SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA IDDAYATI

Transkripsi

1 SEBARAN ASIMTOTI PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODI DENGAN PERIODE GANDA IDDAYATI SEOAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dega aya meyataka bahwa te Sebara Amtotk Peduga Fug Iteta Proe Poo Perodk dega Perode Gada adalah karya aya dega araha dar kom pembmbg da belum dajuka dalam betuk apa pu kepada pergurua tgg maa pu. Sumber forma yag beraal atau dkutp dar karya yag dterbtka dar peul la telah debutka dalam tek da datumka dalam Daftar Putaka d baga akhr te. Bogor, November 0 Iddayat NIM G

3 ABSTRACT IDDAYATI. Aymptot Dtrbuto of Etmator for the Itety Futo of a Doubly Perod Poo Proe. Superved by I WAYAN MANGU ad SISWANDI. I th maurpt, etmato of the tety futo of a doubly perod Poo proe dued. It aumed that oly a gle realzato of the Poo proe oberved a bouded wdow [0,]. It alo aumed that the perod of the tety futo kow. The rate of otey ad aymptot ormalty of the etmator are formulated. Fally, a ofdee terval for the loal tety futo alo formulated. eyword : doubly perod Poo proe, aymptot ormalty

4 RINGASAN Dalam kehdupa ehar-har bayak feomea yag dapat dmodelka dega proe tokatk. Proe tokatk dbedaka mejad dua yatu proe tokatk dega waktu dkret da proe tokatk dega waktu kotu. Salah atu betuk dar proe tokatk dega waktu kotu adalah proe Poo perodk. Proe Poo perodk adalah uatu proe Poo dega fug teta berupa fug perodk. Fug teta dar proe Poo merupaka laju dar proe Poo terebut. Fug teta dapat dbedaka mejad dua, yatu fug teta global da fug teta lokal. Fug teta global meyataka rata-rata laju dar uatu proe Poo pada uatu terval yag pajagya meuju tak hgga. Sedagka yag dmakud dega fug teta lokal adalah laju proe Poo d uatu ttk tertetu. Pedugaa fug teta lokal dar uatu proe Poo d ttk dlakuka dega meakr rata-rata bayakya kejada proe Poo terebut dalam terval waktu d ektar ttk. Fug teta yag dduga memeuh truktur ebaga berkut : (( l ) l ), [0, T ). Proe Poo dega fug l l Iteta epert d ata damat pada terval [0, ]. Sela tu daumka perode T l dketahu edagka () tdak dketahu. Pada peelta daumka bahwa ampltudo dar fug teta terebut adalah dketahu. Peduga tpe kerel bag kompoe perodk pada 0, adalah ebaga berkut,, dega kotata dketahu utuk etap,,3,...,,, adalah uatu kerel, da h adalah bara blaga potf yag koverge ke ol, yatu h 0 utuk. Dar hal pegkaja yag dlakuka, dega uatu yarat tertetu, dperoleh hal ebaga berkut :. Jka m, maka ˆ,, () koverge dalam peluag ke ol utuk. 5. eormala amtotk bag ˆ,, () : Jka h,, maka h ormal, utuk, dega '' z z dz da z dz.

5 3. eormala amtotk (Studetzato) bag ˆ,, () adalah,, h z dz,, d Normal 0,, jka. 4. Sebaga aplka dar keormala (Studetzato) bag ˆ,, () dapat dperoleh uatu elag keperayaa bag () yag dapat memberka forma ejauh maa ketepata dar pedugaa fug terebut pada uatu ttk. Selag keperayaa yag dperoleh adalah ebaga berkut: I,,,, z dz h,,,,, z h dz, dmaa meyataka fug dtrbu ormal baku da I o, utuk. ata ku : proe Poo perodk gada, ebara amtotk.

6 Hak Cpta mlk Ittut Pertaa Bogor, tahu 0 Hak Cpta dldug Udag-Udag. Dlarag megutp ebaga atau eluruh karya tul tapa meatumka atau meyebutka umber. a. Pegutpa haya utuk kepetga peddka, peelta, peula karya lmah, peyuua lapora, peula krtk, atau tjaua uatu maalah b. Pegutpa tdak merugka kepetga yag wajar Ittut Pertaa Bogor. Dlarag megumumka da memperbayak ebaga atau eluruh karya tul dalam betuk apa pu tapa z Ittut Pertaa Bogor.

7 SEBARAN ASIMTOTI PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODI DENGAN PERIODE GANDA IDDAYATI Te ebaga alah atu yarat utuk memperoleh gelar Magter Sa pada Program Stud Matematka Terapa SEOAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

8 Judul Te : Sebara Amtotk Peduga Fug Iteta Proe Poo Perodk dega Perode Gada Nama : Iddayat NIM : G Detuju om Pembmbg Dr. Ir. I Waya Magku, M. S. Dr. Swad, M.S. Dketahu etua Program Stud Matematka Terapa Deka Sekolah Paaarjaa IPB Dr. Ir. Edar H. Nugraha, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.S. Agr. Taggal Uja : 6 November Taggal ulu :

9 PRAATA Puj da yukur peul uapka kepada Allah SWT ata egala karua- Nya ehgga karya lmah berhal deleaka. Judul yag dplh pada peelta yag dlakaaka ejak bula Deember 00 adalah Sebara Amtotk Peduga Fug Iteta Proe Poo Perodk dega Perode Gada. Terma kah peul uapka kepada Dr. Ir. I Waya Magku, M.S da Dr. Swad, M.S mag-mag elaku ketua da aggota om Pembmbg, erta Dr. Ir. Had Sumaro elaku peguj luar om yag telah bayak memberka ara. Uapa terma kah juga peul dampaka pada Departeme Agama Republk Idoea yag telah memberka beawa. Ugkapa terma kah dampaka kepada tema-tema, erta emua phak yag telah membatu peul, yag tdak ba peul ebutka atu peratu. Ugkapa terma kah juga terutama dampaka kepada orag tua da eluruh keluarga, ata egala doa da kah ayagya. Semoga karya lmah bermafaat. Bogor, November 0 Iddayat

10

11 RIWAYAT HIDUP Peul dlahrka d Pekabaru pada taggal 8 Februar 983 dar ayah Zulftr da bu Marda. Peul merupaka putr kedua dar empat beraudara. Tahu 00 peul lulu dar MAN Pekabaru, da pada Tahu 005 lulu pada peddka arjaa pertama jurua Peddka Matematka Fakulta Tarbyah Uverta Ilam Neger Sulta Syarf am Rau. Tahu 006 peul mejad taf pegajar d MA Muhammadyah Pekabaru. Pada tahu 009 peul lulu elek mauk Program Magter Program Stud Matematka Terapa d Ittut Pertaa Bogor melalu jalur Beawa Utua Daerah Departeme Agama Republk Idoea.

12 DAFTAR ISI. PENDAHUUAN. atar Belakag. Tujua Peelta. TINJAUAN PUSTAA. Proe Poo Perodk Pedugaa Fug Iteta Proe Poo Perodk 6 3. REVIEW SIFAT SIFAT STATISTI PENDUGA TIPE ERNE BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODI DENGAN PERIODE GANDA 3. Perumua Peduga Sfat-fat Stattk,, () SEBARAN ASIMTOTI 4. aju ekotea Peduga Sebara Amtotk dar,, eormala Amtotk (Studetzato) dar,, Selag eperayaa bag ESIMPUAN DAN SARAN 5. empula 9 5. Sara. 30 DAFTAR PUSTAA. 3 AMPIRAN.. 33

13 BAB I PENDAHUUAN.3 atar Belakag Dalam kehdupa ehar-har bayak feomea yag dapat dmodelka dega proe tokatk. Pada proe tokatk kta tdak ba megetahu eara pat megea perlaku kejada pada waktu yag aka datag. Proe tokatk mempuya peraa yag ukup petg karea bayak feomea dalam kehdupa ehar-har yag dapat djelaka dega megguaka proe tokatk. Cotoh pegguaa proe tokatk atara la : memodelka proe kedataga pelagga pada uatu puat pelayaa, memodelka proe atra aabah d uatu bak, model waktu tuggu ejak memberka pertah komputer hgga d ekeku da la ebagaya. Proe tokatk dapat dklafkaka ke dalam dua klafka, yatu proe tokatk dega waktu dkret da proe tokatk dega waktu kotu. Salah atu betuk khuu dar proe tokatk dega waktu kotu adalah proe Poo perodk. Proe Poo perodk adalah uatu proe Poo tak homoge dega fug teta berupa fug perodk. Fug teta uatu proe Poo perodk merupaka laju dar proe Poo terebut. Sebaga otoh, fug teta proe Poo telah dguaka pada pemodela laju tumpaha myak d aut Utara Belada (Helmer 995). Dalam otoh la utuk meghtug bearya klam peerta aura akbat terjadya beaa alam epert bajr, ag topa maka dapat dmodelka dega uatu proe Poo perodk dega perode tuggal. Tetap jka beaa alam terebut mempuya keederuga terjad berulag etap tahu dalam jagka waktu tertetu dega teta yag berbeda, maka model yag lebh tepat adalah proe Poo perodk dega perode gada (Helmer et al 007). Peerapa pemodela tokatk dar uatu feomea fug teta dar proe umumya tdak dketahu. Sehgga dperluka uatu metode utuk meduga fug terebut. Pada peelta terdahulu, telah dtelt tetag peduga oparametrk bag fug teta proe Poo perodk dega perode gada (Helmer et

14 al (007), Martalea (009)). Pada peelta dkaj tetag ebara amtotk peduga fug teta terebut..4 Tujua Peelta Tujua peelta adalah () Mempelajar perumua peduga dar fug teta uatu proe Poo perodk dega perode gada megguaka fug kerel umum. () Merevew pedekata amtotk dar ba da ragam peduga (3) Megkaj pedekata amtotk dar ba da ragam peduga. (4) Meetuka ebara amtotk peduga.

15 3 BAB II TINJAUAN PUSTAA. Proe Poo Perodk Def. (Proe tokatk) Proe tokatk X = {X(t), t T} adalah uatu hmpua dar peubah aak yag memetaka uatu ruag otoh ke uatu ruag tate S. (Ro 007) Dapat dla X(t) adalah uatu peubah aak, dega t adalah eleme dar T yag erg kta terpretaka ebaga atua waktu (walaupu tdak haru merupaka waktu). X(t) dapat dbaa ebaga tate (keadaa) dar uatu proe pada waktu t. Dalam hal, uatu ruag tate S dapat berupa hmpua blaga real atau hmpua bagaya. Def. (Proe tokatk dega waktu kotu) Suatu proe tokatk {X(t), t T} debut proe tokatk dega waktu kotu jka T merupaka uatu terval. (Ro 007) Def.3 (Ikreme beba) Suatu proe tokatk dega waktu kotu {X(t), t T} debut memlk kreme beba jka utuk emua t 0 < t < t <... < t, peubah aak X(t ) X(t 0 ), X(t ) X(t ), X(t 3 ) X(t ),..., X(t ) X(t ), adalah alg beba. (Ro 007) Dega demka dapat dkataka bahwa uatu proe tokatk dega waktu kotu X debut memlk kreme beba jka proe berubahya la pada terval waktu yag tdak alg tumpag tdh (tdak overlap) adalah alg beba.

16 4 Def.4 (Ikreme taoer) Suatu proe tokatk dega waktu kotu {X(t), t T} debut memlk kreme taoer jka X(t + ) X(t) memlk ebara yag ama utuk emua la t. (Ro 007) Dapat kta kataka bahwa uatu proe tokatk dega waktu kotu X adalah aka mempuya kreme taoer jka ebara dar perubaha la pada atara embarag uatu terval tu haya tergatug pada pajag terval terebut da tdak tergatug pada loka dmaa terval terebut terletak. Salah atu betuk khuu dar proe tokatk dega waktu kotu adalah proe Poo. Pada proe Poo, keual dyataka eara khuu, daggap bahwa hmpua dek T adalah terval blaga real tak egatf, yatu terval [0, ). Def.5 (Proe peaaha) Suatu proe tokatk {N(t), t > 0} debut proe peaaha jka N(t) meyataka bayakya kejada yag telah terjad ampa waktu t. Dar def terebut, maka proe peaaha N(t) haru memeuh yarat-yarat ebaga berku: (). N(t) 0 utuk etap t [0, ). (). Nla N(t) adalah teger. (3). Jka < t maka N() N(t),, t [0, ). (4). Utuk < t maka N(t) - N(), ama dega bayakya kejada yag terjad pada terval (,t]. Def.6 (Proe Poo) (Ro 007) Suatu proe peaaha { N(t), t 0 } debut proe Poo dega laju, > 0, jka dpeuh tga yarat berkut: (). N(0) = 0 (). Proe terebut mempuya kreme beba.

17 5 (3). Bayakya kejada pada embarag terval waktu dega pajag t, memlk ebara Poo dega la harapa t. Jad Dar yarat (3) dapat dlhat bahwa proe Poo memlk kreme taoer. Dar yarat juga dapat dketahu bahwa: E(N(t)) = t yag mejelaka megapa debut ebaga laju dar proe Poo terebut. Def.7 (Proe Poo homoge) Proe Poo homoge adalah uatu proe Poo dega laju merupaka kotata utuk emua waktu t. yag (Ro, 007) Def.8 (Proe Poo tak homoge) Proe Poo tak homoge adalah proe Poo dega laju pada embarag waktu t yag merupaka uatu fug tak kota dar waktu t yatu (t). (Ro, 007) Def.9 (Fug perodk) Suatu fug debut perodk jka: ( + k ) = (), utuk emua da k, dega adalah hmpua blaga bulat. otata terkel yag memeuh peramaa d ata debut perode dar fug teta terebut. (Browder, 996) Fug Iteta Def.0 (Fug teta) aju dar uatu proe Poo tak homoge {N(t), t 0} yatu debut ebaga fug teta proe Poo pada t. (Ro, 007)

18 6 Def. (Iteta lokal) Iteta lokal dar uatu proe Poo tak homoge N dega fug teta pada ttk adalah (), yatu la fug d. Def. (Fug teta global) Malka N([0,]) adalah proe Poo pada terval [0,]. Fug teta global dar proe Poo ddefka ebaga: jka lmt d ata ada. Def.3 (Proe Poo perodk) (Magku, 00) Proe Poo perodk adalah uatu proe Poo yag fug tetaya adalah fug perodk. Def.4 (Proe Poo perode gada) (Magku, 00) Proe Poo perode gada adalah uatu proe Poo yag fug tetaya adalah fug perodk dega perode gada.. Pedugaa Fug Iteta Proe Poo Perodk (Helmer et al. 007) Ada dua je laju proe Poo atau yag lebh dkeal dega fug teta uatu proe Poo yatu fug teta global da fug teta lokal. Fug teta global meyataka rata-rata laju dar uatu proe Poo pada uatu terval yag pajagya meuju tak hgga. Sedagka yag dmakud dega fug teta lokal adalah laju proe Poo d uatu ttk tertetu malka d ttk. Pedugaa fug teta lokal dar uatu proe Poo d ttk yatu dega meakr rata-rata bayakya kejada proe Poo terebut dalam terval waktu d ektar ttk. Seara matemat dapat dtulka ebaga berkut. Malka h adalah bara blaga real potf dega fat h 0, utuk da N([0,t]) meyataka bayakya kejada yag terjad pada terval waktu [0,t]. Iteta lokal d ektar dapat dhampr dega

19 7 Pedugaa fug teta uatu proe Poo perodk dapat dbedaka berdaarka perodeya, yatu proe Poo dega perode yag dketahu da perode yag tdak dketahu. Pada kau dega perode yag tdak dketahu, pedugaa fug tetaya lebh rumt dbadgka dega pedugaa fug teta dega perode yag dketahu. Namu demka, Helmer et al (003) telah merumuka pedekata dega tpe kerel yag dapat dguaka utuk mejelaka fat-fat tattk dar peduga fug teta proe Poo perodk terebut. Selajutya Helmer da Magku (009) megembagka pemodela utuk feomea proe Poo perodk dega meambahka tre lear, erta proe Poo dega perode gada pada fug tetaya Helmer et al (007). Pada Magku (006) telah dkaj fat ormalta amtotk peduga tpe kerel utuk fug teta uatu proe Poo perodk dega megaumka bahwa perodeya dketahu. Pedugaa oparametk fug teta proe Poo perodk dega perode gada dega megguaka fug kerel umum telah dbaha pada Martalea (009).

20 8

21 9 BAB III REVIEW SIFAT- SIFAT STATISTI PENDUGAAN TIPE ERNE BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODI DENGAN PERIODE GANDA 3. Perumua Peduga Malka adalah proe Poo yag damat pada terval [0,] dega fug teta yag tdak dketahu. Fug daumka tertegralka lokal erta merupaka fug perodk dega perode T. Dega demka fug teta memeuh peramaa, dega da dega adalah hmpua blaga bulat. Malka pula utuk etap, dapat dtul ebaga berkut: ; jka 0 ; jka T ; jka l l (( l ) l ) (3.) dega I =, da adalah fug perodk dega perode da,. adalah kotata potf yag dketahu. Pada bahaa d aumka dketahu,utuk emua l,,3,...,. Tapa megurag keumuma, kta dapat megaumka. Sebab dega. Oleh karea tu kta aumka

22 0 Dalam bahaa tdak daumka uatu betuk parametrk dar bahwa adalah perodk dega perode yatu peramaa keual (3.) berlaku utuk etap. Malka utuk uatu kta haya memlk ebuah reala dar proe Poo N yag terdef pada uatu ruag peluag ( ) dega fug teta epert (3.) yag damat pada terval terbata [0, ]. ta aumka bahwa merupaka ttk ebeque dar jad berlaku :. (3.3) Syarat ukup agar merupaka ttk ebeque dar adalah fug kotu d. area adalah fug perodk dega perode T = (dketahu) maka utuk meduga pada dapat dreduk mejad maalah meduga pada. Malka merupaka fug berla real, yag debut fug kerel yag memeuh fat-fat berkut : (.) merupaka fug kepekata peluag (.) terbata (.3) memlk daerah def [-,] ( Helmer et.al 003, 005). Malka h adalah bara blaga real potf yag koverge ke 0, yatu h 0 (3.4) jka Dega ota d ata, kta dapat memformulaka peduga utuk ebaga berkut : pada ttk,, x j h h j 0 N dx, (3.5)

23 Sedagka peduga fug tetaya adalah ˆ,, () ; jka 0 ˆ ˆ,, () ; jka, () ˆ ( ) ; jka( ) T l l,, ˆ,, ( ) (( l ) l ). Ide d balk peyuua dar peduga tpe kerel,, dar dapat djelaka ebaga berkut : Dar (3.) da (3.) utuk etap ttk da maka Nla fug d ektar ttk dapat dtakr dega la rataa dar bayakya kejada dektar ttk, yatu pada terval [ ], erta dega megguaka (3.4) da (3.6) dapat dtul, Dega meggat tokatkya dtul : dega padaa, peramaa (3.7) dapat, j N([ j h, j h ]) h I [,] ([ j h, j h ]) N ( dx ) h j 0 x j j 0 h h N dx dega =. (3.8) Agar peduga lebh umum, maka dguaka fug kerel umum.

24 3. Sfat-fat Stattk,, Teorema 3. (Aprokma amtotk bag la harapa peduga) Malka dketahu fug teta epert (3.) da tertegralka lokal. Jka kerel memeuh kod (.), (.), (.3) da ; erta memlk turua kedua yag berla berhgga d ektar, maka " E,, h z z dz oh, utuk. Bukt : Dar peramaa (3.5) maka,, Dega meggat varabel, malka, ehgga peramaa (3.0) dapat dtul mejad

25 3 Dega melhat bahwa akbatya dperoleh,, area memlk turua kedua pada maka kotu pada, megakbatka memlk la yag terbata dektar. dega formula Youg kta peroleh ' " y y y o h!!, 3.4 ' " y y o h, utuk. (3.5)!! Subttuka (3.5) ke (3.3) ehgga dperoleh y ' " o y y o h dy. h h!! (3.6) Dega meggat varabel yatu mal: z y, dz h dtul dy, maka (3.6) dapat h ' " zh z h z o h dz o!! " z dz ' h z z dz h z z dz o h o, 3.7 utuk.

26 4 area adalah metrk da memeuh kod (.) da (.3) maka (3.7) dapat dtul " h z z dz o h o " h h z z dz o h o h, utuk. area h, maka rua kaa peramaa d ata dapat dtul mejad " h z z dz o h utuk. (3.8) Dega demka kta peroleh peramaa (3.9). jad Teorema 3. terbukt. Teorema 3. (Aprokma amtotk bag la ragam peduga) Malka dketahu fug teta epert (3.) da tertegralka lokal. Jka kerel memeuh kod (.), (.), (.3) da ;, maka,, utuk Bukt x j Var(,, ) Var N dx. 3.0 h h j 0 Utuk yag ukup bear, karea utuk, maka terval [ ] da [ ], utuk tdak alg tumpag tdh (tdak overlap). Sehgga utuk emua, x j h da x j h adalah beba. Jad vara bag dapat dtetuka ebaga berkut

27 5 x j Var(,, ) Var N dx. 3. h h j 0 area N adalah proe Poo, maka Var(N) = E(N) ehgga rua kaa peramaa (3.) dapat dtul x j h j h 0 x j j h 0 h E N dx x dx (3.) Dega meggat varabel, malka y = x ( + j ), dy = dx maka (3.) dapat dtul j h j h y y y j dy h j Ι y j 0, dy h Ι 0,. Ι y j 0, dy. (3.3) y h y Dega (3.), maka (3.3) dapat dtulka mejad h y h y h h y O() dy O( ) d y h y (3.4) area adalah ttk ebeque dar da kerel terbata maka utuk h h y y dy o h h ehgga rua kaa (3.4) adalah (), O() o o h h utuk, (3.5)

28 6 Selajutya kta perhatka uku kedua (3.4). Dega meggat varabel da karea fug kerel memeuh (.3) maka uku kedua (3.4) dapat dtulka mejad h h O() () z dz O h h utuk () z dz () z dz h () z dz O h O h, 3.6 Dega meubttuka (3.5) da (3.6) ke (3.4), maka dperoleh ˆ Var(,, ( )) o ( z) dz O h h h h utuk. Sehgga Teorema (3.) terbukt. ( z) dz o h Corollary 3. (Aprokma amtotk bag MSE peduga) Malka dketahu fug teta, 3.7 epert (3.) da tertegralka lokal. Jka kerel memeuh kod (.), (.), (.3) da ; maka memlk turua kedua yag berla berhgga d ektar, maka MSE,, ( z) dz h utuk. Bukt : Berdaarka def MSE maka 4 '' 4 4 z ( z) dz h o o h h, 3.8 MSE,, Ba,, Var,,, 3.9 dega Ba,, E,, -.

29 7 Dega megguaka Teorema 3. da Teorema 3. maka dperoleh " Ba,, h z z dz o h da Var(,, ) ( z) dz o. h h Sehgga dperoleh " MSE,, h z z dz o h utuk 3. terbukt. 4 () z dz o h h h () z dz " 4 4 z z dz h o o h h. Dega demka kta peroleh peramaa (3.8). Jad Corollary,

30 8

31 9 BAB IV SEBARAN ASIMTOTI 4. aju ekotea Peduga Teorema 4. (aju kekotea ˆ,, () ) Malka fug teta memeuh (3.) da tertegralka lokal. Jka kerel memeuh fat (), (), (3), h utuk 0 maka utuk emua m, berlaku ( ˆ p ( ) ( )) 0, (4.),, utuk. Dega kata la ˆ,, () merupaka peduga kote bag () dega laju. Bukt : Utuk membuktka Teorema 4. dperluka Teorema 3. (Aprokma amtotk bag la harapa) da Teorema 3. (Aprokma amtotk bag ragam). Utuk membuktka (4.), aka dperlhatka bahwa utuk 0, ˆ ( ) ( ) 0, (4.),, utuk. Sebelumya, kta uraka dahulu ˆ ( ) ( ),, dar (4.), yatu ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ).,,,,,,,, (4.3) Berdaarka ketakamaa egtga, yatu ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ), (4.4),,,,,,,, maka rua kaa peramaa (4.3) mejad ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ),,,,,,

32 0 ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ). (4.5),,,,,, Berdaarka Teorema 3., yatu ˆ () (,, ( )) ( ) h x x dx o h, (4.6) utuk. Utuk h da 0 maka rua kaa peramaa (4.6) mejad ( ) ( ) O, jka. (4.7) Dar (4.7), dperoleh ˆ ( ) ( ) ( ),, O. (4.8) jka. Berdaarka peramaa (4.8), dperoleh ˆ ( ) ( ) ( ),, O O (), utuk. (4.9) Berdaarka (4.9) da utuk, dperoleh ˆ ( ) ( ) 0,,, utuk. Maka utuk 0, ada N agar utuk N, ˆ ( ) ( ),,. (4.0) Berdaarka (4.), dperoleh bahwa rua kaa peramaa (4.3) mejad ˆ ˆ ˆ ˆ,, ( ),, ( ),, ( ),, ( ). (4.) Sehgga dar peramaa (4.) da (4.) dperoleh bahwa ˆ ˆ ˆ,, ( ) ( ),, ( ),, ( ). Jad utuk membuktka (4.) ukup dtujukka ˆ ˆ,, ( ),, ( ) 0, jka. Dega ketakamaa Chebyhev, dapat dperoleh ˆ ( ) ˆ ( ) 4 Var( ˆ ( )),,,,,,.

33 Dar Teorema 3. dapat dtul Var( ˆ ( )),, h z dz z dz h z dz. Yag dapat dederhaaka mejad karea ˆ,,,, maka Var( ˆ ( )),, z dz 0 ehgga ( ) ˆ ( ) 0. Dega demka Teorema 4. terbukt. 4. Sebara Amtotk dar,, Teorema 4. (Normalta Amtotk utuk,, ) Adaka fug teta λ adalah perodk (dega perode τ) da tertegralka lokal. Malka kerel metrk da memeuh kod (.), (.), (.3) ; da, utuk. () () Jka h, utuk, maka 5,, h utuk Jka, dega () z dz 5 ormal, (4.) '' z z h 0, utuk, maka,, h. dz da ormal 0,. (4.3) Bukt : Rua kr peryataa (4.) da peryataa (4.3) dapat dtul mejad h,,,, h,,. (4.4)

34 area tu, utuk membuktka teorema ukup dtujukka h,,,, ormal 0, (4.5) utuk, jka h 5, maka '' h,, z z dz, (4.6) utuk ; da jka h 5 0, maka h,, 0, (4.7) utuk. Rua kr peryataa (4.5) dapat dtul h Var,,,,,, Var,, Maka utuk membuktka (4.5), ukup perka,,,, Var,,. (4.8) ormal 0,, (4.9) da h Var,, z dz jka. (4.0) Utuk membuktka (4.9) kta perhatka betuk berkut. Malka 0,,... x j Y, j N dx h 0. area h 0 jka, maka utuk yag ukup bear, terval j h j h da k h, k h tdak berpotoga, utuk emua j k. I bermplka, utuk emua j k, peubah aak Y, j da Y alg beba. ebh lajut lag Y,, j 0,,... adalah bara peubah aak k, j yag..d, yag mempuya la harapa

35 3 da ragam x j Y, j x dx h 0 Var Y, j x dx h 0 yag berhgga. x j area tu, ba kta tul peduga,, ebaga,, Y, j h 0 j 0, yag merupaka jumlah peubah aak yag..d dkalka uatu kotata. Selajutya dega teorema lmt puat kta peroleh (4.9). Utuk membuktka (4.0), kta gat bahwa rua kr peryataa (4.0) dapat dtul mejad h Var,,. (4.) Berdaarka Teorema 3. kta dapatka kuatta (4.) ama dega ) dz o = ( z ) dz o ( z jka. Sehgga kta dapatka (4.0). Selajutya dbuktka (4.6) da (4.7). dar Teorema 3.,, h '' 5 5 z z dz h o h (4.) jka. Dar aum h, utuk, kta peroleh (4.6). Juga dar aum 5 h 0, utuk, kta peroleh (4.7). Dega demka Teorema 4. 5 terbukt.

36 4 4.3 eormala Amtotk (Studetzato) dar,, Teorema 4.3 (eormala Amtotk (Studetzato) bag,, Malka fug teta adalah perodk, tertegralka lokal. Jka kerel memeuh kod (.), (.), (.3), ;, h da 5 memlk turua kedua yag berla berhgga d ektar, maka berlaku,, h () z dz,, d Normal 0,, (4.3) jka. Bukt : Utuk membuktka (4.3), ukup dtujukka bahwa,, p, jka (4.4) Utuk membuktka (4.4), ukup dbuktka,, p, atau ama dega membuktka,, p, jka (4.5) Dalam membuktka (4.5), telah dbuktka pada teorema 3. Utuk membuktka (4.5), berdaarka def maka aka dperlhatka utuk etap ε > 0 berlaku,, P ( 0, ut uk. 4.6 Rua kr (4.6) dapat dyataka ebaga berkut : P (,, = P (,, E,, E,,. 4.7 Dega ketakamaa egtga maka, peramaa (4.7) mejad P (,, E,, E,, P (,, E,, E,,. 4.8

37 5 Berdaarka ema 3. yatu E,,, jka maka ada N ehgga E,, utuk emua > N. 4.9 Dega meubttuka (4.9) ke rua kaa (4.8) maka (4.8) mejad,, P E. emuda dega megguaka ketakamaa Chebyev (ema.4 dalam lampra), maka,, 4 var P E,,. Berdaarka ema 3. yatu,,, utuk, maka 4 Var,, 0. Sehgga (4.5) terbukt. 4.4 Selag eperayaa bag Berdaarka Teorema 4.3, yatu keormala amtotk (tudetzato) dar peduga utuk, ebaga aplka dar (4.) dapat drumuka uatu elag keperayaa dega koefe keperayaa - α bag, epert berkut : Corollary 4. (Selag keperayaa bag ) Utuk emua tgkat keperayaa α dega 0 < α <, berdaarka elag keperayaa ormal utuk melalu pedekata peluag α dberka oleh I,,,, () z dz, h,,,, h () z dz,(4.30) dmaa meyataka fug dtrbu ormal baku da

38 6 I o, (4.3) utuk, aalka adalah ttk ebegue bag. Dar elag keperayaa yag telah dperoleh maka dperka kekovergea peluagya meuju α, ebaga berkut : Teorema 4. 4 ekovergea peluag elag keperayaa bag Malka,, adalah peduga tpe kerel bag λ yag ddefka epert pada (3.5), maka berlaku Bukt : I, jka (4.3) Baga rua kr pada (4.7), adalah ebaga berkut : Malka Z adalah peubah aak ormal baku, maka I,,,, h () z dz,, () z dz,,,(4.33) h,, h () z dz,,,, () z dz, h

39 7,, h () z dz,,,, z () dz, h,, h () z dz,,,, () z dz, h h,,,, () z dz. (4.34) Berdaarka Teorema 4.3, maka,, h () z dz,, d Normal 0,, jka. Sehgga rua kaa dar (4.34) koverge ke Z Z Z, jka. Jad Teorema 4.4 terbukt.

40 8

41 9 BAB V ESIMPUAN DAN SARAN 5. ESIMPUAN Utuk meduga fug teta lokal berbetuk, (( l ) l ), [0, T) dar uatu proe yag damat pada l l terval [0, ] ukup dduga la () pada [0, ). Sela tu daumka perode T l dketahu edagka () tdak dketahu. Pada peelta daumka bahwa ampltudo dar fug teta terebut adalah dketahu. Peduga tpe kerel bag kompoe perodk pada 0, adalah ebaga berkut,, dega kotata dketahu utuk etap,,3,...,,, adalah uatu kerel, da h adalah bara blaga potf yag koverge ke ol, yatu h 0 utuk. Dar hal pegkaja yag dlakuka, dega uatu yarat tertetu, dperoleh kempula ebaga berkut :. Jka m, maka ˆ,, () koverge dalam peluag ke ol utuk. 5. eormala amtotk bag ˆ,, () adalah : Jka h,, h ormal, utuk, dega z dz. '' z z dz da maka

42 30 3. eormala Amtotk (Studetzato) adalah h,,,, z dz d Normal 0,, jka. 4. Sebaga aplka dar keormala (Studetzato) bag ˆ,, () dapat dperoleh uatu elag keperayaa bag () adalah ebaga berkut I,,,, z dz h,,,,, z h dz, dmaa meyataka fug dtrbu ormal baku da I o, utuk dketahu., aalka adalah ttk ebegue bag λ, da perode 5. SARAN Peelta yag telah dlakuka baru membaha tetag meetuka ebara amtotk dar peduga proe Poo perodk dega perode gada utuk kau ampltudo dketahu, ehgga perlu dlakuka peelta lebh lajut utuk ampltudo tdak dketahu

43 3 DAFTAR PUSTAA Browder A Mathematal Aaly : A Itroduto. New York : Sprger. Dudley R.M 989. Real Aaly ad Probablty. Calfora: Wadworth & Brook. Ghahrama S Fudametal of Probablty. 3 rd Edto. New York : Prete hall. Grmmett GR, Strzaker DR. 00. Probablty ad Radom Proee. Seod Edto. Oxford : Claredo Pre Helmer R O etmatg the tety of ol poluto the North Sea. CWI Not BS-N950. Helmer R, Magku I W, Ztk R Cotet etmato of the tety futo of a yl Poo proe. J. Multvarate Aal., 84, Helmer R, Magku I W, Ztk R Stattal properte of a kerel-type etmator of the tety futo of a yl Poo proe. J. Multvarate Aal., 9, -3. Helmer R, Magku I W, Ztk R A oparametr etmator for the doubly perod Poo tety futo. Stattal Methodology 4 : Helmer R, Magku I W Etmatg the tety of a yl Poo proe the preee of lear tred. Aal It. Of Stattal Mathemat. 6 (3), Hogg RV, M ea JW, Crag AT. 005 Itroduto to Mathematal Statt. Ed ke-6. New Jerey : Prete Hall, Upper Saddle Rver. Magku I W. 00 Etmatg The Itety of a Cyl Poo Proe. Uverty of Amterdam, Amterdam. Magku I W Aymptot ormalty of a kerel-type etmator for the tety of a perod Poo proe. Joural of Mathemat ad It Applato, 5, No., 3-. Martalea D Pedugaa Noparametrk bag Fug Iteta Proe Poo Perodk dega Perode Gada. Ittut Pertaa Bogor. Bogor. Purell EJ, Vaberg D alkulu da Geometr Aalt Jld. Ed ke-5 terjemaha. Jakarta : Peerbt Erlagga

44 3 Ro S Itroduto to Probablty Model. 9-th Ed. Florda : Aadem Pre I. Orlado. Serflg RJ Approxmato Theorem of Mathematal Statt. New York : Joh Wley & So. Stewart J. 990 alkulu Jld I. Ed ke-4 terjemaha. Jakarta : Peerbt Erlagga.

45 33 AMPIRAN

46 34

47 35 Beberapa Def Ruag Cotoh ejada da Peluag Suatu perobaa yag dapat dulag dalam kod yag ama, yag halya tdak dapat dpredk dega tepat tetap kta ba megetahu emua kemugka hal yag muul debut perobaa aak. Def. (Ruag otoh da kejada) Hmpua emua hal yag mugk dar uatu perobaa aak debut ruag otoh, da dotaka dega. Hmpua baga dar ruag otoh debut kejada. (Grmmett ad Strzaker 00) Def. (ejada lepa ) ejada A da B debut alg lepa jka ra dar keduaya adalah hmpua koog ( ). (Grmmett ad Strzaker 00) Def.3 (Meda- ) Meda- adalah hmpua yag aggotaya merupaka hmpua baga dar yag memeuh yarat-yarat berkut : () () Jka A maka A. (3) Jka A, A,, maka. Meda- terkel yag megadug emua elag berbetuk ( debut meda Borel, da aggotaya debut hmpua Borel. (Grmmett ad Strzaker 00) Def.4 (Ukura peluag) Ukura peluag P pada ruag ukura ( ) adalah fug P : yag memeuh : () () Jka A,A, adalah hmpua aggota yag alg lepa yatu utuk etap, j dega maka :. Trpel ( ) debut dega ruag peluag. (Grmmett ad Strzaker 00)

48 36 Def.5 (ejada alg beba) ejada A da B dkataka alg beba jka :. Seara umum, hmpua kejada { } dkataka alg beba, jka : utuk etap hmpua baga J dar I. (Grmmett ad Strzaker 00) Peubah Aak da Fug Sebara Def.6 (Peubah aak) Peubah aak adalah uatu fug dega fat bahwa { } utuk etap. (Grmmett ad Strzaker 00) Def.7 (Fug ebara) Fug ebara dar uatu peubah aak X adalah yag ddefka oleh (Grmmett ad Strzaker 00) Def.8 (Peubah aak dkret) Peubah aak X debut dkret jka hmpua emua kemugka la {x, x, } dar peubah aak terebut merupaka hmpua teraah. (Grmmett ad Strzaker 00) Suatu hmpua blaga C debut teraah jka C terdr ata blaga berhgga atau aggota C dapat dkorepodeka - dega blaga bulat potf. Def.9 (Fug maa peluag) Fug maa peluag dar peubah aak dkret X adalah fug yag dberka oleh : p(x) = P (X = x). (Grmmett ad Strzaker 00) Def.0 (Peubah aak Poo) Suatu peubah aak X debut peubah aak Poo dega parameter jka fug kerapata peluagya dberka oleh :, utuk k= 0,,, (Ghahrama 005)

49 37 Nla Harapa, Mome da Ragam Def. (Nla harapa, mome da ragam) Malka X adalah peubah aak dkret dega fug kerapata peluag p(x). Nla harapa dar X, dotaka dega E(X), adalah E(X)= Momem ke-k dega k merupaka blaga bulat potf, dar uatu peubah aak X adalah Malka mome ke- dar x adalah E(X) =. Maka mome puat ke-k atau dar peubah aak X adalah Nla harapa dar peubah aak X merupaka mome pertama dar X. Ragam (varae) dar X, dotaka dega Var (X) atau adalah la harapa dar kuadrat perbedaa atara peubah aak X dega la harapaya yatu : p(x). Ragam merupaka mome ke- dar peubah aak X. ekovergea (Hogg et al. 005) Def. (ekovergea bara blaga yata) Bara ( ) dkataka mempuya lmt da kta tulka atau jka apabla etap terdapat blaga M edemka rupa ehgga jka > M maka ada, kta kataka bara terebut koverge. Jka tdak, kta kataka bara terebut dverge. (Stewart 999) Terdapat beberapa ara utuk megterpretaka peryataa kekovergea bara peubah aak. Def.3 (ekovergea dalam peluag) Malka X, X, X, adalah peubah aak dalam ruag peluag ( ). ta kataka bahwa bara peubah aak X koverge dalam peluag ke X, dotaka. (Grmmet ad Strzaker 00)

50 38 Def.4 (overge dalam rataa ke r) Malka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Bara peubah aak X dkataka koverge dalam rataa ke-r ke peubah aak X, dega r, dtul r X X utuk, jka r X utuk emua r da X X 0 utuk. (Grmmett da Strzaker, 99) Def.5 (overge hampr pat) Malka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Bara peubah aak X dkataka koverge hampr pat ke peubah aak X, dtul a X X, utuk, jka utuk etap ε > 0, lm X X. Dega kata la koverge hampr pat adalah koverge dega peluag atu. (Grmmett da Strzaker, 99) Def.6 (overge dalam ebara) Malka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Bara peubah aak X dkataka koverge dalam ebara ke peubah aak X, dtul d X X, jka P(X x) P(X x) utuk, utuk emua ttk x dmaa fug ebara F X (x) adalah kotu. (Grmmett da Strzaker, 99) Peduga da Sfat-fatya Def.7 (Stattk) Stattk merupaka uatu fug dar atu atau lebh peubah aak yag tdak tergatug pada atu atau beberapa parameter yag tdak dketahu. (Hogg et al. 005)

51 39 Def.8 (Peduga) Malka X,X, X adalah otoh aak. Suatu tattk U(X, X,,X )yag dguaka utuk meduga fug parameter g( ), dkataka ebaga peduga (etmator) bag g( ), dlambagka dega ( ) Blamaa la X =x, X =x, X =x, maka la U(X, X,,X ) debut ebaga dugaa (etmate) bag g( ) (Hogg et al. 005) Def.9 (Peduga tak ba) () Suatu peduga yag la harapaya ama dega parameter, yatu = debut peduga tak ba bag parameter. Jka ebalkya, peduga d ata debut berba. () Jka = maka )debut peduga tak ba amtotk (Hogg et al. 005) Def.0 (Peduga kote) Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter, debut peduga kote bag (Hogg et al. 005) Def. (MSE uatu peduga) Mea Square Error (MSE) dar uatu peduga U bag parameter ddefka ebaga berkut : MSE(U)= E(U g( )) = (Ba (U)) + Var (U), dega Ba(U) = EU - Def. (Fug tertegralka lokal) (Hogg et al. 005) Fug teta adalah tertegralka lokal, jka utuk embarag hmpua Borel terbata B dperoleh

52 40 Def.3 (Ttk ebegue) Ttk dkataka ttk ebegue dar fug jka. (Dudley 989) Def.4 (O(.) da o(.)) Symbol bg-oh da ltle-o merupaka ara membadgka bearya dua fug u(x) da v(x) dega x meuju uatu lmt. () Nota u(x) = O(v(x)), x meyataka bahwa terbata utuk x. () Nota u(x) = o(v(x)), x meyataka bahwa utuk x. (Serflg 980) Dega megguaka def d ata kta peroleh hal berkut () Suatu bara blaga yata debut terbata da dtul utuk emua blaga al. () Suatu bara b yag koverge ke 0, utuk dapat dtul b = o(). (Purel da Varberg 998) ema tek ema. Jka X adalah peubah aak maka utuk embarag kotata a da b berlaku (Ghahrama 005) Bukt Dar Def kta ba meulka bahwa

53 4 = Jad lema. terbukt. ema. (Formula Youg dar Teorema Taylor) Malka g memlk la turua ke- yag terhgga pada uatu ttk x, maka utuk. ema.3 (etakamaa Markov) Jka adalah peubah aak, maka utuk etap t > 0, (Serflg 980) (Ghahrama 005) Bukt: Malka A adalah hmpua la yag mugk dar peubah aak X da, maka Sehgga Jad ema 3 terbukt.

54 4 ema.4 (etakamaa Chebyhev) Jka X adalah peubah aak dega la harapa μ da ragam terbata σ maka ( X t) t utuk etap t 0. (Ghahrama, 005). Bukt : area X 0, dega ketakamaa Markov ( X ) t ( X ) t t. Oleh karea X t adalah eqvale X t, maka ema.4 terbukt. ema.5 (Deret-p) Deret p (debut juga deret-p) koverge jka p >, da dverge jka p. Bukt : lhat Steawart, 999. ema.6 (Teorema mt Puat (CT)) Malka X, X,... adalah bara peubah aak yag..d (depedet ad detally dtrbuted) dega la harapa da ragam. Maka dtrbu dar Z X X... X jka, atau dega kata la d Normal 0,, X X... X lm Z x lm x x e y dy. (Ghahrama 005) Bukt: Utuk membuktka Teorema mt Puat dperluka Teorema ekotua evy, ebaga berkut :

55 43 ema 7 (Teorema ekotua evy) Malka X, X,... adalah bara peubah aak dega mag-mag fug dtrbu F, F,... da fug pembagkt mome M X, M,.... X Malka adalah peubah aak dega fug dtrbu F da fug pembagkt mome MX t. Jka emua la t, MX t koverge ke MX t, maka ttk-ttk dar F yag kotu, F koverge ke F. Bukt Teorema mt Puat: Malka Y X, maka Y 0 da Z X X... X, Var Y utuk koverge ke dtrbu Z., aka dbuktka Jka Y, Y,... berdtrbu detk maka YY,,... mempuya pembagkt mome yag ama, yatu M. Dar kebebaa peubah aak Y, Y,..., Y dperoleh Y Y... Y M Z t exp t M Y Y... Y t t t t MY M... Y M Y M t. (.) Dar Teorema ekotua evy, ukup dbuktka bahwa MZ t koverge ke t exp yag merupaka fug pembagkt mome dar Z. Ekuvale dega meujukka bahwa

56 44 t lm l MZ t (.) Malka h t maka t h ehgga dar peramaa (.) dhalka t t l M h l M Z t l M h l M h, maka h h t l M h lm l MZ t lm. 0 h h (.3) l M h area M 0 da lm h 0 h la tdak tetap, maka utuk meetuka laya dapat dguaka atura Hoptal dua kal, ehgga dperoleh l M h M ' h M h M ' h lm lm lm h 0 h h 0 h h 0 hm h M " h M " 0 lm, h 0 M h hm ' h M 0 Dega M "0 da 0, Y maka dar (.3) dperoleh bahwa t t lm l MZ t. yatu peramaa (.). Jad Teorema terbukt.