin β (diketahui dari soal sin α cos β = 5 dan sin(α β) = 5 ) 5 = 5 cos α sin β = 5 cos α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α + β) = 5 + ( 5 ) sin(α + β) = 5 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α + β) = sin(α + β) = sin(α + β) = Jika π 5 A B dan cosa cosb, maka cos(a B)... 8 cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B (diketahui dari soal cos A cos B = 5 dan α + β = π ) 8 A. 4 = 5 sin A sin B 8 sin A sin B = 8 B. cos(a B) = cos A cos B + sin A sin B C. cos(a B) = D. cos(a B) = 6 = E. 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 85

210 5. Nilai dari sin 75 sin65 adalah... A. B. 4 4 C. 6 4 D. E. 6 A + B B sin A sin B = cos ( ) sin (A ) sin 75 sin 65 = cos ( ) sin ( ) = cos 0 sin( 45 ) (ingat sin( x) = sin x) = cos 0 sin 45 = cos(80 60 ) sin 45 (ingat cos(80 x) = cos x) = ( cos 60 ) sin 45 = cos 60 sin 45 = = Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 86 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

212 SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 5.. Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Limit Aljabar Bentuk Umum lim f(x) x a Limit x a Limit x Jika f(a) terdefinisi Jika f(a) = 0 itu mendekati nol 0 f(x) lim f(x) = f(a) x a diubah sehingga pembuat nilai 0 0 hilang. lim x x n = 0 Pemfaktoran Dikali Sekawan Akar Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi f(x) lim x a g(x) = lim (x a)p(x) x a (x a)q(x) Sehingga hilanglah pembuat nilai 0 (x a), yaitu 0 (x a) P(x) lim x a Q(x) P(a) Q(a) x lim x x 4 Bentuk limit tersebut memuat bentuk akar yaitu x, yang bentuk sekawannya x +. x lim x x 4 x + x + (x 4) lim x (x 4)( x + 4) Sehingga hilanglah pembuat nilai 0 x 4, yaitu 0 x 4 x x + 4 lim x 5x + 9x Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu, bagilah semua suku pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu x, lim x x x 5x x lim x x x + 4 x + 9x x x Aturan L Hôpital Diturunkan f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Dikali Sekawan Akar lim x x + x x x + 5 Nilai limit adalah bentuk tak tentu, kalikan dengan bentuk sekawan akar. lim x + x x x + 5 x + x + x x + 5 x x + x + x x + 5 Setelah itu lanjutkan dengan membagi variabel pangkat tertinggi. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 87

213 Limit Trigonometri Sinus dan Tangen Coret Sinta Kosinus Jahat Hapus Kosinus sin x lim x 0 x tan x lim x 0 x = lim x x 0 sin x = x = lim x 0 tan x = sin x lim x 0 tan x = lim tan x x 0 sin x = sin x lim x 0 sin x = lim tan x x 0 tan x = sin ax lim x 0 bx tan ax lim x 0 bx sin ax lim x 0 = lim ax x 0 sin bx = a b ax = lim x 0 tan bx = a b tan bx = lim x 0 tan ax sin bx = a b sin ax lim x 0 sin bx = lim tan ax x 0 tan bx = a b lim x 0 lim x 0 cos x = lim x 0 cos x = cos ax = lim x 0 cos ax = Kosinus Baik adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0. Ingat lagi identitas trigonometri cos x = sin x cos x = sin x lim x 0 cos x x = lim Kosinus Baik Ubah Kosinus sin x = lim x 0 x cos x sin lim x 0 x = lim x x 0 x lim x 0 lim x 0 lim x 0 cos ax x = lim cos ax x = lim sin x x 0 x sin x x = lim sin x sin x x 0 x x sin ax x 0 x = lim sin ax sin ax x 0 x x sin ax x 0 x = lim sin ax sin ax x 0 x x bx sin ax = dst dst cos ax cos bx sin x = lim x 0 lim x 0 x cos x sin x sin x x = lim x 0 x = lim x 0 x cos x sin x sin x lim x 0 x = lim x 0 x = lim x 0 x lim x 0 cos ax sin ax x = lim x 0 x = lim sin ax x 0 x sin x x sin x x sin ax x cos ax sin ax sin ax sin ax lim x 0 x = lim x 0 x = lim x 0 x x lim x 0 cos ax cos bx sin bx sin ax x = lim x 0 x = dst dst dst dst Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

214 LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit. Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut: lim f(x) x a Substitusi x = a ke f(x) Periksa Hasilnya? Bentuk tertentu Bentuk tak tentu ( a b, 0 k = 0, k 0 = ) Ubah (0 0,,, ) Selesai Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 89

215 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Aturan L Hopital (Turunan). Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan 0 menggunakan aturan L Hopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Contoh: x 7x + 6 lim = 0 x 4x 8 0 Sehingga, diturunkan x 7x + 6 4x 7 lim = lim = 4() 7 = 8 7 = x 4x 8 x diturunkan disubstitusikan Halaman 90 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

216 Asal Muasal TRIK SUPERKILAT Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L Hopital (Turunan Modifikasi). Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari: lim x a n n f(x) g(x) =. h(x) Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu 0 0. Jadi kesimpulannya adalah: lim x a n n f(x) g(x) = 0 h(x) 0 untuk x a { n n f(x) g(x) h(x) = 0 n = 0 f(x) n = g(x) Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan L Hopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar. Sehingga dengan menggunakan aturan L Hopital: lim x a n n f(x) g(x) = lim h(x) x a d dx [ n f(x) d dx [h(x)] n g(x) ] (ingat d dx ( n f(x) ) = d dx (f(x)) n ) (sehingga d dx ( n f(x) ) = n (f(x)) n f (x) = = lim x a f (x) n n( f(x) ) n g (x) n( n g(x) h (x) ) n n (ingat untuk x a berlaku f(x) = lim x a f (x) n n( f(x) ) n g (x) n( n f(x) h (x) = ( n n ) (lim x a n( f(x) ) ) n n = g(x) ) f (x) g (x) h ) (x) (keluarkan f (x) n n (f(x)) n f (x) = n n( f(x) ) n ) n n dari kedua ruas) n( f(x) ) Pangkat Akar Nilai Akar Pangkat Akar Aturan L Hopital, tapi tanpa tanda akar Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI. Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan L Hopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan sesuatu. Sesuatu itu adalah, pangkat (nilai akar) pangkat- yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

217 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L Hopital (Turunan Modifikasi). Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 0 adalah dengan menggunakan modifikasi aturan L Hopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Soal Limit x a bentuk 0 yang memuat bentuk akar 0 Perhatikan tiga hal Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung Pangkat Akar Nilai Akar Letak Akar Turunkan Pembilang Penyebut (Aturan L Hopital) Kalikan dengan Sesuatu Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkat (nilai akar) pangkat- yang letaknya berkebalikan dengan letak akar. Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut: x + 5x lim x x = Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah: Periksa akar pangkat berapa? x + 5x lim x x = akar pangkat "" Periksa nilai dari akar pada soal. x + 5x lim x x = x + = () + = 9 = "" Lihat letak akar! Kalau di atas tulis di bawah. Kalau di bawah tulis di atas. Apa yang ditulis? pangkat (nilai akar) pangkat x + 5x lim x x = akar berada di atas tulis di bawah pangkat (nilai akar) pangkat Halaman 9 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

218 Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya: Tentukan nilai dari: x + 5x lim x x =. 4 Perhatikan soal! x + 5x lim x x 4 Buang tanda akar! Ganti akar dengan tanda kurung (x + ) (5x ) lim x x 4 Gunakan aturan L Hopital! Mencari turunan dari pembilang dan penyebut d [(x + ) (5x )] lim dx x d dx [x 4] lim x 5 x = lim x x = () = 4 Masih ingat apa yang ditulis? Pangkat = Nilai Akar = Letak Akar = di atas 4 pangkat (nilai akar) pangkat- 4 = () 4 6 = Selesai!!!! x + 5x lim x x = 4 Contoh Pengerjaan TRIK SUPERKILAT Modifikasi Aturan L Hopital Versi Lebih Singkat: Tentukan nilai dari: x + 4x lim =. x 5x 5 Sehingga, Diturunkan tanpa tanda akar Dikalikan sesuatu Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkat (nilai akar) pangkat- yang letaknya berkebalikan dengan letak akar. x + 4x 4 lim = lim x 5x 0 x 5 5 = 5 5 = 5 5 = 5 5 Diturunkan tanpa tanda akar Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

219 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit x bentuk Bentuk umum a x m + a x m + a x m + + a m lim x b x n + b x n + b x n + + a n Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut m < n m = n m > n Nilai limit = 0 Nilai limit = a b Nilai limit = LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, kecil 0, besar Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL. Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRR. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja. Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut: 5x + x 5 lim x x 4 x + =. Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL. Jadi nilai limitnya sama dengan nol. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah.. Berarti KEEECIIIIILLLLL. Sehingga nilai limitnya adalah 0 (nol). Perbandingan koefisien bertanda positif x + 5x + 7 lim x x + x + 5 =. Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif.. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atas.. Berarti BEEESAAAARRRRRR. Sehingga nilai limitnya adalah + (positif tak terhingga). 4x + 5x lim x x + 7x 4 =. Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu 4. Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut. Halaman 94 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

220 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai. Soal Limit x bentuk Bentuk umum lim x ax + bx + c px + qx + r Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar a < p a = p a > p Nilai limit = Nilai limit = b p a Nilai limit = + LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, akar tanda positif +, akar tanda negatif Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya. Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut: lim x x + x 4 x 7x =. Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah + (positif tak hingga). lim x x + x 4 x 7x =. Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah (negatif tak hingga). a lim x x + x 4 x 7x =. b p Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. Maka nilai limit adalah b p a. Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. Sehingga nilai limitnya adalah b p = ( 7) = 0 = 5 = 5 a Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 95

221 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu 0 langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit Fungsi Trigonometri x 0 bentuk 0 0 Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa. sin x lim x 0 x tan x lim x 0 x = lim x x 0 sin x = x = lim x 0 tan x = sin x lim x 0 tan x = lim tan x x 0 sin x = sin x lim x 0 sin x = lim tan x x 0 tan x = sin ax lim x 0 bx tan ax lim x 0 bx sin ax lim x 0 = lim ax x 0 sin bx = a b ax = lim x 0 tan bx = a b tan bx = lim x 0 tan ax sin bx = a b sin ax lim x 0 sin bx = lim tan ax x 0 tan bx = a b Contoh Soal x sin x lim x 0 5x tan x = 5 = 5 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5x sin x lim x 0 x tan x = lim 5x sin x sin x = 5 = 0 x 0 x x tan x Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5x tan x lim x 0 sin x = lim 5x 5x tan x x 0 sin x sin x sin x = 5 5 = 75 8 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! sin x + tan 6x x + 6x lim = lim x 0 4x x 0 4x 9x = lim x 0 4x = 9 4 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5x lim x 0 x(tan 7x sin x) = lim 5x x 0 x(7x x) = lim 5x x 0 4x = 5 4 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Halaman 96 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

222 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus jahat dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai. Lalu langkah berikutnya adalah 0 mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit Fungsi Trigonometri x 0 bentuk 0 0 Jika limit memuat bentuk cos jahat, maka hapus cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa. lim x 0 lim x 0 cos x = lim x 0 cos x = cos ax = lim x 0 cos ax = Contoh Soal cos x lim x 0 x = lim x 0 x = 0 = Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! x lim x 0 cos 7x = lim x = 0 x 0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! x cos 5x lim x 0 sin x = lim x x 0 sin x = lim x 0 = Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! sin x + x cos x x + x lim = lim x 0 tan 5x cos 7x x 0 5x 4x lim x 0 5x = lim 4 x 0 5 = 4 5 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! x cos x lim x 0 x sin x = lim x x x 0 x x = lim x 0 = Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! x cos x lim x 0 x cos 5x = lim x x 0 x = lim x 0 = Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 97

223 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus baik dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan 0 menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit Fungsi Trigonometri x 0 bentuk 0 0 Jika limit memuat bentuk cos baik, maka ubah cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa. cos ax lim x 0 x ax ax = lim = a x 0 cos ax lim x 0 x = lim x 0 cos ax cos bx lim x 0 x x ax ax = a x = lim bx bx ax ax x 0 x = (b a ) cos ax ax ax lim x 0 x = lim x 0 x = a cos ax ax ax lim x 0 x = lim x 0 x = a cos ax cos bx bx bx ax ax lim x 0 x = lim x 0 x = (b a ) Contoh Soal cos x lim x 0 x x x = lim x 0 x x = lim x 0 = Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! cos x x x lim x 0 x = lim x 0 x x = lim x 0 = lim 4 x 0 = 4 Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini. Halaman 98 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

224 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin: 5x. Nilai lim... x0 9 x A. 0 lim x 0 B. 7 C. 5 D. 0 E. 6 x. Nilai lim... x x A. 8 lim x B. 4 C. 0 D. 4 E. 8 5x 9 + x = lim 5x x x = lim x 0 5x ( x) 9 (9 + x) 5x ( x) = lim x 0 x = lim 5 ( x) x 0 = 5 ( + 9) = 5 6 = x x x x + = lim x x x + + x + + x + ( x) ( + x + ) = lim x 4 (x + ) = lim x ( x) ( + x + ) ( x) = lim x ( + x + ) = + + = + 4 = + = 4 TRIK SUPERKILAT: 5x lim x x = 5 = 0 TRIK SUPERKILAT: x lim x x + = = 4 x. Nilai lim... x x A. B. C. D. E. 4 4 lim x x + x x + = lim + x + x x + x + 4 (x + ) = lim x (x ) ( + x + ) ( x) = lim x (x ) ( + x + ) = lim x ( + x + ) = + 4 = 4 TRIK SUPERKILAT: x + lim = x x = 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 99

225 cosx 4. Nilai lim... x0 x tan x A. B. C. 0 D. E. lim x 0 cos x x tan x = lim ( sin x) x 0 x tan x sin x = lim x 0 x tan x sin x sin x = lim x 0 = lim x 0 x tan x sin x x = = x x x x sin x x x tan x x x TRIK SUPERKILAT: cos x lim x 0 x tan x = = cos4x 5. Nilai lim... x0 x tan x A. 4 B. C. D. E. 4 lim x 0 cos 4x x tan x = lim ( sin x) TRIK SUPERKILAT: x 0 x tan x sin x cos 4x = lim lim x 0 x tan x x 0 x tan x = sin x sin x = lim x x 0 x tan x x x x sin x sin x = lim x 0 x x x tan x x x = = = 4 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 00 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

227 5.. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi. Turunan Fungsi Definisi Simbol f (x) = y = dy dx = d dx (f(x)) f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h dengan catatan limit ini ada Turunan Fungsi Aljabar f(x) = c f (x) = 0 f(x) = ax n f (x) = n. ax n Sifat: f(x) = ku f (x) = ku f(x) = u ± v f (x) = u ± v f(x) = u v f (x) = u v + uv f(x) = u v f (x) = u v uv v f(x) = f(u) f (x) = f (u) u Turunan Fungsi Trigonometri f(x) = tan x f(x) = cot x f(x) = sec x f(x) = csc x sin x cos x sin x cos x f (x) = sec x f (x) = csc x f (x) = sec x tan x f (x) = csc x cot x Aplikasi Turunan Fungsi Gradien Garis Singgung Kurva y = f(x) di titik x = a m = f (a) Persamaan Garis Singgung di titik (x, y ) y y = m(x x ) Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi. Grafik Fungsi f Grafik Fungsi f Grafik Fungsi f Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun f (a) > 0 f (a) = 0 f (a) < 0 Titik dimana grafik fungsi f tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner. Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum naik stasioner naik naik stasioner turun atau turun stasioner naik turun stasioner turun Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 0

228 LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: f(x) = ax n f (x) = n ax n n ax n n ax n Proses mencari turunan fungsi ax n :. Kalikan pangkatnya dengan fungsi!. Kurangi satu pangkatnya!. Selesai! Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

229 LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: sin x cos x sin x cos x Cara membacanya: y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus. KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian: y = u v y = u v uv v Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan x? y = tan x = sin x cos x u = sin x u = cos x v = cos x v = sin x y = u v uv v = Jadi, y = tan x y = sec x. cos x cos x sin x ( sin x) cos x = cos x + sin x cos x = cos x = sec x Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot x, sec x, dan csc x menggunakan aturan dan sifat tersebut!!! LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x } turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga tan x dan cot x turunannya kembar tan x sec x cot x csc x Cara membacanya: y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x y = sec x y = csc x y = sec x tan x y = csc x cot x Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan x adalah sec x. Turunannya cot x adalah csc x. Turunannya sec x adalah sec x tan x Turunannya csc x adalah csc x cot x Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 0

230 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva f(x) Tentukan turunan f(x) yaitu f (x) Gradien Garis Singgung Kurva di x = a adalah Persamaan Garis Lurus melewati titik (x, y ) dengan gradien m adalah: m = f (a) y y = m(x x ) Gradien Garis Singgung Kurva f(x) di titik (x, y ) dengan gradien m adalah: (y y ) = m(x x ) Contoh Soal: Diketahui h adalah garis singgung kurva y = x 4x + x pada titik (, 4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah. a. (,0) b. (,0) c. (,0) d. (, 0) e. (, 0) Pembahasan: Diketahui kurva f(x) yaitu: f(x) = x 4x + x f (x) = x 8x + Gradien garis singgung kurva di x = adalah: m = f (x) m = f () = () 8() + = 8 + = Persamaan garis singgung kurva di titik (, 4) dengan gradien m = adalah: y y = m(x x ) y ( 4) = (x ) y + 4 = x + y = x + 4 y = x Jadi garis h adalah y = x. Titik potong garis h terhadap sumbu X terjadi saat y = 0, sehingga: y = 0 0 = x x = x = Jadi, titik potong garis h terhadap sumbu X adalah (, 0). Halaman 04 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

231 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi. Hubungan antara Jarak (s), Kecepatan (v), dan Percepatan (a). *) Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut: s v a turun turun Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini: Fungsi v adalah turunan dari fungsi s. atau dinotasikan v = ds dt = s (t) Fungsi a adalah turunan dari fungsi v. atau dinotasikan a = dv dt = v (t) *) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 0 SKL. Kinematika Gerak ( Contoh Soal: Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 0t 5t, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah. meter. a. 70 b. 0 c. 670 d. 70 e. 770 Pembahasan: Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah h(t). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah v(t). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: v(t) = d dt (h(t)) v(t) = d dt (0t 5t ) v(t) = 0 0t Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol. v(t) = 0 0 0t = 0 0t = 0 t = 0 0 t = s Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat t = s, yaitu h(t) = 0t 5t h() = 0() 5() = = 70 m Jadi tinggi maksimum peluru adalah 70 m. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 05

232 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva f(x) Tentukan turunan f(x) yaitu f (x) Halaman 06 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

233 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner). TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum). Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 07

234 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x 8x 4) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah... A. Rp6.000,00 U(x) = 40x (4x 8x + 4)x = 4x + 8x + 6x Karena x mewakili jumlah barang, U(x)akan maksimum untuk x yang memenuhi U B. Rp.000,00 (x) = 0 tidak mungkin negatif sehingga U (x) = 0 yang memenuhi hanya x = C. Rp48.000,00 x + 6x + 6 = 0 (dibagi 4) D. Rp5.000,00 x 4x 4 = 0 E. Rp64.000,00 (x + )(x ) = 0 x = atau x =. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5 0 x 0 Substitusikan x = ke U(x), diperoleh: U(x) = 4() + 8() + 6() = + + = x dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah... A. Rp0.000,00 U(x) = 50x (5x 0x + 0)x = 5x + 0x + 0x Karena x mewakili jumlah barang, U(x)akan maksimum untuk x yang memenuhi U B. Rp0.000,00 (x) = 0 tidak mungkin negatif sehingga U (x) = 0 yang memenuhi hanya x = C. Rp0.000,00 5x + 0x + 0 = 0 (dibagi 5) D. Rp40.000,00 x 4x 4 = 0 E. Rp50.000,00 (x + )(x ) = 0 x = atau x = Substitusikan x = ke U(x), diperoleh: U(x) = 5() + 0() + 0() = = Rp40 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 08 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

236 5.. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Integral Tak Tentu Definisi Kebalikan Proses Turunan F(x) Integral Turunan f(x) F (x) = f(x) f(x) dx = F(x) + C Integral Fungsi Aljabar x n dx = n+ xn+ + C ax n dx = a n+ xn+ + C Sifat: d[f(x)] = f(x) + c k f(x) dx = k f(x) dx [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx Integral Fungsi Trigonometri sin x cos x sin x cos x sec x dx = tan x + C csc x dx = cot x + C sec x tan x dx = sec x + C csc x cot x dx = csc x + C Integral Tertentu b f(x) dx a Definisi = F(x) b = F(b) F(a) a Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

237 Teknik Integral Aljabar Integral Langsung Jika sesuai dengan Rumus Dasar harus dalam bentuk pangkat n d = n+ n+ + C harus sama [f(x) ± g(x)] dx =. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan tidak boleh perkalian pembagian!!!!! [f(x) g(x)] dx =. [ f(x) ] dx =. g(x) Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut: Diubah Substitusi Parsial x dx 5 x dx x(x + ) 5 dx x (x + ) 5 dx Bentuk pangkat belum terlihat!!! Bentuk pangkat belum terlihat!!! Fungsi integran dan operator masih belum sama Fungsi integran dan operator masih belum sama x dx 5x dx harus sama harus sama x(x + ) dx (x + ) dx x(x + ) 5 d(x + ) 4x turunan x (x + ) 5 d(x + ) 4x turunan Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! Sederhanakan! Nggak boleh muncul variabel x Sederhanakan! Tetapi masih muncul variabel x (x + x) dx (x + x + ) dx Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan teknik integral parsial. dan lain-lain u dv = uv v du Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

238 LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: f(x) = ax n F(x) = a n+ xn+ + C ax n ax n+ a n+ xn+ Proses mencari integral fungsi ax n terhadap x:. Tambah satu pangkatnya!. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama!. Tambahkan dengan konstanta C. 4. Selesai! TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan. Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan? f(x) = x n F(x) = n+ xn+ + C Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya, x dx = x Ingat konsep kf(x) dx = k f(x) dx dx ( alias buang semua konstanta keluar integral ) = 5 x 5 + C = 4 5 x 5 + C Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah! Pangkat ditambah menjadi berapa? 5, kan? Mudah saja, balik angka 5 menjadi 5. Jadi, x dx = 5 5 x + C Lho ini kan saling berkebalikan? Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

239 Teknik Integral Trigonometri Integral Langsung Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri sin d = cos + C cos d = sin + C sec d = tan + C csc d = cot + C sec tan d = sec + C csc cot d = csc + C [f(x) ± g(x)] dx boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut: Diubah Substitusi Parsial tan x dx cot x dx x sin(x + ) dx x sin(x + ) dx Adanya konsep Adanya konsep integral sec x!!! integral csc x!!! Fungsi integran dan operator masih belum sama Fungsi integran dan operator masih belum sama (sec x ) dx (csc x ) dx harus sama harus sama sin mx cos nx dx cos mx cos nx dx sin mx sin nx dx sin x dx cos x dx dst x sin(x + ) d(x + ) 6x turunan x sin(x + ) d(x + ) 6x turunan Diubah menjadi bentuk perjumlahan Sin Cos berpangkat genap harus diubah! Sederhanakan! Nggak boleh muncul variabel x Sederhanakan! Tetapi masih muncul variabel x Ingat Rumus Perkalian ke penjumlahan Ingat Rumus Sin Cos setengah sudut sin x cos x dx S + S SC S S CS C + C CC C C SS sin x = cos x cos x = + cos x Jadi, sin 4 x dx juga diubah menjadi sin x sin x dx Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama u dv = uv v du dan lain-lain sin x cos x d(sin x) cos x turunan Sederhanakan! Nggak boleh muncul variabel x Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

240 LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: sin x cos x sin x cos x Cara membacanya: sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus. KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut: tan x sec x cot x csc x Cara membacanya: y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x y = sec x y = csc x y = sec x tan x y = csc x cot x *) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 0 SKL 5. Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 0 ( Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut: sec x dx = tan x + C csc x dx = cot x + C sec x tan x dx = sec x + C csc x cot x dx = csc x + C Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

241 Tips dan Trik Integral Trigonometri Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 0 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah: Rumus identitas trigonometri sin x + cos x = tan x + = sec x + cot x = csc x sin x = cos x cos x = + cos x sin x = sin x cos x Rumus perkalian trigonometri sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x y)] cos x sin y = [sin(x + y) sin(x y)] cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x y)] sin x sin y = [cos(x + y) cos(x y)] Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat n dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut: sin n x (cos x) dx = n + sinn+ x + C cos n x (sin x) dx = n + cosn+ x + C tan n x (sec x) dx = n + tann+ x + C cot n x (csc x) dx = n + cotn+ x + C sec n x (sec x tan x) dx = n + secn+ x + C csc n x (csc x cot x) dx = n + cscn+ x + C Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

242 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral. Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya sedikit berbeda dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar. Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. TITIK! Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK! Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral: Contoh Soal : Hasil dari 5 x dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong! 5 x Contoh Soal : Hasil dari dx =. 5x Pembahasan: 5 dx = x n dx (Ingat x m = x 5 dx (Ingat x = 5 7 x C = 5 7 x C m n dx = m = x n ) n m + n x m+n n + C atau TRIK SUPERKILAT di halaman 5) Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong! dx = (Ingat 5x x n = x n ) = 5 x dx = 5 x dx = 5 x + C = 5 x + C = 5x + C Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

243 Contoh Soal : Hasil dari dx =. x Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong! dx = (Ingat x x n = x n ) = x dx = 0 x 0 + C = tidak terdefinisi Lho kok tidak terdefinisi???????? Ya! Khusus x n dx apabila n = maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi, x dx + x + + C tetapi menggunakan rumus: x dx = dx = ln x + C x Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

244 Contoh Soal 5: Hasil dari x (x 5) dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif! x (x 5) dx = (x 5x ) dx (Ingat (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx ) = x dx 5x dx = 4 x4 5 x + C Contoh Soal 6: Hasil dari (x ) dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat n atau dalam bentuk perkalian sebanyak n faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu a n = a a a a. sebanyak n faktor Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak n faktor! (x ) dx = (x )(x ) dx (Ingat (a + b) = a + ab + b ) = (4x x + 9) dx = 4 x 6x + 9x + C Contoh Soal 7: Hasil dari 4x5 x x dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunya.. 4x5 x x dx = ( 4x5 x x x) dx (Ingat a + b c = a c + b c ) = (x x) dx = x dx x dx ( = 4 x4 x + C = x4 4 x + C Menyelesaikan bentuk x dx yang paling mudah adalah x dx = x dx = x + C ) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

245 Contoh Soal 8: Hasil dari ( + tan x) dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk tan x bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi tan x dx tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah sec x dx = tan x + C. Ubah bentuk tan x menjadi bentuk sec x dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: tan x + = sec x tan x = sec x ( + tan x) dx = (Ingat tan x = sec x ) = ( + (sec x )) dx = ( + sec x) dx = dx + sec x dx = x + tan x + c Contoh Soal 9: Hasil dari ( cot x 5) dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk cot x bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi cot x dx tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah csc x dx = cot x + C. Ubah bentuk tan x menjadi bentuk sec x dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: + cot x = csc x cot x = csc x ( cot x 5) dx = (Ingat cot x = csc x ) = ((csc x ) 5) dx = ( csc x 7) dx = csc x dx 7 dx = csc x dx 7x + c = ( cot x) 7x + c = cot x 7x + c Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

246 Contoh Soal 0: Hasil dari sin x cos x dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x y)] cos x sin y = [sin(x + y) sin(x y)] cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x y)] sin x sin y = [cos(x + y) cos(x y)] Jadi, sin x cos x dx = [sin(x + x) + sin(x x)] dx = (sin 4x + sin x) dx = ( sin 4x + sin x) dx = sin 4x dx + sin x dx = sin 4x dx + sin x dx Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. Sudut sinus 4x dan x, sementara operator integralnya dx. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.ok! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

247 Contoh Soal 0: Hasil dari sin x dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat n atau dalam bentuk perkalian sebanyak n faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu a n = a a a a. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! sebanyak n faktor Ya! Jika pangkat n adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri Jadi, sin x = cos x cos x = + cos x sin x dx = ( cos x) dx = dx cos x dx = x cos x dx Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. Sudut kosinus x, sementara operator integralnya dx. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.ok! Contoh Soal 0: Hasil dari sin x dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat n atau dalam bentuk perkalian sebanyak n faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu a n = a a a a. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! sebanyak n faktor Ya! Jika pangkat n adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri sin x = cos x cos x = sin x Jadi, sin x dx = sin x sin x dx = ( cos x) sin x dx = (sin x cos x sin x) dx = sin x dx cos x sin x dx Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama. Fungsi integran cos x sin x, sementara operator integralnya dx. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.ok! Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

248 LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. harus dalam bentuk pangkat Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral n d = n+ n+ + C harus sama Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat n d belum sama Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel x? Tidak! Nggak ada variabel x lagi! Ya! Masih menyisakan variabel x! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

249 TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya: d dx (x + 4x 9) = (x + 4) d(x + 4x 9) = (x + 4) dx d(x + 4x 9) (x + 4) = dx dx = d(x + 4x 9) (x + 4) turunannya Jadi dx pada soal bisa diganti dengan d(f(x)) f (x) Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, dx dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh: (x 5) d(x 5) dx = (x 5) turunannya sin(4x) dx = sin(4x) d(4x) 4 turunannya x cos(x ) dx = x cos(x ) d(x ) 4x turunannya dan lain-lain.. Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya: x cos(x ) dx = x cos(x ) d(x ) 4x = x 4x cos(x ) d(x ) = 4 cos(x ) d(x ) = cos d 4 Pokoknya variabel x Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel x udah hilang!!!! Sudah sama!!!! Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial. Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

250 Contoh Soal : Hasil dari (x )(x 6x + ) dx =. a. 8 (x 6x + ) 4 + C b. 4 (x 6x + ) 4 + C c. (x 6x + ) 4 + C d. 4 (x 6x + ) + C e. (x 6x + ) + C Pembahasan: Perhatikan soal, (x )(x 6x + ) dx belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial. Ganti operator integral (x )(x 6x + ) dx (x )(x 6x + ) d(x 6x + ) (x 6) turunannya Periksa, apakah hasil (x ) tidak menyisakan variabel x? (x 6) Ternyata hasil dari (x ) (x 6) =, dan kita sudah tidak menemukan variabel x yang tersisa. Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: (x )(x 6x + ) dx = (x )(x 6x + ) d(x 6x + ) (Ingat (x 6) n dx = n dx) = (x 6x + ) d(x 6x + ) (Ingat n dx = n + n+ + C) = (( ) + ) (x 6x + ) ( )+ + C = ( ) (x 6x + ) + C = 4 (x 6x + ) + C Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel x? Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

251 Contoh Soal : Hasil dari 6x x + 5 dx =. a. b. c. d. e. (6x + 5) 6x C (x + 5) x C (x + 5) x C (x + 5) x C (x + 5) x C Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: 6x x + 5 dx = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!ok! (Ingat dx = dx) = 6x(x + 5) dx (Samakan dulu operator integralnya ) = 6x(x + 5) d(x + 5) 6x = (x + 5) d(x + 5) (Ingat n dx = n + n+ + C) = ( (x + 5) + ) = (x + 5) + C = (x + 5) + C + + C = (x + 5) + + C (Ingat sifat pangkat a m+n = a m a n ) = (x + 5)(x + 5) + C = (x + 5) x C Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

252 Contoh Soal : Hasil dari dx =. x 5 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: x 5 dx = x 5 dx = (x 5) dx (Samakan dulu operator integralnya) d(x 5) = (x 5) = (x 5) d(x 5) (Buang semua konstanta keluar integral) = ln x 5 + C Contoh Soal 4: Hasil dari x x dx =. x Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: x x x dx = x x(x ) dx (Ingat f(x) g(x)h(x) = A g(x) + C h(x) ) x x(x ) = A x + B (x ) x A(x ) = x(x ) x(x ) + Bx x(x ) x A(x ) + Bx = x(x ) x(x ) x Ax A + Bx = x(x ) x(x ) x (A + B)x A = x(x ) x(x ) x = (A + B)x A } A + B = A = } A = dan B = x x x dx = A x + B dx (Ingat, dari perhitungan di atas ternyata A = dan B = ) (x ) x x x dx = x + (x ) dx = x dx + (x ) dx = ln x + d(x ) + C (x ) = ln x + d(x ) + C (x ) = ln x + ln x + C Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

253 Contoh Soal 5: Hasil dari sin(4x π) dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4x π). Padahal operator integralnya adalah dx. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel x. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: sin(4x π) dx = (Samakan dulu operator integralnya ) d(4x π) = sin(4x π) 4 Ternyata tidak ada variabel x tersisa. Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial. = sin(4x π) d(4x π) (Ingat sin d = cos + C) 4 = ( cos(4x π)) + C 4 = cos(4x π) + C 4 Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

254 Contoh Soal 5: Hasil dari sin x cos x dx =. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan? f(x) = sin x f (x) = cos x f(x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tan x f (x) = sec x f(x) = cot x f (x) = csc x f(x) = sec x f (x) = sec x tan x f(x) = csc x f (x) = csc x cot x Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat n dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut: sin n x (cos x) dx = n + sinn+ x + C cos n x (sin x) dx = n + cosn+ x + C tan n x (sec x) dx = n + tann+ x + C cot n x (csc x) dx = n + cotn+ x + C sec n x (sec x tan x) dx = n + secn+ x + C csc n x (csc x cot x) dx = n + cscn+ x + C Jadi sin x cos x dx bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula dx menjadi d(sin x). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: sin x cos x dx = (Samakan dulu operator integralnya ) = sin d(sin x) x cos x cos x = sin x d(sin x) (Ingat sin n d(sin ) = n + sinn+ + C) = 4 sin4 x + C Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

255 Contoh Soal 6: Hasil dari sin x dx =. Pembahasan: Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut: sin n x (cos x) dx = n + sinn+ x + C cos n x (sin x) dx = n + cosn+ x + C Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat. Misalnya sin x dx, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi cos x sin x. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah: sin x + cos x = Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: sin x dx = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat ) Jadi ubah dulu sin n x = sin n x sin x = sin x sin x dx = ( cos x) sin x dx (Ingat sin x + cos x = sin x = cos x) = (sin x cos x sin x) dx (Ingat f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx) = sin x dx cos x sin x dx (Penyelesaian cos x sin x dx lihat Contoh Soal 4) = cos x cos d(cos x) x sin x sin x = cos x + cos x d(cos x) (Ingat cos n d(cos ) = n + cosn+ + C) = cos x + cos x + C Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 0 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut: Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

256 LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. harus dalam bentuk pangkat Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral n d = n+ n+ + C harus sama Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan Teknik Integral Parsial atau Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat n d belum sama Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel x? Tidak! Nggak ada variabel x lagi! Ya! Masih menyisakan variabel x! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

257 Contoh Soal : Hasil dari x x + dx =. a. b. c. d. e. 5 (x + ) x + (x + ) x + + C 5 (x + x ) x + + C 5 (x + x + 4) x + + C 5 (x x ) x + + C 5 (x + x ) x + + C Pembahasan: Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat, x x + dx = x(x + ) dx belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial. Ganti operator integral x(x + ) dx x (x + ) d(x + ) turunannya Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel x? Periksa, apakah hasil x tidak menyisakan variabel x? Ternyata hasil dari x = x, dan kita masih menemukan variabel x yang tersisa. Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial. x(x + ) dx = (Ingat integral parsial u dv = uv v du) Misal u = x du dx = du = dx x(x + ) dx = uv v du Maka dv = (x + ) dx dv = (x + ) dx = x (x + ) (x + ) dx v = (x + ) = x(x + ) (x + ) d(x + ) = x(x + ) 5 (x 5 + ) + C = x(x + ) 4 5 (x + )5 + C (keluarkan FPB-nya (x + ) ) = (x + ) [ x 4 (x + )] + C 5 = (x + ) (x + ) ( 6 5 x 4 5 ) + C = (x + ) (x + ) (x ) + C 5 = 5 (x )(x + )(x + ) + C = 5 (x + x )(x + ) + C = 5 (x + x ) x + + C Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

258 Contoh Soal a: Hasil dari (x + ) cos x dx =. a. x sin x + x cos x + C b. (x ) sin x + x cos x + C c. (x + ) sin x x cos x + C d. x cos x + x sin x + C e. x sin x (x ) cos x + C Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: (x + ) u cos x dx = (Ingat integral parsial u dv = uv v du) dv Misal u = x du dx = du = dx (x + ) cos x dx = uv v du Maka dv = cos x dx dv = cos x dx v = sin x = (x + ) sin x sin x x dx = (x + ) sin x x sin x dx (Bentuk x sin x dx diselesaikan menggunakan teknik integral parsial) (x + ) cos x dx = (x + ) sin x x u sin x dx dv Misal u = x du dx = du = dx Maka dv = sin x dx dv = sin x dx v = cos x (x + ) cos x dx = (x + ) sin x [uv v du] + C = (x + ) sin x [x ( cos x) ( cos x) dx + C ] + C = (x + ) sin x [( x cos x) + cos x dx + C ] + C = (x + ) sin x [( x cos x) + sin x + C ] + C = (x + ) sin x + x cos x sin x + C + C C +C =C = (x + ) sin x sin x + x cos x + C = (x + ) sin x + x cos x + C = (x ) sin x + x cos x + C Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

259 TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal b: Hasil dari (x + ) cos x dx =. a. x sin x + x cos x + C b. (x ) sin x + x cos x + C c. (x + ) sin x x cos x + C d. x cos x + x sin x + C e. x sin x (x ) cos x + C Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi: Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai! (x + ) mudah cos x rumit dx = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit) Kolom Kiri (Turunkan) (x + ) Kolom Kanan (Integralkan) cos x x sin x cos x 0 sin x (x + ) sin x x cos x sin x (x + ) cos x dx = (x + ) sin x + x cos x sin x + C = (x + ) sin x sin x + x cos x + C = (x + ) sin x + x cos x + C = (x ) sin x + x cos x + C Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya! Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

260 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri. TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang: bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial. Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 0 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri. Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 0 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk a u, a + u, dan u a. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 0 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

261 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu. Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu b f(x) dx = F(x) b = F(b) F(a) a a Contoh Soal : Hasil dari 4 (6x 8x + ) dx =. a. 96 b. 08 c. d. 6 e. 8 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: 4 (6x x + ) dx = [x 4 x + x] = ((4) (4) + (4)) (() () + ()) = ( ) ( ) = (8 8 + ) (6 + 6) = () (0) = Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan. Misal F(x) = x x + x Maka, F(b) F(a) = ((4) (4) + (4)) (() () + ()) 4 (6x x + ) = (4) (4) + (4) () + () () = (4) () (4) + () + (4) () = (4 ) (4 ) + (4 ) selisihnya x selisihnya x dx = [x 4 x + x] selisihnya x = (4 ) (4 ) + (4 ) = (64 8) (6 4) + () = (56) () + () = = Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar. Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

262 Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Integral ini. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

263 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. x Hasil dari 7 x x 7 dx... x A. C 6 (x x x 7 x + 7) 7 dx = (x )(x x + 7) 7 d(x x + 7) (6x ) = (x x + 7) 7 d(x x + 7) B. C 6 = 4 x x 7 ( 6 ) (x x + 7) 6 + C = C. C (x 6 6 x x 7 x + 7) 6 + C D. 6 x x 7 C E. 7 x x 7 C. Hasil dari x x dx... A. (x ) x C B. (x ) x C C. (x ) x C D. (x ) x C E. (x ) x C. Hasil dari x 4 x 6x 9 4 dx... 0 A. 4x 6x 9 C 0 x 0 5 x 0 0 B. C C. C 0 D. 4x 6x 9 C 0 0 E. 4x 6x 9 C 0 9 x x + dx = x(x + ) d(x + ) 6x = (x + ) d(x + ) = (x + ) + C = (x + ) x + + C (4x + )(4x + 6x 9) 9 dx = (4x + )(4x + 6x 9) 9 d(4x + 6x 9) 8x + 6 = (4x + 6x 9) 9 d(4x + 6x 9) = 0 (4x + 6x 9) 0 + C = 0 (4x + 6x 9) 0 + C 4. Hasil dari 7 x x dx A. x 5 C B. x 5 C C. x 5 C D. x 5 C E. x 5 C 6... x x dx = 7 (x 5) 5 7 (x 5) 5 d(x 5) (6x ) = (x 5) 5 7 d(x 5) = 7 (x 5) 7 + C = (x 5) + C Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

264 5. Nilai dari x 5 A. B. C. D. E. 6 4x dx Nilai dari x A. B. 4 C. 6 D. 8 E. 0 x dx Nilai dari x 7 0 A. 6 B. 0 C. D. 6 E. (4x x + 5) dx 4 (x x + ) dx x dx... (x x + 7) dx 0 = [ 4 x x + 5x] = ( 4 () () + 5()) ( 4 () () + 5()) = ( + 0) (4 + 5) = = 5 6 = 77 6 = [ x x + x] 4 = ( (4) (4) + (4)) ( () () + ()) = ( ) ( + ) = 64 8 = = [x x + 7x] = (() 0 () + 7()) ((0) (0) + 7(0)) = ( ) (0) = 6 8. Nilai dari 4x A. B. C. D. E. x dx (x + 4x ) dx = [ x + x + x] 0 = ( () + () + ()) ( () + () + ()) = ( ) ( + + ) = ( 8 + 7) ( + 5) = = + 6 = + 5 = 7 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 4

265 π 9. Nilai dari sin cosx dx 0 A. 5 B. C. 0 D. E. π x Nilai dari sin cosx dx 0 A. B. C. 0 D. E. π 0 x.... Nilai dari sin( x ) dx... A. B. C. 0 D. E. 4 π. Nilai dari (sin x cosx) dx... 0 π A. 4 B C. D. E. ( sin x cos x) 0 π 0 π dx = [ cos x sin x] 0 π = ( cos π sin π) ( cos 0 sin 0) = ( ) ( 0) = + = ( sin x cos x) dx = [ cos x sin x] 0 π = ( cos π sin π) ( cos 0 sin 0) = ( ) ( 0) = sin(x π) dx = [ cos(x π)] 0 0 π 0 π = ( cos 0) ( cos( π)) = ( ) ( ) = (sin x + cos x) dx = [ cos x + sin x] 0 π TRIK SUPERKILAT: π sin(x π) dx = sin(x) dx 0 π 0 π = [ cos(x)] 0 = = ( cos 40 + sin 60 ) ( cos 0 + sin 0 ) = ( ( ) + ) ( + 0) = = 4 + = ( + ) 4 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

267 5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral. Aplikasi Integral Luas Daerah Volume Benda Putar Luas Daerah Dibatasi Kurva y y = f(x) x x = a x = b b b L = f(x) dx L = f(x) dx a a y x = a x = b x y = f(x) Diputar Mengelilingi Sumbu X y y = f(x) b x = a x = b x V = π (f(x)) dx Diputar Mengelilingi Sumbu Y a y y = d y = c y x = f(y) x x = f(y) y y = d y = c x x = f(y) y = d y = c x V = π (f(y)) c d dy d d L = f(y) c dy L = f(y) c dy Volume Benda Antara Dua Kurva y y = f(x) y y = f(x) y = g(x) x = c x x x = b x = a b c x = a x = b L = f(x) a dx + f(x) b dx b V = π [(f(x)) (g(x)) ] dx a Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva y x = a x = b y = f(x) y = g(x) x y x = g(y) x = f(y) y = d y = c x y x = g(y) x = f(y) y = d y = c x b L = [f(x) g(x)] dx d L = [f(y) g(y)] dy d V = π [(f(x)) (g(x)) ] dx a c c Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

268 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah) Luas Daerah Dibatasi Diketahui Garis Memotong Dua Kurva Lebar dan Tinggi Kurva di Titik Puncak Y Y Tinggi Tinggi Lebar X Lebar X L = Lebar Tinggi L = Lebar Tinggi 6 L kecil = ab L kecil = 6 ab b Y (a, b) b Y (a, b) L = D D 6a D = b 4ac adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: ax + bx + c = 0. Persamaan kuadrat tersebut diperoleh dari persekutuan kedua kurva. a L besar = ab X a L besar = ab X Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

269 Contoh Soal a: Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 x dan garis y = x adalah... a. 6 satuan luas b. 4 satuan luas c. 4 satuan luas d. 46 satuan luas e. 46 satuan luas Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y y = x X y = 8 x Titik potong parabola dengan garis adalah: y = y x = 8 x x (8 x ) = 0 x 8 + x = 0 x + x 8 = 0 (x + 4)(x ) = 0 x + 4 = 0 atau x = 0 x = 4 atau x = Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik x = 4 dan x =. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah. Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: L = [f(x) g(x)] dx 4 Nah, sekarang kita menentukan f(x) dan g(x). Pada interval batas integrasi 4 x, berlaku f(x) g(x). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: f(x) = 8 x dan g(x) = x Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: L = [(8 x ) (x)] dx 4 Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu. L = [(8 x ) (x)] dx 4 = ( x x + 8) dx 4 = [ x x + 8x] 4 = ( () () + 8()) + ( ( 4) ( 4) + 8( 4)) = ( ) (64 6 ) = ( ) ( ) = 8 80 ( ) = = 08 = 6 satuan luas Halaman 7 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

270 Contoh Soal b: Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 x dan garis y = x adalah... a. 6 satuan luas b. 4 satuan luas c. 4 satuan luas d. 46 satuan luas e. 46 satuan luas Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva. Titik potong parabola dengan garis adalah: y = y x = 8 x x (8 x ) = 0 x 8 + x = 0 x + x 8 = 0 (x + 4)(x ) = 0 x + 4 = 0 atau x = 0 x = 4 atau x = Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya. Dari persamaan kuadrat x + x 8 = 0, diperoleh nilai diskriminan: D = b 4ac D = () 4()( 8) = 4 + = 6 Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut: L = D D 6a = 6 6 6() = 6 6 = 6 satuan luas 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

271 Contoh Soal a: Luas daerah yang dibatasi kurva y = x, y = x +, sumbu Y di kuadran I adalah... a. b. c. d. e satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: y = x Y y = x + X Titik potong parabola dengan garis adalah: y = y x = x + x (x + ) = 0 x x = 0 (x + )(x ) = 0 x + = 0 atau x = 0 x = atau x = Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik x = dan x =. Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis x = 0 dan x =. Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: L = [f(x) g(x)] dx 0 Nah, sekarang kita menentukan f(x) dan g(x). Pada interval batas integrasi 0 x, berlaku f(x) g(x). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: f(x) = x + dan g(x) = x Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: L = [(x + ) (x )] dx 0 Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu. L = [(x + ) (x )] dx 0 = ( x + x + ) dx 0 = [ x + x + x] 0 = ( () + () + ()) + ( (0) + (0) + (0)) = ( ) (0) = = 0 satuan luas Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

272 Contoh Soal b: Luas daerah yang dibatasi kurva y = x, y = x +, sumbu Y di kuadran I adalah... a. b. c. d. e satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: y = x 4 Y y = x + X Titik potong parabola dengan garis adalah: y = y x = x + x (x + ) = 0 x x = 0 (x + )(x ) = 0 x + = 0 atau x = 0 x = atau x = Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut: Y Y Y 4 X = 4 X 4 X {Luas daerah arsir} = { luas segiempat, alas dan tinggi 4} {luas segitiga, alas dan tinggi 4 = } L arsir = L L = ()(4) ()() = 6 = 6 6 = 0 satuan luas Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Aplikasi Integral ini. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 75

273 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar) Volume Benda Putar Dibatasi Kurva dan Garis Sumbu X L = D D 0a π D = b 4ac adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: ax + bx + c = 0. Persamaan kuadrat tersebut adalah persamaan kurva pada soal. Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

274 Contoh Soal a: Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x x dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah... a. b. c. d. e π satuan volume π satuan volume π satuan volume π satuan volume π satuan volume Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y y = x x X Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: y = 0 x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 atau x = 0 x = 0 atau x = Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik x = 0 dan x =. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar. Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut: L = π [f(x)] dx 0 Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: f(x) = x x Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut: L = π [(x x)] dx 0 Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu. L = π [(x x)] dx 0 = π (x 4 4x + 4x ) dx 0 = π [ 5 x5 x x ] 0 = π [( 5 ()5 () () ) + ( 5 (0)5 (0) (0) )] = π [( ) (0)] = π [ ] 5 = 6 π satuan volume 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 77

275 Contoh Soal b: Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x x dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah... a. b. c. d. e π satuan volume π satuan volume π satuan volume π satuan volume π satuan volume Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar. Titik potong parabola dengan garis adalah: y = 0 x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 atau x = 0 x = 0 atau x = Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya. Dari persamaan kuadrat x x = 0, diperoleh nilai diskriminan: D = b 4ac D = () 4()(0) = 4 Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut: L = D D 0a π = (4) π = π = π satuan volume. 0() Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Aplikasi Integral ini. Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

276 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin: TRIK SUPERKILAT: y = y x 4x + = x x x = 0 Jadi D = b 4ac = 9 L = D D 6a. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 4x dan = = 7 6 = 9 satuan luas A. B. C. D. E. 4 6 satuan luas 9 satuan luas 9 satuan luas 8 6 satuan luas satuan luas Y y = x 4x + y = x X y x Luas daerah diarsir: b L = y y a adalah... dx = ( x) (x 4x + ) dx 0 = ( x + x) dx 0 = [ x + x ] 0 = ( () + () ) ( (0) + (0) ) = ( ) (0) = 9 satuan luas TRIK SUPERKILAT: y = y x + x + 4 = x x + 4x + = 0 Jadi D = b 4ac = 4 L = D D 6a. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x x 4 dan = = 8 6 = 4 satuan luas A. B. C. D. E satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas Y y = x + x X y = x Luas daerah diarsir: b y x L = y y dx a adalah... = ( x) (x + x + 4) dx = ( x 4x ) dx = [ x x x] = ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) = ( + ) ( ) = 4 satuan luas TRIK SUPERKILAT: y = y x 4x + = x x 5x + 4 = 0 Jadi D = b 4ac = 9 L = D D 6a. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 4x dan y x adalah... = = 7 6 = 9 satuan luas A. B. C. D. E. 4 6 satuan luas 9 satuan luas satuan luas satuan luas satuan luas y = x 4x + Y - y = x 4 X Luas daerah diarsir: b L = y y dx a 4 = (x ) (x 4x + ) dx 4 = ( x + 5x 4) dx = [ x + 5 x 4x] 4 = ( (4) + 5 (4) 4(4)) ( () + 5 () 4()) = ( ) ( + 5 4) = 9 satuan luas Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 79

277 4. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva Volume benda putar mengelilingi sumbu X adalah... b A. B. C. D. E. π 5 4 π 5 π 5 7 π 5 4 π 5 satuan volume satuan volume satuan volume satuan volume satuan volume y x 5. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva mengelilingi sumbu X sejauh 60 adalah... A. B. C. D. π π π π 5 satuan volume satuan volume satuan volume satuan volume E. 7 π satuan volume 5 6. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva mengelilingi sumbu X sejauh 60 adalah... Y b A. y = x V = π y y a 0 B. π satuan volume 4 5 C π satuan volume 5 D. 4 X π satuan volume 5 E. y = x 4 π satuan volume 5 π satuan volume dan y x y 4x dan y x y x dengan y x diputar 60 diputar diputar Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. y = x y = 4x Y Y y = x y = x -4 V = π y y dx = π (4x ) (x ) dx b a X = π (4x ) (x ) dx = π ( x 4 + 6x 4x + 9) dx = [ 5 x5 + 6 x x + 9x] = ( 5 ()5 + 6 () () + 9()) ( 5 ()5 + 6 () () + 9()) = ( ) 5 ( ) = ( 6 5 ) ( 5 ) = 84 5 = 4 satuan volume 5 Volume benda putar V = π y y dx = π ( x ) ( x) dx a X 0 = π (x 4 4x ) dx 0 = π [ 5 x5 4 x ] 0 = π [( 5 ()5 4 () ) ( 5 (0)5 4 (0) )] = π ( 5 ) = π ( ) 5 64 = 5 π = Volume benda putar π satuan volume dx = π (x) (x ) dx = π (4x x 4 ) dx = π [ 4 x 5 x5 ] 0 = π [( 4 () 5 ()5 ) ( 4 (0) 5 (0)5 )] = π ( 5 ) = π ( ) 5 64 = 5 π = 4 4 π satuan volume 5 Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

279 Banyak Siswa Banyak Siswa Banyak Siswa Banyak Siswa SKL 6. Mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, serta mampu memahami kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian dan mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 6.. Menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel, diagram, atau grafik. Membaca Data Tabel Diagram Grafik Tahun Banyak Siswa Tahun Tahun Tabel Distribusi Frekuensi Histogram Poligon Frekuensi Berat (kg) Banyak Siswa Berat (kg) Berat (kg) Tepi Bawah 59,5 Batas Batas 0,5 Bawah Atas +0, (60+64) Nilai Tengah Kelas 6 (64,5 59,5) Tepi Atas 64,5 Panjang Interval Kelas 5 Keterangan: Pada kelas interval 60 64, Pada kelas interval 60 64, Pada kelas interval 60 64, 60 adalah batas bawah. 60 0,5 = 59,5 adalah tepi bawah. 64,5 69,5 = 5 adalah panjang interval kelas. 64 adalah batas atas ,5 = 64,5 adalah tepi atas. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 8 ( ) = 6 adalah nilai tengah kelas

280 Banyak Siswa Banyak Siswa Banyak Siswa Banyak Siswa Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas Lebar histogram menyatakan Batas histogram menyatakan Titik tengah histogram kelas interval tepi atas dan tepi bawah kelas adalah nilai tengah kelas Berat (kg) Berat (kg) Berat (kg) Poligon Frekuensi Poligon Frekuensi Titik tengah histogram dihubungkan dengan garis Berat (kg) Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

281 Frekuensi Kunulatif Frekuensi Kunulatif Distribusi Kumulatif dan Ogive Distribusi Kumulatif Tabel Distribusi Tabel Distribusi Tabel Distribusi Frekuensi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Lebih Dari Kurang dari Tepi Atas Lebih dari Tepi Bawah Berat (kg) Banyak Siswa Berat (kg) Cara mencari fk fk Berat (kg) Cara mencari fk ,5 9, , , , , , , , ,5 6 6 fk Ogive Ogive Positif Ogive Naik Ogive Negatif Ogive Turun Berat (kg) Berat (kg) Manfaat dan Kegunaan Digunakan untuk menentukan ukuran letak seperti Median, Kuartil, Desil, maupun Persentil Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 8

282 Ukuran Pemusatan Data Tunggal Mean Median Modus Jumlah nilai dibagi banyak data Nilai tengah data terurut Data paling sering muncul x = x i n Rata-rata dari, 5, 6,, 5, 4, 7, 8 adalah: Rata-rata adalah jumlah nilai dibagi dengan banyaknya data. Hitung jumlah dari semua data lalu bagi dengan banyaknya data. x = x i n = = 40 8 = 5 x = x s + d i n dimana, d i = (x i x s ) = rataan sementara x s Rata-rata dari, 5, 6,, 5, 4, 7, 8 adalah: Misal kita memilih nilai rata-rata sementara adalah x s = 5, maka d i = x i 5. Artinya semua data dikurangi 5. Sehingga nilai rata-ratanya adalah: x i d i 0 0 x = x s + d i n = = = = 5 Me = x n+, untuk n ganjil Nilai tengah dari data 6, 9,, 9, 4 adalah: Terdapat 5 buah data (n = 5), artinya jumlah data ganjil. Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar. Me = x n, 4, 6, 9, 9 Me = x 5+ = x 6 = x = 6 + x n +, untuk n genap Nilai tengah dari data 7,, 9, 8, 5, 4 adalah: Terdapat 6 buah data (n = 6), artinya jumlah data genap. Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar., 4, 5, 7, 8, 9 Median adalah rata-rata kedua bilangan ini Me = x n + x n + = x + x 4 = = = 6 Modus dari data berikut 7, 4, 8, 5,, 8, 6, 5, 5, adalah: Frekuensi dari setiap data: Data Frekuensi Atau dengan mengurutkan data:,, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8 Karena data 5 muncul kali, maka nilai modus = 5 Modus dari data berikut 7, 6, 8, 5, 9, 8, 6, 8, 6, 4 adalah: Frekuensi dari setiap data: Data Frekuensi Atau dengan mengurutkan data: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 Perhatikan, karena data 6 dan 8 sama-sama muncul kali, maka modus = 6 dan 8 Modus dari data berikut 7, 6, 4, 6, 5, 8, 8, 5, 4, 7 adalah: Frekuensi dari setiap data: Data Frekuensi Atau dengan mengurutkan data: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Karena data seimbang, semua data sama-sama muncul sebanyak kali, maka modus tidak ada. Halaman 84 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

283 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok Mean Median Modus Jumlah nilai dibagi banyak data Nilai tengah data terurut Data paling sering muncul x = f ix i f i Data f i x i f i x i Jumlah 40 0 x = f ix i f i = 0 40 = = 5,5 x = x s + f id i f i dimana, d i = (x i x s ) = rataan sementara x s Misal x s = 5, maka d i = (x i 5). f i x i d i f i d i Jumlah 50 x = x s + f id i = f i 40 = 5 +,5 = 5,5 Me = T b + ( n f k ) p f Me Data f i Data f k , , , , ,5 40 Jumlah 40 Jumlah data sebanyak n = 40, sehingga diperoleh n = 0. Median terletak pada kelas interval yang memuat data ke-0, yaitu kelas ke-. Jadi, letak kelas median yaitu pada kelas interval 50 54, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi dan nilai tepi bawahnya 49,5. Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 49,5 adalah 0. Me = T b + ( n f k ) p f Me 0 0 = 49, 5 + ( ) 5 = 49, = 49,5 +,85 = 5,5 Mo = T b + ( a a + b ) p Data f i a = 7 = 6 b = = Modus terletak pada kelas interval yang memuat data dengan jumlah frekuensi terbesar. Data dengan jumlah frekuensi terbesar yaitu sebanyak data terletak pada kelas interval ke-. Jadi, letak kelas modus yaitu pada kelas interval 50 54, dengan panjang interval 5. Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval sebelumnya adalah a = 7 = 6. Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval sesudahnya adalah b = =. Mo = T b + ( a a + b ) p = 49,5 + ( ) 5 = 49, = 49,5 +,75 = 5,5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 85

284 Ukuran Letak Data Berkelompok Quartil Desil Persentil Membagi 4 bagian sama besar Membagi 0 bagian sama besar Membagi 00 bagian sama besar dari data terurut dari data terurut dari data terurut i Q i = T b + ( 4 n f k ) p f Qi i D i = T b + ( 0 n f k ) p f Di i P i = T b + ( 00 n f k ) p f Pi Data f i Data f k , , , , ,5 40 Jumlah 40 Misal ditanyakan nilai Q =? Jumlah data sebanyak n = 40, sehingga diperoleh n = 0. 4 Q terletak pada kelas interval yang memuat data ke-0, yaitu kelas ke-4. Jadi, letak kelas Q yaitu pada kelas interval 55 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi dan nilai tepi bawahnya 54,5. Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah. Q = T b + ( 4 n f k ) p f Q 0 = 54, 5 + ( ) 5 = 54,5 + 5 = 54,5 +,8 = 57,68 Data f i Data f k , , , , ,5 40 Jumlah 40 Misal ditanyakan nilai D 7 =? Jumlah data sebanyak n = 40, sehingga diperoleh 7 n = 8. 0 D 7 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-8, yaitu kelas ke-4. Jadi, letak kelas D 7 yaitu pada kelas interval 55 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi dan nilai tepi bawahnya 54,5. Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah. 7 D 7 = T b + ( 0 n f k ) p f D7 8 = 54, 5 + ( ) 5 = 54,5 + 5 = 54,5 +,7 = 56,77 Data f i Data f k , , , , ,5 40 Jumlah 40 Misal ditanyakan nilai P 75 =? Jumlah data sebanyak n = 40, sehingga diperoleh 75 n = P 75 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-0, yaitu kelas ke-4. Jadi, letak kelas P 75 yaitu pada kelas interval 55 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi dan nilai tepi bawahnya 54,5. Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah. 75 P 75 = T b + ( 00 n f k ) p f P75 0 = 54, 5 + ( ) 5 = 54,5 + 5 = 54,5 +,8 = 57,68 Halaman 86 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

285 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Mean data berkelompok) Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean. Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data. Ada cara mencari mean (nilai rata-rata): Mean Metode Deviasi Sistem Kode Menggunakan data sesungguhnya Menggunakan selisih data Menggunakan sistem kode terhadap rata-rata sementara x = f ix i f i x = x s + f id i f i Misal x s = 5, maka d i = (x i 5). Semua data dikurangi dengan rata-rata dugaan. x = x s + ( f iu i ) p f i Misal x s = 5, maka u i = (x i 5) p Bagi semua nilai d i dengan panjang interval kelas. Data f i x i f i x i Jumlah 40 0 x = f ix i f i = 0 40 = = 5,5 f i x i d i f i d i Jumlah 50 x = x s + f id i = f i 40 = 5 +,5 = 5,5 f i x i u i f i u i Jumlah 0 x = x s + f iu i p = f i 40 5 = = 5 +,5 = 5,5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 87

286 Banyak Siswa Banyak Siswa TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Modus data berkelompok) Untuk data berbentuk tabel, letak modus adalah kelas interval data dengan frekuensi terbanyak, Atau untuk data berbentuk histogram, letak modus adalah kelas interval dengan batang yang paling tinggi. Perhatikan tabel distribusi frekuensi dan histogram berikut: Tabel Distribusi Frekuensi Histogram Berat (kg) Banyak Siswa Berat (kg) Nah, konsep modus adalah perpotongan dari dua garis berikut pada histogram: Tabel Distribusi Frekuensi Histogram Berat (kg) Banyak Siswa Berat (kg) Letak Modus Perhatikan, karena BFA = DFC dan ABF = CFD, maka AFB sebangun dengan CFD. Sehingga diperoleh perbandingan: FE AB = FG CD x p x = a b bx = a(p x) bx = ap ax ax + bx = ap (a + b)x = ap x = ( a a + b ) p Jadi, nilai modus adalah: Mo = T b + x Mo = T b + ( a a + b ) p a B E A T b p x F Mo C G D b TRIK SUPERKILAT: Jadi, untuk mengingat rumus modus gunakan cara ini: Mo = T b + ( a a+b ) p a = selisih dengan kelas di atasnya b = selisih dengan kelas di bawahnya Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar. Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

287 Frekuensi Kunulatif Frekuensi Kunulatif TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Median data berkelompok) Median adalah nilai tengah dari data terurut, maka otomatis kita harus mengurutkan data terlebih dahulu. Pada data berkelompok, untuk mengurutkan data dapat dilakukan dengan membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan secara grafik juga bisa ditentukan dengan menggambar kurva ogive positif. Perhatikan tabel distribusi frekuensi, frekuensi kumulatif kurang dari, dan ogive positif di bawah ini: Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Ogive Positif Frekuensi Kurang Dari Kurang dari Tepi Atas Ogive naik Berat (kg) Banyak Siswa Berat (kg) Cara mencari fk fk , , , , , Berat (kg) Misalkan terdapat data sebanyak n buah, maka letak median adalah pada data ke - n. Karena banyakya data adalah 40 buah, maka data ke n adalah terletak pada urutan ke-0. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Ogive Positif Frekuensi Kurang Dari Kurang dari Tepi Atas Ogive naik Berat (kg) Banyak Siswa Berat (kg) Cara mencari fk fk , , , , , n n Letak Median Berat (kg) Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Statistik (Ukuran Pemusatan atau Ukuran Letak) ini. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 89

288 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut: Kelas Frekuensi Nilai modus dari data pada tabel adalah... A. B. C. D. E. 49,5 49,5 49,5 49,5 49, d = 8 = 4 d = 9 = T b = 50 0,5 = 49,5 i = 0 Mo = T b + d d + d i = 49, = 49, H Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 90 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

290 6.. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi. Kaidah Pencacahan Aturan Perkalian Banyak cara memilih unsur pertama Banyak cara memilih unsur kedua Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus m n m n Faktorial Perkalian Bilangan Urut n! = n (n ) (n ) Catatan:! = dan 0! = Banyak cara menyusun r buah unsur dari keseluruhan n buah unsur Permutasi Perhatikan Urutan np r = n! (n r)! Catatan: r n Kombinasi Urutan Tidak Diperhatikan nc r = n! r! (n r)! Catatan: r n Permutasi Ada Unsur Sama Ada k unsur yang sama, ada l unsur yang sama, dan m unsur yang sama np (k,l,m) = n! k! l! m! Catatan: k + l + m n Permutasi Siklis nc r = n P r r! Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi r unsur dari n unsur namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan maka dianggap hasil permutasi tersebut ada r unsur yang sama. Posisi Melingkar P siklis = (n )! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 0

291 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu: np r = n! (n r)! Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut: np r = n (n ) (n ) (n r + ) Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak r unsur berbeda yang bisa dibuat dari n unsur. Misalnya saja, menyusun unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat kotak sebagai berikut: Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur. Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena unsur sudah diisikan pada kotak pertama. Pada kotak ketiga bisa diisi unsur, karena unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua. Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun unsur berbeda dari 5 unsur adalah: 5 4 = 60 cara. Dari sini jelas bahwa rumus permutasi unsur berbeda dari 5 unsur adalah: 5 4 = perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak faktor Jadi bisa disimpulkan bahwa: np r = perkalian mundur dimulai dari bilangan n sebanyak r faktor Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut: 5P 4 = 5 4 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 5) 0P = (perkalian mundur angka terakhir dari 0) 7P = 8 7 (perkalian mundur angka terakhir dari 7) 5P = 5 4 (perkalian mundur angka terakhir dari 5) Dst dst dst Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut: Di suatu kelas terdapat siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak. cara. Karena kita menyusun siswa dari keseluruhan siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi P. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak: P = 0 = 0 cara (perkalian mundur angka terakhir dari ) Mudah bukan?! Halaman 04 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

292 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu: nc r = n! r! (n r)! Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut: nc r = n C r r! Penjelasannya sebagai berikut: Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi r unsur dari n unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada r unsur yang sama. Jadi bisa disimpulkan bahwa: nc r = (perkalian mundur dimulai dari bilangan n sebanyak r faktor) (perkalian maju dimulai dari bilangan sebanyak r faktor) Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut: 5C 4 = C = C = 8 7 Dst dst dst perkalian mundur 4 angka terakhir dari 5 ( ) perkalian maju 4 angka terdepan mundur angka terakhir dari 0 (perkalian ) perkalian maju angka terdepan mundur angka terakhir dari 7 (perkalian ) perkalian maju angka terdepan Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut: Di suatu kelas terdapat siswa. Banyak cara memilih siswa dari siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak. cara. Karena kita menyusun siswa dari keseluruhan siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi C. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak: C = Mudah bukan?! 0 Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut: mundur angka terakhir dari 5 = 0 cara (perkalian ) perkalian maju angka terdepan nc r = n C (n r) Jadi, 0C 7 = 0 C = mundur angka terakhir dari 0 (perkalian ) perkalian maju angka terdepan Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 05

293 Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian. Contoh Soal : Dari angka-angka:,,, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, 7. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, 7. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, 7. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas angka boleh berulang adalah: = 4 buah. Contoh Soal : Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 0 hanya ditulis gitu aja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas angka boleh berulang adalah: = 94 buah. Halaman 06 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

294 Contoh Soal : Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0,, 4, 6. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 0 hanya ditulis gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Jadi banyaknya bilangan terdiri atas angka boleh berulang lebih dari 0 adalah: = 68 buah. Contoh Soal 4: Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak cara saja, yaitu diisi dengan angka,, 5. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 0 hanya ditulis gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan 6 7 Jadi banyaknya bilangan terdiri atas angka boleh berulang lebih dari 0 adalah: 6 7 = 6 buah. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 07

295 Contoh Soal 5: Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 00 adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka lebih dari 00, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 00 maka angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka, 4, 5, 6. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Jadi banyaknya bilangan terdiri atas angka boleh berulang lebih dari 00 adalah: = 96 buah. Contoh Soal 6: Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 0 adalah. Penyelesaian: Bilangan lebih dari 0, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan ratusan dengan angka ratusan, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 0. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain. Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 0. maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak cara saja, yaitu diisi angka saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka,, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan 5 7 Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0,,,, 4, 5, 6. Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan 7 7 Jadi banyaknya bilangan terdiri atas angka boleh berulang lebih dari 0 adalah: ( 5 7) + ( 7 7) = = 8 buah. Halaman 08 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

296 Contoh Soal 7: Dari angka-angka:,,, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka,, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka sebagai angka puluhan. Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka, 4, 5, 6, 7 saja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas angka tidak boleh berulang adalah: = 0 buah. Contoh Soal 8: Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka,,, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 0 hanya ditulis gitu aja. Misal kita pilih angka sebagai angka ratusan Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0,,, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka sebagai angka puluhan. Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,, 4, 5, 6 saja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas angka tidak boleh berulang adalah: = 80 buah. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 09

297 Contoh Soal 9: Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan. - Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan. Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja. Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka,,, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka sebagai angka puluhan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka,, 4, 5, 6 saja. Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan 6 5 Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak cara saja, yaitu diisi dengan angka, 4, 6 saja. Misal kita pilih angka sebagai angka satuan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka,, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,, 4, 5, 6 saja. Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan 5 5 Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas angka tidak boleh berulang adalah: ( 6 5) + ( 5 5) = = 05 buah. Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

298 Contoh Soal 0: Dari angka-angka: 0,,,, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah. Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak cara saja, yaitu diisi dengan angka,, 5. Misal kita pilih angka sebagai angka satuan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka,, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,, 4, 5, 6 saja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Angka Ratusan Angka Puluhan Angka Satuan 5 5 Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas angka tidak boleh berulang adalah: 5 5 = 75 buah. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

299 Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi. Contoh Soal : Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga AB BA. Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang. 7! 7P 7 = (7 7)! = 7! 0! = 7! = = 5040 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: np r = perkalian mundur dimulai dari bilangan n sebanyak r faktor 7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7. 7P 7 = = 5040 Contoh Soal : Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga AB BA. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang. 7! 7P 4 = (7 4)! = 7!! = = = 840 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7. 7P 4 = = 840 Contoh Soal : Ada orang calon pengurus OSIS, akan dipilih orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan. Sehingga AB BA. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil orang dari keseluruhan orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak orang.! P = ( )! =! = = 0 = 0 9! Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: permutasi, bisa diartikan perkalian angka terakhir dari. P = 0 = 0 Halaman Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

300 Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama. Contoh Soal : Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA? Penyelesaian: Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: n = 0 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak buah, jadi k =. - Huruf A ada sebanyak buah, jadi l =. - Huruf T ada sebanyak buah, jadi m =. Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah: 0P (,,) = 0!!!! = = 5.00 kata Contoh Soal : Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta buah buku Fisika. Bukubuku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: n = 0 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi k = 5. - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi l = 4. Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah: 0P (5,4) = 0! 5! 4! = =.60 cara Contoh Soal : Ada bendera merah, bendera biru, dan bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda? Penyelesaian: Elemen penyusun ada bendera merah, bendera biru, dan bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: n = 5 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Bendera merah ada sebanyak buah, jadi k =. Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah: 5P () = 5!! = 5 4 = 0 cara Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman

301 Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis. Contoh Soal : Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran! Penyelesaian: Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, n = 5. Berarti kita gunakan permutasi siklis. P siklis = (5 )! = 4! = 4 = 4 cara Contoh Soal : Berapa cara 0 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada orang yang harus duduk secara berdekatan? Penyelesaian: Karena ada orang harus duduk berdekatan, berarti orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun orang yang duduk saling berdekatan sebanyak!. Nah, karena orang dianggap menjadi satu, maka dari total 0 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar. Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, n = 9. Berarti kita gunakan permutasi siklis. P siklis = (9 )! = 8! Jadi banyaknya cara menyusun 0 orang duduk melingkar apabila ada orang yang harus duduk bersebelahan: P = P siklis! = 8!! = = cara Contoh Soal : Ada 4 orang siswa kelas X, orang siswa kelas XI, dan orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan. Penyelesaian: Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar. Berarti kita gunakan permutasi siklis. P siklis = ( )! =! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4 P 4 = 4!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak P =!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak P =!. Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan: P = P siklis 4!!! =! 4!!! = 576 cara Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

302 Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi. Contoh Soal : Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan. Sehingga AB = BA. Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang. 7! 7C 4 = (7 4)! 4! = 7!! 4! = = = 5 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: nc r = (perkalian mundur dimulai dari bilangan n sebanyak r faktor) (perkalian maju dimulai dari bilangan sebanyak r faktor) 7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal. 7C 4 = = 5 Contoh Soal : Ada orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan. Sehingga AB = BA. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil orang dari keseluruhan orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak orang.! C = ( )!! =! = 9!! = = 0 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: kombinasi, bisa diartikan perkalian angka terakhir dari dibagi perkalian angka awal. 0 C = = 0 Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 0 pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ini. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 5

303 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka,,, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah... A. 0 B. 40 C. 80 D. 0 E. 60 Permutasi 4 angka dari 6 angka: 6! 6P 4 = (6 4)! = 6!! = = = 60 Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: n = = 60 bilangan. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata WIYATA adalah... A. 60 kata Permutasi 6 unsur dari dengan ada unsur yang sama, yakni huruf A: B. 80 kata 6! C. 90 kata! = = 60 kata D. 60 kata E. 0 kata Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 0, maka adik-adik bisa download di Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 0 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 0November 0 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 0 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di Pak Anang. Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

305 6.. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian. Peluang Kejadian Ruang Sampel semua kejadian yang mungkin n(s) Banyaknya Kejadian kejadian yang ditanyakan di soal n(a) Peluang Kejadian banyak kejadian dibagi banyak ruang sampel P(A) = n(a) n(s) 0 P(A) mustahil pasti Peluang Kejadian Komplemen peluang tidak terjadinya A P(A) + P(A) C = P(A) C = P(A) C Frekuensi Harapan banyak kejadian dalam n kali percobaan f h (A) = n P(A) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 7

306 Peluang Kejadian Majemuk Peluang Gabungan Dua Kejadian Peluang Kejadian A atau B A dan B mungkin terjadi bersama P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) catatan: A B Peluang Dua Kejadian Bersyarat Peluang Kejadian A dan B dengan syarat B telah terjadi" P(A B) = P(A B) P(B) Peluang Kejadian A dan B dengan syarat A telah terjadi Peluang Dua Kejadian Saling Lepas Peluang Kejadian A atau B A dan B tidak mungkin terjadi bersama P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) catatan: A B = P(B A) = P(A B) P(A) Peluang Dua Kejadian Saling Bebas Peluang Kejadian A dan B yang tidak saling mempengaruhi P(A B) = P(A) P(B) Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

307 KONSEP DASAR Menyusun Ruang Sampel. Pada soal UN Matematika SMA beberapa tahun terakhir, materi peluang yang sering ditanyakan adalah menentukan peluang kejadian pada: - pelemparan dua buah dadu, - pelemparan beberapa mata uang koin, - pengambilan beberapa bola yang diletakkan dalam sebuah kotak dengan atau tanpa pengembalian, - pengambilan beberapa kartu pada kartu bridge atau kartu remi. Cara menyusun ruang sampel ada berbagai macam cara, diantaranya adalah: - diagram pohon - tabel - mendaftar anggota Contoh: Menyusun ruang sampel untuk percobaan pelemparan dua dadu. Menggunakan tabel. Dadu Dadu (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) 4 (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) Menggunakan diagram pohon. Dadu Dadu Hasilnya (,) (,) (,) 4 (,4) 5 (,5) 6 (,6) (,) (,) (,) 4 (,4) 5 (,5) 6 (,6) Awal (,) (,) (,) 4 (,4) 5 (,5) 6 (,6) (4,) (4,) 4 (4,) 4 (4,4) 5 (4,5) 6 (4,6) (5,) (5,) 5 (5,) 4 (5,4) 5 (5,5) 6 (5,6) (6,) (6,) 6 (6,) 4 (6,4) 5 (6,5) 6 (6,6) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( Halaman 9

308 Menyusun ruang sampel untuk pelemparan dua mata uang koin. Menggunakan tabel. Koin Koin A G A (A,A) (A,G) G (G,A) (G,G) Menggunakan diagram pohon. Koin Dadu Hasilnya A (A,A) A G (A,G) Awal A (G,A) G G (G,G) Menyusun ruang sampel untuk satu set kartu bridge atau kartu remi. Dalam satu set kartu bridge atau kartu remi terdapat 5 kartu (tanpa kartu joker). Halaman 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (

Menunjukkan lagi