Analisis Kombinatorial

Transkripsi

1 28 Februari 2017 Chandra Novtiar PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

2 Garis Besar Pembahasan

3 Sub Pokok Pembahasan 3 1. Aturan Perkalian 2. Notasi Faktorial 3. Permutasi 4. Kombinasi 5. Ekspansi Binomial

4 Sub Pokok Pembahasan 3 1. Aturan Perkalian 2. Notasi Faktorial 3. Permutasi 4. Kombinasi 5. Ekspansi Binomial

5 Aturan Perkalian Secara Khusus Definisi Jika suatu proses terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n 1 cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n 2 cara, maka proses itu kesseluruhannya dapat dilakukan dalam n 1 xn 2 cara. 4

6 Aturan Perkalian Secara Khusus Definisi Jika suatu proses terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n 1 cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n 2 cara, maka proses itu kesseluruhannya dapat dilakukan dalam n 1 xn 2 cara. Contoh Sekelompok wisatawan akan melakukan perjalanan ke kota wisata A, B, dan C. Para wisatawan tersebut dapat mencapai kota-kota tersebut melalui tiga jenis pengangkutan kota yaitu kereta api, bus dan pesawat terbang. Berapakah cara para wisatawan melakukan perjalanan wisata tersebut? 4

7 Aturan Perkalian Secara Khusus Penyelesaian Proses pada soal ini adalah perjalanan wisatawan ke kota wisata. Tahap pertama disini adalah kota wisata yang dituju yaitu A, B, dan C, sehingga n 1 = 3. Tahap kedua berupa pengangkutan kota yang digunakan untuk perjalanan ke kota wisata tersebut yaitu kereta api, bus, dan pesawat terbang, sehingga n 2 = 3 Oleh karena itu, oara wisatawan dapat menuju kota wisata dalam n 1 xn 2 = 3x3 = 9 cara 5

8 Aturan Perkalian Secara Khusus Diagram Pohon 6

9 Aturan Perkalian Secara Khusus Diagram Pohon 6

10 Aturan Perkalian Secara Umum Definisi Jika suatu proses terdiri dari k tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n 1 cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n 2 cara, dengan masing-masing cara ini tahap ketiga dapat dilakukan dalam n 3 cara dan seterusnya sampai tahap ke-k dapat dilakukan dalam n k cara, maka proses itu kesseluruhannya dapat dilakukan dalam n 1 xn 2 xn 3 x xn k cara. 7

11 Aturan Perkalian Secara Umum Latihan 1 Sebuah rumah makan menyediakan menu makanan pagi yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan minum. Nasi terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng. Telur terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus. Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo. Minum terdiri dari air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh. Berapa banyak susunan menu makanan pagi yang bisa dihidangkan? 8

12 Aturan Perkalian Secara Umum Latihan 1 Sebuah rumah makan menyediakan menu makanan pagi yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan minum. Nasi terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng. Telur terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus. Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo. Minum terdiri dari air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh. Berapa banyak susunan menu makanan pagi yang bisa dihidangkan? 8 Penyelesaian

13 Aturan Perkalian Secara Umum Latihan 2 Misalkan ada enam buah angka yaitu 2, 3, 5, 6, 7, 9. Kemudian, dari angka-angka tersebut dibentuk sebuah bilangan yang terdiri atas tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali saja. Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bernilai paling besar 500? Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bilangannya ganjil? 9

14 Aturan Perkalian Secara Umum Latihan 2 Misalkan ada enam buah angka yaitu 2, 3, 5, 6, 7, 9. Kemudian, dari angka-angka tersebut dibentuk sebuah bilangan yang terdiri atas tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali saja. Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bernilai paling besar 500? Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bilangannya ganjil? 9 Penyelesaian

15 Notasi Faktorial Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka perkalian bilangan bulat dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial atau dapat dinotasikan dengan n! atau dapat dituliskan sebagai n! = 1x2x3x x(n 3)x(n 2)x(n 1)xn atau n! = nx(n 1)x(n 2)x(n 3)x x3x2x1 dan 0! = 1 10

16 Notasi Faktorial Contoh Soal Hitunglah 6! 7! 5! 11

17 Notasi Faktorial Contoh Soal Hitunglah 6! 7! 5! Penyelesaian 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 7! 5! = 7x6x5x4x3x2x1 5x4x3x2x1 = 7x6 = 42 11

18 Permutasi Definisi Permutasi adalah susunan dari sekumpulan objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan 12

19 Permutasi Jenis Permutasi Permutasi tanpa Pengulangan Semua objek dibentuk : P n n = P(n, n) = n! Sebagian objek dibentuk : P n k = P(k, n) = n! (n k)! Permutasi dengan Pengulangan Jika kita memiliki n objek, dengan n 1 adalah banyak objek pertama yang sama, n 2 adalah banyak objek kedua yang sama,, n k adalah banyak objek ke k yang sama, maka banyak permutasi yang dapat dibentuk adalah n! n 1! n 2! n 3! n k! Permutasi Melingkar (Siklis) : (n-1)! Permutasi dengan sampel yang diurutkan Dengan pengembalian : nxnxnx xn = n r Tanpa pengembalian : nx(n 1)x(n 2)x x(n (r 1)) = n! (n r)! 13

20 Kombinasi Definisi Kombinasi adalah susunan dari sekumpulan objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi k dari n disimbolkan dengan C n k dengan C n k = C(k, n) = n! k!(n k)! 14

21 Ekspansi Binomial Rumus Ekspansi Binomial Newton dengan n bilangan bulat positif. (x + y) n = n k=0 C n k x n k y k 15

22 Ekspansi Binomial Rumus Ekspansi Binomial Newton dengan n bilangan bulat positif. Contoh (x + y) n = n k=0 C n k x n k y k Tentukan ekspansi binomial newton dari (x + y) 6 (2x y) 4 15

23 Soal-soal Latihan 1. Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi dan soto, dan apabila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi dan 4 macam soto? 2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial: x156x !(9x10) 2.3 n(n 1)(n 2) 3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)! 4. Sebuah gudang memiliki 7 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar dengan pintu yang berbeda. Berapa macam rute yang dapat ia lalui? 5. Tersedia angka 1, 2, 3, 4, 5, dari angka-angka tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka. Ada berapa banyak susunan angka-angka jika tidak boleh ada angka yang sama? 6. Berapa banyak permutasi dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA? 16

24 Soal-soal Latihan 1. Dalam rapat mahasiswa yang dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa posisi duduk yang dapat terjadi? 2. Dengan berapa cara kita mengambil 3 kartu bridge dari 52 kartu bridge : 2.1 Dengan pengembalian 2.2 Tanpa pengembalian 3. Dari 7 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menjadi pengurus kelas, yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus apabila setiap calon pengurus mempunyai kemungkinan yang sama untuk dipilih dan tidak ada pengurus yang rangkap? 4. Dengan menggunakan ekspansi binomial, hitunglah (3x 2y 2 ) 3 17

25 Daftar Pustaka N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 80. M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill,

26 Terima Kasih Chandra Novtiar