ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL COX MULTIVARIAT DENGAN METODE MAXIMUM PARTIAL LIKELIHOOD ESTIMATION

Transkripsi

1 JM : Volme 4 Nomor 1, Jni 212, hal EIMAI ARAMEER ADA MODEL CO MULIVARIA DENGAN MEODE MAIMUM ARIAL LIKELIHOOD EIMAION Irfan Wahydi Mahasiswa -3 tatista FMIA I, rabaya irfan_wahydi6@yahoo.co.id rhadi, tno, dan Irhamah Jrsan tatista FMIA I, rabaya ABRAC. Mltivariate Cox proportional hazard models have ratio property, that is the ratio of hazard fnctions for two individals with covariate vectors z 1 and z 2 are constant (time independent. In this stdy we tal abot estimation of prameters on mltivariate Cox model by sing Maximm artial Lelihood Estimation (MLE method. o determine the appropriate estimators that maximize the ln-partial lelihood fnction, after a score vector and a Hessian matrix are fond, nmerical iteration methods are applied. In this case, we se a Newton Raphson method. his nmerical method is sed since the soltions of the eqation system of the score vector after setting it eqal to zero vector are not closed form. Considering the stdies abot mltivariate Cox model are limited, inclding the parameter estimation methods, bt the methods are rgently needed by some fields of stdy related sch as economics, engineering and medical sciences. For this reasons, the goal of this stdy is designed to develop parameter estimation methods from nivariate to mltivariate cases. Keywords: Mltivariate Cox model; Maximm artial Lelihood Estimation; arameter Estimator; Newton Raphson Method. ABRAK. Model Cox mltivariat proportional hazard memili sifat bahwa rasio dari fngsi hazard nt da individ dengan vetor covariat z 1 dan z 2 adalah onstan (tida bergantng pada vetor wat srvival t. enelitian ini mengai tentang estimator parameter pada model Cox mltivariat dengan metode Maximm artial Lelihood Estimation (MLE, hal ini disebaban oleh bent baseline hazard model tersebt tida spesif. Unt menentan nilai estimasi parameter model Cox mltivariat proportional hazard, setelah diperoleh vetor sor dan matrs Hesse, iterasi nmer dilaan dengan menggnaan metode Newton Raphson. Hal ini disebaban oleh penyelesaian nilai-nilai estimator parameter model Cox mltivariat tersebt tida berbent terttp. Mengingat rangnya pembahasan tentang model Cox mltivariat dan belm tersedianya bent estimator parameter pada model tersebt, sedangan perembangan bidangbidang yang mengai tentang srvival mltivariat seperti pada bidang eonomi, bidang ilm reayasa dan pada bidang edoteran dirasa sangat pesat. Unt it penelitian ini dibat dengan tan nt mengembangan metode penasir parameter model Cox nivariat e model Cox mltivariat. Kata nci: Model Cox mltivariat; Maximm artial Lelihood Estimation; Estimator parameter model; Metode Newton Raphson.

2 186 Irfan Wahydi, rhadi, tno, dan Irhamah 1. ENDAHULUAN ada bagian ini demaan secara ringas tentang apa yang menadi latar belaang penelitian, bagaimana permsan masalahnya, apa tan penelitian yang henda dicapai dan apa manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini. 1.1 Latar Belaang enelitian Model Cox proportional hazard ata denal dengan analisis srvival adalah metode statista yang dignaan nt menganalisis data dimana variabel responnya adalah wat eadian yang dianggap penting (Klembam, Analisis wat srvival ini banya diaplasan pada berbagai bidang ilm seperti pada bidang ilm edoteran, ilm eonomi, dan ilm reayasa. ada bidang ilm edoteran, wat srvival bisa berpa wat sait, wat sembh, wat teradinya infesi, dan sebagainya. ada bidang ilm eonomi, wat srvival seperti apan wat yang tepat nt mengganti prod dengan inovasi bar ata apan inovasi bar dapat direalisasan dalam proses sls sat prod. Bidang reayasa ga trt berontribsi pada perembangan analisis srvival, dimana poo perhatian tamanya terleta pada pemodelan masa paai berbagai mesin ata omponen eletrona ( Lawless, 23 Metode-metode pada analisis srvival telah dembangan oleh para peneliti pada bidang ilm yang berbeda-beda, aibatnya mncl nama dan istilah yang berbeda-beda pla. Namn pada bidang-bidang tertent yang sering dimpai antara lain srvival analysis (bidang edoteran, event history analysis (bidang sosial, failre time analysis ata lifetime analysis (bidang reayasa, dration analysis ata transition analysis (bidang eonomi. erbedaan nama ini tida mengbah prinsip dan aidah-aidah eilmannya, melainan berbeda dalam hal istilah dan pendeatannya saa. ada data srvival, model regresi linier biasa rang tepat nt dignaan, hal ini disebaban data wat srvival arang yang mengti distribsi normal (Klembam,1996. Model Cox proportional hazard saat ini banya dignaan nt analisis data srvival. Model ini sangat popler nt analisis data srvival arena bentnya sederhana dan tida berdasaran pada asmsi-asmsi distribsi.

3 Estimasi arameter pada Model Cox Mltivariat 187 ada beberapa tahn terahir ini teori yang berbasis model telah menadi semain ooh, berbagai perembangan memperlihatan beberapa perlasan bar seperti model Cox terstratifasi (Klembam,1996 ata model Cox dengan variabel predtor yang bergantng wat (Collet, Metode alternatif lain nt analisis data srvival adalah model accelerated failre time (Collet, ada bidang statista terdapat aian hss tentang analisis srvival yait aian tentang regresi Cox propotional hazard. Namn nt ass mltivariat, hal ini masih tergolong sangat arang ditemi, tertama pada bagian inferensi statistnya seperti estimasi parameter dan statist i nt pengian hipotesis. Mengingat rangnya pembahasan tentang model Cox mltivariat dan belm tersedianya bent estimator parameter, sedangan perembangan bidangbidang tertent yang terait dengan srvival mltivariat dan membthan alatalat statist yang relevan dirasa cp pesat, nt it penelitian ini dibat nt memenhi ebthan tersebt. 1.2 ermsan Masalah Dari raian latar belaang di atas teridentifasi beberapa permasalahan yang perl segera dipecahan dan menar nt diteliti lebih ah, yait dapat dirmsan sebagai bert: 1 Bagaimana bent estimator parameter model Cox mltivariat? dan 2 Apaah estimator parameter model Cox mltivariat tersebt bersifat onsisten dan asymtotic normality? 1.3 an enelitian Berdasaran permsan masalah yang telah diraan di atas, tan yang henda dicapai dalam penelitian ini adalah nt mendapatan bent estimator parameter model Cox mltivariat dan mengetahi lebih ah tentang sifat-sifatnya, melipti sifat eonsistenan dan sifat asymptotic normality. 1.4 Manfaat enelitian etelah diperoleh bent estimator model Cox mltivariat dan mengetahi sifat-sifat estimator tersebt, manfaat yang dapat dirasaan tertama adalah nt penelitian-penelitian yang beraitan dengan analisis model srvival mltivariat, hssnya pada pemodelan model Cox mltivariat dapat dengan mdah dilaan dan dengan mdah pla diterapan pada ass-ass riil yang relevan.

4 188 Irfan Wahydi, rhadi, tno, dan Irhamah 2. MEODE ENELIIAN Metode dan tahapan-tahapan yang dilaan nt mendapatan estimator parameter model Cox mltivariat dengan metode Maximm artial Lelihood adalah sebagai bert: a. Menetapan bent marginal model Cox mltivariat, yait ( t, ( texp( Z, nt baseline hazard yang ident, ata ( t, ( texp( Z, nt baseline hazard yang berbeda-beda. b. Membent fngsi lelihood parsial model Cox mltivariat, yait n K exp( ( L( β n K i1 1 Y ( exp( ( 1 l 1 l l nt baseline hazard yang ident, ata n K exp( ( L( β n i1 1 Y ( exp( ( 1 l nt baseline hazard yang berbeda-beda Wong (1986. c. Membent In-lelihood parsial model Cox mltivariat, yait n K exp( ( ln L( β ln n K i1 1 Y ( exp( ( 1 l 1 l l nt baseline hazard yang ident, ata n K exp( ( ln L( β ln n i1 1 Y ( exp( ( 1 nt baseline hazard yang berbeda-beda. d. Memasimman fngsi ln L( β dengan cara menrnan ln L( β terhadap β nt mendapatan vetor sor, dan selantnya mengatr vetor sor tersebt agar sama dengan nol, yait ln L( β U( β β

5 Estimasi arameter pada Model Cox Mltivariat 189 e. Menentan matrs Hesse, yait matrs trnan parsial pertama dari vetor sor U( β ata trnan eda dari ln L( β terhadap β, yait H( β 2 ln L( β ββ f. Melaan iterasi nmer, di sini dignaan metode Newton Raphson ( q ( q 1 1 ( 1 ( 1 ( q ( q β β H β U β, q 1, 2, g. Memperoleh estimator ˆβ dengan menggnaan pemrograman MALAB. 3. HAIL DAN EMBAHAAN ada bagian ini dibahas cara mendapatan estimator parameter pada model Cox mltivariat dengan menggnaan metode Maximm artial Lelihood Estimation (MLE, dan pengaian sifat-sifatnya melipti sifat eonsistenan MLE ˆβ, asymptotic normality dari ˆβ, dan eonsistenan estimator 3.1. Estimator arameter Model Cox Mltivariat Σβ ˆ ( ˆ. Misalan terdapat n nit (pasien/clster dan setiap nit berpotensi nt mengalami K tipe failre. Misalan pada nit e-i, dan misalan adalah wat teradi tipe failre e- C adalah wat sensoring nt nit e-i pada tipe failre e-. Didefinisan min(, C dan fngsi indator sensoring I( C. Demian ga dengan Z ( Z1,, Zp menyataan vetor predtor nt nit e-i, tipe failre e-. Vetor wat failre i ( i 1,, ik dan vetor wat sensoring C i ( Ci 1,, CiK diasmsan saling bebas bersyarat terhadap vetor predtor Z ( Z,, Z ( i 1,, n. Unt selantnya i i1 ik diasmsan bahwa ( i, Ci, Z i adalah elemen-elemen random yang saling bebas dan berdistribsi secara ident. Ja ata Z hilang, maa ditetapan C, yang berarti dan. ada mmnya, ass-ass demian tida memberi ontribsi terhadap perhitngan statist. Model yang lazim dignaan nt mermsan distribsi marginal pada setiap tipe failre adalah model proportional hazard. Model tersebt tergantng

6 19 Irfan Wahydi, rhadi, tno, dan Irhamah pada apaah baseline hazard-nya ident ata tida ident diantara K tipe failre. Fngsi hazard dari nit e-i pada tipe failre e- dengan baseline hazard ident ata berbeda-beda, secara bertrt-trt, ditlis sebagai bert ata ( t, Z ( texp( (1 ( t, Z ( texp( (2 dimana ( t dan ( t ( 1,, K edanya adalah fngsi baseline hazard, dan β ( 1,, p adalah vetor parameter (oefisien regresi yang berran p 1. ada ass-ass eta fngsi baseline hazard-nya berbeda-beda diantara K tipe failre, dignaan ( t ( 1,, K, a tida demian, maa cp diasmsan fngsi baseline hazard-nya sama. ada eda model (1 dan (2, dignaan vetor β yang sama diantara model-model marginal-nya. Hal ini tida aan mengrangi emman arena asmsi tersebt selal dapat dipenhi oleh pemaaian variabel predtor yang tepat. erl detahi bahwa Wei, et al. (1989 menggnaan model (2 dengan vetor parameter regresi tipe spesif sedangan Lee, et al. (1992 mempelaari model (1. Ja observasi yang diamati diasmsan independen maa fngsi partial lelihood nt β dari model (1 dan model (2, secara bertrt trt, adalah dan n K exp( ( L( β n K i1 1 Y ( exp( ( 1 l 1 l l (3 n K exp( ( L* ( β n i1 1 Y ( exp( ( 1 dengan indator srvival Y ( t I( t, yang berarti Y ( t 1 a nit e-i pada tipe failre e- srvive dan bereso dibawah pengamatan pada tit wat t, dan bernilai nol nt alternatif yang lainnya. Fngsi logaritma natral dari partial lelihood L( β pada persamaan (3 dan (4, secara bertrt-trt, adalah (4

7 Estimasi arameter pada Model Cox Mltivariat 191 n K n K ln L( ( ln Y ( exp( ( 1 l 1 l l i1 1 dan β β Z β Z (5 n K * n ln L ( ( ln Y ( exp( ( 1 i1 1 β β Z β Z (6 Vetor sor yang bersesaian dengan persamaan (5 dan (6, bertrt-trt adalah dan U( β ( ( β, n K (1 Z ( i1 1 ( β, n K (1 ( β, U( β Z ( ( i1 1 ( β, (7 (8 dimana ( 1 ( (, n β Z t t n Y ( 1 t e β, (1 1 n β Z ( t 1 ( β, t n Y ( t e Z ( t ( 1,, K dan ( r K ( r t 1 ( β, ( β, t ( r,1. ada eda ass di atas, diperoleh estimator tnggal ˆβ dengan cara menyelesaan persamaan (7 ata (8 yait U( β ata U( β. Ja penyelesaian tersebt tida menghasilan solsi yang esplisit (ban bent terttp, maa estimator ˆβ diperoleh dengan pendeatan secara nmer. Matrs Hesse ata matrs trnan parsial eda dari ln L( β ata matrs trnan pertama dari vetor sor U( β terhadap β adalah 2 n K ln L( β H( β (, V β t ββ i1 1 dimana (2 (1 ( β, ( β, V ( β, t ( ( ( β, ( β, 2 adalah matrs ovariansi empiris dengan (2 1 n β Z ( t 2 t n Y 1 t e t ( β, ( Z (. ebagai penelasan, bent 2 a di sini adalah notasi oter-prodct yang berarti matrs aa, ini berla nt sebarang vetor olom a. elantnya MLE ˆβ diperoleh melali iterasi nmer, di sini dignaan metode Newton Raphson, yait dirmsan sebagai bert ( q ( q 1 1 ( 1 ( 1 ( q ( q β β H β U β, q 1, 2,

8 192 Irfan Wahydi, rhadi, tno, dan Irhamah roses iterasi dimlai dengan penentan nilai awal ( β dan iterasi dihentan pada langah e-m a ( m ( m1 β β dimana adalah bilangan yang sangat ecil. Maa MLE ˆβ dari β adalah ˆ ( m1 β β ifat eonsistenan MLE ˆβ ada bagian ini dibahas sifat eonsistenan MLE ˆβ dari parameter β. ecara ringas hal ini dielasan pada proposisi bert ini. roposisi 1: Misalan ˆβ adalah MLE dan β adalah tre vale dari β pada model Cox mltivariat. Ja n maa β ˆ β, yait MLE ˆβ onsisten. Bti: Bent L( β pada persamaan (3 a dinyataan dalam notasi conting process, maa bent tersebt menadi n K Y ( exp( ( L( β n K i1 1 Y ( exp( ( 1 l 1 l l dn ( dengan dn ( 1 a N ( N ( 1 dan dn ( nt alternatif yang lainnya. misalan L ln L, maa L( β, t dapat diraan menadi L n K t ( β, t β Z ( dn ( i1 1 Definisan n K t n K ln Yl ( exp l ( dn ( i1 1 1 l1 n K t ( β Z i1 1 K 1 n 1 ( ln n ( β, dn ( G( β, t L( β, t L ( β, t G ( β, t dengan n t ( 1 (, β G ( β, t ( ( ln dn (, ( n β β Z i1 ( β, 1 K n ( ( ( ( β, l ( β, dan l ( β, Yl ( exp β Z l (. l1 n 1 Definisan pla K G( β, t G ( β, t dengan 1

9 Estimasi arameter pada Model Cox Mltivariat 193 Unt n t ( 1 s (, β G ( β, t ( ( ln dn (, ( n β β Z i1 s ( β, K ( ( ( ( s ( β, s l ( β, dan s l ( β, E l ( β,. l1 ( d ( β, t, d,1, 2, seperti yang telah dirmsan pada bagian 3.1 di atas, l terdapat perseitaran B dari ( d ( d β dan, mencap s l ( β, t l ( β, t E secara bertrt-trt, fngsi scalar, fngsi vector, dan fngsi matrs ( s l (, t β, s (1 ( β, t l dan s (2 ( β, t terdefinisi pada B [, ] sedemian sehingga, nt d,1, 2, l ( d ( d sp l ( β, t s l ( β, t t[, ], βb a n, 1,, n; l 1,, K. (9 elantnya, aan ditnan bahwa G( β, eivalen dengan G( β, secara asimtot, dalam arti bahwa G G n ( β, ( β, a. Dari definisi G ( β, dan G ( β,, Karena di n ( ( 1 ( β, s ( β, G ( β, G ( β, ln ln dn ( ( ( n i1 ( β, s ( β, ( d s ( β, t adalah fngsi-fngsi dari l ( ( ( β, s ( β, N ( ln ln d ( ( ( β, s ( β, n β B terbatas pada B [, β dan berla persamaan (9, maa nt setiap, ( ( ( ( ( β, s ( β, ( β, ( β, ( ( ( ( β β β β dan βb.,, ontin ln ln ln ln a n (, s (, s (, s (, sehingga diperoleh bahwa N ( 1 ( ( n Y d n n i1 ( ( (, d β ( ilih ( s ( β, d, maa β a ( ( (, d

10 194 Irfan Wahydi, rhadi, tno, dan Irhamah n, sehingga / a. N ( Karena it, lim lim. n n β β Aibatnya G( β, eivalen dengan G( β, Jadi, G(, G(,. secara asimtot. Karena it, nt data besar ( n, MLE ˆβ di G( β, onvergen dalam probabilitas e β (tre vale yang memasimman L ( β, t di G( β,. Hal ini mennan bahwa a n, maa MLE β ˆ β ifat asymptotic normality dari ˆβ Unt data besar, estimator n( βˆ β onvergen dalam distribsi e N (, Σβ p (, dimana Σ β n K n K D β D β i l 1 1 l dielasan pada proposisi bert ini. ( E ( (. Hal ini roposisi 2: Misalan Σβ ( adalah matrs ovariansi. a n, maa n( βˆ β N (, Σ( β. D p Bti: Espansi aylor orde pertama nt vetor sor U( β dengan psat tre vale β dari β dapat ditlis sebagai bert U( β U( β U( β ( β β, β * ββ (1 dimana maa * β terleta pada segmen garis antara ˆβ dan β. Karena ˆβ adalah MLE U( βˆ, sehingga persamaan (1 menadi 1 1 U( β U( β n ( β ˆ β. n n β β * β Dari teorema limit sentral mltivariat ri dan en (1971 diperoleh bahwa 1 U( β N p(, Σ( β. Dari proposisi 1 detahi bahwa ˆβ onsisten, ini n berarti β * β a n, sehingga 1 U β n β ( I( β β * β a n. Jadi n( βˆ β N p(, Σ( β. Aibatnya n( βˆ β D N p(, Σ( β.

11 Estimasi arameter pada Model Cox Mltivariat ifat eonsistenan estimator Σβ ˆ ( ˆ enelasan sifat eonsistenan estimator pada proposisi bert ini. Σβ ˆ ( ˆ secara ringas dielasan roposisi 3: Misalan ˆβ adalah MLE dan β adalah tre vale dari β pada model Cox mltivariat. Ja n maa ˆ Σ ˆ ( β Σ ( β. Bti: Unt mennan sifat eonsistenan estimator ˆΣ, diperlan da hal yang hars diperlihatan, yait a n maa: B β B β E D β D β dan 1 1 n n ˆ ˆ ( il ( 1 ( 1l ( 2 ˆ i1 I ˆ( β I ( β dimana (1 ( (, ( β Z β Y e B ( β Z ( dn ( ( ( dn (, (, (, β n β t (1 (, K s β ( D ( β Z ( ( dan ( (, s (, ( dm I β t t h ( t dt. s (, v β β β 1 Unt mennan bagian pertama, cp dibtan bahwa setiap omponen 1 n dari n ( ˆ ( ˆ B β Bil β onvergen dalam probabilitas e setiap omponen yang i1 sesai dengan E D 1( β D1 l( β membtan ˆ( (. Bagian eda dapat ditnan dengan cara I βˆ I β a n. Dari eda hal tersebt, diperoleh bahwa Σβ ˆ ( ˆ adalah estimator yang onsisten, dengan ˆ Σ ˆ ( β Σ ( β. 4. KEIMULAN DAN ARAN Dari raian singat dengan penelasan-penelasan sederhana di atas dapat ditar beberapa esimplan, yait: a Estimator-estimator parameter model Cox mltivariat dapat dicari dengan cara yang cp sederhana menggnaan metode MLE. Nilai estimator-estimator tersebt dapat dideati dengan menggnaan metode iterasi Newton Raphson dengan algoritma yang cp sederhana pla. b Estimator MLE bersifat onsisten dan asymptotic normality. c Estimator matrs varian ovarian Σβ ˆ ( ˆ bersifat onsisten.

12 196 Irfan Wahydi, rhadi, tno, dan Irhamah aran bagi para peneliti yang beera pada bidang srvival mltivariat, hssnya pada model Cox mltivariat nt menggnaan metode iterasi selain Newton Raphson, hal ini nt membandingan metode mana yang lebih arat dan lebih efisien dalam memperoleh nilai-nilai hampiran estimator dan dalam proses iterasi. UCAAN ERIMAKAIH Dicapan banya terimaasih epada yang terhormat romotor dan Copromotor penlis (Dr.rhadi, M.c, Dr.tno, M.i, dan Dr.Irhamah, M.i atas segala bantan dan esabarannya dalam membimbing penlis dalam menyelesaan tlisan ilmiah ini nt diseminaran pada imposim Nasional Analisis Matemata dan Aplasinya V di rogram tdi Matemata Universitas Jenderal oedirman rwoerto. DAFAR UAKA Collett, D. (1994. Modeling rvival Data in Medical Research, chapman and Hall, London. Klembam, D.G. (1996. rvival Analysis: A elf learning text. pringer, New Yor. Lawless, J. F. (23. tatistical Models and Methods for Lifetime Data. 2nd edition, John Wiley & ons. Inc., Hoboen, New Jersey. Lee, E.W., Wei, L.J. dan Amato, D.A. (1992. Cox-type regression analysis for large nmbers of small grops of correlated failre time observations, in Klein, J.. and Goel,.K. (eds, rvival analysis: tate of the art, Klwer Academic blishers, Dordrecht, pp ri, M.L. dan en,.k. (1971. Nonparametric Methods in Mltivariate Analysis, New Yor: Chapman and Hall. Wei, L.J., Lin, D.Y. dan Weissfeld, L. (1989. Regression analysis of mltivariate incomplete failre time data by modeling marginal distribtions, Jornal of the America tatistical Association, 84, Wong, W.H. (1986. heory of partial lelihood. he Annals of tatistics, Vol. 14. No. 1,