EKSPLORASI BENTUK AKAR

Transkripsi

1 EKSPLORASI BENTUK AKAR Bilangan dalam bentuk akar juga sering menjadi bagian penting dalam soal-soal kompetisi matematika Beberapa pengetahuan dasar tentang bentuk akar :. Bilangan di bawah tanda akar tidak boleh negatif. a b ab, salah satu akibatnya adalah a a. Merasionalkan bentuk akar a. b. c. a a a+ b a+ b a a b a b a b a b. a ± b a + b ± ab Contoh satu penerapanya adalah Dengan menggunakan rumus pengkuadratan bentuk aljabar, maka a ± ab + b a + b Contohnya : Dengan persamaan bentuk aljabar + (n )n(n + )(n + ) (n(n + ) ), maka n n n + n + n n + Contohnya : Contoh Soal Soal [OSN 00] Nilai dari a. 0 c..000 b. 00 d Jawaban : c dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, a b (a + b)(a b) maka bentuk ( )( ) (0000)(00) Sehingga Soal Jawaban Muhammad Yusuf Halaman

2 Soal Hasil dari : adalah. a. 08 c. 6 b. d. 8 Jawaban : b Soal Selesaikan soal berikut Jawaban ? Soal Tentukan semua bilangan bulat n sehingga n n 9 juga merupakan bilangan bulat UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) March 0 (Sheet 6) Jawaban Misalkan p n n 9, maka p n - n 9 yang disederhanakan menjadi n p 6 n 9 Karena 6 merupakan bilangan kuadarat, maka n 9 juga harus merupakan bilangan kuadrat. Misalkan n 9 m n p 6 n 9 m + 9 p 6m m + 9 p m m m + 9 p (m ) + 5 p p (m ) 5 (p + m )(p m + ) 5 Dengan menggunakan faktor-faktor positif dari 5 yaitu (,5), (5,), (,5) dan (5,) Maka kita dapat pasangan nilai (p,m) adalah (8,9), (8,-5), (,) dan (,) Karena m adalah nilai dari n 9, maka m harus positif, sehingga pasangan (p,m) yang memenuhi tinggal (8,9), (,) dan (,) Dengan memasukan nilai m ke persamaan m n 9 Muhammad Yusuf Halaman

3 Maka kita peroleh Untuk m 9 n 00 Untuk m n 7 Untuk m n 0 Soal 6 Berapakah jumlah dari bentuk berikut International Contest-Game MATH KANGAROO Canada, 007 Jawaban Setiap pecahan dari penjumlahan tersebut berbentuk 00 Bentuk tersebut dapat disederhanakan dengan cara berikut : n n n n n n + n n n n + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n+ n n n n n n + n n n Dengan semikian, bentuk soal tersebut dapat diubah menjadi , dengan n,,...,. Jika a > 0, maka 8 A. a B. a 9 a a a a SOAL-SOAL KOMPETISI MATEMATIKA dapat disederhanakan menjadi C. a D. 8 E. Tidak ada yang benar a Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest. Tentukan pangkat dari + + (A) (B) + 6 (C) (D) (E) Tidak ada pilihan yang benar Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest Muhammad Yusuf Halaman

4 . Jika 00 x 9, maka x... (A) 9 (B) 9 (C) 9 (D) 97 (E) 9 Cayley Contest 0. Jika 5 + x 6, berapakah nilai x? Euclid Contest 0 5. Jika N 5++ 5, maka N? a) (b) (c) (d) (e) Tidak ada pilihan yang benar 0 Math Contest Level - Coastal Carolina University 6. Untuk berapa banyak nilai k yang berbeda sehingga k dan k + 6 keduanya merupakan bilangan bulat? (a) 0 (b) (c) (d) (e) none of these 0 Math Contest Level - Coastal Carolina University 7. Diketahui x Tentukan nilai dari x x 0. (a) 808 (b) 0 (c) 006 (d) 50 (e) MATH TOURNAMENT 0 PROBLEMS Columbus State 8. Tentukan bilangan bulat x yang memenuhi x MATH TOURNAMENT 0 CIPHERING Columbus State 9. Hitunghlah A) B) C). Hasil dari 0, 00 kali ke-00 setelah tanda koma? A) B) C) D) E) 6 Georgia Tech High School Math Competition-Ciphering Test D) E) Indiana State Mathematics Contest-Comprehensive 0 ditulis dalam bentuk bilangan desimal. Berapakah angka yang International Kangaroo Mathematics Contest 00 Student Level: Class ( & ) 8. Manakah yang senilai dengan A) B) + C) - D) E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest Sample for 0 Muhammad Yusuf Halaman

5 . Manakah yang senilai dengan A) B) C) 9 D) 6 E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest Sample for 0. Berapakah 7 + 7? (A) 7 (B) - (C) 7 (D) (E) 0 Lakehead University Math Contest Senior Individual 5. Tentukan bilangan bulat u dan v yang memenuhi persamaan berikut 6. Manakah yang senilai dengan (A) 5 (B) 5 7. Sederhanakanlah : (C) 8 5 (D) u v? (E) 5 0 LSU Math Contest Open Session FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS (A) - (B) - (C) (D) (E) 5 FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS Jika 6 + x 00, maka x A. B. C. 8 D. 6 E. None of these. 0 Marywood Mathematics Contest A. B. C. 8 D. 6 E. None of these. 0 Marywood Mathematics Contest 0. Diketahui bahwa x adalah bilangan bulat. Jika x + 0 x 0 juga merupakan bilangan bulat, tentukan x Mathworks at Texas State University Mathworks Math Contest For Middle School Students 0 Muhammad Yusuf Halaman 5

6 . Hitunglah Nassau County Interscholastic Mathematics League Contest # : 0 0. Berapakah hasil dari 8 6? (A) 9 6 (B) (C) 6 (D) 5 (E) 50 NB Math Contest - Grade 8. Tentukan nilai dari NC State Mathematical Contest. Diketahui 5 A + B + C Tentukan nilai dari A B + C D. + D untuk semua bilangan bulat A, B, C, D. 0 OHMIO PRESSURE ROUND 5. Nyatakan dalam bentuk akar tunggal yang paling sederhana 8 0 OHMIO PRESSURE ROUND 6. Berapakah nilai dari 9 REMT 0 7. Sederhanakanlah : x x x 9 REMT Rocket City Math League 0-0 : Senior Division Inter-School Test 9. Sederhanakanlah (a) 0 (b) (c) 8 (d) 9 (e) None of the above Saginaw Valley State University009 Math Olympics Level I 0. Rasionalkan penyebutnya : (a) /7 (b) + 7 (c) 7 (d) + + (e) None of the above 7 SVSU 007 Math Olympics Level I a) b) 5 5 c) d) 8+ 5 e) SCSU MATH CONTEST : 9 th and 0 th Grade Test Muhammad Yusuf Halaman 6

7 . Berapakah nilai dari ? (a) (b) (c) 6 (d) 8 6 (e) 8 6 High School Math Contest University of South Carolina January 8, 0. Jika lima bilangan berikut 0 ; 0 ; 6 ; 0 0 ; Disusun dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang berada di tengah adalah... a) 0 b) 0 c) 6 d) 0 0 e) SOUTH AFRICANMATHEMATICS OLYMPIAD 0 SECOND ROUND SENIOR SECTION: GRADES 0, AND. Diberikan a 8 dan b + 8. Maka a + b... (a) 6 (b) (c) (d) (e) 8 0ProServe Tennessee Math ContestFERMAT I 5. Tentukan nilai dari x AB EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER, 0 6. Berapakah bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana yang senilai dengan Tentukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari BC EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER, 0 8. Sederhanakanlah bentuk akar berikut BEST EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER, Muhammad Yusuf Halaman 7

8 9. Berapakah nilai dari a. 9 b. 8 c. d. 8 e. 0. Misalkan p + dan r serta x p + r, maka x... a. p b. p c. d. r e. r. Hitunglah hasil penjumlahan bentuk berikut : a. b. c. 5 d e Hitunglah (A) 089 (B) 09 (C) 90 (D) 9 (E) None of the above 008 Written test - UGA Math Contest. Problem 5. Express in terms of the fewest number of square roots possible: Ciphering test - UGA Math Contest. Berapakah nilai dari SENIOR KANGAROO MATHEMATICAL CHALLENGE 5. Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari dan a a a b. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari a + b. UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) October 00 (Sheet ) 6. Nyatakanlah bentuk bulat dalam bentuk a b dengan a dan b bilangan UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) December 0 (Sheet ) Muhammad Yusuf Halaman 8