PENYELESAIAN PERMASALAHAN OPTIMASI CONSTRAINED NONLINEAR DENGAN PARTICLE SWARM OPTIMIZATION

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERMASALAHAN OPTIMASI CONSTRAINED NONLINEAR DENGAN PARTICLE SWARM OPTIMIZATION Yudh Purwananto Rully Soelaman dan Bambang Santoso. Fakultas Teknolog Informas Insttut Teknolog Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya 60 Indonesa E-mal : rully@s.ts.ac.d Abstraks Partcle Swarm Optmzaton (PSO) merupakan teknk optmas stokastk berbasskan populas yang ternspras oleh tngkah laku sosal kawanan burung atau kan untuk menyelesakan permasalahan-permasalahan optmas. Dalam PSO solus yang mungkn yang dsebut partkel terbang melewat ruang permasalahan dengan mengkut nla optmum partkel pada saat tu. Pada Tugas Akhr n algortma PSO dgunakan untuk menyelesakan constraned nonlnear optmzaton problems (CNOPs). Untuk menyelesakan permasalahan tersebut dgunakan strateg mempertahankan solus-solus yang mungkn untuk memenuh batasan-batasan. PSO dmula dengan sekelompok solus yang mungkn dan sebuah fungs yang dgunakan untuk mengecek apakah solus baru yang ddapat memenuh semua batasan-batasan. Dua belas CNOPs duj dengan algortma PSO. Dar hasl peneltan menunjukkan bahwa PSO merupakan solus yang efektf dan umum dalam menyelesakan sebagan besar permasalahan optmas nonlnear dengan batasan-batasan pertdaksamaan nonlnear. Pada Tugas Akhr n juga dbandngkan antara algortma PSO dengan algortma genetka. Dar hasl peneltan menunjukkan bahwa algortma PSO lebh cepat dan powerful dbandngkan dengan algortma genetka. Hal n dsebabkan algortma PSO mampu mendapatkan nla optmum fungs dengan teras yang jauh lebh sedkt dbandngkan dengan algortma genetka. Kata kunc: partcle swarm optmzaton technque nonlnear programmng evolutonary computaton constraned optmzaton.. Pendahuluan Selama lebh dar satu dekade belakangan n peneltan pentng telah dlakukan pada CNOPs (Constraned Nonlnear Optmzaton Problems). Permasalahan optmas nonlnear sangat kompleks dan tdak dapat dpredks. Sehngga solus determnstk untuk CNOPs sangat tdak mungkn. Hal n memberkan kesempatan berkembangnya algortma evolusoner. Pada tahun-tahun belakangan n beberapa algortma evolusoner telah dusulkan untuk permasalahan optmas nonlnear. Mchalewcz memberkan gambaran dar algortma-algortma tersebut. Pada paper n beberapa pendekatan komputas evolusoner dtelt dan sekumpulan uj kasus optmas numerk dlakukan. Salah satu algortma untuk CNOPs adalah Partcle Swarm Optmzaton (PSO). PSO adalah teknk komputas evolusoner yang dkembangkan oleh Kennedy dan Eberhart. PSO menggunakan teknk perhtungan evolusoner:. PSO dnsalsas dengan sekumpulan solus acak. PSO mencar solus yang optmum dengan memperbaru generas. Perkembangan populas berdasarkan pada generas sebelumnya Dalam PSO solus potensal yatu partkel terbang melewat ruang permasalahan dengan mengkut partkel yang optmal saat n. PSO telah terbukt efektf untuk banyak permasalahan optmas. Banyak peneltan telah dlakukan dalam area n. Namun CNOPs merupakan area baru untuk PSO.. Dasar Teor. Latar Belakang PSO Sekelompok lmuwan telah mencptakan smulas komputer dar berbaga nterpretas pergerakan organsme-organsme d dalam sebuah kawanan burung atau kan. Khususnya Reynolds (Reynolds 987) dan Heppner dan Grenander (Heppner and Grenander 990) yang menggambarkan smulas kawanan burung. Reynolds terkesan dengan kendahan pergerakan kawanan burung dan Heppner seorang ahl lmu hewan tertark dalam menemukan aturan dasar yang memungknkan sejumlah besar burung untuk berkumpul secara serempak serngkal mengubah arah secara tbatba berpencar dan berkumpul kembal. Sebaga ahl soso bolog E.O.Wlson (Wlson 975) menuls dalam referensnya mengena

2 kawanan kan yatu Dalam teor sedktnya anggota ndvdu dalam kawanan tersebut dapat mengambl keuntungan dar penemuan dan pengalaman sebelumnya dar semua anggota lannya dalam kawanan tersebut selama pencaran makanan. Keuntungan n jelas melebh kerugan dar persangan dalam mencar makanan sewaktuwaktu sumber makanan tersebar dalam potongan kecl yang tdak dapat dpredks. Pernyataan n menyatakan bahwa pertukaran nformas sosal d antara ndvdu menawarkan sebuah keuntungan evolusoner. Hpotesa n adalah dasar dar pengembangan Partcle Swarm Optmzaton (PSO).. Algortma PSO Partcle Swarm Optmzaton (PSO) adalah teknk optmas stokastk berbasskan populas yang dkembangkan oleh Dr. Eberhart dan Dr. Kennedy pada tahun 995 yang ternspras oleh tngkah laku sosal kawanan burung atau kan. D dalam PSO setap solus adalah sebuah ttk dalam ruang pencaran dan mungkn dapat danggap sebaga seekor burung. Burung akan menemukan makanannya melalu usahanya sendr dan kerja sama sosal dengan burung-burung lan d sektarnya[8]. Seandanya ada skenaro sepert n: suatu kawanan burung mencar makanan secara acak d sebuah area. Hanya ada satu potong makanan d area pencaran tersebut. Semua burung tdak tahu d mana makanan tersebut. Namun mereka mengetahu seberapa jauh makanan tu pada setap teras. Jad strateg terbak untuk menemukan makanan tu adalah dengan cara mengkut burung yang terdekat dengan makanan tersebut[7]. Setap anggota d dalam kawanan mengadaptas pola pencarannya dengan belajar dar pengalamannya sendr dan pengalaman anggota yang lan. Burung tad drepresentaskan sebaga partkel dalam algortma. Setap partkel merepresentaskan sebuah solus potensal yang berupa sebuah ttk d dalam ruang pencaran. Global optmum danggap sebaga lokas dar makanan[8]. Semua partkel mempunya nla ftness yang devaluas oleh fungs yang doptmas dan juga kecepatan (velocty)[7]. Nla ftness dan kecepatan (velocty) dgunakan untuk mengatur arah terbang sesua dengan pengalaman terbak kawanan untuk mencar global optmum (gbest) d dalam ruang solus D -dmens dengan cara mengkut partkel optmum pada saat tu dan memperbaru generasgenerasnya. Partkel-partkel tersebut terbang melewat ruang permasalahan D -dmens dengan belajar dar pengalaman-pengalaman terbak semua partkel. Oleh karena tu partkel-partkel tersebut mempunya sebuah kecenderungan untuk terbang menuju area pencaran yang lebh bak pada serangkaan pembelajarannya d dalam proses pencaran tersebut[8]. Setap partkel menympan jejak koordnatnya dalam ruang permasalahan yang sehubungan dengan solus terbak (nla ftness) yang telah dcapa sejauh n. Nla ftness juga dsmpan. Koordnat terbak yang dcapa sebuah partkel saat tercapanya nla ftness terbak pada saat tu dsebut sebaga pbest. Sedangkan koordnat terbak yang dcapa partkel mana pun dalam suatu wlayah tetangga d dalam populas (subset of the swarm) partkel dsebut local best (lbest). Pada saat sebuah partkel mengambl semua populas sebaga tetanggaan topologkalnya maka koordnat terbaknya dsebut global best (gbest). Konsep PSO adalah d setap langkah waktunya (teras/generas) mengubah kecepatan (mengakseleras) dar setap partkel menuju lokas pbest dan lbest-nya (untuk varan PSO local verson). Akseleras dpengaruh syarat yang acak dengan dbangktkannya sejumlah angka acak secara terpsah untuk akseleras menuju lokas pbest (dan lbest). Setelah menemukan kedua nla terbak tersebut (pbest dan gbest) partkel kembal lag memperbaru kecepatan (v) dan possnya () [7]. Pembaharuan partkel dselesakan dengan persamaan berkut n. Persamaan (.) menghtung kecepatan baru untuk tap partkel (solus potensal) berdasarkan pada kecepatan sebelumnya ( V d ) lokas partkel dmana nla ftness terbak telah dcapa ( p d atau pbest) dan lokas populas global ( p gd gbest untuk vers global atau p ld lbest untuk vers lokal) atau local neghborhood pada algortma vers lokal dmana nla ftness terbak telah dcapa. Persamaan (.) memperbaru poss tap partkel pada ruang solus. Dua blangan acak c dan c dbangktkan sendr. Penggunaan berat nersa w telah memberkan performa yang menngkat pada sejumlah aplkas. Vd w Vd c rand () ( pd d ) c rand() ( p gd ) (.) d d d V d (.) V d adalah kecepatan partkel d adalah poss partkel saat n (solus). Poss dar setap partkel dperbaru setap generas hal n dengan menambahkan vektor kecepatan ke vektor poss sebagamana persamaan (.) d atas. Sedangkan rand() adalah blangan acak antar 0 s/d. cdan c adalah faktor pembelajaran yang secara berturutturut merepresentaskan sebuah komponen kogntf dan sebuah komponen sosal yang secara berturutturut mempengaruh seberapa besar pbest dan gbest

3 partkel mempengaruh pergerakannya. Basanya c = c = [7]. w adalah berat nersa yang dgunakan untuk menyembangkan antara kemampuan pencaran global dan pencaran lokal. Basanya berat nersa yang bagus adalah kurang sedkt dar satu.. Pengaturan Parameter PSO Ukuran populas PSO dtetapkan 0 agar dapat mempercepat waktu penghtungan. Hal n dkarenakan selama nsalsas semua partkel harus berada pada ruang yang mungkn. Jad nsalsas memerlukan waktu proses yang lebh panjang jka ukuran populas terlalu besar. Bagamanapun juga untuk kasus yang kompleks ukuran populas yang besar lebh drekomendaskan. Dalam PSO tdak banyak parameter-parameter yang perlu datur. Hanya beberapa parameterparameter berkut n yang perlu datur: kecepatan maksmum V ma berat nersa w konstanta pembelajaran kogntf c dan konstanta pembelajaran sosal c. Kecepatan maksmum V ma dtetapkan sesua jarak dnams partkel. Berat nersa w dtetapkan [0.5 + (Rnd/.0)]. Konstanta pembelajaran c dan c dtetapkan Constraned Nonlnear Optmaton Problems (CNOPs) PSO telah terbukt efektf untuk banyak permasalahan optmas. Banyak peneltan telah dlakukan dalam area n. Namun CNOPs merupakan area baru untuk PSO. Constraned Nonlnear Optmzaton Problems dapat ddefnskan sebaga berkut Optmalkan f () Dmana g j ( ) 0 ( ) 0 h j N (... n ) j... p untuk untuk j q... m Ada komponen dasar yatu: kelompok varabel fungs yang doptmas dan kelompok constrant yang mengelompokkan varabel yang mungkn. Tujuannya adalah mencar nla varabel yang mengoptmalkan fungs sekalgus memenuh constrant. Selama beberapa tahun terakhr n beberapa metode dusulkan untuk menangan constrant dengan algortma genetka untuk permasalahan parameter optmas. Metode-metode n dkelompokkan (Mchalewcz and Schoenauer 996) ke dalam empat kategor:. Metode Berdasarkan Pada Mempertahankan Solus-Solus yang Mungkn. Metode Berdasarkan Pada Fungs-Fungs Penalt (Penalty Functons). Metode Berdasarkan Pada Suatu Pencaran Untuk Solus-Solus Yang Mungkn 4. Metode Hbrd Lannya Tabel. Dua Belas Uj Kasus Optmas Constraned Nonlnear Func Dm Type Relatve LI NE NI sze of feasble space G Quadratc 0.0% G K Nonlnear % 0 0 G K Polynomal <0.000% 0 0 G4 5 Quadratc 5.0% G5 4 Cubc <0.000% 0 G6 Cubc % 0 0 G7 0 Quadratc 0.000% 0 5 G8 Nonlnear 0.850% 0 0 G9 7 Polynomal 0.5% G0 8 Lnear 0.000% 0 G Quadratc <0.0000% 0 0 G Quadratc * LI: Lnear Inequaltes NE: Nonlnear Equatons NI: Nonlnear Inequaltes Deskrps dar uj kasus G G untuk permasalahan optmas constraned nonlnear adalah sebaga berkut: Mnmze 4 G( ) Solus: * ( ) G ( * ) 5 Mamze n 4 n cos ( ) cos ( ) G( ) n n n 0.75 n untuk n. Solus: untuk n 0 G( ) Mamze n n G( ) ( n ). n dan 0 untuk n.

4 Solus: (... n )... G( ). n n Mnmze G4( ) untuk 4 5 Solus: * ( ) G4 ( * ) Mnmze G5( ) / sn( 0.5) 000sn( 4 0.5) sn( 0.5) 000 sn( 4 0.5) sn( 4 0.5) 000sn( 4 0.5) * Solus ( ) G5 ( * ) Mnmze G6( ) ( 0) ( 0) ( 5) ( 5) 00 0 ( 6) ( 5) dan Solus: * ( ) G6 ( * ) Mnmze G7( ) 4 6 ( 0 ) 4( 4 5) ( 5 ) ( 6 ) 57 7( 8 ) ( 9 0) ( 0 7) ( ) 4( ) ( ) ( 6) ( 9 8) ( 8) ( 4) Solus: * ( ) G7 ( * ) Mamze sn ( ).sn( ) G8( ).( ) 0 ( 4) dan 0 0. Solus: G8 ( * ) 0.. Mnmze 4 G9( ) ( 0) 5( ) ( 4 ) Solus: * ( ) G9 ( * ) Mnmze G0( ) 0.005( ) ( ) 0 0.0( 8 5 ) Solus: * ( ) G0 ( * )

5 Mnmze G( ) ( ) 0 dmana:. * Solus: ( ) G ( * ) Mamze G( ) (00 ( 5) ( 5) ( 5) ) /00 ( p) ( q) ( r) 0.5 untuk p q r ( ). Solus: * (555) G ( * )..5 The Modfed PSO Algorthm Untuk CNOPs metode PSO yang semula perlu dmodfkas agar memenuh constrants. Beberapa de dar metode penanganan constrants dapat dgunakan. Metode yang palng langsung adalah metode berdasarkan pada mempertahankan solussolus yang mungkn. Untuk mencar optmum dalam ruang yang mungkn tap partkel mencar seluruh ruang tetap hanya menympan jejak solussolus yang mungkn. Dan untuk mempercepat proses n semua partkel dnsalsas sebaga solus-solus yang mungkn. Berkut n adalah algortmanya: FOR setap partkel { DO { Insalsas partkel } Selama partkel berada dalam ruang yang mungkn (memenuh batasan-batasan) } DO { FOR setap partkel { Htung nla ftness IF nla ftness lebh bak darpada nla ftness terbak yang dsmpan (pbest) AND partkel berada dalam ruang yang mungkn SET nla saat n sebaga pbest yang baru } Plh partkel dengan nla ftness terbak d antara semua partkel sebaga gbest FOR tap partkel { Htung kecepatan partkel menggunakan persamaan (.) Perbaru poss partkel menggunakan persamaan (.) } } WHILE teras maksmum/krtera error mnmum belum tercapa Gambar. Pseudo Code Modfed PSO Ada modfkas dbandngkan dengan PSO mulamula:. Selama nsalsas semua pertkel dnsalsas berulang-ulang sampa memenuh semua constrant.. Selama menghtung nla pbest dan gbest hanya poss dalam ruang yang mungkn yang dhtung. Algortma d atas adalah vers global. Untuk vers lokal hanya ada perbedaan. Sebaga gantnya mencar gbest setap partkel mencar nla yang berdekatan terbak (lbest) untuk mengupdate kecepatan yang baru.. Desan Uj Coba Pada tabel ada tga kasus yang memlk batasanbatasan persamaan nonlnear yatu G G5 G. Dalam metode PSO semua solus yang dnsalsas secara acak perlu dtempatkan pada ruang yang mungkn. Jad untuk batasan-batasan persamaan tersebut hampr tdak mungkn untuk membangktkan sekelompok solus yang mungkn secara acak. Ada beberapa teknk untuk mengelmnsas batasan-batasan persamaan tersebut. Salah satunya dengan menggunakan penggantan langsung untuk menghlangkan batasan-batasan tersebut sebaga berkut: Fungs G Mamze n n n G( ) ( n )..( ) n 0 untuk n Fungs G Mnmze G( ) ( ) untuk. Untuk setap fungs dmens dtetapkan sesua dengan permasalahan constraned nonlnear. Ada uj coba yang dlakukan. Uj coba yang pertama ukuran populas sebanyak 0 kecual fungs G (ukuran populas 50) dan jumlah teras sebanyak 00 kecual fungs G7 dan G0 (000 teras). Uj coba yang kedua ukuran populas sebanyak 0 kecual fungs G (ukuran populas 50) dan jumlah teras sebanyak 500 kecual fungs G7 dan G0 (5000 teras). Sedangkan uj coba ketga (khusus untuk fungs G) menggunakan parameter yang berbeda-beda mengena jumlah partkel dan jumlah teras yatu ukuran populas = dan teras untuk masng-masng ukuran populas adalah dan Algortma yang dgunakan adalah algortma PSO vers global. Semua algortma djalankan selama 0 kal untuk mendapatkan hasl akhr dar gbestval tap teras

6 tap fungs nla terburuk (worst) gbestval tap fungs nla terbak (best) gbestval tap fungs dan nla rata-rata (average) gbestval tap fungs. 4. Hasl dan Pembahasan Tabel tabel dan tabel 4 berkut n menunjukkan nla terburuk (worst) gbestval nla terbak (best) gbestval dan nla rata-rata (average) gbestval tap fungs. Tabel menunjukkan hasl PSO pada ekspermen (00 teras) tabel menunjukkan hasl PSO pada ekspermen (500 teras) sedangkan tabel 4 menunjukkan hasl PSO pada ekspermen (fungs G). Tabel 5 menunjukkan perbandngan antara algortma PSO dan algortma genetka dalam mencar nla optmum fungs. Warna merah menunjukkan nla yang lebh bagus d antara kedua algortma. Tabel. Hasl PSO pada ekspermen (Global populas 0 00 teras 0 kal runnng) Uj kasus G djalankan dengan k=0 varabel Func Type Optmum Worst Best Average G* Mn G Ma G4 Mn G5 Mn G6 Mn G7** Mn G8 Ma G9 Mn G0** Mn G Mn G Ma.0 * Ukuran populas 50 ** Iteras maksmum dubah menjad 000 Tabel. Hasl PSO pada ekspermen (Global populas teras 0 kal runnng) Uj kasus G djalankan dengan k=0 varabel Func Type Optmum Worst Best Average G* Mn G Ma G4 Mn G5 Mn G6 Mn G7** Mn G8 Ma G9 Mn G0** Mn G Mn G Ma.0 * Ukuran populas 50 ** Iteras maksmum dubah menjad 5000 Tabel 4. Hasl PSO pada ekspermen (Fungs G) (Nla optmum 0.896) Ukuran Pop Ma teras Worst Best Average Tabel 5. Perbandngan Algortma PSO dan GA Func Type Optmum PSO 500* GA 0000** G Mn G Ma G4 Mn G5 Mn G6 Mn G7**** Mn G8 Ma G9 Mn G0**** Mn G Mn G Ma.0 *** * Hasl dar tabel teras ** Hasl dar Kozel et al.[5] 0000 teras *** Untuk G GA menggunakan 500 teras **** Maksmum teras dubah menjad 5000 Ekspermen (00 teras) Tabel menunjukkan hasl dar ekspermen pertama (00 teras). Tabel n menunjukkan bahwa untuk sebelas uj kasus CNOPs PSO berhasl mendapatkan nla optmum atau mendekat optmum dalam 00 teras kecual untuk kasus G5 yang tdak dapat dselesakan karena persamaan batasan-batasannya. Ekspermen (500 teras) Tabel menunjukkan hasl dar ekspermen kedua (500 teras). Tabel n menunjukkan bahwa untuk sebelas uj kasus CNOPs PSO berhasl mendapatkan nla optmum atau mendekat optmum dalam 500 teras kecual untuk kasus G5 yang tdak dapat dselesakan karena persamaan batasan-batasannya. Pada ekspermen n PSO mendapatkan hasl-hasl yang lebh bak dbandngkan dengan ekspermen kedua. Namun waktu yang dbutuhkan untuk mendapatkan nla optmum fungs lebh lama dbandngkan dengan ekspermen kedua.

7 Ekspermen (fungs G) PSO tdak dapat menemukan nla optmum yang terbak dengan pengaturan sepert pada ekspermen dan. Untuk tu dcoba varas pengaturan jumlah populas dan jumlah maksmum teras yang dgunakan. PSO berhasl mendapatkan nla optmum dengan jumlah populas yang besar. Haslnya dapat dlhat pada tabel 4. Perbandngan Algortma PSO dan GA Tabel 5 adalah perbandngan hasl uj coba terbak dalam 0 eksekus untuk agortma PSO (500 teras) dengan algortma genetka (0000 teras). Tabel n menunjukkan bahwa PSO mendapatkan hasl yang lebh bak atau serupa dengan teras yang jauh lebh sedkt dbandngkan dengan algortma genetka. 5. Kesmpulan Berdasarkan uj coba dan evaluas terhadap perangkat lunak yang dbangun dapat dambl kesmpulan sebaga berkut:. Algortma PSO mampu menyelesakan sebagan besar permasalahan optmas dengan constrant.. Dbandngkan dengan algortma genetka algortma PSO memlk beberapa keunggulan d antaranya: algortma PSO sederhana (tdak banyak parameterparameter yang datur) algortma PSO jauh lebh cepat dalam mendapatkan nla optmum. IEEE Internatonal Conference on Evolutonary Computaton. Pscataway NJ IEEE Press. pp [4] Kennedy J. Eberhart R. C. and Sh Y. Swarm ntellgence San Franssco: Morgan Kaufmann Publsher 00. [5] Kozel S. and Mchalewcz Z. Evolutonary Algorthms Homomorphous Mappngs and Constraned Parameter Optmzaton. Evolutonary Computaton vol. 7 no.. pp [6] Mchalewcz Z. and Schoenauer M. Evolutonary Algorthms for Constraned Parameter Optmzaton Problems Evolutonary Computaton vol. 4 no. pp [7] Hu Xaohu PSO Tutoral <URL: >. [8] Lang Jng J. Qn A. Ka. Suganthan Ponnuthura Nagaratnam dan Baskar S. Evaluaton of Comprehensve Learnng Partcle Swarm Optmzer. LNCS 6: Paper n hanya menunjukkan langkah pertama dalam peneltan untuk menyelesakan permasalahan optmas constraned nonlnear dengan menggunakan partcle swarm optmzaton (PSO). Agar berguna dalam aplkas prakts kemampuan PSO dalam menyelesakan permasalahan optmas constraned nonlnear yang lebh komplek lag akan perlu untuk dbuktkan. 6. Daftar Pustaka [] Eberhart R. C. and Kennedy J. A new optmzer usng partcle swarm theory Proceedngs of the Sth Internatonal Symposum on Mcro Machne and Human Scence. Nagoya Japan pp [] Kennedy J. dan Eberhart R. C. Partcle swarm optmzaton Proceedngs of IEEE Internatonal Conference on Neural Networks. Pscataway NJ IEEE servce center.pp [] Sh Y. and Eberhart R. C. A modfed partcle swarm optmzer Proceedngs of the