Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 003 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 004 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh :

2 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 003 BAGIAN PERTAMA. (Jawaban : A) Teori : Sebuah bilangan bulat habis dibagi 9 jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9. Jumlah digit = = 4 (Tidak habis dibagi 9) Jumlah digit 0000 = = 6 (Tidak habis dibagi 9) Jumlah digit 0000 = = 8 (Tidak habis dibagi 9) Jumlah digit = = 0 (Tidak habis dibagi 9) Banyaknya bilangan yang habis dibagi 3 adalah 0. (Jawaban : A) Angka pertama ada 4 kemungkinan :, 4, 6, 8. Angka ke-, ke-3 dan ke-4 masing-masing ada 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan empat angka yang semua digitnya genap ada : = 500 bilangan. Bilangan kelipatan 003 yang terdiri dari 4 angka adalah : 003, 4006, 6009, 80. Yang semua digitnya bilangan genap hanya Banyaknya bilangan 4 angka yang semua digitnya genap dan bukan merupakan kelipatan 003 ada : 500 = 499 bilangan 3. (Jawaban : B) Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y, maka : X ( 3X 5) 5 = 4 4X 0 = 3X 5 X = 5 Usiaku saat ini 5 tahun X Y 3 = dan ( X 5) = ( Y 5) 4 4. (Jawaban :?) Misalkan M adalah himpunan siswa yang menyukai Matematika ; B adalah himpunan siswa yang menyukai Biologi dan I adalah himpunan siswa yang menyukai Bahasa Inggris. Misalkan n(m B I) = T. Maka banyaknya siswa yang menyukai paling sedikit mata pelajaran adalah T.

3 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 003 Misalkan banyaknya siswa yang tidak menyukai satupun dari ketiga pelajaran tersebut adalah k n(m B I) = n(m) + n(b) + n(i) n(m B) n(m I) n(b I) + n(m B I) T = 40 k = (e + g) (d + g) (f + g) + g T = 40 k = 40 d e f k = d + e + f Tampak ada yang kurang pada soal Kemungkinan maksud soal : a. k = 0, banyaknya siswa yang menyukai hanya pelajaran? n(m B I) = n(m) + n(b) + n(i) n(m B) n(m I) n(b I) + n(m B I) 40 = (e + g) (d + g) (f + g) + g d + e + g = 0 Karena d 0 ; e 0 dan f 0 maka d = 0 ; e = 0 dan f = 0 a + d + e + g = 0 a = = 5 c + d + f + g = 5 c = = 0 b + e + f + g = 5 b = = 0 Banyaknya siswa yang menyukai hanya pelajaran adalah = a + b + c = 35 b. n(m B I) = 40 dan pertanyaan sesuai dengan soal Maka jelas a + b + c + d + e + f + g = 40 ( Catatan : Jawaban asli soal ini adalah 5, tapi bagaimana mendapatkannya? ) 5. (Jawaban : D) Misalkan (a) benar maka (c) dan (d) Benar Berdasarkan (d) hal ini merupakan kontradiksi. Maka (a) salah. Karena (a) salah maka (c) juga salah (d) benar dan (e) juga benar. Akibatnya (b) juga benar. Pernyataan yang benar adalah (b) ; (d) dan (e). Banyaknya penyataan yang benar ada : 3 6. (Jawaban : A) y = ; y 0 y a. Untuk = 0 y = () = y 0 = 0 y y = 0 (Tidak memenuhi syarat awal bahwa y 0) y b. Untuk 0 Berdasarkan pers () y = y = atau y = * Untuk y = = y = 0 = (tidak ada nilai yang memenuhi) y * Untuk y = = y = + y 3 + y = + ( ) = =

4 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota (Jawaban : C) OB adalah jari-jari lingkaran besar dengan pusat O. Misal jari-jari lingkaran dalam = r, maka AB = r Karena OD = OC = r maka OA = r OB = OA + AB = r + r r = = + 8. (Jawaban : B) 3 a = 4 a = 3 log 4 4 b = 5 b = 4 log 5 5 c = 6 c = 5 log 6 6 d = 7 d = 6 log 7 7 e = 8 e = 7 log 8 8 f = 9 f = 8 log 9 abcdef = 3 log 4 4 log 5 5 log 6 6 log 7 7 log 8 8 log 9 = 3 log 9 = abcdef = 9. (Jawaban : C) N bersisa jika dibagi 5 N = 5m + Bilangan-bilangan N adalah, 7,, 7,, N bersisa 3 jika dibagi 7 N = 7n + 3 Bilangan-bilangan N adalah 3, 0, 7, 4, 3, Karena persekutuan terkecilnya 7 maka bilangan yang bersisa jika dibagi 5 dan bersisa 3 jika dibagi 7 akan berbentuk N = (5 7) p + 7 = 35p + 7 dengan p adalah bilangan bulat. Bilanganbilangan N adalah 7, 5, 87,, 57, 9, N bersisa 4 jika dibagi 9 N = 9t + Bilangan-bilangan N adalah 4, 3,, 3, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 03,,, 30, 39, 48, 57, 66, Karena persekutuan terkecilnya adalah 57, maka bilangan yang bersisa jika dibagi 5, bersisa 3 jika dibagi 7 dan bersisa 4 jika dibagi 9 akan berbentuk N = (35 9)k + 57 N = 35k + 57 N min = 57 jika k = 0 Jumlah digit dari N min adalah = = 3 0. (Jawaban : C) Gradien = y y ( ) m 9 m = 7 m m = 3 m + 9 = 7m m m 6m + 9 = 0 (m 3) = 0

5 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 003 BAGIAN KEDUA. f + f ( ) = * Untuk = f = () f f = f f () = 8 () () + f * Untuk = () 4 Pers () Pers () f() = 9 f() = 9. a b = 003 (a + b) (a b) = 003 * Untuk a + b = 003 dan ( a b) = didapat a = 004 a = 00 dan b = 00 b = 00 a + b = (00) + (00) = * Untuk (a + b) = dan (a b ) = 003 didapat a = 004 a = 00 dan b = 00 b = 00 a + b = (00) + ( 00) = a + b = Alternatif : * Jika orang siswa akan dibentuk kelompok Banyaknya cara ada * Jika 4 orang siswa (misal A, B, C dan D) akan dibentuk menjadi kelompok yang masingmasing beranggota orang Pasangkan A dengan salah satu anggota lainnya. Maka sisanya adalah membentuk kelompok yang masing-masing beranggota orang. Banyaknya cara ada. Karena kemungkinan pasangan A ada 3, maka banyaknya cara dari 4 orang siswa akan dibentuk kelompok yang masing-masing beranggota dua orang adalah 3 = 3 cara. * Jika 6 orang siswa (misal A, B, C, D, E dan F) akan dibentuk menjadi 3 kelompok yang masingmasing beranggota orang Pasangkan A dengan salah satu anggota lainnya. Maka sisanya adalah membentuk kelompok yang masing-masing beranggota orang. Banyaknya cara ada 3. Karena kemungkinan pasangan A ada 5, maka banyaknya cara dari 6 orang siswa akan dibentuk 3 kelompok yang masing-masing beranggota dua orang adalah 5 3 = 5 cara.

6 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 003 * Jika 8 orang siswa (misal A, B, C, D, E, F, G dan H) akan dibentuk menjadi 4 kelompok yang masing-masing beranggota orang Pasangkan A dengan salah satu anggota lainnya. Maka sisanya adalah membentuk 3 kelompok yang masing-masing beranggota orang. Banyaknya cara ada 5 3. Karena kemungkinan pasangan A ada 7, maka banyaknya cara dari 8 orang siswa akan dibentuk 4 kelompok yang masing-masing beranggota dua orang adalah = 05 cara. * Jika 0 orang siswa (misal A, B, C, D, E, F, G, H, I dan J) akan dibentuk menjadi 5 kelompok yang masing-masing beranggota orang Pasangkan A dengan salah satu anggota lainnya. Maka sisanya adalah membentuk 4 kelompok yang masing-masing beranggota orang. Banyaknya cara ada Karena kemungkinan pasangan A ada 9, maka banyaknya cara dari 0 orang siswa akan dibentuk 5 kelompok yang masing-masing beranggota dua orang adalah = 945 cara. Alternatif : Pilih salah satu siswa. Banyaknya cara memasangkan siswa tersebut dengan siswa lain adalah 9 C. Pilih salah satu siswa dari 8 siswa yang sisa. Banyaknya cara memasangkan siswa tersebut dengan siswa yang lain adalah 7 C. Pilih salah satu siswa dari 6 siswa yang sisa. Banyaknya cara memasangkan siswa tersebut dengan siswa yang lain adalah 5 C. Pilih salah satu siswa dari 4 siswa yang sisa. Banyaknya cara memasangkan siswa tersebut dengan siswa yang lain adalah 3 C. Sisanya adalah orang siswa yang tidak dapat dipilih lagi. Banyaknya cara membentuk kelima kelompok adalah 9 C 7 C 5 C 3 C = 945. Banyaknya cara membentuk kelima kelompok tersebut adalah Misal f() = f() = f(3) = f(4) = f(5) = k Dibentuk persamaan polinomial : g() = 5 + a 4 + b 3 + c + d + c k g() = f() k Jelas bahwa g() = g() = g(3) = g(4) = g(5) = 0 Berarti bahwa ; ; 3; 4 dan 5 adalah akar-akar persamaan polinomial g() = a 4 + b 3 + c + d + c k = = B a = = a A Karena akar-akarnya adalah ; ; 3; 4 dan 5 maka : = a a = 5 5. S = L S = L S = L

7 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 003 S = S = Misalkan pada hari tersebut Iwan berbohong dan dengan berdasarkan perkataannya, pada hari sebelumnya Iwan harus berkata jujur. Akibatnya hari tersebut adalah Senin karena pada hari Minggu Iwan berkata jujur. Pada hari Senin Budi berkata jujur. Maka berdasarkan perkataannya berarti pada hari Minggu Budi berbohong. Hal tersebut kontradiksi karena pada hari Minggu Budi berkata jujur. Misalkan pada hari tersebut Iwan berkata jujur dan dengan berdasarkan perkataannya, pada hari sebelumnya Iwan harus berkata bohong. Akibatnya hari tersebut adalah Kamis karena Rabu Iwan berbohong. Pada hari Kamis Budi berkata bohong. Maka berdasarkan perkataannya berarti pada hari Rabu Budi berkata jujur. Hal tersebut sesuai karena pada hari Rabu Budi berkata jujur. Percakapan tersebut terjadi pada hari Kamis 7. CBA = 60 o ABD = 30 o BAD = 80 o BAC = 0 o BD AB = sin BAD sin ADB sin0 BD = sin 30 BD = 3 ADB = 80 o 0 o 30 o = 30 o BD = sin 0 sin Karena 8 = 9 dan 00 = 0 maka = 9 dipenuhi oleh 8 < 00 Karena 44 = dan 69 = 3 maka y = dipenuhi oleh 44 y < 69 y min = y min maks = 44 99,99 = 44,00 y min = Nilai total = 3 ( ) = 36 Misal nilai pemenang = Nilai sisa = 36 Agar minimum maka nilai sisa harus terdistribusi merata kepada 4 pelari lain. Misal nilai masingmasing pelari lain = y + 4y = 36 dengan > y 4 > 4y 4 > 36 5 > 36 = 8 4y = 8 y = 7 Kombinasi nilai 7 adalah (5,,) ; (,5,) ; (3,,3) ; (,3,). Karena masing-masing nilai, 3 dan 5 tidak lebih dari tiga kali dan nilai tidak lebih dari 6 kali, maka kombinasi di atas memenuhi. Nilai minimum pemenang adalah 8

8 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota a, b, c, d, e, f, g, h, i 9 Karena a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan bulat berbeda maka : a + b + c + d + e + f + g + h + i = = 45 Misal masing-masing lingkaran berjumlah k dan karena ada 9 lingkaran, maka : (a++i)+(b++a)+(c+3+b)+(d+4+c)+(e+5+d)+(f+6+e)+(g+7+f)+(h+8+g)+(i+9+h) = 9k ( ) + (a + b + c + d + e + f + g + h + i) = 9k = 9k k = 5 a + + i = 5 a + i = 4 Kemungkinan nilai a dan i adalah : a = 5 dan i = 9 atau a = 9 dan i = 5 atau a = 6 dan i = 8 atau a = 8 dan i = 6. i h = 5 i + h = 6 Kemungkinan nilai h dan i adalah : h = dan i = 5 atau h = 5 dan i = atau h = dan i = 4 atau h = 4 dan i =. Irisan dari kedua persamaan di atas didapat i = 5 h = a = 9 b + + a = 5 b = 5 9 = 4 c b = 5 c = = 8 d c = 5 d = = 3 e d = 5 e = = 7 f e = 5 f = = g f = 5 g = 5 7 = 6 a + d + g = = 8