INTEGRAL DARBOUX. Keterbatasan fungsi f dapat menjamin eksistensi dua bilangan ܯ dan tersebut. Selanjutnya untuk ͳǡʹǡǥ ǡ didefinisikan:

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "INTEGRAL DARBOUX. Keterbatasan fungsi f dapat menjamin eksistensi dua bilangan ܯ dan tersebut. Selanjutnya untuk ͳǡʹǡǥ ǡ didefinisikan:"

Transkripsi

1 INTEGRAL DARBOUX Pada tahun 1875, matematikawan I.G. Darboux secara konstrutif memodifikasi definisi integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas (upper Darboux sum) dan jumlah Darbouk bawah (lower Darboux sum), selanjutnya mendefinisikan Darboux atas (upper Darboux integral) dan integral darboux bawah (lower Darboux integral). Pada pemahaman selanjutnya akan didefinisikan integral Darboux dan ekuivalensi integral Darboux dengan integral Riemann. A. Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah Diberikan interval tertutup [ ǡ ] ك ǡdan ǣ[ ǡ ] fungsi bernilai real yang terbatas pada [ ǡ ]. Jika ݔ) ݔǡ ଵ ݔǡ ଶ ǡǥ ݔǡ ) sembarang partisi pada [ ǡ ] maka didefinisikan : {[ ǡ ] ݔǣ (ݔ) } {[ ǡ ] ݔǣ (ݔ) } dan inf sup ܯ Keterbatasan fungsi f dapat menjamin eksistensi dua bilangan ܯ dan tersebut. Selanjutnya untuk ͳǡʹǡǥ ǡ didefinisikan: ]} ݔǡ ଵ ݔ] ݔǣ (ݔ) } = sup ܯ = inf ݔ] ݔǣ (ݔ) } ଵ ݔǡ ]} Dapat dipahami bahwa (ݔ) ܯ ܯ untuk setiap ͳǡʹǡǥ ǡ Ǥ Selanjunya jumlah Darboux atas fungsi terkait dengan partisi ǡdinyatakan dengan ( ǣ ), didefinisikan sebagai: ( ǣ ) ܯ ݔ) ݔ ଵ )

2 Dan jumlah Darboux bawah fungsi terkait dengan partisi ǡdinyatakan dengan sebagai:,( ǣ )ܮ didefinisikan ) ଵ ݔ ݔ) ( ǣ )ܮ = Lemma 1: Diberikan,, ك dan f : [, ] R fungsi yang terbatas pada [, ] dan ݔ) ݔǡ ଵ ݔǡ ଶ ǡǥ ݔǡ ) sembarang partisi pada [, ], maka berlaku : ( ǣ ). ( ǣ )ܮ Bukti : Diberikan ݔ) ݔǡ ଵ ݔǡ ଶ ǡǥ ݔǡ ) sembarang partisi pada [, ], berdasarkan definisi supremum dan infimum suatu himpunan maka diperoleh ܯ untuk setiap k = 1,,,. Oleh karenanya diperoleh : ) ଵ ݔ ݔ) =( ǣ )ܮ ܯ ݔ) ݔ ଵ ) = ( ǣ ) Dengan menggunakan definisi yang sama untuk penghalus partisi pada integral Riemann, maka muncul Lemma berikut. Lemma Diberikan,, ك dan f : [, ] R fungsi yang terbatas pada [, ]. Jika ଵ dan ଶ sembarang dua partisi pada [, ], dengan ଵ ଶ maka berlaku : ( ǣ ଵ). ( ǣ ଶ )ܮ ( ǣ ଶ) ( ǣ ଵ )ܮ

3 Bukti : Diberikan ଵ = ݔ), ݔ ଵ, ݔ ଶ,, ݔ ) sembarang partisi pada [, ] dan ଶ sembarang partisi pada [, ] dengan ଵ ଶ, maka dapat dimengerti bahwa setiap sub interval sendiri. itu ݔ ଵ dan ݔ ] dalam ଵ pasti memuat titik dari partisi ଶ, minimal ݔ, ଵ ݔ] Namakan titik-titik tambahannya tersebut ݔ = ݐ,, ଶ ݐ, ଵ ݐ, ݐ = ଵ ݔ dengan sifat ݔ ଵ = ݐ < ݐ ଵ < ݐ ଶ < < ݐ = ݔ sehingga diperoleh : ൧ ݐ, ( ଵ) ݐ ݔ ) ݔ) = sup ܯ dan = inf ݔ) ) ݔ ݐ ( ଵ), ݐ ൧ Selanjutnya untuk k = 1,,, dan l = 1,,,r diperoleh ܯ ܯ Untuk suku ke k di dalam : )ܮ ଵ) berlaku: ݐ) ଵ ) = ݔ ݔ) = ) ( 1 ) ݐ ݐ) ݐ) ) ( 1 ) ݐ ) ( 1 ) ݐ Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks k, maka diperoleh: ݎ ଶ) : )ܮ = ) ( ଵ) ݐ ݐ) ) 1 ݔ ݔ) ଵ) = : )ܮ =1 =1 =1 Terbukti : )ܮ ଵ) : )ܮ ଶ). Selanjutnya ntuk suku ke k di dalam ( : ଵ) berlaku : ݐ) ܯ = ) ଵ ݔ ݔ) ܯ = ) ( 1 ) ݐ ݐ) ܯ ݐ) ܯ ) ( 1 ) ݐ Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks k, maka diperoleh: ݎ ( : ଵ) = 1 ݔ ݔ) ) ݐ) ݐ ( ଵ) ) = ( : ଶ) Terbukti ( : ଶ) ( : ଵ). =1 =1 =1 ) ( 1 ) ݐ

4 Teorema 3 Diberikan,, dan f : [, ] R fungsi yang terbatas pada [, ]. sembarang dua partisi pada [, ], maka berlaku : Jika ଵ dan. ଶ) ଵ) ( : : )ܮ Bukti : Dibentuk = ଵ ଶ, maka ଵ dan ଶ, sehingga berdasarkan Lemma diperoleh : )ܮ ଵ) ( : )ܮ dan ( : ) ( : ଶ).. ) ( : ( : )ܮ Dan berdasarkan Lemma 1 diperoleh Akibatnya didapat : ଶ). ଵ) ( : : )ܮ B. Integral Darboux Atas dan Integral Darboux Bawah Ingat, P [, ] dimaksudkan sebagai himpunan semua partisi pada [, ]. Selanjutnya integral Darboux atas fungsi f pada interval [, ] ത ݔ (ݔ) ܦ atau didefinisikan sebagai : ത b]}, a ] ): { ( : = ݔ (ݔ) න ܦ = ( ), dinotasikan dengan ( ) integral Darboux bawah fungsi f pada interval,, dinotasikan dengan ( )ܮ atau : sebagai didefinisikan ݔ (ݔ) ܦ ത b]}, a ] ): : )ܮ}ݑݏ = ݔ (ݔ) න ܦ = ( )ܮ Teorema 4 Diberikan,, dan f : [, ] R fungsi yang terbatas pada [, ]. Jika fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada interval [, ], maka ( ). ( )ܮ Bukti : Diketahui fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah, artinya dapat dipilih sembarang partisi ଵ, a ] b] dan ଶ, a ] b]. Dipilih = ଵ ଶ, maka berdasarkan Lemma dan Teorema 3 berlaku ଶ) ( : ) ( : ; ) : )ܮ ଵ) : )ܮ

5 Jadi bilangan real ( : ଶ) merupakan suatu batas atas dari ) : )ܮ}, a ] b]} Akibatnya ଶ), a ] b]} ( : ): : )ܮ}ݑݏ = ( )ܮ Demikian pula, ( )ܮ merupakan batas bawah dari { ( : ):, a ] b]}, sehingga ( ) = b]}, a ] ଶ): { ( : ( )ܮ ( ). ( )ܮ Terbukti Dari uraian di atas, selanjutnya diberikan definisi integral Darboux sebagai berikut. C. Integral Darboux Definisi 5 Fungsi bernilai real dan terbatas [, ] dikatakan terintegral Darboux pada [, ], jika atau ത (ݔ) න ܦ ( ) = ( )ܮ (ݔ) න ܦ = ݔ ݔ (ݔ) = න ݔ Teorema berikut menyatakan suatu kriteria yang harus dipenuhi oleh fungsi f : [, ] R supaya terintegral Darboux pada interval [, ] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya. Teorema 6 (Kriteria Riemann untuk integral Darboux) Fungsi bernilai real dan terbatas f : [, ] R terintegral Darboux pada [, ] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat partisi Riemann Ṗ ఌ pada [, ] sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [, ] dengan sifat Ṗ ఌ, berlaku. < ) : )ܮ ) ( : Bukti Syarat perlu:. ( ) = ( )ܮ Diketahui fungsi f : [, ] R terintegral Darboux pada [, ], berarti Diberikan sembarang bilangan > 0, berdasarkan definisi ( ) maka terdapat partisi Riemann Ṗ ଵ pada [, ] sehingga + ( ) < ) ଵ (Ṗ ( )

6 Karena ( )ܮ = ( ) maka berlaku + ( )ܮ < ) ଵ (Ṗ ( )ܮ Selanjutnya, untuk bilangan > 0 tersebut, berdasarkan definisi ( )ܮ maka terdapat partisi Riemann Ṗ pada [, ] sehingga ( )ܮ ) ଶ Ṗ : )ܮ < ( )ܮ Berdasarkan Teorema 3, berlaku : )ܮ Ṗ ଶ ) ( : Ṗ ଵ ). Oleh karena itu, diperoleh + ( )ܮ < ) ଵ Ṗ ଶ ) ( : Ṗ : )ܮ < ( )ܮ Dipilih Ṗ ఌ = Ṗ ଵ Ṗ ଶ maka Ṗ ଵ Ṗ ఌ dan Ṗ ଶ Ṗ ఌ, sehingga berdasarkan Lemma diperoleh + ( )ܮ < ) ଵ Ṗ ఌ ) ( : Ṗ ଶ ) ( : Ṗ : )ܮ ) ଶ Ṗ : )ܮ < ( )ܮ Akibatnya + ( )ܮ < ) ఌ Ṗ ఌ ) ( : Ṗ : )ܮ < ( )ܮ Selanjutnya jika diambil sembarang partisi Riemann Ṗ pada interval [, ] dengan sifat Ṗ ఌ Ṗ, berlaku ( )ܮ ఌ ଶ < : )ܮ Ṗ ఌ ) : )ܮ Ṗ) ( : Ṗ) ( : Ṗ ఌ ) < ( )ܮ + ఌ ଶ maka didapat + ( )ܮ < Ṗ) Ṗ) ( : : )ܮ < ( )ܮ Akhirnya diperoleh. < Ṗ) : )ܮ Ṗ) ( : Syarat cukup: Diketahui untuk setiap bilangan > 0, terdapat partisi Riemann Ṗ ఌ pada [, ] sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [, ] dengan sifat Ṗ ఌ Ṗ, berlaku < Ṗ) : )ܮ Ṗ) ( : + Ṗ) : )ܮ < Ṗ) Ini ekuivalen dengan ( : Berdasarkan definisi ( )ܮ dan ( ), maka untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada [, ], ( )ܮ Ṗ) : )ܮ berlaku ( ) ( : Ṗ) dan

7 sehingga diperoleh + ( )ܮ + Ṗ) : )ܮ < Ṗ) ( : ( ) + ( )ܮ> ( ) Diperoleh ( )ܮ ( ) 0 diambil sembarang maka didapatkan < Karena bilangan Berdasarkan hasil ini dan Teorema 4 diperoleh ( )ܮ = ( ). Terbukti f terintegral Darboux. Teorema berikut ini menyatakan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen. Teorema 5.8 Diberikan f : [, ] R suatu fungsi bernilai real dan terbatas, f terintegral Riemann pada [, ] jika dan hanya f terintegral Darboux pada [, ]. Bukti Syarat perlu: Diketahui fungsi f : [, ] R terintegral Riemann pada [, ], berarti terdapat bilangan > 0 ߜ 0, terdapat bilangan >, artinya untuk sembarang bilangan ݔ (ݔ) = ܣ sehingga untuk setiap = ݔ), ݔ ଵ, ݔ ଶ,, ݔ ) partisi pada [, ] dengan < ߜ berlaku อ( ) > อܣ ) ଵ ݔ ݔ)(ݔ) Ambil sembarang ݔ] ଵ, ݔ ] ; = 1,, 3,,, berdasarkan definisi maka terdapat ] demikian sehingga ݔ, ଵ ݔ] ݔ sehingga (ݔ) < + ( ). ݔ) ݔ ଵ ) ݔ)(ݔ) ݔ ଵ ) < + ݔ) ݔ ଵ ) ݔ)(ݔ) ݔ ଵ ) < ݔ) ݔ ଵ ) + =1 ) ଵ ݔ ݔ) ) ( ) ଵ ݔ ݔ) ) ( ݔ) ݔ ଵ ) ݔ)(ݔ) ݔ ଵ ) < ቆ ݔ) ݔ ଵ ) + ଵ )ቇ ݔ ݔ) ) (

8 ݔ) ݔ ଵ ) ݔ)(ݔ) ݔ ଵ ) =1 + ) ଵ ݔ ݔ) < (1) + ) : )ܮ < ) ( : ) : )ܮ Demikian pula untuk sembarang ݔ] ଵ, ݔ ] ; = 1,, 3,,, berdasarkan definisi ܯ maka terdapat ݔ] ݔ ଵ, ݔ ] demikian sehingga ܯ Dengan cara yang sama diperoleh ܯ (ݔ) < ) ( () ) ( : ) ( : < ) ( : Dari (1) dan () diperoleh + ) : )ܮ < ) ( : = + < ) : )ܮ ) ( : Berdasarkan kriteria Riemann untuk integral Darboux terbukti f terintegral Darboux pada [, ]. Syarat cukup: Diketahui fungsi f : [, ] R terintegral Darboux pada [, ]. Ambil sembarang bilangan > 0, berdasarkan Teorema 6 terdapat partisi Ṗ ఋ pada [, ] sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [, ] dengan sifat Ṗ ఋ Ṗ, berlaku. < Ṗ) : )ܮ Ṗ) ( : Dipiilh > ߜ 0 adalah bilangan positif sehingga Ṗ <.ߜ Jika Ṗ sembarang partisi pada > 0 Jadi untuk setiap.ߜ < ఋ interval [, ] dengan sifat Ṗ ఋ Ṗ, maka Ṗ Ṗ terdapat > ߜ 0 demikian sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada [, ] dengan. < Ṗ) : )ܮ Ṗ) berlaku ( : ߜ < Ṗ Di lain pihak untuk sembarang partisi Ṗ pada [, ] berlaku : )ܮ Ṗ) ( : Ṗ) ( : Ṗ) Sehingga diperoleh < Ṗ) : )ܮ Ṗ) Ṗ) ( : : )ܮ Ṗ) ( :

9 Akibatnya Terbukti f terintegral Riemann. < Ṗ) : )ܮ Ṗ) ( : Telah dibuktikan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen, maka sifat-sifat dasar integral Riemann yang telah dibahas pada bab sebelumnya, yaitu ketungalan nilai integral, kelinearan, serta keterbatasan fungsinya berlaku pula pada integral Darboux, sehingga untuk menguji suatu fungsi terintegral Riemann ataukah tidak, dapat ditunjukkan dengan menggunakan integral Darboux.

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real 5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass,

II. TINJAUAN PUSTAKA. dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass, II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi Integral Atas dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass, serta teorema-teorema yang mendukung

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu

Lebih terperinci

DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak

DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1 An-2 1. PENDAHULUAN Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Tujuan dari tulisan ini adalah membahas tentang integral Lebesgue

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2 1.1 Paradoks Zeno ACHILLES TORTOISE 0 1 1½ Sumber: skeptic.com 1 1 1... 1 2 4 8?

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika dan banyak aplikasinya. Dalam kehidupan sehari-hari integral dapat diaplikasikan dalam berbagai

Lebih terperinci

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.

BAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS REAL

PENGANTAR ANALISIS REAL Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH TEORI INTEGRAL (MAA 525)

SILABUS MATAKULIAH TEORI INTEGRAL (MAA 525) SILABUS MATAKULIAH TEORI INTEGRAL (MAA 525) JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UPI BANDUNG 200 A. IDENTITAS MATAKULIH. Nama Matakuliah : Teori Integral 2. Kode Matakuliah : MAA 525 3. Program : Pendidikan

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 17, 2011 Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435 SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis dikenal berbagai macam ruang, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik merupakan suatu

Lebih terperinci

URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN

URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan

Lebih terperinci

TINJAUAN SINGKAT KALKULUS

TINJAUAN SINGKAT KALKULUS A TINJAUAN SINGKAT KALKULUS Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat

Lebih terperinci

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1 FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281

Lebih terperinci

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan tujuan penelitian, maka pada bab ini akan dilakukan estimasi model regresi nonparametrik berdasarkan estimator polinomial lokal kernel dengan meminimumkan Weigted

Lebih terperinci

INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN. (Skripsi) Oleh PURNOMO AJI

INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN. (Skripsi) Oleh PURNOMO AJI INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN (Skripsi) Oleh PURNOMO AJI JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016 ABSTRAK INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN

Lebih terperinci

BAB 5 POSET dan LATTICE

BAB 5 POSET dan LATTICE BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL Pertemuan 4. BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 1.1 Paradoks 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL Bila kita menjumlahkan 1 2 + 1 4 + 1 8 +... Apabila kita ambil contoh

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

Lebih terperinci

TUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP MATARAM

TUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP MATARAM Supremum dan Infimum TUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA ANGGOTA : 1. ADESUHANDI (06 221 008) 2. ABDUSSALIM (06 221 006) 3. WAN SYAFRADINATA (07 221 299) 4. WIWIN WIDIARTI (07 221

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL

HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan

Lebih terperinci

EKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM RUANG BANACH. Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

EKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM RUANG BANACH. Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP EKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM RUANG BANACH Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Integral McShane fungsi-fungsi bernilai real

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.

III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Konsep integral sering digunakan untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Selain itu, integral juga sering digunakan untuk mencari penyelesaian dari suatu

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK Negeri 1 Surabaya Program Keahlian : Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : Standar Kompetensi : Menerapkan konsep barisan dan deret dalam

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Kemiskinan Berdasarkan pendekatan kebutuhan dasar, ada tiga indikator kemiskinan yang digunakan, Pertama Head Count Index (HCI- P0) yaitu persentase penduduk yang dibawah garis

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui

Lebih terperinci

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat

Lebih terperinci

MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER POSITIF TERKENDALA SISTEM SINGULAR KONTINU INVARIAN WAKTU

MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER POSITIF TERKENDALA SISTEM SINGULAR KONTINU INVARIAN WAKTU LAPORAN HASIL PENELITIAN FUNDAMENTAL LANJUTAN TAHUN ANGGARAN 2010 MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER POSITIF TERKENDALA SISTEM SINGULAR KONTINU INVARIAN WAKTU Oleh Muhafzan, Ph.D Dr. Susila Bahri, M.Sc Dibiayai

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI

BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI Bab ini membahas tentang fungsi uji dan distribusi di mana ruang yang memuat keduanya secara berturut-turut dinamakan ruang fungsi uji dan ruang distribusi. Ruang fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

III. HASIL DAN PEMBAHASAN III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal

Lebih terperinci

KOSET. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

KOSET. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang KOSET Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com April 21, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Koset 3 3 Sifat-sifat Koset 4 4 Latihan 5 2 1

Lebih terperinci

BAB 5 POSET dan LATTICE

BAB 5 POSET dan LATTICE BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA

BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA 5.1 Harga Saham ( ( )) Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak

Lebih terperinci

BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU

BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

9. Teori Aproksimasi

9. Teori Aproksimasi 44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

LAMPIRAN X BAHAN AJAR

LAMPIRAN X BAHAN AJAR 181 LAMPIRAN X BAHAN AJAR Nama Sekolah : SMPN 2 Nan Sabaris Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII / II Materi Pokok : Peluang Tahun Pelajaran : 2016 / 2017 Jumlah Pertemuan : 5 Pertemuan

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang

Lebih terperinci

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 24 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bagian awal bab ini disajikan pemetaan untuk mendeskripsikan jumlah DBD dan faktor yang mempengaruhi di Kota Semarang. Bagian selanjutnya dilakukan pemodelan untuk mendapatkan

Lebih terperinci

Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG

Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG Lusi Agustin 131810101004 Ria Ammelia Wahyu 131810101008 Atiqoh Hani R 131810101044 Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG Percobaan acak menjadi percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

Oleh: Naning Sutriningsih

Oleh: Naning Sutriningsih Oleh: Naning Sutriningsih SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 0 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Allah Rabbul Alamin, atas

Lebih terperinci

Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB

Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA 1 MINGGU KE- POKOK DAN SUB POKOK BAHASAN TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM (TIU) SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATAKULIAH : TEORI UKURAN DAN INTEGRAL

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari antara lain barisan, limit, deret, kekontinuan, kekonvergenan, integral, dan yang lainnya.

Lebih terperinci

PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI

PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1 Program Studi Pendidikan Matematika

Lebih terperinci

BAB V PERENCANAAN ELEMEN STRUKTUR. a. Beton bertulang biasa dengan mutu beton sebagai berikut. Kolom dan dinding geser dengan mutu beton f c = 35 MPa

BAB V PERENCANAAN ELEMEN STRUKTUR. a. Beton bertulang biasa dengan mutu beton sebagai berikut. Kolom dan dinding geser dengan mutu beton f c = 35 MPa 52 BAB V PERENCANAAN ELEMEN STRUKTUR 5.1 Mutu Bahan Dalam perencanaan struktur pada Apartemen Solo Paragon digunakan mutu bahan sebagai berikut. a. Beton bertulang biasa dengan mutu beton sebagai berikut.

Lebih terperinci

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari

Lebih terperinci

MODEL ANTRIAN WAKTU TUNGGU KENDARAAN DI PERSIMPANGAN LAMPU LALU LINTAS CONDONG CATUR DENGAN COMPOUND POISSON ARRIVALS

MODEL ANTRIAN WAKTU TUNGGU KENDARAAN DI PERSIMPANGAN LAMPU LALU LINTAS CONDONG CATUR DENGAN COMPOUND POISSON ARRIVALS MODEL ANTRIAN WAKTU TUNGGU KENDARAAN DI PERSIMPANGAN LAMPU LALU LINTAS CONDONG CATUR DENGAN COMPOUND POISSON ARRIVALS DAN MEMPERHATIKAN SISA ANTRIAN SEBELUMNYA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika

Lebih terperinci

) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X =

) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X = Section 3.4 Barisan Bagian dan Teorema Bolzano Weierstrass Di bagian ini kita akan diberikan konsep dari barisan bagian dari barisan bilangan real. Secara informal, barisan bagian dari barisan adalah satu

Lebih terperinci

METODE ANALISIS RELASI PEMASUKAN DAN PENGELUARAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI DENGAN MATRIKS TEKNOLOGI

METODE ANALISIS RELASI PEMASUKAN DAN PENGELUARAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI DENGAN MATRIKS TEKNOLOGI METODE ANALISIS RELASI PEMASUKAN DAN PENGELUARAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI DENGAN MATRIKS TEKNOLOGI Metode Analisis Relasi Pemasukan dan Pengeluaran dalam Bisnis dan Ekonomi dengan Matriks Teknologi Ginanjar

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN STMIK PARNA RAYA MANADO TAHUN 2010

SATUAN ACARA PERKULIAHAN STMIK PARNA RAYA MANADO TAHUN 2010 TAHUN DOSEN : IR. HASANUDDIN SIRAIT PERTEMUAN : 1-2 JUMLAH JAM : 200 MENIT - Himpunan - Himpunan - Diagram Venn - Operasi antar Himpunan - Aljabar Himpunan - Himpunan Hingga - Argumen & Diagram Venn -

Lebih terperinci

Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski

Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski Rani Fransiska Departemen Marematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 1644 ranifransiska@uiacid Abstrak Pertidaksamaan Ostrowski adalah suatu pertidaksamaan integral untuk

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks

0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks 0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,

Lebih terperinci

0,1, Holder s continue function in rank of and. 0,1, fungsi kontinu Holder berpangkat-,

0,1, Holder s continue function in rank of and. 0,1, fungsi kontinu Holder berpangkat-, JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal 233-240 HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATI- DENGAN DIMENSI- DARI SUATU KURVA Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika MIPA UNS Surakarta Email supriyadi_w@yahoocoid

Lebih terperinci

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang

Lebih terperinci

Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice

Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice Dosen : Dra. Linda Rosmery Tambunan, M.Si Disusun oleh : Zoelia Gurning (160384202050) Yoga (160384202054) Muhammad Wiriantara (160384202063) Eci

Lebih terperinci

INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE

INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE Ikram Hamid Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT In this paper, we discuss a Riemann-type

Lebih terperinci

Misal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap

Misal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO PENYELESAIAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2012/2013 Mata Ujian : Analisis Real 1 Tipe Soal : Reguler Dosen : Dr. Julan HERNADI Waktu : 90 menit

Lebih terperinci

Teori Himpunan Elementer

Teori Himpunan Elementer Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements

Lebih terperinci

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan

Lebih terperinci

BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 9 BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan

Lebih terperinci

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi

Lebih terperinci