Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit"

Verawati Lie
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Chandra Novtiar PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

2 Garis Besar Pembahasan

3 Sub Pokok Pembahasan 3 1. Nilai Ekspektasi 2. Rataan 3. Varians 4. Momen 5. Fungsi Pembangkit Momen

4 Sub Pokok Pembahasan 3 1. Nilai Ekspektasi 2. Rataan 3. Varians 4. Momen 5. Fungsi Pembangkit Momen

5 Definisi Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x) dan u(x) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari u(x), dinotasikan dengan E[u(x)], didefinisikan sebagai: 4 E[u(X)] = x u(x) p(x)

6 Definisi Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x) dan u(x) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari u(x), dinotasikan dengan E[u(x)], didefinisikan sebagai: 4 E[u(X)] = x u(x) p(x) Contoh Misalkan fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk: p(x) = x, x = 1, 2, 3, 4, 5 Tentukan E[X 2 1] dan E[X(X+1)]

7 Sifat-sifat Nilai Ekspektasi 1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E(c) = c 2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(x) adalah fungsi dari X, maka: E[c u(x)] = c E[u(X)] 3. Jika c 1 dan c 2 adalah dua buah konstanta dan u 1 (X) dan u 2 (X) adalah dua buah fungsi dari X, maka: E[c 1 u 1 (X) + c 2 u 2 (X)] = c 1 E[u 1 (X)] + c 2 E[u 2 (X)] 5

8 Sifat-sifat Nilai Ekspektasi 1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E(c) = c 2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(x) adalah fungsi dari X, maka: E[c u(x)] = c E[u(X)] 3. Jika c 1 dan c 2 adalah dua buah konstanta dan u 1 (X) dan u 2 (X) adalah dua buah fungsi dari X, maka: E[c 1 u 1 (X) + c 2 u 2 (X)] = c 1 E[u 1 (X)] + c 2 E[u 2 (X)] 5 Contoh Lihat kembali soal pada contoh 1 Hitung E(X 2 1) dan E[X(X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi

9 Definisi Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah p(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: 6 E[X] = x x p(x)

10 Definisi Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah p(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: 6 E[X] = x x p(x) Contoh Jika Sandi melempar sebuah dadu seimbang, maka tentukan rataan dari munculnya angka pada mata dadu itu!

11 Definisi Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai : Var(X) = E[X E[X]] 2 7 Var(X) = E[X µ] 2

12 Definisi Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai : Var(X) = E[X E[X]] 2 7 Definisi Varians Diskrit Var(X) = E[X µ] 2 Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka Varians dari X didefinisikan sebagai: Var(X) = x (x µ) 2 p(x)

13 Sifat-Sifat Varians a Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var(c) = 0 b Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka: Var(X + c) = Var(X) c Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka: Var(aX + b) = a 2 Var(X) 8

14 Sifat-Sifat Varians a Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var(c) = 0 b Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka: Var(X + c) = Var(X) c Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka: Var(aX + b) = a 2 Var(X) 8 Contoh Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X adalah sebagai berikut : x f (x) Hitung Var(X)

15 Definisi Momen Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan µ k ) didefinisikan sebagai : µ k = E[X k ], k = 1, 2, 3, 9

16 Definisi Momen Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan µ k ) didefinisikan sebagai : Momen Diskrit µ k = E[X k ], k = 1, 2, 3, Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k (dinotasikan µ k ) didefinisikan sebagai : 9 µ k = x x k p(x)

17 Momen Sekitar Rataan Diskrit Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen sekitar rataan ke-k (dinotasikan µ k ) didefinisikan sebagai: µ k = x (x µ) k p(x) 10

18 Contoh 1. Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X x f (x) Hitunglah µ 3 2. Misalkan ufngsi peluang dari X berbentuk: 11 p(x) = 1, x = 1, 2, 3 3 Hitung µ 3

19 Definisi Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan M x (t)) didefinisikan sebagai: untuk h < t < h dan h > 0 M x (t) = E[e tx ] 12

20 Definisi Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan M x (t)) didefinisikan sebagai: untuk h < t < h dan h > 0 M x (t) = E[e tx ] DISKRIT Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: 12 M x (t) = x e tx p(x)

21 PENURUNAN Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan M x (t) adalah fungsi pembangkit momennya, maka M r x(t) t=0 = µ r 13

22 PENURUNAN Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan M x (t) adalah fungsi pembangkit momennya, maka Contoh M r x(t) t=0 = µ r Misalkan fungsi peluang dari X berbentuk : 13 p(x) = 1 4 C 2 x, x = 0, 1, 2 a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X b. Hitung µ 1 dan µ 2 berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen

23 Daftar Pustaka N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill,

24 Terima Kasih Chandra Novtiar

dokumen-dokumen yang mirip

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar 0857948015 chandramathitb07@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG Garis Besar Pembahasan Sub Pokok Pembahasan