Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier

Transkripsi

1 Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Oleh: Armein Z R Langi dan Erwin Cahyadi Kelompok Riset dan Teknologi Pemrosesan Sinyal Digital Kelompok Keilmuan Teknologi Informasi Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Edisi Pertama Penerbit: Pusat Penelitian Teknologi Informasi dan Komunikasi (PPTIK) Institut Teknologi Bandung

2 Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Edisi I 202 Oleh Armein Z. R. Langi dan Erwin Cahyadi Diterbitkan Oleh: Pusat Penelitian Teknologi Informasi dan Komunikasi (PPTIK) Institut Teknologi Bandung Jalan Ganeca 0 Bandung, Jawa Barat, Indonesia ISBN

3 Contents Sinyal dan Sistem. Tinjauan Sinyal Sistem Konteks dan Latar Belakang Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem Jenis Sinyal Sinyal Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Transformasi Waktu Sinyal Sinyal Periodik Sinyal Genap dan Ganjil Sinyal Sinusoidal dan Sinyal Eksponensial Sinusoidal Eksponensial Kompleks Sinyal Primitif dan Superposisinya Sinyal Primitif Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Terhubung Harmonis Sistem CT dan DT Berbagai Jenis Sistem Sistem Dengan dan Tanpa Memori Kausalitas dan Stabilitas Linieritas dan Time Invariance Penutup Soal-Soal Latihan Laboratorium Komputer Sistem Linear Time-Invariant Sistem LTI, Respons Impulse dan Konvolusi Sifat Dasar Sistem LTI dan Simulasi Komputer Konvolusi Representasi Sinyal Menggunakan Konvolusi Impuls Representasi Sistem LTI Dengan Konvolusi Respons Impuls Respons Sistem Dengan Konvolusi Respons Impuls Respons Sistem LTI CT Respons Sistem LTI DT Respons Step Kasus Mencari Input dari Output Sifat-Sifat Sistem LTI Kausalitas Stabilitas Kasus Kausalitas, Stabilitas dan Periodisitas

4 Contents Memori LCCDE Persamaan Diferensial Koefisen Konstan Simulasi LCCDE Solusi Persamaan LCCDE Simulasi Solusi LCCDE Penerapan Pada Sistem LCCDE Formulasi Sistem LCCDE Aplikasi Pada Sistem LCCDE CT Aplikasi Pada Sistem LCCDE DT Simulasi Solusi LCCDE DT Tutorial Solusi LCCDE Kasus Orde CT Kasus Orde DT Kasus Menghitung Respons Impuls Kasus Solusi Partikular Tidak Independen Penutup Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal kompleks eksponensial Konsep eigenfunction dan eigenvalue Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI CT Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI DT Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial Representasi Deret Fourier pada sinyal CT Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik CT Kasus: Menghitung deret Fourier dari sinyal kotak Konvergensi Deret Fourier Sifat-Sifat Deret Fourier CT Linearitas, Time Shifting, Time Reversal Time Scaling, Multiplication, Konjugasi dan Simetri Konjugat Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu kontinu Contoh Soal Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik DT Sifat Deret Fourier DT Contoh Soal Sistem LTI dan Filter Sistem LTI dan Respon Frekuensi Contoh Soal Sistem LTI Filter Frekuensi Shaping Filter Selektif Frekuensi Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik Filter RC Lowpass CT

5 Contents Filter RC Highpass CT Filter DT rekursif orde Filter DT non-rekursif Penutup Transformasi Fourier Waktu Kontinu Transformasi Fourier Untuk Sinyal CT Aperiodik Definisi dan Tinjauan Umum Definisi Konvergensi Beberapa Contoh Kasus Aperiodik Ekstensi Deret Fourier Untuk Sinyal Aperiodik Transformasi Fourier Sinyal Periodik Sifat Transformasi Fourier Daftar Sifat-Sifat Kasus-Kasus Dasar Linearitas dan Time Shifting Diferensiasi dan Integrasi Time Scaling Dualitas Domain Waktu dan Domain Fourier Relasi Parseval Konvolusi Multiplikasi Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier Respons Frekuensi Contoh Orde Satu Contoh Orde Dua Contoh Menghitung Output Dengan TF Penutup Soal Tambahan DT Fourier Transform Transformasi Fourier untuk Sinyal DT Aperiodik Tinjauan dan Definisi Definisi Konvergensi Beberapa Contoh Kasus Aperiodik Eksistensi Deret Fourier untuk Sinyal Aperiodik Transformasi Fourier Sinyal Periodik Sifat Transformasi Fourier dan Pasangan Transformasi Daftar Sifat-Sifat Kasus Dasar Sifat Konvolusi Sifat Multiplikasi Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier Respons Frekuensi Contoh Orde Satu Contoh Orde Dua Contoh Menghitung Output Dengan TF Penutup

6 Contents 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 4 6. Representasi Respons Magnituda dan Phasa, dan Pengaruhnya Pada Integritas Sinyal di Domain Waktu Makna Respons Magnituda dan Fasa Fasa Linier Group Delay Filter Ideal dan Filter Praktis Kasus Ideal Kasus Tidak Ideal Log Magnitude dan Bode Plots Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT Magnituda CT Orde Satu Fasa CT Orde Satu Magnituda Orde Dua CT Fasa CT Orde Dua LCCDE CT Orde Tinggi dan DT orde rendah CT Orde Tinggi Contoh Kasus DT Orde Satu DT Orde Dua Soal Tambahan Penutup Sampling Representasi Sinyal CT dengan DT Sampling Impulse Train Sampling dengan Zero-Order Hold Rekonstruksi sinyal dari sampel-sampelnya menggunakan interpolasi Contoh Soal Aliasing Teorema Sampling Undersampling Contoh Soal Contoh Soal Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT Konversi C/D, Konversi D/C Hubungan Sistem Waktu Diskrit Dengan Sistem Waktu Kontinu Diferensiator Digital Delay Setengah Sampel Penutup Transformasi Laplace Definisi Transformasi Laplace dan Konvergensinya Definisi dan Hubungan Dengan FT Region of Covergence Kasus Rasional Sifat RoC Transformasi Laplace Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi Sifat-sifat Dasar Aplikasi Dasar

7 Contents Pasangan Transformasi Aplikasi Dasar Inversi dan Partial Fraction Inversi untuk Kasus Rasional Partial Fraction Pole-Zero dan Evaluasi Geometri Transformasi Fourier Kasus Orde Satu, Dua, dan Allpass Analisa Sistem LTI dan LCCDE Fungsi Sistem dan Kausalitas Stabilitas Fungsi Sistem LCCDE Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem Filter Butterworth Sifat Respons Frekuensi Poles Fungsi Sistem Persamaan LCCDE Diagram Blok dan Transformasi Satu Sisi Sistem Paralel, Seri, dan Umpan Balik Diagram Blok dari LCCDE Transformasi Laplace Satu Sisi Penerapan ULT Pada sistem LCCDE Penutup Transformasi z Definisi dan Konvergensi Transformasi z Definisi dan Hubungan dengan Fourier Transform Region of Convergence Sifat-Sifat ROC Transformasi z Rasional Inversi dan Partial Fraction Inversi Transformasi z Pole-Zero Ekspansi Partial Fraction Evaluasi Geometri Kasus Orde Satu, Orde Dua Kasus Orde Satu Kasus Orde Dua Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi z Sifat-Sifat Dasar Aplikasi Sifat Dasar Aplikasi Sifat Dasar Pasangan Transformasi z Analisa Sistem LTI dan Sistem LCCDE Fungsi sistem dan Kausalitas Stabilitas Fungsi Sistem LCCDE Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem Fungsi Sistem Aljabar dan Block Diagram Fungsi Sistem untuk Interkoneksi dari Sistem LTI Sistem Paralel dan Sistem Cascade

8 Contents Diagram Blok LCCDE Direct Form Realisasi Direct Form, Sistem Paralel, dan Sistem Cascade Transformasi z Satu Sisi Definisi transformasi z satu sisi Contoh transformasi z satu sisi dan inversinya Sifat Transformasi z Satu Sisi Aplikasi transformasi z satu sisi Penutup

9 Kata Pengantar Buku ini adalah ikhtisar dan saduran bebas dari buku Signals & Systems (Second Edition) karangan Alan V. Oppenheim dan Alan S. Willsky (dengan S. Hamid Nawab). Buku teks tersebut digunakan dalam kuliah II 2094 Sinyal dan Sistem, pada program studi Sistem dan Teknologi Informasi (STI), di Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung (STEI-ITB). Meskipun buku tersebut sudah cukup lengkap dengan penyajian yang cukup sederhana, akan tetapi masih diperlukan catatan kuliah dengan materi yang lebih selektif, mengingat matakuliah tersebut diberikan pada mahasiswa tingkat kedua. Secara khusus, beberapa hasil riset penulis seperti SignalSheet digunakan juga untuk memperkaya buku ini. SignalSheet adalah platform spreadsheet untuk pengelolaan sinyal digital. SignalSheet digunakan pada Bab dan Bab 2, dan tidak terdapat pada buku teks tersebut di atas. Oleh sebab itu, buku ini ditulis dengan maksud untuk menjadi pengganti catatan kuliah dari peserta. Dengan adanya buku ini, maka peserta kuliah tidak perlu banyak mencatat lagi, dan bisa berkonsentrasi pada penjelasan dalam kelas. Buku ini juga berguna bagi pengajar kuliah ini, karena materi yang hendak disampaikan dalam kelas sudah dirangkum dalam buku ini. Buku ini disusun sesuai dengan tujuan pembelajaran Kuliah II Penulis sengaja menyusun buku ini dengan struktur yang sesuai dengan struktur perkuliahan II Kuliah tersebut didesain untuk satu semester (5 minggu, termasuk dua UTS) dengan beban 3 SKS. Maka materi buku ini didesain sesuai rencana pembelajaran, yang bisa di lihat pada lampiran. Buku ini tidak dimaksudkan untuk menggantikan buku teks tersebut di atas. Buku ini dibuat sebagai pelengkap buku teks tersebut, dengan tujuan utama untuk memudahkan perkuliahan. Oleh sebab itu penulis tetap menggunakan struktur, notasi, contoh soal, serta ilustrasi yang ada dalam buku teks tersebut dengan modifikasi minimal. Ini dimaksudkan untuk menghindari kebingungan yang tidak perlu. Namun demikian, buku ini tetap memiliki kekhasan sebagai sebuah ikhtisar dengan struktur materi yang disesuaikan dengan rencana perkuliahan. Penulis juga memanfaatkan materi tambahan dari MIT Opencourseware dan Signals and Systems (Hwei P Hsu). Penulis berterimakasih kepada kolega pengajar Sinyal dan Sistem yang telah mendorong penulisan buku ini. Penulisan buku ini dilakukan bersama dengan Erwin Cahyadi, yang merupakan asisten tetap pada mata kuliah II Bab 3, 5, 7, dan 9 ditulis oleh Erwin Cahyadi. Harapan penulis buku ini dapat bermanfaat bagi peserta serta pengajar kuliah Sinyal dan Sistem Linier. Bandung 6 April 202 Armein Z R Langi dan Erwin Cahyadi 9

10 Contents Dedikasi: For students: Stay hungry, stay foolish (Steve Jobs) 0

11 Sinyal dan Sistem. Tinjauan Sinyal Sistem.. Konteks dan Latar Belakang Sinyal dan sistem perlu dipahami dalam tiga konteks realitas: (i) realitas yang di alami pancaindera, (ii) realitas yang dituangkan dalam bahasa, dan (iii) realitas yang dibangun di dunia maya (realitas digital) seperti diperlihatkan pada Gambar.. Ada dua elemen dalam memahami realitas: (i) stimulus dan (ii) entitas penghasil stimulus. Stimulus ini dimodelkan sebagai sinyal, dan entitas dimodelkan sebagai sistem. Dalam realitas yang dialami pancaindera (realitas alamiah), stimulus harus memiliki tingkat energi minimal tertentu untuk bisa dideteksi indera. Stimulus dengan tingkat energi rendah dapat dilalukan pada entitas (sistem/instrumen) yang memperkuat energi stimulus sehingga dapat terdeteksi indera. Untuk memfasilitas pemahaman manusia tentang realitas, trerdapat realitas yang dideskripsikan ke dalam bahasa. Di dalam realitas yang berada dalam pikiran manusia ini, stimulus menjadi peristiwa (event). Selanjutnya entitas menjadi sistem dengan perubahan keadaan yang menghasilkan peristiwa tersebut. Realitas bahasa yang lebih khusus menggunakan logika, matematika dan pemodelan. Pemodelan dapat diterima apabila prediksi perilakunya dapat dikonfirmasi pada realitas alamiah. Berbekal realitas alamiah dan realitas bahasa (khususnya model matematis), kita dapat membangun realitas maya berbasis komputasi. Realitas ini merupakan hibrid dari realitas alamiah dan bahasa. Komputer (hardware) adalah instrumen yang berada pada realitas alamiah, tapi perilakunya ditentukan program (software) yang adalah sistem di realitas bahasa. Tujuan akhir dari kuliah sinyal sistem adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk dapat membangun realitas baru (alamiah, bahasa, dan maya) untuk meningkatkan kualitas hidup manusia...2 Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem Tabel. meringkas konsep sinyal dan sistem. Konsep sinyal dari sistem dibangun dari berbagai persepektif, seperti perspektif fisik (alamiah), bahasa, visual 2D, matematika (real, kompleks), dan instrumen komputer. Sinyal adalah model dari besaran fisik yang berubah terhadap waktu. Besaran ini bisa dideteksi dengan alat ukur apabila ia memiliki cukup energi E. Agar dinamika sumber sinyal bisa diamati, maka sinyal perlu merambat, menembus medium (yakni sistem), untuk tiba di tempat pengamat. Namun medium seringkali bersifat resistif, mengambil energi panas dari sinyal, sehingga tidak banyak lagi energi yang tersisa untuk diamati di tempat penerima. Sifat peredaman medium ternyata bergantung dari sebuah besaran yang disebut frekuensi. Setiap sinyal memiliki karakteristik frekuensi. Bisa dikatakan energi dari sinyal dibawa secara efektif oleh komponen berfrekuensi tertentu. Setiap medium juga memiliki karakteristik frekuensi, yang disebut respons frekuensi (frequency response) dari

12 Sinyal dan Sistem Gambar.: Konteks sinyal dan sistem dalam tiga realitas 2

13 Sinyal dan Sistem Tabel.: Ringkasan Sinyal dan sistem Realitas Dunia Energi Kontinu Dunia Bahasa Diskrit Dunia Maya Digital Elemen Stimulus Entitas Event Entitas Data Proses Komputasi Fisik Energi (berubah) Pengubah Energi Peristiwa Keadaan / State / Penyebab Peristiwa Data Bit + Jaringan Prosesor + Algorima + Memori Bahasa Sinyal Sistem Sinyal Sistem Sinyal Sistem Visual 2D Matematika Fungsi Persamaan Deret s [n] Persamaan Bilangan Algoritma (Real) kontinu s (t) I/O + Differential Equations I/O + Difference Equations {, 3, 2, 7,...} Matematika (Real- Kompleks) Fourier CT Fourier CT Fourier DT Fourier DT DFT/FFT DFT/FFT Filter / Goertzel Matematika Laplace Laplace Z Z (Kompleks) Instrumen (Elektro/nik, Komputer) Microphone, Camera Filter Analog; Converters; Modem Filter Digital; Samplers; Modem Network, Terminal Computers, DSP, Gadgets 3

14 Sinyal dan Sistem Gambar.2: Kategori jenis sinyal. medium ini. Kecocokan antara karakteristik frekuensi sinyal dan respon frekuensi medium menentukan apakah sinyal berhasil merambat untuk tiba di pengamat dengan energi yang cukup untuk diukur atau tidak. Sifat medium yang menapis atau melalukan sinyal berdasarkan karakteristik frekuensi disebut filter. Dengan hadirnya komputer, yang merupakan teknologi digital, maka sinyal dapat direpresentasikan sebagai data komputer. Sinyal yang berupa data komputer ini disebut sinyal digital. Sebuah alat yang disebut analog to digital converter (ADC) dapat mengubah sinyal analog menjadi sinyal digital. Karakteristik utama sinyal digital adalah varibel independen dari sinyal digital tidak lagi waktu kontinu, melainkan waktu diskrit (discrete time). Sinyal digital juga merambat secara digital melalui sistem komputer dan jaringan data. Sistem digital ini menjadi medium bagi sinyal digital, dan juga memiliki karakteristik frekuensi. Sehingga medium digital ini adalah juga filter, tepatnya filter digital...3 Jenis Sinyal Sinyal dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, seperti diperlihatkan pada Gambar Sinyal Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Secara umum sinyal analog dimodelkan sebagai besaran x(t), yaitu besaran yang berubah terhadap waktu kontinu t. Sedangkan sinyal digital dimodelkan sebagai x[n], yaitu besaran yang berubah terahap indeks (waktu) diskrit n. Arus listrik misalnya sebagai besar muatan listrik yang bergerak dalam satuan waktu (i(t) = d dtq(t) Ampere) membawa energi, sehingga bisa diukur. Bila arus sebesar ini menembus sebuah entitas hambatan (resistor) sebesar R ohm, maka dalam durasi waktu[t, t 2 ] resistor ini mendisipasi energi sebesar E = ˆ t2 t i 2 (t)rdt (.) Resistor ini dimodelkan sebagai sistem yang mengubah kandungan energi dari sinyal i(t). Besaran listrik lain yang umum dikenal adalah tegangan listrik (v(t) = i(t)r). Kita dapat mendefinisikan daya listrik sebagai P (t) = v(t)i(t). Bagi kasus beban resistif, energi yang dibawa arus listrik adalah 4

15 Sinyal dan Sistem E = ˆ t2 ˆ t2 ˆ t2 t R v2 (t)dt = v(t)i(t)dt = P (t)dt (.2) t t Dalam konteks ini, baik arus listrik (i(t)) maupun tegangan listrik (v(t)) dipandang sebagai sinyal yang membawa informasi mengenai sumber dari energi yang dibawanya. Dinamika berubahnya sinyal terhadap waktu mencerminkan dinamika sumber dari sinyal itu. Perhatikan bahwa bila resistor bernilai Ohm, maka energi yang didisipasi adalah dengan daya E = ˆ t2 t v 2 (t)dt (.3) P = ˆ t2 v 2 (t)dt (.4) t 2 t t Sinyal listrik seperti v(t) dan i(t) adalah besaran dengan variabel independen waktu yang kontinu (continuous time). Sinyal ini dapat digambarkan seperti gelombang, di mana semakin kuat sinyal ini semakin besar gelombangnya. Besar energi yang dibawa sinyal dicerminkan oleh besar gelombang. Sinyal gelombang yang berubah terhadap waktu yang kontinu ini disebut sinyal analog. Sinyal analog disebut membawa energi sebesar dengan daya E = ˆ t2 t x 2 (t)dt (.5) P = ˆ t2 x 2 (t)dt (.6) t 2 t t Dengan meminjam analogi yang sama, energi yang dibawa sebuah sinyal digital selama durasi indeks waktu [n, n 2 ] didefinisikan sebagai dengan daya E = n 2 n=n x 2 [n] (.7) P = n 2 n + n 2 n=n x 2 [n] (.8) Dalam praktek dikenal besaran root mean square (rms) untuk sinyal x(t) dalam durasi waktu[t, t 2 ] dengan definisi ˆ t2 x rms x(t) 2 dt (.9) t 2 t t dan untuk besaran digital dalam durasi indeks [, N] x rms = N x[n] 2 (.0) N n= 5

16 Sinyal dan Sistem Kasus: Cari x rms dari x(t) = a cos(ωt) Jawab: Karena x(t) 2 = a 2 cos 2 (ωt) = a 2 ( cos (2ωt)), maka x rms = a/ 2. Perhatikan bahwa untuk sinyal baik analog maupun digital berlaku P = x 2 rms (.) Untuk bisa memahami bagaimana filter bekerja yakni meredam atau memperkuat energi sinyal dalam medium kita perlu mendefinisikan dahulu karakteristik frekuensi dari sinyal, baik sinyal analog maupun sinyal digital. Konsep frekuensi dapat didekati melalui fenomena periodisitas..2 Transformasi Waktu Sinyal.2. Sinyal Periodik Karena medium cenderung menyerap energi sinyal, maka sinyal yang berhasil diamati biasanya sinyal memiliki kemampuan men-sustain energi dalam durasi yang cukup lama. Karena kapasitas sumber energi itu sendiri cukup terbatas, maka strategi yang dipilih adalah mengulang-ulang pengiriman energi secara berkala. Sinyal bentuk ini bersifat periodik. Sinyal analog disebut periodik bila ada sebuah konstanta T (yang disebut periode dasar atau fundamental) sehingga untuk < t < berlaku x(t + T ) = x(t) (.2) Sinyal digital disebut periodik bila ada konstanta N (yang disebut periode dasar atau fundamental) sehingga untuk < n < berlaku x([n + N] = x[n] (.3) Sinyal periodik memiliki energi tak terhingga karena durasi sinyal yang tak terhingga. Namun demikian sinyal ini dapat memiliki daya terbatas, yakni dan P = T ˆ T 0 x 2 (t)dt = x 2 rms (.4) P = N Jadi sinyal periodik adalah sinyal daya..2.2 Sinyal Genap dan Ganjil N n=0 x 2 [n] = x 2 rms (.5) Sinyal simetri adalah sinyal yang memiliki besaran yang serupa menurut cerminan waktu. Ada dua jenis sinyal simetri: sinyal ganjil dan sinyal genap. Sebuah sinyal CT disebut ganjil bila untuk semua t dan pada kasus DT untuk semua n x (t) = x ( t) (.6) 6

17 Sinyal dan Sistem x [n] = x [ n] (.7) Sinyal CT dan DT yang bersimetri genap masing-masing memenuhi persamaan (untuk semua t dan n) x (t) = x ( t) (.8) x [n] = x [ n] (.9) Sebuah sinyal x (t) dapat diuraikan menjadi dua sinyal ganjil x o (t) dan genap x e (t) menurut x o (t) = [x (t) x ( t)] (.20) 2 x e (t) = [x (t) + x ( t)] (.2) 2 Perhatikan bahwa x o (t) ganjil karena memenuhi Persamaan (.6). Selanjutnya x e (t) genap karena memenuhi Persamaan (.8). Kemudian dengan mudah diperlihatkan x (t) = x o (t) + x e (t) (.22) Dengan cara yang sama sinyal x [n] selalu dapat diuraikan menjadi dua sinyal ganjil x o [n] dan genap x e [n]..2.3 Sinyal Sinusoidal dan Sinyal Eksponensial.2.3. Sinusoidal Sinyal periodik yang banyak dikenal orang adalah sinyal sinusoidal, seperti untuk kasus sinyal analog x(t) = A cos (ωt + θ) = A cos (2πft + θ) (.23) dimana A, ω = 2πf dan θ adalah bilangan nyata (real). Sinyal ini periodik dengan periode T = /f. Periode ini menjadi panjang gelombang. Besaran ω dan f masing-masing dikenal sebagai frekuensi sinyal sinusoidal dalam radian dan dalam Hertz. Besaran θ sering disebut fase dari sinyal sinusoid. Besaran A disebut amplituda. Latihan: Buktikan bila T = /f, x(t) pada Pers. (.23) periodik. Bukti: x(t + T ) = A cos (2πf(t + T ) + θ) = A cos (2πft + 2πfT + θ) Bila T = /f, maka x(t + T ) = A cos (2πft + 2π + θ) = A cos (2πft + θ) = x(t) Sinyal digital juga mengenal bentuk sinuosidal x[n] = A cos (ωn + θ) = A cos (2πfn + θ) (.24) namun sinyal ini tidak selalu periodik. Sinyal ini hanya periodik dengan periode N bila f = k N adalah pecahan yang sudah disederhanakan. 7

18 Sinyal dan Sistem Latihan Buktikan bila f = k N adalah pecahan yang sudah disederhanakan, maka x[n] pada Pers. (.24) periodik dengan periode N. Bukti: x[n + N] = A cos ( 2π k N (n + N) + θ) = A cos ( 2π k N n + 2πk + θ) Karena f = k N, maka x[n + N] = A cos ( 2π k N n + θ) = A cos (2πft + θ) = x[n] Frekuensi dari sinyal sinusoidal digital memiliki sifat periodik. Sinyal dengan frekuensi ω dan ω 2 = ω + 2πk (k = 2,, 0,, 2, ) adalah identik. Jadi sinyal sinusoidal dengan frekuensi yang unik adalah sinyal sinuosidal yang memiliki frekuensi π < ω < π. Sinyal sinusoidal pada frekuensi ω 2 di luar interval ini merupakan alias (identik) dengan ω di mana π < ω < π dan ω 2 = ω + 2πk. Latihan: Buktikan x [n] = A cos (ωn + θ) identik dengan x 2 [n] = A cos ((ω + 2πk)n + θ) Bukti: x 2 [n] = A cos ((ω + 2πk)n + θ) = A cos (ωn + 2πkn + θ) sehingga x 2 [n] = A cos (ωn + θ) = x [n] Sebagai sinyal periodik, energi sinyal sinusoidal tak terhingga. Daya sinyal sinusoidal adalah P = T ˆ T 0 A 2 cos 2 (ωt + θ)dt (.25) P = A 2 /2 (.26) Hasil yang sama diperoleh juga untuk sinusoidal digital periodik. Dapat disimpulkan, besar daya dari sinyal sinusoidal diperlihatkan oleh besar amplituda. Semakin besar amplituda sinusoidal maka semakin besar x rms secara proporsional, dan semakin besar daya secara kuadratik. Melalui sinyal sinusoidal kita mengenal frekuensi (ω atau f). Frekuensi dari sinyal sinusoidal berhubungan erat dengan periodisitas. Bagi sinyal sinusoidal analog, frekuensi adalah jumlah osilasi gelombang per satuan waktu. Frekuensi berbanding terbalik dengan periode. Bagi sinyal sinusoidal digital, adanya frekuensi tidak otomatis berarti periodik. Kemudian sinyal sinusoidal yang unik hanya terbatas pada frekuensi π < ω < π. Dan setiap sinyal sinusoidal membawa daya (atau energi rata-rata) yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat amplituda. Setiap sinyal sinusoidal membawa nilai RMS berbanding lurus dengan amplituda Eksponensial Kompleks Sinyal periodik yang sangat penting adalah sinyal eksponensial kompleks (complex exponential). Kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi kompleks eksponensial menggunakan fungsi sinusoidal menurut identitas Euler: e jx = cos x + j sin x Sebuah sinyal kompleks eksponensial analog dan digita masing-masing memiliki bentuk x(t) = ce jωt ; x[n] = ce jωn (.27) 8

19 Sinyal dan Sistem Sinyal eksponensial kompleks ini memiliki frekuensi ω dan amplituda kompleks c. Karena identitas Euler mengatakan bahwa e jx = cos x + j sin x, maka dengan mudah diperlihatkan bahwa semua sifat-sifat sinyal sinusoidal di atas periodisitas, frekuensi, dan daya dapat berlaku pada sinyal eksponensial kompleks. Periode dari sinyal ini sama dengan periode dari sinusoidal. Daya dari sinyal ini adalah P = c 2 (.28) Lebih lanjut, sinyal eksponensial kompleks dapat dianggap penyusun dari sinyal sinusoidal, karena sinyal sinusoidal dapat diuraikan ke dalam sinyal eksponensial kompleks melalui identitas sin x = 2j ejx 2j e jx (.29) cos x = 2 ejx + 2 e jx (.30) Perhatikan bahwa sinyal x(t) = A cos (ωt + θ) dapat ditulis menjadi x(t) = A 2 ej(ωt+θ) + A 2 ej(ωt+θ) (.3) = ( A 2 ejθ )e jωt + ( A 2 e jθ )e jωt (.32) = s (t) + s 2 (t) (.33) di mana s (t) = ( A 2 ejθ )e jωt dan s 2 (t) adalah konjugasi kompleks dari s (t). Dengan kata lain dua eksponensial kompleks s (t) dan s 2 (t) adalah komponen penyusun sinyal sinusoidal. Karena setiap eksponensial kompleks memiliki frekuensi sendiri, maka s (t) dan s 2 (t) juga dibedakan melalui frekuensi nya. Perhatikan bahwa daya dari s (t) dan s 2 (t) masing-masing adalah A2 4, sehingga total daya adalah A2 2 seperti yang diperoleh sebelumnya. Dengan kata lain komponen kompleks eksponensial adalah komponen pembawa energi dari sinyal sinusoidal. Merambatnya sinyal sinusoidal ditentukan oleh merambatnya komponen eksponensial kompleks. Kemampuan sinyal sinusoidal menembus medium ditentukan oleh kemampuan individual eksponensial kompleks menembus medium ini. Energi sinyal sinusoidal dibagikan kepada komponen frekuensi berbeda untk dikirim oleh masing-masing komponennya. Dengan demikian, perilaku filter terhadap sinusoid dapat dipelajari melalui perilaku filter terhadap eksponensial kompleks. Konsep bahwa energi sinyal yang merambat melalui medium dibawa oleh komponen kompleks eksponensial dengan frekuensi tertentu melalui amplitudanya adalah konsep paling dasar dari dari pemrosesan sinyal..2.4 Sinyal Primitif dan Superposisinya Sinyal juga dapat dibangun melalui superposisi dari sinyal primitif Sinyal Primitif Dua sinyal primitif di domain waktu adalah sinyal impuls satuan (unit impulse) dan step satuan (unit step). Untuk CT, kedua sinyal itu adalah δ (t) dan u (t). Sedangkan 9

20 Sinyal dan Sistem untuk DT, kedua sinyal itu adalah δ [n] dan u [n]. Sinyal-sinyal primitif ini di definisikan sebagai { {, t = 0 δ (t) = 0, else ; u (t) =, t 0 0, else δ [n] = {, n = 0 0, else ; u [n] = Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif {, n 0 0, else (.34) Sebuah sinyal x dapat dibangun dengan proses superposisi dari sinyal-sinyal lain s i, dalam bentuk kombinasi linier dengan bobot skalar α i x = i α i s i (.35) Misalnya, setiap x [n] dapat dianggap kombinasi linier dari x [n] = α i δ [n i] (.36) Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Kita dapat memperluas cakupan peran sinyal eksponensial kompleks sebagai pembawa energi pada frekuensi tertentu dari sinyal sinusoidal ke kelas yang lebih luas yaitu sinyal superposisi x(t) = x[n] = N k=0 N k=0 s k (t) = s k [n] = N k=0 N k=0 c k e jω kt c k e jω kn (.37) (.38) Ini berarti sinyal x(t) (atau x[n]) jenis ini merupakan penjumlahan (superposisi) dari N buah komponen eksponensial kompleks s k (t) = c k e jω kt (dan s k [n] = c k e jω kn ). Setiap komponen memiliki frekuensi ω k yang berbeda. Daya dari masing-masing komponen ini adalah dan daya dari sinyal x(t) (atau x[n]) adalah P = N k=0 P k = c k 2 (.39) P k = c c c N 2 (.40) Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Terhubung Harmonis Sebuah kasus khusus dari sinyal superposisi eksponensial kompleks adalah sinyal di mana s k (t) = c k e jω kt (atau s k [n] = c k e jω kn ) terhubung erat satu sama lain. Frekuensi yang satu merupakan kelipatan (harmonis) dari sebuah frekuensi dasar, yakni ω k = kω 0 (.4) 20

21 Sinyal dan Sistem Sinyal jenis ini berbentuk x(t) = x[n] = N k=0 N k=0 s k (t) = s k [n] = N k=0 N k=0 c k e jkω 0t c k e jkω 0n (.42) (.43) Daya dari masing-masing komponen ini masih tetap sama seperti sebelumnya. Demikian juga daya totalnya. Di sini s k (t) (atau s k [n]) adalah pembawa energi x(t) (atau x[n]) dengan daya sebesar P k = c k 2 pada frekuensi ω k = kω 0 Perhatikan bahwa sebuah sinyal dasar s 0 (t) = c 0 e jω0t (atau s 0 [n] = c 0 e jω0n ) cukup untuk digunakan membangun komponen sinyal s k (t) (atau s k [n]) yang lain. Jadi sekarang komponen eksponensial terhubung secara harmonis. Komponen yang satu adalah harmonis dari komponen dasar s 0 (t) (atau s 0 [n]). Dengan demikian maka sinyal jenis ini adalah sinyal periodik dengan periode T = 2π/ω 0 atau N = 2πk/ω 0 (di mana f 0 = ω 0 2π = k N adalah bilangan pecahan/rasional yang sudah disederhanakan). Latihan: Buktikan bahwa x(t) = N k=0 c ke jkω 0t periodik dengan periode T = 2π/ω 0. Jawab: Perhatikan bahwa s k (t + T ) = c k e jkω 0(t+2π/ω 0 ). = c k e jkω 0t e jk2π = c k e jkω 0t = s k (t). Maka x(t + T ) = N k=0 s k(t + T ) = N k=0 s k(t) = x(t) Latihan: Buktikan bahwa x[n] = N k=0 c ke jkω 0n periodik dengan periode N = 2πk/ω 0. Perhatikan bahwa s k [n + N] = c k e jkω 0(n+2πk/ω 0 ) = c k e jkω 0n e jk2 2π. Sehingga s k [n + N] = c k e jkω 0n = s k [n] Maka x[n + N] = N k=0 s k[n + N] = N k=0 s k[n] = x[n].3 Sistem CT dan DT.3. Berbagai Jenis Sistem Sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output. Sistem dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, seperti diperlihatkan pada Gambar.3. Sistem CT mengubah sinyal CT. Sistem DT mengubah sinyal DT..3.2 Sistem Dengan dan Tanpa Memori Sebuah sistem F disebut tanpa memori apabila output pada suatu saat hanya bergantung pada input saat itu. Untuk CT sistem tanpa memori memenuhi { F {x (t)}, t = t 0 y (t 0 ) = (.44) 0, else sedangkan untuk DT sistem kausal y [n 0 ] = Di luar itu, sistem disebut memiliki memori. { F {x [n]}, n = n 0 0, else (.45) 2

22 Sinyal dan Sistem Gambar.3: Jenis Sistem.3.3 Kausalitas dan Stabilitas Sebuah sistem F disebut kausal bila ouput pada suatu waktu tertentu hanya ditentukan oleh input pada waktu tersebut atau sebelumnya. Untuk CT sistem kausal memenuhi { F {x (t)}, t t 0 y (t 0 ) = (.46) 0, t > t 0 sedangkan untuk DT sistem kausal y [n 0 ] = { F {x [n]}, n n 0 0, n > n 0 (.47) Sistem yang tidak kausal disebut non causal atau anticausal. Sebuah sistem F disebut stabil bila untuk setiap input x berlaku output bernilai terbatas yaitu F {x} < (.48) Dalam kasus yang lebih umum, sebuah sistem F disebut stabil BIBO (bounded-input, bounded-output) apabila berlaku x < F {x} < (.49) Sistem yang tidak memenuhi satu dari kedua syarat/kondisi ini disebut tidak stabil..3.4 Linieritas dan Time Invariance Sebuah sistem F di sebut linier bila untuk setiap input x dan x 2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku F {α x + α 2 x 2 } = α F {x } + α 2 F {x 2 } (.50) Sebuah sistem F disebut time invariant bila input yang tertunda akan menghasilkan output yang tertunda. Untuk kasus CT, berarti sedangkan untuk kasus DT, berlaku y (t) = F {x (t)} y (t t 0 ) = F {x (t t 0 )} (.5) y [n] = F {x [n]} y [n n 0 ] = F {x [n n 0 ]} (.52) 22

23 Sinyal dan Sistem.4 Penutup Sinyal membawa energi. Energi membawa perubahan. Perubahan terjadi pada sistem, melalui sinyal input. Perubahan ini adalah perubahan keadaan (state) dari sistem. Perubahan state ini diperlihatkan oleh sinyal output..5 Soal-Soal Latihan. Tentukan komponen sinyal genap dan komponen sinyal ganjil dari sinyal-sinyal berikut: a) Sinyal x [n] = {, 2, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 2, } b) Sinyal eksponensial kompleks x (t) = e j2t 2. Tunjukkan bahwa sinyal x (t) = 2 cos (0t + ) sin (4t ) adalah sinyal periodik. tentukan periode fundamental dari sinyal tersebut. 3. Diketahui x (t) dan x 2 (t) adalah sinyal periodik dengan periode fundamental masing-masing T dan T 2. Pada kondisi apakah jumlah sinyal x (t) = x (t)+x 2 (t) periodik, dan berapakah periode fundamental dari sinyal x (t) jika sinyal ini periodik? 4. Tentukan energi dan daya dari masing-masing sinyal berikut a) Sinyal x [n] = ( 2) n u [n] b) Sinyal x [n] = cos ( π 4 n) 5. Cari x rms dari x(t) = a cos(ωt) Jawab: Karena x(t) 2 = a 2 cos 2 (ωt) = a 2 ( cos (2ωt)), maka x rms = a/ Diketahui sistem-sistem: (i) y(t) = x(t) cos(3t) di mana ω 0, dan (ii) y(t) = x (τ) dτ t a) Apakah sistem linier? b) Apakah sistem time invariant? c) Apakah sistem causal? d) Apakah sistem stabil? 7. Diketahui sistem-sistem: (i) y[n] = ( 3) n (x [n] + 2), (ii) y[n] = n k= ( x 2 [k] x [k + ] ), dan (iii) y[n] = n k= ( 2) n k x [k]. a) Apakah sistem linier? b) Apakah sistem time invariant? c) Apakah sistem causal? d) Apakah sistem stabil? 23

24 Sinyal dan Sistem Tabel.2: Tabel sinyal x[n] A B n x[n] Laboratorium Komputer Sinyal dan sistem dapat disimulasikan di komputer.. Sebuah sinyal digital x[n] = {, 0,, 2, 3, 3,,, 0, } dengan sample pada n = 0 diberi notasi tebal (bold). Tabel dan kurva sinyal menggunakan sebuah spreadsheet, untuk n = 5 : 5, diperlihatkan pada Tabel.2 dan Gambar Energi dari sinyal x[n] = {, 0,, 2, 3, 3,,, 0, }, dengan n = 5 dan n 2 = 5 adalah dan daya E = = 25 P = ( ) = 2.27 Hasil yang sama diperoleh menggunakan spreadsheet pada Tabel.3. Perhatikan bahwa pada spreadsheet, rumus untuk menghitung Energi pada sel B4 dan Daya pada sel B5 memanfaatkan fungsi array yang tersedia pada spreadsheet. Pada spreadsheet seperti Microsoft Excel, fungsi array diperoleh dengan memasukkan formula pada sel yang dipilih kemudian diikuti dengan menekan simultan tombol [ctrl enter]. 24

25 Sinyal dan Sistem Gambar.4: Gambar sinyal. Tabel.3: Menghitung energi dan daya dari sinyal. A B n x[n] Energi = Durasi = 6 Daya = 2.27 B4 =SUM(B2:B2*B2:B2) (ctrl-enter) B5 =COUNT(B2:B2) (enter) B6 =SUM(B2:B2*B2:B2)/COUNT(B2:B2) (ctrl-enter) 25

26 2 Sistem Linear Time-Invariant Model sistem menjadi sederhana bila sistem diasumsikan linier dan time invariant (LTI). Pertama, sistem dapat dikarakterisasi menggunakan respons impuls. Kedua, respons dari sistem dapat dihitung melalui proses konvolusi. Salah satu sistem LTI terpenting adalah sistem linear differential constant coefficients (LCCDE). Pada sistem LCCDE persamaan input-output dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial. Dengan demikian respons dari sistem LCCDE adalah solusi dari persamaan diferensial. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung output dari sistem LTI dan LCCDE. 2. Sistem LTI, Respons Impulse dan Konvolusi 2.. Sifat Dasar Sistem LTI dan Simulasi Komputer Sistem F secara umum menghasilkan sinyal output sinyal y dengan memproses (menembuskan) sinyal input x (lihat Gambar 2.), yang ditulis secara umum y = F {x} (2.) Secara khusus sistem ini menghasilkan sinyal h bila dimasuki input impuls δ. Sinyal h disebut respons impuls. Selanjutnya sistem ini akan menghasilkan respons step s bila dimasuki input step u. Pada umumnya sistem dinyatakan melalui persamaan I/O (input-output). Sebagai contoh, sebuah sistem DT memiliki persamaan I/O y[n] = a 2 y[n 2] a y[n ] + b 0 x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] (Sistem ini dikenal sebagai sistem LCCDE orde dua). Persamaan I/O ini menjelaskan bagaimana sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output, sampel per sampel. Kasus: Sifat perubahan yang terjadi akibat sistem LCCDE, terutama dalam mengubah energi sinyal, bergantung dari frekuensi sinyal. Sebagai contoh, misalnya sistem orde dua tersebut di atas memiliki koefisien seperti pada Tabel 2.. Kemudian sistem ini dimasuki sinyal sinusoid x [n] = cos (.5n) (lihat Gambar 2.2). Dengan bantuan spreadsheet Tabel 2.2 kita dapat menghitung sampel output y[n]. Dari Gambar 2.2 terlihat bahwa gelombang output sudah mengecil. Berarti sistem ini telah meredam sinyal x [n], sebesar lebih dari 22dB berdasarkan perhitungan x h y Gambar 2.: Sistem 26

27 2 Sistem Linear Time-Invariant Tabel 2.: Contoh koefisien orde dua DT Koefisien Nilai a a a 0 b b b Tabel 2.2: Output dari sistem orde dua terhadap sinyal sinusoid sebanyak 60 sampel. A B C D E Koefisien Nilai Nilai 2 a a a 0 5 b b b Frek: n x [n] y [n] x 2 [n] y 2 [n] Energy Relatif (db) Kode spreadsheet: B:=COS(B$9*A) [enter] D:=COS(D$9*A) [enter] C3: =SUM(B:B3*C$5:C$7)-SUM(C:C2*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] E3: =SUM(D:D3*E$5:E$7)-SUM(E:E2*E$2:E$3) [ctrl+shift]-[enter] B74:=SUM(B3:B72*B3:B72) [ctrl+shift]-[enter] C74:=SUM(C3:C72*C3:C72) [ctrl+shift]-[enter] D74:=SUM(D3:D72*D3:D72) [ctrl+shift]-[enter] E74:=SUM(E3:E72*E3:E72) [ctrl+shift]-[enter] C75:=0*LOG0(C74/B74) [enter] E75:=0*LOG0(E74/D74) [enter] 27

28 2 Sistem Linear Time-Invariant Gambar 2.2: Sinyal output untuk input x[n] = cos.5n. spreadsheet. Sinyal sinusoid lain yang frekuensi lebih tinggi, x [n] = cos (2.5n) juga teredam, tetapi hanya sebesar 0.2 db (Gambar 2.3). Sistem LTI adalah sistem yang sekaligus linier dan time invariant. Sistem F di sebut linier bila untuk setiap input x dan x 2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku F {α x + α 2 x 2 } = α F {x } + α 2 F {x 2 } (2.2) Selanjutnya sistem F ini juga disebut time invariant bila input yang tertunda akan menghasilkan output yang tertunda. Untuk kasus CT, berarti sedangkan untuk kasus DT, berlaku y (t) = F {x (t)} y (t t 0 ) = F {x (t t 0 )} (2.3) y [n] = F {x [n]} y [n n 0 ] = F {x [n n 0 ]} (2.4) Catat juga bahwa untuk sistem time invariant, berlaku F {δ (t t 0 )} = h (t t 0 ) ; F {δ [n n 0 ]} = h [n n 0 ] Soal: Dari pengamatan input-output sebuah sistem time-invariant diperoleh pasangan input-output sebagai berikut. x[n] y[n] {, 0, 2} {0,, 2} {0, 0, 3} {, 0, 0, 2} {0, 0, 0, } {, 2, }. Tentukan apakah sistem linier atau tidak? 28

29 2 Sistem Linear Time-Invariant Gambar 2.3: Sinyal output untuk input x[n] = cos 2.5n. 2. Cari respons impulse h[n] Soal: Dari pengamatan sebuah sistem linier, diperoleh hubungan input-output berikut ini x [n] y [n] {, 2, } {, 2,, } {,, } {,, 0, 2} {0,, } {, 2, }. Tentukan apakah sistem ini time-invariant atau tidak? 2. Carilah respons impuls dari sistem ini. Kasus: Sebuah sistem LTI CT memiliki respons step s(t) = e t u(t). Tentukan output bila sistem dimasuki sinyal x(t) seperti pada gambar di bawah. x (t) 0 2 3t Perhatikan bahwa x(t) = u(t ) u(t 3). Dari sifat LTI, disimpulkan bahwa y(t) = s(t ) s(t 3). Hasil ini dapat dilihat pada gambar berikut. 29

30 2 Sistem Linear Time-Invariant s(t) s(t ) 0 3 t s(t 3) y(t) 0 3 t 2..2 Konvolusi Konvolusi antara dua sinyal s dan v menghasilkan sinyal w yang dinyatakan dengan notasi sebagai yang didefinisikan untuk kasus CT sebagai dan untuk kasus DT sebagai w (t) = s (t) v (t) = w [n] = s [n] v [n] = w = s v (2.5) ˆ l= Melalui kedua definisi ini dapat dibuktikan sifat komutatif bahwa s (τ) v (t τ) dτ (2.6) s [l] v [n l] (2.7) s v = v s (2.8) Dalam praktek kita memilih cara di ruas kiri bila s berdurasi lebih pendek daripada v, karena ini menyerhanakan perhitungan Representasi Sinyal Menggunakan Konvolusi Impuls Sebuah sinyal dapat direpresentasikan sebagai konvolusi sinyal itu terhadap sinyal impuls. Dalam kasus CT, sinyal x(t) dapat diekspresikan sebagai x(t) = ˆ x (τ) δ (t τ) dτ = x (t) δ (t) (2.9) Dengan cara yang serupa untuk kasus DT, sebuah sinyal x[n] dapat direpresentasikan sebagai x [n] = l= x [l] δ [n l] = x [n] δ [n] (2.0) 30

31 2 Sistem Linear Time-Invariant Representasi ini adalah kasus khusus dari sifat umum bahwa sebuah sinyal CT dapat direpresentasikan dalam bentuk integral terhadap sebuah kernel s(t, τ) menurut x(t) = ˆ X (τ) s(t, τ)dτ (2.) dan sinyal DT dapat direpresentasikan oleh sebuah kombinasi linier dari sinyal basis s (n, l) menurut x [n] = l= X [l] s (n, l) (2.2) 2..4 Representasi Sistem LTI Dengan Konvolusi Respons Impuls Setiap sistem, termasuk sistem LTI, memiliki respons impuls h. Khusus untuk sistem LTI, respons impuls sangat berperan untuk merepresentasikan sistem, artinya repons sistem dapat digunakan untuk menghitung ouput dari input x. Tepatnya, y = x h (2.3) Untuk memperlihatkan hal ini dalam kasus DT, perhatikan bahwa { } y[n] = F {x[n]} = F x [l] δ [n l] maka diperoleh y[n] = y [n] = l= l= l= x [l] F {δ [n l]} x [l] h [n l] (2.4) dan untuk kasus CT, {ˆ } y(t) = F {x (t)} = F x (τ) δ (t τ) dτ maka diperoleh y(t) = y (t) = ˆ ˆ x (τ) F {δ (t τ)} dτ x (τ) h (t τ) dτ (2.5) Kasus: Sebuah sistem CT memiliki h(t) = e αt u (t), di mana α > 0, dimasuki input x(t) = u(t). Cari output y(t). Cara-: y = x h = u h, Diperoleh y (t) = ˆ u (τ) h (t τ) dτ 3

32 2 Sistem Linear Time-Invariant = ˆ u (τ) e α(t τ) u (t τ) dτ Dan [ˆ t = 0 ] ˆ t e α(t τ) dτ u (t) = u(t)e αt e ατ dτ 0 y(t) = α [ e αt ] u(t) Cara-2: y = h x = h u, Diperoleh y (t) = ˆ h (τ) x (t τ) dτ dan = ˆ e ατ u (τ) u (t τ) dτ [ˆ t = 0 ] e ατ dτ u (t) y(t) = α [ e αt ] u(t) 2.2 Respons Sistem Dengan Konvolusi Respons Impuls 2.2. Respons Sistem LTI CT Soal: Hitunglah/sketsalah y (t) = x (t) h (t), dengan x (t) dan h (t) menurut gambar berikut x (t) h (t) t 0 2 t Respons Sistem LTI DT Kasus: Tentukan output bila respons impuls dan input seperti pada gambar berikut. h [n] n 32

33 2 Sistem Linear Time-Invariant x [n] n Jawab: Dari gambar dapat disimpulkan bahwa sinyal input hanya terdiri dari dua pulsa, x[n] = δ [n 2] δ [n 4], sedangkan sinyal respons impuls terdiri dari enam pulsa. Oleh sebab itu, lebih mudah kita menggunakan konvolusi jenis y[n] = x [n] h [n], yang berarti: y[n] = h [n 2] h [n 4] Menggunakan tabel sederhana, kita dapat menghitung y[n] sebagai berikut n h[n] h[n 2] -h[n 4] y[n] Output ini dapat juga dilihat scara visual sebagai penjumlahan dua gelombang respons impuls yang tergeser masing-masing 2 dan 4 sampel. h [n 2] n h [n 4] n 33

34 2 Sistem Linear Time-Invariant y [n] = h [n 2] h [n 4] n 2 Kasus: Sebuah sistem DT memiliki h[n] = α n u[n], dimasuki unit step. Cari outputnya. Karena sinyal dan sistem kausal, maka y[n] = x[n] h[n] tapi sehingga n α n k = k=0 y[n] = u[n] 0 α m = m=n n k=0 n m=0 α n k α m = αn+ α Respons Step Respons dari sinyal step adalah s(t) y[n] = αn+ α u[n] s (t) = F {u (t)} = h (t) u (t) = s (t) = ˆ t ˆ h (τ) dτ h (τ) u (t τ) dτ Catatan, dapat diperlihatkan bahwa h(t) = d dt s (t), karena δ(t) = d dt u (t) Kasus Mencari Input dari Output Soal: Perhatikan sebuah sistem LTI waktu kontinu dengan respons impuls h (t). h (t) x (t) h (t) y (t) - t 34

35 2 Sistem Linear Time-Invariant. Bila input adalah x (t) = k=2 δ (t k), sebagaimana diperlihatkan berikut ini, Carilah dan sketsalah output y (t). x (t) t 2. Kemudian coba cari/sketsa input x (t) apabila output y(t) diketahui periodik pada gambar sebagai berikut. y (t) t Sifat-Sifat Sistem LTI 2.3. Kausalitas Pada sistem LTI kausal, h(t) = 0 pada t < 0, sehingga bentuk konvolusinya menjadi: atau y(t) = ˆ 0 h (τ) x (t τ) dτ y(t) = ˆ t x (τ) h (t τ) dτ Kita dapat mendefinisikan sinyal kausal sebagai sinyal dengan sifat x(t) = 0 untuk t < 0, dan anti kausal bersifat x(t) = 0 untuk t > 0. Maka bia kedua sinyal dan sistem kausal, persamaan konvolusi menjadi: atau y(t) = ˆ t 0 h (τ) x (t τ) dτ y(t) = ˆ t 0 x (τ) h (t τ) dτ Hasil yang serupa diperoleh juga untuk kasus DT Stabilitas Sistem LTI yang stabil secara bounded-input bounded-output (BIBO) memiliki respons impuls dengan sifat ˆ h (τ) dτ < (2.6) 35

36 2 Sistem Linear Time-Invariant Hal ini diperlihatkan melalui y (t) = = ˆ Bila input bounded, yakni ˆ x (τ) h (t τ) dτ = ˆ x (τ) dτ ˆ x (τ) h (t τ) dτ ˆ ˆ x (τ) dτ < x (τ) h (t τ) dτ h (τ) dτ dan Persamaan (2.6) terpenuhi, maka output bounded. Dengan cara yang sama diperoleh untuk kasus sistem LTI DT n= h (n) < Soal: Perkirakan apakah sistem berikut ini stabil BIBO? y[n] = 3y[n ] + 4y[n 2] +x[n] + 2x[n ] Kasus Kausalitas, Stabilitas dan Periodisitas Kasus: Sebuah sistem LTI memiliki respons impuls h[n] = α n u[n].. Apakah sistem kausal? Jawab: ya, karena h[n] = 0 untuk n < Apakah sistem stabil BIBO? Jawab: k= h[k] = k= α k u[k] = α k k=0 Maka ini tidak stabil, kecuali bila α < karena kemudian k= h[k] = α k = k=0 α < Kasus: Perlihatkan bahwa pada sistem LTI bila x[n] periodik dengan periode N, maka y[n] juga periodik dengan periode N. Perhatikan bahwa pada sistem LTI y [n] = l= h [l] x [n l] 36