BAB IV PROSES BIRTH-DEATH DAN APLIKASINYA DALAM SISTEM ANTRIAN. Kebanyakan sistem antrian dimodelkan menggunakan interarrival times dan

Transkripsi

1 BAB IV PROSES BIRTH-DEATH DAN APIKASINYA DAAM SISTEM ANTRIAN 4. Distribusi Eksponensial Dalam Proses Birth-Death Kebanyakan sistem antrian dimodelkan menggunakan interarrival times dan service times berdistribusi eksponensial. Berdasarkan The no-memory property dari distribusi exponensial maka probabilitas suatu kelahiran dalam selang waktu ( t, t tidak tergantung pada berapa lama sistem berada dalam state. Probabilitas sebuah kelahiran dalam selang waktu ( t, t adalah : t t e dt e t e t Dari ekspansi deret Taylor t o( maka : t e t dt t o( Dari sini dapat disimpulkan bahwa lau kelahiran dalam state hanya berupa arrival rate. Untuk menentukan lau kematian pada saat t, dengan catatan ika state = pada saat t berarti tidak ada service dalam selang waktu ( t, t berarti. Jika state pada waktu t adalah dan diketahui hanya ada satu server, adi hanya tepat satu customer yang sedang dilayani. Berdasarkan The no-memory property dari distribusi

2 exponesial diperoleh probabilitas satu customer selesai dilayani dalam selang waktu ( t, t adalah : t e t dt e t t o( Jadi untuk,. Misal kita asumsikan service times dan interarrival times saling independen, maka M / M // FCFS // merupakan sebuah proses birth-death. Untuk sistem antrian yang lebih kompleks dengan interarrival times dan service times berdistribusi exponensial, dapat dimodelkan sebagai proses birth-death dengan menambah umlah server. Berikut ini adalah contoh sebuah sistem antrian yang dapat dimodelkan sebagai proses birth-rate. Sistem antrian M / M / / FCFS / / dengan 3, 6. Sistem ini dapat dimodelkan sebagai proses birth-death dengan : 3, untuk =,,,, 6, 6 6, untuk = 3, 4, 5,. Jika salah satu dari interarrival times atau service times tidak berdistribusi exponensial, maka sistem tersebut tidak dapat digambarkan sebagai proses birth-death. 4.. Penurunan Steady State Untuk proses Birth-Death Terdapat empat alan yang mungkin agar pada saat t t, sistem berada pada state. Untuk keempat alan itu adalah sebagai berikut :

3 Keadian State pada State pada Probabilitas keadian Saat t Saat t t I P ( i. ( t o( ) II + P ( i. ( t o( ) III P ( ( t t o( )) i. t IV State lain o( Jika pada saat t sistem berada pada state,, atau + maka supaya sistem berada pada state pada saat t t akan terdapat lebih dari satu keadian (birth atau death) dalam selang waktu ( t, t. Berdasarkan Hk. 3. keadian ini akan memiliki probabilitas o(. Diasumsikan untuk t kecil maka o (. P i Selanutnya ( t dapat kita tulis sebagai berikut : P i ( t ( I) ( II) ( III) ( IV) Pi( t Pi( t( Pi. ( Pi. ( Pi( Pi( ) (4...) o( ( Pi. ( Pi. ( Pi( ). Untuk yang digaris bawah dapat ditulis sebagai o( sehingga diperoleh Pi( t Pi( t( Pi. ( Pi. ( Pi( Pi( ) o( kedua ruas dibagi dengan ( untuk ( mendekati nol, maka diperoleh untuk semua i dan, P ' i( ipi. ( P ( Pi( Pi(. (4...)

4 ambil =, maka P ( t i. ), dan sehingga diperoleh : ' Pi. ( Pi.( Pi. ( Dalam kenyataan persamaan deferensial ini sangat sulit untuk diselesaikan, maka didefinisikan probabilitas steady-state, (=,,, ) sebagai suatu rantai Markov, lim P i t ( Untuk t besar dan sebarang inisial state, P i ( tidak akan berubah banyak, bahkan ' mungkin akan berupa konstan. Berarti dalam keadaan steady-state (, kemudian uga diperoleh P i. (, P i. (, dan Pi(. Substitusikan ke persamaan (4...) maka untuk, didapat :... (4...3) i ambil =, didapat : ( ) P i Persamaan terakhir dapat pula diperoleh dari kenyataan hasil pengamatan yaitu : Untuk setiap t di dalam proses birth-death, pastilah benar bahwa untuk setiap state, umlah dari berapa kali kita masuk state dan umlah berapa kali kita keluar dari state, akan paling banyak berbeda satu. Misal setelah observasi selama t waktu, diperoleh hasil bahwa kita telah masuk state 4 sebanyak tiga kali. Maka keadian-keadian berikut pastilah benar.

5 Keadian Inisial State State Pada Saat t Banyaknya berapa kali keluar dari state 4 setelah t waktu State 4 State 4 3 State 4 Selain state Selain state 4 State 4 4 Selain state 4 Selain state 4 3 Terlihat pada kolom 4, bahwa setelah t waktu bila kita telah masuk state 4 sebanyak tiga kali maka banyaknya berapa kali keluar dari state 4 adalah, 3, atau 4 kali. Jadi paling banyak hanya berbeda satu. Jadi untuk t besar pastilah benar bahwa : nilai harapan berapa kali keluar dari state nilai harapan satuan waktu berapa kali masuk satuan waktu ke state....(4...4) Diasumsikan bahwa sistem telah masuk steady-sate. Maka untuk setiap state, =,,, terdapat probabilitas yaitu peluang terdapat orang dalam sistem setelah tercapai steady-state. Untuk, kita hanya dapat meninggalkan state menuu state atau state +, sehingga : Nilai harapan keluar dari satuan waktu state ) (4...5) ( Juga untuk kita hanya dapat masuk state dari state atau state +, sehingga :

6 Nilai harapan masuk ke satuan waktu state. (4...6) Dari persamaan (4...5) dan (4...6) diperoleh : ( ) ( =,,, 3,.).(4...7) diambil =, maka sehingga diperoleh :.....(4...8) Persamaan (4...7) dan (4...8) disebut sebagai flow balance euations atau conservation of flow euation untuk proses birth-death. Perhatikan persamaan (4...7), maka kita peroleh flow balance euation : ( = ) ( = ) ( ) ( = ) ( ) 3 3 : : ( = ) ( ) 4.. Penyelesaian Dari Flow Balance Euation Dari = telah kita telah kita peroleh. substitusikan ke ( = ) : ( ) ( ) ( )

7 bila substitusi diteruskan untuk ( = ), ( = 3),.. maka akan diperoleh : c, dengan c......(4...)... Untuk sebarang waktu t kita harus berada dalam suatu state, adi umlah probabilitas steady-state harus sama dengan satu. c....(4...) untuk =, maka persamaan (4...) menadi c adi c ( c )...(4...3) dari (4...3) dapat dihitung asalkan c terbatas, yaitu :....(4...4) c selanutnya substitusikan persamaan (4...4) ke (4...) maka akan didapat nilai, =,, Jika c tak terbatas, tidak ada steady-state pada sistem, hal ini disebabkan arrival rate sama atau melebihi umlah maksimum yang bisa dilayani server, sehingga state akan terus naik dan tak ada euilibrium.

8 4. Sistem Antrian M/M//GD/ / Dan Formula Antrian W Sistem antrian M/M//GD/ / mempunyai interarrival times dan service times yang berdistribusi eksponensial dan hanya memiliki satu server, sedangkan umlah arrival tidak dibatasi. Kita asumsikan arrival rate = dan service rate =. Sistem antrian ini dapat kita modelkan sebagai proses birth-death dengan parameter sebagai berikut : ( =,,, ),, ( =,, 3, ).... (4.) 4.. Penurunan Dari Probabilitas Steady-State Untuk memperoleh nilai, kita substitusikan persamaan (4.) ke (4...) :,,,... (4...) didefinisikan kita sebut sebagai intensitas traffic dari sistem antrian. Jika teradi berarti ( arrival rate paling sedikit sebesar service rate). Untuk maka arrival rate sama dengan service rate adi server akan terus sibuk dan tidak akan tercapai steady-state. Demikian pula ika maka umlah customer dalam sistem akan terus meningkat sehingga tidak akan tercapai steady-state. Substitusi persamaan (4...) ke (4...) diperoleh : (...)... (4...) karena, maka ( ).(4...3)

9 substitusi persamaan (4...3) ke (4...) diperoleh : ( ) ( )... (4...4) 4.. Penurunan Dari Didefinisikan adalah umlah rata-rata customer yang ada dalam sistem. Diberikan ( ) ( ) didefinisikan S ( ) adi / ( ) S ( )...(4..) ( ) / 4..3 Penurunan dari Didefinisikan adalah nilai harapan dari umlah umlah customer yang sedang menunggu di garis antrian. Jadi ika ada atau customer dalam sistem, maka tidak ada customer yang menunggu di antrian. Jika terdapat orang di dalam sistem ( ) maka akan terdapat orang di garis antrian. ( ) ( ) substitusi dari persamaan (4...8) diperoleh : substitusi dari persamaan (4..) diperoleh :.....(4..3) ( )

10 4..4 Penurunan dari s s merupakan nilai harapan dari umlah cutomer yang sedang dilayani. s (...) ( ) Kita dapat uga mencari menggunakan persamaan s, s 4..5 Formula Antrian W Kita definisikan W adalah nilai berapa lama seorang customer berada di dalam sistem, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk antri ditambah waktu pelayanan server. Didefinisikan besaran-besaran sebagai berikut : Jumlah rata-rata arrival masuk ke sistem per unit waktu Jumlah rata-rata customer yang ada di dalam sistem Jumlah rata-rata customer yang sedang antri Jumlah rata-rata customer yang sedang dilayani server s W Waktu rata-rata seorang customer berada di dalam sistem W Waktu rata-rata seorang customer harus antri W Waktu rata-rata yang dibutuhkan server untuk melayani satu s customer. Diasumsikan sistem telah mencapai steady-state, semua rata-rata di atas adalah rata-rata steady-state. Besaran-besaran di atas dapat diselesaikan menggunakan ittle s Queuing formula. Formula ini bisa dilihat pada teorema berikut :

11 Teorema Untuk sebarang sistem antrian yang terdapat distribusi steady-state, berlaku relasi-relasi berikut : W.....(4..5.)...(4..5.) W.. (4..5.3) s W s Untuk membuktikan teorema tersebut dapat dilihat dari satuannya. Misal untuk persamaan (4..5.), adalah umlah customer dalam sistem, adi mempunyai satuan orang, kemudian mempunyai satuan orang / am dan W mempunyai satuan am. Jadi W mempunyai satuan orang. Untuk bukti lain, perhatikan keadian saat seorang customer datang, kita namai customer-a. Diasumsikan customer-a datang setelah steady-state tercapai. Saat customer-a berada dalam sistem maka akan terdapat (nilai rata-rata) customer dalam sistem. Customer-A akan berada dalam sistem selama W waktu. Setelah customer-a meninggalkan sistem, maka yang tinggal di dalam sistem adalah customer-customer di belakangnya yang datang dalam W waktu tersebut, dan ini berumlah W. Dari sini terlihat bahwa W Dengan menggunakan teorema di atas, kita bisa mendapatkan nilai W dan Substitusi dari persamaan (4..) diperoleh : W. W ( )

12 Substitusi dari persamaan (4..3) diperoleh : W ( ) Bila diperhatikan, maka ika mendekati satu maka baik W maupun W keduanya akan sangat besar. Sedangkan untuk mendekati nol, W akan mendekati nol dan W mendekati yaitu nilai rata-rata service times. Berikut adalah contoh penggunaan formula tersebut : Contoh. Pada sebuah server drive-in teller rata-rata datang mobil per am. Diasumsikan ratarata service times untuk sebuah mobil adalah 4 menit, dan baik interarrival times maupun service times keduanya berdistribusi eksponensial.. Berapa probabilitas teller akan idle (bebas kera)?. Berapa umlah rata-rata mobil yang antri? 3. Berapa waktu rata-rata sebuah mobil di dalam sistem? 4. Berapa rata-rata costumer yang dilayani server dalam satu am? Penyelesaian : Diketahui sistem antrian M/M//GD/ / dengan mobil per am dan 5 mobil per am. Berarti teller akan idle bila customer dalam sistem berumlah nol Jadi teller akan idle rata-rata /3 dari waktu tugasnya.

13 . ( ) 3 4 mobil mobil ) ( 3 W am = menit Diketahui 5, adi ika server terus sibuk maka akan ada rata-rata 5 customer yang telah dilayani selama satu am. Dari no. diketahui bahwa server akan idle rata- rata /3 waktu tugasnya. Jadi dalam satu am rata-rata akan terdapat ( 3 )(5) customer yang selesai dilayani server. Dalam kenyataan, karena sistem dalam keadaan steady-state, ika dalam satu am terdapat arrival maka akan terdapat pula customer meninggalkan sistem dalam satu am Model Optimisasi Antrian Berikut ini adalah contoh penggunaan teori antrian untuk optimisasi. Contoh. Masinis yang bekera di sebuah tool-and-die plant harus mencari alat-alat dari pusat peralatan. Rata-rata dalam satu am terdapat masinis datang mencari peralatan. Pusat peralatan dipimpin oleh seorang uru tulis yang dibayar $6 per am yang membutuhkan waktu rata-rata 5 menit untuk setiap permintaan alat. Setiap masinis memproduksi barang-barang senilai $ per am (berarti perusahaan akan membayar $ untuk setiap satu am yang digunakan masinis di pusat peralatan). Perusahaan mempertimbangkan perlu tidaknya menyewa pembantu uru tulis dengan bayaran $4 per am. ika bersama pembantu maka uru tulis membutuhkan waktu rata-rata 4 menit untuk

14 setiap permintaan barang. Diasumsikan arrival times dan service times berdistribusi eksponensial. Perlukah disewa pembantu? Penyelesaian : Penyelesaian optimum untuk problem di atas adalah meminimalkan service cost per am (biaya untuk membayar uru tulis) dan delay cost per am (biaya yang dikeluarkan selama masinis berhenti kera karena harus ke pusat paralatan). Jadi perusahaan ingin meminimalkan pengeluaran per am, yaitu : harapan pengeluaran am service cos t harapan am delay am cos t dengan, harapan delay am cos t harapan delay customer cos t harapan umlah am customer harapan delay customer cos t $ masin is rata rata am di pusat umlah am perala tan masin is ika tanpa pembantu untuk uru tulis, maka : masinis per am, dan masinis per am. adi diperoleh W am. (w adalah waktu rata-rata masinis di pusat peralatan) harapan delay cos t diperoleh $ 5 am service cos t dari soal diketahui $ 6 am adi tanpa pembantu, harapan pengeluaran per am = = $56

15 ika menyewa pembantu maka : masinis per am, dan 5 customer per am adi diperoleh W am 5 5 harapan delay cos t diperoleh 5 $ am service cos t dari soal diketahui 6 4 $ am adi dengan menyewa pembantu diharapkan pengeluaran per am = + = $3. Kesimpulan dengan menyewa pembantu akan lebih menguntungkan.