1. σ field dan pengukuran Definisi 1.1
|
|
- Yohanes Tedjo
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TEORI PROBABILITAS 1. σ field dan pengukuran Misalkan Ω adalah elemen dari himpunan. Contoh Ω merupakan himpunan bilangan dalam suatu interval di bilangan riil yang merupakan hasil dari percobaan random. Dalam teori probabilitas, Ω disebut sebagai ruang ukuran, sedangkan di teori statistika Ω disebut ruang sampel. Karena dalam probabilitas dan statistika, Ω biasanya disebut sebagai hasil yang mungkin dari random eksperimen dalam suatu himpunan. Pengukuran adalah matematika murni meliputi panjang, luas, atau volume dari himpunan bagian dalam 1, 2 atau 3 di dimensi ruang Euclid. Dalam pemberian ruang sampel Ω, pengukuran adalah fungsi himpunan yang didefinisikan dari subset yang di perlukan untuk memenuhi sifat yang ada pada definisi berikut. Definisi 1.1 Misalkan F kumpulan subset dari ruang sampel Ω F disebut σ-field jika dan hanya jika mempunyai sifat berikut : (i) himpunan kosong F. (ii) jika A F, maka komplemen A c F. (iii) jika Ai F, i = 1, 2,..., maka gabungan Ai F. Pasangan (Ω,F) terdiri dari himpunan dan σ field F yang merupakan subset dan disebut ruang pengukuran. Elemen F disebut himpunan pengukuran dalam teori pengukuran dan disebut kejadian dalam probabilitas dan statistika. Karena c = Ω, mengikuti 1 dan 2 pada definisi 1.2 maka Ω Jika F adalah σ field di Ω Begitu juga dari 2 dan 3, jika Ai F, i= 1,2, dan F adalah σ field maka irisan Ai F dapat di tunjukkan dengan menggunakan hokum demorgan ( Ai) c = A c i. Untuk sebarang Ω yang di berikan ada 2 trivial σ field yang pertama, kumpulan yang mengandung 2 elemen dan Ω Kemungkinan terkecil σ field dalam Ω yang kedua, kumpulan semua subset dari Ω yang di sebut himpunan pangkat terbesar σ field di Ω Misalkan di berikan nontrivial σ field. Di berikan A anggota himpunan bagian tak kosong dari (A Ω, A Ω ) maka {,A,A c,} adalah σ field. Pada dasarnya σ field terkecil mengandung A yang berarti jika F ada σ field yang mengandung A maka σ field (1.1) adalah kumpulan bagian Ω Secara umum σ field terkecil mengandung C adalah suatu kumpulan subset dinotasikan σ(c) dan disebut σ field yang di karenakan C. oleh karena itu
2 σ field di (1.1) adalah σ({a}). Catatatn buku σ({a,ac}), σ({a,}), dan σ({a, }) semua sama sebagai σ({a}). Tentu jika C sendiri adalah σ field maka σ(c)=c Dibilangan R ada σ field khusus yang akan di gunakan secara langsung. Diberikan C kumpulan semua interval terbuka di R, maka B = σ(c) di sebut Borel σ field. Elemen B disebut himpunan Borel. Borel σ field Bk di dimensi k sama halnya dengan ruang Euclid rk. Hal ini dapat di tunjukkan bahwa interval (terbatas atau tak terbatas)himpunan terbuka dan himpunan tertutup adalah himpunan barel.kita tunjukkan bilangan riil B = σ(o) dimana O adalah kumpulan semua himpunan terbuka. Sejenisnya membutuhkan untuk di tunjukkan bahwa σ(c) σ(o) dan σ(o) σ(c). karena interval terbuka sama dengan himpunan terbuka, C O dan oleh sebab itu σ(c) σ(o). mengapa? Diberikan U adalah himpunan terbuka. Maka U dapat di tunjukkan sebagai gabungan persamaan dari interval terbuka terbatas (Royden (1968, p.39)). Oleh karena itu U σ(c) (definisi 1.1 (iii)) dan O σ(c). dari definisi σ(o), σ(o) σ(c). pembuktian terbukti. Diberikan C Rk adalah himpunan borel dan diberikan BC = {C B : B Bk}.maka (C, BC) adalah ruang pengukuran dab Bc disebut Borel σ field di C. Definisi 1.2 Diberikan (,F) adalah ruang pengukuran. A fungsi himpunan v di definisikan di F di namakan pengukuran jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut : (i) 0 ν(a) ada A F. (ii) ν( ) = 0 (iii) jika Ai F, i = 1, 2,..., dan Ai saling lepas Ai Aj = ada i j, maka ~ ~ v ( A i ) = v(a i ) Ketiga (Ω,F,v) disebut ruang ukuran, jika V(Ω) = 1 maka V disebut probabilitas pengukuran dan biasa dinotasikan oleh P pengganti V yang dioperasikan (Ω, F, P) disebut ruang probabilitas. Meskipun pengukuran adalah perpanjangan pasang, luas dan volume. Kadang didapat berupa abstrak. Contoh: diberikan fungsi himpunan V(A) = A F, A 0 V(A) = D A = Karena pengukuran dapat bernilai, kita harus mengetahui bagaimana aritmatik dengan pada buku ini, cukup untuk mengetahui (1) untuk sebarang x R, + x =. x =, jika x > 0, x =, jika x < dan 0 =. (2) + = dan (3) a = jika sebarang a > 0 bagaimana atau tidak terdefinisi.
3 Jika Ω dapat dihitung berarti ada korespondensi 1-1 diantara Ω dan himpunan semua bilangan bulat kemudian 1 dapat dipertimbangkan trivial 0 field terdiri dari semua subset dari Ω dan pengukuran memberikan nilai untuk setiap subset di Ω. Ketika Ω tidak dapat dihitung, (e.g., Ω = R atau [0,1]), ini tidak mungkin ditetapkan pengukuran yang layak untuk setiap subset dari Ω. Contoh: tidak mungkin ditemukan pengukuran di semua subset di R dan masih memenuhi sifat 1.3 ini mengapa penting dikenalkan σ field lebih kecil daripada himpunan pangkat. Berdasarkan hasil membagi beberapa sifat dasar pengukuran dimanapun kita memperhubungkan V(A) secara mutlak diasumsikan A F. Dalil 1.1 Diberikan (Ω, F, V) ruang pengukuran (i) (ii) (Kemonotonan) Jika A B maka V(A) V(B) (Subadditivity) ada persamaan A 1, A 2,. V ( A i ) V(A i ) (iii) Kekontinuan. Jika A 1 A 2 A 3 (atau A 1 A 2 A 3 dan V(A 1 ) < ), dimana Bukti: maka V (lim n A n ) = lim n V(A n ) lim A n = A i n (atau A i ) Kita buktikan (i), pembuktian (ii) dan (iii) ditinggalkan sebagai contoh karena A B, B = A (A C B) dan A dan A C B saling lepas dari definisi 1.2 (iii) V(B) = V(A) + V(A C B) yang tidak lebih kecil dari V(A) karena V(A C B) 0 oleh definisi 1.2 (i). Ada korespondensi 1-1 antara himpunan semua pengukuran probabilitas di (R, B) dan himpunan dari fungsi di R diberikan P probabilitas pengukuran. Fungsi distribusi komulatif dari P definisi menjadi F(x) = P([, x]), x R Dalil 1.2 (i) Diberikan F ada c.d.f di R, maka a. F( ) = lim x f(x) = 0
4 (ii) b. F() = lim x f(x) = 1 c. F tidak berkurang F(x) F(y) jika x y d. F kontinu kanan lim F(y) = F(x) y x, y>x Andaikan sebuah bilangan real nilai fungsi F di R memenuhi (a.)-(d.) di (i) maka F ada c.d.f. ukuran probabilitas khusus di (R, B). Hasil kali kartesius dari himpunan (kumpulan himpunan) r i, i I = {1,, k} (atau {1,2,, } didefinisikan sebagai himpunan dari semua (a 1,, a k ) atau (a 1, a 2, ) a 1 r 1,, i I dan dinotasikan dengan π i I, r i = r i x xτ k (atau τ 1 xτ 2 ). diberikan (Ω i, F i ), iεi dan merupakan ruang pengukuran. Karena π i I F 2 seharusnya field, σ (π i I, r i )dinotasikan π i I (Ω i, F i ). Sebagai contoh, terdiri (Ω i, F i )=(R,B),,2,.,k. maka ruang hasil kali R k dan dapat diperlihatkan σ field yang sama dengan Borel σ field di R k yang mana σ field dihasilkan oleh kumpulan semua himpunan terbuka di R k. Hasil perkalian dari pengukuran Lebesgue pada dua interval [a1,b1] dan [a2,b2]. Catatan bahwa [a1,b1] x [a2,b2] adalah sesuatu himpunan yang dapat dihitung dengan definisi hasil kali σ field. Sebuah pengukuran V di (Ω, F) disebut σ finite jika hanya jika ada sebuah persamaan { A 1, A 2, } sebagaimana A i = Ω dan V(A i ) < untuk semua i. Beberapa ukuran terbatas (seperti pengukuran peluang) adalah pembenaran σ terbatas. Pengukuran Lebesgue dalam contoh 1.2 adalah σ terbatas, tetapi R = A n dengan A n = ( n, n), n = 1,2,. Perhitungan ukuran dalam contoh 1.1 adalah σ terbatas jika hanya jika Ω dapat dihitung. Pengukuran didefinisikan oleh (1.2), bagaimanapun tidak σ terbatas. Dalil 1.3 (Teorema Ukuran Hasil Kali) Diberikan (Ω i, F i, V i ), i = 1,, k, sebagai ruang ukuran dengan σ ukuran terbatas, dimana k 2 adalah bilangan bulat. Kemudian ada sebuah ukuran σ terbatas yang unik dalam hasil kali σ field σ(f 1 F k ), disebut ukuran hasil kali dan dinotasikan V 1 V k, sebagai berikut: untuk semua V i F i, i = 1,, k. V 1 V k (A 1 A k ) = V 1 (A 1 ) V k (A k ) Dalam R 2 ada ukuran khusus, ukuran hasil kali m x m, untuk m x m ([a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]) sama dengan nilai yang diberikan oleh (1.5). Pengukuran ini disebut Ukuran Lebesgue di (R 2, B 2 ). Pengukuran Lebesgue (R 3, B 3 ) adalah m x m x m sama dengan volume biasa untuk himpunan bagian dari bentuk [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. Pengukuran Lebesgue di (R k, B k ) untuk sembarang bilangan bulat positif k yang didefinisikan.
5 Konsep dari c.d.f. (Comulatif-Distributif-Function) dapat diperpanjang pada R k. Diberikan P merupakan ukuran peluang di (R k, B k ). c.d.f. (joint c.d.f.) dari P didefinisikan dengan: F(x 1,, x k ) = P((, x 1 ] (, x k ]), x i R Ada korespondensi satu-satu diantara pengukuran probabilitas dan join c.d.f. di R 2. Beberapa sifat dari sebuah joint c.d.f diberikan pada contoh 10 di (1.6). jika F() adalah sebuah joint c.d.f. maka Fi(x)= adalah sebuah c.d.f. dan disebut ith marginal c.d.f. secara jelas, marginal c.d.f. tidak dapat ditentukan oleh joint c.d.f.nya. tetapi sebuah joint c.d.f. tidak dapat ditentukan dengan k marginal c.d.f. ada suatu kekhususan tetapi merupakan operasi penting dengan sebuah joint c.d.f. f didefinisikan oleh k marginal c.d.f. Fi didefinisikan : F(x 1,, x k ) = F 1 (x 1 ) F k (x k ), (x 1,, x k )εr k 2. Fungsi yang dapat diukur dan distribusi Sejak dapat berubah-ubah, sering cocok atau sesuai untuk menentukan sebuah fungsi (mapping) f dari Ω ke ruang yang lebih sederhana (kerap kali). Diberikan B, kemudian gambaran invers dari B dibawah f yakni: f 1 (B) = {f B} = {ω Ω : f(ω) B}. Fungsi invers tidak ada untuk didefinisikan. Pembaca diminta untuk membuktikan sifat berikut: a. f 1 (B c ) = (f 1( B)) c for any B _; b. f 1 ( Bi) = f 1 (Bi) for any Bi _, i = 1, 2,... Diberikan C adalah kumpulan himpunan bagian. kita definisikan: f 1 (C) = {f 1 (C) : C C}. Definisi 1.3. Diberikan (Ω,F) dan () merupakan ruang yang dapat diukur dan f sebuah fungsi dari Ω untuk. Fungsi f disebut fungsi yang dapat diukur dari (Ω,F) ke () jika hanya jika. Jika =R dan =B (Borrel ), maka f disebut Borel yang dapat diukur atau disebut fungsi Borrel pada (Ω,F) (atau dengan hormat untuk f). Dalam teori probabilitas, sebuah fungsi yang dapat dihitung disebut elemen acak dan dinotasikan dengan satu dari X,Y,Z, jika x dapat dihitung dari (Ω,F) ke (R,B), maka ini disebut variable acak, jika x dapat dihitung dari (Ω,F) ke (R k,b k ), maka ini disebut vector-k acak. Jika X1,..Xk merupakan variable acak didefinisikan pada ruang acak probabilitas umum, maka vector (X1,..Xk) adalah vector-vektor k acak.(sebagai konvensi notasi, ada vector c didefinisikan dengan (c R k,), dimana adalah komponen ith dari c.
6 Jika f dapat diukur dari (Ω,F) ke (), maka (F -1 ) adalah sebuah sub field dari f (terbukti). Ini disebut field yang dihasilkan oleh f dan dinotasikan dengan (f). Sekarang kita menganggap beberapa contoh fungsi yang dapat dihitung. Jika f adalah kumpulan semua himpunan bagian dari Ω, maka fungsi f dapat diukur. Diberikan A Ω. penunjuk fungsi untuk A didefinisikan sebagai: Untuk sembarang B c R, Kemudian σ(ia) adalah lebih kecil σ field dari pada σ field F asli. Ini adalah alasan lain mengapa kita mengenal konsep fungsi yang dapat dihitung dan variable acak, dalam penjumlahan untuk alasan bahwa ini mudah untuk berhubungan dengan bilangan. Sering kali σ field f (seperti himpunan pangkat) terdiri atas banyak himpunan bagian dan kita hanya tertarik pada beberapa dari mereka.salah satu bisa jika definisi variable acak X dengan σ(x) terdiri atas himpunan bagian yang sangat penting. Secara umum, σ(x) berada diantara σ field trivial {, Ω } dan F, dan berisi lebih banyak himpunan bagian jika X lebih dilengkapi. Untuk fungsi yang sederhana I, kita telah menunjukkan bahwa σ(ia) mengandung hanya empat elemen. Kelas fungsi sederhana dikandung oleh kombinasi linear dari indikasi himpunan yang dapat dihitung. k φ(ω) = a i I A, (ω), Dimana A1,.,Ak adalah himpunan yang dapat dihitung pada dan a1,,ak adalah bilangan real. Salah satu dapat ditunjukkan secara langsung bahwa sebuah fungsi adalah fungsi Borel, tetapi mengikuti dengan segera dari dalil 1.4. diberikan A1,,Ak merupakan partisi (sekat) dari Ω. Ai adalah disjoin dan gabungan A1. Ak= Ω. kemudian fungsi sedrhana diberikan oleh (1.8) dengan perbedaan secara langsung karakteristik partisi dan σ(ϕ) = σ({a1,...,ak}). Dalil 1-4- diberikan (Ω,F) sebagai ruang pengukuran. (i) F adalah Borel jika hanya jika f 1 (a,) F untuk semua a anggota R. (ii) (iii) Jika f dan g adalah Borel, maka f.g dan af+bg, dimana a dan b adalah juga merupakan bilangan real. f/g adalah Borel dibagi g(ω) 0 untuk setiap w anggota. Jika f,f, adalah Borel, maka supn fn, infn fn, limn fn, dan lim infn fn. Lebih lanjut himpunan
7 A = {ωεω: lim n ~ f n(ω) ada} Adalah sebuah kejadian dan merupakan fungsi. Adalah Borel (iv) Diperkirakan bahwa f dapat diukur dari (Ω,F) pada (), dan g dapat diukur dari () (v) ke (). Kemudian komposisi fungsi dari gof dapat diukur dari (Ω,F) ke (). Diberikan Ω sebuah himpunan Borel pada R p. jika f adalah fungsi yang kontinu dari Ω ke R p, maka f dapat diukur. Contoh: Misalkan Ω himpunan uncontable. A ={A Ω A countable atau A c cauntable}. Untuk membuktikan A σ-field harus di tunjukkan bahwa A memenuhi A 1 A 2 A dan A1, A2, A3,...Ak-1, maka Jawab : k 1 Ak A 1. A karena countable. Ω A karena Ω c = 2. Misalkan A A, maka A atau A c countable. Bila A countable, maka A = (A c ) c countable, yang berarti A, A c A. Ac A. Bila Ac cauntable, maka dari syarat keanggotaan 3. Untuk membuktikan 3 atau 3 kita menggunakan sifat gabungan countable himpunan Contoh: countable adalah countable. Misalkan kita mempunyai barisan himpunan A1, A2,A3,... dengan Ai A. Terdapat dua kemungkinan Pertama, semua Ai countable, maka dengan menggunakan sifat diatas countable. Ini berarti n=1 An A n=1 Kedua terdapat beberapa Ai dengan Aic countable. Karena ( Ai) c = Ai countable maka Ai A Misalkan Ω = {a,b,c}, A1={, Ω{a},{b,c}} dan A2={, Ω,{b}, {a,c}}. An c Perhatikan bahwa A1 dan A2 merupakan σ fields tetapi A1 A2={, Ω,{a},{b},{a,c},{b,c}} bukan σ -fields karena {a} {b}={a,b} A1 A2 Bila Ω countable (berhingga atau terhitung) kita selalu bisa mengambil 2 Ω sebagai σ-fields. Akan tetapi, bila Ω countable (takhingga tak terhitung), maka karena alasan teknis (Shao, 1999:4), kita mengambil σ-fields yang lebih kecil dari 2 Ω Berikut beberapa kasus khusus untuk Ω = R = {x < x < } Misalkan
8 C1 = {[a,b] a;b R,a<b} C2 = {(a,b) a;b R,a<b} C3 = {[a,b) a;b R,a<b} C4 = {(a,b] a;b R,a<b} Perhatikan bahwa C1,C2,C3,C4 bukan σ-field. Menurut teorema, terdapat σ(c 1 ), σ(c 2 ), σ(c 3 ), σ(c 4 ) dan σ(c 1 C 2 C 3 C 4 ). Menurut Royden σ(c 1 ) = σ(c 2 ) = σ(c 3 ) = σ(c 4 ) = σ(c 1 C 2 C 3 C 4 ) dan disebut dengan -field Borel dan untuk selanjutnya disingkat Borel fields dan diberi notasi B. Anggota Borel fields disebut himpunan Borel. Oleh : Jihan Reni Kholidati ( ) Waqiah ( ) Yora Aziza Rodifa ( )
Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG
Lusi Agustin 131810101004 Ria Ammelia Wahyu 131810101008 Atiqoh Hani R 131810101044 Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG Percobaan acak menjadi percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan
Lebih terperinciMINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA VARIABEL RANDOM Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas dan R = {x < x < } dan B : Borel field pada R. Andaikan X : Ω R dan untuk setiap A R, kita definisikan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciHimpunan dari Bilangan-Bilangan
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN TEORI
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciKuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinci1 PROBABILITAS. Pengertian
PROBABILITAS Pengertian Pada awal perkuliahan, sebelum menjelaskan probabilitas, dibahas sepintas sebagai pengantar tentang eksperimen, titik sampel, ruang sampel, dan peristiwa, serta variabel random
Lebih terperinciBAB 3 KONDISI SPECTRUM. Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang
BAB 3 KONDISI SPECTRUM Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang diperoleh berdasarkan penjelasan - penjelasan yang telah dipaparkan pada bab - bab sebelumnya. Hasil
Lebih terperinciREFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA
REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA Mila Apriliani Utari, Encum Sumiaty, Sumanang Muchtar Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia *Coresponding
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciDISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciMatematika Diskrit. Reza Pulungan. March 31, Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta
Matematika Diskrit Reza Pulungan Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta March 31, 2011 Teori Bilangan (Number Theory) Keterbagian (Divisibility) Pada bagian ini kita hanya akan berbicara
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperinci1. Pada operasi di bawah, tiap titik mewakili satu angka tertentu. Bilangan 3 angka yang ada pada baris IV adalah... A) 830 C) 622 B) 720 D) 525
1. Pada operasi di bawah, tiap titik mewakili satu angka tertentu Kompetisi Matematika PASIAD Se-Indonesia IV + 1. I.. II.... III.... IV... V Bilangan angka ang ada pada baris IV adalah... 80 6 B) 70 D)
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciMODUL 1. A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu.
MODUL 1 A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu. 2. Penyajian Himpunan Suatu himpunan dapat disajikan dengan
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciLampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
LAMPIRAN 33 Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciHidup penuh dengan ketidakpastian
BAB 2 Probabilitas Hidup penuh dengan ketidakpastian Tidak mungkin bagi kita untuk dapat mengatakan dengan pasti apa yang akan terjadi dalam 1 menit ke depan tapi Probabilitas akan memprediksikan masa
Lebih terperinci( ) = dan f 5 3 ( )( ) =? ( ) =. Hitung nilai a. 1. Operasi untuk himpunan bilangan A ={ ,,,,, } didefi nisikan sesuai tabel di bawah ini
1. Operasi untuk himpunan bilangan A ={ 01,,,,, } didefi nisikan sesuai tabel di bawah ini 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Jika x = x x n n 1, x = x x, Hitunglah nilai 1 0 B) 1 D). Sebuah operasi bilangan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciLogika Matematika Teori Himpunan
Pertemuan ke-2 Logika Matematika Teori Himpunan Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2007/2008 Perampatan Operasi Himpunan A1 A2... An = Ai A1 U A2 U... U An = U
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN
K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciLOGO STATISTIKA MATEMATIKA I TEORI PELUANG HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA UNAND
LOGO STATISTIKA MATEMATIKA I TEORI PELUANG HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA UNAND Tujuan Instruksional Khusus 1 Menentukan ruang contoh sebuah percobaan dan kejadiankejadian 2 Mencacah
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciKeterbagian Pada Bilangan Bulat
Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciPERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1
PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}
BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi
Lebih terperinci