MATHEMATICAL MODELING THE FORMATION OF THROMBIN ON PROCESS
|
|
- Siska Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATHEMATICAL MODELING THE FORMATION OF THROMBIN ON PROCESS Oleh Ila Fitriani 1, Drs. Asrul Sani, M.Sc, Ph.D 2, La Gubu, S.Si.,MSi 3 Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo This study was conducted to analyze the dynamics of thrombin in the coagulation process model with Michaelis Menten. mathematical model is formulated with a system of ordinary differential equations which consists of five components in the thrombin generation factor, namely the factor X (stuart-power) is substrak, factor Xa (aktifator prothrombin) form of the enzyme, factor II (prothrombin) in the form of substrak, factor Xa:II (aktifator prothrombin:protrombin) in the form of complex substrak enzymes and factors substrak and IIa (thrombin) form of the enzyme. The modeling process into three stages, namely the formulation of the problem, made to look for relationships between variables that formed the assumptions that will be used in the modeling. The next stage is to make the scheme and a mathematical model by forming a mathematical equation in accordance with the assumptions that formed earlier. Last step is to find behavioral models finished by finding the equilibrium point to analyze the stability of the equilibrium point, and perform numerical simulations using matlab software. of the model gained two points of equilibrium. that is. and after analysis at the point of aquilibrium, saddle point and stable spiral. The opposite point of equilibrium saddle point and stable spiral on numerical simulation cases I where and with and saddle point on simulation cases II with and where also has an saddle point. on this model substrak lower number concentration and the reaction rate will be growing. Keyword: PENDAHULUAN equilibrium point, stability, Model Michaelis-Menten kinetika. Darah merupakan media cair yang terdiri dari sel-sel yang diproduksi oleh jaringan hemopoietika yang disirkulasikan ke dalam sel-sel tubuh sebagai pembawa nutrien menuju jaringan tubuh, pembawa oksigen dari paru-paru ke jaringan, pembawa karbon dioksida dari jaringan ke paru-paru, pembawa produk buangan dari berbagai jaringan menuju ginjal untuk dieksresikan, berperan penting dalam mengendalikan suhu tubuh, berperan dalam sistem buffer, juga berperan dalam pembekuan darah untuk mencegah terjadinya kehilangan darah yang berlebihan pada luka dan mengandung faktor-faktor penting untuk mempertahankan tubuh terhadap penyakit Pembekuan darah disebut juga koagulasi darah. Adapun faktor yang diperlukan dalam penggumpalan darah yaitu ion kalsium, dinding pembuluh yang luka yang membebaskan trombokinase, trombin dari protrombin dan fibrin yang terbentuk dari fibrinogen. Mekanisme pembekuan darah terjadi setelah trombosit meninggalkan pembuluh darah dan pecah, maka trombosit akan mengeluarkan tromboplastin bersama dengan ion kalsium dan tromboplastin mengaktifkan protrombin menjadi trombin (Evelyn, 1989). Trombin adalah enzim yang mengubah fibrinogen menjadi fibrin. Fibrin inilah yang berfungsi menjaring sel-sel darah merah menjadi gel atau menggumpal (Poedjiadi, 1994). koagulasi darah terjadi pada kisaran waktu 15 detik sampai 2 menit dan umumnya akan berakhir dalam waktu 5 menit, gumpalan darah normal menjadi sekitar 40% dari volume semula dalam waktu 24 jam (Frandson,1992). Koagulasi dapat dicegah dengan penambahan kalium sitrat atau natrium sitrat yang menghilangkan garam kalsium. Seiring dengan perkembangan teknologi dalam kedokteran, ditemukan lebih dari 50 macam zat penting yang mempengaruhi pembekuan darah. Beberapa diantaranya mempermudah terjadinya pembekuan, disebut prokoagulan, dan menghambat pembekuan, disebut antikoagulan. Terjadinya pembekuan tergantung pada keseimbangan antar kedua golongan zat ini. Dalam keadaan normal, antikoagulan lebih dominan sehingga darah tidak membeku, tetapi bila pembuluh darah rusak, prokoagulan di daerah yang rusak menjadi teraktivasi dan melebihi aktivitas antikoagulan, dan bekuan pun terbentuk Sering kali banyak dihadapi permasalahan di bidang non-matematika, misalnya pada bidang kedokteran, fisika, teknik, ilmu sosial dan lain sebagainya tidak dapat diselesaikan secara langsung. Salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah matematika. Secara umum pengertian model adalah suatu usaha menciptakan replika/tiruan dari suatu fenomena alam. Pada model Matematika replika/tiruan tersebut dilakukan dengan mendeskripsikan fenomena alam dengan satu set persamaan (dapat berupa persamaan differensial, sistem persamaan atau ekspresi-ekspresi matematika yang lain) yang diturunkan dari fenomena tersebut [1]. Dalam pemodelan matematika, ilmuwan hanya mencari persamaan-persamaan atau rumus-rumus yang berlaku pada fenomena, sehingga ditemukannya suatu model matematika. [2]. Dengan adanya model matematika tersebut, akan dibahas apakah model tersebut sesuai dengan keadaan yang terjadi pada
2 keadaan biologis untuk pembentukan trombin dalam proses koagulasi yang dapat dilakukan melalui pendekatan matematika pada reaksi Michaelis Menten yang merupakan salah satu reaksi enzim sederhana yang dikemukakan oleh Michaelis dan Menten pada tahun [3].. Reaksi kimia yang terjadi dalam sistem biologis selalu melibatkan katalis. Katalis ini dikenal sebagai katalis biologis (biokatalisator) berupa protein yang sangat spesifik yang disebut enzim. Percepatan reaksi terjadi karena enzim menurunkan energi pengaktifan yang dengan sendirinya akan mempermudah terjadinya reaksi. Enzim mengikat molekul substrat membentuk kompleks enzim substrat yang bersifat sementara dan lalu terurai membentuk enzim bebas dan produknya [4]. Pada penelitian kali ini akan dibahas pembentukan protrombin menjadi trombin yang dipengaruhi oleh aktifator protrombin. Sehingga penulis tertarik menggangkat judul penelitian Model Matematika Pembentukan Trombin Pada Proses koagulasi diharapkan dapat memberikan masukan yang positif dalam model matematika yang digunakan dalam proses koagulasi. Tujuan dalam penelitian ini untuk mengetahui bagaimana pemodelan matematika pembentukan trombin pada proses koagulasi dan menentukan kestabilan dari titik kesetimbangan. TINJAUAN PUSTAKA Pembekuan Darah Bekuan mulai terbentuk dalam detik bila trauma pembuluh sangat hebat dan dalam 1-2 menit bila traumanya kecil. Banyak sekali zat yang mempengaruhi proses pembekuan darah juga disebut dengan zat prokoagulan yang mempermudah terjadinya pembekuan dan sebaliknya zat yang menghambat proses pembekuan disebut dengan zat antikoagulan. Dalam keadaan normal zat antikoagulan lebih dominan sehingga darah tidak membeku, tetapi bila pembuluh darah rusak aktivitasi prokoagulan di daerah yang rusak meningkat dan bekuan akan terbentuk. Secara umum proses pembekuan darah terjadi melalui tiga langkah utama yaitu (1) pembentukan aktivator protombin sebagai reaksi terhadap pecahnya pembuluh darah, (2) perubahan protrombin menjadi trombin yang dikatalis oleh aktivator protrombin, dan (3) perubahan fibrinogen menjadi benang fibrin oleh trombin yang akan menyaring trombosit, sel darah, dan plasma sehingga terjadi bekuan darah. Trombin Trombin adalah protein yang membantu proses pembekuan berupa enzim pembekuan darah, enzim ini hanya dihasilkan di tempat yang terluka yang terbentuk karena reaksi kimia antara protein Protrombin, enzim trombokinase, vit K dan Ca, jumlahnya tidak boleh melebihi atau pun kurang dari yang diperlukan, pada proses ini terjadi melalui pengawasan yang begitu ketat sehingga trombin hanya terbentuk saat benar-benar ada luka pada dinding pembuluh setelah enzim trombin mencapai jumlah yang memadai di dalam tubuh maka fibrinogen yang ada di plasma darah berupa proteinprotein membentuk juluran benang yang disebut fibrin yang menjaring sel-sel darah merah menjadi gel atau menggumpal Dasar- Dasar Model Matematika 1. Michaelis-Menten Reaksi kinetika Mekanisme Michaelis Menten merupakan salah satu reaksi enzim sederhana yang dikemukakan oleh Michaelis dan Mentan pada tahun Dalam mekanisme ini molekul substrak dikombinasikan dengan molekul enzim yang membentuk komplek substrat-enzim yang kemudian menghasilkan molekul produk dan molekul (Briggs dan Haldane, 1995). Gambar 1. Skema Michaelis-Menten Reaksi kinetika Misal : = konsentrasi substrat pada saat konsentrasi enzim pada saat konsentrasi komplek substrat-enzim pada saat konsentrasi produk pada saat Maka reaksi enzim dalam pers.(2.1) dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial sebagai berikut: Selanjutnya, misalkan yaitu jumlah enzim bebas maka menyatakan enzim total dan enzim terikat Ketika sistem reaksi berada dalam keadaan seimbang maka kecepatan pembentukan sama dengan kecepatan penguraian sehingga berlaku
3 3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.2 Jika A adalah matriks berukuran maka vektor tak nol x didalam dikatakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni: Apabila konsentrasi substrat cukup besar sehingga semua enzim terikat kepadanya yaitu dalam bentuk kompleks, maka akan didapatkan maksimum yaitu sehingga merupakan laju maksimum reaksi enzim. Sehingga diperoleh persamaannya yaitu, Persamaan Michaelis Menten sering digunakan untuk menggambarkan laju pertumbuhan populasi yang bergantung pada konsentrasi nutrisi dan dapat mencapai kondisi jenuh saat konsentrasi nutrisi cukup besar. 2. Sistem Persamaan Differensial Sistem persamaan differensial adalah suatu sistem persamaan yang memuat buah fungsi yang tidak diketahui, dimana merupakan bilangan bulat positif 2 ( Finizio, 1982). Persamaan differensial seringkali muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Sebagai contoh, dalam biologi yaitu laju pertumbuhan populasi. Diberikan sistem persamaan differensial nonlinear orde 1, dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yakni: (2.6) dimana dan adalah transpose. Sistem (2.6), dikatakan nolinear apabila funngsi tak linear dan kontinu yang dapat berbentuk: dikatakan sistem autonomous apabila fungsi tidak bergantung terhadap waktu, yakni: untuk suatu skalar. selanjutnya dikatakan nilai eigen (eigen value) dari A dan vektor dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Nilai eigen matriks A yang berukuran dapat ditentukan dengan menyelesaikan sebagai berikut: dengan adalah matriks identitas berukuran Agar dikatakan nilai eigen dari maka harus ada selesaian tak nol (nontrivial) dari persamaan (2.9). persamaan (2.9) mempunyai selesaian tak nol (nontrivial) jika dan hanya jika: ( 4 Analisis Kestabilan Dalam menentukan titik kestabilan pada persamaan linear adalah dengan menguji sekitaran titik kestabilan dan sistem yang sederhana untuk menentukan nilai eigen yang menghasilkan matriks Jacobian sedangkan penentuan titik stabil pada sistem nonlinear juga sangat penting dalam perilaku sistemnya. Kestabilan suatu titik kesetimbangan dapat diperiksa berdasarkan nilai eigen dengan menyelesaikan dengan adalah matriks (2.9) yang berukura menghasilkan polynnomial dengan derajat yang sama dengan ukuran matriks yang mempunyai bentuk umum Stabilitas titik kesetimbangan ditentukan berdasarkan tanda bagian real pada nilai eigen yang dibagi menjadi tiga, yaitu: 1. Stabil Titik kesetimbangan dikatakan stabil jika dan hanya jika nilai eigen adalah real dan negative atau mempunyai bagian real tak positif. 2. Stabil Asimtotik Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika nilai eigen adalah real dan negative atau mempunyai bagian real negative. 3. Tidak Stabil Titik kesetimbangan dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika nilai eigen adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu nilai eigen dengan bagian real positif
4 METODE PENELITIAN Waktu Dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan Februari 2016 sampai bulan Mei Kegiatan ini berlangsung di Laboratorium Komputasi Matematika (Lab. Aljabar) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo. Prosedur Penelitian 1. Indentifikasi masalah, yaitu membaca dan memahami literatur yang berkaitan dengan proses pembekuan darah dan pemodelan matematika, sehingga dapat menentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam model. 2. Membuat asumsi, yaitu dalam pembuatan model matematika tidak semua faktor yang berpengaruh dalam proses pembentukan trombin sehingga dapat dimodelkan secara matematika, oleh karena itu perlu disederhanakan dengan melakukan reduksi faktor-faktor yang berpengaruh terhadap peristiwa ini. 3. Menyelesaikan dan Menginterpretasikan Model, setelah model terbentuk, perlu diselesaikan secara matematika yaitu melakukan analisis parameter dengan mencari nilai eigen, menentukan titik kestabilan dan diskrititasi menggunakan metode runge-kutta. 4. Penarikan kesimpulan. HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Model Pembentukan Trombin Pada Michaelis Menten Reaksi Kinetika Model pembentukan trombin pada michaelis menten reaksi kinetika dalam sistem ini sangat kompleks, sehingga diperlukan beberapa asumsi agar menjadi sederhana. 2. Asumsi Asumsi yang digunakan dalam penelitian ini dipaparkan sebagai berikut: 1. Terdapat 5 faktor yang digunakan dalam proses pembentukan trombin yaitu faktor II (protrombin), faktor X (stuart-power), faktor Xa (Aktifator protrombin), faktor IIa (trombin) dan faktor kompleks Xa:II (Aktifator protrombin:protrombin). 2. faktor II (protrombin), faktor X (stuart-power) dan faktor kompleks Xa:II (Aktifator protrombin:protrombin) diasumsikan sebagai subtrak sedangkan faktor Xa (Aktifator protrombin) dan faktor IIa (trombin) diasumsikan sebagai enzim. 3. Faktor X (stuart-power) bereaksi membentuk faktor Xa (Aktifator protrombin) menjadi aktif dengan laju reaksi sebesar k Faktor II (protrombin) dikombinasikan dengan faktor Xa (Aktifator protrombin) bereaksi membentuk faktor kompleks Xa:II (Aktifator protrombin:protrombin) dengan laju reaksi sebesar k Terjadi reaksi umpan balik antara faktor kompleks Xa:II (Aktifator protrombin:protrombin) bereaksi membentuk faktor Xa (aktifator protrombin) dan faktor IIa (trombin) dengan laju reaksi sebesar k Faktor kompleks Xa:II (Aktifator protrombin:protrombin) yang terbentuk bereaksi dan menghasilkan bentuk aktif dan terurai menjadi faktor IIa (trombin) dan faktor Xa (aktifator protrombin) dengan laju reaksi sebesar k Konsentrasi laju reaksi pada reaktan mengalami penurunan setiap waktu. 8. Laju reaksi berbanding lurus dengan konsentrasi zat pereaksi. 3. Skema Model Berdasarkan asumsi di atas, maka diperoleh skema model Michaelis menten yang digunakan dalam pembentukan trombin dari protrombin pada proses koagulasi pada Gambar 2 Gambar 2 Skema model pembentukan trombin dari protrombin yang dipengaruhi oleh aktifator protrombin. Keterangan: II = faktor Protrombin dalam satuan nm Xa = faktor Aktifator protrombin dalam satuan nm IIa = faktor Trombin dalam satuan nm X = faktor stuart-power dalam satuan nm Xa:II = faktor kompleks Aktifator protrombin: Protrombin dalam satuan nm 3. Model Berdasarkan Asumsi dan skema di atas maka diperoleh model pembentukan trombin yang dapat dimodelkan dalam sistem persamaan berikut: Keterangan: : merupakan tetapan (konstanta) kecepatan laju reaksi pembentukan kompleks faktor Xa:II (Aktifator protrombin:protrombin)
5 [X] [IIa] [Xa:II] : merupakan tetapan (konstanta) kecepatan laju reaksi umpan balik antara kompleks faktor Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) menjadi faktor Xa (aktifator protrombin) dan faktor II (protrombin) : merupakan tetapan (konstanta) kecepatan laju reaksi penguraian kompleks faktor Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) menjadi bentuk aktif faktor IIa (trombin) dan faktor Xa (aktifator protrombin) : merupakan tetapan (konstanta) kecepatan laju reaksi faktor X (stuart-power) menjadi faktor Xa (aktifator protrombin) : konsentrasi Aktifator protrombin dalam satuan nm : konsentrasi protrombin dalam satuan nm : konsentrasi stuart-power dalam satuan nm : konsentrasi Trombin dalam satuan nm : konsentrasi kompleks Aktifator protrombin: protrombin dalam satuan Nm 4. Titik Kesetimbangan Analisis titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial digunakan untuk menentukan suatu selesaian yang tidak berubah terhadap waktu. Sistem (4.1) titik kesetimbangannya dinyatakan ke dalam bentuk titik kesetimbangan dari (4.1) akan diperoleh dengan menyelesaikan: Linearisasi sistem persamaan diatas adalah matriks jacobian, Selanjutnya hasil penelitian di atas disubtitusikan ke dalam matriks jacobian, sehingga diperoleh: 6. Kestabilan Sistem di Titik Kesetimbangan Jika titik kesetimbangan disubtitusikan pada J maka diperoleh: Sehingga sistem (4.2) menjadi: Untuk mencari nilai eigen matriks jacobian berukuran 5 x 5, maka matriks jacobian sebagai: yang ditulis Terdapat dua titik kesetimbangan pada sistem (4.3) yaitu 5. Analisis Kestabilan Sistem di sekitar Titik Kesetimbangan Pada bagian ini akan dilakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan dengan terlebih dahulu dilakukan pelinearisasian sistem model pembentukan trombin. Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut:
6 Berdasarkan bantuan software Maple 13 dengan script selengkapnya dapat dilihat pada - Lampiran 2 untuk mendapatkan nilai eigen. Berikut nilai eigen yang diperoleh, yaitu: 0 0 Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh pada diketahui bahwa selalu bernilai real negatif, dan bernilai nol, bernilai imajiner positif jika dan bernilai imajiner negatif jika, selanjutnya juga bernilai imajiner positif jika, dan bernilai imajiner negatif jika, Secara umum, berdasarkan sifat kestabilan sistem dapat ditentukan bahwa pada titik memiliki sifat kestabilan saddle point dan spiral stabil. Untuk lebih jelasnya dapat di lihat pada Tabel 1 : Tabel 1. kesetimbangan Titik kesetimba ngan negative negative Sifat kestabilan sistem di titik Nol Nol Nol Nol Imajiner Positif Imajiner negatif Imajiner Positif Imajiner Negative 7. Simulasi Numerik dinamika model Pembentukan Trombin Kasus I Simulasi menggunakan syarat awal untuk konsentrasi subtrak atau faktor X (stuart-power) = 0 nm, konsentrasi enzim faktor, konsentrasi faktor subtrak atau faktor II (protrombin) = 0 nm, konsentrasi faktor kompleks Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) = 0, dan konsentrasi enzim atau faktor IIa (trombin) = 1000 nm dalam kurung waktu. Parameter-parameter yang digunakan yaitu pada Tabel 2 : Tabel 2. Nilai parameter-parameter yang digunakan dalam model pembentukan trombin (kasus I) Parameter Nilai Penafsiran Sifat kestabila n Saddle Point Spiral Stabil 0,062 tetapan (konstanta) Laju reaksi pembentukan kompleks faktor Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) 0,0048 tetapan (konstanta) Laju reaksi pembentukan kembali faktor Xa (aktifator protrombin) dan faktor II (protrombin) 0,062 tetapan (konstanta) Laju reaksi faktor X (stuart-power) menjadi faktor Xa (aktifator protrombin) setiap satuan waktu. 0,0048 tetapan (konstanta) Laju reaksi penguraian kompleks faktor Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) menjadi bentuk aktif faktor IIa (trombin) dan faktor Xa (aktifator protrombin) setiap satuan waktu Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai parameter-parameter sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 3.berikut.
7 Tabel 3. Titik kesetimbangan, nilai eigen, dan sifat kestabilan sistem (Kasus I) Titik kesetimbangan Nilai eigen Sifat kestabilan Saddle Point kewaktu. hal ini disebabkan reaktan semakin berkurang dan produk atau hasil yang terbentuk akan semakin bertambah. Selain itu, dipengaruhi bila jumlah konsentrasi semakin besar maka laju reaksi pada reaktan dan produk juga semakin meningkat begitupun sebaliknya. Sifat kestabilan dapat dilihat pada gambar tiga dimensi berikut (Gambar.3) Saddle Point Berdasarkan nilai awal dan nilai dari parameterparameter dari model trombin pada Michaelis Menten maka diperoleh laju peubahan seperti pada Gambar 2 berikut Gambar 3 Phase plane untuk ketiga konsentrasi pada setiap titik kesetimbangan Pada Gambar 3. terlihat bahwa titik awal (1200,0,1000) tidak melalui titik kesetimbangan dan. Sehingga titik kesetimbangannya membentuk perilaku Saddle Point. PENUTUP Kesimpulan 1. Telah dikembangkan model matematika reaksi michaelis menten terhadap pembentukan trombin pada proses koagulasi sebagai berikut: Gambar 2. Grafik laju perubahan konsentrasi faktor X (stuart-power), faktor Xa (aktifator protrombin), faktor II (protrombin), faktor kompleks Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) dan faktor IIa (trombin) Pada Gambar 2, menjelaskan bahwa konsentrasi faktor X (stuart-power), faktor Xa (aktifator protrombin) faktor II (protrombin),faktor kompleks Xa:II (aktifator protrombin) dan faktor IIa (trombin) mengalami perubahan pada saat t = 300 detik. Pada konsentrasi faktor kompleks (aktifator protrombin: protrombin) mengalami penurunan dan reaksinya akan semakin berkurang hingga mencapai titik minimum disebabkan karena faktor kompleks (aktifator protrombin protrombin) yang nilainya diabaikan, Pada konsentrasi faktor (stuart-power) terjadi penurunan sehingga mengakibatkan laju konsentrasinya menuju nol. selanjutnya faktor (protrombin) mengalami kenaikan dan menyebabkan faktor (trombin) dan faktor (aktifator protrombin) juga terjadi kenaikan hingga mencapai titik maksimum sehingga jumlah konsentrasi pada enzim semakin bertambah dan laju reaksinya akan semakin meningkat dari waktu 2. Terdapat dua titik kesetimbangan dari model yang telah dikembangkan yaitu dan 3. Konsentrasi enzim pada faktor (aktifator protrombin) dan faktor (trombin) akan meningkat jika konsentrasi laju reaksi subtrak pada faktor faktor Xa:II (aktifator protrombin:protrombin) dan faktor II (protrombin) semakin besar, dan konsentrasi laju reaksi, pada reaktan mengalami penurunan setiap waktu.
8 Saran Pada tugas akhir ini, penulis melakukan penelitian tentang model matematika pembentukan trombin pada proses koagulasi. Disarankan untuk penelitian selanjutnya membahas mengenai Dinamika model pembentukan fibrin hingga terbentuknya suatu bekuan darah pada proses koagulasi dengan asumsi yang lebih kompleks. DAFTAR PUSTAKA [1] Arthur, C., Guyton., John, E. dan Hall Buku Ajar Fisiologi Kedokteran. Edisi 9. Jakarta : EGC. [2] Arrowsmith, D.K. dan Place, C.M., Ordinary Differential Equations (Chapman and Hall Mathematics Series). Westfiled College University of London. [3] Baiduri Persamaan Diferensial & Matematika Model. Malang: Universitas Muhammadiyah Malang Press. [4] Briggs, G.E. dan Haldane, J.B.S A Note on the Kinetics of Enzyme Action. Biochemical Journal, (2): p [5] Frandson, R.D Anatomi dan Fisiologi Ternak Edisi ke-4. Gadjah Mada University Press [5] Guyton dan Arthur, C Fisiologi Manusia dan Mekanismenya terhadap Penyakit. EGC Penerbit Buku kedokteran : Jakarta
Bab II Pemodelan. Gambar 2.1: Pembuluh Darah. (Sumber:
Bab II Pemodelan Bab ini berisi tentang penyusunan model untuk menjelaskan proses penyebaran konsentrasi oksigen di jaringan. Penyusunan model ini meliputi tinjauan fisis pembuluh kapiler, pemodelan daerah
Lebih terperinciKESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 51-59 KESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE Dewi Purnamasari, Faisal, Aisjah Juliani Noor Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Darah terdiri atas 2 komponen utama yaitu plasma darah dan sel-sel darah.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Tinjauan Umum Darah Darah merupakan komponen esensial makhluk hidup, mulai dari binatang hingga manusia. Dalam keadaan fisiologik, darah selalu berada dalam pembuluh darah sehingga
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciBAB IV HASIL YANG DIPEROLEH
BAB IV : HASIL YANG DIPEROLEH 25 BAB IV HASIL YANG DIPEROLEH Model yang telah diturunkan pada bab 3, selanjutnya akan dianalisis dengan menggunakan MATLAB 7.0 untuk mendapatkan hasil numerik. 4.1 Simulasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN. 4.1 Asumsi yang digunakan dalam sistem mangsa-pemangsa. Dimisalkan suatu habitat dimana spesies mangsa dan pemangsa hidup
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Asumsi yang digunakan dalam sistem mangsa-pemangsa Dimisalkan suatu habitat dimana spesies mangsa dan pemangsa hidup berdampingan. Diasumsikan habitat ini dibagi menjadi dua
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal 197 204. ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI Eka
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL FERMENTASI ETANOL DENGAN SUBSTRAT GLUKOSA. Primadina 1, Widowati 2, Kartono 3, Endang Kusdiyantini 4
ANALISIS KESTABILAN MODEL FERMENTASI ETANOL DENGAN SUBSTRAT GLUKOSA Primadina 1, Widowati 2, Kartono 3, Endang Kusdiyantini 4 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA, 4 Jurusan Biologi FMIPA Universitas Diponegoro
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Identitas Nama Sekolah : SMA Negeri 1 Cirebon Mata Pelajaran : Biologi Kelas/Program/Semester : XI IPA/1 Standar Kompetensi : 3. Menjelaskan struktur dan fungsi
Lebih terperinciOleh Nara Riatul Kasanah Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si
Oleh Nara Riatul Kasanah 1209100079 Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014 PENDAHULUAN
Lebih terperinciANALISIS STABILITAS PENYEBARAN VIRUS EBOLA PADA MANUSIA
ANALISIS STABILITAS PENYEBARAN VIRUS EBOLA PADA MANUSIA Mutholafatul Alim 1), Ari Kusumastuti 2) 1) Mahasiswa Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang 1) mutholafatul@rocketmail.com
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, dan Kus Prihantoso Krisnawan,M.
1 Abstrak ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, Kus Prihantoso Krisnawan,M.Si 3 1 Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas
Lebih terperinciTUGAS AKHIR KAJIAN SKEMA BEDA HINGGA TAK-STANDAR DARI TIPE PREDICTOR-CORRECTOR UNTUK MODEL EPIDEMIK SIR
TUGAS AKHIR KAJIAN SKEMA BEDA HINGGA TAK-STANDAR DARI TIPE PREDICTOR-CORRECTOR UNTUK MODEL EPIDEMIK SIR STUDY OF A NONSTANDARD SCHEME OF PREDICTORCORRECTOR TYPE FOR EPIDEMIC MODELS SIR Oleh:Anisa Febriana
Lebih terperinciBAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO
BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang
Lebih terperinciMODEL LOGISTIK DENGAN DIFUSI PADA PERTUMBUHAN SEL TUMOR EHRLICH ASCITIES. Hendi Nirwansah 1 dan Widowati 2
MODEL LOGISTIK DEGA DIFUSI PADA PERTUMBUHA SEL TUMOR EHRLICH ASCITIES Hendi irwansah 1 dan Widowati 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH Tembalang Semarang 5075
Lebih terperinciBAB III : MODEL 19 BAB III MODEL
BAB III : MODEL 19 BAB III MODEL Model yang akan diturunkan dan dibahas pada bab ini lebih menitikberatkan pada mekanisme korosi dari sudut pandang Teori Keadaan Peralihan bahwa logam terlebih dahulu berubah
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN MODEL PADA PENYEBARAN HIV-AIDS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 2 (2015), hal 101 110 PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN MODEL PADA PENYEBARAN HIV-AIDS Dwi Haryanto, Nilamsari Kusumastuti,
Lebih terperinciJAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK
JAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK Kasus-kasus fisika yang diangkat pada mata kuliah Fisika Komputasi akan dijawab secara numerik. Validasi jawaban
Lebih terperinciPEMODELAN DINAMIKA KONSENTRASI TIMBAL DARI LIMBAH ELEKTRONIK PADA LINGKUNGAN HIDUP
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 0 (07), hal 0. PEMODELAN DINAMIKA KONSENTRASI TIMBAL DARI LIMBAH ELEKTRONIK PADA LINGKUNGAN HIDUP Uray Rina, Mariatul Kiftiah, Naomi Nessyana
Lebih terperinciAnalisis Kestabilan Model Penurunan Sumber Daya Hutan Akibat Industri
J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 1, Maret 2018, 31-40 Analisis Kestabilan Model Penurunan Sumber Daya Hutan Akibat Industri Indira Anggriani 1, Sri Nurhayati 2, Subchan
Lebih terperinciBAB V HEMOSTASIS Definisi Mekanisme hemostasis Sistem koagulasi
BAB V HEMOSTASIS Definisi Hemostasis adalah mekanisme tubuh untuk menghentikan perdarahan karena trauma dan mencegah perdarahan spontan. Hemostasis juga menjaga darah tetap cair. Mekanisme hemostasis Jika
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI
PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN LOKAL PADA PERUBAHAN POPULASI PENDERITA DIABETES MELITUS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 135-142 PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN LOKAL PADA PERUBAHAN POPULASI PENDERITA DIABETES MELITUS Marisa Effendi,
Lebih terperinciPERAN PENTING LAJU PERUBAHAN KALOR PADA MODEL DINAMIK UNSUR UNSUR UTAMA IKLIM
PERAN PENTING LAJU PERUBAHAN KALOR PADA MODEL DINAMIK UNSUR UNSUR UTAMA IKLIM A.I. Jaya 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus BumiTadulakoTondo Palu Abstrak Model dinamik interkasi unsur unsure utama
Lebih terperinciMODEL DINAMIK ETANOL, GLUKOSA, DAN ZYMOMONAS MOBILIS DALAM PROSES FERMENTASI
MODEL DINAMIK ETANOL, GLUKOSA, DAN ZYMOMONAS MOBILIS DALAM PROSES FERMENTASI Primadina 1, Widowati 2, Kartono 3 1,2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jln. Prof. H.Soedarto, S.H., Tembalang,
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
TUGAS AKHIR ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR ( S TA B I L I T Y A N A LY S I S O F A P R E D AT O R - P R E Y M O D E L W I T H I N F E C T
Lebih terperinciModel Matematika Populasi Plankton dan Konsentrasi Nitrogen
Model Matematika Populasi Plankton dan Konsentrasi Nitrogen Elvi Silvia 1#, Yarman 2*, Muhammad Subhan 3* # Student of Mathematics Department State University of Padang, Indonesia * Lecturers of Mathematics
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. ekuilibrium bebas penyakit beserta analisis kestabilannya. Selanjutnya dilakukan
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai model matematika penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi, diantaranya formulasi model penyakit campak, titik ekuilibrium bebas penyakit
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR Oleh: Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. I Gusti Ngurah Rai Usadha, M.Si Subchan, Ph.D Drs. Kamiran, M.Si Noveria
Lebih terperinciMODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH
MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing: Dr. Agus Yodi Gunawan 14 Juli 2009 artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN()
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciAPLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS
Jurnal UJMC, Volume, Nomor, Hal 36-40 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS Novita Eka Chandra dan Wiwin Kusniati Universitas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA
ANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA ANALYSIS OF STABILITY OF SPREADING DISEASE MATHEMATICAL MODEL WITH TRANSPORT-RELATED INFECTION
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Darah merupakan bagian dari tubuh yang jumlahnya 60-80% dari berat
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Tinjauan Umum Darah Darah merupakan bagian dari tubuh yang jumlahnya 60-80% dari berat badan, dangan viskositas darah 4,5 kali lebih besar daripada air. Darah merupakan jaringan
Lebih terperinciBab 10 Kinetika Kimia
D e p a r t e m e n K i m i a F M I P A I P B Bab 0 Kinetika Kimia http://chem.fmipa.ipb.ac.id Ikhtisar 2 3 Laju Reaksi Teori dalam Kinetika Kimia 4 Mekanisme Reaksi 5 46 Faktor Penentu Laju Reaksi Enzim
Lebih terperinciPENYELESAIAN NUMERIK DAN ANALISA KESTABILAN PADA MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN PENULARAN PADA PERIODE LATEN
PENYELESAIAN NUMERIK DAN ANALISA KESTABILAN PADA MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN PENULARAN PADA PERIODE LATEN Oleh: Labibah Rochmatika (12 09 100 088) Dosen Pembimbing: Drs. M. Setijo Winarko M.Si Drs. Lukman
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul FAKULTAS KESEHATAN MASYARAKAT Jurusan Perekam Medis dan Informasi Kesehatan ANATOMI FISIOLOGI
Universitas Indonusa Esa Unggul FAKULTAS KESEHATAN MASYARAKAT Jurusan Perekam Medis dan Informasi Kesehatan ANATOMI FISIOLOGI Conducted by: Jusuf R. Sofjan,dr,MARS 2/17/2016 1 Darah adalah jaringan cair
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Influenza atau lebih dikenal dengan flu, merupakan salah satu penyakit yang menyerang pernafasan manusia. Penyakit ini disebabkan oleh virus influenza yang
Lebih terperinciSistem Transportasi Manusia L/O/G/O
Sistem Transportasi Manusia L/O/G/O Apersepsi 1. Pernahkan bagian tubuhmu terluka, misalnya karena terjatuh atau terkena bagian tajam seperti pisau dan paku? 2. Apakah bagian tubuh yang terluka tersebut
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang muncul di lingkungan sekitar. Hal tersebut dapat dikembangkan melalui pemodelan matematika. Sehingga dengan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit,
Lebih terperinciKestabilan Titik Ekuilibrium Model SIS dengan Pertumbuhan Logistik dan Migrasi
Kestabilan Titik Ekuilibrium Model SIS dengan Pertumbuhan Logistik Migrasi Mohammad soleh 1, Parubahan Siregar 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim
Lebih terperinciOLEH : IKHTISHOLIYAH DOSEN PEMBIMBING : Dr. subiono,m.sc
OLEH : IKHTISHOLIYAH 1207 100 702 DOSEN PEMBIMBING : Dr. subiono,m.sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011 Pemodelan matematika
Lebih terperinci4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Isolasi enzim fibrinolitik Cacing tanah P. excavatus merupakan jenis cacing tanah yang agresif dan tahan akan kondisi pemeliharaan yang ekstrim. Pemeliharaan P. excavatus dilakukan
Lebih terperinciBAB II KOROSI dan MICHAELIS MENTEN
BAB II : MEKANISME KOROSI dan MICHAELIS MENTEN 4 BAB II KOROSI dan MICHAELIS MENTEN Di alam bebas, kebanyakan logam ditemukan dalam keadaan tergabung secara kimia dan disebut bijih. Oleh karena keberadaan
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN DAN PROSES MARKOV MODEL PENYEBARAN PENYAKIT EBOLA
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 163-172 ANALISIS KESTABILAN DAN PROSES MARKOV MODEL PENYEBARAN PENYAKIT EBOLA Auliah Arfani, Nilamsari Kusumastuti, Shantika
Lebih terperinciDINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED)
DINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED) Amir Tjolleng 1), Hanny A. H. Komalig 1), Jantje D. Prang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. udara maupun zat buangan yang ada di dalam tubuh. Volume darah pada manusia
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Darah 2.1.1 Pengertian darah Darah merupakan jaringan cair yang merupakan bagian terpenting dari sistem transportasi zat dalam tubuh. Darah berfungsi mengangkut semua nutrisi,
Lebih terperinciBAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
Lebih terperinciMODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN Desi Oktaviani, Kartono 2, Farikhin 3,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas
Lebih terperinciAnalisa Kualitatif pada Model Penyakit Parasitosis
Analisa Kualitatif pada Model Penyakit Parasitosis Nara Riatul Kasanah dan Sri Suprapti H Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl.
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK ALIRAN FLUIDA DUA FASE PADA SUMUR PANAS BUMI. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK ALIRAN FLUIDA DUA FASE PADA SUMUR PANAS BUMI R Heri SU 1 Widowati 2 R Heru Tj 3 L Niswah 3 1234 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto SH Semarang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
Lebih terperinciFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014
JURUSAN MATEMATIKA Nurlita Wulansari (1210100045) Dosen Pembimbing: Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
Lebih terperinciMODEL PENGARUH INHIBITOR TERHADAP LAJU KOROSI
MODEL PENGARUH INHIBITOR TERHADAP LAJU KOROSI Tugas Akhir Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung disusun oleh: Adwitha Yusuf 10103020
Lebih terperinciT 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf
T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS
Analisis Kestabilan Model... (Hesti Endah Lestari) 9 ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS STABILITY ANALYSIS OF SEIIT MODEL (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL
Lebih terperinciFriska Erlina, Yuni Yulida, Faisal
MODEL MATEMATIKA KOMENSALISME ANTARA DUA SPESIES DENGAN SUMBER TERBATAS Friska Erlina, Yuni Yulida, Faisal Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani. Km. 36
Lebih terperinciOleh : Dinita Rahmalia NRP Dosen Pembimbing : Drs. M. Setijo Winarko, M.Si.
PERMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS STABILITAS DARI PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG (MATHEMATICAL MODEL AND STABILITY ANALYSIS THE SPREAD OF AVIAN INFLUENZA) Oleh : Dinita Rahmalia NRP 1206100011 Dosen Pembimbing
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Chemostat atau disebut juga bioreaktor adalah suatu alat laboratorium (fermentor) untuk budidaya mikroorganisme[18]. Alat tersebut disusun sedemikian rupa
Lebih terperinciSISTEM PEREDARAN DARAH
SISTEM PEREDARAN DARAH Tujuan Pembelajaran Menjelaskan komponen-komponen darah manusia Menjelaskan fungsi darah pada manusia Menjelaskan prinsip dasar-dasar penggolongan darah Menjelaskan golongan darah
Lebih terperinciANALISIS STABILITAS SISTEM DINAMIK UNTUK MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI TIPE-SIR (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER)
Jurnal Euclid, Vol.4, No.1, pp.646 ANALISIS STABILITAS SISTEM DINAMIK UNTUK MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI TIPE-SIR (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER) Herri Sulaiman Program Studi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA IMMUNOTERAPI BCG PADA KANKER KANDUNG KEMIH
LIKHITAPRAJNA Jurnal Ilmiah Volume 19 Nomor 2 September 217 p-issn: 141-8771 e-issn: 258-4812 2 ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA IMMUNOTERAPI BCG PADA KANKER KANDUNG KEMIH Liza Tridiana Mahardhika
Lebih terperinciMatriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar
Matriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar Wahidah Sanusi 1, Sukarna 1 dan Nur Ridiawati 1, a) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. FeO. CO Fe CO 2. Fe 3 O 4. Fe 2 O 3. Gambar 2.1. Skema arah pergerakan gas CO dan reduksi
BAB II DASAR TEORI Pengujian reduksi langsung ini didasari oleh beberapa teori yang mendukungnya. Berikut ini adalah dasar-dasar teori mengenai reduksi langsung yang mendasari penelitian ini. 2.1. ADSORPSI
Lebih terperinciMODUL LAJU REAKSI. Laju reaksi _ 2013 Page 1
MODUL LAJU REAKSI Standar Kompetensi ( SK ) : Memahami kinetika reaksi, kesetimbangan kimia dan faktor-faktor yang mempengaruhinya, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari dan industri. Kompetensi
Lebih terperinciKESTABILAN TITIK TETAP MODEL PENULARAN PENYAKIT TIDAK FATAL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 58 65 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KESTABILAN TITIK TETAP MODEL PENULARAN PENYAKIT TIDAK FATAL AKHIRUDDIN Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3
PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3 Tornados P. Silaban 1, Faiz Ahyaningsih 2 1) FMIPA, UNIMED, Medan, Indonesia email: tornados.p_silaban@yahoo.com 2)
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Tujuan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu reaksi kimia, khususnya antara senyawa organik, yang dilakukan dalam laboratorium memrlukan suatu kondisi yang ditentukan oleh beberapa faktor, speerti suhu,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah
Lebih terperinciLocal Stability of Predator Prey Models With Harvesting On The Prey. Abstract
Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika 99 Local Stability of Predator Prey Models With Harvesting On The Prey Oleh : Saiful Marom Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pekalongan Abstract In this paper considered
Lebih terperinciPengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah, Erna Apriliani Jurusan
Lebih terperinciMODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN MIGRASI
MODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN MIGRASI Mohammmad Soleh 1, Siti Rahma 2 Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl HR Soebrantas No 155 KM 15 Simpang Baru Panam Pekanbaru muhammadsoleh@uin-suskaacid
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN PEMANENAN OPTIMAL PADA PEMANGSA
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 21 Oktober 2017 Surabaya Universitas Airlangga KESTABILAN MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN PEMANENAN OPTIMAL PADA PEMANGSA Muhammad Ikbal 1) Syamsuddin
Lebih terperinciKINETIKA REAKSI PEMBUATAN KALSIUM KARBONAT DARI LIMBAH PUPUK ZA DENGAN PROSES SODA. Suprihatin, Ambarita R.
KINETIKA REAKSI PEMBUATAN KALSIUM KARBONAT DARI LIMBAH PUPUK ZA DENGAN PROSES SODA Suprihatin, Ambarita R. Jurusan Teknik Kimia, Fakultas Teknologi Industri UPN Veteran Jawa Timur Jl. Raya Rungkut Madya
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR-PREY PADA POPULASI ECENG GONDOK DENGAN ADANYA IKAN GRASS CARP DAN PEMANENAN
ANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR-PREY PADA POPULASI ECENG GONDOK DENGAN ADANYA IKAN GRASS CARP DAN PEMANENAN Skripsi disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Darah adalah bagian dari tubuh yang berbentuk cair dengan jumlah %
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Tinjauan Umum Darah Darah adalah bagian dari tubuh yang berbentuk cair dengan jumlah 60 80 % dari berat badan, viskositas darah 4,5 kali lebih besar daripada air. Darah terdiri
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA
KESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA Rustam Jurusan Matematika Universitas Sembilanbelas November Kolaka Email: rustam.math6@gmail.com/rustam.math@usn.ac.id
Lebih terperinciPenerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami
Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti Nida Sri Utami Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMS Lina Aryati Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK
Lebih terperinciLAPORAN TUGAS AKHIR. Topik Tugas Akhir Kajian Matematika Murni
LAPORAN TUGAS AKHIR Topik Tugas Akhir Kajian Matematika Murni ANALISIS DINAMIK PADA MODEL EPIDEMI SIR UNTUK MENGETAHUI LAJU PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENSA TIPE A TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan
Lebih terperinciAnalisis Kestabilan Model MSEIR Penyebaran Penyakit Difteri Dengan Saturated Incidence Rate
Analisis Kestabilan Model MSEIR Penyebaran Penyakit Difteri Dengan Saturated Incidence Rate I Suryani 1 Mela_YuenitaE 2 12 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA
KESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA STABILITY OF BIOECONOMICS MODELS PREY PREDATOR SYSTEM FISHERIES RESOURCES WITH HARVESTING
Lebih terperinciMODEL NON LINEAR PENYAKIT DIABETES. Aminah Ekawati 1 dan Lina Aryati 2 ABSTRAK ABSTRACT
MODEL NON LINEAR PENYAKIT DIABETES Aminah Ekawati 1 dan Lina Aryati 2 1 Kopertis Wilayah XI 2 Program Studi Matematika FMIPA UGM ABSTRAK Model matematika penyakit diabetes yang dibentuk berupa persamaan
Lebih terperinciPemodelan Numerik Reaksi Enzimatik Imobilisasi
Jurnal Teknologi Proses Media Publikasi Karya Ilmiah Teknik Kimia 4() Juli 5 : 8 5 ISSN 4-784 Pemodelan Numerik Reaksi Enzimatik Imobilisasi Zuhrina Masyithah Program Studi Teknik Kimia, Fakultas Teknik
Lebih terperinciMODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI Supandi, Saifan Sidiq Abdullah Fakultas PMIPATI Universitas PGRI Semarang hspandi@gmail..com Abstrak Persaingan kehidupan di alam dapat dikategorikan
Lebih terperinciANALISIS MODEL DINAMIKA HIV DALAM TUBUH DENGAN LAJU INFEKSI TIPE HILL SKRIPSI
ANALISIS MODEL DINAMIKA HIV DALAM TUBUH DENGAN LAJU INFEKSI TIPE HILL SKRIPSI RIYADLOTUS SHOLICHAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Kreatinin Kreatinin adalah produk akhir metabolisme kreatin.keratin sebagai besar dijumpai di otot rangka, tempat zat terlibat dalam penyimpanan energy sebagai keratin fosfat.dalam
Lebih terperinciMENCARI PERLUASAN MODEL DINAMIK UNSUR-UNSUR UTAMA IKLIM
MENCARI PERLUASAN MODEL DINAMIK UNSUR-UNSUR UTAMA IKLIM Agus Indra Jaya 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Perluasan model dinamik unsur-unsur utama iklim dilakukan
Lebih terperinci