Statistik Non Parametrik

Transkripsi

1 Statistik Non Parametrik

2 UJI FRIEDMAN (UJI X ) r

3 X r UJI Friedman (uji ) Untuk k sampel berpasangan (k>) dengan data setidaknya data skala ordinal Sebagai alternatif dari analisis variansi dua arah bila asumsi normalitas dari populasinya dan homoscedastisitasnya tidak terpenuhi Prosedur Uji 1. H 0 : μ 1 = μ = μ 3 =...=μ k (k sampel berasal dari populasi yang identik atau tidak ada pengaruh dari perlakuan yang diberikan) H 1 : tidak semua sama. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data disusun dalam tabel dua arah dengan n baris dan k kolom dengan baris i menunjukkan subyek / blok i i= 1,,3,...,n kolom j menunjukkan kondisi/treatment/ perlakuan j j= 1,,3,...,k Data untuk setiap baris diberi peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / ranking sama diambil rata-ratanya

4 X r UJI Friedman (uji ) Ranking dalam masing-masing kolom dijumlah, dinotasikan dengan R 1, R,..., R k 4. Statistik Uji X r 1 nk( k 1) k j1 R j 3n( k 1) ~ berdistribusi X ; vk1 5. Daerah kritis X r > X ; vk1 Ho ditolak

5 Dari 5 desain mobil sport, 10 pengemudi profesional diminta mencoba dan memberikan respon dalam bentuk rating dengan skala antara 0 (sangat tidak nyaman) sampai 100 ( amat sangat nyaman). Hasilnya disajikan dalam tabel berikut : Ujilah dengan = 0,05 bahwa tidak ada perbedaan yang berarti dari overall rating yang diberikan untuk kelima desain mobil sport tersebut Penyelesaian 1. H 0 : μ A = μ B = μ C = μ D =μ E (kelima desain mobil mempunyai rating yang sama) H 1 : tidak semua sama. Tingkat signifikansi : = 0,05

6 4. Perhitungan statistik uji X r Statistik Uji (10)(5 1) 0, (5)(5 1) X X 0 9, Daerah kr itis jik r >,05; v51 Ho ditolak karena X = 0,88 < X r 0,05; v51 9, 488 maka Ho diterima bahwa tidak ada perbedaan respon pengemudi terhadap kelima desain mobil sport tersebut.

7 UJI COCHRAN (UJI Q)

8 UJI Cochran (uji Q ) Untuk data skala nominal atau ordinal dengan dua kemungkinan nilai (dikotomi) sukses dan gagal, setuju dan tidak setuju, besar dan kecil dll Untuk menguji apakah frekuensi / proporsi dari k sampel berpasangan berbeda secara signifikan Data pengamatan disusun dalam tabel dua arah dengan n baris (blok) dan k kolom (perlakuan / treatment) Prosedur Uji 1. H 0 : p 1 = p = p 3 =...=p k (k sampel berasal dari populasi yang identik atau tidak ada pengaruh dari perlakuan yang diberikan) H 1 : tidak semua sama. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data disusun dalam tabel dua arah dengan n baris dan k kolom dengan baris i menunjukkan subyek / blok i i= 1,,3,...,n kolom j menunjukkan kondisi/treatment/ perlakuan j j= 1,,3,...,k

9 UJI COCHRAN Untuk setiap baris dihitung jumlah sukses dengan notasi R i Untuk setiap kolom dihitung jumlah sukses dengan notasi C j 4. Statistik Uji Q ( k 1)[ k j1 n n ~ berdistribusi k k R C i i1 i1 j k j1 R i C j ] X ; vk1 4. Daerah kritis Q > Ho ditolak X ; vk1

10 Sebuah perusahaan yang memproduksi mie instan akan meluncurkan 3 rasa baru mie yaitu A, Contoh B dan C. Untuk memperoleh 1 respon pendahuluan diambil sampel random dari 10 pembeli, masing-masing sampel pembeli diminta untuk mencoba rasa mie tersebut dan memberikan penilaian dengan mengatakan enak atau tidak enak pada jenis mie yang dirasakan seperti pada tabel : Ujilah dengan = 0,05 bahwa tidak ada perbedaan respon pembeli terhadap rasa baru mie instan tersebut Penyelesaian 1. H 0 : p A = p B = p C (ketiga rasa baru mie instan mempunya rasa yang sama) H 1 : tidak semua sama. Tingkat signifikansi : = 0,05

11 4. Perhitungan statistik uji Pembeli Statistik Uji Contoh A B C R j R j C j C j Q Respon pembeli terhadap mie dengan rasa : ( k 1)[ k k n k j1 i i1 i1 X R C j n k j1 R i C 0 j 5, Daerah kritis jikaq >,05; v31 Ho ditolak karena Q = 7,71 > X maka Ho ditolak ada 0,05; v31 5,991 perbedaan respon pembeli terhadap rasa baru mie instan tersebut (ketiga mie rasanya tidak semua sama) ] (3 1)[3(4 64 5) 3(15) 31 ] 7,71

12 UJI KERANDOMAN (RANDOMNESS TEST / RUN TEST)

13 Uji KERANDOMAN Untuk menguji apakah data sampel yang diambil merupakan data yang acak / random Prosedur Uji 1. H 0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H 1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Tentukan nilai median data Untuk data yang > median, beri tanda + Untuk data yang < median, beri tanda Untuk data yang = median, beri tanda 0 Setelah data dinyatakan dalam tanda + dan -, tentukan banyaknya run dalam urutan data tersebut (urutan data tidak boleh diubah) Run = banyaknya urutan data dengan tanda yang identik yang diikuti dan didahului oleh tanda yang berbeda atau tanpa tanda

14 Uji KERANDOMAN Misal : = run = 3 run = 5 run n 1 = banyaknya data yang bertanda tertentu misalnya + n = banyaknya data yang bertanda lainnya, misalnya r = banyaknya run dalam urutan 4. Daerah kritis a. Untuk n 1 dan n 0 bila r a r r b Ho diterima bila r < r a atau r > r b Ho ditolak b. Untuk n 1 atau n > 0 r ~ berdistribusi normal dengan rata-rata μ r dan standard deviasi r dengan r n n n n r n1n n1n n1 n ( n n ) ( n n 1) 1 1

15 Uji KERANDOMAN Z hitung r r r Bila Z Z hitung Z Z hitung Z maka Ho diterima Bila atau maka Ho ditolak Z hitung Z

16 Diberikan hasil pengumpulan data sebagai berikut : 31, 36, 43, 51, 44, 1, Contoh 6, 43, 75,, 1 3, 15, 18, 78, 4, 13, 7, 86, 61, 13, 7, 6, 8, 15 Ujilah dengan = 0,05 apakah data tersebut mempunyai urutan yang random Penyelesaian 1. H 0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H 1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Menentukan nilai median data Data diurutkan dari kecil ke besar ` median = (4+6)/ = 5 Untuk data yang > median, beri tanda + Untuk data yang < median, beri tanda Untuk data yang = median, beri tanda 0

17 Contoh n 1 = 1 n = 1 r = 8 4. Daerah kritis karena r a = 7 r = 8 r b = 19 Ho diterima Berarti data di atas mempunyai urutan yang acak / random

18 Data berikut merupakan urutan hasil proses produksi dari mesin tertentu Contoh disebuah pabrik. Dimana notasi D menunjukkan produk cacat (defect) dan N menunjukkan hasil baik (non defect) NNNNNNDDDDNNDDNNNNNNNNNNDDNNNNDDDNNNNNND Ujilah dengan = 0,05 apakah urutan data tersebut mempunyai urutan yang random Penyelesaian 1. H 0 : urutan data merupakan urutan yang random / acak H 1 : urutan data bukan merupakan urutan yang random / acak. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Untuk data D + Untuk data N

19 n 1 = 1 n = 8 > 0 r = 10 r r r Z 1 Contoh n n (1)(8) ,8 n n 1 8 hitung n1n ( n n 1 n n n n (1)(8) (1)(8) 1 8 ) 1 ( n 1 1 n 1) (1 8) (1)(8) (1)(8) 40 6,81 (40) (39) r r 4. Daerah kritis r 10 17,8,6 3,6 (1 8 1) Karena Z hitung 3 Z0, 05 1,96 Ho ditolak Berarti data diatas mempunyai urutan yang tidak acak / random

20 UJI KOLMOGOROV - SMIRNOV 1 SAMPEL (SAMPEL TUNGGAL)

21 Uji Kolmogorov Merupakan uji goodness of fit antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan Dibanding dengan uji goodness of fit dengan menggunakan X test - Uji kolmogorov smirnov lebih efisien untuk sampel berukuran kecil - Uji kolmogorov smirnov hanya bisa digunakan untuk variabel random kontinu sedang X test bisa untuk kontinu maupun diskrit Prosedur Uji 1. H 0 : variabel random x berdistribusi teoritis tertentu H 1 : tidak. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Menentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data Hitung distribusi frekuensi relatif kumulatif, notasikan dengan Fa (x) Hitung distribusi frekuensi teoritis (ekspektasi), notasikan dengan Fe (x)

22 Uji Kolmogorov 3. Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) Fe (x) I ~ berdistribusi D ; n nilai D ; n dilihat pada tabel nilai uji kolmogorov smirnov untuk sampel tunggal 4. Daerah kritis D > D ; n Ho ditolak

23 Ujilah dengan = 0,05 apakah data berikut berdistribusi normal dengan rata-rata µ =3 dan standard deviasi σ = 1,1 1,9 3,,8 1,0 5,1 0,9 4, 3,9 3,6,7 Penyelesaian 1. H 0 : variabel random x berdistribusi normal N(3; 1) H 1 : tidak. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Fungsi densitas kumulatif dari variabel random yang berdistribusi normal N(3; 1) x 3 Fe( x) P( Z Z0) PZ PZ ( x 3) 1 Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Menentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data

24 Contoh Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) Fe (x) I = 0,1795 Daerah kritis bila D > D 0,05; 11 = 0,391 Ho ditolak karena D = 0,1795 < D 0,05; 11 = 0,391 maka Ho diterima berarti data diatas berdistribusi normal N(3; 1)

25 Ujilah dengan = 0,05 apakah data berikut berdistribusi uniform dengan a=0 dan b=30 atau U (0; 30) 4,8 10,3 8, 3,1 4,4 8,7 19,5,4 4,0 10,3 Penyelesaian 1. H 0 : variabel random x berdistribusi uniform U(0; 30) H 1 : tidak. Tingkat signifikansi : = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Fungsi densitas kumulatif dari variabel random yang berdistribusi U (0;30) 0 ; x 0 Fe(x) x/(30-0) ; 0 < x < 30 1 ; x 30 Data pengamatan disusun dan diurutkan dari nilai data terkecil sampai terbesar Tentukan distribusi frekuensi masing-masing nilai data

26 Contoh Statistik Uji D = Maksimum I Fa (x) Fe (x) I = 0,16 nilai D ; n dilihat pada tabel nilai uji kolmogorov smirnov untuk sampel tunggal Daerah kritis D > D 0,05; 10 = 0,410 Ho ditolak karena D = 0,16 < D 0,05; 10 = 0,410 maka Ho diterima berarti data diatas berdistribusi uniform U(0;30)