INTERPOLASI: METODE LAGRANGE

Transkripsi

1 1 INTERPOLASI: METODE LAGRANGE Pertemuan ke-1: 0 Desember 01 Dr.Eng. Agus S. Muntohar

2 Apa Interpolasi? Diberikan data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x n,y n ), nilai y diperoleh pada x yang tidak diketahui nilainya. Gambar 1 Interpolasi data diskrit. Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering

3 Interpolan Bentuk polinomial merupakan interpolan yang paling sering dipilih karena mudah untuk melakukan: Evaluasi Turunan, dan Integral Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering

4 Interpolasi Lagrangian 4 Interpolasi polinomial Langrangian dinyatakan sebagai n f x L xf x i i i i0 Dimana n = pangkat polinomial ke-n yang didekati dengan fungsi y = f(x) untuk setiap (n+1) titik data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),,(x n-1,y n-1 ),(x n,y n ) dan L i x n x x j0 i j ji L i (x) = fungsi bobot (weighting function) untuk hasil ke (n-1) dimana untuk hasil j = I diabaikan x x j

5 Contoh 1 5 Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu t, s vt, m/s Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering Gambar Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1

6 Interpolasi Linier Lagrange (1) 6 1 v( t) L( t) v( t ) t t i0 i i L t v( t ) L t v( t ) ; v t ; v t y s f( range) fx de sire d x s0 10 x s range x de sire d x s1 10

7 Interpolasi Linier Lagrange () 7 L 0 1 t L t 1 t tj t t1 t t t t j0 0 j 0 1 ji 1 t tj t t t t t t j0 1 j 1 0 ji t t t t v t v t v t t t t t t0 t ms

8 Interpolasi Kuadratik Lagrange 8 Interpolasi polinomial pangkat atau kuadratik dapat dinyatakan sebagai v( t) L( t) v( t ) i0 i i L t v( t ) L t v( t ) L t v( t )

9 Contoh 9 Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kuadratik Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu t, s vt, m/s Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering Gambar Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1

10 Interpolasi Kuadratik Lagrange () 10 t t t L 10; v t ; v t ; v t t t t t t t t j 1 j0 t0 t j t0 t1 t0 t ji y s f( range) fx de sire d L 1 L t t t t t t t t j 0 j0 t1 t j t1 t0 t1 t ji tt t t t t j 0 1 j0 t t j t t0 t t1 ji x s range x de sire d 0

11 Interpolasi Kuadratik Lagrange () 11 t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t v Kesalahan relatif terhadap interpolasi linier a % m/s

12 Interpolasi Kubik Lagrange 1 Interpolasi polinomial pangkat atau kubik dapat dinyatakan sebagai v( t) L( t) v( t ) i0 i i L t v( t ) L t v( t ) L t v( t ) L t v( t ) y s f( range) fx de sire d x s range x de sire d.5

13 Contoh 1 Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kubik Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu t, s vt, m/s Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering Gambar Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1

14 Interpolasi Kubik Lagrange () 14 t 10; v t 7.04; t 15; v t t 0; v t 517.5; t.5; v t L 0 1 t L t L L t t tt t t t t tt j 1 j0 t0 t j t0 t1 t0 t t0 t ji tt t t tt t t j 0 j0 t1 t j t1 t0 t1 t t1 t ji tt t t tt t t j 0 1 j0 t t j t t0 t t1 t t ji tt tt t t t t j 0 1 j0 t t j t t0 t t1 t t ji y s f( range) fx de sire d x s range x de sire d.5

15 Cubic Interpolation (contd) 15 t t t t t t t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t t t t t t t v t t t t t t t t t t t t vt Kesalahan relatif terhadap interpolasi kuadratik a % m/s

16 16 Perbandingan Hasil Hitungan Metode Lagrange dan NDD Metode NDD Pangkat Polinomial: 1 v(t=16) m/s Kesalahan relatif % % Metode Lagrange Pangkat Polinomial: 1 v(t=16) m/s Kesalahan relatif % 0.069%

17 Distance from Velocity Profile 17 Find the distance covered by the rocket from t=11s to t=16s? v( t) ( t ( t 57.5t 47.5t v( t) t t t, 10 t s ( 16) s(11) v( t) dt ( t t t ) dt 11 4 t t t [ 4.45t ] m t 6750)( 0.66) ( t 71.5t 75)( 4.188) ( t 5.5t 45t 875t 4500)(1.948) 650t 000)(.577) 16 11

18 Acceleration from Velocity Profile 18 Find the acceleration of the rocket at t=16s given that v( t) t t t, 10 t. 5 a d d, t vt t t t dt dt t 0.016t a ( 16) (16) 0.016(16) m / s