PERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER

Transkripsi

1 PERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER LATHIFATURRAHMAH SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

2 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode k-means, Fuzzy k-means, dan Two Step Cluster adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Januari 2010 Lathifaturrahmah NIM G

3 ABSTRACT LATHIFATURRAHMAH. Comparison of k-means, fuzzy k-means, and two step clustering methods. Under supervision of BUDI SUHARJO and I GUSTI PUTU PURNABA. The main principle of cluster analysis is to classify objects into clusters based on similarity measures. K-means and fuzzy k-means can be classified as popular clustering methods, which are suitable for large data with continuous variables. However, a new method has been developed to be used for large data, that is the two step cluster method. This method allows processing data with different types of variables, which in this case are continuous and categorical. The aim of this research is to compare the clustering results of k-means, fuzzy k- means, and two step cluster method, in order to determine the ideal number of clusters for each method. This research uses hypotetical data taken from SPSS software, which fit the purpose to compare several methods. The results of this study show that in the case of two clusters, k-means and fuzzy k-means methods have more similarities with respect to the number objects in clusters, whereas the two step method gives unequal number of objects in clusters. All methods show that 2 clusters is an ideal number. It is influenced by the ratio between mean squares within clusters, which is smaller than the ratio in the case of 3 and 4 clusters. Keyword : clustering method, k-means, fuzzy k-means, two step cluster.

4 RINGKASAN LATHIFATURRAHMAH. Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode k- means, Fuzzy k-means, dan Two step cluster. Dibimbing oleh BUDI SUHARJO dan I GUSTI PUTU PURNABA. Masalah penggerombolan seringkali ditemui di kehidupan sehari-hari, baik itu terkait dengan bidang sosial, bidang kesehatan, bidang marketing maupun bidang akademik. Analisis gerombol adalah salah satu analisis peubah ganda yang digunakan untuk mengelompokkan objek-objek menjadi beberapa gerombol berdasarkan kemiripan peubah-peubah yang diamati, sehingga diperoleh kemiripan objek dalam gerombol yang sama dibandingkan antar objek dari gerombol yang berbeda. Salah satu metode analisis gerombol adalah metode tak berhierarki (non hierarchical clustering methods). Contoh dari metode tak berhierarki yang sering digunakan adalah k-means dan fuzzy k-means, kedua metode ini cocok digunakan untuk data berukuran besar dan memiliki tipe peubah kontinu. Namun dewasa ini telah dikembangkan suatu metode untuk jenis data yang berukuran besar, yaitu metode two step cluster. Metode ini dikembangkan oleh Chiu et al. (2001) yang memungkinkan untuk mengolah data yang memiliki tipe peubah berbeda, yaitu kontinu dan kategorik. Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan hasil penggerombolan metode k-means, fuzzy k-means, dan two step cluster, sehingga dapat menentukan jumlah cluster yang ideal untuk masing-masing metode pada data Afifi. Penelitian ini menggunakan data Afifi. Dari data yang sama ingin dibandingkan hasil penggerombolan dengan metode k-means, metode fuzzy k- means, dan metode two step cluster yang akan memberikan penggerombolan yang terbaik, yaitu yang mempunyai variansi di dalam yang lebih homogen dan variansi antar gerombol yang lebih heterogen. Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini yaitu melakukan standarisasi data, menggerombolkan data dengan mencobakan berbagai nilai k untuk metode k-means, fuzzy k-means, dan two step cluster, membandingkan hasil penggerombolan yang terbentuk. Hal yang dibandingkan meliputi distribusi jumlah gerombol, jumlah anggota identik, misclustering, variansi gerombol (variansi within cluster dan variansi between cluster), dan menyimpulkan cluster ideal pada masing-masing metode. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk masing-masing metode jika semakin bertambahnya jumlah gerombol maka keragaman dalam gerombolnya (variance within cluster) semakin menurun, sebaliknya keragaman antar kelompoknya (variance between cluster) semakin meningkat. Pada masingmasing penggerombolan dengan jumlah 2, 3 dan 4 gerombol, dengan metode k- means, fuzzy k-means, dan two step cluster hasil perbandingan keragaman dalam gerombol dengan keragaman antar gerombol menunjukkan bahwa, pada penggerombolan dengan 2 gerombol memiliki nilai yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan 3 atau 4 gerombol. Ini berarti bahwa gerombol yang ideal adalah penggerombolan dengan 2 gerombol.

5 Hasil dari masing-masing gerombol metode k-means dan fuzzy k-means lebih mirip pada penggerombolan 2 gerombol. Sedangkan metode two step cluster dari awal penggerombolan jumlah anggota gerombol yang agak jauh berbeda dengan kedua metode lainnya. Kata kunci : metode gerombol, k-means, fuzzy k-means, two step cluster.

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 2010 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya Tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

7 PERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS DAN TWO STEP CLUSTER LATHIFATURRAHMAH Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.

9 Judul Tesis Nama NIM : Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode K-Means, Fuzzy K-Means, dan Two Step Cluster : Lathifaturrahmah : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Budi Suharjo, MS Ketua Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA Anggota Diketahui Ketua Progam Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS Tanggal Ujian : 13 Januari 2010 Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunianya tugas akhir yang berjudul Perbandingan Hasil Penggerombolan Metode k-means, Fuzzy k-means, dan Two Step Cluster ini bisa terselesaikan sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terimakasih yang mendalam penulis sampaikan kepada Bapa dan Mama atas segala doa dan kasih sayangnya. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Ir. Budi Suharjo, MS dan Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing yang telah membantu dan mengarahkan penulis selama penyusunan tugas akhir ini, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, selaku dosen penguji. Ucapan terima kasih juga juga penulis sampaikan kepada adik, kakak, sahabat dan teman-teman yang tidak dapat dituliskan namanya satu persatu atas segala do a, dukungan, serta kasih sayangnya. Juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini, penulis berdo a semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan. Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih begitu banyak kekurangan. Dengan segala keterbatasan yang ada, semoga tugas akhir ini bermanfaat. Bogor, Januari 2010 Lathifaturrahmah

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Karang Intan, Martapura pada tanggal 13 Maret 1984 dari ayah H. Husni Thamrin dan Hj. Jauhar Maknun. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2002 penulis lulus dari MAN 2 Martapura Kalimantan Selatan. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan di Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Program studi Matematika melalui jalur PMDK. Pada tahun 2007 penulis diterima masuk di Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur reguler.

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Skala Pengukuran Data Sebaran Objek Analasis Gerombol Ukuran Jarak K-means Clustering Fuzzy k-means Clustering Two Step Clustering Variansi Gerombol... 3 METODE PENELITIAN 3.1 Bahan Penelitian Alur Penelitian Langkah-Langkah Penelitian... 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data Penggerombolan dengan 2 Gerombol Penggerombolan dengan 3 Gerombol Penggerombolan dengan 4 Gerombol.. 5 SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... ix xi xii

13 DAFTAR TABEL Halaman 1 Daftar peubah data Afifi Deskripsi data Afifi Anggota Analisis Komponen Utama 1 dan Akar ciri, proporsi keragaman, dan keragaman kumulatif 27 5 Distribusi anggota 2 gerombol Persentasi misclustering 2 gerombol hasil antara k-means dengan fuzzy k-means Persentasi misclustering 2 gerombol hasil antara k-means dengan two step cluster Persentasi misclustering 2 gerombol hasil antara fuzzy k-means dengan two step cluster 33 9 Distribusi anggota 3 gerombol Persentasi misclustering 3 gerombol hasil antara k-means dengan fuzzy k-means Persentasi misclustering 3 gerombol hasil antara k-means dengan two step cluster Persentasi misclustering 2 gerombol hasil antara fuzzy k-means dengan two step cluster Distribusi anggota 4 gerombol Persentasi misclustering 4 gerombol hasil antara k-means dengan fuzzy k-means Persentasi misclustering 4 gerombol hasil antara k-means dengan two step cluster Persentasi misclustering 4 gerombol hasil antara fuzzy k-means dengan two step cluster Variansi 2 gerombol. 42

14 18 Variansi 3 gerombol Variansi 4 gerombol Rata-rata jumlah kuadrat 2 gerombol Rata-rata jumlah kuadrat 3 gerombol Rata-rata jumlah kuadrat 4 gerombol Rasio rata-rata jumlah kuadrat gerombol. 44

15 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Contoh CF Tree Gambar alur rencana penelitian Boxplot data Afifi Boxplot data Afifi standarisasi Plot dua komponen utama pada data Afifi 28 6 Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode k-means Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode fuzzy k-means Plot dua komponen utama 2 gerombol pada metode two step cluster Plot dua komponen utama 3 gerombol pada metode k-means Plot dua komponen utama 3 gerombol pada metode fuzzy k-means Plot dua komponen utama 3 gerombol pada metode two step cluster Plot dua komponen utama 4 gerombol pada metode k-means Plot dua komponen utama 4 gerombol pada metode fuzzy k-means Plot dua komponen utama 4 gerombol pada metode two step cluster Keragaman gerombol (Variance cluster).. 43

16 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Anggota yang identik penggerombolan dengan 2 gerombol Anggota yang identik penggerombolan dengan 3 gerombol Anggota yang identik penggerombolan dengan 4 gerombol... 48

17 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah penggerombolan seringkali ditemui di kehidupan sehari-hari, baik itu terkait dengan bidang sosial, bidang kesehatan, bidang marketing maupun bidang akademik. Mendeskripsikan dan memaparkan keunikan proses atau hasil pengelompokan merupakan hal yang menarik dan dapat memberikan ide-ide tertentu. Misalnya saja dalam membuat segmentasi pemasaran, dengan analisis gerombol dapat dikelompokkan pelanggan atau pembeli berdasarkan manfaat atau keuntungan yang diperoleh dari pembelian barang. Hasil dari penggerombolan ini selanjutnya dapat digunakan dalam pengambilan keputusan untuk strategi pemasaran selanjutnya. Namun jika pengelompokan ini tidak sesuai atau tidak representatif dengan apa yang diharapkan, apalagi menyangkut pengambilan keputusan yang cukup penting akibatnya akan cukup fatal. Oleh karena itu, perlu dilakukan review pada proses penggerombolan. Analisis gerombol adalah salah satu analisis peubah ganda yang digunakan untuk mengelompokkan objek-objek menjadi beberapa gerombol berdasarkan pengukuran kemiripan peubah-peubah yang diamati, sehingga diperoleh kemiripan objek dalam gerombol yang sama dibandingkan antar objek dari gerombol yang berbeda. Manfaat penggerombolan antara lain adalah untuk eksplorasi data, reduksi data, dan pelapisan data. Dengan eksplorasi data dapat diperoleh informasi yang ada dalam himpunan data, dengan reduksi data dimungkinkan mengambil suatu ringkasan gerombol yang dapat mewakili seluruh anggota tersebut. Penggerombolan dapat digunakan sebagai pelapisan data dalam penarikan contoh atau penggolongan tipe objek. Dalam penggerombolan objek, untuk menggabungkan dua atau lebih objek menjadi suatu gerombol, biasanya digunakan suatu ukuran kemiripan atau ketidakmiripan. Semakin mirip dua objek semakin tinggi peluang untuk dikelompokkan dalam suatu gerombol. Sebaliknya semakin tidak mirip semakin rendah pula peluang untuk dikelompokkan dalam satu gerombol.

18 2 Pada umumnya metode pada analisis gerombol dibedakan menjadi metode berhierarki (hierarchical clustering methods) dan metode tak berhierarki (non hierarchical clustering methods). Metode berhierarki digunakan bila jumlah gerombol yang diinginkan tidak diketahui, sedangkan metode tak berhierarki digunakan bila jumlah kelompok yang diinginkan telah ditentukan sebelumnya. Contoh dari metode tak berhierarki yang sering digunakan adalah k-means dan fuzzy k-means dan kedua metode ini cocok digunakan untuk data berukuran besar yang memiliki tipe peubah kontinu. Namun dewasa ini telah dikembangkan suatu metode untuk jenis data yang berukuran besar, yaitu metode two step cluster. Metode ini dikembangkan oleh Chiu et al. (2001) yang memungkinkan untuk mengolah data yang memiliki tipe peubah berbeda, yaitu kontinu dan kategorik. Ketiga metode ini memiliki kelebihan maupun kelemahan. Menurut Serban dan Grigoreta (2006) dalam penelitiannya metode fuzzy k-means lebih baik dari pada k-means pada aspek mining. Kelebihan dari metode k-means adalah mampu mengelompokkan data besar dengan sangat cepat, sedangkan kekurangan dari metode k-means adalah banyaknya gerombol harus ditentukan sebelumnya (Teknomo 2007). Adapun kelebihan dari fuzzy k-means adalah mampu menempatkan suatu data yang terletak diantara dua atau lebih gerombol yang lain pada suatu gerombol, dan menurut Kusumadewi et al. (2006) kelemahannya adalah pada partisi fuzzy masih belum dapat membedakan apakah suatu data merupakan anggota beberapa gerombol atau merupakan data pencilan. Menurut Kusdiati (2006) dalam penelitiannya menyatakan bahwa persentasi salah klasifikasi dari metode two step cluster tidak berbeda nyata dengan yang dihasilkan dari metode k-means, jika peubahnya kontinu. Pada penelitian ini digunakan data Afifi yang diambil dari software SPSS. Dari data yang sama ingin dibandingkan hasil penggerombolan dengan metode k- means, metode fuzzy k-means, dan metode two step cluster yang akan memberikan penggerombolan yang terbaik, yaitu yang mempunyai variansi di dalam yang lebih homogen dan variansi antar gerombol yang lebih heterogen.

19 3 1.2 Tujuan Penelitian 1 Membandingkan hasil penggerombolan metode k-means, fuzzy k-means, dan two step cluster pada data Afifi. 2 Menentukan jumlah cluster yang ideal untuk masing-masing metode tersebut pada data Afifi. 1.3 Manfaat Penelitian 1 Diharapkan dapat membantu peneliti dalam menentukan metode terbaik dari ketiga metode tersebut pada penggerombolan suatu data. 2 Dapat memberikan tambahan informasi bagi peneliti berikutnya yang mengambil topik yang sama.

20 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Skala Pengukuran Objek Skala pengukuran objek sangat penting dalam analisis statistika. Pengukuran yang diberikan sebagai pemberian angka-angka terhadap bendabenda atau peristiwa-peristiwa diatur menurut kaidah-kaidah tertentu, dan menunjukkan bahwa kaidah-kaidah yang berbeda menghendaki skala-skala serta pengukuran-pengukuran yang berbeda pula. Skala pengukuran ini dibagi menjadi empat macam, yaitu skala nominal, skala ordinal, skala interval dan skala rasio. 1 Skala Nominal Skala nominal merupakan skala yang paling lemah/rendah di antara keempat skala pengukuran. Skala nominal ini disebut juga sebagai skala kategorik. Skala nominal merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan benda atau peristiwa yang satu dengan yang lainnya berdasarkan nama (predikat). Contoh skala pengukuran nominal adalah klasifikasi barang yang dihasilkan pada suatu proses produksi dengan predikat cacat atau tidak cacat, maka nomor 1 untuk menyebut kelompok barang yang cacat dari suatu proses produksi dan nomor 0 untuk menyebut kelompok barang yang tidak cacat dari suatu proses produksi. Contoh lain, bayi yang baru lahir bisa laki-laki atau perempuan maka dengan objek ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untuk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas). Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau karakteristik yang diteliti. 2 Skala Ordinal Skala ordinal ini lebih tinggi daripada skala nominal. Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan. Pada skala ini sudah dapat membedakan benda atau peristiwa yang satu dengan yang lain, diukur dengan skala ordinal berdasarkan jumlah relatif beberapa karakteristik tertentu pada masing-masing benda atau peristiwa. Pengukuran ordinal memungkinkan segala sesuatu disusun menurut peringkatnya masing-masing. Contoh jika seseorang

21 5 diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk, maka boleh ditetapkan nomor 1 untuk produk yang ciri tertentunya tidak puas, nomor 2 untuk produk yang ciri tertentunya puas, dan nomor 3 produk yang ciri tertentunya sangat puas. 3 Skala Interval Skala interval ini lebih tinggi daripada skala ordinal. Apabila benda-benda atau peristiwa-peristiwa yang diselidiki dapat dibedakan antara yang satu dan lainnya kemudian diurutkan, dan jika perbedaan antara peringkat yang satu dan lainnya mempunyai arti (yakni, bila satuan pengukurannya tetap), maka skala interval dapat diterapkan. Skala interval tidak memiliki nol mutlak. Artinya memiliki sebuah titik nol, tetapi titik nol ini bisa dipilih secara sembarang, artinya bahwa titik nol tidak selalu bernilai nol. Contoh, pengukuran interval pada pengukuran temperatur dalam derajat Fahrenheit titik nolnya pada 32, sedangkan dalam derajat Celcius titik nolnya pada 0. Dengan demikian, jarak yang sama antara anggota masing-masing pasangan nilai itu menunjukkan beda yang sama dalam hal kadar ciri atau sifat yang diukur. Namun, skala interval tidak menjadikan perbandingan/rasio antara dua buah nilai. Contoh, suhu 80 0 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 0 F, karena diketahui bahwa suhu 80 0 F sama artinya dengan suhu C, sedangkan suhu 40 0 F sama dengan suhu C. 4 Skala Rasio Skala rasio ini lebih tinggi daripada skala interval. Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak. Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian. Pada skala rasio, antara masing-masing pengukuran sudah mempunyai nilai perbandingan/rasio. Pengukuran dengan skala rasio yang sudah sering digunakan, adalah pengukuran tinggi dan pengukuran berat. Dapat dikatakan bahwa seseorang yang beratnya 90 kg memiliki kelebihan berat 45 kg dibanding yang beratnya 45 kg, sebagaimana yang digunakan pada skala interval. Dengan skala

22 6 rasio, dapat dikatakan bahwa orang yang beratnya 90 kg mempunyai berat dua kali lipat daripada orang yang beratnya 45 kg. 2.2 Sebaran Objek Ada dua macam sebaran objek, yaitu: 1 Sebaran Diskrit Apabila peubah yang diukur hanya mengambil nilai-nilai tertentu, seperti bilangan bulat 0, 1, 2, 3, 4, distribusi sebarannya disebut sebaran diskrit. Beberapa contoh sebaran diskrit antara lain: a. Sebaran Binomial Dalam percobaan binomial percobaan dilakukan secara berulang sebanyak n kali, dan masing-masing mempunyai dua kemungkinan, contohnya berhasil atau gagal. Asumsi yang digunakan dalam sebaran ini adalah: i) Percobaan dilakukan n kali. ii) Masing-masing percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin. iii) Masing-masing percobaan independent dari percobaan-percobaan sebelumnya. iv) p adalah probabilitas memperoleh keberhasilan pada satu percobaan manapun dan q = 1- p adalah probabilitas mendapat kegagalan pada satu percobaan. Sebaran probabilitas binomial didefinisikan sebagai berikut: ; ;, untuk x = 0, 1, 2,, n b. Sebaran Poisson Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter, 0, memiliki fungsi masa peluang yang didefinisikan sebagai berikut: dengan: ;, untuk x = 0, 1, 2,! = rata-rata kejadian dalam selang waktu tertentu e = basis logaritma natural ( 2, ) Contoh kejadian Poisson adalah banyaknya libur sekolah karena terjadi banjir selama musim hujan, banyaknya pertandingan sepak bola yang dibatalkan akibat hujan dalam musim pertandingan tertentu.

23 7 2 Sebaran Kontinu Apabila peubah yang diukur dinyatakan dalam skala kontinu, sebaran probabilitasnya dinamakan sebaran kontinu. Nilai sebaran kontinu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva. Beberapa contoh sebaran kontinu antara lain: a. Sebaran Normal Sebaran normal adalah sebaran probabilitas kontinu yang bentuk visualnya bersifat simetrik, mempunyai kurva berbentuk lonceng. Sebaran normal sepenuhnya digambarkan hanya dengan dua parameter, yaitu mean atau nilai harapan dan standar deviasi. Masing-masing nilai unik dari mean dan standar deviasi menghasilkan kurva normal yang berbeda. Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengan dan ragam, maka persamaan kurva normalnya adalah ;,, untuk, sedangkan dalam hal ini dan e = b. Sebaran Eksponensial Biasanya merupakan suatu distribusi pelayanan kustomer pada suatu sistem yang terjadi dalam interval yang konstan. Contohnya panjang waktu antara objek dengan pelanggan ketika keluar dari supermarket, atau antar breakdown dari suatu mesin. Sebaran probabilitasnya adalah,, 0. c. Sebaran Seragam (Uniform) Sebaran seragam adalah sebaran yang sering digunakan dalam membangkitkan sebaran lainnya dengan transformasi tertentu hasil bangkitan sebaran seragam akan membentuk sebaran lainnya. Jika suatu peubah acak X, dengan nilai x 1,x 2,,x k memiliki peluang yang sama, maka sebaran seragamnya diberikan oleh, 1,,,,

24 8 d. Sebaran Gamma Merupakan sebaran yang mempunyai peranan yang penting dalam teori antrian dan teori reabilitas. Peubah acak X berdistribusi gamma, dengan parameter dan maka dengan e. Sebaran Multinomial,,, untuk 0, 0, 0 Jika ada n percobaan dimana masing-masing percobaan dapat mempunyai k hasil yang terjadi dengan kemungkinan p 1,...,p k peubah acak X 1,.,X k menghitung banyaknya kejadian dari tiap hasil maka dikatakan mempunyai distribusi multinomial. Fungsi probabilitasnya adalah:,,,!! ) ) 2.3 Analisis Gerombol Analisis gerombol adalah analisis statistik peubah ganda yang digunakan terhadap n buah individu atau objek yang mempunyai p peubah, akan dikelompokan ke dalam k kelompok. Objek yang terletak dalam satu gerombol memiliki kemiripan sifat yang lebih besar dibandingkan dengan individu yang terletak dalam gerombol lain (Dillon & Goldstein 1984). Konsep dasar pengelompokan dua atau lebih objek ke dalam satu gerombol adalah menggunakan ukuran kemiripan atau ketidakmiripan. Semakin tinggi sifat kemiripan yang dimiliki suatu objek maka semakin besar pula peluang objek tersebut untuk masuk dalam suatu gerombol tertentu. Tujuan utama dari analisis gerombol adalah mengelompokkan objek-objek seperti produk (barang dan jasa), benda (tumbuhan atau lainnya) dan orang (responden, konsumen, atau lainnya) ke dalam kelompok-kelompok yang relatif homogen. Analisis gerombol meneliti seluruh hubungan interdependensi dimana tidak ada proses membedakan antara peubah bebas dan tak bebas (independent!

25 9 and dependent variables). Analisis gerombol juga disebut analisis klasifikasi atau taxonomi numerik (numerical taxonomi). Menurut Anderberg (1973) terdapat dua metode dalam analisis gerombol yaitu: metode berhierarki (hierarchical clustering methods) dan metode tak berhierarki (non hierarchical clustering methods). Metode berhierarki digunakan apabila belum ada informasi jumlah kelompok yang akan dipilih. Sedangkan metode tak berhierarki bertujuan untuk mengelompokkan n objek ke dalam k kelompok (k<n) dimana nilai k telah ditentukan sebelumnya. Pada dasarnya, terdapat dua teknik penggerombolan pada metode berhierarki, yaitu teknik penggabungan (agglomerative) dan teknik pembagian (divisive), sedangkan metode tak berhierarki antara lain dengan teknik penyekatan (partitioning) dan penggunaan grafik. Gerombol yang baik adalah gerombol yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: 1 Kesamaan di dalam kelas (Intraclass similarity) yang tinggi antar anggotanya dalam satu gerombol (within-cluster). 2 Kesamaan antar kelas (Interclass similarity) yang rendah antar satu gerombol dengan gerombol lainnya (between cluster). 2.4 Ukuran Jarak Menurut Andenberg (1973) ukuran jarak dibutuhkan untuk setiap pasang objek yang akan dikelompokkan. Beberapa metode pengukuran jarak antar dua objek, yaitu: 1 Jarak Euclidean Jarak ini merupakan jarak yang umum digunakan, dan dapat digunakan apabila semua peubahnya berskala kontinu. Jarak ini harus memenuhi asumsi bahwa peubah-peubah yang diamati tidak berkorelasi dan antar peubah memiliki satuan yang sama. Dalam metode ini, pengukuran jarak dilakukan dengan menghitung akar kuadrat dari penjumlahan kuadrat selisih dari nilai masingmasing peubah. Jarak Euclid dapat dirumuskan sebagai berikut:

26 10 dengan: : jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k :banyaknya peubah yang diamati 2 Jarak Manhattan (City Block/Minkowski) Jarak ini merupakan bentuk umum dari jarak Euclidean. Jarak Manhattan digunakan jika peubah yang diamati berkorelasi atau tidak saling bebas. Dalam metode ini, pengukuran jarak dilakukan dengan menghitung jumlah absolut perbedaan untuk masing-masing peubah. Jarak Manhattan dapat dirumuskan sebagai berikut: dengan: : jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k : banyaknya peubah yang diamati Jarak Chebysev Jarak Chebysev dilakukan dengan menghitung jumlah nilai maksimum absolut perbedaan untuk beberapa peubah. Jarak Chebysev dapat dirumuskan sebagai berikut: Max (2.3) dengan: : jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k 4 Jarak Mahalonobis Jarak ini sangat berguna dalam menghilangkan atau mengurangi perbedaan skala pada masing-masing komponen. Jarak Mahalonobis dapat dirumuskan sebagai berikut:.4)

27 11 dengan: : jarak antara objek i dengan objek k : nilai objek i pada peubah ke- k : nilai objek j pada peubah ke- k S : matriks kovarian 5 Jarak Log-likelihood Jarak ini digunakan untuk peubah berskala kontinu dan kategorik. Jarak antara gerombol j dengan gerombol s dapat dirumuskan sebagai berikut:,, (2.5) dengan: 1 log 2 log 1 log 2 log 1 2 log log dengan: N : jumlah total observasi N j : jumlah observasi di dalam gerombol j N jkl : jumlah objek di gerombol j untuk peubah kategorik ke k dengan kategori ke l : ragam dugaan untuk peubah kontinu ke k untuk keseluruhan observasi : ragam dugaan untuk peubah kontinu ke k untuk keseluruhan observasi dalam gerombol j K A : jumlah total peubah kontinu K B : jumlah total peubah kategorik L k : jumlah kategori untuk peubah kategorik ke-k

28 k-means Clustering Metode k-means pertama kali diperkenalkan oleh MacQueen JB pada tahun Metode ini adalah salah satu metode non hierarchi yang umum digunakan. Metode ini termasuk dalam teknik penyekatan (partition) yang membagi atau memisahkan objek ke k daerah bagian yang terpisah. Pada k-means, setiap objek harus masuk dalam gerombol tertentu, tetapi dalam satu tahapan proses tertentu, objek yang sudah masuk dalam satu gerombol, pada satu tahapan berikutnya objek akan berpindah ke gerombol lain. Pada dasarnya penggunaan algoritma dalam melakukan proses clustering tergantung dari objek yang ada dan konklusi yang ingin dicapai. Ada beberapa metode penggerombolan yang umum digunakan, antara lain adalah: 1 Metode berhierarchi 2 Metode tak berhierarchi Untuk itu digunakan algoritma k-means yang di dalamnya memuat aturan sebagai berikut: 1 Jumlah cluster yang diinginkan. 2 Hanya memiliki atribut bertipe numerik. Metode k-means berawal dari penentuan jumlah gerombol yang ingin dibentuk, kemudian menentukan objek sebagai centroid awal yang biasanya dilakukan secara random, selanjutnya menghitung ukuran jarak dari masingmasing objek ke centroid. Setelah objek masuk pada centroid terdekat dan membentuk gerombol baru, centroid baru ditentukan kembali dengan menghitung rata-rata objek pada centroid yang sama. Jika masih ada perbedaan dengan centroid yang sudah dibentuk, maka dilakukan perhitungan kembali centroid baru. Hasil cluster dengan dengan metode k-means sangat bergantung pada nilai pusat gerombol awal yang diberikan. Pemberian nilai awal yang berbeda bisa menghasilkan gerombol yang berbeda. Ada beberapa cara memberi nilai awal misalnya dengan mengambil sampel awal dari objek, lalu mencari nilai pusatnya, memberi nilai awal secara random, menentukan nilai awalnya atau menggunakan hasil dari gerombol hierarki dengan jumlah gerombol yang sesuai (Santosa 2007).

29 13 Dalam k-means objek dikelompokkan secara tegas ke gerombol yang mempunyai centroid terdekat, suatu dapat di tentukan termasuk anggota dan bukan anggota dari suatu kelas dapat didefinisikan sebagai fungsi karakteristik yang dapat dirumuskan sebagai berikut: µ 0,1 ; 1 ; ; Tujuan dari algoritma k-means adalah meminimumkan jarak antara objek dengan centroid yang terdekat, yaitu dengan meminimumkan fungsi objektif J yang dirumuskan sebagai fungsi dari U dan V sebagai berikut:,, 2.8 dengan: U : matriks keanggotaan objek ke masing-masing gerombol V : matriks centroid / rata masing-masing gerombol : fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i x k : objek ke-k v i : nilai centroid gerombol ke-i d : ukuran jarak Kelebihan metode k-means diantaranya adalah mampu mengelompokan objek besar dan pencilan objek dengan sangat cepat sehingga mempercepat proses pengelompokan. Adapun kekurangan yang dimiliki oleh k-means diantaranya: 1 Sangat sensitif pada pembangkitan titik pusat awal secara random. 2 Memungkinkan suatu gerombol tidak mempunyai anggota. 3 Hasil pengelompokan bersifat tidak unik (selalu berubah-ubah) terkadang bagus terkadang tidak. 4 Sangat sulit mencapai global optimum. Selain itu kekurangan k-means adalah: 1 Menentukan banyaknya jumlah gerombol sebelum kita mengetahui jumlah gerombol yang optimal. 2 Semua objek harus masuk kedalam satu cluster, dan sangat bergantung pada inisialisasi cluster centers.

30 Fuzzy k-means Clustering Metode fuzzy k-means pertama kali diperkenalkan oleh Jim Bezdek pada tahun Fuzzy k-means adalah suatu teknik pengelompokan objek yang mana keberadaan tiap-tiap objek dalam suatu cluster ditentukan oleh nilai keanggotaan. (Kusumadewi et al. 2006). Berbeda dengan k-means clustering, dimana suatu objek hanya akan menjadi anggota satu cluster, dalam fuzzy k-means setiap objek bisa menjadi anggota dari beberapa cluster, sesuai dengan namanya fuzzy yang berarti samar. Batas-batas dalam k-means adalah tegas (hard) sedangkan dalam fuzzy k-means adalah soft (Agusta 2007). Konsep dasar fuzzy k-means pertama kali adalah menentukan pusat cluster pada kondisi awal, pusat cluster ini masih belum akurat dan tiap objek memiliki derajat keanggotaan untuk tiap-tiap cluster dengan cara memperbaiki pusat cluster dan nilai keanggotaan tiap objek secara berulang maka akan dapat dilihat bahwa pusat cluster akan bergerak menuju lokasi yang tepat. Ketika gerombol-gerombol menjadi overlapping atau setiap objek memungkinkan termasuk ke beberapa gerombol, maka dapat diinterpretasikan sebagai fungsi keanggotaan yaitu 0,1. Maka fungsi objektif J yang dirumuskan sebagai fungsi dari U dan V sebagai berikut:,, 2.9 dengan: U : matriks keanggotaan objek ke masing-masing gerombol V : matriks centroid / rata-rata masing-masing gerombol m : pembobot eksponen μ ik : fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i x k : objek ke-k v i : nilai centroid ke-i d : ukuran jarak Pada metode fuzzy k-means diperkenalkan suatu peubah m yang merupakan fungsi pembobot (weighting exponent) dari membership function. Peubah m ini disebut juga indeks fuzzy dan mempunyai nilai [1,4). Menurut penelitian yang dilakukan oleh Hong (2006) nilai m yang paling bagus untuk digunakan adalah 2.

31 15 Untuk menghitung centroid (titik pusat) gerombol V, untuk setiap gerombol digunakan rumus sebagai berikut: v N k = 1 ij = N ( μ ) k = 1 ik ik m ( μ ) dengan: m : pembobot eksponen : fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i x kj : objek ke-k gerombol ke-j Sedangkan untuk menghitung fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i digunakan rumus sebagai berikut: dengan: 1 c 1 j= 1 : fungsi keanggotaan objek ke-k ke gerombol ke-i x k : objek ke-k v i : nilai centroid cluster ke-i v j : rata-rata centroid cluster ke-j m : pembobot eksponen x m kj 2.7 Two Step Clustering Metode two step cluster adalah metode yang didesain untuk menangani jumlah objek yang besar, terutama pada masalah objek yang mempunyai peubah kontinu dan kategorik. Prosedur penggerombolan dengan metode two step cluster mempunyai dua tahapan yaitu tahap preclustering (penggerombolan awal) objek ke dalam subcluster-subcluster kecil dan tahap penggerombolan akhir. Langkah 1: Penggerombolan Awal (Preclustering) Menurut Anonimous (2001) tahap penggerombolan awal dilakukan dengan pendekatan sekuensial, yaitu objek diamati satu persatu berdasarkan ukuran jarak yang kemudian ditentukan apakah objek tersebut masuk dalam gerombol yang telah terbentuk atau harus membentuk gerombol baru. Pada langkah ini diimplementasikan dengan pembentukan cluster features (CF) Tree. Cluster

32 16 future itu sendiri adalah kesimpulan dari informasi yang di kumpulkan pada suatu cluster. Definisi Diberikan N titik objek d dimensii pada suatuu cluster dimana i = 1,2,,N. Vektor clustering feature dari cluster didefinisikann sebagai quadriple: CF=(N,M,V,K) dimana N adalah banyaknya objek pada cluster, M menyatakan rata-rata dari peubah kontinu dari N objek, V adalah variansi dari setiap peubah kontinu pada N objek, dan K adalah banyaknya taraf pada setiap peubah kategorik. CF Tree adalah keseimbangan tinggi pohon dengann dua parameter yaitu branching factor (B) dan threshold (T). Gambar 1 Contoh CF Tree CF Tree terdiri dari beberapa tingkatan cabang (nodes) dan masing-masing cabang berisikan individu objek (entries) dari gerombol awal. Tingkatan daun atau daun entri yang terdapat pada cabang merepresentasikan anak gerombol (subcluster-subcluster). Prosedur CF Tree dilakukan dengan memilih satu amatan awal secara acak yang akan diukur jaraknya satu persatu dengan amatan lainnya menggunakan ukuran jarak yang telah ditentukan. Jika besarnya jarak terletak pada daerah penerimaann (threshold distance), maka amatan akan menjadi anggota anak gerombol. Jika besarnya jarak terletak di luar wilayah daerah penerimaan, maka amatan tersebut akan masuk ke dalam gerombol yang telah dibentuk atau akan menjadi cikal bakal daun entri yang baru. Jika suatu cabang tidak memiliki tempat untuk menambah daun entri yang baru, maka cabang daun akan dipecah menjadi dua. Proses ini akan berlanjut sampai semua amatan terolah secara

33 17 lengkap. Jika CF Tree berkembang melewati batas ukuran maksimum yang telah ditetapkan, maka CF Tree akan dibangun ulang dengan cara meningkatkan kriteria batas penerimaan. Pemilihan kriteria batas penerimaan yang bagus dapat mengurangi banyaknya CF Tree yang dibangun ulang. Langkah 2: Penggerombolan akhir Pada langkah ini, hasil dari CF Tree digerombolkan dengan analisis gerombol hierarki dengan metode agglomerative, yaitu dimulai dengan n gerombol yang masing-masing beranggotakan satu objek, kemudian dua gerombol yang paling dekat digabung dan ditentukan kembali kedekatan antar gerombol yang baru. Untuk menghitung banyaknya gerombol dapat dilakukan dengan dua tahapan, yang pertama menghitung schwarz s bayesian criterion (BIC) atau akaike s information criterion (AIC) untuk tiap gerombol. Rumus BIC dan AIC untuk gerombol J adalah sebagai berikut: 2 log dimana log 2 log Solusi gerombol yang terbaik jika memiliki BIC terkecil, tetapi pada beberapa kasus terdapat nilai BIC semakin meningkat jika jumlah gerombol semakin meningkat. Jika terdapat kasus demikian maka diperlukan identifikasi solusi gerombol terbaik oleh rasio perubahan BIC dan rasio peubahan jarak. Tahap kedua digunakan kriteria perubahan rasio jarak untuk k buah gerombol, R(k), yang didefinisikan sebagai: R(k) = l v-1 / l v (2.14) d k = l v-1 -l v (2.15)

34 18 dimana: l v = (m v log n BIC v )/2 atau l v = (2m v log n AIC v )/2 v = k,k-1 dengan: R(k) : rasio perubahan jarak d k-1 : jarak jika k gerombol digabungkan dengan k-1 gerombol 2.8 Variansi Gerombol Pada dasarnya variansi pada penggerombolan dapat dibedakan menjadi dua yaitu: variansi didalam gerombol (variance within cluster) dan variansi antar gerombol (variance between cluster). Beberapa definisi variasi, yaitu: 1. Variansi Total Jumlah total kuadrat selisih objek dengan rata-rata total seluruh objek, yaitu: dimana dengan: 1 x ij : objek ke-i pada gerombol ke j k : banyaknya gerombol : rata-rata total seluruh objek N : banyaknya objek 2 Variansi antar Kelompok Jumlah total kuadrat selisih rata-rata tiap objek terhadap rata-rata total, yaitu:

35 19 dengan: x ij : objek ke-i pada gerombol ke j n j : banyaknya objek pada gerombol j : rata-rata total seluruh objek 3. Variansi dalam Kelompok Jumlah total kuadrat selisih objek dengan rata-rata objek yang terkait, yaitu:. dengan: x ij : objek ke-i pada gerombol ke j n j : banyaknya objek pada gerombol j. rata-rata objek pada gerombol j Khusus untuk fuzzy, apabila terdapat objek x i dengan i = 1,2,, n, dengan derajat keanggotaan pada kelompok fuzzy B adalah, dan terdapat j kelompok fuzzy dengan j= 1,2,, k, maka dapat didefinisikan: dimana 1 1 Total variansi T, variansi antar fuzzy kelompok B, dan variansi dalam suatu fuzzy kelompok W dapat di definisikan sebagai berikut:

36 20 Seperti yang telah disebutkan di atas, hasil penggerombolan yang baik adalah jika anggota setiap gerombol memiliki tingkat kemiripan yang tinggi satu sama lain yang diukur dengan rata-rata jumlah kuadrat dalam gerombol (means squares of within cluster) dan memiliki tingkat kemiripan yang rendah dengan anggota dari gerombol lain yang diukur dengan rata-rata jumlah kuadrat antar gerombol (means squares of between cluster). Rata-rata jumlah kuadrat dalam gerombol (means squares of within cluster) didefinisikan sebagai berikut : dengan: 1. x ij : objek ke-i pada gerombol ke j. rata-rata dari objek pada gerombol j k : jumlah gerombol n : jumlah objek 2.16 Rata-rata jumlah kuadrat antar gerombol (means squares of between cluster) didefinisikan sebagai berikut: 1 1. dengan: x ij : objek ke-i pada gerombol ke j n j : banyaknya objek pada gerombol j. : rata-rata objek pada gerombol j : rata-rata total seluruh objek Gerombol yang ideal mempunyai rata-rata jumlah kuadrat dalam gerombol minimum yang merepresentasikan internal homogenity dan rata-rata jumlah kuadrat antar gerombol maksimum yang menyatakan external homogenity.

37 21 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Bahan Penelitian Penelitian ini menggunakan data Afifi dari paket SPSS. Data Afifi merupakan data yang dibuat oleh Afifi dan Azen (1972) pada Los Angeles Shock Unit. Data ini menggambarkan pengelompokkan pasien yang mengalami shock. Data ini memiliki 108 pasien dengan peubah-peubah sebagai berikut: Tabel 1 Daftar peubah-peubah data Afifi Peubah Kode Keterangan IdNum IDN Id Number Age X 1 Usia (tahun) Height X 2 Tinggi (cm) SBP1 SBP2 MAP1 MAP2 HRT1 HRT2 CI1 CI2 UR1 UR2 HGB1 HGB2 TIME1 TIME2 X 3 X 10 X 4 X 11 X 5 X 12 X 6 X 13 X 8 X 15 X 9 X 16 X 7 X 14 Systolic Blood Pressure (mm Hg) adalah tekanan darah ketika jantung memompa darah Mean Arterial Pressure (mm Hg) adalah tekanan arteri rata-rata Heart rate (beats per minute) adalah banyaknya jantung berdenyut Cardiac Index (1/min/min square) adalah indeks jantung Urinary Output adalah kandungan urine yang dikeluarkan Hemoglobin (gm) adalah banyaknya protein dalam sel darah merah Waktu (1=awal, 2 akhir) Data ini akan dievaluasi dengan algoritma k-means, fuzzy-kmeans, dan two step clustering, sebagaimana yang dinyatakan pada tujuan penelitian yang akan digunakan untuk mengevaluasi metode dengan mencoba berbagai jumlah penggerombolan.

38 Alur Rencana Penelitian Data Pengecekan kelengkapan Data Analisis Komponen Utama Standarisasi Visualisasi dua dimensi Pengelompokkan dengan berbagai metode k-means Fuzzy k -means Two Step Clustering k k k Perbandingan Hasil penggerombolan dengan berbagai k = 2,3,4 Distribusi jumlah gerombol Jumlah anggota identik Misclustering Variansi gerombol - Variance within cluster - Variance between cluster Pembahasan Kesimpulan Gambar 2 Alur rencana penelitian

39 Langkah-Langkah Penelitian Terkait dengan tujuan penelitian yang telah dikemukakan, maka beberapa tahapan diperlukan untuk dapat menjawab tujuan tersebut, yaitu : 1 Menentukan jenis variabel dari data. 2 Menggerombolkan data dengan mencobakan berbagai nilai k. Dalam penelitian ini dicobakan k = 2,3, dan 4. 3 Memilih ukuran jarak pada data tersebut. 4 Menerapkan metode k-means pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut: a Mentukan k sebagai jumlah gerombol yang ingin dibentuk. b Membangkitkan k titik pusat gerombol awal secara random. c Menghitung jarak setiap data ke masing-masing gerombol. d Memilih gerombol yang terdekat untuk setiap data. e Menentukan posisi gerombol baru dengan cara menghitung nilai rata-rata dari data yang terletak pada gerombol yang sama. f Kembali ke langkah c jika posisi gerombol baru dengan gerombol lama tidak sama. 5 Menerapkan metode fuzzy k- means pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut: a Menentukan jumlah gerombol. b Mengalokasikan data sesuai dengan jumlah gerombol yang ditentukan. c Menghitung nilai titik pusat dari masing-masing gerombol. d Menghitung nilai fungsi keanggotaan masing-masing data ke masingmasing gerombol. e Kembali ke langkah c, apabila perubahan nilai fungsi keanggotaan masih di atas nilai wilayah penerimaan yang ditentukan, atau apabila perubahan pada nilai titik pusat gerombol masih di atas nilai wilayah penerimaan yang ditentukan, atau apabila perubahan pada nilai fungsi objektif masih di atas nilai wilayah penerimaan yang ditentukan.

40 24 6 Menerapkan metode two step clustering pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut: a Penggerombolan awal (Preclustering). b Penggerombolan akhir. 7 Menghitung variansi gerombol pada masing-masing metode. 8 Membandingkan hasil penggerombolan yang terbentuk pada data dengan k- means, fuzzy k-means, dan two step clustering. 9 Menarik kesimpulan.

41 25 DAFTAR PUSTAKA Agusta Y, K-Means-Penerapan, Permasalahan dan Metode Terkait. Jurnal Sistem dan Informatika Vol 3. STIMIK. Bali. Anderberg MR Cluster Analysis for Application. Academic Press, New York. Anonimous The SPSS TwoStep Cluster Component. A scalable component to segment your costumers more effectifely. White paper-technical report, SPSS Inc Chicago. Anonimous TwoStep Cluster Analysis. Technical Report, SPSS Inc. Chicago. Bacher, J., K. Wenzig and M. Vogler SPSS TwoStep Cluster : A First Evaluation. Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nunberg. Dillon WR, & M. Goldstein Multivariate Analysis Method and Applications. John Wiley & Sons. Canada. Graham J Williams, Data Mining Algorithms Cluster Analysis. Adjunct Associate Professor, ANU. Hong SL, Experiment With K-Means, Fuzzy C-Means And Approaches To Choose K And C. University of Central Florida. Orlando. Johnson RA, DW Wichern Applied Multivariate Statistical Analysis 4 th ed. Prantice- Hall Int. Kusdiati Pengkajian Keakuratan TwoStep Cluster dalam menentukan Banyaknya Gerombol Populasi. Tesis. Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor: IPB. Kusumadewi, dkk Fuzzy Multi-Attribute Decision Making (FUZZY MADM). Yogyakarta. Graha Ilmu. Santosa B, Data Mining. Teknik Pemanfaatan Data Untuk Keperluan Bisnis. Graha Ilmu. Yogyakarta. Serban G, & Grigoreta SM A Comparison of Clustering Teqniques In Aspect Mining. Studia Univ. Babes-Bolyai, Informatica, Volume L1. Teknomo, Kardi K-means Clutering Tutorial.http :\\people. revolude.com \kardi \tutorial\kmean\.[31 Januari 2009]

42 26

43 25 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data Setelah melalui proses pengecekan kelengkapan data, terdapat data hilang pada objek pengamatan untuk beberapa peubah. Objek pengamatan yang memiliki data hilang tersebut tidak diikutsertakan dalam analisis. Untuk memberikan gambaran data dari masing-masing peubah maka digunakanlah Boxplot, yang disajikan pada gambar dibawah ini: Data Boxplot X1 Data Boxplot X2 Data Boxplot X3 Data Boxplot X4 Data Boxplot X5 Data Boxplot X6 Data Boxplot X7 Data Boxplot X8 Data 17,5 15,0 12,5 10,0 7,5 5,0 Boxplot X9 Data Boxplot X10 Data Boxplot X11 Data Boxplot X12 Data Boxplot X13 Data Boxplot of X14 Data Boxplot X15 Data 15,0 12,5 10,0 7,5 5,0 Boxplot X16 Keterangan: Gambar 3 Boxplot data Afifi X 1 : Age X 9 : Hemoglobin1 X 2 : Height X 10 : Systolic Blood Pressure2 X 3 : Systolic Blood Pressure1 X 11 : Mean Arterial Pressure 2 X 4 : Mean Arterial Pressure 1 X 12 : Heart Rate 2 X 5 : Heart Rate1 X 13 : Cardiac 2 X 6 : Cardiac1 X 14 : CTime 2 X 7 : CTime2 X 15 : Urine 2 X 8 : Urine 1 X 16 : Hemoglobin 2

44 26 Gambar 3 memperlihatkan bahwa sebaran data untuk masing-masing peubah tidak semuanya mempunyai pencilan. Gambar 3 juga memperlihatkan bahwa keragaman peubah X 15 lebih besar dari keragaman peubah lainnya, sedangkan peubah X 13 mempunyai keragaman yang paling kecil dibandingkan peubah lainnya. Tabel 2 Deskripsi data Afifi Peubah Rata-Rata Standar Deviasi Min Max Age Height Sbp1 Map1 Heart1 Cardiac1 Ctime1 Urine1 Hgb1 Sbp2 Map2 Heart2 Cardiac2 Ctime2 Urine2 Hgb Sedangkan untuk memberikan gambaran data yang sudah distandarisasi, dapat dilihat pada gambar berikut: Data X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 Gambar 4 Boxplot data Afifi standarisasi

45 27 Gambar 4 memperlihatkan bahwa data yang sudah distandarisasi ini mempunyai variansi yang semua peubahnya cenderung relatif lebih homogen. Karena dalam penggerombolan menggunakan konsep jarak Euclid, dimana konsep jarak ini mengharuskan tidak adanya korelasi antar peubah, maka terlebih dahulu dilakukan Analisis Komponen Utama (AKU), yang bertujuan untuk memperoleh peubah-peubah yang saling tidak berkorelasi. Hasil Analisis Komponen Utama disajikan pada tabel berikut: Tabel 3 Koefisien Komponen Utama 1 dan 2 Peubah Komponen Utama 1 Komponen Utama 2 X X X X X X X X X X X X X X X X Tabel 4 Akar ciri, proporsi keragaman, dan keragaman kumulatif KU Ke- Akar ciri Proporsi Keragaman (%) Keragaman Kumulatif (%)

46 28 Sebagai hasil pendekatan yang dilakukan oleh Analisis Komponen Utama pada tabel di atas, dapat dilihat bahwa hanya terdapat 7 komponen utama yang memiliki akar ciri lebih dari 1, ini berarti bahwa ketujuh komponen utama tersebut memberikan kontribusi keragaman yang besar, dan komponen utama yang memiliki akar ciri kurang dari 1 dianggap memiliki kontribusi keragaman yang kurang. Dari tabel di atas, dapat dilihat juga bahwa akar ciri pertama yang memiliki nilai sebesar menjelaskan bahwa komponen utama ke-1 dapat menerangkan keragaman data sebesar 25.80%. Dengan cara yang sama untuk komponen utama selanjutnya sampai komponen ke 16 sebesar 2.87%. Komponen utama ke 1 dan ke 2 memberikan kontribusi keragaman sebesar 25.80% dan 16.73%. Sehingga jika digunakan kedua komponen tersebut, secara kumulatif akan didapatkan keragaman total yang mampu dijelaskan keduanya adalah sebesar 42.53%. Dan dari ketujuh komponen utama tersebut, secara kumulatif memiliki proporsi keragaman sebesar 79.63%, ini berarti bahwa sudah mewakili keragaman total dari seluruh data. Jika digambarkan nilai kedua skor komponen utama di atas, akan didapatkan gambaran sebagai berikut: Component ,0-2,5 0,0 Component 1 2,5 5,0 Gambar 5 Plot dua komponen utama pada data Afifi Gambar 5 memperlihatkan bahwa sebaran data Afifi ini tidak terlihat adanya penggerombolan yang jelas, karena terdapat penggerombolan yang saling tumpang tindih.