LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 2. Nama : NPM/Kelas : Fakultas/Jurusan :

Transkripsi

1 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 2 Nama : NPM/Kelas : Fakultas/Jurusan : FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA KELAPA DUA ATA 2012/2013

2 KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat dan karunia-nya sehingga modul praktikum Statistika 2 ini dapat terselesaikan. Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Kami menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim Litbang Statistika 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada seluruh pihak yang berpartisipasi sehingga pelaksanaan praktikum ini dapat berjalan dengan lancar. Kelapa Dua, Desember 2012 Tim Litbang STATISTIKA 2 Page 1 ATA 12/13

3 DAFTAR ISI Kata Pengantar... 1 Daftar isi... 2 Materi Distribusi Normal... 5 I. Pendahuluan... 5 II. Rumus Distribusi Normal... 6 III. Langkah langkah Pengujian Hipotesis... 7 IV. Kurva Normal... 9 V. Contoh Kasus Daftar Pustaka Materi Distribusi T I. Pendahuluan Ciri ciri Distribusi T Fungsi Pengujian Distribusi T II. Beberapa Macam Penggunaan Hipotesis Satu rata rata Dua rata rata III. Langkah langkah Uji Hipotesis IV. Contoh Soal Daftar Pustaka Materi Distribusi Chi Square I. Pendahuluan II. Analisis yang Diperlukan III. Uji Independensi IV. Contoh Kasus V. Uji Keselarasan (Goodness of Fit) VI. Contoh Kasus Daftar Pustaka STATISTIKA 2 Page 2 ATA 12/13

4 Materi Distribusi ANOVA I. Pendahuluan II. Rumus rumus Distribusi F (ANOVA) A. Klasifikasi Satu Arah Ukuran Data Sama Ukuran Data Tidak Sama B. Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi Dengan Interaksi III. Langkah langkah Pengujian Hipotesis IV. Contoh Soal ANOVA Satu Arah Data Sama Satu Arah Data Tidak Sama Daftar Pustaka Materi Distribusi Exponensial I. Pendahuluan II. Contoh Kasus III. Contoh Kasus Daftar Pustaka Materi Distribusi Weibull I. Pendahuluan II. Contoh Kasus III. Contoh Kasus Daftar Pustaka Materi Regresi Linier Sederhana I. Pendahuluan II. Rumus Regresi Linier Sederhana Metode Least Square Metode Setengah Rata rata STATISTIKA 2 Page 3 ATA 12/13

5 3. Koefisien Korelasi Koefifien Determinasi Kesalahan Standar Estimasi III. Langkah langkah Pengujian Hipotesis IV. Manfaat dari Analisis Regresi Linier Sederhana V. Contoh Soal Daftar Pustaka STATISTIKA 2 Page 4 ATA 12/13

6 MODUL DISTRIBUSI NORMAL I.PENDAHULUAN Bidang inferensia statistik membahas generalasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarang menyangkut populasi. Sampling disebut juga pendataan sebagian anggota populasi/penarikan contoh/ pengambilan sampel. Dalam modul ini akan dibahas tentang hipotesis dalam sebuah pengambilan suatu sampel, untuk dapat mengambil kesimpulan / keputusan suatu parameter populasi yang sedang diteliti, maka pada umumnya ada perumpamaan (asumsi) mengenai distribusi atau parameter populasi. Asumsi dalam populasi ini disebut hipotesis statistik. Benar tidaknya hipotesa ini harus di test. Untuk maksud ini harus diambil sampel populasi, berdasarkan sampel ini dilakukan test statistik yang disebut test hipotesa. Keputusan yang diambil adalah menerima/menolak hipotesa. Hipotesa adalah sebuah asumsi/argumen/pemikiran dari sebuah data atau populasi yang akan diuji. Hipotesa nol adalah hipotesa yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak, dinotasikan dengan Ho. hipotesa lainya dari Ha disebut hipotesa alternatif adalah hipotesa alternatif apabila Ho ditolak. Pengaplikasian Distribusi Normal digunakan untuk berbagai penelitian seperti: 1. Observasi tinggi badan 2. Obsevasi isi sebuah botol 3. Nilai hasil ujian Ciri-ciri distribusi normal 1. n (jumlah sampel) n.p 5 STATISTIKA 2 Page 5 ATA 12/13

7 apa yang dipersoalkan atau yang akan diuji, tidak selamanya menjadi Ho. sangat sering kalimat pengujian menjadi Ha. Apakah suatu kalimat pengujian akan menjadi Ho atau Ha, tergantung pada tanda yang tersirat didalamnya. Contoh: a.) Uji dua arah Ujilah apakah rata-rata populasi sama dengan 100, maka: Ho : μ = 100 Ha : μ 100 Disini kalimat pengujian menjadi Ho. b.) Uji satu arah Ujilah apakah beda dua rata-rata populasi lebih besar dari 1, maka: Ho : μ1 - μ2 1 Ha : μ1 - μ2 > 1 Disini kalimat pengujian menjadi Ha c.) Uji satu arah Ujilah apakah proporsi populasi sekurang-kurangnya 0,5, maka: Ho : μ 0,5 Ha : μ < 0,5 Disini kalimat pengujian menjadi Ho II.RUMUS DISTRIBUSI NORMAL 1. Satu rata-rata Z = dimana : x = rata-rata sampel μ = rata-rata populasi σ = simpangan baku STATISTIKA 2 Page 6 ATA 12/13

8 n = jumlah sampel 2. Dua rata-rata Z = do = μ1 - μ2 3. Satu proporsi Z = Dimana : p = proporsi berhasil q = proporsi gagal q = 1 p 4. Dua Proporsi Z = p1 = x1/n1 p2 = x2/n2 III. LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS 1. Tentukan Ho dan Ha a. Satu rata-rata 1. Ho : μ μ0 Ha : μ < μ0 2. Ho : μ μ0 Ha : μ > μ0 3. Ho : μ = μ0 Ha : μ μ0 Z < -Za Z > Za Z < -Za/2 dan Z > Za/2 STATISTIKA 2 Page 7 ATA 12/13

9 b. Dua rata-rata 1. Ho : μ1 - μ2 do Ha : μ1 - μ2 < do 2. Ho : μ1 - μ2 do Ha : μ1 - μ2 > do 3. Ho : μ1 - μ2 = do Ha : μ1 - μ2 do Z < -Za Z > Za Z < -Za/2 dan Z > Za/2 c. Satu proporsi 1. Ho : p p0 Ha : p < p0 Z < -Z 2. Ho : p p0 Ha : p > p0 Z > Za 3. Ho : p = p0 Ha : p p0 Z < -Za/2 dan Z > Za/2 d. Dua proporsi 1. Ho : p1 - p2 do Ha : p1 - p2 < do 2. Ho : p1 - p2 do Ha : p1 - p2 > do 3. Ho : p1 - p2 = do Ha : p1 - p2 do Z < -Za Z > Za Z < -Za/2 dan Z > Za/2 2. Pilih arah uji hipotesis : 1 arah atau 2 arah 3. Menentukan Taraf Nyata (α) : a. Jika 1 arah α tidak dibagi 2 b. Jika 2 arah α dibagi 2 4. Menentukan nilai kritis Z tabel 5. Menentukan nilai hitung Z hitung 6. Keputusan dan gambar 7. Kesimpulan STATISTIKA 2 Page 8 ATA 12/13

10 IV.KURVA NORMAL σ Kurva normal berbentuk seperti lonceng dan simetris terhadap rata rata (μ ) a. Kurva distribusi normal dua arah Ho : μ = μ0 Ha : μ μ0 μ x Ho Ho Ha Ha b. Kurva distribusi normal satu arah sisi kiri Ho : μ μ0 Ha : μ < μ0 Ho Ho Ha STATISTIKA 2 Page 9 ATA 12/13

11 c. Kurva distribusi normal satu arah sisi kanan Ho : μ μ0 Ha : μ > μ0 Ho Ho Ha V.Contoh Kasus 1. Manajer PT.RAHMAT menyatakan bahwa laba penjualan yang diperoleh tiap bulannya mencapai Rp ,- dengan mengambil sampel sebanyak 45 bulan. Diketahui rata-rata laba penjualan yang diperoleh sebesar Rp ,- dengan simpangan baku sebesar Rp ,-. Ujilah hipotesa tersebut dengan taraf nyata 5%? (MADAS 1213) Diket : n = 45 µ = Rp ,- x = Rp ,- = Rp ,- α= 5% Dit : Z? Jawab : Langkah-langkah pengujian hipotesis : 1. Ho : µ = Rp Ha : µ Rp Uji hipotesis 2 arah 1 rata-rata 3. Taraf nyata STATISTIKA 2 Page 10 ATA 12/13

12 α= 5% = 0,05 : 2 = 0,025 0,5 0,025 = 0, Wilayah kritis Z(0,475) = ±1,96 5. Nilai hitung Z = = = 0, Gambar dan keputusan Ho Ho -1,65 0,110 1,65 Keputusan : Terima Ho, tolak Ha 7. Kesimpulan : Pernyataan bahwa laba yang diperoleh tiap bulannya sebesar Rp ,- adalah benar Menggunakan R-Commander Langkah-langkah penyelesaian kasus : 1. Tekan R Commander pada desktop, lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini : STATISTIKA 2 Page 11 ATA 12/13

13 2. Ketikkan data yang ada pada jendela skrip (script window) seperti di bawah ini, setelah itu blok semua tulisan dan klik submit, maka hasilnya akan terlihat pada output window seperti berikut : 2. Pemilik toko ipad menyatakan bahwa sampel penjualan ipad tiap bulannya paling banyak terjual 205 unit, dengan mengambil sampel sebanyak 40 bulan dengan simpangan baku 222 unit dan diketahui rata-rata penjualan yang diperoleh 252 unit, ujilah hipotesis dengan taraf nyata 5%! (MADAS 1213) Diket : n = 40 µ = 205 x = 252 = 222 α= 5% STATISTIKA 2 Page 12 ATA 12/13

14 Dit : Z? Jawab : Langkah-langkah pengujian hipotesis : 1. Ho : µ 205 Ha : µ > Uji hipotesis 1 arah 1 rata-rata 3. Taraf nyata α= 5% = 0,05 0,5 0,05 = 0,45 4. Wilayah kritis Z(0,45) = 1,65 (uji kanan) 5. Nilai hitung Z = = = 1, Gambar dan keputusan Ho Ho 1,340 1,65 Keputusan : Terima Ho, tolak Ha 7. Kesimpulan : Pernyataan bahwa penjualan ipad tiap bulannya terjual paling banyak 205 adalah benar STATISTIKA 2 Page 13 ATA 12/13

15 Menggunakan R-Commander Langkah-langkah penyelesaian kasus 1. Tekan R Commander pada desktop, lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini : STATISTIKA 2 Page 14 ATA 12/13

16 2. Ketikkan data yang ada pada jendela skrip (script window) seperti di bawah ini, setelah itu blok semua tulisan dan klik submit, maka hasilnya akan terlihat pada output window seperti berikut : 3. Seorang petani ingin menguji 2 pupuk yang mana bisa menaikkan tinggi tanamannya. Pengujian dilakukan untuk menentukan apakah ada perbedaan pada tinggi tanaman secara rata-rata akibat adanya perbedaa pemberian pupuk yang diberikan. Taraf nyata 5%. Dari data sampel didapat : Pupuk A : n1 = 50 x1 = 25 s1 = 24 Pupuk B : n2 = 50 x2 = 22 s2 = 20 Diket : x1 = 25 x2 = 22 n1 = 50 STATISTIKA 2 Page 15 ATA 12/13

17 n2 = 50 s1 = 24 s2 = 20 α=5%=0,05 Dit : Apakah ada perbedaan pada tinggi tanaman secara rata-rata akibat adanya perbedaan pemberian pupuk yang diberikan? Jawab : Langkah-langkah pengujian hipotesis : 1. Ho : µ1 - µ2 = 0 Ha : µ1 - µ Uji hipotesis 2 arah 2 rata-rata 3. Taraf nyata α= 5% = 0,05 : 2 = 0,025 0,5 0,025 = 0, Wilayah kritis Z(0,475) = ±1,96 5. Nilai hitung Z = = = = 0, Gambar dan keputusan Ho Ho -1,65 0,679 1,65 STATISTIKA 2 Page 16 ATA 12/13

18 Keputusan : Terima Ho, tolak Ha 7. Kesimpulan : tidak ada perbedaan tinggi tanaman secara ratarata akibat adanya perbedaan pupuk yang diberikan. Menggunakan R-Commander Langkah-langkah penyelesaian kasus : 1. Tekan R Commander pada desktop, lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini : STATISTIKA 2 Page 17 ATA 12/13

19 2. Ketikkan data yang ada pada jendela skrip (script window) seperti di bawah ini, setelah itu blok semua tulisan dan klik submit, maka hasilnya akan terlihat pada output window seperti berikut : 4. Dalam mata kuliah Statistik diperkirakan paling banyak 50% mahasiswanya yang lulus dikarenakan mereka tidak bermasalah dalam hal absensi. Jika dari 55 mahasiswa ada 22 mahasiswa yang bermasalah absensinya. Maka ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa paling banyak 50% mahasiswa akan lulus dalam mata kuliah Statistik. Gunakan tingkat signifikan 5%! (Madas 12/13) STATISTIKA 2 Page 18 ATA 12/13

20 Diket : P 0,50 n = 55 x = = 33 α=5% Dit : Uji hipotesis Jawab : 1. Ho : p 0,50 Ha : p > 0,50 2. Uji hipotesis 1 arah 1 proporsi 3. Taraf nyata α= 5% = 0,05 0,5 0,05 = 0,45 4. Wilayah kritis Z(0,45) = 1,65 (uji kanan) 5. Nilai hitung Z = = = = 1, Gambar dan keputusan Ho Ho 1,29 1,483 Keputusan : Terima Ha, tolak Ho 7. Kesimpulan : bahwa anggapan paling banyak 50% mahasiswa akan lulus dalam mata kuliah Statistik adalah salah. STATISTIKA 2 Page 19 ATA 12/13

21 Menggunakan R-Commander Langkah-langkah penyelesaian kasus : 1. Tekan R Commander pada desktop, lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini : 2. Ketikkan data yang ada pada jendela skrip (script window) seperti di bawah ini, setelah itu blok semua tulisan dan klik submit, maka hasilnya akan terlihat pada output window seperti berikut : STATISTIKA 2 Page 20 ATA 12/13

22 Statistika 2 Universitas Gunadarma DAFTAR PUSTAKA Walpole, Ronald E., 1995, Pengantar Statistika Edisi ke-3, Jakarta, PT.Gramedia Pustaka Utama Prof.Dr.J.Supranto,MA.,APU dan Limakrisna, Dr.H.Nandan.,2010, Statistika Ekonomi dan Bisnis, Jakarta, Mitra Wacana Media Agung, I Gusti Ngurah., 2001, Statistika Analisis Hubungan Kasual Berdasarkan Data kategorik, Jakarta, PT.Raja Grafindo Persada STATISTIKA 2 Page 21 ATA 12/13

23 MODUL DISTRIBUSI T I. PENDAHULUAN Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkan pada tahun 1908 dalam suatu makalah oleh W. S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada perusahaan bir Irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakkan larangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama Student. Karena itulah Distribusi t biasanya disebut Distribusi Student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan. 1.1 Ciri-Ciri Distribusi T a) Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ). b) Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat signifikan (α) dan besarnya derajat bebas (db). 1.2 Fungsi Pengujian Distribusi T a) Untuk memperkirakan interval rata-rata. b) Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatu sampel. c) Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis. d) Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya. STATISTIKA 2 Page 22 ATA 12/13

24 II. BEBERAPA MACAM PENGGUNAAN HIPOTESIS Pengujian sampel dalam distribusi t dibedakan menjadi 2 jenis hipotesa, yaitu : 2.1 Satu Rata-Rata Rumus : Ket : to = t hitung x = rata-rata sampel μ = rata-rata populasi s = standar deviasi n = jumlah sampel Db = n 1 Penyusunan Hipotesa : 1. Ho : μ1 = μ2 Ha : μ1 μ2 2. Ho : μ1 μ2 Ha : μ1 > μ2 3. Ho : μ1 μ2 Ha : μ1 < μ2 STATISTIKA 2 Page 23 ATA 12/13

25 Apabila data yang diambil dari hasil eksperimen, maka langkah yang harus dilakukan sebelum mencari t hitung adalah : a. Menentukan rata-ratanya terlebih dahulu : b. Menentukan standar deviasi : 2.2 Dua Rata Rata Rumus : Syarat : S1 S2 do = selisih μ1 dengan μ2 (μ1 - μ2) Db = (n1 + n2) 2 STATISTIKA 2 Page 24 ATA 12/13

26 Penyusunan Hipotesa : 1. Ho : μ1 μ2 = do Ha : μ1 μ2 do 2. Ho : μ1 μ2 do Ha : μ1 μ2 > do 3. Ho : μ1 μ2 do Ha : μ1 μ2 < do III. LANGKAH LANGKAH UJI HIPOTESIS 1. Tentukan Ho dan Ha 2. Tentukan arah uji hipotesa ( satu arah atau dua arah ) 3. Tentukan tingkat signifikan ( α ) 4. Tentukan nilai derajat bebas ( Db ) 5. Tentukan wilayah kritisnya atau nilai tabel t tabel = (α, Db ) 6. Tentukan nilai hitung (t hitung = to ) 7. Tentukan keputusan dan gambar 8. Kesimpulan dan analisis Ada 3 wilayah kritis dalam distribusi t, yaitu : 1. Dua Arah ( Ho : μ1 = μ2, Ha : μ1 μ2 ) Ho diterima jika : -t tabel ( α/2, Db ) < to < t tabel ( α/2, Db ) Ho ditolak jika : to > t tabel ( α/2, Db ) atau to < - t tabel ( α/2, Db ) -α/2 0 +α/2 Gambar 2.1 : Kurva Distribusi t Dua Arah STATISTIKA 2 Page 25 ATA 12/13

27 2. Satu Arah, Sisi Kanan ( Ho : μ1 μ2, Ha : μ1 > μ2 ) Ho diterima jika : to < t tabel ( α, Db ) Ho ditolak jika : to > t tabel ( α, Db ) 0 +t tabel Gambar 2.2 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kanan 3. Satu Arah, Sisi Kiri ( Ho : μ1 μ2, Ha : μ1 < μ2 ) Ho diterima jika : to > - t tabel ( α, Db ) Ho ditolak jika : to < - t tabel ( α, Db ) Ha Ho -t tabel Gambar 2.3 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kiri IV. Contoh Soal : 1. Sebuah perusahaan mobil di turki meramalkan bahwa rata rata jumlah penjualan produksi mobilnya sebesar 50 mobil/bulan. Untuk menguji apakah hipotesis itu benar maka perusahaan melakukan pengujian dalam 25 bulan dan diketahui rata rata sampel 55 mobil/bulan dengan simpangan baku 5 mobil/bulan. Apakah hasil penelitian tersebut sesuai dengan hipotesis awal perusahaan? (selang kepercayaan 95%) (MADAS 1213) Dik : μ = 50 x = 55 α = 5% = 0,05 n = 25 STATISTIKA 2 Page 26 ATA 12/13

28 s = 5 Pengujian Hipotesis : 1. Ho : μ1 = 50 Ha : μ rata rata, uji 2 arah 3. α/2 = 5 % /2 = 0, Db = n 1 = 25 1 = t tabel (α, Db) = ( 0,025 ; 24 ) = ± 2, to = = = = 5 7. Keputusan : karena t hitung = 5 berada di luar selang -2,064 < t > 2,064 maka Tolak Ho, Terima Ha -2, ,064 5 Gambar 2.4 Kurva Distribusi t Satu Rata-rata Dua Arah Contoh 8. Kesimpulan : Jadi, rata rata jumlah penjualan produksi mobilnya sebesar 50 mobil/bulan adalah salah. STATISTIKA 2 Page 27 ATA 12/13

29 Langkah-langkah menggunakan software : 1) Buka software R 2.8, kemudian masukkan data pada tabel script window (Jendela Skrip) 2) Blok semua data yang ada pada script window (jendela skrip) STATISTIKA 2 Page 28 ATA 12/13

30 3) Setelah itu klik submit (kirim), maka akan muncul hasil to nya 2. Sebuah perusahaan asuransi menyatakan bahwa rata rata nasabahnya melakukan pembayaran premi paling banyak $550/bulan melalui agen nya,untuk menguji pernyataan tersebut ia mengambil sampel sebanyak 20 nasabah dan diketahui rata ratanya $455/bulan dengan simpangan baku $40. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5 %. (MADAS 1213) Dik : μ = 550 x = 455 α = 5% = 0,05 n = 20 s = 40 STATISTIKA 2 Page 29 ATA 12/13

31 Pengujian Hipotesis : 1. Ho : μ1 550 Ha : μ1 > rata rata, uji 1 arah 3. α = 5% = 0,05 4. Db = n 1 = 20 1 = t tabel (α, Db) = ( 0,05 ; 19 ) = 1, to = = = = -10, Keputusan : karena t hitung = -10,621 berada di luar selang t > 1,729 maka Terima Ho, Tolak Ha Ho Ha -10,621 1, Kesimpulan : Jadi rata-rata nasabah melakukan pembayaran premi kurang sama dengan $550/bulan adalah benar. Langkah-langkah menggunakan software : 1) Buka software R 2.8, kemudian masukkan data pada tabel script window (Jendela Skrip) STATISTIKA 2 Page 30 ATA 12/13

32 2) Blok semua data yang ada pada script window (jendela skrip) 3) Setelah itu klik submit (kirim), maka akan muncul hasil to nya STATISTIKA 2 Page 31 ATA 12/13

33 3. Diketahui data kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift siang dan shift malam Shift Malam Shift Siang Rata-rata kerusakan Simpangan baku 2 2 Banyak sampel 5 4 Dengan α = 5%. Ujilah rata-rata kerusakan produk tersebut lebih dari sama dengan 5? (MADAS 1213) Jawab : Diketahui : x1 = 45 s1 = 2 x2 = 42 s2 = 2 n1 = 5 α = 5% = 0,05 n2 = 4 do = 5 Pengujian hipotesis : 1. Ho : μ1 μ2 5 Ha : μ1 μ2 < 5 2. Dua rata-rata, uji kiri 3. α = 5 % = 0,05 4. Db = n1 + n2 2 = = 7 5. t tabel (α : Db ) = (0,05 : 7 ) = -1, to = = = = = -1, Karena t hitung = - 1,490 berada diluar selang 1,895 < t maka terima Ho dan tolak Ha STATISTIKA 2 Page 32 ATA 12/13

34 --1,89-1,49 0 Gambar 2.6 Kurva Distribusi t Dua Rata-rata Satu Arah Uji Kiri Contol Soal 3 8. Kesimpulan : Jadi rata-rata kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift siang dan shift malam adalah lebih dari sama dengan 5. Langkah-langkah menggunakan software : 1) Buka software R 2.8, kemudian masukkan data pada tabel script window (Jendela Skrip) STATISTIKA 2 Page 33 ATA 12/13

35 2) Blok semua data yang ada pada script window (jendela skrip) 3) Setelah itu klik submit (kirim), maka akan muncul hasil to nya STATISTIKA 2 Page 34 ATA 12/13

36 DAFTAR PUSTAKA Ronald Walpole, Pengantar Statistika Edisi ke 3 Haryono Subiyakto, Statistika 2 Haryono Subiyakto, Praktikum Statistika dengan Program Microsta STATISTIKA 2 Page 35 ATA 12/13

37 MODUL UJI NON PARAMETIK (CHI-SQUARE / X²) I. PENDAHULUAN Dalam uji statistika dikenal uji parametrik dan uji nonparametrik. Uji statistika parametrik hanya dapat digunakan jika data menyebar normal atau tidak ditemukannya petunjuk pelanggaran kenormalan dan keragaman atau variasi antara perlakuan-perlakuan / peubah bebas yang dibandingkan dengan homogen. Untuk data yang tidak memenuhi syarat tersebut dan data dengan satuan pengukuran nominal dan ordinal digunakan uji lain yaitu statistika nonparametrika. Pada modul ini uji statistika nonprmetrik yanga kan dibahas adalah Chisquare (X²). Chi square merupakan salah satu alat analisis yang banyak digunakan dalam pengujian hipotesis. Chi square terutama digunakan untuk Uji Homogenitas, Uji Independensi, Dan Uji Keselarasan (Goodness Of Fit Test). II. ANALISIS YANG DIPERLUKAN Rumus untuk uji Chi Square yaitu sebagai berikut : X² = ( (fo fe) ² ) / fe Keterangan : fo : hasil observasi pada baris b kolom k fe : nilai harapan ( expected value ) pada baris b kolom k Distribusi X2 digunakan untuk menguji: a. Apakah frekuensi observasi berbeda secara signifikan terhadap frekuensi ekspektasi. b. Apakah dua variable independent atau tidak. c. Apakah data sampel menyerupai distribusi hipotesis tertentu seperti distribusi normal, binomial, poisson atau yang lain. STATISTIKA 2 Page 36 ATA 12/13

38 Nilai X2 selalu positif karena didapat dari penjumlahan kuadrat dari variable normal standar Z sehingga kurva chi kuadrat tidak mungkin berada di sebelah kiri nilai nol. Bentuk distribusi X2 tergantung dari derajat bebas (db) atau Degree of freedom. Distribusi X2 bukan suatu kurva probabilitas tunggal tetapi merupakan suatu keluarga dari kurva bermacam-macam distribusi X2. db=1-2 db=3-4 db=5-8 db=9 Gambar Macam-macam Kurva Distribusi Chi Square Uji X2 dibagi menjadi: a. Uji Kecocokan = Uji Kebaikan = test goodness of fit Hanya terdapat satu baris Db=k-m-1 Dengan: k = jumlah kategori data sampel m= jumlah nilai-nilai parameter yang diestimasi. b. Uji Kebebasan Jika terdapat lebih dari satu baris Db=(k-1)(b-1) STATISTIKA 2 Page 37 ATA 12/13

39 Dengan: k = jumlah kolom b = jumlah baris III. UJI INDEPENDENSI Uji ini digunakan untuk menguji ada atau tidaknya interdependensi antara variabel kuantitaif yang satu dengan yang lainnya berdasarkan observasi yang ada. IV. CONTOH KASUS Dalam suatu penelitian yang bertujuan untuk mengetahui apakah ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan, diperoleh data sebagai berikut : Status pendidikan S2 S1 SMA Total Manager Jabatan Supervisor Karyawan Total Dengan taraf nyata 5%, ujilah hipotesis tersebut! Pengujian Hipotesis : a. Ho : Tidak ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan Ha : Ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan b. Menetapkan tingkat signifikan dan derajat bebas a = 5% = 0.05 db = (k -1) (b -1) = (3 1) (3 1) = 4 STATISTIKA 2 Page 38 ATA 12/13

40 c. Menentukan nilai kritis X 2 tabel = ( α : db ) = ( 0.05 : 4 ) = 9,488 d. Menentukan nilai test statistik ( nilai hitung) Fe = Jmlh mnrt baris X jmlh menurut kolom Jmlh seluruh baris dan kolom Feij i = baris j = kolom Fe11 = (72 X 116) / 290 = 28.8 Fe12 = (72 X 115) / 290 = Fe13 = (72 X 59) / 290 = Fe21 = (91 X 116) / 290 = 36.4 Fe22 = (91 X 115) / 290 = Fe23 = (91 X 59) / 290 = Fe31 = (127 X 116) / 290 = 50.8 Fe32 = (127 X 115) / 290 = Fe33 = (127 X 59) / 290 = Rumus : X 2 = Σ (Fo Fe) 2 Fe STATISTIKA 2 Page 39 ATA 12/13

41 fo fe (fo-fe) (fo-fe) 2 (fo-fe) 2 /fe Total 96.8 e. Gambar dan Keputusan : Ha diterima Ho ditolak 9, Kesimpulan : Ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan STATISTIKA 2 Page 40 ATA 12/13

42 Langkah pengerjaan dengan software : Untuk mencari nilai-nilai data tersebut denganmenggunakan program R, ikutilah langkah-langkah berikut : 1. Tekan ikon R Commander pada desktiop kemudian akan muncul tampilan seperti ini. Gambar 1. Tampilan menu awal R Commander STATISTIKA 2 Page 41 ATA 12/13

43 2. Pada R Commander pilih menu bar Statistics, Contingency Tables, dan Enter and analyze two-way table seperti tampilan dibawah ini. Gambar 2. Tampilan menu olah data Kemudian akan tampil seperti dibawah ini : Gambar 3. Tampilan Enter Two Way Table STATISTIKA 2 Page 42 ATA 12/13

44 3. Kemudian isi kotak tersebut sesuai contooh kasus, Number of Rows digeser ke kanan sehingga berubah dari 2 menjadi 3, Number of Columns digeser ke kanan sehingga berubah dari 2 menjadi 3. Kemudian isi Enter Counts. Tampilan data yangsudah diisi sebagai berikut. Kemudian pilih OK. Gambar 4. Tampilan isi data STATISTIKA 2 Page 43 ATA 12/13

45 4. Kemudian akan tampil output dibawah ini. Gambar 5. Tampilan Output V. UJI KESELARASAN (GOODNESS OF FIT) Uji keselarasan adalah perbandingan antara frekuensi observasi dengan frekuensi harapan. Uji keselarasan pada prinsipnya bertujuan untuk mengetahui apakah sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi teoritis tertentu ataukah tidak. VI. CONTOH KASUS Seorang Manajer Pemasaran sabun mandi SINZUI selama ini menggangap bahwa konsumen sama-sama menyukai tiga warna sabun mandi yang diproduksi, yaitu Putih, Biru, dan Merah. Untuk mengetahui apakah pendapat Manajer tersebut benar, maka kepada dua belas responden ditanya warna sabun mandi yang paling disukainya. STATISTIKA 2 Page 44 ATA 12/13

46 Berikut adalah data kuesioner tersebut. Responden Rani Fanny Anna Nina Shinta Rina Dita Citra Desti Lala Rani Novi Acha Warna kesukaan Putih Merah Biru Merah Biru Putih Biru Merah Merah Biru Putih Merah Biru Ujilah data diatas dengan menggunakan R commander serta analisislah! a. Tabel Frekuensi : Pilihan Warna Putih Merah Biru Sabun Frekuensi b. Ho : Jumlah konsumen yang menyukai ketiga warna sabun mandi merata Ha : Jumlah konsumen yang menyukai ketiga warna sabun mandi tidak merata c. α = 5% STATISTIKA 2 Page 45 ATA 12/13

47 db = k m 1 = = 2 d. Nilai Kritis : 5,991 e. Nilai Hitung : fe = jmlh data / banyaknya kolom = 13 / 3= 4.3 Rumus : X 2 = Σ (fo fe) 2 Fe fo fe (fo-fe) (fo-fe) 2 (fo-fe) 2 /fe Total 0.61 f. Gambar dan Keputusan : Ho diterima Ha ditolak 0,61 5,991 Kesimpulan : jumlah konsumen yang meyukai ketiga warna sabun mandi merata. STATISTIKA 2 Page 46 ATA 12/13

48 Langkah pengerjaan dengan software : Untuk mencari nilai-nilai data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah - langkah berikut : 1. Tekan icon R commander pada dekstop kemudian akan muncul tampilan seperti gambar dibawah ini. Gambar 1. Tampilan menu awal R Commander 2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah responden kemudian tekan tombol OK Gambar 7. Tampilan menu New data set Gambar 8. Tampilan New Data Set responden Kemudian akan muncul Data E Gambar 9. Tampilan Data Editor STATISTIKA 2 Page 47 ATA 12/13

49 3. Masukkan data dengan var1 untuk responden, var2 untuk kode warna, var3 untuk warna pilihan. Jika Data Editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan Rgui di Taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tombol Close. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double click pada variabel yang ingin di setting. Pemilihan type, dipilih numeric pada variabel kode warna dan character untuk responden. Tekan icon R commander pada dekstop kemudian muncul window data editor. Gambar 10. Tampilan Variable editor responden Gambar 11. Tampilan Variable editor kode warna Gambar 12. Tampilan Variable edtor warna pilihan STATISTIKA 2 Page 48 ATA 12/13

50 Kemudian isi masing-masing variabel sesuai dengan data soal setelah selesai isis data kemudian tekan tombol X (close) Gambar 13. Tampilan isi Data Editor Selanjutnya, pilih window R-Commander akan muncul tampilan: 4. Pada R Commander, pilihmenu bar data, pilih Manage variables in active data set, pilih Bin numeric variable. STATISTIKA 2 Page 49 ATA 12/13

51 5. Akan tampil sebagai berikut. Kemudian klik OK 6. Akan tampil sebagai berikut denga mengubah terlebuh dahulu 1 : putih 2 : merah 3 : biru Kemudian klik OK STATISTIKA 2 Page 50 ATA 12/13

52 7. Pada R-Commander pilih menu bar pilih Edit data set. Maka akan tampil sebagai berikut. Sebelumnya kolom warna pilihan tidak terisi data. Close data editor. 8. Pada menu bar pilih Statistics, pilih Frequency distribution. STATISTIKA 2 Page 51 ATA 12/13

53 9. Maka akan tampil sebagai berikut, beri tanda check list pada chisquare goodness of fit test. Kemudian klik OK. 10. Maka akan tampil sebagai berikut, kemudian klik OK. 11. Maka akan tampil pada R-Commander sebagai berikut. sampo merata. STATISTIKA 2 Page 52 ATA 12/13

54 DAFTAR PUSTAKA Budiyono, 2009, Statistik untuk penelitian, Jakarta : Edisi 2, Sebelas maret university press. Stephen Larry J dan Siegel Murray R, 2005, Statistik, : Edisi 3, Erlangga. Soerjadi, 1991, Statistika, ITB BANDUNG. Walpole, E Ronald, Pengantar Statistika, Jakarta : Edisi 3, Gramedia. STATISTIKA 2 Page 53 ATA 12/13

55 MODUL DISTRIBUSI F (ANOVA) I. PENDAHULUAN Ditemukan oleh seorang ahli statistik yang bernama R.A. Fisher pada tahun Anova kepanjangan dari Analysis of Variance. Distribusi F/ANOVA adalah prosedur statistika untuk mengkaji (mendeterminasi) apakah rata-rata hitung (mean) dari 3 (tiga) populasi atau lebih, sama atau tidak. Digunakan untuk menguji rata - rata atau nilai tengah dari tiga atau lebih populasi secara sekaligus, apakah rata-rata atau nilai tengah tersebut sama atau tidak sama. II. RUMUS-RUMUS DISTRIBUSI F / ANOVA : A. Klasifikasi Satu Arah Klasifikasi satu arah, adalah klasifikasi pangamatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria. Misalnya saja varietas padi. Dalam klasifikasi satu arah ini, rumus-rumus yang digunakan adalah 1) Ukuran Data Sama JKT = - JKK = - JKG = JKT JKK Keterangan: JKT : Jumlah Kuadrat Total X 2 ij : Pengamatan ke-j dari populasi ke-i T 2 : Total semua pengamatan STATISTIKA 2 Page 54 ATA 12/13

56 JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat nk : Banyaknya anggota secara keseluruhan T 2 i : Total semua pengamatan dalam contoh dari populasi ke-i n : Banyaknya pengamatan / anggota baris Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah Nilai Tengah JKK k-1 S 2 1 = JKK / (k- Kolom 1) Galat JKG k(n-1) S 2 2 = JKG / (k(n-1) Total JKT nk-1 F Hitung S 2 1 / S 2 2 2) Ukuran Data Tidak Sama JKT = JKK = JKG = JKT - JKK Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data tidak sama Sumber Jumlah Derajat Kuadrat F Hitung Keragaman Kuadrat Bebas Tengah Nilai Tengah JKK k-1 S 2 1 = JKK / (k- Kolom 1) Galat JKG N-k S 2 2 = JKG / (N S 2 1 / S 2 2 k) Total JKT N-1 STATISTIKA 2 Page 55 ATA 12/13

57 B. Klasifikasi Dua Arah Adalah klasifikasi pengamatan yang didasarkan pada 2 kriteria, seperti varietas dan jenis pupuk. Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam baris dan kolom, Kolom menyatakan kriteria klasifikasi yang satu, sedangkan baris menyatakan kriteria klasifikasi yang lain. Rumus-rumus yang digunakan dalam klasifikasi 2 arah adalah : 1) Tanpa Interaksi JKT = - JKK = - JKG = JKT - JKB - JKK Keterangan : JKT : Jumlah Kuadrat Total JKB : Jumlah Kuadrat Baris JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat T 2 : Total semua pengamatan T 2 i : Jumlah/total pengamatan pada baris T 2 j : Jumlah/total pengamatan pada Kolom X 2 ij : Jumlah/total keseluruhan dari baris dan kolom k : Jumlah Kolom bk : Jumlah kolom dan baris b : Jumlah baris STATISTIKA 2 Page 56 ATA 12/13

58 Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah tanpa interaksi Sumber Jumlah Derajat Kuadrat Tengah Keragaman Kuadrat Bebas Nilai Tengah JKB b-1 S 2 1 = JKB / (b-1) Baris Nilai Tengah JKK k-1 S 2 2 = JKK / (k-1) Kolom Galat JKG (b-1)(k- S 2 3 = JKG / (b- 1) 1)(k-1) Total JKT bk-1 F Hitung f1 = S 2 1 / S 2 3 f2 = S 2 2 / S 2 3 2) Dengan Interaksi JKT = JKK = - JKB = JK(BK) = JKG = JKT - JKB - JKK - JK(BK) Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah dengan interaksi Sumber Jumlah Derajat Kuadrat Tengah Keragaman Kuadrat Bebas Nilai Tengah JKB b-1 S 2 1 = JKB / (b-1) Baris Nilai Tengah JKK k-1 S 2 2 = JKK / (k-1) Kolom Interaksi JK(BK) (b-1)(k- 1) S 2 3 = JK(BK) / (b- 1)(k-1) Galat JKG bk(n-1) S 2 4 = JKG / bk(n-1) Total JKT bkn-1 F Hitung f1 = S 2 1 / S 2 4 f2 = S 2 2 / S 2 4 f3 = S 2 3 / S 2 4 STATISTIKA 2 Page 57 ATA 12/13

59 III. LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS Langkah - langkah dalam pengujian hipotesis dalam Distribusi F / Anova dengan klasifikasi satu arah atau dua arah adalah sbb : 1. Tentukan Ho dan Ha Ho : μ1 = μ2 = μ3 =... = μn Ha : sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama Atau Ho : Semua nilai tengah sama Ha : sekurang-kurangnya dua nilai tengah adalah tidak sama 2. Tentukan tingkat signifikan ( ) 3. Tentukan derajat bebas (db) a. Klasifikasi 1 arah data sama V 1 = k-1 V 2 = k (n-1) b. Klasifikasi 1 arah data tidak sama V 1 = k-1 V 2 = N - k c. Klasifikasi 2 arah tanpa interaksi V 1 (baris) = b-1 V 1 (kolom) = k-1 V 2 = (k-1) (b-1) d. Klasifikasi 2 arah dengan interaksi V 1 (baris) = b-1 V 1 (kolom) = k-1 V 1 (interaksi) = (k-1) (b-1) V 2 = b.k (n-1) Ket : k = kolom ; b = baris 4. Tentukan wilayah kritis (F tabel) ƒ > ( ; V1 ; V2) 5. Menentukan kriteria pengujian Ho diterima jika Fo F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel 6. Nilai hitung (F hitung) Ho Ha 7. Keputusan 8. Kesimpulan F table STATISTIKA 2 Page 58 ATA 12/13

60 IV. CONTOH SOAL ANOVA 1. Satu arah data sama 1. Eksperimen dilakukan untuk mengetahui produktivitas 4 varietas gandum yang ditanam pada suatu lahan. Tingkat produkvitas yang diamati selama 5 kali musim panen akan disajikan dalam tabel dibawah ini : (dalam kuintal) Gandum I Gandum II Gandum III Gandum IV Dengan taraf nyata 5%, ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan pada tingkat produktivitas tiap tiap varietas gandum? Penyelesaian : 1. Ho : rata rata tingkat produktivitas tiap tiap varietas gandum sama Ha : rata rata tingkat produktivitas tiap tiap varietas gandum tidak sama 2. α = Derajat bebas V1 = ( k 1 ) = ( 4 1 ) = 3 V2 = k (n-1) = 4 (5-1) = Daerah kritis f tabel ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24 5. Kriteria Pengujian Ho diterima jika Fo F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel STATISTIKA 2 Page 59 ATA 12/13

61 6. Nilai Hitung JKT = ( ) ( /20) = 7365 JKK = ( ( ) / 5 ) ( /20) = 211,4 JKG = ,4 = 7153,6 Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F Hitung (Fo) Nilai Tengah 211,4 3 70,5 Kolom Galat 7153, ,1 0,1576 Total Keputusan Ho diterima, Ha ditolak Ho Ha 0,1576 3,24 8. Kesimpulan Jadi, rata rata tingkat produktivitas tiap tiap varietas gandum sama STATISTIKA 2 Page 60 ATA 12/13

62 B. Cara Software 1. Buka software r-commander, lalu pilih Data New Data Set, muncul kotak dialog New Data Set OK Gambar1. tampilan awal R commander 2. pilih menu data, new data set, Masukan nama dari data set adalah anova. kemudian tekan tombol OK. Gambar2, Tampilan menu New Data Set STATISTIKA 2 Page 61 ATA 12/13

63 Gambar 3, Tampilan New Data Set kemudian akan muncul data editor Gambar 4, Tampilan data editor 3. masukkan data dengan var1 = skor dan var2 = varietas. jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan Rgui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tombol close. untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin di setting. Gambar 5, tampilan variabel editor lahan STATISTIKA 2 Page 62 ATA 12/13

64 Gambar 6, tampilan variabel editor skor kemudian isi masing-masing variabel sesuai dengan data soal setelah selesai isi data kemudian tekan tombol close(x) Gambar 7, tampilan isi data editor selanjutnya pilih window R-commander akan muncul tampilan: STATISTIKA 2 Page 63 ATA 12/13

65 Gambar 8, tampilan script windows 4. untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol view data set maka akan muncul tampilan. jika ada data yang salah tekan tombol edit data set lalu perbaiki data yang salah Gambar 9, tampilan view anova STATISTIKA 2 Page 64 ATA 12/13

66 untuk merubah variabel numerik ban pada tampilan R commander pilih : manage variables in active data set kemudia pilih Bin Numeric Variables Gambar 10, Tampilan Manage Variables Gambar 11, Tampilan Bin a Numeric Variables STATISTIKA 2 Page 65 ATA 12/13

67 kemudian akan muncul tampilan ubah nama bin: Gambar 12, Tampilan Bin Names 5. Pilih menu R commander untuk mencari nilai Anova. pilih menu statistics, means, one way anova Gambar 15, tampilan menu olah data 2 STATISTIKA 2 Page 66 ATA 12/13

68 kemudian akan muncul tampilan Gambar 16, Tampilan One Way ANOVA untuk Response variables pilih penjualan, akifkan pairwise comparison of means maka akan muncul hasil pada output window sebagai berikut: output bagian 1: STATISTIKA 2 Page 67 ATA 12/13

69 Analisis Hasil Output : 2. Satu Arah Data Tidak Sama Maulana tbk memiliki 3 Cat andalannya yaitu w a r n a B i r u, Ungu dan Coklat. Ketiga cat tersebut diberikan secara acak selama 6 hari, berikut data rata-ratanya: Hari Biru Ungu Coklat Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Total Lakukan pengujian Anova pada data diatas! (taraf nyata 5%) STATISTIKA 2 Page 68 ATA 12/13

70 Jawab 1. Ho : Rata-rata ketiga warna cat andalannya adalah sama Ha : Rata-rata ketiga warna cat andalannya adalah sama 2. α = Derajat bebas (db) V1 = k - 1 = 3-1 = 2 V2 = N k = 13 3 = Wilayah ktitis : ƒ > ( 5% ; 2 ; 10 ) = 4,10 (f tabel) 5. Kriteria Pengujian Ho diterima jika Fo F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel 6. Nilai Hitung JKT = ( ) (459 2 /13) = = 2213 JKK = ( 134 2/ 4) + ( /5) + (121 2 /4 ) (459 2 /13) = , = 266,45 JKG = ,45 = 1946,55 Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama Sumber Keragaman Nilai Tengah Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah 266, Kolom Galat Total F Hitung (Fo) 0,68 7. Keputusan Ho diterima, Ha ditolak STATISTIKA 2 Page 69 ATA 12/13

71 Ho Ha 8. Kesimpulan 0,68 4,10 Jadi, rata rata ketiga warna cat andalannya adalah sama B. Cara Software 1. Buka software r-commander, lalu pilih Data New Data Set, muncul kotak dialog New Data Set OK Gambar1. tampilan awal R commander 2. pilih menu data, new data set, Masukan nama dari data set adalah anova. kemudian tekan tombol OK. STATISTIKA 2 Page 70 ATA 12/13

72 Gambar2, Tampilan menu New Data Set Gambar 3, Tampilan New Data Set kemudian akan muncul data editor Gambar 4, Tampilan data editor STATISTIKA 2 Page 71 ATA 12/13

73 3. masukkan data dengan var1 = skor dan var2 = cake. jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan Rgui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tombol close. untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin di setting. Gambar 5, tampilan variabel editor lahan Gambar 6, tampilan variabel editor skor kemudian isi masing-masing variabel sesuai dengan data soal setelah selesai isi data kemudian tekan tombol close(x) Gambar 7, tampilan isi data editor selanjutnya pilih window R-commander akan muncul tampilan: STATISTIKA 2 Page 72 ATA 12/13

74 Gambar 8, tampilan script windows 4. untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol view data set maka akan muncul tampilan. jika ada data yang salah tekan tombol edit data set lalu perbaiki data yang salah untuk merubah variabel numerik ban pada tampilan R commander pilih : manage variables in active data set kemudia pilih Bin Numeric Variables STATISTIKA 2 Page 73 ATA 12/13

75 Gambar 9, Tampilan Manage Variables Gambar 10, Tampilan Bin a Numeric Variables STATISTIKA 2 Page 74 ATA 12/13

76 kemudian akan muncul tampilan ubah nama bin: Gambar 11, Tampilan Bin Names 5. Pilih menu R commander untuk mencari nilai Anova. pilih menu statistics, means, one way anova Gambar 12, tampilan menu olah data 2 STATISTIKA 2 Page 75 ATA 12/13

77 kemudian akan muncul tampilan Gambar 13, Tampilan One Way ANOVA untuk Response variables pilih penjualan, akifkan pairwise comparison of means maka akan muncul hasil pada output window sebagai berikut: output bagian 1: STATISTIKA 2 Page 76 ATA 12/13

78 DAFTAR PUSTAKA Hasan Iqbal. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif) Bumi Aksara : Jakarta Siagian Dergibson, Sugianto. Metode Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi Gramedia : Jakarta Walpole, R.E Pengantar Statistika. PT. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. STATISTIKA 2 Page 77 ATA 12/13

79 MODUL DISTRIBUSI EXPONENSIAL I. Pendahuluan Distribusi eksponensial merupakan pengujian digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi karena dalam distribusi eksponensial memiliki standar deviasi sama dengan rata-rata. Distribusi ini termasuk ke dalam distribusi kontinu. Ciri dari distribusi ini adalah kurvanya mempunyai ekor di sebelah kanan dan nilai x dimulai dari 0 sampai tak hingga. Gambar kurva distribusi eksponensial berbeda-beda tergantung dari nilai x dan λ sebagai berikut : Syarat dari distribusi eksponensial yaitu : 1.) X 0 2.) λ > 0 3.) e = 2, STATISTIKA 2 Page 78 ATA 12/13

80 Dalam menghitung distribusi eksponensial, rumus yang digunakan adalah: P ( X Xo ) = 1 (e λ. Xo ) Atau P ( X Xo ) = e λ. Xo Keterangan: X = interval rata-rata λ = parameter rata-rata Xo = rata-rata sampel yang ditanyakan e = eksponensial = 2,71828 Gambar daerah luas kurva distribusi eksponensial : STATISTIKA 2 Page 79 ATA 12/13

81 II. Contoh 1: Sebuah toko buku mempunyai kedatangan pengunjungnya yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 4 orang pengunjung per 55,5 menit. Berapakah probabilitas bahwa kedatangan pengunjung memiliki selang waktu 22,4 menit atau kurang? (MADAS 1213) Dik: λ = 4 Xo = 22,4 / 55,5 = 0,403 Dit: P(X 0,403)? Jawab: P(X Xo) = 1 (e λ. Xo ) P(X 0,403) = 1 (2, ,403 ) P(X 0,403) = 1 (2, ,612 ) P(X 0,403) = 1-0,1994 = 0,8005 = 80,05 % Langkah Pengerjaan Menggunakan Software: Buka sotware R-Commander. STATISTIKA 2 Page 80 ATA 12/13

82 Pilih Menu Distributions, Continuous Distribution, Exponential Distribution, lalu Exponential Probabilities. Maka akan muncul Kotak Exponential Probabilities. Isi kotak-kotak tersebut sesuai dengan soal diatas dan pilih Lower Tail. STATISTIKA 2 Page 81 ATA 12/13

83 Setelah itu, klik OK. Maka tampilan outputnya akan seperti dibawah ini. Analisis: Jadi, probabilitas kedatangan pengunjung yang memiliki selang waktu 22,4 menit atau kurang adalah 80,05%. III. Contoh 2: Sebuah toko buku mempunyai kedatangan pengunjungnya yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 4 orang pengunjung per 55,5 menit. Berapakah probabilitas bahwa kedatangan pengunjung memiliki selang waktu 22,4 menit atau lebih? (MADAS 1213) Dik: λ = 4 Xo = 22,4 / 55,5 = 0,403 Dit: P(X 0,403)? STATISTIKA 2 Page 82 ATA 12/13

84 Jawab: P(X Xo) = (e λ. Xo ) P(X 0,403) = (2, ,403 ) P(X 0,403) = (2, ,612 ) P(X 0,403) = 0,1994 = 19,94 % Langkah Pengerjaan Menggunakan Software: Buka sotware R-Commander. Pilih Menu Distributions, Continuous Distribution, Exponential Distribution, lalu Exponential Probabilities. STATISTIKA 2 Page 83 ATA 12/13

85 Maka akan muncul Kotak Exponential Probabilities. Isi kotak-kotak tersebut sesuai dengan soal diatas dan pilih Upper Tail. Setelah itu, klik OK. Maka tampilan outputnya akan seperti dibawah ini. STATISTIKA 2 Page 84 ATA 12/13

86 Analisis: Jadi, probabilitas kedatangan pengunjung yang memiliki selang waktu 22,4 menit atau lebih adalah 19,94%. STATISTIKA 2 Page 85 ATA 12/13

87 DAFTAR PUSTAKA Harinaldi PRINSIP-PRINSIP STATIISTIK UNTUK TEKNIK DAN SAINS. Jakarta : Erlangga Kazmier, Leonard J Schaum's Easy Outlines STATISTIK UNTUK BISNIS. Jakarta : Erlangga Nawari Analisis Statistik dengan Ms. Excel 2007 dan SPSS 17. Jakarta : PT. Elex Media Komputindo STATISTIKA 2 Page 86 ATA 12/13

88 MODUL DISTRIBUSI WEIBULL I. PENDAHULUAN Distribusi Weibull pertama kali diperkenalkan oleh ahli fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun Grafik distribusi weibull untuk dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar berikut ini : Ciri khusus dari distribusi ini adalah adanya parameter skala (α) dan parameter bentuk (β). Parameter skala (scale parameter) adalah jenis khusus dari parameter numeric yang menunjukkan besarnya distribusi data. Semakin besar nilai parameter skala maka distribusi data akan semakin menyebar dan sebaliknya. Sedangkan parameter bentuk (shape parameter) adalah jenis khusus dari parameter numeric yang menunjukkan bentuk dari kurva. STATISTIKA 2 Page 87 ATA 12/13

89 Rumus untuk mencari peluang distribusi weibull : > (Lebih dari) < (Kurang dari) Keterangan : t = waktu e = eksponensial = α = parameter skala β = parameter bentuk II. CONTOH KASUS 1 Sebuah mesin pencetak sepatu bola internasional mempunyai masa hidup berdistribusi weibull. Dengan alpha 0.4 dan beta 0.2. Berapa peluang mesin tersebut beroperasi lebih dari dua setengah tahun? Dik: t =2.5 alfa = 0.4 beta = 0.2 Dit: f ( > 2.5 )? Jawab : f( t ) = e ^ - ( t / alfa ) ^ beta f ( t > 2.5) = e ^ - ( 2.5 / 0.4 ) ^ 0.2 f ( > 2.5 ) = Analisis : jadi besarnya peluang mesin pencetak sepatu bola internasional tersebut adalah sebesar atau %. STATISTIKA 2 Page 88 ATA 12/13

90 Langkah penyelesaian soal pada software R Commander adalah sebagai berikut : Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar dibawah ini : Pilih menu distributiin continues distribution weibull distribution weibull probabilities STATISTIKA 2 Page 89 ATA 12/13

91 Setelah itu muncul kolom weibull probabilities Lalu isi variable value (s) dengan nilai 2.5, masukkan nilai beta di shape sebesar 0.2, nilai scale atau alfa sebesar 0.4. Karena yang ditanyakan lebih dari, maka kita pilih upper tail, kemudian pilih ok Setelah ok maka akan muncul nilai weibull probabilities di output window STATISTIKA 2 Page 90 ATA 12/13

92 III. CONTOH KASUS 2 Sebuah mesin jahit mempunyai masa hidup berdistribusi weibull. Dengan alpha 2.2 dan beta 2.5. Berapa peluang mesin tersebut beroperasi kurang dari dua tahun? Dik: t =2 alfa = 2.2 beta = 2.5 Dit: f ( < 2 )? Jawab : f ( t ) = 1 e ^ - ( t / alfa ) ^ beta f ( t < 2 ) = 1 e ^ - ( 2 / 2.2 ) ^ 2.5 STATISTIKA 2 Page 91 ATA 12/13

93 f ( t < 2 ) = Analisis : jadi besarnya peluang mesin pencetak sepatu bola internasional tersebut adalah sebesar atau %. Langkah penyelesaian soal pada software R Commander adalah sebagai berikut : Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar dibawah ini : Pilih menu distributiin continues distribution weibull distribution weibull probabilities STATISTIKA 2 Page 92 ATA 12/13

94 Setelah itu muncul kolom weibull probabilities Lalu isi variable value (s) dengan nilai 2, masukkan nilai beta di shape sebesar 2.5, nilai scale atau alfa sebesar 2.2. Karena yang ditanyakan kurang dari, maka kita pilih lower tail, kemudian pilih ok STATISTIKA 2 Page 93 ATA 12/13

95 Setelah ok maka akan muncul nilai weibull probabilities di output window STATISTIKA 2 Page 94 ATA 12/13

96 DAFTAR PUSTAKA Dr. Tedjo N. Reksoatmodjo ST., M.Pd. Statistika Teknik. Jakarta : Gramedia Dr. Ir. Harinaldi M.Eng. Prinsip-prinsip Statistik Jakarta : Erlangga Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi Keempat. Bandung : ITB STATISTIKA 2 Page 95 ATA 12/13

97 MODUL REGRESI LINIER SEDERHANA I. Pendahuluan Di dalam analisa ekonomi dan bisnis, dalam mengolah data sering digunakan analisis regresi dan korelasi. Analisa regresi dan korelasi telah dikembangkan untuk mempelajari pola dan mengukur hubungan statistik antara dua atau lebih variabel. Namun karena bab ini hanya membahas tentang regresi linier sederhana, maka hanya dua variabel yang digunakan. Sedangkan sebaliknya jika lebih dari dua variabel yang terlibat maka disebut regresi dan korelasi berganda. Analisa ini akan memberikan hasil apakah antara variabel-variabel yang sedang diteliti atau sedang dianalisis terdapat hubungan, baik saling berhubungan, saling mempengaruhi dan seberapa besar tingkat hubungannya. Pada dasarnya analisis ini menganalisis hubungan dua variabel dimana membutuhkan dua kelompok hasil observasi atau pengukuran sebanyak n ( data ). Data hubungan antara variabel X dan Y berdasarkan pada dua hal yaitu : 1. Penentuan bentuk persamaan yang sesuai guna meramalkan rata-rata Y melalui X atau rata-rata X melalui Y dan menduga kesalahan selisih peramalan. Hal ini menitikberatkan pada observasi variabel tertentu, sedangkan variabel-variabel lain dikonstantir pada berbagai tingkat atau keadaan, hal inilah yang dinamakan Regresi. 2. Pengukuran derajat keeratan antara variabel X dan Y. Derajat ini tergantung pada pola variasi atau interelasi yang bersifat simultan dari variabel X dan Y. Pengukuran ini disebut Korelasi. Hubungan antara variabel X dan Y kemungkinan merupakan hubungan dependen sempurna dan kemugkinan merupakan hubungan independen sempurna. Variabel X dan Y dapat dikatakan berasosiasi atau berkorelasi secara statistik jika terdapat batasan antara dependen dan independen sempurna. Metode analisis ini juga digunakan untuk STATISTIKA 2 Page 96 ATA 12/13

98 mengestimasi atau menduga besarnya suatu variabel yang lain telah diketahui nilainya. Salah satu contoh adalah untuk menganalisis hubungan antara tingkat pendapatan dan tingkat konsumsi. II. Rumusan Regresi Linier Sederhana Persamaan regresi linier sederhana : Y = a + b (X) Dimana : a = konstanta b = koefisien regresi Y = Variabel dependen ( variabel tak bebas ) X = Variabel independen ( variabel bebas ) Untuk mencari rumus a dan b dapat digunakan metode Least Square sbb: a = ΣY b ΣX n b = n ΣXY ΣX. ΣY n ΣX 2 (ΣX) 2 Jika (X) 0 nilai a dan b dapat dicari dengan metode: 1. Metode Least Square a = ΣY b = ΣXY n ΣX 2 STATISTIKA 2 Page 97 ATA 12/13

99 2. Metode setengah rata-rata a = rata-rata K1 ( rata-rata kelompok 1) b = ( rata-rata K2 rata-rata K1) / n n = jarak waktu antara rata-rata K1 dan K2 3. Koefisien Korelasi Untuk mencari koefisien relasi dapat digunakan rumusan koefisien korelasi Pearson yaitu : Keterangan : 1. Jika r = 0 maka tidak ada hubungan antara kedua variabel. 2. Jika r = (-1) maka hubungan sangat kuat dan bersifat tidak searah. 3. Jika r = (+1) maka hubungannya sangat kuat dan bersifat searah. 4. Koefisien Determinasi Koefisien determinasi dilambangkan dengan r 2, merupakan kuadrat dari koefisien korelasi. Koefisien ini dapat digunakan untuk menganalisis apakah variabel yang diduga / diramal (Y) dipengaruhi oleh variabel (X) atau seberapa variabel independen ( bebas ) mempengaruhi variabel dependen ( tak bebas ). 5. Kesalahan Standar Estimasi Untuk mengetahui ketepatan persamaan estimasi dapat digunakan dengan mengukur besar kecilnya kesalahan standar estimasi. Semakin kecil nilai kesalahan standar estimasi maka semakin tinggi ketepatan persamaan estimasi dihasilkan untuk menjelaskan nilai variabel yang sesungguhnya. STATISTIKA 2 Page 98 ATA 12/13

100 Dan sebaliknya, semakin besar nilai kesalahan standar estimasi maka semakin rendah ketepatan persamaan estimasi yang dihasilkan untuk menjelaskan nilai variabel dependen yang sesungguhnya. Kesalahan standar estimasi diberi simbol Se yang dapat ditentukan dengan rumus berikut : III. Langkah-langkah Pengujian Hipotesis a. Tentukan hipotesis nol ( Ho ) dan hipotesis alternatif ( Ha ) Ho : β k Ha : β > k Ho : β k Ha : β < k Ho : β = k Ha : β k b. Tentukan arah uji hipotesis ( 1 arah atau 2 arah ) a. Tentukan tingkat signifikan ( α ) - Jika 1 arah α tidak dibagi dua - Jika 2 arah α dibagi dua ( α / 2 ) c. Tentukan wilayah kritis ( t tabel ) t tabel = ( α ; db ) db = n 2 d. Tentukan nilai hitung ( t hitung ) e. Gambar dan keputusan f. Kesimpulan Gambar : a. Ho : β k ; Ha : β > k b. Ho : β k ; Ha : β < k H o H H H o a a 0 t tabel - t tabel 0 STATISTIKA 2 Page 99 ATA 12/13

101 c. Ho : β = k ; Ha : β k H H H a o a - t tabel 0 t tabel IV. Manfaat Dari Analisis Regresi Sederhana Salah satu kegunaan dari regresi adalah untuk memprediksi atau meramalkan nilai suatu variabel, misalnya kita dapat meramalkan konsumsi masa depan pada tingkat pendapatan tertentu. Selain itu analisis regresi sederhana juga digunakan untuk mengetahui apakah variabel-variabel yang sedang diteliti saling berhubungan. Dimana keadaan satu variabel membutuhkan adanya variabel yang lain dan sejauh mana pengaruhnya, serta dapat mengestimasi tentang nilai suatu variabel. Hal ini dapat digunakan untuk mengetahui kondisi ideal suatu variabel jika variabel yang lain diketahui. V. Contoh Soal : 1. Diketahui hasil dari suatu penelitian terhadap hubungan antara biaya pemasaran dengan tingkat penjualan mobil PT. Alheefa Motor adalah sebagai berikut : Biaya Pemasaran Tingkat Penjualan Mobil a. Tentukan persamaan regresinya? STATISTIKA 2 Page 100 ATA 12/13

102 b. Berapakah besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasinya? c. Berapakah besarnya kesalahan standar estimasinya? d. Dengan tingkat signifikan 5%, ujilah hipotesis yang menyatakan hubungan antara biaya pemasaran dan tingkat penjualan sedikitnya 40%! Dik : α = 5% = 0,05 β = 40% = 0,04 Dit : a) Persamaan regresi! b) r dan r 2! c) Se! d) Ujilah hipotesis! Jawab : a. Menentukan persamaan regresi Langkah 1 : Menentukan variabel X dan variabel Y. Dalam soal ini biaya pemasaran merupakan variabel X dan tingkat penjualan mobil adalah variabel Y. Langkah 2 : Membuat tabel regresi sederhana. Pemasaran Tingkat X 2 Y 2 XY (X) Penjualan (Y) STATISTIKA 2 Page 101 ATA 12/13

103 Langkah 3 : Menentukan koefisien a dan koefisien b. b = n XY X. Y n X 2 ( X) 2 = (4) (689858) (1601) (1707) (4) (673205) (1601) 2 = 0,2046 a = Y b X n (1707) (0,2046) (1601) a = 4 a = 344,8436 Langkah 4 : Menentukan persamaan regresi linear sederhana. Y = a + bx Y = 344, ,2046X STATISTIKA 2 Page 102 ATA 12/13

104 b. Menentukan besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasi Koefisien korelasi : n ( XY) - ( X).( Y) r = [ n( X 2 ) - ( X) 2 ] 1/2. [ n( Y 2 ) - ( Y) 2 ] 1/2 r = (4)(689858) (1601)(1707) [ (4)(673205) (1601) 2 ] 1/2. [ (4)(731129) (1707) 2 ] ½ r = 0,7133 koefisien determinasi : r 2 = (0,7133) 2 = 0,5088 = 50,88% c. Menentukan besarnya kesalahan standar estimasi. ( Y 2 a Y b XY) Se = n 2 (731129) (344,8436)(1707) (0,2046)(689858) Se = 4 2 Se = 25,59 d. Pengujian hipotesis 1. Tentukan Ho dan Ha Ho : β >= 0,4 Ha : β < 0,4 2. Uji hipotesis 1 arah 3. Tingkat signifikan (α) α = 0,05 STATISTIKA 2 Page 103 ATA 12/13

105 4. Wilayah kritis t (α; db) Db = n 2 = 4 2 = 2 t (0,05; 2) = 2, Nilai hitung Sb = Se / (( X 2 ) (( X) 2 / n)) = 25,59 / ((673205) ((1601) 2 / 4)) = 0,1422 T hitung = b / Sb = 0,2046 / 0,1422 = 1,4388 Ha Ho -2,920 1, Keputusan Tolak Ho, terima Ha 7. Kesimpulan Pendapat yang menyatakan bahwa hubungan biaya pemasaran dengan tingkat penjualan mobil sedikitnya 40% adalah salah, dimana biaya pemasaran tidak mempengaruhi tingkat penjualan mobil sebesar 50,88%. STATISTIKA 2 Page 104 ATA 12/13

106 Langkah pengerjaan dengan software R-Commander : 1. Tekan icon R pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar dibawah ini. 2. Pada tampilan Rcommander, pilih menu bar Data, pilih New data set. STATISTIKA 2 Page 105 ATA 12/13

107 3. Pada tampilan New Data Set, Enter name for data set adalah PenjualanMobil, setelah itu akan muncul tampilan Data Editor. Ubah var1 menjadi X dengan type numeric dan var2 menjadi Y dengan type numeric. Isikan data sesuai dengan contoh kasus lalu di-close. STATISTIKA 2 Page 106 ATA 12/13

108 4. Pada tampilan Rcommander, pilih menu bar Statistics, pilih Fit models, lalu pilih Linear regression. STATISTIKA 2 Page 107 ATA 12/13

109 5. Pada tampilan Linear regression, enter name for model-nya adalah PenjualanMobil, Response variable (pick one) : pilih Y, dan Explanatory variables (pick one or more) : pilih X, lalu tekan OK. 6. Maka akan muncul tampilan hasilnya seperti gambar dibawah ini. Hasil P-Value pada output R-Commander juga dapat dijadikan alat pengambilan keputusan, dengan ketentuan sebagai berikut : Jika P-Value < 0,05 maka Ho ditolak Jika P-Value > 0,05 maka Ho diterima STATISTIKA 2 Page 108 ATA 12/13

110 2. Diketahui hasil dari suatu penelitian terhadap hubungan antara biaya iklan dengan tingkat penjualan ponsel adalah sebagai berikut : Biaya Iklan Tingkat Penjualan Ponsel a. Tentukan persamaan regresinya? b. Berapakah besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasinya? c. Berapakah besarnya kesalahan standar estimasinya? d. Dengan tingkat signifikan 10%, ujilah hipotesis yang menyatakan hubungan antara biaya iklan dan tingkat penjualan sedikitnya 40%! Dik : α = 5% = 0,05 β = 40% = 0,04 Dit : a) Persamaan regresi! b) r dan r 2! c) Se! d) Ujilah hipotesis! Jawab : a) Persamaan regresi : Y = 405, ,2508 X b) Koefisien determinasi (R 2 ) : 0,1431 c) Se : 72,9 STATISTIKA 2 Page 109 ATA 12/13

111 d) Langkah pengujian hipotesis : 1. Tentukan Ho dan Ha Ho : β >= 0,4 Ha : β < 0,4 2. Uji hipotesis 1 arah 3. Tingkat signifikan (α) α = 0,05 4. Wilayah kritis t (α; db) Db = n 2 = 4 2 = 2 t (0,05; 2) = 2, Nilai hitung T value : 0,578 Ha Ho -2,920 0, Keputusan Terima Ho, tolak Ha 7. Kesimpulan Pendapat yang menyatakan bahwa hubungan biaya iklan dengan tingkat penjualan ponsel sedikitnya 40% adalah benar, dimana biaya iklan mempengaruhi tingkat penjualan ponsel sebesar 14,31%. STATISTIKA 2 Page 110 ATA 12/13

112 Langkah pengerjaan dengan software R-Commander : 1. Tekan icon R pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar dibawah ini. 2. Pada tampilan Rcommander, pilih menu bar Data, pilih New data set. STATISTIKA 2 Page 111 ATA 12/13

113 3. Pada tampilan New Data Set, Enter name for data set adalah PenjualanPonsel, setelah itu akan muncul tampilan Data Editor. Ubah var1 menjadi X dengan type numeric dan var2 menjadi Y dengan type numeric. Isikan data sesuai dengan contoh kasus lalu di-close. STATISTIKA 2 Page 112 ATA 12/13

114 4. Pada tampilan Rcommander, pilih menu bar Statistics, pilih Fit models, lalu pilih Linear regression. 5. Pada tampilan Linear regression, enter name for model-nya adalah PenjualanPonsel, Response variable (pick one) : pilih Y, dan Explanatory variables (pick one or more) : pilih X, lalu tekan OK. STATISTIKA 2 Page 113 ATA 12/13