ANALISIS KESTABILAN MODEL PERSAMAAN GERAK KINCIR AIR

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "ANALISIS KESTABILAN MODEL PERSAMAAN GERAK KINCIR AIR"

Transkripsi

1 ANALISIS KESABILAN MODEL PERSAMAAN GERAK KINCIR AIR Ayu Fita Purwaningsih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri Surabaya Dr.Abadi, M.Sc Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Abstrak Banyak sekali penerapan dari persamaan diferensial dalam dunia sains. Salah satunya dalam bidang sistem kinematik, yakni pada sistem gerak kincir air. Persamaan gerak kincir air dikembangkan dan disederhanakan oleh W.V.R Malkus pada tahun 97,yang menarik dalam persamaan sederhana kincir air ini memiliki perilaku chaos yang terus berkembang. Adanya perilaku chaos tersebut dapat diketahui dengan menganalisa perubahan kestabilan dan titiktitik bifurkasi. Pada skripsi ini penulis membahas tentang rekonstruksi persamaan gerak kincir air, kestabilan titik kritis dari persamaan tersebut, dan analisis titik bifurkasi pada persamaan tersebut. Kata kunci: model persamaan gerak kincir air, kestabilan, bifurkasi Abstract Many application of differential equations in science. One of them in the field of kinematic systems, namely the motion system waterwheel. Waterwheel equations of motion are developed and simplified by WVR Malkus in 97, which is interesting in this waterwheel simple equation has chaotic behavior that continues to grow. he eistence of the chaotic behavior can be determined by analyzing the changes in stability and bifurcation points. In this paper the author discusses about reconstruction of motion waterwheel equation, the stability of the critical points in that equation, and analyzes of a bifurcation points in that equation. Keywords: the equation of motion waterwheel, stability, bifurcation PENDAHULUAN Banyak sekali penerapan dari persamaan diferensial dalam dunia sains. Salah satunya dalam bidang sistem kinematik, yakni pada sistem gerak kincir air. Kincir air merupakan sebuah alat berbentuk lingkaran yang bekerja dengan sistem rotasi yang menggunakan air dan merupakan salah satu teknologi rakyat yang ramah lingkungan. eknologi kincir air ini sebenarnya telah dimanfaatkan berabad-abad yang lalu. Sejak zaman Romawi kuno, cina kuno kincir air telah berguna membantu kehidupan manusia. Misalnya, sebagai pembangkit listrik tenaga air (PLA), membantu proses irigasi, penggilingan khususnya biji-bijian, dan pada pabrik tekstil (Muhtadi, ). Ada empat macam kincir air yaitu kincir air overshot, kincir air undershot, kincir air breastshot, dan kincir air tub. Satu rangkaian kincir air terdiri dari beberapa kantong bocor, tergantung dari besarnya lingkaran kincir air. Prinsip kerja dari kincir air tersebut adalah mengubah energi elevasi yang berupa perbedaan ketinggian atas air yang jatuh ke kincir menjadi energi kinetik lalu diubah lagi menjadi energi mekanik pada poros. Persamaan gerak kincir air dikembangkan dan disederhanakan oleh W.V.R Malkus pada tahun 97 yang digunakan untuk membantu membuktikan konsep Fisika dari peristiwa chaos. Chaos merupakan suatu istilah dalam bidang sains untuk suatu sistem dinamik nonlinier yang sangat bergantung pada nilai awal. Yang menarik dalam persamaan sederhana kincir air ini memiliki perilaku chaos yang terus berkembang. Adanya perilaku chaos tersebut dapat diketahui dengan menganalisa perubahan kestabilan dan titik-titik bifurkasi. Mengingat begitu pentingnya pengembangan persamaan gerak kincir air ini, penulis terinspirasi untuk mengangkat persamaan gerak kincir air sebagai objek dari skripsi ini. KAJIAN PUSAKA. KINEMAIKA GERAK MELINGKAR BERAURAN Gerak melingkar beraturan merupakan gerakan suatu benda yang lintasannya berupa lingkaran, dengan kecepatan (v) tetap, tetapi arah kecepatannya berubahubah secara teratur. Besaran besaran dalam gerak melingkar beraturan sebagai berikut :. Periode dan Frekuensi Dengan: = Periode (s) f = frekuensi (Hz)

2 . Kecepatan Linier rata-rata (v) r v rf (). Kecepatan sudut (angular) atau f () dimana: ω = kecepatan sudut (rad/s), dimana 6 4. Hubungan (v) dengan (ω) Substitusikan persamaan (.) ke dalam persamaan (.)sehingga diperoleh: v.r (4) (Umar, 4). Momen Gaya dan Momen inersia orsi dilambangkan dengan lambang, r.f (5) r.f sin (6) Dengan : = torsi (Nm) r = panjang sumbu rotasi (m) F = gaya yang bekerja (N) = sudut antara r dan F Momen inersia sebuah partikel dapat didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak partikel dari titik porosnya. I m.r (7) Dengan: I = momen inersia (kg.m ) m = massa benda (kg) Sedangkan pada hukum II Newton tentang rotasi, Hubungan antara momen gaya (torsi) dan momen inersia adalah sebagai berikut : I (8) Dengan : = percepatan sudut (rad/s ) (Abdullah, 6). Energi pada Sistem Gerak..Energi Potensial E p m. g. h (9).. Energi Kinetik E k mv ().. Energi Mekanik Em E p E k (Umar, 4).4 Debit Aliran Debit aliran dipergunakan untuk menghitung kecepatan aliran pada masing masing pipa eksperimen, diberikan rumus debit aliran sebagai berikut : Dimana, Q () t saling independen, fungsi likelihood metode MLE merupakan fungsi linear maka untuk memperoleh Q = debit aliran (m /s) = volume fluida (suatu zat yang dapat mengalir)(m ) (Ridwan, 997).5 Chaos Chaos merupakan suatu sistem dinamik nonlinier yang sangat bergantung pada nilai awal yakni, y z. (Verhulst, 996), Secara umum, sistem dinamik kontinu berbentuk persamaan differensial, F t () n n d n t dan t Dengan n F n menyatakan fungsi dt dalam t dan t R. t adalah variabel bebas dengan n n N dimana n menyatakan banyaknya persamaan yang terdapat dalam sistem persamaan tersebut. Suatu sistem dapat dikatakan chaos jika system tersebut mempunyai tiga syarat, yaitu:. Sensitif terhadap nilai awal. idak periodik. Memiliki orbit yang padat.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi.6 : Jika A adalah matrik n n, maka vektor tak nol di dalam adalah kelipatan skalar dari, yaitu : A n R dinamakan vektor eigen dari A jika A () Dimana skalar disebut nilai eigen dari A dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n n maka persamaan (.4) kita menuliskannya kembali A sebagai A I A I (4) Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det A I (5) Persamaan (5) disebut persamaan karakteristik A. (Anton, 987:77).7 ititk Kritis Definisi.5. : d n f, R (6) dt itik disebut titik kritis dari persamaan (6), jika f. itik kritis disebut juga titik tetap atau titik kesetimbangan. (u, 994).8 Pelinieran Misalkan sistem persamaan diferensial tak linier pada sistem (6) untuk n diberikan sebagai berikut : d d f,, f, dt dt (7)

3 dengan turunan-turunan parsial fungsi f dan f kontinu di R Dengan menggunakan ekspansi aylor di sekitar titik kritis,, ruas kanan dari sistem (7). Kemudian persamaan tersebut diekspansi aylor pada di mana dan adalah fungsi tak linier dan didefinisikan variabel-variabel baru dan Secara umum, jika diberikan n persamaan diferensial tak linier f (9) dengan menggunakan ekspansi aylor di sekitar titik kritis, maka persamaan (8) dapat ditulis sebagai A () di mana persamaan (9) adalah persamaan diferensial tak linier dan fungsi tak linier yang memenuhi kondisi lim r. Selanjutnya A pada sistem () merupakan pelinieran dari sistem (), yang didapatkan dalam bentuk A. Matriks koefisien A untuk sistem () merupakan matriks Jacobi di sekitar titik kritis. (u, 994).9 Ruang Fase Ada beberapa kasus nilai eigen pada subbab ini :. Jika ketiga nilai eigen bernilai real, berbeda, bertanda sama. Pada kasus ini akan stabil asimtotik jika setiap nilai eigen bernilai negatif. idak stabil jika setiap nilai eigen bernilai positif. Nilai eigen ini berbentuk node.. Jika nilai eigen real,berbeda dan berbeda tanda. Nilai eigen ini berbentuk pelana(saddel).. Komplek sekawan bukan imajiner murni. Pada nilai eigen tersebut berbentuk iy, dengan merupakan bagian real. pada kasus ini nilai eigen berbentuk fokus (spiral), sehingga stabil jika bagian real negatif dan tidak stabil jika bagian real positif. 4. Jika nilai eigen imaginer murni (hanya terdapat bagian imaginer dan tidak ada bagian real). Pada kasus ini nilai eigen berbentuk pusat (center), sehingga stabil. (Verhulst, 996). Deret Fourier Definisi.8 : (Suhaedi, 994:4) Misalkan f didefinisikan fungsi periodik L, L dan di luar selang ini dalam interval f L f, yaitu diandaikan bahwa f mempunyai periode L. Maka f dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut deret Fourier.. Bifurkasi Bifurkasi adalah perubahan kualitatif yang terjadi pada penyelesaian sistem persamaan differensial. Perubahan tersebut meliputi stabilitas, muncul atau hilangnya limit cycle dan perubahan banyaknya titik setimbang yang diakibatkan oleh perubahan parameter. erdapat empat jenis bifurkasi lokal :. Bifurkasi Hopf Bifurkasi yang terjadi berkaitan dengan adanya nilai eigen, a ib dimana bagian real a dan bagian imaginer b disebut bifurkasi Hopf (Andronov Hopf ). (Kuznetsov, 998). Bifurkasi saddle-node Bentuk normal bifurkasi saddle-node yang bergantung pada nilai parameter K sebagai berikut : K K (). Bifurkasi ranskritikal Bentuk normal bifurkasi ranskritikal yang bergantung pada nilai parameter K sebagai berikut : K K () 4.Bifurkais pitchfork Bentuk normal bifurkasi pitchfork yang bergantung pada nilai parameter K sebagai berikut : K K (). Limit Cycle Definisi.: Sebuah cycle dari sistem dinamik kontinu yang pada daerah sekitarnya tidak ada cycle lain, disebut cycle batas atau limit cycle. (Kuznetsov, 998: ). Persamaan Gerak Kincir Air Persamaan Gerak Kincir air merupakan model matematika dari gerak atau rotasi pada kincir air. Persamaan kincir air pertama kali ditemukan oleh Edward Norton Lorenz pada tahun 96 (Robinson, 4). Kemudian dikembangkan oleh W.V.R Malkus pada tahun 97 yang digunakan untuk membangun atau membuktikan konsep fisika dari peristiwa chaos. Persamaan gerak kincir air dapat dituliskan dalam bentuk umum: y y r ˆ Ky z (4) z Kz y dengan, = nilai kecepatan angular pada kincir y = nilai komponen horizontal dari pusat massa kincir z = nilai komponen vertikal dari pusat massa kincir = nilai untuk gaya redaman pada kincir = nilai dari aliran air yang masuk K = ketetapan ( nilai kebocoran) Persamaan () merupakan persamaan gerak kincir air yang ekuivalen dengan persamaan Lorenz (Moyerman:6,5). Parameter pada () untuk, r, ˆ K yaitu, r ˆ, dan K (Knill,)..4MatCont Menurut tutorial matcont yang ditulis Dhooge dkk : MatCont adalah Matlab grafis paket perangkat lunak untuk studi numerik interaktif sistem dinamis. Hal ini memungkinkan, untuk menghitung kurva kesetimbangan, titik batas, Hopf poin, siklus batas, Periode titik bifurkasi dua kali lipat dari batas siklus,

4 lipat, flip dan torus bifurkasi poin dari siklus batas (Dhooge,et al, 6).. MEODE PENELIIAN.Jenis Penelitian Pada penelitian ini langkah pertama yang dilakukan adalah pendekatan penelitian yang digunakan adalah penelitian kepustakaan (library research). Studi kepustakaan merupakan penampilan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil kajian literatur dan hasil olah pikir peneliti mengenai suatu permasalahan atau topik kajian. Studi kepustakaan berisi satu topik kajian yang di dalamnya memuat beberapa gagasan dan atau proposisi yang berkaitan dan harus didukung oleh data yang diperoleh dari sumber kepustakaan. Sumber kajian pustaka dapat berupa jurnal penelitian, disertasi, tesis, skripsi, laporan penelitian, atau diskusi-diskusi ilmiah. Bahan-bahan pustaka tersebut harus dibahas secara mendalam sehingga mendukung gagasan dan proposisi untuk menghasilkan kesimpulan dan saran. Langkah berikutnya adalah merumuskan masalah yang diperoleh dari literatur yang ada. Untuk mempermudah dalam mengerjakan tulisan ini maka penulis membuat batasan masalah. Langkah berikutnya adalah mengkaji teori terkait rumusan masalah yang sudah dirumuskan berdasarkan studi literatur yang dilakukan sebelumnya. Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah data yang bersifat tekstual meliputi persamaan diferensial non linier, pemodelan matematika, dan analisis sistem dinamika model matematika. Dalam memahami data-data yang berupa teks dalam buku-buku literatur diperlukan suatu analisis. Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deduksi, yaitu cara berpikir yang berangkat dari hal-hal umum menuju kesimpulan yang khusus. Selanjutnya dilakukan analisis secara numerik dengan bantuan Software MALAB 7. dan Matcont. Dari Analisis yang dilakukan dapat ditemukan kesimpulan yang akan menjawab rumusan masalah yang telah dirumuskan sebelumnya.. Skema Alur Penelitian Penelitian adalah proses yang sistematis, logis dan empiris untuk mencari kebenaran ilmiah atau pengetahuan ilmiah (Santoso,4). Alur penelitian pada skripsi ini sebagai berikut:.studi literatur. Merumuskan masalah. Merumuskan batasan masalah 4.Mengkaji teori yang terkait 5. Merekonstruksi persamaan gerak kincir air 6. Menentukan persamaan gerak kincir air 7.Melinierisasi persamaan gerak kincir air 8.Menganalisis kestabilan titik kritis dari persamaan gerak kincir air 9. Menganalisis itik-titik bifurkasi.simulasi Grafik MALAB 7. MatCont.4 Interpretasi dari Analisis Simulasi. Kesimpulan 4.PEMBAHASAN 4.Rekonstruksi Persamaan Gerak Kincir Air 4.Konservasi Massa Sebuah kincir terdapat beberapa kantong di setiap sudut kincir yang berisi air. misal m,t massa air pada sudut dan waktu t. Q adalah jumlah air yang masuk pada sudut (debit air yang masuk). K tetapan (nilai kebocoran). Misal diambil dan maka massa total dari air antara dua titik tersebut, dan diberikan oleh rumus: M t m, td (5a) Berdasarkan perputaran kincir air dari dan maka diperoleh empat pernyataan yang berhubungan dengan perpindahan massa pada waktu t. Empat pernyataan tersebut antara lain :.Massa total air yang masuk dari pompa adalah Q d.massa air yang bocor dari sistem adalah Km, t d.massa air yang dibawa dari rotasi kincir air adalah m, t t, dimana m, t adalah massa persudut dan.t adalah besar sudut. 4.Massa air yang keluar adalah m, t t Berdasarkan keempat pernyataan tersebut diperoleh total massa sistem: M t Qd Km, td m, t t m, t t (5b) Pada (5b) diubah ke dalam bentuk integral, maka dibagi dengan t, dan mengambil limit t, maka dm m diberikan: Q Km, t d (6) dt Berdasarkan (5a) total massa setiap waktu diperoleh, dm m d (7) dt t Pada (7) disubstitusikan ke (6) diperoleh: m, t m d Q Km, t d (8) t Dari persamaan (8), diperoleh perubahan massa setiap waktu: Km, t m, t Q m, t (9) t 4. Keseimbangan orsi redaman torsi vt, v> () dimana, v = kecepatan linier 4

5 = Kecepatan sudut t = kecepatan sudut system = kecepatan sudut awal f = kecepatan sudut awal saat diberi momentum oleh air Untuk nilai sudut d kecil sekali, terdapat torsi gravitasi sistem yang diberikan pada persamaan berikut ini: d m, tgr sind () Dimana, m,t = massa air pada sudut dan waktu t g = gaya gravitasi r = jari-jari pada kincir air Dari persamaan () dan () diperoleh persamaan torsi yang dibentuk dari kecepatan sudut sebagai berikut : v gr m, tsind (a) Karena pada persamaan (8) dijelaskan bahwa : I Sehingga diperoleh I v gr m t, sind (b) 4.. Persamaan Amplitudo Karena m,t mempunyai periodik pada, maka persamaan m,t dapat ditulis kembali ke dalam deret fourier sebagai berikut: m, t a n t cosn b n t sinn () n Dimana jika persamaan () disubstitusikan kepersamaan (9) dan (b) akan diperoleh an dan b n, yang dikenal sebagai persamaan amplitudo. Jumlah Q diberikan dengan koefisien yang disebut q, diasumsikan bahwa air yang ditambahkan secara n maka hanya ada bentuk cosinus dan tidak ada bentuk sinus. Sehingga debit air yang masuk dapat ditulis dalam deret fourier sebagai berikut Q q n cosn () n Mensubstitusikan persamaan () dan () ke persamaan (9) diperoleh :. a nt q n Ka n t nb n t (4) b nt Kb n t na n t (5). Kemudian mensubstitusikan persamaan () ke persamaan (b) diperoleh: simetri pada, Q Q t t v grb t (6) I I Persamaan yang menarik adalah untuk n=, karena tidak bergantung dengan suku orde tinggi pada ekspansi Fourier: a t q Ka t b t (7) t Kb t a t v t grb t t b (8) (9) I I Sistem persamaan ini dapat diubah dengan sedikit variasi, dengan pengambilan variabel dan pensubtitusian yang benar sebagai berikut : Kv q a z gr K Kv b y gr Dimana bilangan Prandtl adalah grq Rayleigh adalah K v 6, 5) v I dan bilangan rkv ˆ q. ( Moyerman: gr Sehingga diperoleh sistem sebagai berikut : y y r ˆ Ky z (4) z Kz y dengan, = nilai kecepatan angular pada kincir y = nilai komponen horizontal dari pusat massa kincir z = nilai komponen vertikal dari pusat massa kincir = nilai untuk gaya redaman pada kincir = nilai dari aliran air yang masuk K = ketetapan ( nilai kebocoran) saat (y=, z=r) kantong saat i z i y, z (Matson, 7) Persamaan (4.8) merupakan persamaan gerak kincir air yang ekuivalen dengan persamaan Lorenz (Moyerman:6,5). Parameter pada (4.8) untuk, r, ˆ K yaitu,, dan K (Knill,). Dalam perubahan variabel, parameter K pada persamaan Lorenz (suatu parameter yang sebenarnya tidak dikenal) bernilai K, hal ini berarti bahwa kincir ( Moyerman : 6, 5) K y Pusat massa (y,z) 5

6 Jadi sistem persamaan gerak kincir air adalah : y y r ˆ y z (4) z z y Untuk nilai awal, 4 y, dan z. Karena K maka parameter yang memenuhi adalah. Pada skripsi ini ditetapkan. (Laning, ) 4. Penentuan ititk Kritis pada Persamaan Gerak Kincir Air Dari sistem (4) terdapat tiga titik kritis yang memenuhi dari lima titik kritis, a.itik Kritis,, b.itik kritis,,, c. itik kritis,,, 4. Pelinieran Persamaan Gerak Kincir air Diperoleh matriks Jacobi A sebagai berikut: A z y 4.4 Analisis Kestabilan itik Kritis pada Persamaan Gerak Kincir Air 4.4. itik Kritis,, Karena ditetapkan, maka diperoleh nilai eigen sebagai berikut : (4) itik kritis stabil jika masing-masing nilai eigen bernilai negatif, Karena bernilai negatif dan diasumsikan semua parameter bernilai positif maka batas parameter aliran air yang masuk pada dan yang harus dipenuhi agar titik kritis stabil yaitu r ˆ. Hal ini menunjukkan bahwa karena parameter kebocoran K dan parameter aliran air r ˆ, maka kincir air tidak dapat berotasi. Sehingga diperoleh titik kritis berupa titik node dan stabil asimtotik. Karena, dan bernilai real, berbeda, dan bertanda sama (negatif). 4.. itik kritis,,, Pada titik kritis diperoleh solusi sebagai berikut, Pembentukan model regresi logistik secara individu bertujuan untuk mengetahui variabel bebas mana yang berpengaruh secara individu terhadap y t at at t c e c e cos( bt) c e sin( bt) Dengan a merupakan (4) (Stockie, 9:8) Re dan b merupakan bagian imajiner. Kestabilan pada titik kritis dianalisis berdasarkan nilai eigennya sebagai berikut : a. itik kritis stabil jika setiap nilai eigen bernilai negatif. Karena untuk parameter titik kritis harus r ˆ maka batas parameter aliran air yang masuk pada, dan yang harus dipenuhi agar titik kritis stabil yaitu r ˆ Hal ini menunjukkan bahwa karena parameter kebocoran K dan parameter aliran air r ˆ 7. 5, maka kincir air dapat berotasi. Sehingga diperoleh titik kritis berupa titik spiral dan stabil asimtotik. Karena, dan bernilai Kompleks sekawan bukan imajiner murni dengan bagian real negatif. Jika diambil r ˆ 5 dan diperoleh, i i Jika nilai-nilai di atas disubstitusikan ke solusi (4),.5t.6t.6t y t c e c e cos(4.85t ) c e sin(4.85t Grafik simulasi jika diambil c c c seperti ) di bawah ini Gambar 4.5 solusi itik kritis stabil b. itik kritis tidak stabil jika setiap nilai eigen bernilai positif. Batas parameter aliran air yang masuk pada, dan yang harus dipenuhi agar titik kritis tidak stabil yaitu r ˆ Hal ini menunjukkan bahwa karena parameter kebocoran K dan parameter aliran air r ˆ 7. 5, maka kincir air dapat berotasi dan karena nilai parameter aliran air semakin besar maka perputaran kincir air menjadi tidak beraturan. Sehingga diperoleh titik kritis berupa titik spiral dan tidak stabil. Karena, dan bernilai Kompleks sekawan bukan imajiner murni dengan bagian real positif. Jika diambil r ˆ 8 dan diperoleh, 6

7 .. 5.i. 5.i Jika nilai-nilai di atas disubstitusikan ke solusi (4),.t.t cos(5..t y t ce ce t) ce sin(5.t ) Grafik simulasi jika diambil c c c seperti di bawah ini Gambar 4.6 solusi itik kritis stabil 4.4. itik Kritis,,, Pada titik kritis diperoleh solusi sebagai berikut, t at at y t c e c e cos( bt) c e sin( bt) (44) (Stockie,9:8) Dengan a merupakan Re dan b merupakan bagian imajiner. Kestabilan pada titik kritis dianalisis berdasarkan nilai eigennya sebagai berikut : a. itik kritis stabil jika setiap nilai eigen bernilai negatif. Karena untuk parameter titik kritis harus r ˆ maka batas parameter aliran air yang masuk pada, dan yang harus dipenuhi agar titik kritis stabil yaitu r ˆ Hal ini menunjukkan bahwa karena parameter kebocoran K dan parameter aliran air r ˆ 7. 5, maka kincir air dapat berotasi. Sehingga diperoleh titik kritis berupa titik spiral dan stabil asimtotik. Karena, dan bernilai Kompleks sekawan bukan imajiner murni dengan bagian real negatif. Jika diambil r ˆ 5 dan diperoleh, i i Jika nilai-nilai di atas disubstitusikan ke solusi (44),.5t.6t.6t y t ce ce cos(4.85t) ce sin(4.85t Grafik simulasi jika diambil c c c seperti ) di bawah ini Gambar 4.7 solusi itik kritis stabil b. itik kritis tidak stabil jika setiap nilai eigen bernilai positif. Batas parameter aliran air yang masuk pada, dan yang harus dipenuhi agar titik kritis tidak stabil yaitu r ˆ Hal ini menunjukkan bahwa karena parameter kebocoran K dan parameter aliran air r ˆ 7. 5, maka kincir air dapat berotasi dan karena nilai parameter aliran air semakin besar maka perputaran kincir air menjadi tidak beraturan. Sehingga diperoleh titik kritis berupa titik spiral dan tidak stabil. Karena, dan bernilai Kompleks sekawan bukan imajiner murni dengan bagian real positif. Jika diambil r ˆ 8 dan diperoleh,.. 5.i. 5.i Jika nilai-nilai di atas disubstitusikan ke solusi (44),.t.t cos(5..t y t ce ce t) ce sin(5.t ) Grafik simulasi jika diambil c c c seperti di bawah ini Gambar 4.6 solusi itik kritis stabil 4.4 Analisis Bifurkasi itik Kritis dan Simulasinya Untuk menentukan titik-titik bifurkasi dan jenis bifurkasinya di titik kritis dianalisis secara numerik menggunakan software MatCont, diperoleh diagram bifurkasi sebagai berikut: Grafik 4. Diagram Bifurkasi Hopf 4.4. itik kritis,, Pada nilai eigen (4.9) menunjukkan bahwa terdapat bifurkasi saat nilai parameter r ˆ dan jenis bifurkasinya adalah bifurkasi Hopf (grafik 4.). Hal ini menunjukkan bahwa untuk titik kritis stabil saat nilai parameter r ˆ. Berikut diberikan orbit kestabilan titik kritis saat r ˆ. 7

8 Grafik 4. Orbit Kestabilan r ˆ. 5 Dari grafik 4. menunjukkan bahwa pada titik kritis yaitu saat r ˆ, diambil nilai parameter r ˆ. 5, titik kritis stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit yang menuju titik kritis itik Kritis,, Pada grafik 4. terdapat titik H saat r ˆ 7. 5 yang menunjukkan bahwa saat nilai parameter r ˆ 7. 5 terjadi bifurkasi dan jenis bifurkasinya adalah bifurkasi Hopf. Hal ini menunjukkan bahwa untuk titik kritis stabil saat nilai parameter r ˆ 7. 5, tidak stabil saat r ˆ 7.5 dan terjadi limit cycle saat 6.5 r ˆ 7.. Berikut diberikan orbit kestabilan titik kritis yang menggambarkan perubahan kestabilan akibat berubahnya nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir air sebagai berikut : ˆ Grafik 4. (a) Orbit Kestabilan r Dari grafik 4. (a) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat r ˆ 7. 5 diambil nilai parameter r ˆ, titik kritis stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit yang menuju ke titik kritis secara asimtotik. Grafik 4. (d) Orbit Kestabilan r ˆ 7 Dari grafik 4. (d) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat 6.5 r ˆ 7. diambil nilai parameter r ˆ 7, titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh adanya limit cycle. Grafik 4. (e) Orbit Kestabilan r ˆ 8 Dari grafik 4. (d) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat r ˆ 7. diambil nilai parameter r ˆ 8, titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit semakin menjauh dari titik kritis dan orbit berputar berulangulang tetapi tidak pernah bertemu karena terjadi chaos. 4.4.itik Kritis,, Pada grafik 4. terdapat titik H saat r ˆ 7. 5 yang menunjukkan bahwa saat nilai parameter r ˆ 7. 5 terjadi bifurkasi dan jenis bifurkasinya adalah bifurkasi Hopf. Hal ini menunjukkan bahwa untuk titik kritis stabil saat nilai parameter r ˆ 7. 5, tidak stabil saat r ˆ 7.5 dan terjadi limit cycle saat 6.5 r ˆ 7.. Berikut diberikan orbit kestabilan titik kritis yang menggambarkan perubahan kestabilan akibat berubahnya nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir air sebagai berikut : Grafik 4. (b) Orbit Kestabilan r ˆ 8 Dari grafik 4. (b) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat 7.5 r ˆ diambil nilai parameter r ˆ 8, titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit yang awalnya mendekati titik kritis kemudian semakin menjauh dari titik kritis. ˆ Grafik 4.4 (a) Orbit Kestabilan r Dari grafik 4.4 (a) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat r ˆ 7. 5 diambil nilai parameter, titik kritis stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit yang menuju ke titik kritis secara asimtotik. Grafik 4. (c) Orbit Kestabilan r ˆ 6. Dari grafik 4. (c) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat r ˆ 6. 5 diambil nilai parameter r ˆ 6., titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit semakin menjauh dari titik kritis dan orbit semakin memadat. ˆ Grafik 4.4 (b) Orbit Kestabilan r 8 Dari grafik 4.4 (b) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat 7.5 r ˆ diambil nilai parameter r ˆ 8, titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit yang awalnya mendekati titik kritis kemudian semakin menjauh dari titik kritis. 8

9 ˆ 6. Grafik 4.4 (c) Orbit Kestabilan r Dari grafik 4.4 (c) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat r ˆ 6. 5 diambil nilai parameter r ˆ 6., titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit semakin menjauh dari titik kritis dan orbit semakin memadat. ˆ Grafik 4.4 (d) Orbit Kestabilan r 7 Dari grafik 4.4 (d) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat 6.5 r ˆ 7. diambil nilai parameter r ˆ 7, titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh adanya limit cycle. Grafik 4.4 (e) Orbit Kestabilan r ˆ 8 Dari grafik 4.4 (e) menunjukkan pada titik kritis yaitu saat r ˆ 7. diambil nilai parameter r ˆ 8, titik kritis tidak stabil yang ditunjukkan oleh arah orbit semakin menjauh dari titik kritis dan orbit berputar berulang-ulang tetapi tidak pernah bertemu karena terjadi chaos Interpretasi dari Analisis Simulasi Interpretasi pada Grafik 4. adalah kincir air tidak memiliki cukup inersia untuk terus berotasi, sehingga kincir air berhenti berotasi. Interpretasi pada Grafik 4. (a) adalah kincir air dapat berotasi, setelah berjalannya waktu rotasi kincir air menuju ke kecepatan sudut yang konstan dan kincir air berotasi terus-menerus dalam satu arah. Interpretasi pada Grafik 4. (b) jalannya pergerakan kincir yang pada awalnya kincir air berotasi terus menerus dalam satu arah, kemudian seiring berjalannya waktu rotasi kincir air menjadi tidak beraturan (chaos). Interpretasi pada Grafik 4. (c) kincir air pada awalnya dapat berotasi secara periodik, kemudian dengan waktu yang lama rotasi kincir air berubah menjadi tidak beraturan karena terjadi chaos. Interpretasi pada Grafik 4. (d) kincir air dapat berotasi secara periodik, yakni kincir air berotasi terus menerus dengan arah bolak-balik. Interpretasi pada Grafik 4. (e) kincir air dapat berotasi, dan dengan waktu yang lebih cepat rotasi kincir air menjadi tidak beraturan dimana kincir akan berbalik arah secara acak (chaos), yang disebabkan aliran air yang masuk ke cangkir-cangkir semakin diperbesar sehingga kincir kehilangan keseimbangan. Pola dari rotasi kincir air ini sulit dikenali. Interpretasi pada Grafik 4.4 (a) adalah kincir air dapat berotasi, setelah berjalannya waktu rotasi kincir air menuju ke kecepatan sudut yang konstan dan kincir air berotasi terus-menerus dalam satu arah. Interpretasi pada Grafik 4.4 (b) jalannya pergerakan kincir yang pada awalnya kincir air berotasi terus menerus dalam satu arah, kemudian seiring berjalannya waktu rotasi kincir air menjadi tidak beraturan (chaos). Interpretasi pada Grafik 4.4 (c) kincir air pada awalnya dapat berotasi secara periodik, kemudian dengan waktu yang lama rotasi kincir air berubah menjadi tidak beraturan karena terjadi chaos. Interpretasi pada Grafik 4.4 (d) kincir air dapat berotasi secara periodik, yakni kincir air berotasi terus menerus dengan arah bolak-balik. Interpretasi pada Grafik 4.4 (e) kincir air dapat berotasi, dan dengan waktu yang lebih cepat rotasi kincir air menjadi tidak beraturan dimana kincir akan berbalik arah secara acak (chaos), yang disebabkan aliran air yang masuk ke cangkir-cangkir semakin diperbesar sehingga kincir kehilangan keseimbangan. Pola dari rotasi kincir air ini sulit dikenali. 5. PENUUP 5.SIMPULAN Berdasarkan pada pembahasan, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :.Persamaan Gerak Kincir Air disajikan dalam bentuk tiga persamaan differensial biasa sebagai berikut : y y r ˆ y z z z y Dimana, = nilai kecepatan angular pada kincir y = nilai komponen horizontal dari pusat massa kincir z = nilai komponen vertikal dari pusat massa kincir = nilai untuk gaya redaman pada kincir = nilai dari aliran air yang masuk.dari persamaan Gerak Kincir Air diperoleh tiga titik kritis yang memenuhi sebagai berikut:,,,,,,.dari hasil analisis bifurkasi secara numerik menggunakan software MatCont, menunjukkan adanya perubahan kestabilan di masing-masing titik kritis akibat perubahan nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir yaitu : a. itik kritis stabil saat nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir r ˆ dan tidak stabil saat nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir r ˆ. Dan saat r ˆ terjadi bifurkasi dengan jenis hopf. 9

10 b. itik kritis stabil saat nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir r ˆ 7. 5, tidak stabil saat nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir r ˆ 7.5 dan terjadi limitcycle saat 6.5 r ˆ 7.. Dan saat r ˆ 7. 5 terjadi bifurkasi dengan jenis hopf. c. itik kritis stabil saat nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir r ˆ 7. 5, tidak stabil saat nilai parameter aliran air yang masuk pada kincir r ˆ 7.5 dan terjadi limitcycle saat 6.5 r ˆ 7.. Dan saat r ˆ 7. 5 terjadi bifurkasi dengan jenis hopf. 4.Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, dapat diketahui bahwa persamaan Gerak Kincir Air dipengaruhi oleh nilai dari parameter aliran air yang masuk. Jika aliran air yang masuk semakin diperbesar terus menerus maka rotasi kincir air akan semakin kacau (terjadi chaos) dan tidak beraturan, karena kincir air kehilangan keseimbangan. [] Kanginan, Marthen.. Fisika Untuk SMA Kelas XI Semester. Erlangga. [] Verhulst, F. 996.Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. Second Edition. New York: Springer-Verlag 5. SARAN. Pada skripsi ini, simulasi persamaan Gerak Kincir Air digunakan ketetapan K= dan. Diharapkan ada pengkajian lebih lanjut untuk nilai K dan yang bervariasi.. Dalam skripsi ini, simulasi persamaan Gerak Kincir Air menggunakan software Matlab 7. dan bantuan aplikasi MatCont.4. Diharapkan ada pengkajian selanjutnya secara analitik. DAFAR PUSAKA [] Lynch,Stephen.9.Dynamical Systems with Applications using Mapple.Menchester Metropolitan university. [] Robinson, R. Clark. 4. An Introduction to Dynamical System: Continous and Discrete.North western University [] Umar,Efrizon.4.Fisika dan Kecakapan hidup.jakarta: Ganesa eact. [4] Moyerman,Stephanie.6,(Online), ( man/finalreport.pdf diakses tanggal November ) [5] Anton..Nilai Eigen dan Vektor Eigen,(Online),( e/456789/594/bab II injauan Puasa.pdf diakses tanggal maret ) [6] Suryadi, Suhaedi.994. Matematika Lanjut.Jakarta:gunadarma. [7] Alfan,Aris.. Sinkronisasi Skew ent Map Dan Kestabilannya. [8] Kuznetsov,Yu A.998. Element of Applied Bifurcation heory. Second Edition. New York: Springer-Verlag. [9] Laning,Davidson..Investigations of he chaotic water wheel,(online),(dave.ucsc.edu/physics95/.../thesis_lanni ng.pdf diakses Juli )

Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk

Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial

Lebih terperinci

BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO

BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang

Lebih terperinci

BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA

BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut

Lebih terperinci

T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf

T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan

BAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR FISIKA KELAS XI IPA SEMESTER GENAP MATERI : DINAMIKA ROTASI

BAHAN AJAR FISIKA KELAS XI IPA SEMESTER GENAP MATERI : DINAMIKA ROTASI BAHAN AJAR FISIKA KELAS XI IPA SEMESTER GENAP MATERI : DINAMIKA ROTASI Momen gaya : Simbol : τ Momen gaya atau torsi merupakan penyebab benda berputar pada porosnya. Momen gaya terhadap suatu poros tertentu

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan

BAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan

Lebih terperinci

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai

Lebih terperinci

DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA

DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA Thoufina Kurniyati Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang E-mail:

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu (Kuznetsov,

Lebih terperinci

BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER

BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER T - 2 Andini Putri Ariyani 1, Kus Prihantoso Krisnawan 2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 e-mail:andiniputri_ariyani@yahoo.com, 2 e-mail:

Lebih terperinci

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L) DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan

Lebih terperinci

Soal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013

Soal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013 Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat

Lebih terperinci

Bab 6 Momentum Sudut dan Rotasi Benda Tegar

Bab 6 Momentum Sudut dan Rotasi Benda Tegar Bab 6 Momentum Sudut dan Rotasi Benda Tegar A. Torsi 1. Pengertian Torsi Torsi atau momen gaya, hasil perkalian antara gaya dengan lengan gaya. r F Keterangan: = torsi (Nm) r = lengan gaya (m) F = gaya

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2

Lebih terperinci

BIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET

BIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET Vol. 5, No., Juni 009: 54-60 BIFUKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKET ubono Setiawan Mahasiswa S Jurusan Matematika Universitas Gadah Mada Email : rubono_4869@yahoo.co.id Abstrak Di

Lebih terperinci

FISIKA XI SMA 3

FISIKA XI SMA 3 FISIKA XI SMA 3 Magelang @iammovic Standar Kompetensi: Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar: Merumuskan hubungan antara konsep torsi,

Lebih terperinci

Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami

Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti Nida Sri Utami Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMS Lina Aryati Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK

Lebih terperinci

Fisika Umum (MA101) Kinematika Rotasi. Dinamika Rotasi

Fisika Umum (MA101) Kinematika Rotasi. Dinamika Rotasi Fisika Umum (MA101) Topik hari ini: Kinematika Rotasi Hukum Gravitasi Dinamika Rotasi Kinematika Rotasi Perpindahan Sudut Riview gerak linear: Perpindahan, kecepatan, percepatan r r = r f r i, v =, t a

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi

Lebih terperinci

dengan g adalah percepatan gravitasi bumi, yang nilainya pada permukaan bumi sekitar 9, 8 m/s².

dengan g adalah percepatan gravitasi bumi, yang nilainya pada permukaan bumi sekitar 9, 8 m/s². Hukum newton hanya memberikan perumusan tentang bagaimana gaya mempengaruhi keadaan gerak suatu benda, yaitu melalui perubahan momentumnya. Sedangkan bagaimana perumusan gaya dinyatakan dalam variabelvariabel

Lebih terperinci

BAB 1 Keseimban gan dan Dinamika Rotasi

BAB 1 Keseimban gan dan Dinamika Rotasi BAB 1 Keseimban gan dan Dinamika Rotasi titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) dalam kehidupan sehari-hari.benda tegar (statis dan Indikator Pencapaian Kompetensi: 3.1.1

Lebih terperinci

Treefy Education Pelatihan OSN Online Nasional Jl Mangga III, Sidoarjo, Jawa WhatsApp:

Treefy Education Pelatihan OSN Online Nasional Jl Mangga III, Sidoarjo, Jawa  WhatsApp: Treefy Education PEMBAHASAN LATIHAN 1 1.a) Bayangkan bola berada di puncak pipa. Ketika diberikan sedikit dorongan, bola akan bergerak dan menabrak tanah dengan kecepatan. Gerakan tersebut merupakan proses

Lebih terperinci

Uji Kompetensi Semester 1

Uji Kompetensi Semester 1 A. Pilihlah jawaban yang paling tepat! Uji Kompetensi Semester 1 1. Sebuah benda bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan persamaan posisi r = (2t 2 + 6t + 8)i m. Kecepatan benda tersebut adalah. a. (-4t

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

BAB IV ANALISIS DINAMIK MODEL SUBTHALAMIK NUKLEUS. Pada model matematika yang dibangun di Bab III, diperoleh 5 persamaan diferensial,

BAB IV ANALISIS DINAMIK MODEL SUBTHALAMIK NUKLEUS. Pada model matematika yang dibangun di Bab III, diperoleh 5 persamaan diferensial, BAB IV ANALISIS DINAMIK MODEL SUBTHALAMIK NUKLEUS Pada model matematika yang dibangun di Bab III, diperoleh 5 persamaan diferensial, yang dapat disederhanakan sebagai berikut : d ( v ) = f 1( vnhrcai,,,,

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan

Lebih terperinci

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim 1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx o Abstrak Dalam

Lebih terperinci

SASARAN PEMBELAJARAN

SASARAN PEMBELAJARAN OSILASI SASARAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mengenal persamaan matematik osilasi harmonik sederhana. Mahasiswa mampu mencari besaranbesaran osilasi antara lain amplitudo, frekuensi, fasa awal. Syarat Kelulusan

Lebih terperinci

BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LORENZ

BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LORENZ Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LOREN Faisal PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. ani km. 6 Kampus Unlam

Lebih terperinci

Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang

Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna

Lebih terperinci

Contoh Soal dan Pembahasan Dinamika Rotasi, Materi Fisika kelas 2 SMA. Pembahasan. a) percepatan gerak turunnya benda m.

Contoh Soal dan Pembahasan Dinamika Rotasi, Materi Fisika kelas 2 SMA. Pembahasan. a) percepatan gerak turunnya benda m. Contoh Soal dan Dinamika Rotasi, Materi Fisika kelas 2 SMA. a) percepatan gerak turunnya benda m Tinjau katrol : Penekanan pada kasus dengan penggunaan persamaan Σ τ = Iα dan Σ F = ma, momen inersia (silinder

Lebih terperinci

Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA

Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA Dalam gerak translasi gaya dikaitkan dengan percepatan linier benda, dalam gerak rotasi besaran yang dikaitkan dengan percepatan

Lebih terperinci

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2016 TINGKAT KABUPATEN / KOTA FISIKA.

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2016 TINGKAT KABUPATEN / KOTA FISIKA. SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 6 TINGKAT KABUPATEN / KOTA FISIKA Waktu : 3 jam KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN

Lebih terperinci

Catatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi

Catatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah

Lebih terperinci

GERAK HARMONIK. Pembahasan Persamaan Gerak. untuk Osilator Harmonik Sederhana

GERAK HARMONIK. Pembahasan Persamaan Gerak. untuk Osilator Harmonik Sederhana GERAK HARMONIK Pembahasan Persamaan Gerak untuk Osilator Harmonik Sederhana Ilustrasi Pegas posisi setimbang, F = 0 Pegas teregang, F = - k.x Pegas tertekan, F = k.x Persamaan tsb mengandung turunan terhadap

Lebih terperinci

BENDA TEGAR FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) Mirza Satriawan. menu. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta

BENDA TEGAR FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) Mirza Satriawan. menu. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta 1/36 FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) BENDA TEGAR Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Rotasi Benda Tegar Benda tegar adalah sistem partikel yang

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. E p = Energi potensial (joule) m =Massa benda (kg) g = Percepatan gravitasi (m/s 2 ) h = Ketinggian benda (m)

BAB II DASAR TEORI. E p = Energi potensial (joule) m =Massa benda (kg) g = Percepatan gravitasi (m/s 2 ) h = Ketinggian benda (m) BAB II DASAR TEORI 2.1 Sumber Energi 2.1.1 Energi Potensial Energi potensial adalah energi yang dimiliki suatu benda akibat pengaruh tempat atau kedudukan dari benda tersebut Rumus yang dipakai dalam energi

Lebih terperinci

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2 1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN

BAB IV HASIL PENELITIAN 37 BAB IV HASIL PENELITIAN A. Deskripsi Objek Penelitian Objek penelitian ini adalah konsep-konsep Fisika pada materi Dinamika Rotasi Benda Tegar yang terdapat dalam 3 buku SMA kelas XI yang diteliti yaitu

Lebih terperinci

KARAKTERISTIK GERAK HARMONIK SEDERHANA

KARAKTERISTIK GERAK HARMONIK SEDERHANA KARAKTERISTIK GERAK HARMONIK SEDERHANA Pertemuan 2 GETARAN HARMONIK Kelas XI IPA Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Rasdiana Riang, (15B08019), Pendidikan Fisika PPS UNM Makassar 2016 Beberapa parameter

Lebih terperinci

Pembahasan a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon (kecepatan sesaat) b. Kecepatan rata-rata partikel saat t = 0 sekon hingga t = 2 sekon

Pembahasan a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon (kecepatan sesaat) b. Kecepatan rata-rata partikel saat t = 0 sekon hingga t = 2 sekon Soal Kinematika Gerak dan Analisis Vektor Soal No. 1 Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi terhadap waktu : r(t) = 3t 2 2t + 1 dengan t dalam sekon dan rdalam meter. Tentukan: a. Kecepatan partikel

Lebih terperinci

Mengukur Kebenaran Konsep Momen Inersia dengan Penggelindingan Silinder pada Bidang Miring

Mengukur Kebenaran Konsep Momen Inersia dengan Penggelindingan Silinder pada Bidang Miring POSDNG SKF 16 Mengukur Kebenaran Konsep Momen nersia dengan Penggelindingan Silinder pada Bidang Miring aja Muda 1,a), Triati Dewi Kencana Wungu,b) Lilik Hendrajaya 3,c) 1 Magister Pengajaran Fisika Fakultas

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang muncul di lingkungan sekitar. Hal tersebut dapat dikembangkan melalui pemodelan matematika. Sehingga dengan

Lebih terperinci

FISIKA I. OSILASI Bagian-2 MODUL PERKULIAHAN. Modul ini menjelaskan osilasi pada partikel yang bergerak secara harmonik sederhana

FISIKA I. OSILASI Bagian-2 MODUL PERKULIAHAN. Modul ini menjelaskan osilasi pada partikel yang bergerak secara harmonik sederhana MODUL PERKULIAHAN OSILASI Bagian- Fakultas Program Studi atap Muka Kode MK Disusun Oleh eknik eknik Elektro 3 MK4008, S. M Abstract Modul ini menjelaskan osilasi pada partikel yang bergerak secara harmonik

Lebih terperinci

BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI

BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik

BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud

Lebih terperinci

ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR

ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR Jurnal Euler, ISSN: 2087-9393 Januari 2014, Vol.2, No.1, Hal.1-12 ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR Hasan S. Panigoro 1 Diterima:

Lebih terperinci

Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus

Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus BAB 7. GERAK ROTASI 7.1. Pendahuluan Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut

Lebih terperinci

Momen Inersia. distribusinya. momen inersia. (karena. pengaruh. pengaruh torsi)

Momen Inersia. distribusinya. momen inersia. (karena. pengaruh. pengaruh torsi) Gerak Rotasi Momen Inersia Terdapat perbedaan yang penting antara masa inersia dan momen inersia Massa inersia adalah ukuran kemalasan suatu benda untuk mengubah keadaan gerak translasi nya (karena pengaruh

Lebih terperinci

Osilasi Harmonis Sederhana: Beban Massa pada Pegas

Osilasi Harmonis Sederhana: Beban Massa pada Pegas OSILASI Osilasi Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya. Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.

Lebih terperinci

BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II

BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan

Lebih terperinci

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule. Gerak Translasi dan Rotasi A. Momen Gaya Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah

Lebih terperinci

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR MODUL 5 MOMEN INERSIA

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR MODUL 5 MOMEN INERSIA LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR MODUL 5 MOMEN INERSIA Nama : Lukman Santoso NPM : 240110090123 Tanggal / Jam Asisten : 17 November 2009/ 15.00-16.00 WIB : Dini Kurniati TEKNIK DAN MANAJEMEN INDUSTRI PERTANIAN

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan

Lebih terperinci

TEST KEMAMPUAN DASAR FISIKA

TEST KEMAMPUAN DASAR FISIKA TEST KEMAMPUAN DASAR FISIKA Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan pernyataan BENAR atau SALAH. Jika jawaban anda BENAR, pilihlah alasannya yang cocok dengan jawaban anda. Begitu pula jika

Lebih terperinci

Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey

Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak

Lebih terperinci

Karena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,

Karena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika, BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,

Lebih terperinci

GETARAN DAN GELOMBANG

GETARAN DAN GELOMBANG GEARAN DAN GELOMBANG Getaran dapat diartikan sebagai gerak bolak balik sebuah benda terhadap titik kesetimbangan dalam selang waktu yang periodik. Dua besaran yang penting dalam getaran yaitu periode getaran

Lebih terperinci

Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana

Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Pertemuan GEARAN HARMONIK Kelas XI IPA Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Rasdiana Riang, (5B0809), Pendidikan Fisika PPS UNM Makassar 06 Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik getaran: Amplitudo

Lebih terperinci

PETUNJUK UMUM Pengerjaan Soal Tahap 1 Diponegoro Physics Competititon Tingkat SMA

PETUNJUK UMUM Pengerjaan Soal Tahap 1 Diponegoro Physics Competititon Tingkat SMA PETUNJUK UMUM Pengerjaan Soal Tahap 1 Diponegoro Physics Competititon Tingkat SMA 1. Soal Olimpiade Sains bidang studi Fisika terdiri dari dua (2) bagian yaitu : soal isian singkat (24 soal) dan soal pilihan

Lebih terperinci

SOAL DINAMIKA ROTASI

SOAL DINAMIKA ROTASI SOAL DINAMIKA ROTASI A. Pilihan Ganda Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Sistem yang terdiri atas bola A, B, dan C yang posisinya seperti tampak pada gambar, mengalami gerak rotasi. Massa bola A, B,

Lebih terperinci

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK ALIRAN FLUIDA DUA FASE PADA SUMUR PANAS BUMI. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK ALIRAN FLUIDA DUA FASE PADA SUMUR PANAS BUMI. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275 ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK ALIRAN FLUIDA DUA FASE PADA SUMUR PANAS BUMI R Heri SU 1 Widowati 2 R Heru Tj 3 L Niswah 3 1234 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto SH Semarang

Lebih terperinci

BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1.

BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menentukan solusi persamaan gerak jatuh bebas berdasarkan pendekatan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta

BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema

Lebih terperinci

MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK

MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK SEMIRATA MIPAnet 2017 24-26 Agustus 2017 UNSRAT, Manado MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK HASAN S. PANIGORO 1, EMLI RAHMI 2 1 Universitas

Lebih terperinci

Dari gamabar diatas dapat dinyatakan hubungan sebagai berikut.

Dari gamabar diatas dapat dinyatakan hubungan sebagai berikut. Pengertian Gerak Translasi dan Rotasi Gerak translasi dapat didefinisikan sebagai gerak pergeseran suatu benda dengan bentuk dan lintasan yang sama di setiap titiknya. gerak rotasi dapat didefinisikan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya

BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika

Lebih terperinci

Penerapan Metode Multiple Scales untuk Masalah Galloping pada DuaSpans Kabel Transmisi

Penerapan Metode Multiple Scales untuk Masalah Galloping pada DuaSpans Kabel Transmisi Penerapan Metode Multiple Scales untuk Masalah Galloping pada DuaSpans Kabel Transmisi Eristia Arfi 1 1 Prodi Matematika terapan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim

Lebih terperinci

BAB 3 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

BAB 3 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR 80 BAB 3 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR Benda tegar adalah benda yang dianggap sesuai dengan dimensi ukuran sesungguhnya dengan jarak antar partikel penyusunnya tetap. Ketika benda tegar

Lebih terperinci

1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan

1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan . (5 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan dengan H). Kecepatan awal horizontal bola adalah v 0 dan

Lebih terperinci

SP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan

SP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan SP FISDAS I Perihal : Matriks, pengulturan, dimensi, dan sebagainya. Bisa baca sendiri di tippler..!! KINEMATIKA : Gerak benda tanpa diketahui penyebabnya ( cabang dari ilmu mekanika ) DINAMIKA : Pengaruh

Lebih terperinci

MODEL LOGISTIK DENGAN DIFUSI PADA PERTUMBUHAN SEL TUMOR EHRLICH ASCITIES. Hendi Nirwansah 1 dan Widowati 2

MODEL LOGISTIK DENGAN DIFUSI PADA PERTUMBUHAN SEL TUMOR EHRLICH ASCITIES. Hendi Nirwansah 1 dan Widowati 2 MODEL LOGISTIK DEGA DIFUSI PADA PERTUMBUHA SEL TUMOR EHRLICH ASCITIES Hendi irwansah 1 dan Widowati 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH Tembalang Semarang 5075

Lebih terperinci

1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN

1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN 1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN Pada bab ini akan dibahas pengaruh dasar laut tak rata terhadap perambatan gelombang permukaan secara analitik. Pengaruh dasar tak rata ini akan ditinjau melalui simpangan

Lebih terperinci

Getaran Mekanik. Getaran Bebas Tak Teredam. Muchammad Chusnan Aprianto

Getaran Mekanik. Getaran Bebas Tak Teredam. Muchammad Chusnan Aprianto Getaran Mekanik Getaran Bebas Tak Teredam Muchammad Chusnan Aprianto Getaran Bebas Getaran bebas adalah gerak osilasi di sekitar titik kesetimbangan dimana gerak ini tidak dipengaruhi oleh gaya luar (gaya

Lebih terperinci

momen inersia Energi kinetik dalam gerak rotasi momentum sudut (L)

momen inersia Energi kinetik dalam gerak rotasi momentum sudut (L) Dinamika Rotasi adalah kajian fisika yang mempelajari tentang gerak rotasi sekaligus mempelajari penyebabnya. Momen gaya adalah besaran yang menyebabkan benda berotasi DINAMIKA ROTASI momen inersia adalah

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN Mata Kuliah : Fisika Dasar 1 Kode/SKS : FIS 1 / 3 (2-3) Deskrisi : Mata Kuliah Fisika Dasar ini diberikan untuk mayor yang memerlukan dasar fisika yang kuat, sehingga

Lebih terperinci

C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi

C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi 1. Sistem Diskrit Tinjaulah sistem yang terdiri atas 2 benda. Benda A dan benda B dihubungkan dengan batang ringan yang tegar dengan sebuah batang tegak yang

Lebih terperinci

Treefy Education Pelatihan OSN Online Nasional Jl Mangga III, Sidoarjo, Jawa WhatsApp:

Treefy Education Pelatihan OSN Online Nasional Jl Mangga III, Sidoarjo, Jawa  WhatsApp: PEMBAHASAN SOAL LATIHAN 2 1. Bola awalnya bergerak dengan lintasan lingkaran hingga sudut sebelum bergerak dengan lintasan parabola seperti sketsa di bawah ini. Koordinat pada titik B adalah. Persamaan

Lebih terperinci

Studi Komputasi Gerak Bouncing Ball pada Vibrasi Permukaan Pantul

Studi Komputasi Gerak Bouncing Ball pada Vibrasi Permukaan Pantul Studi Komputasi Gerak Bouncing Ball pada Vibrasi Permukaan Pantul Haerul Jusmar Ibrahim 1,a), Arka Yanitama 1,b), Henny Dwi Bhakti 1,c) dan Sparisoma Viridi 2,d) 1 Program Studi Magister Sains Komputasi,

Lebih terperinci

SISTEM FLUTTER PADA SAYAP PESAWAT TERBANG

SISTEM FLUTTER PADA SAYAP PESAWAT TERBANG SISTEM FLUTTER PADA SAYAP PESAWAT TERBANG SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana

Lebih terperinci

DEPARTMEN IKA ITB Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR. MS Bab 6-1

DEPARTMEN IKA ITB Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR. MS Bab 6-1 Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR Kuliah FI-1101 Fisika 004 Dasar Dr. Linus Dr Pasasa Edy Supriyanto MS Bab 6-1 Jurusan Fisika-Unej Bahan Cakupan Gerak Rotasi Vektor Momentum Sudut Sistem Partikel Momen

Lebih terperinci

GERAK HARMONIK SEDERHANA

GERAK HARMONIK SEDERHANA GERAK HARMONIK SEDERHANA Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak-balik benda melalui suatu titik kesetimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan. Gerak harmonik

Lebih terperinci

BAB GETARAN HARMONIK

BAB GETARAN HARMONIK BAB GETARAN HARMONIK Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi pada bab ini, diharapkan Anda mampu menganalisis, menginterpretasikan dan menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan konsep hubungan

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. dengan menggunakan penyelesaian analitik dan penyelesaian numerikdengan. motode beda hingga. Berikut ini penjelasan lebih lanjut.

BAB III PEMBAHASAN. dengan menggunakan penyelesaian analitik dan penyelesaian numerikdengan. motode beda hingga. Berikut ini penjelasan lebih lanjut. BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas tentang penurunan model persamaan gelombang satu dimensi. Setelah itu akan ditentukan persamaan gelombang satu dimensi dengan menggunakan penyelesaian analitik

Lebih terperinci

Jurnal Math Educator Nusantara (JMEN) Sifat-Sifat Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Berbentuk Lingkaran

Jurnal Math Educator Nusantara (JMEN) Sifat-Sifat Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Berbentuk Lingkaran Jurnal Math Educator Nusantara (JMEN) Wahana publikasi karya tulis ilmiah di bidang pendidikan matematika ISSN : 2459-97345 Volume 2 Nomor 2 Halaman 93 86 November 26 26 Sifat-Sifat Sistem Pendulum Terbalik

Lebih terperinci

Aplikasi Prinsip Gyroscope untuk Mempertahankan Kesetimbangan Sebuah Sistem Sederhana

Aplikasi Prinsip Gyroscope untuk Mempertahankan Kesetimbangan Sebuah Sistem Sederhana Aplikasi Prinsip Gyroscope untuk Mempertahankan Kesetimbangan Sebuah Sistem Sederhana Liya Kholida 1,a), Rizqa Sitorus 1,b), Alfian Inzia Fusiari 1,c), Nurrohman 1d) dan Dwi Irwanto 2,e) 1 Magister Pengajaran

Lebih terperinci

Saat mempelajari gerak melingkar, kita telah membahas hubungan antara kecepatan sudut (ω) dan kecepatan linear (v) suatu benda

Saat mempelajari gerak melingkar, kita telah membahas hubungan antara kecepatan sudut (ω) dan kecepatan linear (v) suatu benda 1 Benda tegar Pada pembahasan mengenai kinematika, dinamika, usaha dan energi, hingga momentum linear, benda-benda yang bergerak selalu kita pandang sebagai benda titik. Benda yang berbentuk kotak misalnya,

Lebih terperinci

ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI

ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal 197 204. ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI Eka

Lebih terperinci

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.

Lebih terperinci

GERAK LURUS Standar Kompetensi Menerapkan konsep dan prinsip dasar kinematika dan dinamika benda titik.

GERAK LURUS Standar Kompetensi Menerapkan konsep dan prinsip dasar kinematika dan dinamika benda titik. GERAK LURUS Standar Kompetensi Menerapkan konsep dan prinsip dasar kinematika dan dinamika benda titik. Kompetensi Dasar Menganalisis besaran fisika pada gerak dengan kecepatan dan percepatan konstan.

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang didalamnya terdapat beberapa derivatif. Persamaan diferensial menyatakan hubungan antara derivatif dari satu variabel

Lebih terperinci

PENGENDALIAN OPTIMAL PADA SISTEM STEAM DRUM BOILER MENGGUNAKAN METODE LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR) Oleh : Ika Evi Anggraeni

PENGENDALIAN OPTIMAL PADA SISTEM STEAM DRUM BOILER MENGGUNAKAN METODE LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR) Oleh : Ika Evi Anggraeni PENGENDALIAN OPTIMAL PADA SISTEM STEAM DRUM BOILER MENGGUNAKAN METODE LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR) Oleh : Ika Evi Anggraeni 206 00 03 Dosen Pembimbing : Dr. Erna Apriliani, M.Si Hendra Cordova, ST,

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung

Lebih terperinci

Pelatihan Ulangan Semester Gasal

Pelatihan Ulangan Semester Gasal Pelatihan Ulangan Semester Gasal A. Pilihlah jawaban yang benar dengan menuliskan huruf a, b, c, d, atau e di dalam buku tugas Anda!. Perhatikan gambar di samping! Jarak yang ditempuh benda setelah bergerak

Lebih terperinci

Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang. Oleh:

Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang. Oleh: Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang Sistem hibrid mempunyai bentuk: x& Oleh: Kus Prihantoso Krisnawan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Lebih terperinci