MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH

Transkripsi

1 MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH oleh YUNITA EKASARI NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

2 perpustakaan.uns.ac.id ii

3 ABSTRAK Yunita Ekasari, MODEL NILAI TUKAR DOLAR KANADA TER- HADAP RUPIAH MENGGUNAKAN MARKOV SWITCHING GARCH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Dolar Kanada merupakan salah satu dari mata uang komoditas yang aktif diperdagangkan di pasar valuta asing. Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 memiliki sifat heteroskedastisitas dan juga terdapat perubahan struktur. Model GARCH mampu memodelkan adanya heterokedastisitas dengan baik namun tidak memperhitungkan adanya perubahan struktur. Perubahan struktur merupakan suatu perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu. Markov Switching (MS) merupakan alternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur. Dalam MS, perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati. Dalam literatur sering disebut state. Banyaknya state diasumsikan ada dua yaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas tinggi. Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu yang sesuai untuk nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pada model GARCH atau sering disebut MS-GARCH. Hasil penelitian menunjukkan model untuk meramalkan data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 untuk state nol adalah ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,0) sebagai model variansi bersyarat. Sedangkan untuk state satu ARMA(1,0) sebagai model rata-rata bersyarat dan GARCH (1,1) sebagai model variansi bersyarat. Kata kunci : dolar Kanada, heteroskedastisitas, perubahan struktur, MS-GARCH. iii

4 ABSTRACT Yunita Ekasari, EXCHANGE RATE MODEL OF CANADIAN DO LLAR TO RUPIAH USING MARKOV SWITCHING GARCH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Canadian dollar is one of commodity currencies traded actively in foreign currency market. The data of Canadian dollar exchange rate to rupiah during February 1, 2002 to February period have heteroscedasticity property and a structural change, too. GARCH can model the presence of heteroscedasticity correctly but does not take into account the presence of structural change. The structural change is a pattern change occurring in the data time series. Markov switching(m S) is an alternative of time series data modeling having structural change. In Markov Switching, change of model structural that occured is not considered as a result of deterministic event but a result of random anobserved variable. In literature, it is called state. It is assumed that there are two number of states : state zero for low volatility and state one for high volatility. The purpose of this final project is to determine an appropriate time series model for exchange rate of Canadian dolar to rupiah. The data is modeled by involving Markov Switching in GARCH model or frequently called MS-GARCH. The result of research shows that a model to forecast the exchange rate of Canadian dolar to rupiah during February 1, 2002 to February period for state zero is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,0) as conditional variance model, while state one is ARMA(1,0) as conditional mean and GARCH(1,1) as conditional variance model. Key words : Canadian dollar, heteroscedasticity, structural change, MS-GARCH. iv

5 MOTO Tidak ada simpul yang tidak dapat diurai, tidak ada masalah yang tidak dapat diselesaikan asalkan kita mempunyai kesabaran Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu dengan kesiapan v

6 PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk Ibu dan Bapakku tercinta, Adikku Tony Hendra Prasetya, Keluargaku Tisanda 2, Elza, Agatha, Indriya dan Umi. vi

7 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Drs. Pangadi, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II atas kesabarannya membimbing dan memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Surakarta, Juli 2012 Penulis vii

8 Daftar Isi PENGESAHAN iii ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI x DAFTAR TABEL xi DAFTAR GAMBAR xii DAFTAR NOTASI xiii DAFTAR NOTASI xiv I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Model Runtun Waktu dan Stasioneritas ACF dan PACF. commit.... to. user Log Return viii

9 2.1.4 Model ARMA Estimasi Model ARMA Uji Autokorelasi Residu Uji Heterokedastisitas Uji Perubahan Struktur Model GARCH Kriteria Informasi Model Markov Switching Model Markov Switching GARCH Probabilitas Transisi Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi bersyarat Fungsi Likelihood MS-GARCH Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS GARCH Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 28 IV PEMBAHASAN Deskripsi Data Log Return Pengujian Karakteristik Log Return Pembentukan Model Stasioner Identifikasi Model Estimasi Parameter Model ARMA Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(1,0) Uji Autokorelasi Homokesdastisitas Variansi Uji Efek Heteroskedastisitas Uji Korelasi Kuadrat Residu Uji Lagrange commit Multiplier to user Uji Perubahan Struktur ix

10 4.4.6 Model GARCH Model Markov Switching GARCH Peramalan Peramalan Volatilitas Peramalan Rata-Rata Bersyarat Validasi Model V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 45 x

11 Daftar Tabel 2.1 Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q) Hasil Estimasi Model ARMA pada Data Log Return Uji Breusch-Godfrey Residu Model ARMA(1,0) Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) Uji Chow Break Point Berdasarkan Model ARMA(1,0) Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(1,0) Hasil ramalan volatilitas log return enam periode ke depan Hasil Ramalan Log Return Enam Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95% Hasil Ramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Enam Periode ke Depan dengan Interval Konfidensi 95% Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah MSE Peramalan Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah xi

12 Daftar Gambar 4.1 Plot Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Plot ACF dan PACF Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Plot Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Histogram dan Statistik Deskriptif Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Plot Absolut Log Return dan Kuadrat Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Plot ACF dan PACF Log Return Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah Plot Residu Model ARMA(1,0) Plot ACF dan PACF Kuadrat Residu Model ARMA(1,0) xii

13 DAFTAR NOTASI P t : data pada waktu ke-t r t : log return pada waktu ke-t T : jumlah observasi E() : harga harapan γ k : autokovariansi pada lag-k ρ k : autokorelasi pada lag-k ϕ kk : autokovariansi parsial ϕ : parameter autoregressive θ : parameter rata-rata bergerak p : orde parameter autoregressive q : orde parameter rata-rata bergerak µ : rata-rata σ 2 : variansi x : variabel bebas S : jumlah kuadrat residu ε t : residu rata-rata bersyarat pada waktu t u t : deret white noise berdistribusi normal dengan variansi satu Ψ t : himpunan semua observasi samapai waktu ke-t α : parameter GARCH β : parameter GARCH s t : state f() : fungsi densitas probabilitas α : parameter GARCH p ij : probabilitas transisi state i akan diikuti state j p jt : probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψ t 1 xiii

14 I j (s t ) : fungsi indikator bernilai nol atau bernilai satu φ jt : probabilitas state j waktu t berdasarkan informasi Ψ t l t : fungsi log likelihood pada waktu ke-t Θ : vektor parameter MS-GARCH χ 2 : statistik uji Breuch-Godfrey ξ : statistik uji Lagrange Multiplier Q : statistik uji Ljung Box F : statistik uji Chow Break Point H 0 : hipotesis nol H 1 : hipotesis alternatif xiv

15 Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan hampir semua negara di dunia menganut sistem perekonomian terbuka. Perekonomian terbuka menggambarkan suatu kondisi dimana antar negara melakukan suatu hubungan, baik secara ekonomi melalui perdagangan internasional maupun politik. Perdagangan internasional mengakibatkan munculnya masalah baru yakni perbedaan mata uang antar negara-negara yang bersangkutan. Harga suatu mata uang terhadap mata uang yang lainnya disebut nilai tukar (kurs). Nilai tukar merupakan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara. Sejak 14 Agustus 1997, Indonesia menganut sistem nilai tukar mengambang bebas (free floating exchange rate system). Nilai tukar rupiah dibiarkan secara bebas bergerak berdasarkan mekanisme pasar. Akibatnya nilai tukar rupiah terhadap mata uang asing sangat berfluktuasi. Salah satu mata uang yang dapat mempengaruhi pergerakan perekonomian dunia adalah dolar Kanada yang merupakan salah satu dari commodity currency yang aktif diperdagangkan di pasar valuta asing (Haruko [9]). Fluktuasi nilai tukar memberikan dampak yang besar terhadap perekonomian sehingga diperlukan manajemen nilai tukar yang baik, yang menjadikan nilai tukar stabil. Fluktuasi nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu karena merupakan himpunan observasi terurut. Menurut Cryer [4], salah satu model runtun waktu untuk data stasioner adalah Autoregressive Moving Average (ARMA). Model ARMA memiliki asumsi variansi eror yang konstan, yang dikenal dengan istilah homoskedastisitas. Data runtun waktu finansial sering mengalami perubahan volatilitas dari waktu 1

16 ke waktu sehingga variansi dari eror berubah setiap waktu (heteroskedastisitas). Hal ini mengakibatkan asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi. Berdasarkan kenyataan tersebut, diperlukan model yang dapat menggambarkan pergerakan variansi eror. Engle [5] memperkenalkan model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH ) untuk memodelkan variansi eror. Model ARCH dalam penerapannya memiliki kelemahan yaitu ketika diperoleh orde ARCH yang besar menyebabkan presisi estimator berkurang. Bollerslev [2] memperkenalkan model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH ) yang merupakan generalisasi dari model ARCH. Namun, baik model ARCH maupun GARCH tidak memperhitungkan perubahan struktur serta tidak dapat mendeteksi pergeseran volatilitas. Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching(MS) sebagai alternatif pemodelan data time series yang mengalami perubahan struktur. Perubahan struktur merupakan suatu perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu. Dalam Markov Switching, perubahan struktur yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati(unobservable) dan dalam literatur sering disebut state atau regime. Hamilton [7] melibatkan Markov Switching pada model Autoregressive dan menghasilkan model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dengan baik, namun belum bisa menjelaskan adanya pergeseran volatilitas. Selanjutnya, Hamilton dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH, dikenal dengan model MS-ARCH. Model ini mampu menjelaskan perubahan struktur dan mendeteksi pergeseran volatilitas pada data. Gray [6] memperkenalkan model Markov Switching GARCH (MS-GARCH ) yang mempunyai karakteristik yang sama dengan MS-ARCH namun melibatkan parameter yang lebih sederhana. Penelitian tentang model (MS-GARCH ) banyak diterapkan dalam asset s return, diantaranya oleh Marcucci [12] dan Klaasen [10] pada stock market. Marcucci [12] menggunakan rata-rata keseluruhan data sebagai rata-rata bersyarat MScommit to user GARCH. Dalam penelitian ini, (MS-GARCH ) akan diterapkan pada nilai tukar 2

17 dolar Kanada terhadap rupiah periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari 2012 dengan rata-rata bersyarat model Autoregressive. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun perumusan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH. 2. Bagaimana ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH untuk periode 1 Maret samapi dengan 8 Maret Batasan Masalah Batasan masalah pada penulisan skripsi ini diberikan untuk membatasi ruang lingkup pembahasan masalah yaitu data yang digunakan adalah data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah yang diambil pada hari Senin- Jumat dan selain hari libur nasional periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari Model yang digunakan adalah MS-GARCH dengan asumsi terdapat dua state yaitu state nol untuk volatilitas rendah dan state satu untuk volatilitas tinggi. 1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menurunkan ulang model nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH. 2. Menentukan ramalan nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah menggunakan MS-GARCH. 3

18 1.5 Manfaat Penelitian Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan, khususnya dalam pengembangan model variansi eror yang melibatkan perubahan state atau regime. Sedangkan manfaat praktisnya bagi pemerintah diharapkan hasil ramalan nilai tukar dolar Kanada dapat membantu dalam antisipasi kondisi perekonomian negara dan bagi pelaku pasar modal dapat membantu dalam pengambilan keputusan. 4

19 Bab II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Tinjauan pustaka adalah pembahasan mengenai penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian penulis. Penelitian tersebut diantaranya, Engle [5], Bollerslev [2], Hamilton [7], Hamilton dan Susmel [8], Gray [6] Marcucci [12] dan Klaasen [10]. Pemodelan variansi eror pertama kali diperkenalkan oleh Engle [5] menggunakan model ARCH. Engle [5] membandingkan hasil estimasi antara model standar yakni model klasik OLS dengan model ARCH melalui penaksiran maksimum likelihood. Data yang digunakan adalah data inflasi di U.K. periode 1958 sampai Hasil penelitian memperlihatkan bahwa model ARCH lebih baik daripada model klasik OLS. Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH yang merupakan generalisasi dari model ARCH dengan mengikutsertakan variansi masa lalu untuk menjelaskan variansi masa yang akan datang. Model ini diterapkan pada data GNP U.S. periode 1948 sampai Hasil penelitian menunjukkan model GARCH (1,1) lebih akurat daripada model ARCH (8). Hamilton [7] memperkenalkan Markov Switching sebagai alternatif pemodelan data time series yang mengalami perubahan struktural. Model Markov Switching dikombinasikan dengan model Autoregressive dan diterapkan pada data GNP U.S. periode 1952 sampai Hasil penelitian masih belum mendeskripsikan volatilitas data. Hamilton dan Susmel [8] melibatkan Markov Switching pada model ARCH, dikenal dengan model MS-ARCH. Model ini diterapkan pada data harga saham New York periode 31 juli 1962 sampai 29 desember Hamilton dan Susmel 5

20 [8] menggunakan dua sampai empat state dengan distribusi dari Gaussian dan Student t. Hasil penelitian memperlihatkan model MS-ARCH mampu menjelaskan pergeseran volatilitas dengan baik. Model ini memperlihatkan state yang terbentuk ada tiga dan distribusi Student t lebih baik daripada Gaussian. Gray [6] memperkenalkan model MS-GARCH yang diterapkan pada data suku bunga U.S. periode Januari 1970 sampai April Gray [6] menggunakan path-independent switching GARCH, dimana setiap conditional variance hanya bergantung pada informasi di masa lalu. Model MS-GARCH lebih mudah dalam menaksir parameter karena melibatkan parameter yang lebih sederhana. Marcucci [12] menggunakan model standar GARCH dan Markov Regime Switching GARCH pada data indeks saham S and P100 periode 1 Januari 1988 sampai 15 Oktober Masing-masing model menggunakan tiga distribusi yang berbeda yaitu Normal, Student t dan Genaralised Error Distribution (GED). Hasil penelitian menunjukkan model Markov Regime Switching GARCH dengan distribusi normal lebih baik dibandingkan model lainnya. Klaasen [10] menerapkan model GARCH dan MS-GARCH pada data nilai tukar dolar Amerika terhadap GBP, mark Jerman dan yen Jepang periode 3 Januari 1978 sampai 23 Juli Hasil penelitian menunjukkan model GARCH menghasilkan ramalan yang terlalu tinggi pada beberapa periode dan dapat diatasi menggunakan model MS-GARCH. Penelitian-penelitian tersebut membuat penulis tertarik untuk menerapkan model Markov Switching GARCH pada data nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah. Penulis menggunakan model Autoregressive pada model rata-rata bersyaratnya dan menggunakan identifikasi model untuk menentukan orde MS-GARCH. Beberapa hal yang mendasari penelitian penulis diantaranya pengertian mengenai model runtun waktu dan stasioneritas, ACF dan PACF, log return, model ARMA, model GARCH, model Markov Switching dan model Markov Switching GARCH. 6

21 2.1.1 Model Runtun Waktu dan Stasioneritas Pemodelan runtun waktu digunakan untuk meramalkan data periode waktu ke depan. Menurut Makridakis et al [11], peramalan kuantitatif dapat diterapkan apabila memenuhi tiga kondisi, yaitu tersedia informasi tentang masa lalu, informasi tersebut dapat dibentuk menjadi data numerik, dan dapat diasumsikan bahwa aspek pola data di masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang. Asumsi yang diperlukan untuk menentukan model adalah data dalam keadaan stasioner. Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada data. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan tidak memperlihatkan perubahan variansi yang signifikan dari waktu ke waktu. Selain dari plot data, kestasioneran dapat dilihat dari plot ACF ACF dan PACF Autocorrelation Function(ACF ) merupakan fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu sebelumnya. Sedangkan Partial Autocorrelation Function( PACF ) adalah fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan waktu sebelumnya. Menurut Cryer [4], proses Y t dikatakan stasioner apabila E(Y t ) = µ, V ar(y t ) = σ 2 adalah konstan dan Cov(Y t, Y t+k ) = E(Y t µ, Y t+k µ) = γ k, (2.1) dengan Cov(Y t, Y k ) adalah fungsi dari selisih waktu t k. (Y t, Y t+k ) adalah Korelasi antara Cov(Y t, Y t+k ) ρ k = Corr(Y t, Y t+k ) = V ar(y t ) V ar(y t+k ) = γ k γ 0, (2.2) 7

22 dengan γ 0 = V ar(y t ) = V ar(y t+k ) dan ρ k adalah fungsi autokorelasi atau ACF. ACF diestimasi oleh ρ k = T t=k+1 (Y t Y )(Y t+k Y ) T t=1 (Y t Y ) 2. (2.3) Jika suatu runtun waktu stasioner, maka estimasi nilai ACF turun secara cepat mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag (selisih waktu). Sedangkan jika estimasi ACF turun secara perlahan mendekati nol atau nilai yang keluar dari interval konfidensi membentuk pola tertentu maka runtun waktu tidak stasioner. Autokorelasi parsial antara Y t dan Y t+k adalah korelasi antara Y t dan Y t+k setelah hubungan linearnya dengan Y t+1, Y t+2,..., Y t+k 1 diabaikan. Autokorelasi parsial antara Y t dan Y t+k dinotasikan dengan ϕ kk = Corr[Y t, Y t+k Y t+1, Y t+2,..., Y t+k 1 ] = ρ k k 1 j=1 ϕ k 1,jρ k j 1 k 1 j=1 ϕ k 1,jρ k j, (2.4) dengan ϕ kk disebut fungsi autokorelasi parsial atau PACF Log Return Return diinterpretasikan sebagai hasil yang diperoleh dari suatu investasi. Studi mengenai ekonomi dan finansial lebih dititikberatkan pada return daripada nilai sebenarnya. Menurut Tsay [13], log return dirumuskan sebagai berikut r t = ln( P t P t 1 ) (2.5) dengan r t adalah log return pada waktu ke t dan P t adalah nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah pada waktu ke t. data dimodelkan dengan ARMA. Setelah data stasioner selanjutnya Model ARMA Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan model runtun waktu stasioner yang mengidentifikasikan persamaan regresi data dengan menggunakan nilai masa lalunya atau kombinasi nilai masa lalu dan residual masa 8

23 lalunya. Menurut Cryer [4], ARMA mengandung dua komponen yaitu model AR (Autoregressive) dan MA (Moving Average) dengan p adalah orde model AR dan q adalah orde model MA. Menurut Tsay [13], model AR(p) dinotasikan sebagai berikut r t = ϕ 1 r t 1 + ϕ 2 r t ϕ p r t p + ε t (2.6) dengan ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ p adalah parameter model AR dan ε t adalah eror model AR. Sedangkan model MA(q) dinotasikan r t = ε t θ 1 ε t 1 θ 2 ε t 2... θ q ε t q (2.7) dengan θ 1, θ 2,..., θ q adalah parameter model AR dan ε t adalah eror model MA. Model ARMA(p, q) merupakan gabungan dari model AR(p) dan MA(q) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut r t ϕ 1 r t 1 ϕ 2 r t 2... ϕ p r t p = ε t θ 1 ε t 1 θ 2 ε t 2... θ q ε t q r t = ϕ 1 r t 1 + ϕ 2 r t ϕ p r t p + ε t θ 1 ε t 1 θ 2 ε t 2... θ q ε t q. (2.8) Menurut Bollerslev [2], ACF dan PACF digunakan sebagai alat untuk mengidentifikasi model ARMA (p, q). Tabel 2.1. Ciri-ciri ACF dan PACF model ARMA(p, q) Model ACF PACF AR(p) Turun secara eksponensial Terpotong setelah lag p MA(q) Terpotong setelah lag q Turun secara eksponensial ARMA(p, q) Terpotong setelah lag (q p) Terpotong setelah lag (q p) Pada model ARMA (p, q) terdapat parameter ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ p dan θ 1, θ 2,..., θ q yang tidak diketahui sehingga perlu diestimasi Estimasi Model ARMA Menurut Cryer [4], untuk mengestimasi nilai terbaik parameter-parameter dalam model ARMA dapat digunakan metode kuadrat terkecil dengan cara me- 9

24 minimumkan jumlah kuadrat residu. Jumlah kuadrat residu dinotasikan sebagai S (ϕ, θ) = n ε 2 t (2.9) t=1 dengan ε t adalah eror model ARMA. Fungsi S akan mempunyai suatu nilai ϕ dan θ yang minimum jika menyamakan turunan parsial pertama fungsi S terhadap ϕ dan θ dengan nol sehingga didapatkan estimasi akhir parameter ϕ dan θ. Nilai fungsi S pada persamaan (2.9) akan minimum jika turunan parsial kedua dari fungsi S terhadap ϕ ataupun θ memenuhi (S ) ϕϕ.(s ) θθ [(S ) ϕθ ] 2 > 0 (S ) ϕϕ > 0, (S ) θθ > 0. Misal dipunyai model ARMA(1, 1) sebagai berikut Dari persamaan (2.10) diperoleh nilai residual r t ϕ 1 r t 1 = ε t θ 1 ε t 1. (2.10) sehingga S (ϕ, θ) = ε t = r t ϕ 1 r t 1 + θ 1 ε t 1 n ε 2 t = t=1 n (r t ϕ 1 r t 1 + θ 1 ε t 1 ) 2. Estimasi dari θ dapat dicari dengan menyamakan S (ϕ,θ) θ diperoleh persamaan sebagai berikut t=1 n t=1 (r t ϕ 1 r t 1 + θ 1 ε t 1 ) 2 = 0 θ n 2 ε t 1 (r t ϕ 1 r t 1 + θ 1 ε t 1 ) = 0 t=1 n [ε t 1 (r t ϕ 1 r t 1 ) + θ 1 ε 2 t 1] = 0 t=1 n n ε t 1 (r t ϕ 1 r t 1 ) + θ 1 ε 2 t 1 = 0 t=1 n n ε t 1 (r t ϕ 1 r t 1 ) = θ 1 ε 2 t 1 t=1 t=1 10 t=1 dengan nol, sehingga

25 n t=1 θ 1 = (r t ϕ 1 r t 1 ) n t=1 ε. (2.11) t 1 Estimasi dari ϕ dapat dicari dengan menyamakan S (ϕ,θ) ϕ diperoleh persamaan sebagai berikut 2 n t=1 (r t ϕ 1 r t 1 + θ 1 ε t 1 ) 2 = 0 ϕ n ( r t 1 )(r t ϕ 1 r t 1 + θ 1 ε t 1 ) = 0 t=1 n ( r t 1 )[(r t + θ 1 ε t 1 ) ϕ 1 r t 1 ] = 0 t=1 n ϕ 1 rt 1 2 r t 1 (r t + θ 1 ε t 1 ) = 0 t=1 n ϕ 1 rt 1 2 = r t 1 (r t + θ 1 ε t 1 ) t=1 ϕ 1 = dengan nol, sehingga n t=1 (r t θ 1 r t 1 ) n t=1 r. (2.12) t Uji Autokorelasi Residu Model stasioner yang baik akan memenuhi asumsi bahwa tidak ada autokorelasi dalam residu yang dihasilkan. Hal ini dapat dilihat dari plot ACF dan PACF. Apabila tidak ada nilai yang signifikan berbeda dengan nol berarti sudah tidak ada autokorelasi dalam residu dan mengindikasikan bahwa model sudah cukup baik. Bentuk plot ACF dan PACF merupakan indikasi awal adanya autokorelasi. Uji statistik perlu dilakukan untuk meyakinkan indikasi awal. Menurut Cryer [4], autokorelasi pada residu model rata-rata dapat diperiksa melalui uji Ljung-Box. Hipotesisnya adalah H 0 : tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata H 1 : terdapat autokorelasi di dalam residu model rata-rata Statistik uji Ljung-Box dirumuskan sebagai q ρ 2 k Q = T (T 2) T k, k=1 dengan T merupakan ukuran sampel, k adalah jumlah lag yang diuji, dan ρ k adalah nilai autokorelasi setiap lag. Statistik uji Q dibandingkan dengan nilai 11

26 tabel χ 2 k. H 0 ditolak jika nilai Q lebih besar dari nilai χ 2 k. Setelah dilakukan uji autokorelasi residu, kemudian menguji efek heterokedastisitas dalam residu menggunakan uji Lagrange Multiplier Uji Heterokedastisitas Menurut Bollerslev [2], efek heteroskedastisitas dapat diperiksa melalui uji Lagrange Multiplier yang dilakukan pada residu model conditional mean. Prinsip dalam uji Lagrange Multiplayer adalah dengan meregresikan kuadrat residu ε t dengan lag nya sendiri. Uji hipotesisnya adalah H 0 : tidak terdapat efek ARCH sampai lag-k H 1 : terdapat efek ARCH sampai lag-k Statistik uji dirumuskan sebagai ξ = T R 2, dengan T merupakan ukuran sampel dan R 2 adalah adalah koefisien determinasi. Statistik uji ξ dibandingkan dengan nilai tabel χ 2 k. H 0 ditolak jika nilai ξ lebih besar dari nilai χ 2 k. Jika terdapat efek heteroskedastisitas maka digunakan model yang dapat menggambarkan pergerakan variansi eror Uji Perubahan Struktur Model yang mengandung perubahan struktur adalah model dengan nilai parameter yang berubah-ubah dalam kurun periode waktu tertentu. Waktu terjadinya perubahan struktur (waktu break) tersebut ada yang diketahui dan ada yang tidak diketahui kapan terjadinya. Perubahan struktur ini sering terjadi di bidang ekonomi. Perubahan struktur dapat disebabkan oleh perubahan kebijaksanaan, perubahan harga minyak, perang, atau bencana alam. Uji perubahan struktur pertama kali diperkenalkan oleh Chow ([3]) dan dikenal dengan uji Chow Break Point. Hipotesis untuk menguji ada tidaknya perubahan struktur pada data adalah sebagai berikut : 12

27 H 0 : tidak terdapat perubahan struktur pada data H 1 : terdapat perubahan struktur pada data Statistik uji dirumuskan sebagai F = RSS 1 /k RSS 2 /(n 1 + n 2 2k), dengan RSS 1 adalah residual kuadrat dari model dengan keseluruhan data dikurangi residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, RSS 2 adalah residual kuadarat dari model dengan data tiap sub sampel, k adalah banyaknya parameter, n 1 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur, n 2 adalah jumlah observasi sebelum terjadinya perubahan struktur. H 0 ditolak jika nilai F lebih besar dari F tabel dengan derajat bebas (k, n 1 + n 2 2k) Model GARCH Bollerslev [2] memperkenalkan model GARCH untuk menggambarkan pergerakan variansi eror. Model GARCH merupakan pengembangan dari model ARCH [5]. Model GARCH mengikutsertakan variansi masa lalu untuk menjelaskan variansi masa yang akan datang, sehingga dapat diperoleh estimasi yang akurat untuk variansi. Conditional variance (σ t ) digunakan sebagai fungsi dari eror dimasa lalu. Diberikan ψ t adalah himpunan semua informasi untuk ε t dari waktu lampau sampai dengan waktu t. ε t adalah eror model ARMA dan dapat dimodelkan sebagai ε t = u t σ t dengan u t adalah proses white noise berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi satu, σt 2 = E(ε 2 t ψ t 1 ) adalah conditional variance dari eror dan E(ε t ψ t 1 ) = 0. Secara umum proses ε t disebut GARCH (p, q) jika ε t ψ t 1 N(0, σt 2 ) dengan σ 2 t = α 0 + q p α i ε 2 t i + β j σt i 2 i=1 j=1 13

28 dan p 0, q 0, α 0 0, α i 0 untuk i = 1, 2,..., q dan β j 0 untuk j = 1, 2,..., p. Jika p = 0 maka model GARCH tereduksi menjadi model AR- CH (q). Jadi model ARCH adalah bentuk khusus dari model GARCH. Menurut Bollerslev [2], parameter dari model GARCH (p, q) dapat diestimasi menggunakan metode Berndt Hall Hall Hausman (BHHH ). Metode ini ditemukan oleh Berndt et al yang dinyatakan sebagai ρ (i+1) = ρ (i) + λ i [ T (g t g t)] 1 g(ρ (i) ), (2.13) t=1 dengan g t = Lt ρ, λ i adalah variabel step length dan g ρ = [ L t ρ 1, L t ρ 2,..., L t ρ n ], Metode BHHH menggunakan turunan pertama fungsi log likelihood untuk mengestimasi parameter model. Persamaan regresi yang dimiliki adalah r t = x tµ + ε t, r t = µ 0 + µ 1 x t + ε t, t = 1, 2,..., T, dengan ε t adalah eror dari model regresi dan x t adalah variabel eksogen (variabel bebas), dengan dengan σ 2 t = α 0 + ε t = u t σ t ε t ψ t 1 N(0, σ 2 t ) q α i ε 2 t i + i=1 p β j σt i 2 Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter Θ yang dinyatakan sebagai Menggunakan asumsi normalitas, fungsi densitas probabilitas dari ε t ψ t 1 adalah 1 f(ε t ψ t 1 ) = e 1ε 2 t 2σ t 2 2πσ 2 t j=1 Θ = [µ 0, µ 1, α 1, α 2,..., α q, β 1, β 2,..., β p ] t = [µ t, φ t ] t, dengan µ t = [µ 0, µ 1 ] dan φ t = [α 0, α 1, α 2,..., α q, β 1, β 2,..., β p ]. 14

29 Fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah 2 t 2σ t 2 ) 1 l t = logf(ε t ψ t 1 ) = log( e 1ε 2πσ 2 t = 1 2 log(2πσ t) 1 2 ε 2 t σt 2 (2.14) = 1 2 log2π 1 2 logσ2 t 1 2 Vektor parameter variansi yaitu φ diestimasi menggunakan turunan pertama dari fungsi log likelihood pada persamaan (2.14) terhadap parameter φ, yaitu l t φ = l t σt 2 σt 2 φ = ( 1 2σ 2 t = 1 ( ε2 t 2σt 2 2σt 2 + ε2 t ) σ2 t 2σt 4 φ 1) σ2 t φ. dengan v t = σ2 t dan w φ t = ε2 t 1. Menggunakan metode BHHH diperoleh σt 2 bentuk iterasi estimasi parameter variansi yang dirumuskan sebagai φ (i+1) = φ (i) + λ i [ T t=1 ( 1 2σ 2 2 v t w t )( 1 2σ 2 2 v t w t ) ] 1 ( T t=1 1 2σ 2 2 ε 2 t σt 2. v t w t ). (2.15) Iterasi pada persamaan (2.15) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai dengan dengan G = φ (i+1) = φ (i) + λ i [ g 1 g 2. g T = T (G G )] 1 G C, t=1 l 1 α 0 l 1 α 1... l 2 α 0 l 2 α l T α 0 l T α 2... l 1 α q l 1 β 1... l 1 α q l 2 β l 1 α q l T β T... l 1 α 0 = 1 ( ε2 σ 2 t 1), t σt 2 l 1 α i = 1 ( q σt 2 i=1 ε2 t i)( ε2 t 1), σt 2 l 1 β i = 1 ( p σt 2 j=1 ε2 t j)( ε2 t 1), σt 2 dengan t = 1, 2,..., T, i = 1, 2,..., q, j = 1, 2,..., p dan C = [11...1] adalah matriks 15 l 1 β p l 1 β p. l T β p

30 T 1. Mengestimasi parameter rata-rata yaitu µ, menggunakan turunan pertama dari fungsi likelihood pada persamaan (4.3) terhadap parameter µ, yaitu l t µ = l t ε t ε t µ + l t = ε tx t t σ 2 t + 1 σ 2 t σ 2 t σ 2 t µ σ 2 t µ ( ε2 t σ 2 t 1). (2.16) Misal f t = σ2 t µ dan w t = ε2 t σ 2 t 1 maka persamaan (2.16) menjadi l t µ = ε tx t t + 1 f σt 2 2σt 2 t w t. Iterasi untuk estimasi parameter rata-rata adalah µ (i+1) = µ (i) + λ i [( dengan T t=1 ( ε tx t t σ 2 t + 1 f 2σt 2 t w t )( ε tx t t + 1 f σt 2 2σt 2 t w t ) t )] 1 ( ε tx 2 t σt 2 q f t = σ2 t µ = 2 α i x t t iε t i + i=1 p βf t j. Persamaan (2.17) dapat ditulis ke dalam notasi matriks sebagai j=1 + 1 f 2σt 2 t w t ). (2.17) µ (i+1) = µ (i) + λ i [BB )] 1 B C, dengan B untuk model GARCH (p, q) adalah B = l 1 µ 0 l 1 µ 1 l 2 µ 0 l 2 µ 1.. l T µ 0 l T µ 1 l k = ε tx t t + 1 µ h σt 2 σt 2 2 q α i x t t iε t i + ( ε2 t σ 2 j=1 t i=1 1). dengan h = 0, 1 dan k = 1, 2,..., T dan C = [11...1] adalah matriks T 1. Selanjutnya menentukan model commit GARCH to user terbaik menggunakan kriteria informasi berdasarkan nilai AIC dan SC. 16

31 Kriteria Informasi Kriteria informasi digunakan untuk pemilihan model terbaik yang dipilih berdasarkan Akaike Info Criterion (AIC ) dan Schwarz Criterion (SC ). Kedua kriteria tersebut dirumuskan sebagai berikut AIC = 2 l T + 2 k T, SC = 2 l T + k log(t ), T dengan l adalah fungsi log likelihood, k adalah jumlah parameter yang diestimasi dan T adalah jumlah observasi. Model yang dipilih untuk meramalkan data adalah model dengan AIC dan SC terkecil. Model GARCH mampu menjelaskan variansi eror dengan baik, namun tidak memperhitungkan perubahan struktural Model Markov Switching Model Markov Switching merupakan alternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktur. Dalam Markov Switching, perubahan struktur model yang terjadi tidak dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministik tetapi sebagai suatu hasil variabel random tak teramati dan dalam literatur sering disebut state. Sebagai contoh model berikut, z t = µ 0 + ϕ 1 z t 1 + ε t yang bersesuaian dengan runtun waktu pada t i, t i+1,..., t i+m. Sementara z t = µ 1 + ϕ 2 z t 1 + ε t yang bersesuaian dengan runtun waktu pada t j, t j+1,..., t j+m. Kasus ini menggambarkan adanya pergeseran model antara model pertama dan model kedua yang terjadi pada runtun waktu yang sama pada waktu yang berbeda. Secara umum, kedua model tersebut dapatcommit dituliskan to user sebagai z t = µ st + ϕ st z t 1 + ε t, 17

32 dimana s t bernilai nol atau bernilai satu, yang merepresentasikan periode state yang berbeda. s t bernilai nol bersesuaian dengan model pada periode t i, t i+1,..., t i+m sedangkan s t bernilai satu bersesuaian dengan model pada periode t j, t j+1,..., t j+m. Hamilton [7] menggunakan ordo pertama markov chain untuk memodelkan state. Jika probabilitas s t sama dengan nilai tertentu sebesar j, untuk jϵ{0, 1} yang dependen terhadap nilai masa lalunya hanya berdasarkan nilai s t 1 yang terkini (most recent value) maka probabilitas transisinya dapat dituliskan sebagai berikut P [s t = j s t 1 = i, s t 2 = k,...] = P [s t = j s t 1 = i] = p ij p ij adalah probabilitas transisi bahwa state i akan diikuti oleh state j untuk i, jϵ{0, 1} dengan asumsi probabilitas perubahan s t hanya tergantung s t 1. Proses ordo pertama markov chain dapat dituliskan sebagai berikut P [s t = 0 s t 1 = 0] = p 00 P [s t = 1 s t 1 = 0] = p 01 P [s t = 1 s t 1 = 1] = p 11 P [s t = 0 s t 1 = 1] = p 10 dan dapat dituliskan dalam bentuk matriks P yaitu P = p 00 p 01 p 10 p 11 perubahan struktur, namun tidak bisa menjelaskan pergeseran volatilitas. Sehingga perlu model yang dapat menjelaskan perubahan struktur dan pergeseran. Penjumlahan seluruh probabilitas untuk tiap s t 1 adalah 1. untuk setiap bilangan i = 0, 1. 1 p ij = 1, j=0 Model Markov Switching pada proses Autoregressive mampu menjelaskan antar volatilitas, yaitu model Markov Switching GARCH. 18

33 Model Markov Switching GARCH Model Markov Switching GARCH dapat dituliskan sebagai berikut r t = µ st + ε t σ 2 t = ω st + α st ε 2 t 1 + β st σ 2 t 1 ε t = u t σ 2 t u t NIID dengan µ st mewakili model rata-rata bersyarat untuk setiap state. Distribusi probabilitas yang mendasari r t pada setiap state adalah distribusi normal ([6] dan [12]) dengan nilai parameter yang berbeda untuk setiap state, dapat dituliskan sebagai berikut N(µ 0t, σ0), 2 dengan probabilitas P r(s t = 0 Ψ t 1 ) r t Ψ t 1 N(µ 1t, σ1), 2 dengan probabilitas P r(s t = 1 Ψ t 1 ). (2.18) yang berakibat pola erornya menjadi N(0, σ0), 2 dengan probabilitas P r(s t = 0 Ψ t 1 ) ε t Ψ t 1 N(0, σ1), 2 dengan probabilitas P r(s t = 0 Ψ t 1 ). (2.19) dengan Ψ t 1 adalah informasi atau data yang dihimpun sampai pada waktu t 1. Fungsi densitas bersyarat dari r t berdasarkan variabel random s t yang bernilai j adalah f(r t s t = j, Ψ t 1 ) = 1 e (rt µj ) 2 2σ j 2. (2.20) 2πσj 2 Nilai probabilitas untuk sebuah state sebagai variabel random yang tidak teramati dinotasikan dengan P (s t = j Ψ t 1 ) = p jt, untuk j = 0, 1. (2.21) Sehingga fungsi distribusi bersama dari (2.20) dan (2.21) dapat dituliskan sebagai berikut P (r t, s t = j Ψ t 1 ) = f(r t s t = j, Ψ t 1 )P (s t = j Ψ t 1 ) = p jt 2πσj 2 19 e (rt µj ) 2 2σ j 2. (2.22)

34 Fungsi densitas dari r t didapatkan dengan menjumlahkan persamaan (2.22) untuk semua kemungkinan nilai j f(r t Ψ t 1 ) = 2 P (r t, s t = j Ψ t 1 ). (2.23) j=1 Setelah memperoleh nilai densitas dari r t, maka dapat dicari nilai probabilitas bersyarat dari s t dengan cara membagi persamaan (2.22) untuk setiap nilai j dengan persamaan (2.23) sehingga menghasilkan persamaan P (s t = j r t, Ψ t 1 ) = P (r t, s t = j Ψ t 1 ). (2.24) f(r t Ψ t 1 ) Probabilitas Transisi Komponen penting yang membentuk model Markov Switching adalah variabel s t yang berperan sebagai indikator state yang berlaku pada saat t. Variabel s t tidak akan bisa diobservasi oleh peneliti, namun dalam model Markov Switching variabel ini akan ditentukan probabilitasnya untuk masing-masing state pada saat t. Terdapat dua perhitungan untuk menentukan probabilitas terjadinya state pada saat t, yaitu ex ante probability ([6]) dan filtered probability ([7]). Ex ante probability merupakan terjadinya state pada saat t berdasarkan informasi Ψ t 1, yakni P (s t = j Ψ t 1 ) = p jt, 1 j=0 p jt = 1 seperti pada (2.18). Probabilitas ini merupakan probabilitas marjinal dari probabilitas gabungan antara s t dan s t 1, yakni p jt = P (s t = j Ψ t 1 ) 1 = P (s t = j, s t 1 = k Ψ t 1 ) j=0 (2.25) Mengacu pada struktur markov chain, probabilitas p jt hanya bergantung pada state yang terjadi saat t 1, sehingga (2.25) akan menjadi p jt = 1 P (s t = j s t 1 = k, Ψ t 1 )P (s t 1 = k Ψ t 1 ). (2.26) j=0 Selain ex ante probability, terdapat juga filtered probability yang digunakan untuk menjelaskan probabilitas terjadinya masing-masing state. Filtered probability merupakan probabilitas terjadinya state j saat t berdasarkan informasi Ψ t, 20

35 yakni φ jt = P (s t = j Ψ t ). φ jt dapat dituliskan kembali sebagai fungsi dari ex ante probability, sebagai berikut P (s t = j Ψ t ) = P (s t = j Ψ t, Ψ t 1 ) = P (s t = j r t, Ψ t 1 ) (2.27) = f(r t, s t = j Ψ t 1 f(r t, Ψ t 1 ) dimana f(r t, Ψ t 1 ) berbentuk distribusi normal mixture seperti pada (2.18) sehingga P (s t = j Ψ t ) = f(r t, s t = j Ψ t 1 P (s t = j Ψ t 1 ) 1 j=0 f(r t s t = j, Ψ t 1 )P (s t = j Ψ t 1 ) (2.28) dengan demikian, sesuai (2.26) dan (2.28) dapat dilihat bahwa p jt dan φ jt dapat dihitung secara rekursif diantara keduanya Spesifikasi model rata-rata bersyarat dan variansi bersyarat Pada penelitian ini menggunakan model umum ARMA sebagai model ratarata bersyarat ([6]). Berikut model rata-rata bersyarat yang digunakan : r t = µ st + ε t (2.29) dengan µ st adalah rata-rata bersyarat untuk setiap state. Rata-rata bersyarat untuk MS-GARCH pada penelitian ini mengacu pada ([6]) yakni GARCH (1,1) dengan parameter mengikuti proses switching σt 2 = α 0 + α 1 ε 2 t 1 + β 1 σt 1 2 (2.30) Untuk menghindari ketergantungan komponen ε 2 t 1 dan σt 1 2 dalam (2.30) terhadap kombinasi state, Gray ([6]) memberikan solusi alternatif untuk meng- 21

36 hitung Ψ 2 t 1 dan σ 2 t 1, yakni ε 2 t 1 = r t 1 = E[r t 1 Ψ t 2 ] 1 = p jt E[r t s t = j, Ψ t 2 ] = j=0 1 p jt µ jt j=0 (2.31) = p 1t µ 0t + (1 p 1t )µ 1t dengan demikian ε 2 t 1 = r t 1 [p 1t µ 0t + (1 p 1t )µ 1t ]. (2.32) Untuk mendeskripsikan σt 1 2 akan dihitung E[rt 2 Ψ t 1 ] berdasarkan GARCH tanpa melibatkan perubahan state yakni: E[rt 2 Ψ t 1 ] = E[(µ t + ε t ) = E[µ 2 t + 2µ t ε t + ε 2 t ] = E[µ 2 t ] + 2µ t E[ε t ] + E[ε 2 t ] Karena ε t N(0, σt 1), 2 maka E[ε t ] = 0 dan var[ε t ] = σt 2 = E[ε 2 t ] [E(ε t ) 2 ] = E[ε 2 t ] 0 (2.33) = E[ε 2 t ], sehingga E[rt 2 Ψ t ] = E[µ 2 t ] + E[ε 2 t ] = µ 2 t + σt 2, dan untuk masing-masing state E[rt 2 S t = 0, Ψ t 1 ] = µ 0t + σ0t, 2 E[rt 2 S t = 1, Ψ t 2 ] = µ 1t + σ1t. 2 (2.34) (2.35) Melalui cara yang sama dengan (2.31), formula E[r t 2 Ψ t 1 ] yang melibatkan 22

37 switching regime dapat dihitung E[rt 2 Ψ t 1 ] = rt 2 f(r t Ψ t 1 )dr t [ 1 ] = p ij f(r t S t = i, Ψ t 1 )dr t = = r 2 t j=0 1 [ p ij j=0 r 2 t f(r t S t = i, Ψ t 1 )dr t ] 1 p ij E[rt 2 S t = i, Ψ t 1 )dr t ], j=0 (2.36) sehingga dengan substitusi (2.35) pada (2.36) maka diperoleh 1 E[rt 2 Ψ t 1 ] = P (s t = j Ψ t 1 )(µ 2 jt + σjt), 2 j=0 = P (s t = 0 Ψ t 1 )(µ 2 0t + σ 2 0t) + P (s t = 1 Ψ t 1 )(µ 2 1t + σ 2 1t), (2.37) = p 0t (µ 2 0t + σ 2 0t) + (1 p 0t )(µ 2 1t + σ 2 1t), sehingga σ 2 t 1 dapat dicari melalui substitusi (2.31) dan (2.37) yakni σ 2 t 1 = E[r 2 t 1 Ψ t 2 ] [E[r 2 t 1 Ψ t 2 ]] 2, = p 0t 1 (µ 2 0t 1 + σ 2 0t 1) + (1 p 1t 1 )(µ 2 1t 1 + σ 2 1t 1) (2.38) [p 0t 1 µ 0t 1 + (1 p 1t 1 )µ 1t 1 ], sesuai dengan (2.32) dan (2.38), maka komponen ε 2 t 1 dan σt 1 2 pada (2.30) tidak akan tergantung pada kombinasi state sebelumnya yakni (s t, s t 1, s t 2,..., s 1 ) sehingga pada tahap penyusunan fungsi likelihood tidak menimbulkan kesulitan dalam optimasinya Fungsi Likelihood MS-GARCH Untuk menentukan fungsi likelihood pada MS-GARCH, pertama kali yang dilakukan adalah meninjau distribusi dari return r t untuk setiap state, yakni distribusi mixture seperti pada (2.18). Sedangkan untuk menentukan probabilitas transisi diperlukan penjabaran p jt ke dalam bentuk yang memuat φ t. Mengacu 23

38 pada (2.26), p jt untuk state nol adalah p 0t = P (s t = 0 Ψ t 1 ) = = 1 P (s t = 0 s t 1 = j, Ψ t 1 ).P (s t 1 = j Ψ t 1 ) j=0 1 P (s t = 0 s t 1 = j).p (s t 1 = j Ψ t 1 ) j=0 (2.39) = P 11 φ 1t + P 2t φ 2t = P φ 1t + (1 Q)(1 φ 2t ) dan untuk state satu p 1t = P (s t = 1 Ψ t 1 ) = 1 P (s t = 0 Ψ t 1 ) = 1 p 0t. Fungsi likelihood untuk Markov Switching GARCH yakni: L(Θ r t, Ψ t 1 ) = T f(r t Θ, Ψ t 1 ), (2.40) dimana Θ = µ 0, µ 1, k 0, k 1, α 0, α 1, β 0, β 1, P, Q atau dalam bentuk log likelihood t=1 lnl(θ r t, Ψ t 1 ) = Σ T t=1lnf(r t Θ, Ψ t 1 ). (2.41) Fungsi likelihood ini dibentuk dari distribusi mixture normal dengan asumsi bahwa setiap datanya telah diketahui masuk ke state 0 atau 1. Artinya, ketika diketahui bahwa suatu data adalah anggota state 0, maka nilai f(r t Ψ t 1 ) akan bernilai nol pada state 1, demikian juga sebaliknya ([7]). Berdasarkan distibusi mixture normal, log likelihood pada (2.41) akan menjadi : lnl(θ r t, Ψ t 1 ) = Σ T t=1ln[σ 1 j=0f(r t s t = j, Ψ t 1 )p jt ] = Σ T t=1ln[f(r t s t = 0, Ψ t 1 )p 0t + f(r t s t = 1, Ψ t 1 )p 1t ] = Σ T t=1ln[f(r t s t = 0, Ψ t 1 )p 0t + f(r t s t = 1, Ψ t 1 )(1 p 0t )]. (2.42) Namun karena setiap data tidak diketahui akan masuk ke state yang mana, maka optimisasi log likelihood tidak dapat dilakukan dengan metode numerik standar. Likelihood pada (2.42) seringkali disebut incomplete likelihood. Untuk mengatasi hal ini, optimisasi log likelihood untuk mendapatkan estimasi parameter dilakukan melalui Algoritma EM. 24

39 Algoritma EM untuk Fungsi Likelihood MS GARCH State (s t ) adalah variabel yang unobservable, sehingga dapat dianggap sebagai missing. Bila didefinisikan variabel acak s t akan bernilai j adalah p jt maka dapat dibuat fungsi untuk s t sebagai berikut: 1 f(s t ) = P (s t = j Ψ t 1 ) = p I j(s t ) jt. (2.43) dimana I j (s t ) adalah fungsi indikator bernilai 0 dan 1, yakni : 1, s t = j I j (s t ) = 0, lainnya. t=0 (2.44) Fungsi indikator ini menentukan observasi mana yang akan masuk ke masingmasing state. Algoritma EM akan melibatkan s t ini dalam fungsi likelihood pada iterasinya. Bila fungsi indikator (2.44) diterapkan pada distribusi probabilitas dari r t maka : f(r t s t = j, Ψ t 1 ) = 1 f(r t s t = j, Ψ t 1 ) I j(s t ). (2.45) t=0 Sedangkan bila (2.44) diterapkan pada joint distribusi s t dan r t maka T f(r t s t = j, Ψ t 1 ) = f(r t s t = j, Ψ t 1 ) I ts t. (2.46) t=0 Bila diasumsikan bahwa diketahui observasi yang menjadi anggota masingmasing state, maka akan terdapat pasangan observasi (r t, s t ) pada setiap data ke t, dan fungsi likelihood (2.40) akan dimaksimumkan berdasarkan distribusi bersama anatara s t dan r t, yakni : T L(Θ r t, s t, Ψ t 1 ) = f(r t, s t = j, Ψ t 1 ) = t=0 T t=0 j=0 atau dalam log likelihood dapat dituliskan lagi sebagai : 1 [p jt f(r t s t = j, Ψ t 1 ) Itst ]. (2.47) ln(θ r t, s t, Ψ t 1 ) = Σ T t=0σ 1 j=0[ln(p jt f(r t s t = j, Ψ t 1 )) Itst ] = Σ T t=0σ 1 j=0i j (s t )[ln(p jt f(r t s t = j, Ψ t 1 ))] (2.48) = Σ T t=0σ 1 j=0i j (s t )[lnp jt + lnf(r t s t = j, Ψ t 1 )] 25

40 Estimasi parameter untuk setiap state dapat dilakukan mengacu pada optimisasi untuk (2.48). Karena tidak ada petunjuk tetang observasi yang bersesuaian dengan state nol atau satu maka fungsi indikator pada (2.44) tidak akan bisa digunakan. Untuk mengatasi hal ini fungsi indikator diganti dengan ekspektasinya yakni E[I j (s t ) Ψ t 1 ]: E[I j (s t ) Ψ t ] = Σ 1 I t(s t)=0i j (s t )P (s t = j Ψ t ) = 1.P (s t = j Ψ t 1 ) + 0.P (s t = j Ψ t ) (2.49) = P (s t = j Ψ t ) dan mengacu pada filtered probability seperti pada maka didapatkan ekspektasi dari fungsi indikator adalah : E[I j (s t ) Ψ t ] = P (s t = j Ψ t ) = φ jt = yang akan digunakan untuk menyusun algoritma EM. p jt f(r t s t = j) 1 j=0 p jtf(r t s t = j) Berdasarkan (2.49), maka complete data likelihood (2.48) akan menjadi: Q = E[lnL(Θ r t, s t, Ψ t 1 ) r t, Ψ t 1 ] = EΣ T t=1σ 1 j=0i j (s t )[ln(p jt f(r t s t = j, Ψ t 1 ))] = Σ T t=1σ 1 j=0e[i j (s t )Ψ t 1 ][ln(p jt f(r t s t = j, Ψ t 1 ))] = Σ T t=1σ 1 j=0p (s t = jψ t 1 )[ln(p jt f(r t s t = j, Ψ t 1 ))] (2.50) Fungsi Q tersebut akan dimaksimumkan menggunakan metode Sequential Quadratic Programming. 2.2 Kerangka Pemikiran Deretan observasi dari variabel random nilai tukar dolar Kanada terhadap rupiah merupakan suatu data runtun waktu. Model ARMA adalah salah satu model runtun waktu untuk data stasioner. Transformasi dan diferensiasi data menjadi bentuk Log return dapat digunakan untuk membentuk runtun waktu yang stasioner. Model ARMA memiliki asumsi homokedastisitas, sedangkan data kurs dolar Kanada merupakan data finansial yang cenderung memiliki 26

41 heteroskedastisitas.hal ini menyebabkan model ARMA tidak relevan untuk digunakan. Sehingga dapat digunakan model GARCH yang untuk memodelkan heterokesdastisitas, namun model GARCH tidak memperhitungkan perubahan struktural. Model Markov Switching adalah alternatif pemodelan data runtun waktu yang mengalami perubahan struktural. Pada model Markov Switching perubahan struktural merupakan hasil variabel random tak teramati (state). Data runtun waktu nilai tukar Dolar Kanada memiliki heteroskedastisitas dan mengalami perubahan struktural dapat dimodelkan dengan melibatkan Markov Switching pada proses GARCH. Model GARCH untuk melihat kedinamisan volatilitas dalam suatu state. Sedangkan model Markov Switching akan menentukan perpindahan GARCH dari suatu state ke state lain. 27

42 Bab III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penerapan model dengan menggunakan data harian nilai tukar jual dolar Kanada terhadap rupiah yang diambil pada hari Senin-Jumat dan selain hari libur nasional periode 1 Februari 2002 sampai 29 Februari Data ini diperoleh dari website Bank Indonesia yaitu [1]. Langkah-langkah analisis data dalam penelitian ini diuraikan sebagai berikut. 1. Membuat plot data untuk melihat kestasioneran data dalam mean dan variansi. 2. Melakukan transformasi log return apabila data belum stasioner baik dalam rata-rata maupun variansi. 3. Membuat plot ACF dan PACF dari fungsi log return. Jika data stasioner maka dimodelkan dengan menggunakan proses ARMA. Jika data masih belum stasioner kembali ke langkah dua. 4. Mengestimasi parameter model ARMA. 5. Memeriksa autokorelasi dalam kuadrat residu model ARMA, jika memiliki autokorelasi maka terdapat efek heteroskedastisitas. Efek heteroskedastisitas juga dapat diuji dengan uji Lagrange Multiplier. 6. Memeriksa adanya perubahan struktur. 7. Membentuk model GARCH (a) mengestimasi parameter model GARCH untuk memodelkan heteroskedastisitas dari residual model ARMA, 28

43 (b) menentukan model terbaik dari model GARCH yang telah diperoleh dengan melihat nilai AIC dan SC yang terkecil, (c) mengestimasi secara bersama parameter model ARMA dan GARCH, (d) menguji kecocokan model dengan memeriksa efek heteroskedastisitas, autokorelasi dan asumsi distribusi dari residu terstandar. 8. Membentuk model Markov Switching GARCH (a) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada setiap waktu, (b) menentukan probabilitas transisi dan matrik transisi antar state. 9. Mencari nilai estimasi parameter model GARCH yang melibatkan perubahan state dengan metode Maximum Likelihood (MLE). (a) menentukan fungsi likelihood berdasarkan fungsi densitas return yang melibatkan probabilitas masing-masing state dan probabilitas transisi, (b) menerapkan algoritma EM untuk mengestimasi parameter MS-GARCH. 10. Melakukan peramalan (a) menentukan banyaknya ramalan sepanjang f periode yang akan dilakukan, (b) menentukan probabilitas terjadinya masing-masing state pada waktu t + f melalui proses markov chain, (c) meramalkan nilai log return menggunakan model ARMA untuk mencari nilai ramalan kurs jual dolar Kanada terhadap rupiah, (d) meramalkan volatilitas log return menggunakan model MS-GARCH yang telah diperoleh. 29