PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG DISPERSI TAKLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPI LILIS SURYANI

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG DISPERSI TAKLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPI LILIS SURYANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya enyaakan bahwa esis Penyelesaian Masalah Gelobang Dispersi Taklinear dengan Menggunakan Meode Hooopi adalah karya saya dengan arahan dari koisi pebibing dan belu diajukan dala benuk apapun kepada perguruan inggi anapun. Suber inforasi yang berasal aau kuipan dari karya yang dierbikan dari penulis lain elah disebukan dala eks dan dicanukan dala Dafar Pusaka di bagian akhir esis ini. Bogor, Juli Lilis Suryani NIM G5597

3 ABSTRACT LILIS SURYANI. Solving Nonlinear Wave Dispersion Probles using Hooopy Mehod. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI. Many naural phenoena can be presened in aheaical odels, such as he nonlinear Whiha-Broer-Koup (WBK) wave equaion. WBK equaion describes wave propagaion in shallow waers conaining dispersion facor. In his paper, WBK equaion will be solved by using hooopy ehod. Hooopy ehod is an approxiaed analyical ehod, which can be used o obain he soluion of nonlinear probles. The resuls of his sudy indicae ha hooopy ehod is highly efficien o solve he WBK equaion. Errors resuling fro his ehod are very sall, so he soluion obained is very close o is exac soluion. One special case of WBK equaion discussed in his sudy is Boussinesq equaion, which has a wave nuber of. and a frequency of.4. The wave iniially for a single wave, bu hen i breaks ino wo waves, each oving in opposie direcions a equal speed. Keywords: Hooopy ehod, nonlinear wave dispersion, WBK equaion..

4 RINGKASAN LILIS SURYANI. Penyelesaian Masalah Gelobang Dispersi Taklinear dengan Menggunakan Meode Hooopi. Dibibing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI. Salah sau perisiwa ala yang erjadi di danau, sungai, uara dan saudera adalah gerak gelobang. Munculnya gerak gelobang pada perukaan air disebabkan oleh perbedaan rapa assa anara air dan udara. Gerak gelobang yang erjadi dapa juga disebabkan oleh hal lain seperi gerak gelobang sunai yang disebabkan oleh pergerakan lepeng bui aau leusan gunung berapi di bawah lau, sera gerak gelobang pasang yang disebabkan oleh gaya arik benda-benda langi. Kajian aeais engenai gerak gelobang sanga kopleks dan idak dapa diruuskan secara epa. Oleh karena iu, kajian aeais dari fenoena gerak gelobang yang erjadi di ala dilakukan dengan enabahkan beberapa asusi. Salah sau persaaan aeais yang enyaakan perabaan gelobang yang akan diinjau adalah persaaan Whiha-Brour-Kaup (WBK) yang erupakan kobinasi dari dua persaaan, yaiu persaaan Whiha dan persaaan Broer-Koup. Persaaan WBK endeskripsikan perabaan gelobang aklinear pada perairan dangkal yang eua fakor dispersi. Salah sau kasus khusus dari persaaan WBK adalah persaaan Boussinesq. Selain iu, unuk enenukan penyelesaian dari asalah persaaan gelobang aklinear sangalah suli, baik secara analiik aupun secara nuerik, sehingga banyak penelii yang elakukan peneliian unuk enyelesaikan asalah persaaan gelobang aklinear. Salah sau eode pendekaan analiik yang digunakan unuk enyelesaikan asalah gelobang aklinear adalah eode hooopi. Dala peneliian ini, peraa akan diurunkan persaaan gelobang aklinear. Selanjunya, dengan enggunakan relasi dispersi diperoleh persaaan gelobang yang elibakan fakor dipersi. Persaaan gelobang aklinear yang elibakan fakor dispersi yang bersesuaian adalah persaaan WBK. Selanjunya, persaaan WBK akan diselesaikan dengan enggunakan eode hooopi dengan enggunakan dua pendekaan awal yang berbeda. Masing-asing penyelesaian persaaan WBK dengan enggunakan eode hooopi akan dibandingkan dengan dua penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan yang bersesuaian. Dala eode ini, erlebih dahulu dikonsruksi suau persaaan hooopi berdasarkan persaaan WBK, keudian diruuskan benuk dari deforasi orde inggi berdasarkan penyelesaian pendekaan awal yang diberikan pada deforasi orde nol. Penyelesaian persaaan WBK dengan enggunakan eode hooopi diperoleh dala benuk dere yang suku-sukunya diperoleh dari deforasi orde nol dan deforasi orde inggi. Penyelesaian dengan eode ini digabarkan dengan banuan sofware Maeaica. Inerpreasi hasil dilakukan berdasarkan orde deforasi dere yang digunakan. Hasil yang diperoleh dala peneliian ini enunjukkan bahwa eode hooopi sanga efisien unuk enyelesaikan persaaan WBK. Gala yang dihasilkan dari eode ini sanga kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan eode ini endekai penyelesaian yang sesungguhnya sedangkan gala erkecil diperoleh pada saa paraeer abahan bernilai -. Selain iu, dala

5 peneliian ini dikaji suau kasus khusus dari persaaan WBK yaiu persaaan Boussinesq. Pada persaaan Boussinesq yang dikaji, jika bilangan gelobang sebesar.,aka berdasarkan relasi dispersi diperoleh frekuensi gelobang sebesar.4, sehingga diperoleh kecepaan gelobang sebesar.. Berdasarkan besaranbasaran ersebu, aka gelobang Boussinesq yang diperoleh erupakan gelobang yang awalnya berupa gelobang unggal, eapi seakin laa gelobang erpecah enjadi dua bagian yang asing-asing begerak dala dua arah yang berlawanan yaiu ke kiri dan ke kanan dengan kecepaan yang saa dan apliudo yang idak berubah.

6 Hak Cipa ilik Insiu Peranian Bogor, ahun Hak Cipa dilindungi Undang-Undang. Dilarang enguip sebagian aau seluruh karya ulis ini anpa encanukan aau enyebukan suber. a. Penguipan hanya unuk kepeningan pendidikan, peneliian, penulisan karya iliah, penyusunan laporan, penulisan kriik, aau injauan suau asalah b. Penguipan idak erugikan kepeningan yang wajar Insiu Peranian Bogor. Dilarang enguukan dan eperbanyak sebagian aau seluruh Karya ulis dala benuk apa pun anpa izin Insiu Peranian Bogor.

7 PENYELESAIAN MASALAH GELOMBANG DISPERSI TAKLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPI LILIS SURYANI Tesis sebagai salah sau syara unuk eperoleh gelar Magiser Sains pada Progra Sudi Maeaika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

8 Penguji Luar Koisi pada Ujian Tesis: Dr. Toni Bakhiar, M.Sc.

9 Judul Tesis : Penyelesaian Masalah Gelobang Dispersi Taklinear dengan Menggunakan Meode Hooopi Naa : Lilis Suryani NIM : G5597 Diseujui Koisi Pebibing Dr. Jaharuddin, M.S. Keua Drs. Siswandi, M.Si. Anggoa Dikeahui Keua Progra Sudi Maeaika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian : Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjakan kepada Allah SWT aas segala karunia- Nya sehingga karya iliah ini dapa diselesaikan. Tea yang dipilih dala peneliian yang dilaksanakan sejak bulan Nopeber ini adalah gelobang perukaan, dengan judul Penyelesaian Masalah Gelobang Dispersi Taklinear dengan Menggunakan Meode Hooopi. Teria kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. asing-asing selaku keua dan anggoa Koisi Pebibing, sera bapak Dr. Toni Bakhiar, M.Sc. selaku penguji luar Koisi dan selaku Dosen Progra Sudi Maeaika Terapan yang elah banyak eberikan saran. Ucapan eria kasih juga penulis sapaikan pada Keenrian Agaa Republik Indonesia yang elah eberikan beasiswa, dan ungkapan eria kasih juga disapaikan kepada Suai David Ryan, S.Pd.I dan buah haiku Zakiyyah Hibaullah sera seluruh keluarga, aas segala doa dan kasih sayangnya. Seoga karya iliah ini beranfaa. Bogor, Juli LILIS SURYANI

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Curup Bengkulu pada anggal 7 Mei 979 dari bapak Abdul Rozak (Al) dan ibu Asara Juia. Penulis erupakan puri kelia dari ena bersaudara. Tahun 997 penulis lulus dari SMU Negeri Curup, Bengkulu dan pada ahun yang saa enepuh pendidikan sarjana di Progra Sudi Pendidikan Maeaika, Fakulas Keguruan dan Ilu Pendidikan, Universias Bengkulu, lulus pada ahun. Tahun penulis enjadi saf pengajar di Madrasah Aliyah Negeri Curup, ahun 5 enjadi guru MTs Negeri Padang Ulak Tanding dan pada ahun 7 penulis dipindah ugaskan sebagai saf pengajar di Mandrasah Aliyah Negeri Curup. Pada ahun 9, penulis dieria di Progra Sudi Maeaika Terapan pada Sekolah Pascasarjana Insiu Peranian Bogor elalui jalur Beasiswa Uusan Daerah Keenerian Agaa Republik Indonesia.

12 DAFTAR ISI H Halaan DAFTAR GAMBAR.. xiii DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... I PENDAHULUAN.... Laar Belakang.... Tujuan Peneliian..... Meode Peneliian.4. Siseaika Penulisan.. II LANDASAN TEORI..... Persaaan Dasar Fluida.... Penyelesaia Persaaan WBK dala Benuk Gelobang Berjalan... Meode Hooopi... III PEMBAHASAN DAN HASIL.... Analisis Meode. Aplikasi Meode IV KESIMPULAN DAN SARAN. DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... xiv xv

13 DAFTAR GAMBAR Halaan. Fluks assa yang keluar - asuk pada eleen luas.... Benuk gelobang Boussinesq..... Kecepaan arus dari persaaan Boussinesq

14 DAFTAR TABEL Halaan. Tabel gala aara penyelesaian dengan enggunakan eode hooopi dan penyelesaian eksak.... Tabel gala anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan dari nilai.. Tabel gala anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan dari nilai u.. Tabel gala anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan pada persaaan (.7)

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaan. Lapiran.. a. Penurunan persaaan (.).. b. Penurunan Persaaan (.8) dan persaaan (.9)... c. Penyelesaian nilai awal (.46). Lapiran.. a. Penurunan persaaan (.).. b. Penurunan persaaan (.8).. c. Penurunan persaaan (.) dan persaaan (.)

16 I PENDAHULUAN. Laar Belakang Salah sau perisiwa ala yang erjadi di sungai, danau, uara dan lauan adalah gerak gelobang. Munculnya gerak gelobang pada perukaan air disebabkan oleh perbedaan rapa assa anara air dan udara. Gerak gelobang yang erjadi dapa juga disebabkan oleh hal lain seperi gerak gelobang sunai yang disebabkan oleh pergerakan lepeng bui aau leusan gunung berapi di bawah lau, sera gerak gelobang pasang yang disebabkan oleh gaya arik benda-benda langi. Selain uncul di perukaan lau, gerak gelobang juga uncul di bawah perukaan air lau. Gelobang yang uncul di bawah perukaan air lau disebu gelobang inernal. Keberadaan gelobang ini idak dapa diliha secara kasa aa, naun dapa dideeksi elalui pola gelap dan erang yang uncul di perukaan lau yang napak pada foo saeli. Kajian aeais engenai gerak gelobang sanga kopleks dan idak dapa diruuskan secara epa. Oleh karena iu, kajian aeais dari fenoena gelobang yang erjadi di ala dilakukan dengan enabahkan beberapa asusi. Selain iu, unuk enenukan penyelesaian dari asalah persaaan gelobang sangalah suli, baik secara analiik aupun secara nuerik. Banyak penelii yang erarik unuk encari penyelesaian asalah persaaan gelobang dengan berbagai eode yang dierapkan pada beberapa jenis dari persaaan gelobang. Salah sau persaaan aeais yang enyaakan perabaan gelobang yang akan diinjau adalah persaaan Whiha-Brour-Kaup (WBK) yang erupakan kobinasi dari dua persaaan, yaiu persaaan Whiha dan persaaan Broer-Koup. Persaaan WBK endeskripsikan perabaan gelobang aklinear pada perairan dangkal yang eua fakor dispersi dan salah sau kasus khusus dari persaaan WBK adalah persaaan Boussinesq. Beberapa penelii elah engkaji perabaan gelobang baik di perairan yang cukup dala aupun di perairan dangkal dengan beberapa eode. Guiqiong dan Zhibin [] elah enenukan penyelesaian dari persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan. Rhasidi [-] dan Ganji, e al. [4] elah

17 enenukan penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan asing-asing dengan enggunakan Hooopy Analysis Mehod (HAM), Differenial Transfor Mehod (DTM) dan Hooopy Perurbaion Mehod (HPM). Mainfar, e a.l [5] enggunakan Variaional Ieraion Mehod (VIM) unuk enenukan penyelesaian persaaan WBK yang idak perlu berupa gelobang berjalan. Dala peneliian ini, persaaan WBK yang idak perlu berupa gelobang berjalan akan diselesaikan dengan enggunakan eode hooopi. Meode Hooopi dikebangkan oleh Liao pada ahun 99. Meode Hooopi adalah suau eode pendekaan analiik unuk enyelesaikan asalah ak linear [6]. Dala peneliian ini, air lau dianggap sebagai suau fluida ideal, yaiu fluida yang akapa (incopressible) dan akkenal (inviscid). Doain fluida diisalkan hanya berdiensi dua, eskipun kenyaaannya berdiensi iga.. Tujuan Peneliian Berdasarkan laar belakang di aas, ujuan dari peneliian ini adalah: Menurunkan persaaan gerak unuk perabaan gelobang dispersi aklinear. Menggunakan eode hooopi unuk enghapiri penyelesaian odel aeais yang elah diperoleh. Meberikan penafsiran erhadap gerak gelobang unuk kasus gelobang Boussinesq.. Meodologi Peneliian Dala Peneliian ini akan dibahas persaaan gerak gelobang perukaan pada perairan dangkal yang erupakan persaaan Whiha-Brour- Koup (WBK). Persaaan WBK erupakan kobinasi dari dua persaaan, yaiu persaaan Whiha dan persaaan Broer-Koup. Persaaan WBK endeskripsikan perabaan gelobang perukaan yang aklinear dan dispersif pada perairan dangkal. Persaaan WBK eua benuk aklinear, sehingga suli diselesaikan baik secara analiik aupun secara nuerik. Dala peneliian ini

18 diusulkan suau eode pernyelesaian persaaan WBK yang disebu eode hooopi. Dala eode hooopi unuk enyelesaikan persaaan WBK diperlukan suau fungsi real yang disebu hooopi, yang erdefinisi pada,, dengan adalah doain dari penyelesaian persaaan WBK. Dala fungsi hooopi ini dilibakan suau paraeer q dala,. Keberhasilan eode hooopi ini dipengaruhi oleh peilihan fungsi hooopi dan paraeer q pada,. Perubahan nilai q dari nol ke sau akan enenukan keberhasilan eode ini. Selanjunya diberikan suau penyelesaian pendekaan awal dari persaaan WBK, yang disebu deforasi orde nol. Dala deforasi orde nol akan uncul suau besaran baru yang akan dienukan dala deforasi orde yang lebih inggi. Dala deforasi orde yang lebih inggi diperlukan suau paraeer yang harus dipilih. Peilihan paraeer ini sanga epengaruhi validias dari eode hooopi ini. Dala hal ini doain penyelesaian persaaan WBK dengan eode hooopi akan endekai doain penyelesaian eksaknya..4 Siseaika Penulisan Karya iliah ini erdiri dari epa bab. Bab peraa erupakan pendahuluan yang berisi laar belakang, ujuan peneliian, eodologi peneliian, dan siseaika penulisan. Bab kedua berupa landasan eori yang berisi persaaan dasar fluida, penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan dan konsep dari eode hooopi yang akan digunakan unuk enyelesaikan persaaan WBK. Bab keiga berupa hasil dan pebahasan yang berisi analisis eode hooopi yang akan digunakan unuk enyelesaikan persaaan WBK dan aplikasinya. Bab keepa berisi kesipulan dan saran.

19 4 II LANDASAN TEORI Dala bab ini akan diberikan eori-eori yang berkaian dengan peneliian ini. Teori-eori ersebu elipui persaaan dasar fluida yang akan disarikan dari Billingha dan King [7], dan Wiha [8]. Penyelesaian gelobang berjalan persaaan WBK yang disarikan dari Xie, e a.l [9] dan konsep eode hooopi berdasarkan rujukan Liao [6].. Persaaan Dasar Fluida Secara uu fluida dikenal eiliki kecenderungan unuk bergerak aau engalir. Dala penurunan persaaan dasar fluida diperlukan asusi bahwa air dianggap sebagai fluida akapa (incopressible), akberoasi (irroaional) dan akkenal (inviscid). Unuk enurunkan persaaan dasar fluida diperlukan huku kekekalan assa dan huku kekekalan oenu. Huku kekekalan assa pada suau sise enyaakan laju perubahan assa, yaiu selisih anara assa yang asuk dengan assa yang keluar pada sise ersebu. Huku kekekalan oenu pada suau sise enyaakan laju perubahan oenu, yaiu oenu yang asuk dan yang keluar diabah gaya-gaya yang bekerja pada sise ersebu. Gabar.. Fluks assa yang keluar - asuk pada eleen luas Unuk endapakan persaaan koninuias, aka perhaikan Gabar.. Jika rapa assa dan kecepaan parikel pada arah horizonal u, aka fluks

20 5 assa yang asuk dari sisi kiri dengan keinggian ( h ) adalah uh ( ), dengan sipangan gelobang dan h kedalaan air. Fluks assa yang keluar dari sisi kanan adalah uh ( ) dievaluasi di x x. Jika uraian Taylor digunakan, aka diperoleh u ( h ) u ( h ) u ( h ). xx x Jadi fluks assa yang keluar dari sisi kanan adalah u( h ) ( u( h )) x. x Pada sisi aas, kecepaan perukaan erupakan kecepaan parikel di perukaan, yaiu, sehingga fluks assanya adalah x. Karena diasusikan fluida berupa fluida akapa (incopressible), aka julah fluks assa yang asuk dikurangi dengan fluks assa yang keluar saa dengan nol, sehingga aau aau u( h ) u( h ) ( u( h )) x x uh ( ) x x x uh ( ) x x, x Jika persaaan (.) dibagi dengan x, aka diperoleh aau uh ( ) x Jika peranan h u h u. x x digani dengan, aka diperoleh (.) u u. x x (.)

21 6 Selanjunya diasusikan doain fluida dibaasi oleh dasar raa. Jadi kecepaan aliran fluida idak berganung pada kedalaan fluida, sehingga kecepaan parikel pada arah verikal dianggap sanga kecil. Berdasarkan huku kekekalan oenu pada arah verikal diperoleh persaaan beriku: v v v p u v g. (.) x y y dengan u adalah kecepaan parikel dala arah horizonal dan v adalah kecepaan parikel pada arah verikal, p ekanan fluida dan g gaya graviasi. Jika percepaan fluida pada arah verikal diabaikan, aka persaaan (.) enjadi p g y aau p g. (.4) y Jika persaaan (.4) diinegralkan erhadap y, aka diperoleh p p g y (.5). Selanjunya berdasarkan huku kekekalan oenu pada arah horizonal diperoleh u u u u v p. (.6) x y x Jika urunan oal dari u adalah Du u u u v u, D x y aka persaaan (.6) dapa diulis Du p. (.7) D x Karena u u( x, ), aka persaaan (.6) enjadi u u p u. x x Jika persaaan (.5) diurunkan erhadap x, aka diperoleh (.8)

22 7 p g x x sehingga persaaan (.8) enjadi u u u, x x dan diasusikan g. (.9) Persaaan (.) dan (.9) adalah persaaan gelobang aklinear yang engabaikan fakor dispersi. Selanjunya akan diinjau gelobang dengan relasi dispersi yang diberikan sebagai beriku: k 4 (.) dengan frekuensi gelobang, k bilangan gelobang sera dan suau konsana. Gelobang yang diperoleh eiliki sifa dispersi, yaiu kecepaan gelobang c berganung kepada bilangan gelobang k yang diruuskan sebagai beriku: c. (.) k Apabila diabil dan, aka relasi dispersi yang diperoleh erupakan relasi dispersi bagi persaaan Boussinesq. Sedangkan apabila dan, relasi dispersi yang diperoleh erupakan relasi dispersi bagi persaaan gelobang panjang [9]. Persaaan Boussinesq adalah suau persaaan gerak gelobang yang eraba dala dua arah. Relasi dispersi yang diberikan pada persaaan (.) dapa diulis i ( ik) ik ( ik) i ( ik). (.) Jika k berkorespondensi dengan i dan berkorespondensi dengan i, x aka relasi dispersi pada persaaan (.) berkorespondensi dengan persaaan beriku xx u x xx aau

23 8 u u x xx u. xxx xx (.) Penurunan persaaan (.) diberikan pada Lapiran a. Persaaan (.) erupakan persaaan gelobang yang elibakan fakor dispersi. Dengan deikian persaaan gelobang aklinear dan bersifa dispersi diberikan sebagai beriku: u u u u x x x (.4) u u u, x x x x dengan adalah sipangan gelobang yang diukur dari dasar fluida. Persaaan (.4) disebu persaaan Whiha-Broer-Koup (WBK). Berdasarkan Xie, e al. [9] diperoleh penjelasan engenai penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan seperi yang akan dibahas pada bagian selanjunya. Selain iu, persaaan WBK akan diselesaikan dengan eode hooopi dan ebandingkan kedua hasil yang diperoleh.. Penyelesaian persaaan WBK dala benuk gelobang berjalan Misalkan penyelesaian persaaan (.4), dinyaakan dala benuk gelobang berjalan beriku: u( x, ) ( ), ( x, ) ( ), (.5) dengan k( x x ), dan x adalah konsana sebarang. Jika persaaan (.5) disubsiusikan ke dala persaaan (.4), aka diperoleh k k k k, k k k k. Jika persaaan di aas dibagi dengan k, aka diperoleh

24 9 k, k k. (.6) Dengan enggunakan eode koefisien peubah, isalkan penyelesaian persaaan (.6) eiliki benuk beriku: ( ) b acosh bsinh, ( ) B A cosh B sinh A cosh sinh B sinh, (.7) dengan b, b, B, A, B, A, B akan dienukan, sedangkan berganung pada dan eenuhi diperoleh sinh. Jika persaaan (.7) disubsiusikan ke dala persaaan (.6), aka A ab b k b b B b ab A a a b B a k sinh cosh sinh sinh cosh sinh A ab bk sinh b A ba ab B k A sinh aa bb b B b k A k B cosh sinh b A ab ba ab 4ak 4B k A sinh aa b B bb A k B cosh sinh b A ab ba B k A sinh aa bb 6bk 6A k cosh sinh ba ab ba ab 6a k 6B k sinh 4 (.8) (.9) Karena sinh, dan cosh unuk seiap, aka dari persaaan (.8) dan (.9) diperoleh sise persaaan beriku:

25 A ab bk b b B b ab A a a b B ak A ab b k b A ba ab B k A aa bb b B b k A k B b A ab ba ab 4ak 4B k A aa b B bb A k B b A ab ba B k A aa bb 6bk 6A k ba ab ba ab 6ak 6B k. (.) Penurunan persaaan (.8) dan (.9) dapa diliha pada Lapiran b. Dengan enggunakan banuan sofware Maheaica diperoleh dua kasus penyelesaian dari persaaan (.). Kasus peraa diperoleh penyelesaian sebagai beriku: B B A A b, b B a k.5.5 k, sedangkan kasus kedua diperoleh penyelesaian sebagai beriku: B B A, b, a k b a,.5 a b( a k ), B a( a k )., (.) (.) Dengan deikian penyelesaian persaaan (.6) berdasarkan kasus peraa, diperoleh: k.5 cosh k.5 sinh dan berdasarkan kasus kedua, diperoleh: (.)

26 k cosh k.5 k cosh.5.5 sinh sinh.5 k sinh (.4) d Karena sinh, aka diperoleh d sinh csch, dan cosh coh. (.5) Selanjunya dengan enggunakan persaaan (.5), (.), (.4) dan (.5), sera k, aka persaaan (.) berbenuk u x k k x x.5 (, ) ( ) coh[ ( ) )],.5 ( x, ) k ( ( ) )csch [ k( x x) )], (.6) dan persaaan (.4) berbenuk csch [ k( x x ) ]..5.5 u( x, ) k coh[ k( x x ) ] k csch[ k( x x ) ] x, k coh[ k( x x ) ] csch[ k( x x ) ] k.5.5 (.7) Persaaan (.6) dan (.7) erupakan penyelesaian gelobang berjalan unuk persaaan WBK. Persaaan (.6) dan (.7) adalah persaaan yang akan digunakan sebagai pebanding dengan penyelesaian persaaan WBK dengan enggunakan eode hooopi. Konsep dasar eode hooopi akan diberikan pada bagian beriku.. Meode Hooopi Beriku ini diberikan ilusrasi dari konsep eode hooopi. Misalkan diberikan persaaan diferensial beriku: v( ), (.8)

27 dengan operaor urunan, variabel bebas dan v fungsi yang akan dienukan. Selanjunya didefinisikan pula suau operaor linear eenuhi yang f, bila f. (.9) Misalkan v () erupakan pendekaan awal dari penyelesaian persaaan (.8) q suau paraeer. Didefinisikan fungsi real q ; :Ω, dan [,] dan suau fungsi H sebagai beriku : dengan ; H q q v q suau fungsi sebarang. R, (.) Berdasarkan persaaan (.), unuk q dan q asing-asing eberikan persaaan beriku: dan H ; ; [ ; v ] H ( ;); ;. (.) Menuru persaaan (.8), (.9) dan (.) diperoleh bahwa fungsi ( ;) v ( ) dan ( ;) v( ) asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H[ ( ;);] dan H[ ( ;);]. Selanjunya, isalkan fungsi ( q, ) penyelesaian dari persaaan aau H[ ; q] q v q. (.) Selanjunya, penurunan kali persaaan (.) erhadap q, dengan q dan dibagi! akan diperoleh benuk persaaan orde ke- beriku: diana [ x( ) x ( )] R ( v) (.) [ ( q ; )] R ( v) ( )! q q (.4)

28 dan,., Dengan enggunakan dere Taylor, ( q, ) dapa diuraikan enjadi (.5) diana ( ; q) v ( ) v ( ) q, (.6) ( q ; ) v ( ).! q q (.7) Jika persaaan (.7) dengan q, aka diperoleh v( ) v ( ) v ( ) q, (.8) dengan v () adalah pendekaan penyelesaian awal dan v () diperoleh dari penyelesaian persaaan (.). nilai H[ ; q] deforasi. Dengan deikian peningkaan nilai q dari ke enyaakan perubahan dari v [ ] ke. Dala opologi hal ini disebu dengan Selanjunya, unuk lebih eahai eode ini, isalkan diberikan suau asalah nilai awal beriku: d x ( ) 4 y ( ) e 4 4, d d y ( ) x ( ) e, d dengan syara awal x() dan y(). Penyelesaian eksak dari asalah nilai awal ersebu adalah x e e ( ), y e ( ). (.9) (.4) Beriku ini akan dicari penyelesaian persaaan (.9) dengan enggunakan eode hooopi. Unuk iu, isalkan operaor aklinear diberikan sebagai beriku:

29 4 ( q ; ) [ ( ; q), ( ; q)] ( ; q) e 4, ( q ; ) [ ( ; q), ( ; q)] ( ; q) e, dan operor linear diberikan sebagai beriku: ( q ; ) [ ( q ; )], ( q ; ) dan [ ( q ; )]. Selanjunya x () dan y () diperoleh dari persaaan beriku: (.4) (.4) diana x( ) x ( ) x ( ) q, y( ) y ( ) y ( ) q, x ()! y ( q ; ) q ( q ; ) q ( ).! q q (.4) (.44) Keudian x () dan y () diperoleh dengan enggunakan persaaan beriku: [ ( ; q), ( ; q)] x ( ) x ( ) d, ( )! q q [ ( ; q), ( ; q)] y( ) y ( ) d. ( )! q q (.45) Dengan diberikan pada persaaan (.5), yang berganung pada nilai awal x () dan y(). Misalkan penyelesaian pendekaan awal x (), aka enuru persaaan (.45) diperoleh x e 4 ( ) 5, dan y ( ), dan 4 x( ) e e 5 6,

30 5 y( ) e, y( ) e 8 8e 9 4 deikian seerusnya hingga diperoleh serangkaian penyelesaian x, x, x, x,... dan y, y, y, y,... Jika dipilih, aka penyelesaian asalah nilai awal (.9) dengan eode hooopi adalah: x( ) 9 9e y( ) e Penurunan persaaan (.46) diberikan pada lapiran c. Beriku ini akan digunakan, (.46) banuan sofware Maheaicha unuk enggabarkan hapiran penyelesaian asalah nilai awal dengan enggunakan eode hooopi pada persaaan (.9) hingga orde ke- dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.). Jika paraeer abahan yang dipilih adalah, aka akan eberikan gala yang sanga kecil jika dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.), seperi diunjukkan pada Tabel.. Pada Tabel. erliha bahwa seakin inggi orde yang digunakan aka akan seakin endekai penyelesaian eksak dan daerah kekonvergenan akan seakin berabah. Penabahan daerah kekonvergenan juga berganung pada paraeer dan nilai pendekaan penyelesaian awal x () dan y ( ).

31 6 Tabel. Gala anara penyelesaian hooopi dan secara eksak x() y() dengan enggunakan eode Orde Orde 5 Orde Orde Orde 5 Orde

32 7 III HASIL DAN PEMBAHASAN. Analisis Meode Dala peneliian ini akan digunakan eode hooopi unuk enyelesaikan persaaan Whiha-Broer-Koup (WBK), yaiu persaaan gerak bagi perabaan gelobang pada perairan dangkal yang benuknya berupa sise persaaan diferensial aklinear. Perluasan konsep dasar eode hooopi yang elah diuraikan pada landasan eori dilakukan sebagai beriku. Tinjau sise persaaan beriku: [ u( x, ), ( x, )] [ u( x, ), ( x, )] (.) dengan dan operaor urunan yang benuknya aklinear, sedangkan fungsi u dan erupakan fungsi yang eenuhi persaaan (.) yang akan dienukan. Selanjunya didefinisikan fungsi real ( x,, q) dan ( x,, q) dan suau fungsi H dan H sebagai beriku: H [, ; q] ( q) [ ( x,, q) u ( x, )] q [ ( x,, q), ( x,, q)] H [, ; q] ( q) [ ( x,, q) ( x, )] q [ ( x,, q), ( x,, q)], (.) dengan dan suau operaor linear dan u dan asing-asing fungsi pendekaan awal dari penyelesaian persaaan (.). Berdasarkan persaaan (.) unuk q ebenuk persaaan beriku: H [, ;] [ ( x,,) u ( x, )] H [, ;] [ ( x,,) ( x, )], dan unuk q eberikan H [, ;] [ ( x,,), ( x,,)] H [, ;] [ ( x,,), ( x,,) ]. Berdasarkan persaaan (.) diperoleh bahwa fungsi ( x,,) u ( x, ) (.) (.4) dan ( x,,) ( x, ),

33 8 asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H [, ;], H [, ;]. Selain iu, berdasarkan persaaan (.) dan (.4) diperoleh fungsi dan ( x,,) u( x, ) ( x,,) ( x, ), yang asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H [, ;], H [, ;]. Selanjunya, karena paraeer q bernilai dari sapai, aka ( x, ; q) dan ( x, ; q) asing-asing akan eeakan pendekaan awal u ( x, ) ke penyelesaian eksak u( x, ) dan eeakan pendekaan awal ( x, ) ke penyelesaian eksak ( x, ). Dengan enggunakan dere Taylor dari ( x, ; q) dan ( x, ; q) erhadap q, diperoleh dengan ( x, ; q) u ( x, ) u ( x, ) q, ( x, ; q) ( x, ) ( x, ) q, u ( x, ; q) ( x, ),! q q ( x, ; q) ( x, ).! q q (.5) (.6) Jadi unuk q diperoleh ( x,,) u ( x, ) u ( x, ). (.7) Karena ( x,,) u ( x, ), aka u( x, ) u ( x, ) u ( x, ). (.8) Hal yang saa diperoleh

34 9 ( x,,) ( x, ) ( x, ). (.9) Karena ( x,,) ( x, ), aka ( x, ) ( x, ) ( x, ). (.) Selanjunya akan dienukan Berdasarkan deforasi orde nol diperoleh u dan,,,... beriku ini. ( q) [ ( x, ; q) u ( x, )] q [ ( x, ; q), ( x, ; q)] ( q) [ ( x, ; q) ( x, )] q [ ( x, ; q), ( x, ; q)]. (.) Jika kedua ruas dari persaaan (.) diurunkan erhadap q hingga kali, keudian engevaluasi di q dan dibagi!, aka diperoleh benuk persaaan beriku: dengan dan R R [ u ( x, ) u ( x, )] R [ u ( x, ), ( x, )], [ ( x, ) ( x, )] R [ u ( x, ), ( x, )],, ( u, ), ( u, ),,., ( )! ( x, ; q), ( x, ; q) ( )! q ( x, ; q), ( x, ; q) Berdasarkan persaaan (.) dapa dienukan u dan,,,... q Penurunan persaaan (.) diberikan pada Lapiran a. q, q, (.) Secara ringkas penggunaan eode hooopi unuk enyelesaikan sise persaaan diferensial (.) dilakukan sebagai beriku:. Misalkan diberikan pendekaan awal dari penyelesaian sise persaaan diferensial (.) asing-asing u ( x, ) dan ( x, ).. Tenukan u( x, ) dan ( x, ),,,... berdasarkan persaaan (.) dengan dan dipilih sebarang. Peilihan dan dapa epengaruhi perluasan selang kekonvergenan dari dere (.8) dan (.).

35 . Penyelesaian pendekaan dengan eode hooopi dienukan berdasarkan dere (.8) dan (.). Unuk lebih jelasnya, aka bagian selanjunya akan dibahas aplikasi dari eode hooopi unuk enyelesaikan persaaan WBK.. Aplikasi Meode Tinjau persaaan WBK (.4) beriku: u u u u x x x u u u, x x x x Operaor urunan aklinear yang dipilih adalah (.) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) x x x ( x, ; q) [ ( x, ; q) ( x, ; q)] ( x, ; q) ( x, ; q) x x x (.4) [ ( x, ; q), ( x, ; q)] ( x, ; q) [ ( x, ; q), ( x, ; q)] dan operaor linear ( x, ; q) [ ( x, ; q)], ( x, ; q) [ ( x, ; q)]. (.5) Selanjunya dipilih pendekaan penyelesaian awal berdasarkan pada penyelesaian gelobang berjalan dari persaaan WBK dala dua kasus, yaiu kasus peraa dipilih pendekaan awal berdasarkan pada penyelesaian pada persaaan (.6) aka diperoleh persaaan beriku u ( x, ) u( x,) k( ) coh[ k( x x )],.5 ( x, ) ( x,) k ( ( ) )csch [ k( x x )],.5 (.6) sedangkan unuk kasus kedua akan dipilih pendekaan awal berdasarkan penyelesaian pada persaaan (.7) beriku u ( x, ) k coh[ k( x x )] k csch[ k( x x )] x, k coh[ k( x x )]csch[ k( x x )].5 k csch [ k( x x )]. (.7)

36 Berdasarkan definisi operaor dan pada persaaan (.4) diperoleh benuk R, ( u, ) sebagai beriku: R ( u, ) yang diberikan pada persaaan (.) dan, u ( x, ) u ( x, ) ( x, ) R u u x x x n, (, ) n(, ) n u ( x, ), x ( x, ) u ( x, ) R, ( u, ) un( x, ) n ( x, ) x n x ( x, ), x Penurunan persaaan (.8) dapa diliha pada Lapiran b. Berdasarkan persaaan (.) dan definisi operaor dan, diperoleh aau u ( x, ) u ( x, ) R, R u u,,,,,,, u ( x, ) u R u, d, ( x, ) R u, d, dengan u ( u, u,..., u) dan (,,..., ). Karena u( x,) dan ( x,), aka diperoleh (.8) (.9) (.) u ( x, ) u ( x, ) R u, ds, ( x, ) ( x, ) R u, ds., (.) Unuk penyederhanaan, aka dipilih, sehingga dari persaaan (.6), (.8) dan (.) diperoleh:.5 csc u ( x,) k h k x x,

37 .5 csch.5 ch cosh k( x x) sinh k( x x), ( x, ) 4 k coh k x x k x x, u (, ) cs ( ) x k k x x k ( ) k( x).5 4 ( x, ) k ( ) csch k( x x ) k cosh k x x h sinh x, u ( x, ) csch ( ) 4 k k x x k 6 k cosh k( x x) 6 k sinh k( x x),.5 4 ( ) ( ) ( x, ) csch.5 5 k k x x h k coshk( x x ) 6 k cosh k( x x) k sinhk x x k x x 6 ( ) sinh ( ), sedangkan dari persaaan (.7), (.8) dan (.) diperoleh:.5 (, ) hk u x cosh[ k( x x) ]).5 4 (, ) sec x hk h k( x x) 4 sin h [ k( x x) ] (.).5 u( x, ) hk ( ) sech [ k( x x)] 4 ( h) hk anh k( x x)

38 sech h ( x, ) hk ( k( x x) 4hk ( k(4 4 (4 hk sech k( x x) k 6 6 ( 6 Penurunan persaaan (.) dan (.) dapa diliha dala Lapiran c. abahan.5. (.) Barisan penyelesaian pada persaaan (.) asih eua paraeer. Validias dari eode hooopi didasarkan pada peilihan sehingga dere (.8) dan (.) konvergen [6]. Selanjunya dengan enggunakan persaaan (.8) dan (.) diperoleh pendekaan penyelesaian eksak dari persaaan WBK sebagai beriku: u( x, ) u ( x, ) u ( x, ) u ( x, ) u ( x, )... ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, )... (.4) dengan u ( x, ) dan ( x, ) pada persaaan (.6), dan u ( x, ), ( x, ), ( i,,) diberikan pada persaaan (.). Beriku ini akan digunakan banuan sofware Maheaica unuk enggabarkan hapiran penyelesaian persaaan WBK (.) dengan enggunakan eode hooopi pada persaaan (.) hingga orde ke-5, dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.6). Jika diberikan paraeer x, k. dan.5, aka unuk peilihan yang berbeda-beda eberikan gala yang sanga kecil anara penyelesaian dengan enggunakan eode hooopi dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.4), seperi diunjukkan pada Tabel. dengan dan. i i

39 4 x Tabel. Gala anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan dari nilai x Tabel. Gala anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan dari nilai u Selanjunya akan digabarkan hapiran penyelesaian persaaan WBK (.) dengan enggunakan eode hooopi pada persaaan (.) hingga orde ke-5, dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.6). Jika diberikan paraeer x, k. dan.4, aka unuk peilihan akan eberikan gala yang sanga kecil anara penyelesaian dengan enggunakan eode hooopi dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.6), seperi diunjukkan pada Tabel. dengan dan.

40 5 Tabel. Gala anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan pada persaaan (.7) x U = = = = = = Berdasarkan Tabel.,. dan. dapa disipulkan bahwa eode hooopi yang digunakan dala peneliian ini sanga cocok unuk enyelesaikan persaaan WBK. Hal ini disebabkan oleh gala yang diibulkan anara penyelesaian dengan eode hooopi dan penyelesaian gelobang berjalan yang diberikan pada persaaan (.6) dan (.7) sanga kecil dengan gala erbesear adalah unuk. Selanjunya berdasarkan Tabel. dan. erliha pula bahwa peilihan nilai akan epengaruhi daerah kekonvergenan dere (.8) dan (.), sehingga dala hal ini dipilih eberikan nilai gala yang erkecil dan daerah kekonvergenan yang lebih luas. Beriku ini akan digabarkan gelobang yang engikui persaaan Boussinesq, dala hal ini dan. Misalkan gelobang yang diinjau eilki bilangan gelobang k., aau berdasarkan (.) diperoleh.4. Grafik penyelesaian dari diberikan dala Gabar. unuk, 4, 65, 9, 5 dan.

41 6. x, x.98 x, x, x.965 x x, 5 x, x x Gabar. Benuk gelobang Boussinesq Berdasarkan Gabar. erliha bahwa gelobang yang diinjau pada awalnya erupakan gelobang unggal, keudian erpisah enjadi dua gelobang, diana asing-asing gelobang bergerak dala dua arah yang

42 7 berlawanan, yaiu ke kanan dan ke kiri, yang asing-asing eiliki kecepaan c. sauan kecepaan. Selanjunya akan digabarkan benuk kecepaan arus dari persaaan Boussinesq, seperi pada Gabar. beriku: u x, u x, x 5 5 x 5 5 u x, 5 u x, x 5 5 x 5 5 u x, u x, x 5 5 x 5 5 Gabar. Kecepaan arus dari persaaan Boussinesq Berdasarkan Gabar. diperoleh bahwa pada persaaan Boussinesq arus bergerak dala dua arah, yaiu ke kiri dan ke kanan asing-asing dengan kecepaan yang saa.

43 8 IV KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesipulan Persaaan gerak gelobang dispersi aklinear diurunkan berdasarkan huku kekekalan assa dan huku kekekalan oenu pada fluida akapa dan akkenal. Persaaan gerak gelobang yang diperoleh berupa persaaan Whiha-Broer-Koup (WBK). Persaaan WBK adalah suau persaaan yang enggabarkan perabaan gelobang aklinear pada perairan dangkal yang eua fakor dispersi. Penyelesaian persaaan WBK dilakukan dengan eode hooopi. Meode hooopi adalah suau eode pendekaan analiik unuk enyelesaikan suau asalah aklinear. Penggunaan eode hooopi unuk enyelesaikan persaaan WBK eerlukan suau operaor aklinear yang dienukan berdasarkan benuk aklinear dari persaaan WBK ersebu. Berdasarkan operaor aklinear ersebu, diperoleh benuk rekursif dari basis penyelesaian persaaan WBK. Penyelesaian hapiran persaaan WBK ersebu erupakan dere dari basis-basis penyelesaian yang diperoleh. Seakin inggi orde yang digunakan, aka seakin endekai penyelesaian eksak dari persaaan WBK. Penyelesaian eksak persaaan WBK yang diinjau berupa gelobang berjalan. Efisiensi dari eode ini erliha pada prosesnya, diana hanya enggunakan penginegralan biasa. Dala peneliian ini, penyelesaian pendekaan awalnya idak harus berupa gelobang berjalan. Hal ini erupakan kelebihan eode hooopi yang digunakan dala peneliian ini. Dala peneliian ini, diinjau kasus gelobang Boussinesq. Meode hooopi yang digunakan dala kasus ini enggunakan pendekaan awal dala benuk gelobang berjalan. Hasil yang diperoleh enunjukkan bahwa gala yang ibul anara penyelesaian hapiran dengan penyelesaian eksak sanga kecil (Gala erbesarnya adalah ). Gelobang yang engikui persaaan Boussinesq dengan bilangan gelobang sebesar., eberikan frekuensi sebesar.4 dan gelobang bergerak dala dua arah, yaiu ke kanan dan ke kiri asing-asing dengan kecepaan. sauan kecepaan.

44 9 4. Saran Dala karya iliah ini digunakan eode hooopi unuk enyelesaikan asalah perabaan gelobang dispersi dan aklinear. Meode ini sanga efisien unuk enyelesaikan asalah aklinear, sehingga peneliian dala karya iliah ini asih erbuka unuk dikebangkan pada asalah-asalah dari fenoena ala yang berbenuk aklinear.

45 DAFTAR PUSTAKA [] Guiqiong X, Zhibin L. 5. Exac ravelling wave soluions of he Whiha Broer Kaup and Broer Kaup Kupershid equaions. Chaos, Solions and Fracals. 4: [] Rashidi MM, Ganji DD, Dinarvand S. 8. Approxiae raveling wave soluion of coupled Whiha-Broer-Kaup shallow waer equaions by hooopy analysis ehod. Differenial Equaion and Nonlinear Mechanics, Aricle ID 4459, doi:.55/8/4459. [] Rashidi MM, Erfani E.. Traveling wave soluion of WBK shallow waer equaion by differenial ransfor ehod. Adv. Theor. Appl. Mech. :6-7. [4] Ganji DD, Houan BR, Sfahani M.G, Ganji S.S. Approxiae raveling wave soluion for coupled Wiha-Broer-Kaup shallow waer. Advaces in Engineering Sofware. 4: [5] Mainfar M, Fereidoon A, Aliasgharoyeh A, Ghanbari M. 9. Variaional ieraion ehod for solving nonlinear WBK equaion. Inernaional Journal of Nonlinier Science. 8:49-4. [6] Liao. 4. Beyond Perurbaion: Inroducion o he Hooopy Analysis Mehod. Boca Raon, New York Washingon, D.C. [7] Billingha J, King A.C.. Wave Moion, Cabridge Universiy Press: Biringha, Inggris. [8] Wiha G.B Linearr and Nonlinear Waves, Wiley Inerscience: New York. [9] Xie F, Yan Z, Zhang H.. Explici and raveling wave of Whiha- Broer-Koup shallow waer equaion. Physics Laer A. 85:76-8.

46 LAMPIRAN

47 Lapiran a. Penurunan persaaan (.) Tinjau persaaan (.) beriku: aau aau aau aau k 4 k k k k 4 i k k i k i k k 4 Jika diuliskan dala benuk deerinan, aka diperoleh i k ki k i i k. aau i ik ki k i i ik, yang erupakan persaaan karakerisik suau ariks. Jika k berkorespondensi dengan i dan berkorespondensi dengan i, x aka ariks yang bersesuaian dengan persaaan karakerisik di aas berbenuk: x xx x xx, sehingga diperoleh sise persaaan diferensial beriku: xx x u x xx aau u u x xx u u. xxx xx

48 b. Penurunan persaaan (.8 ) dan (.9) Tinjau persaaan (.7) beriku: ( ) b a cosh bsinh, (.7a) (.7b) ( ) B A cosh B sinh A cosh sinh B sinh, dengan berganung pada dan eenuhi sinh. Jika persaaan (.7a) diurunkan erhadap, aka diperoleh asinh sinh bcosh sinh aau b cosh sinh asinh. Turunan kedua dari persaaan (.7a) erhadap adalah (.7c) b cosh cosh sinh sinh sinh sinh asinh cosh sinh aau bcosh sinh bsinh a cosh sinh Karena aau cosh sinh, aka b sinh sinh bsinh a cosh sinh bsinh a cosh sinh bsinh. (.7d) Turunan keiga dari persaaan (.7a) erhadap adalah aau bcosh sinh a cosh sinh cosh sinh sinh sinh sinh 6bsinh cosh sinh

49 4 aau bcosh sinh 4a cosh sinh asinh 6bcosh sinh 4 bcosh sinh 4a sinh sinh asinh 4 6b cosh sinh aau 4 bcosh sinh 4asinh 6asinh 6b cosh sinh. Turunan peraa dari persaaan (.7b) erhadap adalah (.7e) aau A B A sinh sinh cosh sinh cosh sinh sinh B sinh cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh sinh sinh B cosh sinh aau A sinh B cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh. (.7f) Turunan kedua dari persaaan (.7b) erhadap adalah aau aau A cosh sinh B cosh sinh sinh A sinh cosh B sinh sinh cosh sinh cosh sinh 6A sinh cosh sinh A cosh sinh B ( sinh ) sinh sinh A sinh cosh B sinh ( sinh ) sinh 6A sinh cosh 4

50 5 B sinh A cosh sinh 4B sinh A cosh sinh B sinh 6A cosh sinh 6B sinh 4 Selanjunya, injau persaaan (.6) Beriku: k, k k. (.7g) (.a) (.6b) Penurunan persaaan (.8) Sebsiusikan persaaan (.7c ), (.7d), dan (.7f) ke dala persaaan (.6a), aka diperoleh aau aau aau bcosh sinh asinh b a cosh bsinh Bcosh sinh Asinh k bsinh a cosh sinh b sinh bcosh sinh asinh A sinh B cosh sinh A sinh b cosh sinh a sinh b b cosh sinh b a sinh ab cosh sinh a cosh sinh b cosh sinh absinh bsinh A sinh B cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh bk sinh ak cosh sinh b k sinh b cosh sinh a sinh b bcosh sinh b asinh ab sinh sinh a cosh sinh b cosh sinh absinh bsinh A sinh B cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh bk sinh ak cosh sinh bksinh A ab b k b b B b ab A a a b B a k sinh cosh sinh sinh cosh sinh A ab bk sinh

51 6 Penurunan persaaan (.9) Subsiusikan persaaan (. 7c), (.7e), (.7f), dan (.7g) ke dala persaaan (.6b), aka diperoleh aau aau A sinh B cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh b a cosh bsinh A sinh B cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh bcosh sinh asinh B A cosh B sinh A cosh sinh B sinh 4 k bcosh sinh 4asinh 6asinh 6b cosh sinh k B sinh A cosh sinh 4B sinh A cosh sinh 4 B sinh 6A cosh sinh 6B sinh A sinh B cosh sinh A sinh B cosh sinh A sinh b A sinh b B cosh sinh b A sinh b B cosh sinh b A sinh aa cosh sinh ab cosh sinh aa cosh sinh ab cosh sinh aa cosh sinh 4 4 ba sinh bb cosh sinh ba sinh bb cosh sinh ba sinh bb cosh sinh ba cosh sinh bb cosh sinh ba cosh sinh bb cosh sinh ab sinh aa cosh sinh ab sinh aa cosh sinh ab sinh b k cosh sinh 4a k sinh 4 6b k cosh sinh 6a k sinh B k sinh A k cosh sinh 4B k sinh A k cosh sinh B k sinh 6A k cosh sinh 6B k sinh 4

52 7 b A ba ab B k A sinh aa bb b B b k A k B cosh sinh b A ab ba ab 4ak 4B k A sinh aa b B bb A k B cosh sinh b A ab ba B k A sinh aa bb 6bk 6A k cosh sinh ba ab ba ab 6a k 6B k sinh 4 c. Penyelesaian asalah nilai awal (.46) Perhaikan asalah syse peraaan diferensial (.46) beriku: d x ( ) 4 y ( ) e 4 4, d d y ( ) x ( ) e, d dengan syara awal x() dan y(). Misalkan dan ( q ; ) [ ( ; q), ( ; q)] 4 ( ; q) e 4 4, ( q ; ) [ ( ; q), ( ; q)] ( ; q) e, ( q ; ) ( q ; ) [ ( q ; )], [ ( q ; )]. Dengan enggunakan persaaan beriku: diperoleh [ x ( ) x ( ) ] R ( x ),, [ y ( ) y ( ) ] R, ( y ). [ x ( ) x ( )] R, ( x ), [ y( ) y ( )] R, ( y ),

53 8 aau aau dengan dan x ( ) x ( ) R ( x ) d,, y ( ) y ( ) R ( y ) d,, x ( ) x ( ) R ( x ) d,, y ( ) y ( ) R ( y ) d, R R, [ ( ; q), ( ; q)] ( ), ( )! q, x, y q [ ( ; q), ( ; q)] ( ), ( )! q,., Karena x () dan y(), aka diperoleh q [ ( ; q), ( ; q)] ( )! q q x ( ) x ( ) ds, [ ( ; q), ( ; q)] ( )! q q y ( ) y ( ) ds. Karena x( ) ( ; q), y ( ), y ( ) ( ; q), dan dipilih pendekaan awal x () sera unuk penyederhanaan dipilih, aka Unuk x( ) x ( ) [ ( ;), ( ;)] ds dan ( ;) 4 ( ;) e 4 4ds x () 4 y( ) e 4 4ds 4 e 4 4 ds

54 9 dan 4 e 5. y( ) y ( ) [ ( ;), ( ;)] ds ( ;) ( ;) e ds y() x( ) e ds e ds y() e. Unuk x ( ) x ( ) [ ( ; q), ( ; q)] q q ds ( q ; ) ( ) 4 ( ; ) 4 4 q q x q e ds ( ; q) ( ; q) x ( ) 4 q q q q x ( ) ( ) 4 ( ) x y ds ds 5 e 4 (5 4 4 ) 4 e e ds 4 e 5 7 5e 4 ds

55 4 dan 4 e e 6. y ( ) y ( ) [ ( ; q), ( ; q)] q q ds ( q ; ) () ( ; ) q q y q y( ) q q e ds ( ; ) ( ; q) q q y () ( y ) x ( ) ds 4 e e e 5 ds q 4 e 6e 8 ds 4 e 8 9 8e. Dengan cara yang saa unuk nilai yang lainnya, diperoleh barisan x, x,... sebagai beriku: ds x () e x() e e 6 dan barisan y, y,... sebagai beriku: y ( ) e y() 4 e 8 9 8e., Dengan deikian penyelesaian asalah sise persaaan diferensial (.5) dengan enggunakan eode hooopi adalah

56 4 x( ) x ( ) x ( x) x ( ) x ( )... aau 4 x( ) e e 6... dan y( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( )... aau 4 y( ) e 8 9 8e... Jika dipilih, aka diperoleh dan x( ) 9 9e y( ) e Lapiran a. Penurunan persaaan (.) Tinjau persaaan (.)

57 4 ( q) [ ( x, ; q) u ( x, )] q [ ( x, ; q), ( x, ; q)] ( q) [ ( x, ; q) ( x, )] q [ ( x, ; q), ( x, ; q)]. Jika kedua ruas pada persaaan di aas diurunkan erhadap q, aka diperoleh Turunan peraa ( x, ; q) ( x, ; q) q ( x, ; q) u ( x, ) q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q, q dan ( x, ; q) ( x, ; q) q ( x, ; q) ( x, ) q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q. q Turunan kedua q dan ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q q q ( x, ; q), ( x, ; q), q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q). q aau

58 4 ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q, q q dan ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q. q q Turunan keiga ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q q q dan ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q ( x, ; q), ( x, ; q), q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q q q q aau ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q ( x, ; q), ( x, ; q). q q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q, q q dan

59 44 ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( x, ; q), ( x, ; q) q. q q Dengan cara yang saa dengan sebelunya, aka diperoleh urunan ke- unuk q sebagai beriku: dan ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q h ( x, ; q), ( x, ; q) q q ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q h ( x, ; q), ( x, ; q) q Jika kedua ruas dari kedua persaaan di aas dibagi!, aka diperoleh dan Karena u, q ( x, ; q) ( x, ; q)! q ( )! q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( )! q. q, ( x, ; q) ( x, ; q)! q ( )! q q q ( x, ; q), ( x, ; q) ( )! ( x, ; q) q ( x, ),! q q q.

60 45 dan ( x, ; q) ( x, ),! q q aka persaaan di aas enjadi dengan R R [ u ( x, ) u ( x, )] R [ u ( x, ), ( x, )], [ ( x, ) ( x, )] R [ u ( x, ), ( x, )],, ( u, ), ( u, ), ( )! ( x, ; q), ( x, ; q) ( )! q ( x, ; q), ( x, ; q) q q, q, b. Penurunan Persaaan (.8) Tinjau persaaan (.) beriku: dengan dan R R [ u ( x, ) u ( x, )] R [ u ( x, ), ( x, )], [ ( x, ) ( x, )] R [ u ( x, ), ( x, )],, ( u, ), ( u, ),,., ( )! ( x, ; q), ( x, ; q) ( )! Beriku ini benuk R, ( u, ) Unuk R q ( x, ; q), ( x, ; q) q dan,, ( u, ) [ ( x, ;), ( x, ;)] q, q R ( u, ) akan disederhanakan ( x, ;) ( x, ;) ( x, ;) ( x, ;) ( x, ;) x x x,

61 46 R u ( x, ) (, ) (, ) (, ) (, ) u x u x x u x, x x x, ( u, ) [ ( x, ;), ( x, ;)] Unuk R, ( x, ;) [ ( x, ;) ( x, ;)] ( x, ;) x x ( x, ;) x ( x, ) [ u( x, ) ( x, )] u( x, ) ( x, ). x x x [ ( x, ; q), ( x, ; q)] ( u, )! q q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q x x ( x, ; q) x q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q x q ( x, ; q) ( x, ; q) x q x q q q u( x, ) ( x, ; q) ( x, ;) x q q q x x x q q ( x, ; q) ( x, ;) ( x, ) u( x, ) u ( x, ) u ( x, ) u( x, ) ( x, ) u( x, ) u( x, ) x x x u( x, ), x

62 47 R ( u, )!, [ ( x, ;), ( x, ;)] q q q x x ( x, ; q) [ ( x, ; q) ( x, ; q)] ( x, ; q) ( x, ; q) x q ( x, ; q) [ ( x, ; q) ( x, ; q)] q x q q q ( x, ; q) ( x, ; q) x q x q q q Unuk = ( x, ) ( x, ; q) ( x, ;) x q q ( x, ; q) u( x, ) ( x, ) ( x, ;) q x x q ( x, ) u ( x, ) ( x, ) u ( x, ) ( x, ) x u( x, ) ( x, ). x x R [ ( x, ; q), ( x, ; q) ]! q q,( u, ) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q)! q x x ( x, ; q) x q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q)! q! q x q ( x, ; q) ( x, ; q) x q x q!! q q q

63 48 u ( x, ) ( x, ; q)! q x q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ) u( x, ) q x x x q u( x, ) ( x, ; q) ( x, ;)! x q q ( x, ; q) ( x, ; q) q x q q q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ;) q x q q x q q q ( x, ) u( x, ) x x R u( x, ) u ( x, ) u ( x, ) u( x, ) u( x, ) x x u( x, ) ( x, ) u( x, ) u( x, ) x x x u ( x, ) u ( x, ) ( x, ) u ( x, ) (, ), x x x n un x n [ ( x, ; q), ( x, ; q) ]! q q,( u, ) ( x, ; q) [ ( x, ; q) ( x, ; q)] ( x, ; q)! q x x ( x, ; q) x q ( x, ; q) [ ( x, ; q) ( x, ; q)]! q x! q q q ( x, ; q) ( x, ; q) x! q x! q q q

64 49 ( x, ) ( x, ; q) ( x, ; q) x! q q q ( x, ; q) u( x, ) ( x, ) ( x, ; q) q x x q ( x, ) ( x, ; q) ( x, ;) x! q q ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) ( x, ; q) q q q q q q q q ( x, ; q) u( x, ) ( x, ) ( x, ;) q x x q ( x, ) u ( x, ) ( x, ) u ( x, ) ( x, ) u ( x, ) ( x, ) x u( x, ) ( x, ) x x ( x, ) u ( x, ) ( x, ) (, ) (, ). un x n x n x x Secara uu dapa dinyaakan dala benuk: R R u ( x, ) u ( x, ) ( u, ), n un( x, ) n x x ( x, ) u ( x, ) ( x, ) x, ( u, ) n n n dengan,,,... u ( x, ) ( x, ) u ( x, ) ( x, ). x x

65 5 c. Penurunan persaaan (.) dan (.) Tinjau persaaan (.) beriku: dengan dan u ( x, ) u ( x, ) R u, ds, ( x, ) ( x, ) R u, ds. R R,, u ( x, ) u ( x, ) ( u, ) n un( x, ) n x x ( x, ) u ( x, ) ( x, ) x, ( u, ) n n n,., u ( x, ) ( x, ) u ( x, ) ( x, ). x x beriku ini akan dienukan u( x, ) dan ( x, ), dengan,,,... Unuk, u ( x, ) u ( x, ) ( x, ) u x u x u x x x (, ) (, ) (, ) u( x, ) d x Jika nilai u ( x, ) dan ( x, ) pada persaaan (.6) disubsiusikan ke dala persaaan di aas, aka diperoleh

66 coh u ( x, ) u ( x, ) k coh k x x csch k k x x 4 csch k k x x k csch k x x k x x.5 4 csch k k x x coh k csch k x x k x x d.5 k k x x csch csch.5.5 4k coh k x x k x x d.5 k k x x csch. Selanjunya unuk ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) ds. x ( x, ) [ u( x, ) ( x, )] u( x,) x x Jika nili u ( x, ) dan ( x, ) disubsiusikan ke dala persaaan di aas, aka diperoleh.5 x k k x x (, ) ( ) coh[ ( )] 4.5 k h k x x k x x ( ( ) )csc [ ( )]coh[ ( )] 4k ( ) k coh [ k( x x )]csch [ k( x x )].5 4 csch [ ( )] k k x x ds

67 5.5 4 coh[ ( )] k k x x.5 k coh[ k( x x)] csch [ k( x x)] k csch [ k( x x)] k coh [ k( x x)]c sch [ k( x x)] k ( ) csch [ k( x x)] 8k 4.5 coh [ k( x x)] csch [ k( x x)] k ( ( ) ) csch [ k( x x)].5.5 coh csch k csch [ k( x x) ].5 8 coh 4 k coh[ k( x x )] csch [ k( x x)].5.5 coh csch 8 k [ k( x x )] [ k( x x)] k csch [ k( x x)] 8 k [ k( x x )] [ k( x x)] k [ k( x x )] csch [ k( x x)] k csch [ k( x x)].5 4 csch 8k 8k.5 coh csch 4k 4k.5 4 k coh[ k( x x )] [ k( x x)] k [ k( x x )] [ k( x x)] k csch [ k( x x)].5 coh h 4 k [ k( x x )] csc [ k( x x)]