Hendra Gunawan. 11 September 2013

Transkripsi

1 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 01/ September 01

2 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Buktikan bahwa ( 5) 1. (sdh dibahas). Buktikan bahwa. 4. Buktikan kik bh bahwa 4. bh bahas sekarang 9/1/01 () Hendra Gunawan

3 Bukti bahwa 4. Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus menari δ > 0 sehingga: jika 0 < < δ, maka 4 < ε (*) Untuk itu, kita bk bekerja mundur dari bentuk 4. Perhatikan bahwa 4 = + ( +) (+) Jika kita bisa menaksir, maka tugas kita akan mudah. 9/1/01 () Hendra Gunawan

4 Bukti bahwa 4. Karena kita sedang berbiara ttg di sekitar, mari kita asumsikan bahwa < 1. Dalam hal ini, 1 < <, sehingga <. Kembali ke (+), (), kita dapatkan: 4 < 5. Jadi, jika < ε/5, maka 4 < ε. Dengan demikian ada dua hal yang menjamin 4 < ε, yaitu: < 1 dan < ε/5. Karena itu, kita pilih δ = min { 1, ε/5}. Dengan δ ini, dapat diperiksa bahwa (*) benar. 9/1/01 () Hendra Gunawan 4

5 Ilustrasi Limit L+ε L L ε δ +δ 9/1/01 () Hendra Gunawan 5

6 Sasaran Kuliah Hari Ini 1.Teorema Teorema Limit Menggunakan teorema teorema it dalam penghitunganberbagaiit ungsialjabar. 1.4 Limit Fungsi Trigonometri Menghitung berbagai it ungsi trigonometri. 9/1/01 () Hendra Gunawan 6

7 MA1101 MATEMATIKA 1A 1. TEOREMA TEOREMA LIMIT 9/1/01 () Hendra Gunawan 7

8 Teorema Utama Limit Misalkan k konstanta, n є N, dan g ungsi yang mempunyai it di. 1. k k.... k ( ) k ( ). Catatan. Teorema merupakan suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya, dan kemudian dapat digunakan sebagai senjata kita dlm pemeahan masalah terkait. 4. [ ( ) g ( )] ( ) g ( ). 9/1/01 () Hendra Gunawan 8

9 Teorema Utama Limit 5. ( ) g ( ) ( ) g ( ). 6. ( ) / g( ) ( ) / g( ), g( ) [ ( )] n [ ( )] n. 8. n ( ) n ( ), asalkan ( ) 0 untuk n genap. Catatan. Teorema berlaku juga untuk it sepihak (it kanan dan it kiri). 9/1/01 () Hendra Gunawan 9

10 Contoh Penggunaan Teorema Limit 1. ( 5 7) ( ) ( ) 5 1 ( 1) /1/01 () Hendra Gunawan 10

11 Contoh Penggunaan Teorema Limit. Diketahui ( ) dan g ( ) Tentukan ( ) g( ). 11 Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8, ( ) g( ) ( ( )) g( ) 9/1/01 () Hendra Gunawan 11

12 Teorema Substitusi Jika adalah ungsi polinom atau ungsi rasional, maka ( ) ( ) asalkan () terdeinisi. Contoh 1. Contoh. ( ) /1/01 () Hendra Gunawan 1

13 Teorema Apit Misalkan, g, dan h ungsi yang memenuhi () g() h() untuk di sekitar. Jika Maka ( ) h( ) g( ) Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk it sepihak. 9/1/01 () Hendra Gunawan 1 L. L,

14 Contoh Penggunaan Teorema Apit Untuk > 0 di dekat 0, berlaku 1 sin(1/) 1. Bila kita kalikan ketiga ruas dengan, maka.sin(1/). Karena ( ) 0 0 0, 1 sin 0 Dengan ara serupa, 0 maka sin /1/01 () Hendra Gunawan 14 0.

15 Latihan 1. Menggunakan teorema it, hitunglah: 1 a.. ( 4 ) b Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai. 1. Buktikan bahwa os /1/01 () Hendra Gunawan 15

16 MA1101 MATEMATIKA 1A 1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 9/1/01 () Hendra Gunawan 16

17 Limit Fungsi Trigonometri 1. sin sin. os os. tan tan 4. ot ot 5.se se 6. s s 9/1/01 () Hendra Gunawan 17

18 Bukti bahwa P 1 t O B A sin sin Untuk t > 0, berlaku 0< BP < AP. Karena BP = sin t dan AP < t, maka 0 < sin t < t. Dengan Teorema Apit, sin t t0 Serupadengan itu, Jadi sin t 0. t0 0. sin t 0. t0 Dengan ara serupa, dapat dibuktikan os t 1. t0 9/1/01 () Hendra Gunawan 18

19 Bukti bahwa sin sin Untuk menunjukkan bahwa sin t sin, t misalkan k = t sehingga k 0 ketika t. Jadi sin t t sin( k0 k) (sin.os k os.sin k) k0 (sin ).1 (os).0 sin. 9/1/01 () Hendra Gunawan 19

20 Limit Trigonometri Khusus sin t t0 t 1 ost. t0 t Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t 0, berlaku sin t 1 ost. t ost Karena ost 1, maka dengan Teorema Apit t0 kita simpulkan bahwa sin t t t 9/1/01 () Hendra Gunawan 0 0.

21 Latihan sin t 1. Menggunakan akta bahwa 1, t0 hitunglah: t sin( ) a. sin t.ot t b. t os t. Buktikan bahwa 0. t 0 t 9/1/01 () Hendra Gunawan 1