KOMBINATORIKA. Erwin Harahap

Transkripsi

1 KOMBINATORIKA Erwin Harahap Disampaikan pada acara Sosialisasi OLIMPIADE MATEMATIKA, FISIKA, DAN KIMIA 2011 KOPERTIS WILAYAH IV JAWA BARAT Jatinangor- Bandung, 22 Maret

2 KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN TINGGI DIREKTORAT PEMBELAJARAN DAN KEMAHASISWAAN

3 3

4 4

5 Materi Olimpiade Matematika 5

6 Jenis Tes/Soal 6

7 Content Koefisien Binomial Pohon The Marriage Theorem Pigeonhole Principle Inklusi-Eksklusi Paritas Eulerian / Hamiltonian Rekuren 7

8 Koefisien Binomial Jika a dan b adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka : ( a b) n k Materi terkait: Prinsip penjumlahan, perkalian, Permutasi, kombinasi, permutasi dan kombinasi dengan pengulangan n 0 C( n, k) a n k b k 8

9 Pohon (tree) Pohon (tree) adalah Suatu graf terhubung yang setiap pasangan simpulnya hanya dapat dihubungkan oleh satu lintasan tertentu Pohon merupakan graf tak-berarah yang terhubung dan tidak memiliki siklus maupun sirkuit. 9

10 The Marriage Theorem Jika S adalah suatu himpunan simpul di G, misal d(s) adalah sejumlah titik di G yang berpasangan dengan paling sedikit satu anggota S Pengertian tentang teorema ini lebih mengarah kepada graf bipartisi (bipartite) 10

11 The Marriage Theorem (lanjutan) Graf bipartisi (bipartite graph) adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masingmasing sisi di graf tersebut menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y 11

12 Pigeonhole Principle Jika k buah benda ditempatkan pada k buah kotak, maka akan terdapat paling sedikit 2 buah benda pada satu kotak Akan terdapat paling sedikit 2 sarung tangan pada tangan yang sama dari 3 buah sarung tangan 12

13 Pigeonhole Principle (lanjutan) Jika n merpati (pigeon) dimasukkan kedalam m kandang (hole) dimana n>m, maka akan terdapat paling sedikit satu kandang berisi lebih dari satu merpati 13

14 Pigeonhole Principle : Soal 1 Paling sedikit dalam berapa kali pelemparan dari sebuah dadu agar dapat dijamin angka yang sama akan muncul 2 kali? 14

15 Pigeonhole Principle : Jawab 1 Paling sedikit 7 kali pelemparan 15

16 Pigeonhole Principle : Soal 2 Misalkan P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 adalah lima titik latis berbeda pada suatu bidang cartesius. Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (P i, P j ), i j, sedemikian sehingga ruas garis P i P j akan memuat titik latis selain P i dan P j. 16

17 Pigeonhole Principle : Jawab 2 Misalkan 2 titik yang merupakan bagian dari P n titik tersebut adalah ( x1, y1) dan ( x2, y2) Maka koordinat titik tengahnya adalah : 1 (( x1 x2),( y1 y 2 2 )) 17

18 Pigeonhole Principle : Jawab 2 (lanjutan) Dikarenakan koordinat titik tengah tersebut merupakan bilangan bulat maka ( x1 x2) dan ( y1 y2) adalah genap jika dan hanya jika paritas x 1 dan x 2 sama, serta paritas y 1 dan y 2 sama. 18

19 Pigeonhole Principle : Jawab 2 (lanjutan) 4 Paritas titik yang mungkin : (genap, genap), (genap, ganjil) (ganjil, genap), (ganjil, ganjil) Maka menurut pigeonhole principle, jika terdapat 5 titik latis berbeda (P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 ), maka dua titik diantaranya memiliki paritas yang sama, dan memuat titik latis selain P n 19

20 Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk mencacah banyaknya unsur di dalam A B, kita dapat melakukannya dengan mencacah banyaknya unsur himpunan A dan himpunan B A dan kemudian menjumlahkannya A B = A + B - A B 20

21 Inklusi Eksklusi : Soal 1 Tentukan banyaknya bilangan bulat dari 1 s/d 1000 yang habis dibagi 3 atau 5 21

22 Inklusi Eksklusi : Jawab 1 A habis dibagi B habis dibagi A B habis dibagi 3*5 66 Total : A B = A + B - A B = =

23 Inklusi Eksklusi : Soal 2 Tentukan banyaknya bilangan bulat dari 1 s/d 1000 yang tidak habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 5 23

24 Inklusi Eksklusi : Jawab 1 (lanjutan) Hukum de Morgan : (A B) = S - A B = = 533 (A B )= (A B) 24

25 Eulerian / Hamiltonian Misal G suatu graf. LIntasan Euler pada G adalah lintasan yang memuat setiap sisi di G. Graf G di sebut graf Euler (Eulerian) jika G memuat lintasan Euler yang tertutup Sirkuit Hamilton G adalah sirkuit yang memuat setiap titik di G Graf G di sebut Graph Hamilton (Hamiltonian) jika G memuat sirkuit Hamilton 25

26 Eulerian / Hamiltonian (lanjutan) 26

27 Rekuren Persamaan rekurensi adalah persamaan yang menentukan nilai suku x n dalam fungsi dari suku-suku sebelumnya, yaitu x n-1, x n-2,... Persamaan rekurensi berbentuk Fungsi karakteristik 27

28 Rekuren : Soal 1 Barisan a 1, a 2,... didefinisikan dengan Dan a 1 = 1, a 2 = 1, Tentukan bentuk eksplisit dari a n 28

29 Rekuren : Jawab Soal 1 Barisan Persamaan karakteristik : Difaktorkan menjadi : Bentuk umum : 29

30 Rekuren : Jawab Soal 1 (lanjutan) a 1 = 1 a 2 = 1 1 c 1 2 c 2 c 1 2 c 2 2 ( ( 1) 1) c 1 c2 4c 1 c2 1 1 Eliminasi Dengan demikian, bentuk umum a n : Untuk n = 1,2,3, 30

31 Rekuren : Soal 2 Barisan a 1, a 2,... dimana a 1 1 a n 2a n 1 Tentukan bentuk umum a n 31

32 Rekuren : Jawab Soal 2 Persamaan karakteristik : a a x 2 0 n 2 n 1 Bentuk umum : a c2 n n 1 a 1 maka c 2 1 Dgn demikian : a n 2 n 1 untuk n = 1,2,3, 32

33 Sekian dan Terima kasih 33