ANALISIS RAGAM PEUBAH GANDA (MANOVA)

Transkripsi

1 ANALISIS RAGAM PEUBAH GANDA (MANOVA)

2 ANOVA VS MANOVA Analisis Ragam Satu Peubah (Anova) Analisis Ragam Peubah Ganda (Manova) Pengaruh perlakuan terhadap respon tunggal Pengaruh Perlakuan terhadap multi respons ganda Peubah-peubah respons dianggap saling bebas satu sama Mempertimbangkan adanya ketergantungan antar peubahpeubah respons

3 One-Way MANOVA Pembandingan Vektor Nilai Tengah g Populasi Model linier: X lj = + l + e lj Di mana: j = 1, 2,..., n l dan l = 1, 2,..., g e lj adalah peubah acak N p (0, ), vektor parameter adalah nilai tengah umum, dan vektor pengaruh l mencerminkan pengaruh perlakuan ke-l. Hipotesis: H 0 : 1 = 2 =... = g = 0

4 One-Way MANOVA

5 One-Way MANOVA g l n j lj lj g l n j l lj l lj l l )' )( ( )' )( ( * x x x x x x x x W B W Statistik Uji

6 One-Way MANOVA

7 Ilustrasi: Seorang peneliti bidang kedokteran melakukan percobaan untuk meneliti hubungan di antara aktifitas metabolik di antara kelinci-kelinci percobaan dan daya tahan terhadap kuman tuberculosis (tbc). Peneliti menetapkan 4 perlakuan sebagai berikut: P1 = kontrol (tidak divaksinasi) P2 = diinfeksi (ditularkan) kuman tbc selama aktifitas metabolik rendah. P3 = diinfeksi (ditularkan) kuman tbc selama aktifitas metabolik tinggi. P4 = diinfeksi (ditularkan) kuman tbc selama aktifitas metabolik normal, tetapi terlebih dahulu diirradiasi dengan 400 rontgens. Perlakuan P1 dan P2 diulang sebanyak 7 kali (n1 = n2 = 7), perlakuan P3 diulang 5 kali (n3 = 5), dan P4 diulang sebanyak 2 kali (n4 = 2). Peubah respon yang diamati ada 2 yaitu: Y1 = banyaknya basil yang hidup per tubercle formed (mm). Y2 = banyaknya basil yang hidup per tubercle size (mm).

8 Data hasil pengamatan seperti pada tabel di bawah ini. Banyaknya Basil yang Hidup per Tubercle Formed (Y1) dan Tubercle Size (Y2) dalam mm Ulangan P1 P2 P3 P4 Y1 Y2 Y1 Y2 Y1 Y2 Y1 Y total rata

9 Langkah-langkah teknis perhitungan: Perhitungan Faktor Koreksi (FK) untuk untuk respon Y 1 dan Y 2 FK untuk respon Y 1 2 Y FK n 21 FK untuk respon Y 2 2 Y FK n 21 FK untuk respon Y 1 dan Y 2 Y Y FK n

10 Perhitungan Jumlah Kuadrat Total Terkoreksi (JKT) dan Jumlah Hasil Kali Total Terkoreksi (JHKT) untuk respon Y 1 dan Y 2 JKT untuk respon Y 1 4 ni JKT11 Y1 ij FK i1 j1 2 JKT untuk respon Y 2 4 ni JKT22 Y2ij FK i1 j1 2 JHKT untuk respon Y 1 dan Y 2 JHKT 4 ni 12 Y1 ij Y2ij FK12. i1 j

11 Perhitungan Jumlah Kuadrat Perlakuan Terkoreksi (JKP) dan Jumlah Hasil Kali Perlakuan Terkoreksi (JHKP) untuk respon Y 1 dan Y 2 JKP untuk respon Y 1 4 Y1 i JKP11 FK n JKP untuk respon Y 2 JKP i1 4 2 Y2i 22 FK22. i1 ni JHKP untuk respon Y 1 dan Y Y1i Y2i JHKP12 FK n i1 2 i i

12 Perhitungan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) dan Jumlah Hasil Kali Galat (JHKG) untuk respon Y 1 dan Y 2 JKG untuk respon Y 1 JKG11 JKT11 JKP JKG untuk respon Y 2 JKG 22 JKT22 JKP JHKG untuk respon Y 1 dan Y 2 JHKG JHKT JHKP

13 Hasil perhitungan yang diperoleh sebelumnya dapat dirangkum dalam suatu tabel analisis ragam peubah ganda satu arah (One-way Manova) seperti berikut: Tabel Analisis Ragam Peubah Ganda Satu Arah (One-way Manova) Sumber Keragaman Derajat Bebas (db) Perlakuan (P) 3 Galat (G) 17 Total (T) 20 JK dan JHK P G T

14 Statistik uji Lambda-Wilks (-Wilks), sebagai berikut: G Λ G di mana: G P T G = determinan dari matriks galat (G) T = determinan dari matriks total (T) Selanjutnya besaran yang dihitung dari rumus di atas dibandingkan dengan tabel distribusi U dengan kaidah keputusan sebagai berikut: jika Λ U U p;dbp ;dbg p;db P ;db G maka maka terima tolak di mana: p = banyaknya peubah respon yang diamati. db P = derajat bebas perlakuan. db G = derajat bebas galat. H H 0 0

15 Berdasarkan tabel di atas diperoleh: G T G Λ T Nilai tabel U diperoleh 0 01 U. 2; 3; 17 = karena = < 0 01 U. 2 3; 17 ; = maka sesuai dengan kaidah keputusan diatas maka H0 ditolak.

16 Dalam kasus di atas, p =2, db P =3, hal ini berarti sesuai dengan kriteria transformasi F untuk p =2 dan db P 1, sehingga transformasi dari ke F dapat dilakukan sebagai berikut: 1 Λ dbg 1 F Λ db P Selanjutnya besaran F ini dibandingkan dengan nilai dari tabel F dengan derajat bebas 2 db P ;2(db G 1). Jika kita menetapkan =0.01, maka F 0.01;6;32 = Karena besaran F = > F 0.01;6;32 = 3.434, maka kita menolak H 0 pada taraf =0.01.

17 Analisis Ragam Peubah Ganda Dua Arah (Two-way Manova) Model Linier Yij i j ij i=1,2,..,g dan k=1,2,,b Di mana elj adalah peubah acak Np (0,Σ). Di sini vektor parameter μ adalah nilai tengah umum, Tl mencerminkan pengaruh perlakuan ke-l, dan β mencerminkan pengaruh kelompok ke-b. Hipotesis : H 0 : 1 2 t H : i, i 0, i 1,2,, t 0 1

18 Contoh: Dari data yang mempunyai 3 peubah respon Y1, Y2, dan Y3, yang diamati dari 5 perlakuan yaitu P1, P2, P3, P4, dan P5, yang dikenakan pada 4 kelompok yaitu K1, K2, K3, dan K4, seperti di bawah ini: Data untuk Analisis Ragam Peubah Ganda Dua Arah perl aku an kelompok1 Kelompok 2 Kelompok 3 Kelompok 4 total y1 y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 y3 p p p p p tota l

19 Tabel Manova: (Tehnik perhitungan mirip seperti Manova satu arah) Tabel Analisis Ragam Peubah Ganda Dua Arah Sumber keragaman Kelompok (k) 3 Perlakuan (p) 4 Galat(g) 12 Total(t) 19 Derajat bebas JK dan JHK K P G T

20 Statistik uji Lambda-Wilks sebagai berikut: Λ G G P Kesimpulan: 0.05 U 3;4;12 Nilai Tabel = , jadi karena = > 0 05 U. 3; 4; 12 = , maka kita menerima H 0, dan menyatakan bahwa berdasarkan data yang ada kita belum dapat menolak hipotesis kesamaan pengaruh perlakuan.