STATISTIKA MATEMATIKA
|
|
- Sukarno Hermawan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Praktikum STATISTIKA MATEMATIKA Adi Setiawa Uiversitas Kriste Satya Wacaa Salatiga 2006 i
2 Cotets : Statistik Cukup 2 Latiha Soal Statistik Cukup 6 3 : Estimasi Titik 7 4 Latiha Soal Estimasi Titik 37 5 : Uji Hipotesis 4 6 Latiha Soal Uji Hipotesis 45 7 : Estimasi Iterval 47 8 Latiha Soal Estimasi Iterval 56 ii
3 Chapter : Statistik Cukup Soal Dalam setiap kasus berikut, tuliska fugsi kepadata probabilitas dari variabel radom X da spesifikasika ruag parameter Ω.. Variabel radom X berdistribusi Poisso(θ). 2. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β). 3. Variabel radom X berdistribusi ekspoesial dega parameter θ. 4. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β).. Karea X berdistribusi Poisso(θ) maka fugsi probabilitasya : f(x) e θ θ x x! θ (0, ). Ruag parameter : Ω {θ R θ > 0} (0, ). 2. Karea X berdistribusi Ekspoesial(θ) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x) θe θx utuk x > 0 da θ > 0. Ruag parameter : Ω {θ R θ > 0} (0, ).
4 3. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x; α, β) Γ(α)β θ xα e x/β utuk x > 0, α > 0, β > 0. Ruag parameter Ω {(α, β) R 2 α > 0, β > 0}. 4. Karea X berdistribusi Beta(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x; α, β) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα ( x) β, 0 < x <, α > 0, β > 0. Ruag parameter Ω {(α, β) R 2 α > 0, β > 0}. Soal 2 Misalka X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik. Guaka Teorema da Akibatya utuk meujukka bahwa :. Jika X i berdistribusi Poisso(θ) maka X i atau X merupaka statistik cukup utuk θ. 2. Jika X i berdistribusi Ekspoesial(θ) maka X i atau X merupaka statistik cukup utuk θ. ( 3. Jika X i berdistribusi Gamma(α, β) maka X i, t i) X atau ( X i, X) t merupaka statistik cukup utuk (α, β) t. 4. Jika X i berdistribusi Beta(α, β) maka ( X i, ( X i)) t merupaka statistik cukup utuk (α, β) t.. Karea X i berdistribusi Poisso(θ) maka f(x i ) e θ θ x i x! 2
5 utuk x i 0,, 2,... sehigga fugsi probabilitas bersamaya adalah f(x, x 2,..., x ; θ) f(x i, θ) e θ θ x i x i! e θ θ P x i x. i! Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa g[t (x,..., x ); θ] e θ θ P x i T (x,..., x ) h(x,..., x ) x i x i!. Oleh karea itu X i merupaka statistik cukup utuk θ. Dega megguaka Teorema da Akibatya da medefiisika g : R R dega g(x) x/ maka X juga merupaka statistik cukup utuk θ. 2. Karea X i berdistribusi Ekspoesial(θ) maka f(x i ) θe θx i utuk x i > 0 sehigga fugsi probabilitas bersamaya adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) θe θx i θ e θ P x i. Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa g[t (x,..., x ) θ e θ P x i T (x,..., x ) h(x,..., x ). 3 X i
6 Oleh karea itu X i merupaka statistik cukup utuk θ. Dega megguaka Teorema, Akibatya da medefiisika g : R R dega g(x) x/ maka X merupaka statistik cukup utuk θ. 3. Karea X i berdistribusi Gamma(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x i ) e x i/β Γ(α)β α xα i utuk x i > 0 sehigga fugsi kepadata probabilitas bersamaya adalah f(x,..., x ) f(x i ; α, β) Γ(α)β α xα i e x i/β ( ) ( ) α ( x Γ(α)β α i exp β x i ). Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa ( ) ( ) α ( g[t (x,..., x ); α, β] x Γ(α)β α i exp β ( ) t T (x,..., x ) X i, X i h(x,..., x ). ) x i ( Oleh karea itu X i, t i) X merupaka statistik cukup utuk (α, β) t. Dega megguaka Teorema, Akibat da medefiisika ( fugsi g : R 2 R 2 dega g(x, y) (x, y/) maka X i, X ) t merupaka statistik cukup utuk (α, β) t. 4. Karea X i berdistribusi Beta(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : Γ(α + β) f(x i ) Γ(α)Γ(β) xα i ( x i ) β utuk 0 < x i < sehigga fugsi kepadata probabilitasya bersamaya 4
7 adalah f(x,..., x ; α, β) f(x i ; α, β) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα i ( x i ) β ( Γ(α + β) ) ( ) α ( ) β x i ( x i ) Γ(α)Γ(β) x i( x i ). Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa g[t (x,..., x ); α, β] ( Γ(α + β) ) ( ) α ( ) β x i ( x i ) Γ(α)Γ(β) x i( x i ) ( ) t T (x,..., x ) x i, ( x i ) h(x,..., x ). Oleh karea itu utuk (α, β) t. ( x i, ( x i)) t merupaka statistik cukup Soal 3 Jika X,..., X sampel ( radom dari distriusi N(θ, θ 2 ) dega θ R maka tujukka bahwa X i, ) ( ) X2 i atau X, X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Karea X i berdistribusi N(θ, θ 2 ) maka fugsi kepadata probabilitas dari variabel radom X i adalah f(x i ) [ exp (x i θ) 2 ] 2πθ 2 2θ 2 5
8 sehigga fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) [ exp (xi θ) 2 ] 2πθ 2 2θ 2 ( ) [ exp x ] i 2πθ 2 2θ ( 2 ) [ exp 2πθ 2 Dega megguaka Teorema diperoleh g[t (x,..., x ); θ] T (x,..., x ) ( ) [ exp 2πθ 2 ( ) x i, x ] i exp 2θ 2 x 2 i [ 2θ exp x ] i 2θ [ 2 x i θ x ] [ i exp 2θ 2 [ ] exp θ2 2θ 2 ] exp[ 2 ]. x i θ ] exp[ 2 ] h(x,..., x ) ( sehigga X i, ) X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Bila didefiisika f : R 2 ( R 2 dega f(x, y) (x/, y) da dega megguaka Akibat maka X, ) X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Soal 4 Jika X,..., X sampel radom ukura dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) e (x θ) utuk x > θ da θ R maka tujukka bahwa X () mi{x,..., X } merupaka statistik cukup utuk θ. 6
9 Fugsi kepadata probabilitas bersama utuk X,..., X adalah f(x,..., x ) f(x i ; θ) e (x i θ) [ exp [ exp ] x i + θ ] x i + θ utuk u[x (), θ] X () > θ dega u[x () ; θ] Dega megguaka Teorema diperoleh { utuk X() > θ 0 utuk yag lai. g[t (x,..., x ); θ] exp[θ] u[x (), θ] T (x,..., x ) X () [ h(x,..., x ) exp x i ]. Akibatya X () mi{x,..., X } merupaka statistik cukup utuk θ. Soal 5 Jika X,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) maka tetuka statistik cukup utuk θ.. f(x; θ) θx θ utuk 0 < x < da θ (0, ). 2. f(x; θ) 2(θ x)/θ 2 utuk 0 < x < θ da θ (0, ). 3. f(x; θ) x 3 exp( x/θ)/(6θ 4 ) utuk 0 < x < da θ (0, ). 4. f(θ) (θ/c)(c/x) θ+ utuk c < x < da θ (0, ). 7
10 . Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ) f(x i ; θ) θx θ i ( ) θ. θ x i Dega megguaka Teorema diperoleh ( ) θ g[t (x,..., x ); θ] θ x i T (x,..., x ) h(x,..., x ) x i ( ). x i Akibatya X i merupaka statistik cukup utuk θ. 2. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) 2 θ 2 (θ x i) utuk 0 x i θ ( 2 ) (θ x θ 2 i ) 0 x () θ ( 2 ) (θ x θ 2 i ) h[x () ; θ] dega h[x () ; θ] { utuk X() < θ 0 utuk yag lai. 8
11 Dega megguaka Teorema diperoleh ( 2 ) g[t (x,..., x ); θ] (θ x θ 2 i ) h[x () ; θ] T (x,..., x ) X () h(x,..., x ). Akibatya X () max{x, X 2,..., X } merupaka statistik cukup utuk θ. 3. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah g[t (x,..., x ; θ) f(x i ; θ) ( 6θ 4 ) x i e x i/θ ( ) ( 6θ 4 x 3 i ) ( exp θ Dega megguaka Teorema diperoleh g[t (x,..., x ); θ] ( ) ( exp 6θ 4 θ T (x,..., x ) h(x,..., x ) x i x 3 i. x i ). ) x i Akibatya X i merupaka statistik cukup utuk θ. 4. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) ( θ )( c ) c x i utuk ( θ ) c θ+ ( c ) θ+. x i 9 x i c
12 Dega megguaka Teorema diperoleh g[t (x,..., x ); θ] T (x,..., x ) h(x,..., x ) ( θ ) c θ ( c ) θ+ x i x i ( ). x i Akibatya X i merupaka statistik cukup utuk θ. Soal 6 Jika X, X 2,..., X sampel radom ukura dari distribusi Poisso(θ) maka buktika bahwa X merupaka statistik tak bias UMV yag tuggal utuk parameter θ. Karea X statistik cukup utuk θ da legkap serta E[ X] θ maka X merupaka statistik tak bias utuk θ. Dega megguaka Teorema 5 diperoleh bahwa X statistik tak bias UMV yag tuggal utuk θ. Soal 7 Tujukka bahwa dalah setiap kasus distribusi tersebut merupaka aggota keluarga ekspoesial.. Variabel radom X berdistribusi Poisso(θ). 2. Variabel radom X berdistribusi Biomial Negatif. 3. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β) dega β diketahui. 4. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β) dega α diketahui. 5. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β) dega β diketahui. 6. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β) dega α diketahui. 0
13 . Karea X berdistribusi Poisso(θ) maka fugsi probabilitas dari X adalah f(x; θ) e θ θ x x! utuk x 0,, 2,... sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) e θ e x l θ x! I A(x) dega A {0,, 2,...}. Hal itu berarti bahwa c(θ) e θ, Q(θ) l(θ), T (x) x, da h(x) x! I A(x). Akibatya distribusi Poisso(θ) merupaka aggota keluarga ekspoesial. 2. Karea X berdistribusi Biomial Negatif maka fugsi probabilitas dari X adalah f(x; θ) ( r + x x ) θ r ( θ) x utuk x, 2, 3,..., sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) θ r e x l( θ) ( r + x x ) I A (x) dega A {, 2,...}. Hal itu berarti bahwa c(θ) θ r, Q(θ) l( θ), T (x) x da ( ) r + x h(x) I x A (x). Akibatya distribusi Biomial Negatif merupaka aggota keluarga ekspoesial. 3. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) dega θ α maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(θ)β θ xθ e x/β
14 utuk x > 0, sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai atau f(x; θ) f(x; θ) Γ(θ)β θ e(θ ) l x e x/β Γ(θ)β θ eθ l x x e x/β Hal itu berarti bahwa c(θ), Q(θ) θ, T (x) l x, da h(x) x e x/β. Akibatya distribusi Gamma(α, β) dega β diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. 4. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) dega θ β maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(θ)θ α xα e x/θ utuk x > 0, sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) xα e x/θ θ Γ(α). Hal itu berarti c(θ), Q(θ), T (x) x da θ α θ h(x) xα Γ(α). Akibatya distribusi Gamma(α, β) dega α diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. 5. Karea X berdistribusi Beta(α, β) dega θ α maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(θ + β) Γ(θ)Γ(β) xθ ( x) β sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(θ) Γ(θ + β) e θ l x x ( x) β Γ(θ) Γ(β) Hal itu berarti bahwa c(θ) Γ(θ+β), Q(θ) θ, T (x) l x, da Γ(θ) h(x) x ( x) β. Akibatya distribusi Beta(α, β) dega β Γ(β) diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. 2
15 6. Karea X berdistribusi Beta(α, β) dega θ β maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(α + θ) Γ(α)Γ(θ) xα ( x) θ sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) Γ(α + θ) e θ l( x) x α ( x) Γ(θ) Γ(α) Hal itu berarti bahwa c(θ) Γ(α+θ), Q(θ) θ, T (x) l( x), da Γ(α) h(x) x α ( x). Akibatya distribusi Beta(α, β) dega α Γ(α) diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. Soal 8 Misalka variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) diyataka dega f(x; θ) γ θ xγ exp [ xγ ] θ utuk 0 < x < dega parameter θ > 0 da γ diketahui.. Tujukka bahwa fugsi kepadata probabilitas. 2. Tetuka statistik cukup utuk θ. 3. Apakah f(x; θ) aggota keluarga ekspoesial.. Aka ditujukka bahwa f(x; θ) merupaka fugsi kepadata probabilitas yaitu dega meujukka bahwa Jika dimisalka u x γ /θ maka du 0 x γ exp [ xγ θ f(x; θ)dx γxγ dx θ ] dx 0 sehigga berakibat e u du Berarti f(x; θ) merupaka fugsi kepadata probabilitas. 3
16 2. Aka ditetuka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ) f(x i ; θ) γ θ xγ i e x γ i θ ( γ θ ) x γ i x i e P θ xγ i Dega megguaka Teorema Fatorisasi diperleh bahwa xγ i statistik cukup utuk θ. 3. Aka dibuktika bahwa f(x; θ) merupaka aggota keluarga ekspoesial. Karea f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) ( ) θ exp xγ γx γ. θ Hal itu berarti C(θ) θ, Q(θ) θ, T (x) xγ, da h(x) γx γ sehigga f(x; θ) merupaka aggota keluarga ekspoesial. Soal 9 Dalam setiap kasus, idetifikasi bahwa distribusi dari variabel radom X merupaka aggota keluarga ekspoesial dua parameter.. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β). 2. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β).. Misalka θ (θ, θ 2 ) dega θ α da θ 2 β. Fugsi kepadata probabilitas Gamma(α, β) adalah atau f(x; θ) f(x; θ) Γ(θ )θ θ 2 Γ(θ )θ θ 2 x θ e x/θ 2 exp [θ l x x ] x. θ 2 4
17 Hal itu berarti C(θ) Γ(θ )θ θ 2, T (x) l(x), T 2 (x) l(x), h(x) x, Q (θ) θ, Q 2 (θ) θ 2. Akibatya distribusi Gamma(α, β) merupaka aggota keluarga ekspoesial dua parameter. 2. Misalka θ (θ, θ 2 ) dega θ α da θ 2 β. Fugsi kepadata proabbilitas Beta(α, β) adalah f(x; θ) Γ(θ + θ 2 ) Γ(θ )Γ(θ 2 ) xθ ( x) θ 2 atau f(x; θ) Γ(θ + θ 2 ) [ ] Γ(θ )Γ(θ 2 ) exp θ l x + θ 2 l( x) x ( x). Hal itu berarti C(θ) Γ(θ + θ 2 ) Γ(θ )Γ(θ 2 ), T (x) l x, T 2 (x) l( x), h(x) x ( x), Q (θ) θ, Q 2 (θ) θ 2. Akibatya distribusi Beta(α, β) merupaka aggota keluarga ekspoesial dua parameter. Soal 0 Buktika bahwa keluarga F tidak legkap dega F { utuk θ (0, ). f(x; θ) θ utuk θ x θ } Karea ada g(x) x sehigga E[g(X)] θ Akibatya keluarga F tidak legkap. θ 5 x 2θ dx 0
18 Chapter 2 Latiha Soal Statistik Cukup. Variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi kepadata probabilitas f(θ) exp[ (x θ)] utuk x > 0 da θ R. Tetuka statistik cukup utuk θ. 2. Jika F keluarga semua fugsi probabilitas Biomial Negatif maka tujukka bahwa F legkap. 3. Apakah distribusi geometrik merupaka aggota keluarga ekspoesial satu parameter? 4. Apakah statistik berikut ii ekuivale? (a) x i da i l x i dega x i > 0. (b) x i da i l x i. (c) ( x i, x2 i ) da ( x i, (x i x) 2 ) (d) ( x i, x3 i ) da ( x i, (x i x) 3 ) 5. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi dega fugsi kepadata proabbilitas diyataka dega f(x; µ, σ) [ σ exp (x µ) ] σ jika x µ, < µ < da σ > 0. (a) Jika µ diketahui maka tetuka statistik cukup utuk σ. (b) Jika σ diketahui maka tetuka statistik cukup utuk µ. (c) Tetuka statistik cukup utuk (µ, σ). 6
19 Chapter 3 : Estimasi Titik Soal Jika X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi Biom(, θ) dega θ Ω (0, ) maka tetuka estimator UMVU utuk parameter θ. Karea X statistik cukup tak bias yag legkap utuk θ maka X estimator UMVU utuk θ. Soal 2 Jika X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi U(0, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator tak bias utuk mea da variasi dari X yag haya tergatug pada statistik cukup dari parameter θ. Karea X mempuyai distribusi U(0, θ) maka E[X] θ/2 da Var(X) θ 2 /2. Statistik cukup utuk θ adalah Y max{x, X 2,..., X }. Fugsi 7
20 distribusi dari Y adalah F Y (y) P (Y y) P (max{x, X 2,..., X } y) P (X y, X 2 y,..., X y) ( ) P (X y) ( ) F X (y) ( y θ ) utuk 0 y θ, sehigga fugsi kepadata probabilitas dari Y adalah utuk 0 y θ. Akibatya E[Y ] θ 0 f(y) df y dy θ y y θ dy [ y + ] θ θ θ. Karea itu estimator tak bias utuk meaya yaitu θ 2 adalah Demikia juga, berlaku sifat E(Y 2 ) θ max{x, X 2,..., X }. y 2 y θ dy [ y +2 ] θ θ θ2. Akibatya estimator tak bias utuk θ 2 /2 adalah + 2 ( 2. max{x, X 2,..., X }) 2 Soal 3 Diketahui X,..., X sampel radom salig bebas dari distribusi Gamma(α, β) dega α diketahui da β tidak diketahui. Tujukka bahwa estimator UMVU dari θ yaitu U(X,..., X ) α 8 X i X α
21 da variasiya mecapai batas bawah Cramer-Rao. Misalka θ β dega θ Ω (0, ). Karea X i berdistribusi Gamma(α, θ) maka f(x, x 2,..., x ; θ) θ α xα i e x i/θ utuk x i > 0 sehigga fugsi kepadata probabilitas bersamaya adalah f(x; θ) f(x i ; α, θ) θ α xα i e x i/θ ( Γ(α) ) ( x i ) α θ α exp [ θ ] x i. Dega megguaka Teorema Faktorisasi Fisher-Neyma diperoleh bahwa X i merupaka statistik cukup utuk θ. Karea E[X i ] αθ maka E[ X/α] θ sehigga X/α merupaka estimator tak bias utuk θ. Demikia juga dapat dibuktika bahwa X i merupaka statistik yag legkap utuk θ sehigga dega megguaka Teorema, X/α merupaka estimator UMVU utuk θ. Karea V ar(x i ) αθ 2 maka Var( X/α) Var( X 2 α2 αθ2 α 2 θ2 α Utuk medapatka batas bawah Cramer-Rao, terlebih dahulu dihitug iformasi Fisherya. Karea X berdistribusi Gamma(α, θ) maka logaritma atural dari fugsi kepadata probabilitasya adalah l f(x; θ) α l θ l Γ(α) + (α ) l x x θ. Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh l f(x; θ) θ α θ + x θ 2 9
22 da sehigga [ 2 l f(x; θ) ] E θ 2 2 l f(x; θ) θ 2 α θ 2 2x θ 3 [ E α θ 2X ] ( α 2 θ 3 θ 2αθ ) α 2 θ 3 θ. 2 Iformasi Fisherya adalah I(θ) θ2 Var(U). Hal itu berarti bahwa variasi U mecapai batas bawah α Cramer-Rao. Soal 4 Diketahui X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi U(θ, 2θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator tak bias utuk θ. Karea X berdistribusi U(θ, 2θ) maka fugsi kepadata probabilitasya dari X adalah f(x; θ) θ utuk 0 x 2θ sehigga fugsi distribusi dari X adalah F X (x) x θ θ utuk 0 x 2θ Misalka statistik cukup utuk θ diotasika dega U mi{x,..., X }. Fugsi distribusi dari U adalah F U (u) P (U u) P (U > u) P (mi{x,..., X } > u) P (X > u, X 2 > u,..., X > u) [P (X > u)] [ P (X u] [ u θ ] θ [ 2θ u ] θ 20
23 sehigga fugsi kepadata probabilitas dari U adalah df/du yaitu ( ) u) f U (u) 2θ u (2θ θ θ utuk θ x 2θ. Harga harapa dari variabel radom U adalah E[U] 2θ θ u (2θ u) du. θ Misalka diguaka substitusi w 2θ u sehigga dw du. Akibatya utuk u θ maka w θ da utuk u 2θ maka w 0. Diperoleh E[U] 0 θ θ 0 θ (2θ w)w ( dw) θ (2θ w)w dw θ 2θ 0 θ dw [ w ] θ 2θ θ 0 2θ + θ θ θ 0 + w dw θ [ w + θ ] θ 0 Hal itu berarti mi{x,..., X } merupaka statistik tak bias utuk θ. Misalka V max{x,..., X }. Fugsi distribusi dari variabel radom V adalah F V (v) da fugsi kepadata probabilitas V adalah (v θ) θ utuk θ v 2θ Akibatya f V (v) (v θ) θ utuk θ v 2θ. E[V ] 2θ θ v (v θ) dv. θ 2
24 Misalka diguaka substitusi w v θ sehigga dw dv. Akibatya utuk v θ maka w 0 da utuk u 2θ maka w θ. Diperoleh E[V ] θ 0 θ 0 (w + θ) w dw w θ dw + + θ + θ θ. θ θ 0 w dw θ Hal itu berarti max{x, X 2,..., X } juga merupaka statistik tak bias utuk θ. Pada sisi lai dega megigat bahwa maka E[2U + V ] 2E[U] + E[V ] θ θ θ + [ ] 2 mi{x, X 2,..., X } + max{x, X 2,..., X } estimator tak bias utuk θ. Soal 5 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Poisso(θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator UMVU utuk θ da tetuka variasi serta batas bawah Cramer-Rao. Dari Chapter dapat dilihat bahwa X merupaka statistik cukup yag legkap sehigga dega megguaka Teorema Lehma-Scheffe diperoleh bahwa X estimator UMVU dega variasi θ/. Pada sisi lai, karea X mempuyai distribusi Poisso(θ) maka fugsi probabilitasya adalah f(x; θ) e θ θ x x! 22
25 utuk x 0,, 2,..., sehigga logaritma atural dari f(x; θ) adalah f(x; θ) θ + x l θ l(x!). Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh sehigga Akibatya θ f(x; θ) + x θ ( θ f(x; θ) ) 2 2x θ + x2 θ 2. [ ] 2 E θ f(x; θ) 2E[X] + E[X]2 θ θ 2 2θ θ 2θ θ + θ + θ2 θ 2 θ. + V (x) + (E[X])2 θ 2 Oleh karea itu batas bawah Cramer-Rao yaitu θ/ sama dega variasi dari X. Soal 6 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Biom(, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka MLE utuk θ. Karea X i berdistribusi Biom(, θ) maka fugsi probabilitasya adalah f(x i ; θ) θ x i ( θ) x i dega x i 0,, 2,..., sehigga fugsi likelihoodya adalah L(θ x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) θ x i ( θ) x i θ P x i ( θ) P 23 x i.
26 Logaritma dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) (l θ) x i l( θ) + l( θ). Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh dl dθ x i + x i θ θ θ. Akibatya θ yag memaksimumka fugsi likelihoodya aka sama dega akar dari persamaa dl 0 yaitu dθ x i + x i θ x i θ x i + θ x i θ( θ) θ θ 0 θ Hal itu berarti MLE utuk θ adalah ˆθ X. Soal 7 θ x i X. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi ekspoesial yaitu dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θe θx dega θ Ω R. Tetuka MLE utuk θ. Fugsi likelihoodya adalah L(θ x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) θe θx i θ e θ P x i 24
27 sehigga logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) l θ θ x i Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh dl dθ θ x i. Akibatya θ yag memaksimumka fugsi likelihoodya aka sama dega akar dari persamaa dl dθ 0 θ x i 0 θ θ x i x. i Hal itu berarti MLE utuk θ adalah ˆθ / X. Soal 8 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi N(µ, σ 2 ) dega µ da σ 2 tidak diketahui. Tetuka MLE utuk θ. Karea X berdistribusi N(µ, σ 2 ) maka fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x; µ, σ) [ exp (x ] µ)2 2πσ 2 2σ 2 25
28 sehigga fugsi likelihoodya adalah L(θ; x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) [ exp (x i µ) 2 ] 2πσ 2 2σ 2 ( ) [ exp (x i µ) 2 ] 2πσ 2 2σ 2 ( ) [ exp x i + 2µ x ] i µ2 2πσ 2 2σ 2 2σ 2 2σ 2 dega θ (µ, σ 2 ). Akibatya logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ l f(x; µ, σ 2 ) 2 l(2πσ2 ) x2 i + 2µ x2 i µ2 2σ 2 2σ 2 2σ. 2 MLE diperoleh dega meyelesaika sistem persamaa berikut : l µ x i 2µ σ 2 2σ 2 l σ 2 2σ 2 + x i 2σ 4 µ σ 2 + µ4 2σ 4. Diperoleh MLE utuk (µ, σ 2 ) masig-masig adalah atau ˆµ X 2σ 2 σ 2 (x i µ) 2 2σ 4. (X i µ) 2. Soal 9 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi dega fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x; θ, θ 2 ) [ exp x θ ] θ 2 θ 2 26 utuk x > θ
29 Tetuka MLE utuk θ da θ 2. Fugsi likelihoodya adalah L(θ, x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) [ exp x i θ ] θ 2 θ 2 ( ) [ exp (x i θ ) 2 ] θ 2 θ 2 utuk mi{x, X 2,..., X } > θ. Akibatya logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) l f(x; θ, θ 2 ) l(θ 2 ) x i θ θ 2 θ 2 utuk mi{x, X 2,..., X } > θ. Fugsi likelihood mecapai maksimum bila ˆθ mi{x, X 2,..., X } da MLE utuk θ 2 diperoleh dega meyelesaika persamaa berikut : l θ 2 2 θ 2 + x i θ 2 + θ θ 2 0. Diperoleh x i θ 2 2 (θ 2 θ ) θ 2 2 atau ˆθ 2 X + mi{x, X 2,..., X }. Soal 0 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi U( θ, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator mome utuk θ. Karea mome pertama dari X yaitu E(X) 0 maka diguaka mome 27
30 kedua dari X yaitu E[X 2 ] θ 2 /3. Akibatya estimator mome utuk θ merupaka peyelesaia dari θ 2 3 x2 i yaitu ˆθ 3 X. Soal Diketahui X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi N(θ, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka MLE utuk θ. Karea X berdistribusi N(θ, θ) maka fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x; θ) [ exp 2πθ sehigga fugsi likelihoodya adalah L(θ x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) 2πθ exp ( 2πθ ) /2 exp (x ] θ)2 2θ [ (x i θ) 2 ] 2θ [ (x i θ) 2 2θ Akibatya logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) l L(θ x, x 2,..., x ) 2 l(2πθ) (x i θ) 2 2θ 2 l(2πθ) x2 i 2θ MLE utuk θ diperoleh dega meyelesaika persamaa berikut : l θ 2θ + x2 i 2θ atau θ 2 + θ x 2 i ]. x 2 i θ 2.
31 Persamaa tersebut merupaka persamaa kuadrat dalam θ da dega megguaka rumus ABC diperoleh akar-akarya yaitu da θ x2 i 2 θ x2 i 2 Karea parameter θ juga merupaka variasi dari X i maka haruslah positif sehigga yag memeuhi adalah atau atau ˆθ 2 Soal 2 [ ] + 4 x2 i. θ x2 i 2 + θ + 4 x2 i 2 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi U(θ a, θ + b) dega θ Ω R. Tetuka estimator mome utuk θ da variasiya. Karea X U(θ a, θ + b) maka E[X ] θ + b a da Var(X) (b a)2. Estimator mome utuk θ merupaka peyelesaia dari persamaa E[X ] X 2 2 yaitu θ + b a 2 X sehigga estimator mome utuk θ adalah ˆθ X + b a 2. Variasi utuk estimator mome tersebut adalah V (ˆθ) V ( X + b a 2 ) V ( X) V (X ) 29. (b a)2 2.
32 Soal 3 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Gamma(α, β). Tetuka estimator mome utuk α da β. E[X ] X E[X 2 ] X 2 X 2 i yaitu αβ X αβ 2 + (αβ) 2 X 2. Diperoleh αβ 2 + (αβ) 2 X 2 ( X) 2 αββ X 2 ( X) 2 S 2 Xβ S 2. Akibatya estimator mome utuk β adalah ˆβ S 2 / X dega S 2 (X i X) 2 da estimator mome utuk α adalah ˆα ( X) 2 /S 2. Soal 4 Te- Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Beta(α, β). tuka estimator mome utuk α da β. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) maka E[X ] αβ da V (X ) αβ 2 sehigga estimator mome tersebut merupaka peyelesaia dari sistem persamaa 30
33 Karea X berdistribusi Beta(α, β) maka E[X ] sehigga V (X ) αβ (α + β) 2 (α + β + ) E(X 2 ) V (X ) + (E(X )) 2 α da α+β αβ (α + β) 2 (α + β + ) + α 2 (α + β) 2 α [ β α + β (α + β)(α + β + ) + α ] α + β Estimator mome tersebut merupaka peyelesaia dari sistem persamaa E(X ) X E(X 2 ) X 2 X 2 i yaitu α [ α + β β (α + β)(α + β + ) + α α + β α α + β X ] X 2. Diperoleh α X + β X α atau α( X) β X atau α β X/( X). Akibatya X 2 X [ β ( )( ) + X ] β X X + β β X X + β + X [ β ( )( ) + X ] X X + β X X + β + X [ ] ( )( ) + ( X) 2. X+ X X β X X + β X X + 3
34 Diperoleh X 2 X 2 X [ ( X β X + X X S 2 X [ ( 2 X) ] (β + X) β + X X [ ( 2 X) ]. S 2 Hal itu berarti estimator mome utuk β adalah ˆβ X [ ( 2 X) ] + S X 2 sehigga estimator mome utuk α adalah ˆα ˆβ Soal 5 ] ) X X. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Biom(4, θ) dega θ (0, ). Tetuka estimator Bayes utuk θ bila priorya adalah π(θ) B(6, 7) θ5 ( θ) 6. Fugsi probabilitas dari X adalah f(x; θ) B(6, 7) θx ( θ) 4 x utuk x 0, 2, 3, 4, 5. Misalka prior utuk θ adalah π(θ) B(6, 7) θ5 ( θ) 6 utuk 0 < θ <. Distribusi posterior dari θ bila diberika X yaitu π(θ x) adalah π(θ x) f(x θ)π(θ) 32
35 sebadig dega θ x ( θ) 4 x θ 5 ( θ) 6 θ x+5 ( θ) 0 x θ x+6 ( θ) x Dega melihat betuk tersebut maka distribusi posterior dari θ diberika X yaitu π(θ x) adalah distribusi Beta(6 + x, x) sehigga peaksir Bayes utuk θ merupaka mea dari distribusi posterir yaitu ˆθ E[θ x] x + 6 x x x Soal 6 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Biom(4, θ) dega θ (0, ). Tetuka estimator Bayes utuk θ bila priorya adalah π(θ) utuk 0 < θ <. Fugsi probabilitas dari X adalah ( 4 f(x θ) x ) θ x ( θ) 4 x utuk x 0,, 2, 3, 4. π(θ x) adalah Distribusi posterior dari θ bila diberika X yaitu π(θ x) f(x θ)π(θ) sebadig dega θ x ( θ) 4 x () θ x+ ( θ) 5 x Dega melihat betuk tersebut maka distribusi posterior dari θ bila diberika X yaitu π(θ x) adalah distribusi Beta( + x, 5 x) sehigga peaksir Bayes utuk θ merupaka mea dari distribusi posterior yaitu ˆθ E[θ x] x + x x x
36 Soal 7 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θx θ dega θ > 0. Bila distribusi prior dari θ adalah π(θ) Γ(r)λ r θr e θ/λ utuk θ > 0. Tetuka estimator Bayes utuk parameter θ. Distribusi posterior dari θ bila diberika sampel radom X, X 2,..., X adalah π(θ x, x 2,..., x ) f(x θ)f(x 2 θ)... f(x θ)π(θ) atau sebadig dega ( ) θ ( θ x i ( Berarti distribusi posteriorya Gamma +r, dari distribusi posterior yaitu x i ) e r e θ/λ θ +r e θ[(/λ) l Q x i] ˆθ merupaka peaksir Bayes utuk θ. ( + r)λ λ l x i θ +r e θ[(/λ) P l x i] λ λ P l x i ). Akibatya mea Soal 8 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x i ; θ) 2π e 2 (x i θ) 2 34
37 dega θ > 0. Bila distribusi prior dari θ adalah π(θ) 2π e θ2 /2 utuk θ > 0. Tetuka estimator Bayes utuk parameter θ. Distribusi posterior dari θ bila diberika sampel radom X, X 2,..., X adalah π(θ x, x 2,..., x ) f(x θ)f(x 2 θ)... f(x θ)π(θ) atau sebadig dega [ exp 2 ( 2θ atau sebadig dega x i + ( + )θ 2)] [ exp 2 ( + )( θ 2 2θ + [ exp 2 ( + )( θ 2θ + ) 2 x i ]. ( P Hal itu berarti distribusi posteriorya merupaka distribusi N x i Akibatya mea dari distribusi posterior yaitu Bayes utuk θ. ) ] x i +, + ). P x i + merupaka peaksir Soal 9 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x i ; θ) 2π e 2 (x i θ) 2 dega θ > 0. Bila distribusi prior dari θ adalah π(θ) 2π e 2 (θ µ 0) 2 Tetuka estimator Bayes utuk parameter θ. 35
38 Distribusi posterior dari θ bila diberika sampel radom X, X 2,..., X adalah π(θ x, x 2,..., x ) f(x θ)f(x 2 θ)... f(x θ)π(θ) atau sebadig dega atau sebadig dega [ exp ( 2θ 2 x i + ( + )θ 2 2µ 0 θ )] [ exp ( 2 ( + ) θ 2 2θ ( µ0 + + ) )] x i ( µ0 + P ) Berarti distribusi posteriorya merupaka distribusi N x i,. Akibatya mea dari distribusi posterior yaitu µ 0+ P + + x i merupaka estimator + Bayes utuk θ. 36
39 Chapter 4 Latiha Soal Estimasi Titik. Jika X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi U(0, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator tak bias utuk mea da variasi dari X yag haya tergatug pada statistik cukup dari parameter θ. 2. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom salig bebas dari distribusi U(θ, θ 2 ) dega θ < θ 2. Tetuka estimator tak bias utuk mea yaitu (θ + θ 2 )/2 da rage yaitu θ 2 θ yag haya tergatug pada statistik cukup utuk (θ, θ 2 ). 3. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom salig bebas dari distribusi dobel ekspoesial yaitu dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) 2 e x θ dega θ Ω R. Tujukka (X 2 () + X () ) bahwa merupaka estimator tak bias utuk θ. 4. Jika X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas : f(x; θ) θ e x θ utuk x > 0 dega θ Ω (0, ) maka tetuka estimator UMVU utuk parameter θ. 5. Jika X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas : f(x; θ) θ e x θ 37
40 utuk x > 0 dega θ Ω (0, ) maka tetuka estimator MLE utuk parameter θ. 6. Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik mempuyai fugsi kepadata probabilitas : f(x; θ) γ θ e xγ θ utuk x > 0, θ > 0 da γ > 0 dega γ diketahui. Tetuka MLE utuk θ. 7. Diketahui X da X 2 variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) 2 (θ x) θ utuk 0 < x < θ da θ Ω (0, ). Tetuka estimator mome utuk parameter θ. 8. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Cauchy dega σ da µ tidak diketahui. Misalka diigika utuk megestimasi µ, maakah salah satu dari estimator utuk µ yag ada pilih yaitu X ataukah X? Jelaska jawaba ada! 9. Misalka X, X 2,..., X meotasika sampel radom dari suatu distribusi yaitu N(θ, ). Tetuka estimator terbaik utuk θ Diketahui adalah sampel radom dari suatu distribusi N(0, θ). Statistik Y X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Tetuka estimator terbaik utuk θ 2.. Misalka X pegamata tuggal dari distribusi Beroulli f(x; θ) θ x ( θ) x I {0,} (x) dega 0 < θ <. Misalka T (X) X da T 2 (X0 2. (a) Apakah T (x) da T 2 (x) tak bias? (b) Badigka MSE (mea squared error) dari T (x) dega T 2 (X). 2. Misalka X adalah pegamata tuggal dari N(0, θ) dega θ σ 2. (a) Apakah X statistik cukup utuk θ? 38
41 (b) Apakah X statistik cukup utuk θ? (c) Apakah X 2 estimator tak bias dari θ? (d) Apakah MLE utuk θ? 3. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) θx 2 I [θ, ) (x) (a) Tetuka estimator MLE utuk θ. (b) Apakah mi{x, X 2,..., X } statistik cukup utuk θ? 4. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) θx θ I (0,) (x) (a) Tetuka estimator MLE utuk µ θ/( + θ). (b) Tetuka estimator UMVU utuk /θ da µ? 5. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) 2x/θ 2 I (0,θ) (x) (a) Tetuka estimator MLE utuk θ. (b) Apakah max{x, X 2,..., X } statistik cukup utuk θ? Apakah max{x, X 2,..., X } legkap? (c) Adakah estimator UMVU utuk θ? Jika ada, tetuka estimator itu. 6. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) θ( + x) (+θ) I (0,θ) (x) 39
42 (a) Estimasi θ dega metode mome dega megaggap θ >. (b) Tetuka estimator MLE utuk /θ. (c) Apakah statistik cukup da legkap utuk θ jika ada? (d) Tetuka batas bawah Cramer-rao utuk estimator tak bias utuk /θ. (e) Tetuka estimator UMVU utuk /θ jika ada. (f) Tetuka estimator UMVU utuk θ jika ada. 7. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega < θ <. f(x; θ) e (x θ) exp[ e (x θ) ] (a) Tetuka metode mome dari θ. (b) Tetuka MLE dari θ. (c) Tetuka statistik cukup yag legkap utuk θ. (d) Tetuka batas bawah Cramer-Rao utuk estimator tak bias dari θ. (e) Adakah suatu fugsi dari estimator tak bias utuk θ yag variasiya bersesuaia dega batas bawah Cramer-Rao? Jika ada tetuka. 8. Jika X pegamata tuggal dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) 2x/θ 2 I (0,θ) (x) dega θ > 0. Aggap bahwa θ mempuyai distribusi prior seragam atas iterval (0,). Dega loss fuctio θ 2 ( θ) 2, tetuka estimator Bayes utuk θ. 9. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θx θ I (0,) (x) dega θ > 0. Aggap bahwa distribusi prior dari θ adalah Gamma(r, λ) dega r da λ diketahui. Apa distribusi posterior dari θ? Tetuka estimator Bayes dari θ dega prior yag diberika dega megguaka fugsi kerugia kuadrat. 40
43 Chapter 5 : Uji Hipotesis Soal Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas. Kostruksika uji MP utuk meguji bahwa distribusi bersama dari X adalah N(0, 9) melawa alteratif N(, 9) dega tigkat keberartia α 0, 05. Tetuka juga kuasa dari uji tersebut. Utuk meguji hipotesis H : θ 0 melawa alteratif A : θ pada tigkat α 0, 05 diguaka uji MP berikut : { jika X > c0 φ(x) 0 utuk yag lai dega c 0 ditetuka oleh E[φ(x)] P ( X > c 0 ) 0, 05. Variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi N(0, 9) maka X berdistribusi N(0, 9/6) sehigga P ( X > c 0 ) 0, 05 P ( X 0 3/4 > c 0 0 ) 3/4 0, 05 P (Z > 4c 0 ) 0,
44 Berdasarka tabel distribusi ormal baku diperoleh sehigga c 0, 23. Kuasa ujiya adalah P ( X >, 23) P ( X, 23 > ) 3/4 3/4 P (Z > 0, 725) 0, Hal itu berarti bila θ maka probabilitas meolak hipotesisya adalah 0,5685. Soal 2 Pajag hidup X bola lampu 50 watt merek tertetu diaggap mempuyai distribusi ormal dega mea µ tidak diketahui sedagka simpaga baku σ 50 jam. Variabel radom X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da masig-masig berdistribusi X serta diaggap bahwa X 730 jam. Ujilah hipotesis H : µ 800 melawa alteratif A : µ < 800 pada tigkat keberartia α 0, 0. Utuk meguji hipotesis H : µ 800 melawa alteratif A : µ < 800 pada tigkat keberartia α 0, 0 diguaka uji MP : { jika X < c φ(x) 0 jika X c dega c ditetuka sehigga P ( X < c) 0, 0 da X N(800, 50 2 ). Karea P ( X < c) 0, 0 maka P ( X 800 < c 800 ) 0, 0 atau P (Z < c 800 ) 0, Berdasarka tabel distribusi ormal diperoleh c , 33 atau c (50)( 2, 33) 450, 5. Soal 3 Diketahui X,..., X 30 variabel radom salig bebas dari distribusi Gamma(α, β) dega α 0 da β tidak diketahui. Kostruksika uji MP dari hipotesis 42
45 H : β 2 melawa alteratif A : β 3 pada tigkat keberartia α 0, 05. Utuk megkostruksika uji MP terlebih dahulu dihitug : R(x; θ 0, θ ) f(x ; θ )... f(x ; θ ) f(x ; θ 0 )... f(x ; θ 0 ) x 0 exp[ x θ ] Γ(0)θ 0 x 0 exp[ x θ 0 ] Γ(0)θ 0 0 ( θ0 θ ) 0 exp [ Logaritma atural dari R(x; θ 0, θ ) adalah ( θ0 ) l R(x; θ 0, θ ) 0 l θ... x0 exp[ x ] θ Γ(0)θ 0... x0 exp[ x ] θ 0 Γ(0)θ0 0 ( ) θ θ 0 ( θ θ 0 ) dega θ 0 < θ. Karea θ 0 < θ maka θ 0 < θ sehigga θ θ < 0 ( ) atau θ θ 0 > 0. Oleh karea itu R(x; θ 0, θ ) > c ekuivale dega l R(x; θ 0, θ ) > l c atau dega ( θ0 ) 0 l θ ( ) x i > l c θ θ 0 x i ]. ( ) ( θ0 ) x i > l c 0 l θ θ 0 θ c 0 x i > c 0 ( ) θ l c 0 l 0 θ ( ). θ θ 0 Hal itu berarti uji MP diyataka dega { jika φ(x) x i > c 0 0 jika x i c 0 43 x i
46 dega c 0 ditetuka sehigga E[φ(x)] P ( x i > c 0 ) α. Bila θ 0 2 da θ 3 maka X i Gamma(300, 2) sehigga P ( X i > c) 0, 05. Akibatya c 0 658, 09. Kuasa ujiya adalah P ( X i > 658, 09) dega X i Gamma(300, 3). 44
47 Chapter 6 Latiha Soal Uji Hipotesis. Dalam cotoh berikut ii, tujukka maa peryataa yag merupaka hipotesis sederhaa da yag maa yag merupaka hipotesis komposit : (a) X variabel radom yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas f dega f(x) 2e 2x utuk x > 0. (b) X adalah variabel radom yag mempuyai harapa sama dega 5. (c) Ketika melakuka pelempara sebuah mata uag logam, misalka X varaibel radom yag mempuyai ilai jika muka yag tampak da 0 jika belakag yag tampak. Peryataaya adalah mata uagya bias. 2. Diketahui X variabel radom berdistribusi Biom(, θ) dega θ Ω (0, ). (a) Tetuka uji UMP utuk pegujia hipotesis H : θ θ 0 melawa alteratif A : θ > θ 0 pada tigkat keberartia α. (b) Bagaimaa uji tersebut bila 0, θ 0 0, 25 da α 0, 05? (c) Hituglah kuasa uji pada θ 0, 375, 0, 5, 0, 625 da 0, Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θ e x/θ utuk x > 0 dega θ Ω. Tetuka uji UMP utuk pegujia hipotesis H : θ θ 0 melawa alteratif A : θ < θ 0 pada tigkat keberartia α. 4. Diketahui variabel radom X, X 2,..., X berdistribusi N(0, σ 2 ). Tetuka uji hipotesis H : σ 2 melawa alteratif A : σ > 2 pada 45
48 tigkat keberartia α 0, 05. x2 i 20. Apa kesimpula yag diperoleh jika 5. Diketahui varaibel radom yag salig bebas da berdistribusi N(µ, σ 2 ). Tetuka uji UMP utuk pegujia hipotesis H : σ σ 0 melawa alteratif A : σ σ 0 pada tigkat keberartia α. Tetuka uji tersebut bila 25, σ 0 2, α 0, Jika adalah variabel radom salig bebas da berdistribusi N(µ, σ 2 ) maka tetuka uji LR da uji berdasarka pada 2 l λ utuk pegujia hipotesis H : σ σ 0, utuk yag pertama jika µ diketahui da utuk yag kedua jika µ tidak diketahui. 7. Diketahui X i, i, 2, 3, 4 da Y i, i, 2, 3, 4 sampel radom salig bebas da masig-masig dari distribusi N(µ, σ 2) da N(µ 2, σ2 2 ). Jika diketahui bahwa σ 4 da σ 2 3 da data observasi dari X da Y adalah sebagai berikut : x 0,, x 2 8, 4, x 3 4, 3, x 4, 7, y 9, y 2 8, 2, y 3 2,, y 4 0, 3 Uji hipotesis bahwa perbedaa dua mea tidak lebih dari pada tigkat keberartia α 0, Misalka X, X 2, X 3 variabel radom salig bebas da berdistribusi Biom(, θ). (a) Uji hipotesis pada tigkat keberartia α dega meguaka statistik LR da tetuka distribusiya. (b) Badigka uji LR dega uji UMPU utuk pegujia H melawa A : p 0,
49 Chapter 7 : Estimasi Iterval Soal Misalka Φ fugsi distribusi N(0, ) da a, b dega a < b sehigga Φ(b) Φ(a) γ dega 0 < γ <. Tujukka bahwa b a miimum jika b c da a c dega c > 0. Misalka Φ(b) Φ(a) γ maka dega medefresialka kedua ruas terhadap a diperoleh ϕ(b) db da ϕ(a) 0 dega ϕ adalah fugsi kepadata probabilitas ormal baku. Akibatya diperoleh db da ϕ(a)/ϕ(b) 0 Misalka L b a yaitu pajag iterval kepercayaa. Pajag iterval L aka mecapai miimum bila dl/da 0 yaitu db/da 0 sehigga db/da. Akibatya ϕ(a)/ϕ(b) atau ϕ(a) ϕ(b). Hal itu berarti bahwa a b atau a b. Karea b > a maka dipilih b c dega c > 0 sehigga a c. Soal 2 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas berdistribusi N(µ, σ 2 ) dega µ diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk σ dega koefisie 47
50 kepercayaa α. Misalka R X () X () da didefiisika W Z () Z () dega Z () X () µ da Z σ () X () µ. Karea W berdistribusi studetized σ rage maka a da b ditetuka sehigga P (a R σ b) α atau P ( a b ) α atau P ( R σ R ) α. Hal itu berarti R σ R b a bahwa iterval kepercayaa utuk σ adalah [ R/b, R/a ]. Soal 3 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θ e x/θ utuk x > 0. Tetuka iterval kepercayaa utuk θ dega koefisie kepercayaa α. Karea 2X i berdistribusi χ 2 θ 2 maka 2 P X i berdistribusi χ 2 θ 2 sehigga utuk meetuka iterval kepercayaa utuk θ dilakuka dega meetuka a da b sehigga P (a χ 2 2 b) α P (a 2 X i b) α θ P ( a θ X i b ) α. Dalam hal ii a da b ditetuka sehigga a 2 g 2 (a) b 2 g 2 (b) da b a g 2 (t)dt α 48
51 dega g 2 (t) adalah fugsi kepadata probabilitas dari distribusi χ 2 2. Soal 4 Diketahui variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi seragam pada (0, θ). Guaka rage R X () X () utuk meetuka iterval kepercayaa utuk θ. Karea berdistribusi seragam pada (0, θ) maka berdistribusi seragam pada (0, ) sehigga Y (X () X () )/θ aka mempuyai fugsi kepadata probabilitas { ( )y f(y) 2 ( y) utuk 0 < y < 0 utuk yag lai Iterval kepercayaa utuk θ ditetuka dega meetuka a da b sehigga P (a X () X () θ b) α dega Y (X () X () )/θ mempuyai fugsi kepadata probabilitas seperti tersebut di atas. Akibatya P ( X () X () b P ( a b X () X () θ b ) α θ X () X () ) α a P ( R b θ R a ) α. Soal 5 Diketahui variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi dega fugsi kepadata f(x; θ) e x θ utuk x > θ, θ Ω R da misalka Y X (). Tujukka bahwa. Fugsi kepadata probabilitas g dari Y diberika sebagai g(y) exp[ (y θ)] utuk y > θ. 49
52 2. Variabel radom T (θ) 2(Y θ) berdistribusi χ Iterval kepercayaa utuk θ berdasarka pada T (θ) dega koefisie kepercayaa α berbetuk [Y b, Y b ] Iterval kepercayaa terpedek θ seperti betuk di atas diberika oleh [Y χ2 2;α 2, Y ] dega χ2 2;α adalah kuatil atas dari distribusi χ2 2. Bagaimaa dega iterval kepercayaa terpedek dari harapa pajagya.. Fugsi distribusi dari X adalah F (x; θ) x x θ x θ 0 f(t)dt e (t θ) dt e u du [ e u] x θ 0 e (x θ) dega u t θ. Akibatya fugsi distribusi dari adalah Y X () mi{x, X 2,..., X } F (y) P (Y y) P (mi{x, X 2,..., X } y) P (mi{x, X 2,..., X } > y) P (X > y, X 2 > y,..., X > y) [P (X > y)] ( P (X y)) (e (y θ) ) e (y θ). Fugsi kepadata probabilitas dari Y diperoleh dega meuruka F (y) terhadap variabel y yaitu diperoleh g(y) F (y) e (y θ) utuk y > θ. 50
53 2. Misalka statistik T T (θ) 2(Y θ). Bila t 2(y θ) maka y θ + t dy sehigga. Akibatya fugsi kepadata probabilitas 2 dθ 2 dari statistik T adalah h(t) 2 e t/2 utuk t. Hal itu berarti statistik T berdistribusi chi-kuadrat dega derajat bebas Iterval kepercayaa utuk θ ditetuka dega meetuka a da b sehigga Soal 6 P (a χ 2 2 b) α P (a 2(Y θ) b) α P ( a 2 Y θ b 2 ) α P ( Y + a b θ Y ) α P (Y a 2 θ Y b 2 ) α P (Y b 2 θ Y a 2 ) α. Diketahui variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ θ x γ exp[ xγ θ ] utuk x > θ, θ > 0 da γ > 0 dega θ Ω R. Karea Y 2Xr i berdistribusi χ 2 θ 2 maka Y 2 P Xr i berdistribusi χ 2 θ 2. Iterval kepercayaa utuk θ dega meetuka a da b sehigga P (a 2Y θ b) α P ( a θ 2Y b ) α P ( 2Y b θ 2Y a ) α dega Y Xr i. Hal itu berarti iterval kepercayaa utuk θ adalah [ 2Y b, 2Y b ] dega a da b memeuhi a2 g 2 (a) da b a g 2(t)dt α. Dalam 5
54 hal ii g 2 (t) adalah fugsi kepadata probabilitas dari variabel radom yag berdistribusi chi-kuadrat dega derajat bebas 2. Soal 7 Diketahui X,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ) 2 da Y,..., Y sampel radom dari populasi dega sigma 2, sigma2 2 diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk µ µ 2. Misalka didefiisika statistik T (µ µ 2 ) ( X m Ȳ) (µ µ 2 ). σ 2 + σ2 2 m Karea X, X 2, X 3,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ 2) maka X m m m X i berdistribusi N(µ, σ2 ) da karea Y m, Y 2,..., Y sampel radom dari populasi maka Ȳ Y i berdistribusi N(µ 2, σ2 2 ) sehigga X m Ȳ berdistribusi N(µ µ 2, σ2 + σ2 2 m ). Akibatya T berdistribusi N(0, ). Iterval kepercayaa utuk µ µ 2 ditetuka dega cara meetuka a da b sehigga P (a T b) α. Akibatya ( P ( X m Y σ 2 ) + a P ( X m P ( X m Y b P (a ( X m Y ) (µ µ 2 ) σ 2 m + σ2 2 ) b ( σ 2 P a m + σ2 2 X m Y σ 2 ) (µ µ 2 ) b m + σ2 2 m + σ2 2 (µ µ 2 ) ( X m Y σ 2 ) ) + b m + σ2 2 σ 2 Y a m + σ2 2 µ µ 2 X m Y σ 2 ) b m + σ2 2 σ 2 m + σ2 2 µ µ 2 X m Y σ 2 ) a m + σ2 2 Dalam hal ii a da b ditetuka sehigga Φ(b) Φ(a) α. Soal 8 α α α α α. Diketahui X,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ 2 ) da Y,..., Y sampel radom dari populasi dega µ, µ 2 diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk σ 2 /σ 2 2 dega koefisie kepercayaa α. 52
55 Misalka didefiisika statistik T (σ 2 /σ2 2 ) σ2 σ 2 dega S 2 m m m (X i µ ) 2 da S 2 (Y i µ 2 ) 2. Karea X,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ 2) maka ms2 m berdistribusi σ 2 χ 2 m da karea Y,..., Y sampel radom dari populasi N(µ 2, σ2) 2 maka S2 σ2 2 berdistribusi χ 2 S 2 Sm 2 T (σ 2 /σ 2 2) σ2 σ 2 S 2 Sm 2 S 2 σ 2 2 ms 2 m σ 2 berdistribusi F m,. Karea t berdistribusi F m, maka iterval kepercayaa utuk dapat ditetuka dega meetuka a da b sehigga P (a F m, b) α P (a T b) α P (a σ2 σ 2 S 2 Sm 2 b) α P (a S2 m S 2 σ2 σ 2 b S2 m ) α. S 2 Hal itu berarti iterval kepercayaa utuk σ 2 /σ 2 2 adalah Soal 9 [ a S2 m S 2 σ2 σ 2 b S2 m S 2 ]. Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega mea µ tidak diketahui da variasiya σ 2 berhigga da diketahui serta ukura sampel besar.. Guaka teorema limit setral utuk megkostruksika iterval kepercayaa µ dega koefisie kepercayaa medekati α. 2. Tetuka iterval kepercayaa medekati 0, 95 jika ukura sampel 00 da variasi. 3. Tetuka sehigga pajag iterval 0, dega σ da α 0,
56 . Karea X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega mea µ tidak diketahui da variasiya σ 2 berhigga da diketahui serta ukura sampel besar maka dega megguaka teorema limit setral diperoleh X µ σ/ N(0, ) utuk. Iterval kepercayaa utuk µ ditetuka dega meetuka a da b sehigga P (a N(0, ) b) α. Akibatya P (a X µ σ/ b) α P (a σ X µ b σ ) α P ( X + a σ µ X + b σ ) α P ( X a σ µ X b σ ) α P ( X b σ µ X a σ ) α [ Iterval kepercayaa utuk µ adalah X b σ, X ] a σ sedagka iterval kepercayaa terpedek utuk µ adalah X [ σ Zα/2, X ] σ + Z α/2 dega Z α/2 adalah kuatil α/2 utuk distribusi N(0, ). 2. Jika [ 00, σ, α 0, 05 ] maka[ iterval kepercayaa] utuk µ adalah x, 96, x +, 96 atau x 0, 96, x + 0, Pajag iterval dapat diyataka sebagai l X σ ( σ ) + Z α/2 X Zα/2 0, 2(, 96) 2(, 96) 39,
57 Soal 0 Diketahui X, X 2,..., X m variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) e x θ θ utuk x > 0 da Y, Y 2,..., Y variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(y; θ) θ 2 e y θ 2 utuk y > 0. Tetuka iterval kepercayaa utuk θ /θ 2 dega koefisie kepercayaa α. Karea X, X 2,..., X m variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θ e x θ utuk x > 0 maka berdistribusi Gamma(, θ ) sehigga 2 P m X i θ berdistribusi χ 2 2m da karea Y, Y 2,..., Y variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(y; θ) θ 2 e y θ 2 utuk y > 0 maka berdistribusi Gamma(, θ 2 ) sehigga berdistribusi χ 2 2. Dibetuk statistik T (θ /θ 2 ) 2 Y i θ 2 P Y i θ 2 2 P m. X i mθ Dalam hal ii T (θ /θ 2 ) berdistribusi F dega derajat pembilag da derajat bebas peyebut m. Utuk meetuka iterval kepercayaa utuk dilakuka dega meetuka a da b sehigga P (a F 2,2m b) α. Akibatya ( P a 2 P Y i θ 2 2 P m X i mθ ) b α P (a X θ θ 2 bȳ ) α. Hal itu berarti iterval kepercayaa utuk θ /θ 2 adalah [a X, bȳ ]. 55
58 Chapter 8 Latiha Soal Estimasi Iterval. Sampel ukura 25 dari populasi yag berdistribusi ormal dega variasi 8 diperoleh sampel meaya adalah 8,2. Tetuka iterval kepercayaa 95% utuk mea populasi. 2. Dimiliki sampel radom ukura 25 diambil dari distribusi N(0, σ 2 ). Kostruksika iterval kepercayaa utuk σ 2 dega koefisie kepercayaa 90%. 3. Dimiliki sampel 0,395, 0,034, 0,6858, 0,7626, 0,004, yag diambil dari distribusi ekspoesial dega mea θ da sampel 0,773, 0,5909, 0,3267, 0,477, 0,0322 yag diambil dari distribusi ekspoesial dega mea θ 2. Kostruksika iterval kepercayaa utuk θ /θ 2 dega koefisie kepercayaa medekati 90%. 4. Misalka X,..., X variabel radom yag mempuyai distribusi ekspoesial egatif dega parameter θ Ω (0, ) da aggap bahwa besar. Guaka teorema limit setral utuk megkostruksika iterval kepercayaa utuk θ dega koefisie kepercayaa medekati α. 5. Diketahui X, X 2,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ) 2 da Y,..., Y sampel radom dari populasi dega µ, µ 2 tidak diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk σ/σ dega koefisie kepercayaa α. 56
59 Bibliography [] Bai, L. J. ad Egelhardt, M., (992), Itroductio to probability ad mathematical statistics, Duxbury, Pasific Grove. [2] Lidgre, B. W., (993), Statistical Theory 4 th editio, Chapma & Hall Ic, New York. [3] Oosterhoff, J., (993), Algemee Statistiek, Faculteit Wiskude e Iformatica, Vrije Uiversiteit Amsterdam, Amsterdam. [4] Roussas, G. G., (973), A first Course i Mathematical Statistics, Addiso-Wesley Publishig Compay, Readig Massachusetts. 57
KELUARGA EKSPONENSIAL Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Inferensial Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Pd
KELUARGA EKSPONENSIAL Utuk Memeuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Iferesial Dose Pegampu: Nedra Mursetya Somasih Dwipa, M.Pd Disusu Oleh : V A4 Kelompok. Nuuk Rohaigsih (444009). Rochayati (444000) 3. Siam
Lebih terperinciStatistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:
Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pegatar Statistika Matematika II Metode Evaluasi Atia Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia April 11, 2017 atiaahdika.com Pegguaa metode estimasi yag berbeda dapat meghasilka
Lebih terperinciMINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA Telah dikeal bahwa X 1, X 2...X sampel radom dari distribusi ormal dega mea µ da variasi σ 2, maka x µ σ/ atau xi µ σ
Lebih terperinciDistribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir
BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Adi Setiawa
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada
Lebih terperinciStatistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram
Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciPENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI
PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI Nadya Zulfa Negsih, Bustami Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika
Lebih terperinciBAB 4. METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN
BAB 4 METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN Estimasi reliabilitas membutuhka pegetahua distribusi waktu kerusaka yag medasari dari kompoe atau sistem yag dimodelka Utuk memprediksi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang
Lebih terperinciDistribusi Sampel & Statistitik Terurut
Distribusi Sampel & Statistitik Terurut Sampel Acak, Rataa sampel, X-bar, Variasi sampel, S, Teorema Limit Pusat, Distribusi t,, F Statistik Terurut MA 3181 Teori Peluag 11 November 014 Utriwei Mukhaiyar
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan
Lebih terperinci9 Departemen Statistika FMIPA IPB
Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara
Lebih terperinciTRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 115 122 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA ELVI YATI, DODI DEVIANTO, YUDIANTRI ASDI Program
Lebih terperinciBAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL
BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciBAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar Statistika Matematika II Estimasi Titik dengan Metode Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia May 9, 2017 atinaahdika.com Dalam pendekatan klasik, parameter
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciBAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH
89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Estimasi Titik dengan Metode Bayes Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Dalam pendekatan klasik, parameter θ adalah besaran tetap yang tidak diketahui Sampel random X 1, X 2,..., X n diambil
Lebih terperinciREPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program
Lebih terperinciTUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM. Skripsi
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM Skripsi Diajuka utuk Memeuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematika Program Studi Matematika
Lebih terperinciPENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:
PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI
Lebih terperinciDISTRIBUSI SAMPLING. Oleh : Dewi Rachmatin
DISTRIBUSI SAMPLING Oleh : Dewi Rachmati Distribusi Rata-rata Misalka sebuah populasi berukura higga N dega parameter rata-rata µ da simpaga baku. Dari populasi ii diambil sampel acak berukura, jika tapa
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciSelang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan
Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa
Lebih terperinciBAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL
BAB III PENGGUNAAN MEODE EMPIRICAL BES LINEAR UNBIASED PREDICION (EBLUP PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL Pada Bab III ii aka dibahas megeai taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model berdasarka asumsi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan:
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi Parametrik Regresi parametrik merupaka metode statistika yag diguaka utuk megetahui pola hubuga atara variabel prediktor dega variabel respo, dega asumsi bahwa telah
Lebih terperinciPENAKSIRAN M A S T A T I S T I K A D A S A R 1 7 M A R E T 2014 U T R I W E N I M U K H A I Y A R
PENAKSIRAN P E N A K S I R A N T I T I K P E N A K S I R A N S E L A N G S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K R A T A A N S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K V A R I A N S I M A 0 8 S T
Lebih terperinciRange atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu
BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab
Lebih terperinciESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika
Wed 6/0/3 ETIMAI (PENDUGAAN TATITIK) Ir. Tito Adi Dewato tatistika Deskriptif Iferesi Estimasi Uji Hipotesis Titik Retag Estimasi da Uji Hipotesis Dilakuka setelah peelitia dalam tahap pegambila suatu
Lebih terperinciPENAKSIRAN. Penaksiran Titik. Selang Kepercayaan untuk VARIANSI. MA2181 ANALISIS DATA Utriweni Mukhaiyar 17 Oktober 2011
PENAKSIRAN Peaksira Titik Peaksira Selag Selag Kepercayaa utuk RATAAN Selag Kepercayaa utuk VARIANSI MA8 ANALISIS DATA Utriwei Mukhaiyar 7 Oktober 0 Metode Peaksira Peaksira Titik Peaksira Selag Nilai
Lebih terperinciBAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2)
Bab 6: Estimasi Parameter () BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (). ESTIMASI PROPORSI POPULASI Proporsi merupaka perbadiga atara terjadiya suatu peristiwa dega semua kemugkiaa peritiwa yag bisa terjadi. Besara
Lebih terperinciISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciBAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET
BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET Diskret radom variabel dapat diguaka utuk berbagai radom umber yag diambil dalam betuk iteger. Pola kebutuha ivetori (persediaa) merupaka cotoh yag serig diguaka
Lebih terperinciPerbandingan Power of Test dari Uji Normalitas Metode Bayesian, Uji Shapiro-Wilk, Uji Cramer-von Mises, dan Uji Anderson-Darling
Jural Gradie Vol No Juli 5 : -5 Perbadiga Power of Test dari Uji Normalitas Metode Bayesia, Uji Shapiro-Wilk, Uji Cramer-vo Mises, da Uji Aderso-Darlig Dyah Setyo Rii, Fachri Faisal Jurusa Matematika,
Lebih terperinciStatistika Inferensial
Cofidece Iterval Ara Fariza Statistika Iferesial Populasi Sampel Simpulka (estimasi) tetag parameter Medapatka statistik Estimasi: estimasi titik, estimasi iterval, uji hipotesa 2 1 Proses Estimasi Populasi
Lebih terperinciPendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /
Pedugaa Parameter 7 Debria Puspita Adriai E-mail : debria.ub@gmail.com / debria@ub.ac.id Outlie Pedahulua Pedugaa Titik Pedugaa Iterval Pedugaa Parameter: Kasus Sampel Rataa Populasi Pedugaa Parameter:
Lebih terperinciKALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciBAB VII DISTRIBUSI SAMPLING DAN DESKRIPSI DATA
BAB VII DITRIBUI AMPLING DAN DEKRIPI DATA 7. Distribusi amplig (samplig distributio) amplig distributio adalah distribusi probabilitas dari suatu statistik. amplig distributio tergatug dari ukura populasi,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
7 BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Peaksira Parameter Statistik iferesi adalah Statistik yag dega segala iformasi dari sampel diguaka utuk mearik kesimpula megeai karakteristik populasi dari maa sampel
Lebih terperinciMetode Sensor Sampel dan Fungsi Reliabilitas Dalam Analisis Data Waktu Kerusakan
Metode Sesor Sampel da Fugsi Reliabilitas Dalam Aalisis Data Waktu Kerusaka DISUSUN OLEH: ENDAH BUDIYATI ERNI RIHYANTI JANUARI 017 Metode Sesor Sampel da Fugsi Reliabilitas Dalam Aalisis Data Waktu Kerusaka
Lebih terperinciPenaksiran Titik Penaksiran Selang. Selang Kepercayaan untuk VARIANSI MA2081 STATISTIKA DASAR
PENAKSIRAN Peaksira Titik Peaksira Selag Selag Kepercayaa utuk RATAAN Selag Kepercayaa utuk VARIANSI MA08 STATISTIKA DASAR MA08 STATISTIKA DASAR Utriwei Mukhaiyar 5 Oktober 0 Metode Peaksira Peaksira Titik
Lebih terperinciChapter 7 Student Lecture Notes 7-1
Chapter 7 Studet Lecture Notes 7-1 DASAR-DASAR UJI Hipotesis: Hipo (di bawah) da Tesis (peryataa yag telah diuji) Hipotesis Statistik:suatu proposisi atau aggapa megeai parameter populasi yag dapat diuji
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Pengertian
TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok
Lebih terperinciSEBARAN t dan SEBARAN F
SEBARAN t da SEBARAN F 1 Tabel uji t disebut juga tabel t studet. Sebara t pertama kali diperkealka oleh W.S. Gosset pada tahu 1908. Saat itu, Gosset bekerja pada perusahaa bir Irladia yag melarag peerbita
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN VIII
STATISTIK PERTEMUAN VIII Pegertia Estimasi Merupaka bagia dari statistik iferesi Estimasi = pedugaa, atau meaksir harga parameter populasi dega harga-harga statistik sampelya. Misal : suatu populasi yag
Lebih terperinciREGRESI LINIER GANDA
REGRESI LINIER GANDA Secara umum, data hasil pegamata Y bisa terjadi karea akibat variabelvariabel bebas,,, k. Aka ditetuka hubuga atara Y da,,, k sehigga didapat regresi Y atas,,, k amu masih meujukka
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciMata Kuliah: Statistik Inferensial
PENGUJIAN HIPOTESIS SAMPEL KECIL Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP Email: asyahza@yahoo.co.id DEFINISI Pegertia Sampel Kecil Sampel kecil yag jumlah sampel kurag dari 30, maka ilai stadar deviasi (s)
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE BAYESIAN SUBYEKTIF DALAM PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI-p
PENGGUNAAN METODE BAYESIAN SUBYEKTIF DALAM PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI-p Sekar Sukma Asmara 1, Adi Setiawa 2, Tudjug Mahatma 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sais da Matematika Uiversitas
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciStatistika Inferensia: Pendugaan Parameter. Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015
Statistika Iferesia: Pedugaa Parameter Dr. Kusma Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 05 Populasi : Parameter Sampel : Statistik Statistik merupaka PENDUGA bagi parameter populasi Pegetahua megeai distribusi
Lebih terperinciSebaran Penarikan Contoh. Dept Statistika FMIPA IPB
Sebara Pearika Cotoh Dept Statistika FMIPA IPB Statistik: karakteristik umerik yag diperoleh dari data cotoh Dari sebuah populasi dapat diperoleh bayak cotoh acak. Dari setiap cotoh acak, dapat dihitug
Lebih terperinciBAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciA. Pengertian Hipotesis
PENGUJIAN HIPOTESIS A. Pegertia Hipotesis Hipotesis statistik adalah suatu peryataa atau dugaa megeai satu atau lebih populasi Ada macam hipotesis:. Hipotesis ol (H 0 ), adalah suatu hipotesis dega harapa
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi
Lebih terperinciIII. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur
III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai dega Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam
Lebih terperinciSTATISTIKA MATEMATIKA. Di Susun: Dr. Ahmad Yani T.,M.Pd. NIP
STATISTIKA MATEMATIKA Di Susu: Dr. Ahmad Yai T.,M.Pd. NIP. 966499 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TANJUNGPURA
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciMetode Statistika STK211/ 3(2-3)
Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemua VI Sebara Pearika Cotoh Septia Rahardiatoro - STK IPB 1 Sebara Pearika Cotoh Megidetifikasi sebara suatu fugsi dari cotoh ketika diambil dari suatu populasi X
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA BAYES DENGAN DISTRIBUSI PRIOR NONINFORMATIF JEFFREY
Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika ISBN: 978-60-6-0-9 http://jural.fkip.us.ac.id ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA BAYES DENGAN DISTRIBUSI PRIOR NONINFORMATIF JEFFREY Firda
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciSTATISTIKA MATEMATIKA
Diktat Kuliah STATISTIKA MATEMATIKA Adi Setiawan Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga 2006 i Contents Pendahuluan. Sifat Kecukupan.............................2 Sifat Kelengkapan...........................
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Non Linier
Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode
Lebih terperincix = μ...? 2 2 s = σ...? x x s = σ...?
Pedugaa Parameter x 2 sx s = μ...? 2 = σ x...? = σ...? Peduga Parameter Peduga titik yaitu parameter populasi p diduga dega suatu besara statistik, misal: rata-rata, proporsi, ragam, dll Peduga Selag (Iterval)
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciDISTRIBUSI SAMPEL PENAKSIRAN UJI HIPOTESIS MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial 6 September 2012 Utriweni Mukhaiyar
INFERENSI STATISTIKA DISTRIBUSI SAMPEL PENAKSIRAN UJI HIPOTESIS MA518 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial 6 September 01 Utriwei Mukhaiyar DISTRIBUSI SAMPEL Beberapa defiisi Suatu populasi terdiri
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA
BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA 2.1 Estimasi Bayes Definisi 1 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ 0 yang tidak diketahui pada parameter θ adalah nila ˆθ yang meminimumkan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciPeubah Acak. Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang. Peubah Acak. Peubah Acak
Peubah Acak Peubah Acak Diskrit da Distribusi Peluag Peubah Acak (Radom Variable): Sebuah keluara umerik yag merupaka hasil dari percobaa (eksperime) Utuk setiap aggota dari ruag sampel percobaa, peubah
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT
Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinci