SENSITIVITAS SKALA DATA TERHADAP PENGUJIAN NILAI TENGAH WAHYU HARTONO

Transkripsi

1 SENSITIVITAS SKALA DATA TERHADAP PENGUJIAN NILAI TENGAH WAHYU HARTONO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 13 i

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sensitivitas Skala Data terhadap Pengujian Nilai Tengah adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Maret 13 Wahyu Hartono NRP G9391 ii

3 ABSTRACT WAHYU HARTONO. Sensitivity of Data Scale on Mean Value Test. Under supervision of BUDI SUHARJO and HADI SUMARNO. In many surveys, researchers have often to deal with qualitative or categorical measurements. Sometimes, even continuous objects or characteristics have to be measured by using a discrete scale. It may be caused by the inability of researchers to perform measurements or scoring of an object precisely using continuous scale. This will reduce the degree of accuracy of the actual conditions of the measurement results. Therefore, it can imply bias in the results of statistical tests performed. This research is intended to measure the bias of T-test on categorical data based on various sample sizes and data distributions. Moreover, this research aims to determine the optimal combination between the number of categories and the number of sample size to produce a certain bias. This study focuses on the statistical test to compare the characteristics between two groups or populations. The bias is measured as a margin of error of the confidence interval. Preliminary data are generated by a computer program and then they are split into two to fifteen categories on the same interval. The results of the study are as follows. For normally and Poisson distributed data, increasing number of categories or sample size will imply decreasing average margin of error. An explicit bias function according to sample size and category has been proposed. Categorization of data can increase the bias in the confidence interval, but fortunately the bias doesn t change the conclusion of the -test. Keywords: categorical data, confidence interval, measurement, -test iii

4 RINGKASAN WAHYU HARTONO. Sensitivitas Skala Data terhadap Pengujian Nilai Tengah. Dibimbing oleh BUDI SUHARJO dan HADI SUMARNO. Dalam banyak survei atau penelitian sosial, seringkali peneliti dihadapkan pada pengukuran yang bersifat kualitatif atau kategori, terkadang karakteristik objek yang bersifat kontinu diukur dengan menggunakan skala diskret. Hal tersebut disebabkan oleh ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran atau scoring terhadap suatu objek secara tepat. Ketidakmampuan tersebut akan menurunkan derajat ketepatan terhadap kondisi yang sesungguhnya dari hasil pengukuran, sehingga diduga menyebabkan bias pada hasil uji statistik yang dilakukan. Penelitian ini dilakukan untuk mengukur bias uji- yang berbasis data kategori pada berbagai ukuran contoh dan sebaran data, serta menentukan kombinasi optimal antara banyaknya kategori dan banyaknya contoh dalam menghasilkan bias tertentu. Penelitian difokuskan pada uji statistik untuk membandingkan karakteristik antara dua kelompok atau populasi. Biasnya merupakan nilai margin of error dari konsep interval kepercayaan. Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara konsep interval kepercayaan dengan uji agar bias yang diperoleh dari konsep interval kepercayaan dapat diklaim berlaku untuk uji pada nilai taraf nyata yang sama. Data awal dibangkitkan dengan program komputer dan data hasil kategorisasi dibuat berdasarkan data awal. Data awal adalah data yang sebenarnya, atau jawaban sebenarnya dari pertanyaan yang diajukan kepada responden, data awal dapat bersifat kontinu atau diskret. Sedangkan data hasil kategorisasi adalah data yang diperoleh dari jawaban responden yang berupa perkiraan bahwa jawaban tersebut berada pada suatu interval atau kategori, dengan kata lain, data hasil kategorisasi bersifat diskret. Uji- terhadap dua kelompok data yang menyebar normal dan Poisson dilakukan dengan menyusun hipotesis nol dan hipotesis alternatif sebagai berikut: iv

5 dengan adalah rerata masing-masing populasi dan taraf nyata. Konsep confidence level (tingkat kepercayaan) diterapkan pada interval kepercayaan sehingga akan diperoleh sekitar atau interval mengandung dan sebanyak atau interval tidak mengandung dari sampel-sampel acak yang dibangkitkan secara berulang-ulang sebanyak kali. Interval kepercayaan untuk membandingkan nilai tengah dua populasi dinyatakan sebagai berikut: dengan adalah penduga (estimator) bagi, adalah nilai tabel untuk uji-, adalah ragam gabungan, dan adalah ukuran sampel. Hubungan antara interval kepercayaan dengan uji hipotesis akan ditunjukkan terkait nilai, sehingga bias dari interval kepercayaan juga dapat digunakan untuk uji-. Untuk setiap kategori, semakin besar ukuran contoh maka biasnya semakin kecil. Demikian juga sebaliknya, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka biasnya semakin kecil. Fungsi dua variabel dari ukuran contoh dan banyaknya kategori telah diajukan untuk menghitung nilai margin of error. Pengkategorian data dapat memperbesar bias pada selang kepercayaan, tetapi untungnya bias tersebut tidak sampai mengubah kesimpulan dari uji-. Kata kunci: data kategori, interval kepercayaan, pengukuran, uji- v

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 13 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyeret sumbernya a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB vi

7 SENSITIVITAS SKALA DATA TERHADAP PENGUJIAN NILAI TENGAH WAHYU HARTONO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 13 vii

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. viii

9 Judul Tesis Nama NRP : Sensitivitas Skala Data terhadap Pengujian Nilai Tengah : Wahyu Hartono : G9391 Disetujui oleh Komisi Pembimbing Dr. Ir. Budi Suharjo, M.S. Ketua Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Anggota Diketahui oleh Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian: 9 Januari 13 Tanggal Lulus: ix

10 PRAKATA Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini terkait penerapan matematika pada masalah statistik dengan judul Sensitivitas Skala Data Terhadap Pengujian Nilai Tengah. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Budi Suharjo, M.S. dan Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S selaku pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritiknya. Ucapan terima kasih disampaikan kepada orangtua serta keluarga, atas segala dukungan dan doanya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Maret 13 Wahyu Hartono x

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 17 Mei 1981 dari pasangan Bapak Muhammad Nurpi dan Ibu Tarni. Penulis merupakan putra kelima dari enam bersaudara. Selepas lulus SMA Negeri 77 Jakarta Pusat pada tahun 1999, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Program Studi Matematika FMIPA IPB. Kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB diperoleh pada tahun 9 atas biaya sendiri. Tahun penulis menjadi asisten dosen di Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati Cirebon. Pada tahun 11 penulis menjadi dosen tetap di program studi yang sama. xi

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... xiii xiv xv BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Teori Peluang Kekontinuan... 9 BAB III UJI STATISTIK DAN SIMULASI Interval Kepercayaan Margin of Error Uji Hipotesis Hubungan antara Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis Simulasi BAB IV METODE PENELITIAN Pendekatan Penelitian Sumber Data Tahapan Penelitian... BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN Uji Nilai Tengah dari Dua Kelompok Data Kasus 1:,, normal Kasus 2:,, normal Kasus 3:, Poisson Nilai Mean Margin of Error dan Uji Sebaran normal Sebaran Poisson... 3 BAB VI SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

13 DAFTAR TABEL Halaman 1 Rumus uji- mengenai beda nilai tengah dua populasi Rerata Margin of Error data normal, Rerata Margin of Error data normal, Rerata Margin of Error data Poisson xiii

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Wilayah kritik bagi hipotesis alternatif Bagan alur penelitian Plot nilai mean margin of error sebaran normal berbagai ukuran sampel dari kasus, Plot nilai Rerata Margin of Error sebaran normal berbagai kategori dari kasus,... Plot mean margin of error data sebaran normal Plot fungsi sebaran normal Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai ukuran contoh dari kasus Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai kategori dari kasus Plot mean margin of error data Poisson, Plot fungsi sebaran Poisson xiv

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program Simulasi Program Plot 3D dan Fit Fungsi Hasil untuk Kasus 1 (Normal), ), Hasil untuk Kasus 3 (Poisson),... 8 xv

16 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam banyak survei atau penelitian sosial, para peneliti seringkali dihadapkan pada pengukuran yang bersifat kualitatif atau kategori, bahkan tidak jarang karakteristik objek yang bersifat kontinu diukur dengan menggunakan skala diskret. Hal tersebut disebabkan oleh ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran atau scoring terhadap suatu objek secara tepat. Ketidakmampuan tersebut akan menurunkan derajat ketepatan terhadap kondisi yang sesungguhnya dari hasil pengukuran sehingga diduga akan menyebabkan bias pada hasil uji statistik yang dilakukan. Misalnya ketika seorang mahasiswa ditanya tentang lamanya waktu belajar di luar jam kuliah dalam sehari atau seorang petugas pembayaran tiket jalan tol ditanya tentang banyaknya kendaraan yang melewati loket pembayaran antara pukul 12. sampai 13. siang setiap hari. Biasanya mahasiswa dan petugas tol tersebut akan menjawab secara perkiraan saja pertanyaan tersebut. Sedangkan disisi lain, peneliti hanya menyediakan pilihan jawaban yang juga hanya perkiraan saja bahwa jawabannya berada pada suatu selang tertentu. Jika para peneliti ingin melakukan pembandingan dengan informasi (ciri populasi) antar kelompok, uji statistik seperti uji nilai tengah sering digunakan. Uji nilai tengah untuk membandingkan ciri populasi antar kelompok sering digunakan oleh peneliti dan praktisi karena selain banyak aplikasinya, prosedurnya juga relatif mudah. Untuk membandingkan nilai tengah populasi dengan nilai tengah populasi lainnya bisa dilakukan dengan uji. Namun uji hanya bisa digunakan apabila data berdistribusi normal serta ragam populasi diketahui. Pada kenyataannya, jarang sekali untuk bisa mengetahui nilai parameter suatu populasi dengan pasti sehingga parameter populasi tersebut hanya bisa diduga dari contoh yang diambil. Karena nilai simpangan baku populasi, tidak diketahui, maka nilai ini ditaksir dengan simpangan baku contoh, yang dihitung dari contoh. Hanya saja, untuk contoh berukuran kecil, bukanlah nilai taksiran yang akurat untuk sehingga tidak valid lagi apabila digunakan untuk uji.

17 2 Untuk ukuran contoh yang kecil, bisa didekati dengan menggunakan uji -student (Walpole 1993). Sebaran menyerupai sebaran, dalam hal keduanya setangkup di sekitar nilai tengah nol. Kedua sebaran tersebut berbentuk genta, tetapi sebaran lebih bervariasi, berdasarkan kenyataan bahwa nilai bergantung pada fluktuasi dua besaran dan, sedangkan nilai bergantung hanya pada perubahan dari satu contoh ke contoh lainnya. Sebaran bagi berbeda dengan sebaran bagi, dalam hal ini ragamnya bergantung pada ukuran contoh dan selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran contoh kedua sebaran ini menjadi sama (Walpole 1993). Mengukur objek yang bersifat kontinu dengan skala diskret kemudian menggunakan hasil pengukuran tersebut untuk melakukan uji menyebabkan syarat penggunaan uji menjadi dilanggar karena uji tersebut mensyaratkan skala datanya bersifat kontinu sehingga diduga akan memberikan hasil yang bias. Skala diskret yang dimaksud adalah banyaknya pilihan jawaban atau kategori pada kuesioner penelitian. Di sisi lain, menggunakan data yang menyebar Poisson untuk uji juga melanggar syarat penggunaan uji tersebut karena uji mensyaratkan datanya menyebar normal sehingga juga diduga akan memberikan hasil yang bias. Tetapi telah banyak dibuktikan melalui teorema limit pusat bahwa semakin besar ukuran contoh maka sebaran Poisson akan menghampiri sebaran normal. Menurut Dunn-Rankin et al (4), para peneliti telah membuat konsesus tentang banyaknya kategori atau skala pilihan jawaban yaitu 3 sampai 9 dengan dan 7 adalah banyaknya kategori atau skala yang paling dianjurkan. Namun belum ada yang menyatakan secara eksplisit bahwa anjuran tersebut berlaku untuk setiap parameter, sebaran data, maupun jenis uji statistik. Dengan kata lain, belum terdapat informasi besarnya bias yang ditimbulkan akibat pemilihan banyaknya kategori terkait parameter, sebaran data, jenis uji statistik, serta pengaruhnya terhadap kesimpulan uji statistik yang dilakukan.

18 3 1.2 Tujuan Penelitian Sesuai dengan permasalahan di atas maka tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengukur bias uji- yang berbasis data kategori, pada berbagai ukuran contoh dan sebaran data. 2. Menentukan kombinasi optimal antara banyaknya kategori dan banyaknya contoh dalam menghasilkan bias tertentu. 1.3 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi praktisi dan peneliti dalam menentukan ukuran contoh serta banyaknya kategori pilihan jawaban kuesioner terkait dengan besarnya bias yang ditimbulkan ketika akan melakukan uji- untuk membandingkan nilai tengah dua populasi independen dari data yang menyebar normal dan Poisson.

19 4

20 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi (Percobaan Acak) (Ross ) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. Definisi (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani ) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari. Definisi (Ukuran Peluang) (Ghahramani ) Suatu ukuran peluang pada ( ) adalah suatu fungsi, - yang memenuhi syarat-syarat berikut. 1. ( ) dan ( ) ; 2. Jika adalah himpunan yang saling lepas, yaitu, untuk setiap dengan, maka ( ) ( ). Pasangan ( ) disebut ruang peluang (probability space). Definisi (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 1) Misalnya ( ) adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) merupakan fungsi di mana * ( ) + untuk setiap. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.

21 6 Definisi 2.1. (Fungsi Distribusi) (Ghahramani ) Jika adalah peubah acak, maka fungsi yang terdefinisi pada ( ) oleh ( ) ( ) disebut fungsi distribusi dari yang memenuhi syarat-syarat berikut. 1. tidak turun; 2. ( ) ; 3. ( ) ; 4. kontinu kanan. Definisi (Fungsi Kepekatan Peluang) (Ghahramani ) Misalnya adalah peubah acak. Misalnya ada fungsi bernilai riil tak negatif, ) sehingga untuk setiap subset bilangan riil dapat dikonstruksi dari interval oleh bilangan terhitung dari operasi himpunan, ( ) ( ). Maka disebut kontinu mutlak. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang atau fungsi kepekatan dari. Misalnya fungsi kepekatan dari peubah acak dengan fungsi distribusi maka berlaku syarat-syarat berikut 1. ( ) ( ) 2. ( ) 3. Jika kontinu mutlak, maka ( ) ( ) ; 4. Untuk bilangan riil ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema (Metode Transformasi) (Ghahramani ) Misalnya adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan dan himpunan kemungkinan nilai-nilainya disimbolkan dengan. Untuk fungsi yang dapat diinverskan, misalnya ( ) adalah peubah acak dengan himpunan nilai-nilainya ( ) * ( ) +. Misalnya invers ( )

22 7 adalah fungsi ( ), yang terturunkan untuk setiap nilai-nilai. Maka, fungsi kepekatan dari, diberikan oleh ( ) ( ( )) ( ) ( ) Definisi (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) (Ghahramani ) Jika adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari didefinisikan oleh ( ) ( ) Definisi (Ragam dan Simpangan Baku) (Ghahramani ) Jika adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan ( ), maka ( ) dan yang merupakan ragam dan simpangan baku dari, berturut-turut didefinisikan oleh ( ),( ) -,,( ) -. Definisi 2.1. (Peubah Acak Normal) (Ghahramani ) Peubah acak disebut normal, dengan parameter dan, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah ( ) [ ( ) ] Lema (Peubah Acak Normal Baku) (Ghahramani ) Jika ( ) maka adalah ( ) Yaitu, jika ( ) normal baku adalah ( ). Definisi (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) (Ghahramani ) Dua peubah acak dan, yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, memiliki sebaran bersama yang kontinu jika terdapat fungsi dua variabel yang taknegatif, ( ) pada sehingga untuk sembarang wilayah pada bidang

23 8 yang dapat dibentuk dari persegi-persegi oleh operasi himpunan bilanganbilangan terhitung, (( ) ) ( ) Fungsi ( ) disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari dan. Teorema (Nilai Harapan dari Fungsi Dua Peubah Acak) (Ghahramani ) Misalnya ( ) adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak dan. Jika adalah fungsi dua variabel dari ke maka ( ) adalah peubah acak dengan nilai harapan, ( )- ( ) ( ) jika integralnya konvergen mutlak. Definisi (Sebaran Poisson) (Ghahramani ) Peubah acak diskret dengan nilai-nilai disebut Poisson dengan parameter jika ( ) Teorema 2.1. (Nilai Harapan dari Penjumlahan Variabel Acak) (Ghahramani ) Untuk variabel acak yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, ( ) ( ) Definisi (Kovarian) (Ghahramani ) Misalnya dan sebaran bersama peubah acak, maka kovarian dan didefinisikan oleh ( ) [( ( ))( ( ))] Jika dan independen (saling bebas) maka ( ) ( ) ( ) ( )

24 9 Teorema (Peubah Acak ) (Walpole 1993) Bila dan masing-masing adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak berukuran yang diambil dari suatu populasi normal dengan nilai tengah dan ragam, maka mempunyai sebaran dengan merupakan sebuah nilai peubah acak T yang derajat bebas. Teorema (Limit Pusat Sebaran Peluang Normal) (Brase & Brase 9) Misalkan adalah variabel acak yang menyebar normal dengan rataan dan standar deviasi contoh acak berukuran ini adalah benar.. Misalkan adalah rataan dari contoh yang terkait dengan 1. Sebaran adalah sebaran normal; 2. Rataan dari sebaran adalah ; 3. Simpangan baku dari sebaran adalah. yang diperoleh dari sebaran. Maka pernyataan berikut Teorema (Limit Pusat Sembarang Sebaran Peluang) (Brase & Brase 9) Jika merupakan sembarang sebaran dengan rataan dan simpangan baku, maka rataan contoh yang diperoleh dari contoh acak berukuran akan memiliki sebaran yang menghampiri sebaran normal variabel acak dengan rataan simpangan baku ketika menuju tak hingga. 2.2 Kekontinuan Definisi (Kekontinuan) (Purcell & Varberg 1999) Suatu fungsi disebut kontinu pada bilangan jika berlaku ( ) ( ). Fungsi disebut kontinu kanan pada bilangan jika berlaku ( ) ( ), sedangkan fungsi disebut kontinu kiri pada bilangan jika berlaku ( ) ( ). Fungsi disebut kontinu pada interval jika kontinu pada bilangan untuk semua Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada interval dinotasikan sebagai ( ). dan

25

26 11 BAB III UJI STATISTIK DAN SIMULASI 3.1 Interval Kepercayaan Sebuah interval kepercayaan terdiri dari berbagai nilai-nilai bersama-sama dengan persentase yang menentukan seberapa yakin bahwa parameter populasi terletak dalam interval. Estimasi parameter dengan interval menggunakan distribusi sampling dari titik perkiraan. Misalnya, untuk membangun perkiraan interval mengandung digunakan distribusi sampling (penduga takbias). Menggunakan karakteristik dari distribusi tersebut dan transformasi dapat menyatakan. kita / = ( ) (3.1.1) dengan aljabar sederhana, pernyataan tersebut dapat disusun ulang menjadi:. / = ( ) (3.1.2) sehingga interval penduga adalah sampai (3.1.3) yang biasa disebut interval kepercayaan. Nilai batas bawah dan atas dari interval disebut limit kepercayaan. Peluang yang digunakan untuk membentuk interval disebut tingkat kepercayaan atau koefisien kepercayaan. Sehingga dapat dinyatakan kita ( ) percaya bahwa interval tersebut mengandung true mean atau rerata populasi. Koefisien kepercayaan biasanya dinyatakan dalam persentase (Freund & Wilson 3). Teorema Untuk peubah acak dan yang saling bebas dan terdefinisi pada ruang contoh yang sama, jika. / dan. / maka ( ). /.

27 12 Bukti: Misalnya ( ) ( ) ( ) dan ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) (( ) ) ( ( )). / ( ( ) ( )). / ( ( )). / ( ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) karena dan saling bebas maka ( ), sehingga ( ) ( ) ( ) Kita sering tertarik mencari nila dari untuk nilai peluang yang diberikan ketika menggunakan sebaran normal untuk statistika inferensia. Untuk mempermudah bentuk penulisan, diadopsi notasi yang merupakan nilai dari sedemikian sehingga ( ) atau ekivalen dengan ( ) Karena sebaran normal berbentuk simetris maka dapat ditulis pernyataan ( ) (3.1.) (Freund & Wilson 3). Dengan menggunakan Teorema 3.1.4, untuk kasus selisih nilai tengah dua populasi dapat digunakan transformasi ( ) ( ) sehingga ( )

28 13 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Dengan cara yang sama, bila dan masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas berukuran kecil dan yang diambil dari dua populasi yang hampir normal dengan ragam sama tetapi tidak diketahui nilainya, dan transformasi ( ) ( ) maka interval kepercayaan ( ) bagi diberikan oleh rumus ( ) ( ) (3.1.6) ( ) ( ) sedangkan dalam hal ini adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi, dan adalah nilai dengan derajat bebas yang luas daerah disebelah kanannya sebesar (Walpole 1993). 3.2 Margin of Error Definisi (Margin of Error) (Freund & Wilson 3) Margin of Error atau biasa disebut batas galat adalah indikator dari ketepatan pendugaan yang didefinisikan sebagai setengah panjang interval kepercayaan. Margin of Error dapat dinyatakan secara mutlak ataupun secara relatif dan dapat didefinisikan untuk tingkat kepercayaan yang diinginkan. Misalkan diketahui true value adalah satuan dan panjang interval kepercayaan adalah satuan dengan tingkat kepercayaan 9%, maka margin of error jika dinyatakan secara mutlak adalah satuan dan jika dinyatakan secara relatif adalah %

29 14 karena satuan adalah % dari satuan. Dengan kata lain, kita percaya 9% bahwa interval 4 sampai 6 satuan mengandung true value. Dalam persamaan (3.1.6) yang disebut margin of error adalah ( ) Jika ukuran contoh maka persamaan (3.1.7) menjadi ( ) Hubungan antara dan adalah sebagai berikut 1. Jika tingkat kepercayaan meningkat ( menurun) dan ukuran contoh tetap, margin of error akan meningkat (interval kepercayaan akan semakin panjang). Dengan kata lain, semakin tinggi tingkat kepercayaan yang diperlukan, semakin kurang akurat pernyataan yang dapat dibuat, dan sebaliknya. 2. Jika ukuran contoh diperbesar dan tingkat kepercayaan tetap, maka margin of error akan menurun (interval kepercayaan akan semakin pendek). Dengan kata lain, peningkatan ukuran contoh akan meningkatkan keakuratan tanpa mengurangi tingkat kepercayaan, atau sebaliknya. 3. Menurunkan simpangan baku memiliki efek yang sama dengan meningkatkan ukuran contoh. 3.3 Uji Hipotesis Dalam statistika, hipotesis adalah ide, asumsi, atau teori tentang karakteristik dari satu atau lebih variabel dalam satu atau lebih populasi. Uji hipotesis adalah prosedur statistika yang melibatkan formulasi hipotesis menggunakan contoh data untuk memutuskan validitas dari hipotesis (Pelosi & Sandifer 3) Uji Dua-Arah Uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah, seperti

30 disebut uji dua-arah, karena wilayah kritiknya dipisah menjadi dua bagian yang ditempatkan di masing-masing ekor sebaran statistik ujinya. Hipotesis alternatif menyatakan bahwa atau (Walpole 1993) Uji Mengenai Nilai Tengah Misalkan diberikan suatu populasi yang ragamnya diketahui. Sekarang ingin diuji hipotesis bahwa nilai tengah populasinya sama dengan nilai tertentu lawan hipotesis alternatifnya bahwa nilai tengah populasi itu tidak sama dengan ; artinya ingin diuji Statistik yang dapat digunakan bagi kriterium uji dalam hal ini adalah peubah acak. Telah diketahui bahwa sebaran penarikan contoh bagi menghampiri suatu sebaran normal dengan nilai tengah dan ragam, sedangkan dan masing-masing adalah nilai tengah dan ragam populasi induknya, dan adalah ukuran contohnya. Dengan mengambil taraf nyata sebesar, kita dapat menemukan dua nilai kritik dan sedemikian sehingga merupakan wilayah penerimaan, dan kedua ekor sebarannya dan, menyusun wilayah kritiknya. Nilai kritik itu dapat diucapkan dalam nilai melalui transformasi Dengan demikian, untuk taraf nyata sebesar, kedua nilai kritik padanan bagi dan, ditunjukkan dalam Gambar 1 sebagai dan

31 16 Gambar 1 Wilayah kritik bagi hipotesis alternatif. Dari populasi tersebut diambil sebuah contoh acak berukuran n dan dihitung nilai tengah contohnya. Bila jatuh dalam wilayah penerimaan, maka akan jatuh dalam wilayah dan disimpulkan bahwa ; bila jatuh di luar wilayah itu maka tolak dan terima hipotesis alternatifnya bahwa dalam dan bukan dalam.. Wilayah kritik biasanya diucapkan 3.4 Hubungan Antara Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis Prosedur uji dua-arah yang diuraikan di atas ekivalen dengan mencari selang kepercayaan ( ) bagi, dan menerima bila terletak dalam selang tersebut. Bila terletak di luar selang itu, tolak dan terima. Akibatnya bila ditarik kesimpulan mengenai nilai tengah ragamnya dari populasi yang diketahui, apakah dengan menggunakan selang kepercayaan ataupun melalui pengujian hipotesis, maka kita gunakan nilai yang sama. Secara umum, bila digunakan nilai atau yang tepat untuk membuat selang kepercayaan bagi nilai tengah, suatu populasi, atau mungkin selisih nilai tengah kedua populasi, maka kita dapat juga menggunakan nilai atau yang sama untuk menguji hipotesis atau lawan alternatif yang sesuai. Ini berarti bahwa contoh harus diambil dari populasi normal atau ukurannya, dalam hal yang terakhir ini kita dapat menggunakan Dalil Limit Pusat untuk membenarkan digunakannya statistik uji normal (Walpole 1993). z z 2 2

32 17 Dalam Tabel 1 dicantumkan nilai statistik yang biasa digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda nilai tengah dari dua populasi terkait dengan sebaran, berikut wilayah kritiknya untuk hipotesis alternatif yang bersifat dua-arah. Tabel 1 Rumus uji mengenai beda nilai tengah dua populasi (Walpole 1993) Nilai Statistik Uji Wilayah Kritik ( ). / ( ) dan tetapi tidak diketahui ( ) ( ) 3. Simulasi Simulasi komputer adalah proses mendesain model logika matematika dari sistem nyata dan bereksperimen dengan model tersebut menggunakan komputer. Dengan demikian simulasi meliputi proses pembentukan model serta desain dan implementasi sebuah eksperimen yang sesuai yang melibatkan model tersebut. Percobaan atau simulasi tersebut mengizinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang sistem: Tanpa membuatnya, jika sistem tersebut hanya sistem yang baru diusulkan. Tanpa mengganggunya jika sistem tersebut adalah sistem operasi yang mahal atau tidak aman untuk bereksperimen dengannya. Tanpa menghancurkan mereka jika objek dari eksperimen adalah untuk menentukan batas-batas dari tekanan. Dengan cara ini model simulasi dapat digunakan untuk desain, analisis prosedural dan penilaian kinerja (Pritsker & O Reilly 1999).

33 18

34 19 BAB IV METODE PENELITIAN 4.1 Pendekatan Penelitian Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui bias hasil uji statistik yang ditimbulkan karena dilanggarnya syarat uji statistik tersebut. Penelitian difokuskan pada uji statistik untuk membandingkan karakteristik antar kelompok atau populasi yang independen, menyebar normal dan Poisson sehingga digunakan uji statistik seperti uji nilai tengah. Uji nilai tengah yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah uji- dengan ragam populasi sama tetapi tidak diketahui. Uji- sendiri mensyaratkan skala datanya bersifat kontinu dan menyebar normal. Nilai bias ditentukan dari konsep interval kepercayaan yaitu peluang sebuah interval mengandung true parameter dengan tingkat kepercayaan tertentu. Biasnya merupakan nilai galat yang tidak akan melebihi batas atas dari interval kepercayaan atau margin of error yaitu batas atas dari selisih antara parameter populasi dengan penduganya. Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara konsep interval kepercayaan dengan uji agar bias yang diperoleh dari konsep interval kepercayaan dapat diklaim berlaku untuk uji pada nilai yang sama. Dalam tulisan ini terdapat dua istilah data yaitu data awal dan data hasil kategorisasi. Data awal adalah data yang sebenarnya, atau jawaban sebenarnya dari pertanyaan yang diajukan kepada responden, data awal dapat bersifat kontinu atau diskret. Sedangkan data hasil kategorisasi adalah data yang diperoleh dari jawaban responden yang berupa perkiraan bahwa jawaban tersebut berada pada suatu interval atau kategori, dengan kata lain, data hasil kategorisasi bersifat diskret. Banyaknya kategorisasi atau skala data merupakan banyaknya pilihan jawaban dalam kuesioner. Jika data awal dikategorikan menjadi 2 kelompok maka data awal tersebut dibuat menjadi tabel distribusi frekuensi dengan panjang interval sama sebanyak 2 kelas dan masing-masing interval diwakili oleh titik tengahnya, dengan cara yang sama dibuat tabel distribusi frekuensi untuk data awal yang dikategorikan menjadi 3 sampai kelompok. Data awal dibangkitkan

35 dengan program komputer dan data hasil kategorisasi dibuat berdasarkan data awal juga menggunakan program komputer untuk selanjutnya dilakukan simulasi. 4.2 Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi yang dibangkitkan menggunakan Software Mathematica Tahapan Penelitian Penelitian ini dilakukan terhadap data yang menyebar normal dan Poisson dengan kasus 1 yaitu data menyebar normal,, kasus 2 yaitu data menyebar normal,, kasus 3 yaitu data menyebar Poisson,. Untuk mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan, maka tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 2. Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Membangkitkan dua kelompok contoh acak sederhana masing-masing sebanyak set data, memiliki nilai dari sampai, menyebar normal dan Poisson, berukuran,, 3,,, 3, 4,, untuk kasus 1 dan kasus Menghitung nilai pendugaan galat maksimum rerata margin of error dari selang kepercayaan untuk kasus selisih nilai tengah dua populasi dari maksimum set data pada masing-masing ukuran contoh dan sebaran kemudian dicari rerata nya. 3. Menghitung banyaknya interval yang mengandung atau tidak mengandung pada data awal. 4. Melakukan uji- pada maksimum set data awal, kemudian dihitung yang terima atau tolak.. Setiap sebaran data dikonversi menjadi 2 hingga kategori. Kategorisasi dilakukan menggunakan panjang interval yang sama. 6. Pada sebaran data dengan kategori-kategori yang baru terbentuk selanjutnya dihitung kembali rerata margin of error. 7. Menghitung banyaknya interval yang mengandung atau tidak mengandung pada data kategori.

36 21 8. Melakukan uji- pada maksimum set data kategori, kemudian dihitung yang terima atau tolak. 9. Nilai rerata margin of error untuk data awal dan kategori di plotkan ke dalam grafik, kemudian ditentukan fungsi pendekatannya.. Membandingkan nilai rerata margin of error untuk data awal dan kategori menggunakan koefisien keragaman. 11. Interpretasi hasil dan kesimpulan. Pembangkitan Dua Kelompok Contoh Acak Independen (Menyebar Normal dan Poisson, Memiliki Nilai sampai ) Berukuran:,, 3,,, 3, 4 & Sebanyak kali Menggunakan Software Mathematica 8. Mencari true parameter dan rerata mean margin of error untuk kasus 1 dan 3. Uji- untuk kasus 1 dan 3. Konversi data menjadi 2 sampai kategori Hasil Bandingkan Hasil Interpretasi Kesimpulan Gambar 2 Bagan alur penelitian.

37 22

38 Mean Margin of Error Mean Margin of Error 23 BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN Simulasi dari penelitian ini dilakukan untuk menentukan nilai margin of error sesuai dengan batasan parameter dan sebaran data yang telah diberikan. Program komputer ditulis menggunakan Software Mathematica 8. dengan parameter dan banyaknya kategori yang nilainya dibatasi dari 2 sampai serta ukuran contoh yang dapat diubah sesuai kebutuhan penelitian telah disiapkan untuk menjalankan simulasi tersebut (lihat Lampiran 1). Hasil akhir dari penelitian ini adalah diperolehnya suatu fungsi margin of error yang nilainya ditentukan oleh dua peubah yaitu banyaknya kategori dan ukuran contoh. Untuk keperluan tersebut, akan dibangkitkan nilai margin of error dari setiap kasus, kemudian melakukan fit terhadap nilai-nilainya agar diperoleh suatu fungsi pendekatan..1 Uji Nilai Tengah dari Dua Kelompok Data yang Menyebar Normal.1.1 Kasus 1:,. Menggunakan Software Mathematica 8., dibangkitkan dua kelompok data (masing-masing set data) yang menyebar normal antara sampai dengan nilai tengah populasi, dan simpangan baku. Dengan mengaplikasikan rumus margin of error persamaan (3.2.2) diperoleh hasil rerata margin of error seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3, Gambar 4, dan Tabel 2. n n data awal data kategori Kategori Kategori

39 Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error 24 n 3 n Kategori Kategori n n Kategori Kategori n 4 n Gambar 3 Kategori Kategori Plot nilai mean margin of error sebaran normal berbagai ukuran sampel dari kasus,. 2 kategori 3 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel

40 Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error 4 kategori kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 6 kategori 7 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 8 kategori 9 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel kategori 11 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel

41 Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error kategori 13 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 14 kategori kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel Pada Gambar 3 sampai 4, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka nilai mean margin of error nya akan semakin kecil dan konvergen ke data awalnya. Demikian juga untuk setiap kategori, semakin banyak ukuran contoh maka mean margin of error nya akan semakin kecil. Nilai rerata margin of error pada Tabel 2 selanjutnya di plot ke ruang tiga dimensi agar dapat ditentukan fungsi pendekatan untuk melakukan fit terhadap data tersebut seperti yang terlihat pada Gambar. Dari data yang terlihat pada Gambar maka fungsi yang sesuai untuk melakukan fit adalah fungsi eksponen dengan dua peubah yang independen dan konvergen ke nol, sehingga dipilih fungsi Gambar 4 Plot nilai Rerata Margin of Error sebaran normal berbagai kategori dari kasus, ( ) ( ) dengan adalah banyaknya kategori, adalah ukuran contoh, dan adalah konstanta taknegatif.

42 27 Kategori Tabel 2 Rerata Margin of Error data normal,, Ukuran Contoh ,421,49 12,61 6,931 4,899 4, 3,464 3, ,24,98 8,678 4,736 3,364 2,74 2,379 2,128 4,339,183 8,33 4,82 3,246 2,63 2,294 2, 14,823 9,827 8,89 4,4 3,129 2,9 2,213 1, ,483 9,686 7,922 4,329 3,7 2, 2,17 1, ,3 9,21 7,827 4,281 3,3 2,479 2,142 1, ,192 9,447 7,7 4,243 3,7 2,46 2,124 1, ,93 9,417 7,7 4,214 2,989 2,443 2,113 1,891 14,4 9,36 7,691 4,4 2,978 2,434 2,4 2, ,984 9,339 7,68 4,18 2,969 2,426 2,98 1, ,97 9,314 7,637 4,176 2,961 2,4 2,93 1, ,926 9,292 7,628 4,167 2,97 2,4 2,89 1, ,942 9,281 7,616 4,163 2,92 2,412 2,86 1,867 13,922 9,262 7,611 4,7 2,948 2,49 2,83 1,86 Data Awal 13,791 9,194 7,47 4,123 2,924 2,39 2,66 1,8 Gambar Plot mean margin of error data sebaran normal,. Dengan melakukan fit data nilai rerata mean margin of error pada Tabel 2 menggunakan fungsi pada persamaan (.1) maka diperoleh fungsi seperti berikut: ( ) ( ) dengan adalah banyaknya kategori dan adalah banyaknya ukuran contoh. Jika persamaan (.2) diplotkan pada grafik maka akan diperoleh Gambar 6.

43 28 Gambar 6 Plot fungsi ( ) sebaran normal,..1.2 Kasus 2:,, dari data yang menyebar normal Sesuai dengan persamaan (3.2.2) bahwa nilai margin of error hanya dipengaruhi oleh simpangan baku dan ukuran contoh saja maka berapapun selisih, jika ragamnya sama maka fungsi ( ) nya akan sama dengan persamaan (.2). Hal tersebut dapat ditunjukkan oleh teorema berikut. Teorema. Untuk peubah acak dan yang saling bebas dan terdefinisi pada ruang contoh yang sama dengan c adalah konstanta positif, jika ( ). / maka ( ). /. Bukti. ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) Sebagai contoh, menggunakan Software Mathematica 8., dibangkitkan dua kelompok data (masing-masing set data) yang menyebar normal antara

44 29 sampai dengan nilai tengah populasi, dan simpangan baku. Dengan mengaplikasikan rumus margin of error persamaan (3.2.2) diperoleh hasil rerata margin of error seperti yang dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Rerata Margin of Error data normal,, Kategori Ukuran Contoh ,2 14,38 11,83 6,499 4,93 3,748 3,247 2,9 3 16,,663 8,78 4,819 3,4 2,786 2,412 2,16 4,1,14 8,2 4,2 3,222 2,629 2,27 2,38 14,636 9,814 7,99 4,43 3,111 2,38 2,198 1, ,3 9,94 7,83 4,311 3,3 2,488 2, 1, ,184 9,472 7,747 4,6 3,12 2,48 2,129 1, ,62 9,418 7,68 4,221 2,99 2,437 2,111 1, , ,633 4,1 2,974 2,424 2, 1,881 13,98 9,318 7,99 4,183 2,99 2,414 2,9 1, ,861 9,294 7,76 4,169 2,91 2,46 2,8 1, ,829 9,26 7, 4,9 2,94 2,4 2,79 1, ,828 9,246 7,43 4,3 2,939 2,396 2,7 1, ,786 9,226 7,32 4,14 2,93 2,393 2,73 1,87 13,7 9,223 7, 4,141 2,932 2,39 2,7 1,84 Data Awal 13,661 9, 7,464 4,8 2,98 2,371 2,3 1,84 Jika data pada Tabel 2 dibandingkan dengan data pada Tabel 3 maka terlihat nilai mean margin of error nya cenderung sama seperti yang telah dibuktikan oleh Teorema. bahwa perubahan selisih nilai tengah tidak akan mengubah ragam sehingga nilai mean margin of error nya cenderung sama..1.3 Kasus 3:, dari data yang meyebar Poisson Sebaran Poisson hanya dipengaruhi oleh satu parameter yaitu nilai tengah populasi dengan. Menggunakan Software Mathematica 8., dibangkitkan dua kelompok data (masing-masing set data) yang menyebar Poisson antara sampai dengan nilai tengah populasi Dengan mengaplikasikan rumus margin of error persamaan (3.2.2) diperoleh hasil rerata margin of error seperti yang dapat dilihat pada Gambar 7, Gambar 8, dan Tabel 4.

45 Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error 3 n n data awal data kategori Kategori Kategori n 3 n Kategori Kategori n n Kategori Kategori n 4 n Kategori Gambar 7 Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai ukuran contoh dari kasus. Kategori

46 Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error 31 2 kategori 3 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 4 kategori kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 6 kategori 7 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 8 kategori 9 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel

47 Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error Mean Margin of Error 32 kategori 11 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 12 kategori 13 kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel 14 kategori kategori 3 4 Ukuran Sampel 3 4 Ukuran Sampel Gambar 8 Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai kategori dari kasus. Pada Gambar 7 sampai 8, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka nilai mean margin of error nya akan semakin kecil dan konvergen ke data awalnya. Demikian juga untuk setiap kategori, semakin banyak ukuran contoh maka mean margin of error nya akan semakin kecil. Nilai rerata margin of error pada Tabel 3 selanjutnya di plot ke ruang tiga dimensi agar dapat ditentukan fungsi pendekatan untuk melakukan fit terhadap data tersebut seperti yang terlihat pada Gambar 9. Dari data yang terlihat pada Gambar 9 maka fungsi yang sesuai untuk melakukan fit adalah fungsi eksponen

48 33 dengan dua peubah yang independen dan konvergen ke nol, sehingga dipilih fungsi pada persamaan (.1). Kategori Tabel 4 Rerata Margin of Error data Poisson, Ukuran Contoh ,368,482 12,68 6,911 4,88 3,989 3,4 3,9 3,4,9 3,494 1,361,918,734,641, ,78 7,7 6,319 3,462 2,446 1,998 1,73 1,48 7,998 4,948 3,993 2,198 1,6 1,271 1,2,98 6 8,36,47 4,17 2,477 1,7 1,43 1,24 1,8 7 7,281 4,783 3,921 2,147 1,23 1,244 1,77, ,339 4,917 3,992 2,2 1,7 1,269 1,1, ,231 4,826 3,99 2,162 1,36 1,1 1,84,97 7,34 4,77 3,848 2,112 1,498 1,221 1,8, ,16 4,76 3,826 2,6 1,493 1,216 1,3, ,8 4,69 3,733 2,44 1,41 1,182 1,, ,98 4,664 3,88 2,89 1,48 1,6 1,4, ,6 4,419 3,6 1,977 1,4 1,143,99,88 6,727 4,7 3,683 2,21 1,433 1,168 1,12,9 Data Awal 6,23 4,368 3,68 1,97 1,388 1,131,98,876 Gambar 9 Plot mean margin of error data Poisson,. Dengan melakukan fit data nilai rerata mean margin of error pada Tabel 4 menggunakan fungsi pada persamaan (.1) maka diperoleh fungsi seperti berikut:

49 34 ( ) ( ) dengan adalah banyaknya kategori dan adalah banyaknya ukuran contoh. Jika persamaan (.3) diplotkan pada grafik maka akan diperoleh Gambar. Gambar Plot fungsi ( ) sebaran Poisson..2 Nilai Mean Margin of Error dan Uji-.2.1 Sebaran normal Secara umum, bila digunakan nilai yang tepat untuk membuat selang kepercayaan bagi selisih nilai tengah kedua populasi, maka dapat juga digunakan nilai yang sama untuk menguji hipotesis lawan alternatif yang sesuai. Ini berarti bahwa contoh harus diambil dari populasi normal atau ukurannya, dalam hal yang terakhir ini kita dapat menggunakan Dalil Limit Pusat untuk membenarkan digunakannya statistik uji normal (Walpole 1993). Dari hal tersebut berarti uji- mensyaratkan datanya menyebar normal dengan skala data kontinu. Dalam penelitian ini data kontinu dibuat menjadi data kategori sehingga menyebabkan skala datanya menjadi diskret. Setelah disimulasikan menggunakan parameter dengan, diperoleh informasi bahwa banyaknya true parameter yang berada pada selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya terima pada uji-. Sedangkan banyaknya true parameter yang berada di luar selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya tolak pada uji-. Untuk setiap kategori,

50 3 banyaknya terima berada di sekitar atau tepat ( ) banyaknya set data yang disimulasikan, sedangkan yang tolak berada di sekitar atau tepat banyaknya set data, dengan adalah taraf nyata (lihat Lampiran 3). Hal ini berarti pengkategorian data akan menyebabkan peningkatan nilai mean margin of error, tetapi peningkatan nilai tersebut tidak sampai mengubah kesimpulan uji Sebaran Poisson Penggunaan data yang menyebar Poisson pada uji- jelas melanggar syarat penggunaan uji tersebut seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Tetapi setelah disimulasikan menggunakan sembarang parameter diperoleh informasi bahwa banyaknya true parameter yang berada pada selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya terima pada uji-. Sedangkan banyaknya true parameter yang berada di luar selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya tolak pada uji-. Untuk setiap kategori, banyaknya terima berada di sekitar atau tepat ( ) banyaknya set data yang disimulasikan, sedangkan yang tolak berada di sekitar atau tepat banyaknya set data, dengan adalah taraf nyata (lihat Lampiran 4). Hal ini berarti pengkategorian data akan menyebabkan peningkatan nilai mean margin of error, tetapi peningkatan nilai tersebut tidak sampai mengubah kesimpulan uji-.

51 36

52 37 BAB VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Berdasarkan kajian sensitivitas skala data terhadap uji rerata margin of error dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut. menggunakan 1. Untuk data yang menyebar normal, dengan parameter dan dengan, serta, maka fungsi bias yang merupakan nilai mean margin of error nya adalah ( ) dengan adalah banyaknya kategori dan adalah ukuran contoh. 2. Untuk data yang menyebar Poisson, dengan parameter maka fungsi bias yang merupakan nilai mean margin of error nya adalah ( ) dengan adalah banyaknya kategori dan adalah ukuran contoh. 3. Untuk setiap kategori, semakin besar ukuran contoh maka biasnya semakin kecil. Demikian juga sebaliknya, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka biasnya semakin kecil. 4. Pengkategorian data dapat memperbesar bias pada selang kepercayaan, tetapi biasnya tidak sampai mengubah kesimpulan dari uji Saran Dalam penelitian ini, uji hipotesis disusun agar yang terjadi adalah galat jenis 1 yaitu menolak yang benar. Penelitian lanjutan dapat dikembangkan terhadap galat jenis 2, terhadap berbagai sebaran data, ukuran contoh, ragam populasi yang tidak sama, menggunakan sebaran normal baku sebagai data yang dibangkitkan, serta menggunakan selisih antara nilai t hitung kontinu dan t hitung kategori sebagai biasnya. Simulasi dalam penelitian ini masih menggunakan

53 38 pemrograman berbasis prosedural sehingga kurang efisien (memerlukan memori yang besar dan waktu eksekusi yang lama). Untuk pemrograman yang lebih efisien, penelitian lanjutan disarankan pemrogramannya berbasis fungsional, suatu istilah pemrograman yang dikenal ketika menggunakan Software Mathematica 8..

54 39 DAFTAR PUSTAKA Agresti A. 2. Categorical Data Analysis. Second Edition. John Wiley & Son. USA Billingsley P Probability and Measure. New York: John Willey & Sons. Brace I. 4. Questionnaire design: how to plan, structure and write survei material for effective market research. London & Sterling, VA. USA Brase CH, Brase CP. 9. Understandable Statistics: Concept and Methods. Ninth Edition. Brooks/Cole. Boston-USA Dunn-Rankin et al. 4. Scaling Methods. Second Edition. Lawrence Erlbaum Associates, Publisher. New Jersey-USA. Freund RJ, Wilson WJ. 3. Statistical Methods. Second Edition. Elsevier Science (USA). Ghahramani S.. Fundamental of Probability dengan Stochastic Process. New Jersey: Pearson Prentice Hall. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: University Press. Pelosi MK, Sandifer TM. 3. Elementary Statistics. John Wiley & Sons. USA Purcell EJ, Varberg D Kalkulus dan Geometri Analisis, Ed ke-2. Susila IN, Kartasasmita B, Ruwuh, Terjemahan; Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus With Analytic Geometry, 2 nd Edition. Pritsker AA, O Reilly JJ Simulation with Visual Slam and Awesim. John Wiley & Sons. USA Ross SM.. Stochastic Process. New York: Macmillan Publishing Company. Triola MF. 6. Elementary Statistics. Tenth Edition. Pearson Education, Inc. Walpole RE Pengantar Statistika. Edisi ke-3. PT. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.

55 4

56 L A M P I R A N 41

57 42 Lampiran 1. Program Simulasi kategorimaks=;q=; 1=; 2=; 1=; 2=; =.; talphaperdua=2.1; Membangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan nilai tengah dan simpangan baku. acak[mu_,sigma_,n_,a_,b_]:=module[{lis,nd},lis={}; While[Length[lis]<n,nd=RandomVariate[NormalDistribution[mu,sigma]]; If[a nd b,lis=append[lis,nd]]];lis] Kasus 1. ukuran contoh, menyebar normal. Membangkitkan populasi kelompok 1 sebanyak contoh (bernilai sampai ) berdistribusi normal dengan nilai tengah dan simpangan baku. pt1=q;pt2=q;n1=;n2=n1;for[i=1,i pt1,i++,contoh1[i]=acak[ 1, 1,n1,,]] For[i=1,i q,i++,{contoh[1,i]=contoh1[i];xmean[1,i]=mean[contoh[1,i]]; ragam[1,i] = Variance[contoh[1,i]]}] rerata1=mean[flatten[array[xmean,{1,q},{1,1}]]]; sb1=sqrt[mean[flatten[array[ragam,{1,q},{1,1}]]]]; sbnol1=count[flatten[sqrt[array[ragam,{1,q},{1,1}]],1],]; Membangkitkan populasi kelompok 2 sebanyak contoh (bernilai sampai ) berdistribusi normal dengan nilai tengah dan simpangan baku. For[i=1,i pt2,i++,contoh2[i]=acak[ 2, 2,n2,,]] For[i=1,i q,i++,{contoh[2,i]=contoh2[i];xmean[2,i]=mean[contoh[2,i]]; ragam[2,i]=variance[contoh[2,i]]}]; rerata2=n[mean[flatten[array[xmean,{1,q},{2,1}]]]]; sb2=n[sqrt[mean[flatten[array[ragam,{1,q},{2,1}]]]]]; sbnol2=count[flatten[sqrt[array[ragam,{1,q},{2,1}]],1],]; Peluang Nilai P Value data awal Taraf Nyata For[i=1,i q,i++,pvalue[i]=ttest[{contoh[1,i],contoh[2,i]}, 1-2, "PValue",SignificanceLevel.,VerifyTestAssumptions None, AlternativeHypothesis "Unequal"]] reratapv=mean[array[pvalue,q]]; For[i=1,i q,i++,pvalue[i]=ttest[{contoh[1,i],contoh[2,i]}, 1-2, "ShortTestConclusion",SignificanceLevel.,VerifyTestAssumptions None, AlternativeHypothesis "Unequal"]] tolakk=count[array[pvalue,q],"reject"]; terimak=count[array[pvalue,q],"do not reject"]; Melakukan uji nilai tengah & mencari true value For[i = 1, i <= q, i++, {spkontinu[i] = Sqrt[((n1-1)*ragam[1, i] + (n2-1)*ragam[2, i])/((n1 + n2) -2)];