Kapita Selekta Matematika

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Kapita Selekta Matematika"

Transkripsi

1 Sudaryato Sudirham Kapita Selekta Matematika Bilaga Kompleks Permutasi da Kombiasi Aritmatika Iterval

2 BILANGAN KOMPLEKS

3 Defiisi Dalam buku Erwi Kreyszig kita baca defiisi bilaga bilaga kompleks sebagai berikut Bilaga komplekszialahsuatu pasaga terurut (,y) dari bilaga yata, yag kita tuliska bagia yata (real part) dariz z (, y) bagia khayal (imagiary part) dariz kita tuliska Re z Im z y Kita aka mecoba memahami defiisiii secaragrafis, mulai dari pegertia tetag bilaga yata. 3

4 Bilaga Nyata Kita megeal bilaga yata bulat seperti,, 3 da seterusya; bilaga yata pecaha ¼, ½, ¾ da seterusya, serta bilaga yata yag haya dapat di agaka seperti π. Walaupu haya dapat diagaka, bilaga ii tetap yata, ilaiya adalah 3,4., dega agka desimalyag takdiketahui ujugya. Secara grafis, bilaga yata dapat digambarka posisiya di suatu sumbu yag disebutsumbuyata, m 4

5 Tijaulah suatu fugsi y y tidak adailai y yag yata utuk egatif amu utuk yag egatif dapat didefiisika suatu bilaga imajier(khayal) j 5

6 Jika bilaga yata mejadi satua daribilaga yata, misalya da seterusya maka bilaga imajier j mejadi satua dari bilaga imajier, misalya imajier imajier imajier j 3 j3 9 j9 da seterusya 6

7 Peryataa Bilaga Kompleks Satu bilaga kompleks z merupaka jumlah dari kompoe yata da kompoe imajier da dituliska bilaga kompleks z a + jb bagia yata bagia imajier 7

8 Bilaga kompleks dapatdigambarka di bidag kompleks yag dibatasi oleh sumbu yata(diberi tada Re) da sumbu imajier(diberi tada Im) yag salig tegaklurus satu sama lai setiap titik di bidag kompleks meujukka posisi bilaga-kompleks (,,y) dega adalah kompoe yata da y adalah kompoe imajier-ya 8

9 Diagram Argad disebut modulus modulus z ρ a + b disebut argume Im jb ρ θ a z + a jb b ρsi Re θ z z ρ(cos θ + j si θ) a + b (cos θ + j si θ) arg z θ ta b a a ρcosθ 9

10 CONTOH Suatu bilaga kompleks diyataka sebagai z 3 + j4 Sudut dega sumbu yata adalah θ o ta (4 / 3) 53, Peryataaz dapat kitatuliska z ( o o ) cos 53, + j si 53, ( o o ) 53, + j si 53, 5 cos 0

11 CONTOH Suatu bilaga kompleks diyataka sebagai ( o o ) cos 0 si z 0 + j 0 Peryataa ii dapat kita tuliska z ( o o ) + jsi0 0 cos0 0(0,94 + j0,34) 9,4 + j3,4

12 Kesamaa Bilaga Kompleks Modulus ρ a + b merupaka ilai mutlak Dua atau lebih bilaga kompleks bisasajamemiliki ilai ρ yag sama aka tetapi dega sudut θ yag berbeda; atau sebalikya mempuyai ilai θ samaaka tetapi memiliki ρ yag berbeda. Dua bilaga kompleks dikataka sama besar jika mereka mempuyai baik ρ maupu θ yag sama besar. Dega kata lai, mereka memiliki bagia yata da bagia imajier yag sama besar..

13 Negatif dari Bilaga Kompleks Nilai egatif dari suatu bilaga kompleks adalah ilai egative dari kedua kompoeya Jika z a + jb maka z a jb Im jb o θ +80 ρ ρ θ z a + a Re jb z a jb 3

14 CONTOH Jika z maka z z 4 6 j j Sudut dega sumbu yata θ θ o ta (6 / 4) 56, 3 o o o 56, , 3 z dapat diyataka sebagai z z ( o o ) + 6 cos 56,3 + j si 56,3 ( o o ) + j si 56,3 4 7, cos 56,3 7, cos(56,3 7, ( o o o o ) + 80 ) + j si(56, ) ( 0,55 j0,83) 3,96 j6 4

15 Kojugat Bilaga Kompleks Kojugat darisuatu bilaga komplekszadalahbilaga kompleks z * yag memiliki kompoe yata sama dega z tetapi kompoe imajierya adalah egatif dari kompoe imajier z. Jika z a + jb maka z a jb Im jb ρ z a + jb θ θ a Re jb z a jb 5

16 CONTOH: Jika z 5 + j6 maka z 5 j6 Sudut dega sumbu yata θ ta (6 / 5) 50, θ o 50, z dapat diyataka sebagai z z 5 o o + 6 ( cos 50, + j si 50, ) o o ( + j si 50, ) 7,8 cos50, ( o o ) si 50, 7,8 cos 50, j o Im z 5 + j6 Re z* 5 j6 6

17 CONTOH: z 5 + j6 Im Jika z 5 j6 maka z 5 + j6 Re z 5 j6 Im z 5 + j6 Jika z 5 j6 maka z 5 + j6 Re z 5 j6 7

18 Operasi-Operasi Aljabar 8

19 Pejumlaha da Peguraga Bilaga Kompleks Hasil pejumlaha dua bilaga kompleks merupaka bilaga kompleks yag kompoe yataya merupaka jumlah kompoe yata da kompoe imajierya juga merupaka jumlah kompoe imajier. Hasilselisihdua bilaga kompleks adalahbilaga kompleks yag kompoe yataya merupaka selisih kompoe yata da kompoe imajierya juga merupaka selisih kompoe imajier. ) ( ) ( ) ( ) ( b b j a a jb a jb a z z ) ( ) ( ) ( ) ( b b j a a jb a jb a z z

20 CONTOH: 4 3 da 3 j s j s ) (3 3) ( j j j s s ) (3 3) ( j j j s s + + Diketahui 0

21 Perkalia Bilaga Kompleks Perkalia dua bilaga kompleks dilaksaaka seperti halya kita melakuka perkalia jumlah dua bilaga, yaitu dega malakuka perkalia kompoe per kompoe Jika z z ( z z )( z ) ( a a a a a + jb + )( a jb a + jb a + + jb jb b z ( a + jb)( a jb) a a + b jba + ) a b jba + b b b Perhatika: z z z a + jb ( ) a + b a + b

22 CONTOH: z + j3 da z j ( z)( z) ( + j3)(3 + j4) 6 + j8 + j9 6 + j7 j CONTOH: z + j3 da z z 3 ( z)( z ) ( + j3)( j3) 4 j6 + j z ( ) z z

23 Pembagia Bilaga Kompleks Hasil bagi suatu pembagia tidak aka berubah jika pembagia itu dikalika dega jb a jb a CONTOH: 4 3 da 3 j z j z ) 8 ( ) ( j j j j j j z z ) ( ) ( b a a b b a j b b a a jb a jb a jb a jb a z z

24 Peryataa Bilaga Kompleks Betuk Polar 4

25 Fugsi Ekspoesial Kompleks Jika adalah bilaga yata maka fugsi ekpoesial y e merupaka fugsi ekpoesial yata; y memiliki ilai yata Jika z adalah bilaga kompleks z σ + jθ fugsi ekspoesial kompleks didefiisika e z e dega ( σ+ jθ) e σ e σ (cos θ + adalah fugsi j si θ) ; ekspoesial riil` Melalui idetitas Euler θ e j cos θ + j si θ fugsi epoesial kompleks dapat kita tuliska e z e σ e jθ 5

26 Betuk Polar Represetasi bilaga kompleks dalam betuk polar adalah Im z ρe ρ jθ z ρe jθ arg z z θ θ Re CONTOH: Misalka suatu bilaga kompleks z 0 e j0,5 Modulus bilaga kompleks ii adalah z 0 da argumeya z 0,5 rad Betuk sudut sikuya adalah: z 0 (cos 0,5 + 0 (0,88 + j si 0,5) j0,48) 8,8 + j4,8 Im 0 0,5 rad z Re 5e j0,5 6

27 CONTOH: Misalka suatu bilaga kompleks z 3+ j4 Modulus z ρ Argume z 4 θ ta 3 0,93 rad Represetasi polar z 5e j0,93 Im 5 z 5e j0,93 0,93 rad Re 7

28 CONTOH: Misalka z + j0 Modulus z ρ ta Argume θ ( 0 / ) ± π tidak berilai tuggal Di sii kita harus memilih θ π rad karea kompoe imajier 0 sedagka kompoe yata Im jπ z e Re 8

29 . CONTOH Misalka z 0 j Modulus z ρ ta Argume θ ( / 0) π / kompoe yata: 0 kompoe imajier: Represetasi polar adalah z e jπ / Im Re j z e jπ / 9

30 Mafaat Betuk Polar 30

31 Perkalia da Pembagia Bilaga Kompleks Represetasi polar dari bilaga kompleks mempermudah operasi perkalia da pembagia. ( z )( z ) ρ ρ ρ e jθ e ρ e j( θ +θ jθ ) z z jθ ρe ρ j( θ θ ) e jθ ρe ρ CONTOH: Misalka z 0 e j0,5 daz 5 e j0,4 j0,5 j0,4 z 0e 5e 50 z e j0,9 z z j0,5 0e j e j0,4 5e 0, 3

32 Kojugat Kompleks argume kojugat berlawaa dega argume bilaga kompleks asalya Im θ z ρe θ z Re jθ ρe jθ Relasi-relasi atara suatu bilaga kompleks dega kojugat bilaga kompleks laiya adalah sebagai berikut ( z)( z*) z [ ] ( *)( *) z z * z z z z * z * z * atau z s s * 3

33 CONTOH: 0,4 0,5 5 da 0 j j e z e z ,5 0,5 z z e e z z j j [ ] [ ] [ ] 0,9 0,4 0,5 0,9 0,9 0,4 0, j j j j j j j e e e e e e e z z [ ] 0, 0,4 0,5 0, 0, 0,4 0, j j j j j j j e e e e e e e z z Misalka 33

34 Kuliah Terbuka Bilaga Kompleks Sudaryato Sudirham 34

35 Sudaryato Sudirham Permutasi da Kombiasi 35

36 Permutasi 36

37 Permutasi adalah bayakya pegelompoka sejumlah tertetu kompoe yag diambil dari sejumlah kompoe yag tersedia; dalam setiap kelompok uruta kompoe diperhatika Misalka tersedia huruf yaitu A da B da kita dimita utuk membuat kelompok yag setiap kelompokya terdiri dari huruf Kelompok yag yag bisa kita betuk adalah A B B da A diperoleh kelompok Ada dua kemugkia huruf yag bisa meempati posisi pertama yaitu A atau B Jika A sudah meempati posisi pertama, maka haya satu kemugkia yag bisa meempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah meempati posisi pertama, maka haya satu kemugkia yag bisa meempati posisi kedua yaitu A 37

38 Misalka tersedia 3 huruf yaitu A, B, da C Kelompok yag setiap kelompokya terdiri dari 3 huruf adalah: A B C B A A C A C B B C diperoleh 6 kelompok C C B B A A Jika salah satu kompoe sudah meempati posisi pertama tiggal kemugkia kompoe yag dapat meempati posisi kedua Jika salah satu kompoe sudah meempati posisi pertama da salah satu dari yag tersisa sudah meempati posisi kedua maka haya tiggal kemugkia kompoe yag dapat meempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga Jumlah kemugkia kompoe yag meempati posisi pertama Jadi jumlah kelompok yag bisa diperoleh adalah 3 6 Jumlah kemugkia kompoe yag meempati posisi kedua Jumlah kemugkia kompoe yag meempati posisi ketiga 38

39 Dari 4 huruf yaitu A, B, C da D kita dapat membuat kelompok yag setiap kelompokya terdiri dari 4 huruf Kemugkia peempata posisi pertama : 4 Kemugkia peempata posisi kedua : 3 Kemugkia peempata posisi ketiga : Kemugkia peempata posisi keempat : jumlah kelompok yag mugki dibetuk kelompok yaitu: ABCD BACD CDAB DABC ABDC BADC CDBA DACB ACBD BCAD CABD DBCA ACDB BCDA CADB DBAC ADCB BDAC CBAD DCAB ADBC BDCA CBDA DCBA ada 4 kelompok 39

40 Secara umum jumlah kelompok yag dapat kita bagu dari kompoe yag setiap kelompok terdiri dari kompoe adalah ( ) ( )...! Kita kataka bahwa permutasi dari kompoe adalah! da kita tuliska P! Kita baca : fakultet Namu dari kompoe tidak haya dapat dikelompokka dega setiap kelompok terdiri dari kompoe, tetapi juga dapat dikelompokka dalam kelompok yag masigmasig kelompok terdiri dari k kompoe dimaa k < Kita sebut permutasi k dari kompoe da kita tuliska P k 40

41 Cotoh: Permutasi dua-dua dari empat kompoe adalah 4 P 4 3 Di sii kita haya megalika kemugkia peempata pada posisi pertama da ketiga saja yaitu 4 da 3. Tidak ada kompoe yag meempati posisi berikutya. Peghituga 4 P dalam cotoh di atas dapat kita tuliska P 4

42 Secara Umum: )! (! k P k Cotoh: )! (6 6! 6 P Cotoh: )! (6 6! 4 6 P 4

43 Kombiasi 43

44 Kombiasi merupaka pegelompoka sejumlah kompoe yag mugki dilakuka tapa mempedulika urutaya Jika dari tiga huruf A, B, da C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, da CBA amu haya ada satu kombiasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC karea dalam kombiasi uruta posisi ketiga huruf itu tidak diperhatika ABC ACB BCA BAC CAB CBA 44

45 Oleh karea itu kombiasi k dari sejumlah kompoe haruslah sama dega jumlah permutasi P k dibagi dega permutasi k Kombiasi k dari sejumlah kompoe dituliska sebagai C k Jadi C k Pk! k! ( k)! k! 45

46 Cotoh: Berapakah kombiasi dua-dua dari empat huruf A, B, C, da D Jawab: 4 P! 4! (4 )!! C 6 yaitu: AB AC AD BC BD CD 46

47 CotohAplikasi Distribusi Mawell-Boltzma Distribusi Fermi-Dirac 47

48 Distribusi Mawell-Boltzma Eergi elektro dalam padata terdistribusi pada tigkat-tigkat eergi yag diskrit; kita sebut E E E3 dst. Setiap tigkat eergi dapat ditempati oleh elektro maa saja da setiap elektro memiliki probabilitas yag sama utuk meempati suatu tigkat eergi 48

49 Jika N adalah jumlah keseluruha elektro yag harus terdistribusi dalam tigkat-tigkat eergi yag ada da kita misalka bahwa distribusi yag terbetuk adalah di E di E di E dst. 3 terdapat terdapat terdapat 3 elektro elektro elektro maka jumlah cara peempata elektro di E merupaka permutasi dari N yaitu N! P P N ( N )! 49

50 Jumlah cara peempata elektro di E merupaka permutasi dari (N ) karea sejumlah sudah meempati E P ( N )! P ( N ) ( N )! Jumlah cara peempata elektro di E 3 merupaka permutasi 3 dari (N ) karea sejumlah ( + ) sudah meempati E da E P ( N )! P( N ) 3 ( N 3 3 )! dst. 50

51 Setelah meempati E maka uruta peempata elektro di E ii sudah tidak berarti lagi karea kita tidak dapat membedaka atara satu elektro dega elektro yag lai Jadi jumlah cara peempata elektro di E adalah kombiasi dari N yaitu! )! (!! N N P C N Demikia pula peempata elektro di E, E 3, dst.! )! ( )! (! )! ( ) ( N N N- P C N! )! ( )! (! )! ( ) ( 3 3 N N N P C N dst. 5

52 Namu setiap tigkat eergi juga memiliki probabilitas utuk ditempati, yag disebut itriksic probability Misalka itriksic probability tigkat E adalah g, E adalah g, dst. maka probabilitas tigkat-tigkat eergi E E E 3 dst. ditempati ditempati ditempati 3 elektro elektro elektro adalah F F F 3 dst. g g g 3 C 3 C C 3 Dega demikia maka probabilitas utuk terjadiya distribusi elektro seperti di atas adalah: F F F F... g 3 g g C C C 3... g g! g! !... Iilah probabilitas distribusi dalam statistik Mawell-Boltzma 5

53 Upaya selajutya adalah mecari betuk distribusi yag palig mugki terjadi Namu hal ii tidak kita bahas di sii, karea cotoh ii haya igi meujukka aplikasi dari pegertia permutasi da kombiasi Pembaca dapat melihat proses perhituga lajuta ii di buku-e Megeal Sifat Material 53

54 Sebagai iformasi, probabilitas F ii megatarka kita pada formulasi distribusi Mawell-Boltzma Jumlah elektro pada tigkat eergi E i i N Z g i e E / k T i B temperatur kostata Boltzma tigkat eergi ke-i probabilitas itriksik tigkat eergi ke-i fugsi partisi Z β E gie i i 54

55 Distribusi Fermi-Dirac Eergi elektro dalam terdistribusi pada tigkat-tigkat eergi yag diskrit, misalya kita sebut E E E3 dst. Setiap tigkat eergi megadug sejumlah tertetu status kuatum da tidak lebih dari dua elektro berada pada status yag sama. Oleh karea itu jumlah status di tiap tigkat eergi mejadi probabilitas itriksik tigkat eergi yag bersagkuta Yag berarti meujukka jumlah elektro yag mugki berada di suatu tigkat eergi 55

56 Jika N adalah jumlah keseluruha elektro yag harus terdistribusi dalam tigkat-tigkat eergi yag ada, yaitu di E di E di E dst. 3 terdapat terdapat terdapat 3 elektro elektro elektro 56

57 Sehigga probabilitas utuk terjadiya distribusi elektro adalah: Iilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac amu kita tidak membicaraka lebih lajut karea proses selajutya tidak meyagkut permutasi da kombiasi Maka bayakya cara peempata elektro di tigkat E, E, E 3 dst. merupaka kombiasi C, C, C 3 dst! )! (! N N C! )! ( )! ( N N C! )! ( )! ( N N C dst. Dega probabilitas itriksik g, g, g 3 maka jumlah cara utuk meempatka elektro di tigkat E, E, E 3 dst. mejadi )!!(! g g F! )! (! g g F! )! (! g g F dst. i i i i i i g g F F F F F )!!(!

58 Upaya selajutya adalah mecari betuk distribusi yag palig mugki terjadi Namu hal ii tidak kita bahas di sii, karea cotoh ii haya igi meujukka aplikasi dari pegertia permutasi da kombiasi Pembaca dapat melihat proses perhitugag lajuta ii di buku-e Megeal Sifat Material, Bab-9 yag dapat diuduh di situs ii juga 58

59 Sebagai iformasi, probabilitas F ii megatarka kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac i e ( E E i F g i ) / k T B + Jika kita perhatika persamaa ii utuk T 0 lim T 0 e ( E E i F ) / k T B 0 utuk ( E i utuk ( E i E E F F ) < 0 ) > 0 Jadi jika T 0 maka i g i yag berarti semua tigkat eergi sampai E F terisi peuh da tidak terdapat elektro di atas E F E F iilah yag disebut tigkat eergi Fermi. 59

60 Kuliah Terbuka Permutasi da Kombiasi Sudaryato Sudirham 60

61 Sudaryato Sudirham Aritmatika Iterval 6

62 Pegatar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yag melibatka bilaga-bilaga dalam iterval. Dalam keadaa demikia kita dihadapka pada operasi-operasi iterval. 6

63 Cakupa Bahasa Pegertia-Pegertia Iterval Operasi-Operasi Aritmatika Iterval Sifat-Sifat Aritmatika Iterval 63

64 Pegertia-Pegertia Iterval 64

65 Bilaga yata yag biasa kita kita operasika adalah berilai tuggal, baik bilaga bulat maupu pecaha Dalam aalisis iterval, bilaga yag kita operasika memiliki ilai yag berada dalam suatu iterval tertutup * ) Dega demikia bilaga yag kita hadapi sesugguhya merupaka kumpula bilaga Cotoh: Bilaga dalam iterval 90 da 0 adalah kumpula bilaga yag berilai atara 90 da 0 termasuk 90 da 0 itu sediri (iterval tertutup). * ) Lihat pula Fugsi da Grafik 65

66 Suatu kumpula diyataka dega tada kurug { }. Secara umum, suatu kumpula kita yataka sebagai S { : p( )} meujukka kumpula yag kita tijau meujukka sembarag eleme dari S meujukka syarat-syarat yag harus dipeuhi utuk meetuka apakah bear merupaka eleme dari S atau tidak 66

67 Cotoh S { : R, 90 0} p( ) R, 90 0 R adalah kumpula dari semua bilaga yata 67

68 Secara umum, kumpula bilaga yata dalam iterval atara a da b dega a < b da a maupu b terletak atara da + kita tuliska { : R, a b, a, b R, < a < b < + } Peulisa ii tetu agak merepotka dalam melakuka operasioperasi iterval Kita memerluka cara peulisa yag lebih sederhaa agar mudah melakuka operasi iterval. Dalam operasi iterval, sesugguhya kita aka berhubuga haya dega batas-batas iterval. Oleh karea itu kita aka megguaka cara peulisa bilaga iterval yag lebih sederhaa, dega haya meyataka batasbatas itervalya. 68

69 Suatu iterval yag memiliki batas bawah (ilai miimum) da batas atas (ilai maksimum) kita tuliska [, ] kita guaka tada kurug [ ] utuk megakomodasi batas-batas iterval. Dalam pejelasa selajutya kita aka meggambarka iterval pada garis sumbu yata sebagai berikut 0 ( ) iterval batas bawah batas atas 69

70 Degeerasi Suatu iterval megalami degeerasi jika da disebut degeerate iterval; iterval yag tidak megalami degeerasi disebut odegeerate. Dega pegertia ii maka suatu bilaga yata berilai tuggal dapat dikataka merupaka keadaa khusus dari suatu iterval. Atau sebalikya suatu iterval merupaka peryataa umum (geeralisasi) suatu bilaga yata. 70

71 Lebar Iterval Lebar suatu iterval adalah bilaga yata w( ) Cotoh: [6, 5] w( ) ( ) w() 7

72 Titik Tegah Titik tegah atau mid poit suatu iterval adalah m ( ) ( + ) / Cotoh: {4,0} titik tegah m( ) (4 + 0) / 7 Radius Setegah dari lebar iterval disebut sebagai radius iterval w( ) / Cotoh: {4,0} radius iterval adalah w()/ (04)/ 3. 7

73 Kesamaa Dua iterval dikataka sama jika da haya jika mempuyai batasbatas yag sama. maka Jika Y [, ] da Y [ y] jika da haya jika y da y Uruta Iterval dikataka lebih kecil dari Y jika da haya jika batas maksimum lebih kecil dari batas miimum Y, < y Cotoh {6, 0} da Y {3, 8} < Y. ( ) ( ) 0 y Y y Dalam cotoh ii w() < w(y) 73

74 Nilai Absolut Nilai absolut suatu iterval didefiisika sebagai maksimum dari absolut batas-batasya ma{, } Cotoh {8, 4} ma{ 8, 4 } 8 74

75 Jarak Jarak atara dua iterval didefiisika sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduaya ρ(, Y) ma{ y, y } Cotoh {,6}, Y {8,8} ρ(, Y ) ma{ 8, 6 8 } y y Di sii y > y 0 ( ) ( ) y y Y 75

76 Simetri Suatu iterval disebut simetris jika Cotoh: {5, 5} ( ) 0 Iterval simetris megadug eleme berilai 0. Tetapi tidak berarti mempuyai lebar 0. Ia buka degeerate iterval. 76

77 Irisa Karea iterval dapat dipadag sebagai kumpula maka kita megeal irisa iterval. Irisa atara iterval da iterval Y adalah Y [ma{, y}, mi{, y}] Cotoh: {, 9} da Y {6, 8} Y [6, 9] Y 0 ( ( ) ) y y Y Irisa dua iterval juga merupaka sebuah iterval Irisa da Y kosog atau Ø jika < Y atau Y <. 77

78 Gabuga Gabuga atara iterval da Y adalah Y [mi{, y}, maks{, y}] Cotoh: [, 9], Y [6, 8] Y [, 8] Y 0 ( ( ) ) y y Y Jika irisa dari da Y tidak kosog maka gabuga keduaya juga merupaka sebuah iterval. Aka tetapi jika irisa atara keduaya kosog maka gabuga dua iterval itu tidak merupaka sebuah iterval karea sesugguhya gabuga itu aka terdiri dari dua iterval yag berbeda. 78

79 Iklusi Iterval berada di dalam iterval Y jika da haya jika Y Y da w( ) atau jika da haya jika y w( Y) da y Cotoh: a). {5, } da Y {4, 6} Y Y 0 ( ( ) ) y y b). {5, } da Y {7, 7} ( ( ) ) y 0 y Y 79

80 Operasi-Operasi Aritmatika 80

81 Kita dapat membedaka iterval dalam tiga katagori, yaitu: Iterval yag seluruh elemeya berilai positif, yag kita sebut iterval positif. Iterval yag seluruh elemeya berilai egatif, yag kita sebut iterval egatif. Iterval yag megadug eleme berilai egatif maupu positif termasuk ol. Degeerasi iterval positif membetuk bilaga positif, degeerasi iterval egatif membetuk bilaga egatif, sedagka degeerasi iterval yag megadug ol bisa membetuk bilaga egatif, atau positif, atau ol. 8

82 Pejumlaha da Peguraga 8

83 Pejumlaha Misalka da Y adalah dua iterval. Jumlah dari da Y didefiisika sebagai + Y { + y :, y Y} Eleme dari jumlah iterval adalah jumlah eleme masig-masig iterval Oleh karea itu maka batas bawah dari hasil pejumlaha adalah jumlah dari batas bawah, da batas atas dari hasil pejumlaha adalah jumlah dari batas atas Dega demikia maka pejumlaha dua iterval haya melibatka batas-batas iterval saja. + Y [ + + y] 83

84 [, ] Y [ y] Jika da, maka + Y [ + + y] Jumlah iterval juga merupaka iterval. Y 0 ( ) ( ) ( ) y y + y +Y + y Y tidak merupaka sebuah iterval karea < Y. da Y adalah dua iterval yag terpisah. Pejumlaha berbeda dega peggabuga. Peggabuga dua iterval tidak selalu meghasilka suatu iterval. 84

85 Cotoh: {, 6} da Y {9, 4} + Y [+9, 6+4][, 0] Pejumlaha dua iterval selalu dapat dilakuka. Jika kedua iterval yag dijumlahka itu degeerate maka kita medapatka pejumlaha yag biasa kita lakuka dega bilaga biasa. Perbedaa pejumlaha da gabuga Cotoh: [, 4], Y [3, 6] Y [, 6] Y +Y [5,0] 0 ( ( ) ( ) ) y z y z Y +Y 85

86 Negatif Suatu Iterval. Negatif dari suatu iterval didefiisika sebagai yag dapat kita tuliska {, } [, ] [, ] ( ) 0 ( ) Batas atas adalah Batas bawah adalah 86

87 Cotoh: a). [, 6] [6, ] ( ) 0 ( ) b). [, 6] [6, ] ( ( ) ) 0 87

88 Peguraga Dega pegertia egatif iterval tersebut di atas maka peguraga iterval oleh iterval Y mejadi pejumlaha iterval dega egatif iterval Y Y [, ] [ y] [ y] Cotoh: [, 6] da Y [7, ] Y [, 6] [7, ] [, 6 7] [0, ] Y ( ( ) ) ( ) ( ) y y 0 y y y Y y Dalam cotoh ii < Y da hasil peguraga Y merupaka iterval egatif. 88

89 Perkalia da Pembagia 89

90 Perkalia Iterval Perkalia dua iterval da Y didefiisika sebagai Y { y :, y Y} yag dapat dituliska Y [mi{ y}, maks{ y} Dalam formulasi ii diperluka empat kali perkalia batas masig-masig iterval utuk meetuka batas bawah maupau batas atas dari iterval hasil kali. Namu pekerjaa aka sedikit sedikit mejadi riga jika kita memperhatika posisi eleme masig-masig iterval pada sumbu bilaga yata 90

91 Pada iterval selalu dipeuhi relasi maka dega memperhatika posisi kita aka megetahui posisi jika 0 0 maka jika 0 maka 0 atau 0 Demikia juga pada iterval Y jika jika y 0 y 0 maka y 0 maka y 0 atau y 0 9

92 Karea ada tiga katagori iterval, maka ada sembila kemugkia perkalia iterval, yaitu: iterval positif kali iterval positif iterval megadug ol kali iterval positif da sebalikya iterval egatif kali iterval positif da sebalikya iterval egatif kali iterval megadug ol da sebalikya iterval egatif kali iterval egatif perkalia dua iterval yag keduaya megadug ol 9

93 Sembila situasi yag mugki terjadi adalah: ). 0 Y ( ) ( ) y y 0 Z da y 0 Y [ y] ). Y ( ) ( ) 0 y y < 0 < Z Y da y 0 [ y] 3). Y ( ) ( ) 0 y y 0 Z da y 0 Y [ y] 4). Y ( ) ( ) y 0 y 0 Z da y < 0 < y Y [ y] 93

94 5). ( ) Y ( ) y y 0 0 Z da y 0 Y [ y] 6). Y ( ) ( ) y y 0 0 Z da y 0 Y [ y] 7). Y ( ) ( ) y 0 y 0 Z da y < 0 < y Y [ y] 8). Y ( ) ( ) y y 0 < 0 < Z Y da y 0 [ y] Y < 0 < da y < 0 < y 9). ( ( ) ) y 0 y Z Y [mi{ y}, maks{ y}] 94

95 Cotoh da Pejelasa ). 0 Y ( ) ( ) y y 0 Z da y 0 Y [ y] [, 3] Y [4, 6] Y [4,8] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Perkalia dua iterval positif aka meghasilka iterval positif. Batas atas iterval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedag batas bawahya adalah hasil kali kedua batas bawah. Jika kedua iterval degeerate, maka kita mempuyai perkalia bilaga biasa: perkalia dua bilaga positif yag memberika hasil bilaga positif. 95

96 Cotoh da Pejelasa ). Y ( ) ( ) 0 y y < 0 < Z Y da y 0 [ y] Formula umum: [, + ] Y Y Y [4, 8] [ 8, + 6] [mi{ Nilai terkecil yag bisa dicapai y}, maks{ Nilai terbesar yag bisa dicapai y} Salah satu iterval megadug ol da memiliki batas bawah egatif. Oleh karea itu batas bawah iterval hasilkali adalah batas bawah iterval yag megadug ol da batas atas iterval yag lai (yag positif). Batas atas iterval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karea kedua batas atas tersebut positif. 96

97 Cotoh da Pejelasa 3). Y ( ) ( ) 0 y y 0 Z da y 0 Y [ y] [ 3, ] Y [, 4] Y [, ] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Karea salah satu iterval adalah iterval egatif da yag lai iterval positif, maka batas bawah iterval hasilkali adalah hasilkali batas bawah iterval egatif da batas atas iterval positif. Batas atasya adalah kasilkali batas atas iterval egatif da batas bawah iterval positif 97

98 Cotoh da Pejelasa 4). ( ) ( ) y 0 y [ 4, ] Y [, 3] Y 0 Z da y < 0 < y Y [ y] Y [, + 4] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Salah satu iterval adalah iterval egatif sedagka iterval yag lai megadug ol. Batas bawah iterval hasilkali adalah hasil kali batas bawah iterval egatif da batas atas (positif) iterval yag megadug ol. Batas atasya adalah hasilkali batas bawah iterval egatif da batas bawah (yag berilai egatif) dari iterval yag megadug ol. 98

99 Cotoh da Pejelasa 5). ( ) Y ( ) y y 0 0 Z da y 0 Y [ y] [ 7, 5] Y [ 4, ] Y [5, 8] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Kedua iterval adalah iterval egatif. Batas bawah iterval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas. Batas bawah iterval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah. 99

100 Cotoh da Pejelasa 6). Y ( ) ( ) y y 0 [, 4] Y [ 3, ] 0 Z da y 0 Y [ y] Y [, ] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Karea salah satu iterval adalah iterval egatif da yag lai iterval positif, maka batas bawah iterval hasilkali adalah hasilkali batas bawah iterval egatif da batas atas iterval positif. Batas atasya adalah kasilkali batas atas iterval egatif da batas bawah iterval positif 00

101 Cotoh da Pejelasa 7). Y ( ) ( ) y 0 y [, 5] Y [ 3,] 0 Z da y < 0 < y Y [ y] Y [5, 5] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Salah satu iterval megadug ol da memiliki batas bawah egatif. Oleh karea itu batas bawah iterval hasilkali adalah batas bawah iterval yag megadug ol da batas atas iterval yag lai (yag positif). Batas atas iterval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karea kedua batas atas tersebut positif. 0

102 Cotoh da Pejelasa 8). Y ( ) ( ) y y 0 < 0 < Z Y da y 0 [ y] [, 3] Y [ 5, ] Y [5, 5] Nilai terkecil yag bisa dicapai Nilai terbesar yag bisa dicapai Formula umum: Y [mi{ y}, maks{ y} Salah satu iterval adalah iterval egatif sedagka iterval yag lai megadug ol. Batas bawah iterval hasilkali adalah hasil kali batas bawah iterval egatif da batas atas (positif) iterval yag megadug ol. Batas atasya adalah hasilkali batas bawah iterval egatif da batas bawah (yag berilai egatif) dari iterval yag megadug ol. 0

103 Cotoh da Pejelasa Y 9). ( ( ) ) y 0 y < 0 < da y < 0 < y Z Y [mi{ y}, maks{ y}] [, 5] Y [ 4,] Y [mi{, 0}, maks{5, 8}] [ 0, 8] Kedua iterval megadug ol. Pada formulasi umum Y [mi{ y}, maks{ y} Aka berilai egatif sehigga tak mugki mejadi batas maksimum Aka berilai positif sehigga tak mugki mejadi batas miimum 03

104 Kebalika Iterval Apabila adalah satu iterval yag tidak megadug 0, kebalika dari didefiisika sebagai {/ : } Dega memperhatika batas atas da batas bawahya, maka [/, / ] Cotoh: [, 0] / [0., 0.5] Jika ditijau keadaa umum dimaa iterval megadug 0, kebalika dari aka terdiri dari dua iterval terpisah satu sama lai. Keadaa demikia ii belum aka kita lihat. 04

105 Pembagia Iterval Pembagia iterval oleh iterval Y adalah perkalia atara dega kebalika Y. Y Y [, ] [/,/ ] Cotoh: [4, 0], Y [, 0] /Y [4, 0] [0., 0.5] [0.4, 5] 05

106 Sifat-Sifat Aritmatika Iterval 06

107 Jika iterval-iterval megalami degeerasi, maka operasioperasi aritmatika iterval berubah mejadi aritmatika bilaga biasa yag sudah kita keal. Kita boleh megharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilaga biasa yag kita keal, mucul juga dalam aritmatika iterval. Teryata memag demikia. Aka tetapi mucul juga perbedaa-perbedaa yag sagat meyolok. 07

108 }, : { Y y y Y + + }, : { Y y y Y Operasi pejumlaha da perkalia iterval telah didefiisika sebagai Pejumlaha bersifat asosiatif da perkalia bersifat komutatif. Y Y Z Y Z Y ; ) ( ) ( Y Y Z Y YZ ; ) ( ) ( 08

109 Nol da Satu adalah iterval yag megalami degeerasi: [0, 0] da [, ] yag dituliska sebagai 0 da Jadi da Perbedaa meyolok dega aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika iterval: 0 da / jika w() > 0 [, ] w( )[,] / [ /, / ] jika > 0 / [ /, / ] jika < 0 09

110 Sifat distributif dalam aritmatika iterval adalah: (Y + Z) Y + Z Sifat distributif ii tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut: ) Jika Y da Z adalah iterval simetris; ) Jika YZ > 0 Namu sifat distributif tidak seatiasa berlaku: [0, ] (-) 0 tetapi [0, ] [0, ] [, ] 0

111 Kuliah Terbuka Aritmatika Iterval Sudaryato Sudirham

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Permutasi dan Kombinasi

Sudaryatno Sudirham. Permutasi dan Kombinasi Sudaryato Sudrham Permutas da Kombas Permutas Permutas adalah bayakya peelompoka sejumlah tertetu kompoe ya dambl dar sejumlah kompoe ya terseda; dalam setap kelompok uruta kompoe dperhatka Msalka terseda

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Kombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik

Kombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik Kombiatorik: Prisip Dasar da Tekik Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta sahidyk@gmail.com March 27, 2009 1 Atura Pejumlaha (Atura Disjugtif) Jika utuk melakuka

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval Sudaryatno Sudirham Aritmatika Interval Kata Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL)

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap peelitia selalu berkeaa dega sekelompok data. Yag dimaksud kelompok disii adalah: Satu orag mempuyai sekelompok data, atau sekelompok orag mempuyai satu

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI 1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci

Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma utuk Meghitug Bilaga Fiboacci Gregorius Roy Kaluge NIM : 358 Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jala Gaesha, Badug e-mail: if8@studets.if.itb.ac.id,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

BAB II KEADAAN FERMI DIRAC

BAB II KEADAAN FERMI DIRAC BAB II KEADAAN FERMI DIRAC A. Keadaa Makro da Mikro Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistic adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel-partikel kedalam tigkattigkat eergi da keadaa-keadaa

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

SISTEM LINIER. Oleh : Kholistianingsih, S.T., M.Eng. lts 1

SISTEM LINIER. Oleh : Kholistianingsih, S.T., M.Eng. lts 1 SISTEM LINIER Oleh : Kholistiaigsih, S.T., M.Eg. lts 1 2 Isyarat Waktu Diskrit di kawasa waktu. 2.1 Represetasi Isyarat Waktu Diskrit 2.2 Klasifikasi Rutu 2.3 Rutu rutu Dasar 2.4 Operasi di kawasa waktu

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP)

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI

REGRESI DAN KORELASI REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

SINYAL WAKTU Pengolahan Sinyal Digital Minggu II

SINYAL WAKTU Pengolahan Sinyal Digital Minggu II SINYAL WAKTU Pegolaha Siyal Digital Miggu II 24 Goodrich, Tamassia PENDAHULUAN Defiisi Siyal x(t) Fugsi dari variabel bebas yag memiliki ilai real/skalar yag meyampaika iformasi tetag keadaa atau ligkuga

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2. II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

1. Uji Dua Pihak. mis. Contoh :

1. Uji Dua Pihak. mis. Contoh : . Uji Dua Pihak H 0 H a : : Cotoh : mis : mea kelas Lab mea kelas tapa lab Ho : Tidak ada perbedaa kemampua hasil belajar biologi siswa atara yag belajar melalui media laboratorium dega yag tidak. Ha :

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar 1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak

Lebih terperinci

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel.

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel. II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

9 Departemen Statistika FMIPA IPB

9 Departemen Statistika FMIPA IPB Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3 Matematika Terapa Dose : Zaid Romegar Mair ST. M.Cs Pertemua 3 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Koloel Wahid Udi Lk. I Kel. Kayuara Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id Tel.

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika

Solusi Pengayaan Matematika Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A.

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015

RESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015 RESPONSI STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 015 A. PENYAJIAN DAN PERINGKASAN DATA 1. PENYAJIAN DATA a. Sebutka tekik peyajia data utuk data kualitatif! Diagram kueh, diagram batag, distribusi

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci