BAB II DASAR TEORI. dalam bentuk lantai dan atap bangunan untuk menompang beban normal pada

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB II DASAR TEORI. dalam bentuk lantai dan atap bangunan untuk menompang beban normal pada"

Transkripsi

1 BAB II DASAR TEORI.1 Umum Pelat beto (slab) merupaka eleme struktur ag palig luas diguaka dalam betuk latai da atap bagua utuk meompag beba ormal pada permukaaa. Pelat tersebut dapat ditopag pada didig atau balok secara lagsug pada kolom. Balok ag meompag pelat dipertimbagka (diaggap) kaku dega leduta (deflectio) relative sagat kecil jika dibadigka leduta pelat. Pelat ag ditopag pada didig atau balok diklasifikasika sebagai pelat dega tumpua tepi (edge supported slabs). Pelat ag ditopag secara lagsug pada kolom tapa balok dikeal sebagai pelat cedawa (flat slabs). Pelat tumpua tepi secara umum berbetuk persegi, amu dapat juga dalam berbagai betuk seperti segitiga, trapesium, ligkara da laia. Beba ditrasfer dari pelat dalam betuk mome letur, geser da torsi ketumpua. Seperti pelat ag ditumpu pada dua sisi ag sejajar (gambar.1a) ag memikul beba letur dalam arah sejajar memajag pada tumpuaa. Hal ii dikeal sebagai pelat satu arah da sebeara merupaka suatu balok dega dimesi lebar ag besar. Pelat ag ditumpu pada keempat sisia juga dapat merupaka pelat satu arah (oe wa slab) jika dimesi sepajaga sagat besar dibadigka dega lebara. Pelat persegi pajag dega dimesi pajag tidak terlalu besar dibadigka dega dimesi lebara atau pelat bujur sagkar ag didukug pada keempat sisia memikul beba letur pada dua arah sejajar. Seperti pelat ag dikeal

2 sebagai pelat dua arah (two wa slab). Da pada tulisa ii haa aka dibahas pelat dua arah (two wa slab). L Masor support Masor support L>b b b (b) Pelat satu arah tumpua sederhaa (a) Pelat satu arah tumpua sederhaa Masor support L<b b (c) pelat dua arah dega perletaka sederhaa ag ditumpu pada didig Gambar.1.Pelat satu arah da dua arah Pelat dua arah adalah struktur statis tak tetu tigkat tiggi. Aalisaa harus selalu memeuhi prisip-prisip dasar statika secara teoritis seharusa mempertimbagka pegekaga terhadap rotasi da traslasi ag diakibatka sistem perletaka.

3 . Pegeala Teori Elastisitas Teori elastisitas merupaka cabag ag petig dari fisika matematis, ag megkaji hubuga atara gaa, perpidaha, tegaga, da regaga dalam beda elastis. Bila suatu beda pejal dibebai oleh gaa luar beda tersebut aka berubah betuk/berdeformasi (Gambar.), sehigga timbul tegaga da regaga dalam. Perubaha betuk ii tergatug pada kofigurasi geometris dari beda tersebut da pada sifat mekais bahaa. Dalam teori elastisitas, pembahasa haa dibatasi haa pada baha elastis liear, aitu keadaa dimaa hubuga atara tegaga da regaga bersifat liear, da perubaha betuk serta tegaga aka hilag bila gaa luar dihilagka. Selai itu teori elastiitas klasik megaggap baha bersifat homoge da isotropik, dega demikia, sifat mekais baha sama dalam segala arah. Walaupu baha-baha struktural tidak tepat memeuhi semua aggapa ii, pegujia meujukka bahwa utuk sruktur baja, misala, teori elstisitas memberika hasil dega ketetapa ag tiggi, asal tegagaa masih berada dibawah titik leleh (ield poit). Teori pelat klasik ag merumuska da meelesaika masalah pelat berdasarka aalisis matematis ag eksak, merupaka peerapa khusus ag petig dari elastis. Oleh karea itu, pegertia meeluruh tetag kosep dasara,otasi, defiisi, da laia, sagat petig. Tujua dari bagia ii ialah megealka dasar dalam betuk ag rigkas. Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:14) Gambar.. Respo suatu beda elastis terhadap gaa luar.

4 a. Keadaa tegaga pada beda elastis Dalam statika beda tegar (rigid bod), disii aka dikaji gaa luar ag bekerja pada suatu beda tidak meijau perubaha betuk ag timbul. Sebalika, dalam teori elastisitas, ditijau perubaha betuk akibat gaa luar. Melalui perubaha betuk pada beda tersebut, gaa-gaa luar dikoversi mejadi gaa-gaa dalam. Kita mulai dega meijau suatu beda elsatis dega betuk sembarag dalam sstem koordiat cartesius X, Y, Z, ag memikul gaa luar ag berada dalam keseimbaga. Utuk meetuka gaa dalam ag timbul di atara partikelpartikel beda tersebut, kita baagka beda tersebut dipeggal mejadi dua bagia oleh suatu bidag, seperti pada Gambar.3a. Jika sekarag kita baagka bahwa bagia B dihilaga, keseimbaga beda tersebut harus dipertahaka oleh gaagaa luar ag bekerja pada permukaa peampaga. Marilah kita ambil suatu luas A ag kecil pada peampag tersebut da kita ataka gaa dalam ag bekarja pada luas ii sebagai P (Gambar.3b). perbadiga P/ A adalah tegaga rata rata, ag didefiisika sebagai limit dari perbadiga; jadi Tegaga P P lim (gaa per satua luas) (.1) A A Karea P umma tidak tegak lurus peampag, kita lebih mudah megguaka kompoe ormal (tegak lurus) da tagesiala (sebidag). Dega demikia defiisi tegaga ormal (σ) da tegaga geser (τ) (Gambar.3b) adalah P σ lim da A A P t τ lim (.) A A

5 Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:14) Gambar.3. Metode Irisa Perlu diperhatika bahwa tegaga pada suatu bidag adalah vektor tegaga. Resulta tegaga dega mudah dapat dicari dega pejumlaha vektor dari kompoe-kompoea. Keadaa tegaga pada beda elastis biasaa bervariasi dari satu titik ke titik laia; jadi, kita dapat tuliska σ(,,z) da τ(,,z). Utuk meggambarka keadaa tegaga tiga-dimesi, kita ambil suatu eleme ag kecil dalam betuk kotak (d d dz) ag mukaa sejajar dega bidag koordiat, seperti ag ditujukka pada gambar.4. Kompoe tegaga ormal X, Y, da Z, masig-masig diberi otasi σ, σ, da σ z. Subskriba( subscript/huruf bawah) meujukka garis ormal (tegak lurus) permukaa tempat vector tegaga tersebut bekerja. Tegaga geser τ biasaa memiliki dua subskrib. Subskrib pertama meujukka arah garis ormal permukaa, sedag subskrib kedua meujukka arah arah vektor tegaga τ. Karea tegaga merupaka fugsi dari

6 letaka pada suatu beda, itesitasa aka berubah bila bidag rujuka digerakka sejauh d, d, dz. Pertambaha ag timbul diataka oleh dua suku pertama dari deret Talor (Gambar.4) Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:15) Gambar.4. Eleme tiga dimesi Perjajia tada berikut aka diguaka dalam pembahasa berikuta. Pada bidag dekat suatu eleme (dipadag dari ujug-ujug sumbu koordiat positif diaggap positif. Pada bidag jauh suatu eleme, semua tegaga ag bekerja pada arah sumbuh koordiat egatif diaggap positif. Perjajia tada ii megikuti atura umum ag dipakai dalam praktek bidag tekik; aki, tarika bertada positif da tekaa bertada egatif. Keadaa tegaga tiga-dimesi di sembarag titik beda elastis ditetuka oleh sembila kompoe tesor tegaga dega matriks [ σ ] σ τ τ z τ σ τ z τ z τ z σ (.3) ag simetris terhadap diagoal utama. Dimaa Tesor adalah besara ag memiliki arti fisik ag memeuhi hukum trasformasi tertetu. Hukum trasformasi

7 ii dalam teori elastis adalah rotasi sumbu. Tesor orde dua diataka dalam betuk (Szilard,1989:15). Karea sifat simetris ii, τ τ z z τ τ da τ z τ z (.4) Dalam beberapa literatur, Persama (.1) disebut hukum timbale-balik tegaga geser da mudah dibuktika dega megambil mome dari tegaga-tegaga terhadap sumbu koordiat. Semetara keadaa tegaga dalam pelat ag tebal bersifat tiga-dimesi, pelat tipis ag memiliki ketegaga letur ag mempuai keadaa tiga-dimesi ag tidak sempura; aki, semua kompoe tegaga permukaa ag sejajar bidag XY sama dega ol. Dalam aalisis pelat elastis, keadaa tegaga dua-dimesi berpera petig. Pada keadaa ii, σ z τ z τ z ; dega demikia, matriks tesor tegaga ag bersagkuta mejadi [ ] σ τ σ (.5) τ σ z dimaa τ τ τ z. Misalka kompoe tegaga σ, σ, da τ τ τ pada suatu eleme dua dimesi (Gambar.5) dalam sstem koordiat kartesius diketahui. Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:16) Gambar.5. Rotasi eleme dua dimesi

8 Dega demikia, kedua arah tegak lurus ([1], []) bidag-bidsag dimaa tegaga geser sama dega ol (τ ) da tegaga ormal σ memiliki ilai ekstrim ag dapat ditetuka dari 1 1 τ τ ta α jadi (.6) ; α ta σ σ σ σ Arah-arah ii disebut arah utama (pricipal directio). Tegaga ormal maksimum da miimum ag bekerja pada bidag ii disebut tegaga utama (σ 1, σ ) da dapat dihitug sebagai σ σ σ σ σ 1, τ (.7a) dega cara ag sama, tegaga geser maksimum adalah 1 σ σ τ maks ( σ1 σ ) τ (.7b) Variasi kompoe tegaga bila sudut α berubah-ubah dapat ditetuka dari σ σ σ σ ' σ cos α τ si α σ σ ' τ τ cos α si α (.8) Persamaa utuk meetuka tegaga tegaga utama [Persamaa (.6) da (.7)], da juga persamaa traformasi tegaga dua-dimesi [Persamaa (.8)] dapat dituruka da diataka secara grafis dalam ligkara Mohr (Gambar.6). Oleh karea mome dalam ag bekerja pada eleme pelat merupaka vector mome ag diperoleh dari kompoe tegaga σ, σ, da τ, mome ag bekerja pada bidag ag mirig, dega garis ormal (Gambar.7), dapat ditetuka dega cara ag sama. Jadi, kita dapat tuliska

9 Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:17) Gambar.6 Ligkara Mohr utuk tegaga m m cos α m si α m si α m m m m cos α m si α da (.9) m t m m m cos α si α

10 Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:17) Gambar.7. Kompoe-kompoe mome pada bidag mirig dalam suatu eleme pelat Mome-mome utama ag meataka ilai ekstrim juga dapat ditetuka dari ligkara mohr, ma 1 ( m ) ( m m ) t mi ma ( m ) ( m m ) 4m t mi m m 1 4m (.1) Sudut α ag berkaita dega letak mome letur mamum da miimum dapat juga dihitug dari persamaa ag serupa dega persamaa (.6): m ta a m m (.11) b. Regaga da perpidaha Beda elastis ag diprlihatka pada Gambar. ditumpu sedemkia rupa sehigga perpidaha beda tegar/rigid bod (traslasi da rotasi) tidak terjadi. Karea beda elastis tersebut berubah betuk akibat gaa luar, setiap titik padaa

11 megalami perpidaha elastis ag kecil. Dega meataka kompoe perpidaha traslasiioal dalam arah X, Y, Z sebagai u, v, w, dapat dituliska u f 1 (,,z) v f (,,z) da w f 3 (,,z) (.1) ag meujukka bahwa kompoe perpidaha juga merupaka fugsi dari letaka. Utuk meghubugka perpidaha da berubah betuk, kita tijau kembali kotag ag sagat kecil dega sisi d, d, da dz pada suatu beda elastis (Gambar.4). Karea keseluruha beda elastis ii berubah betuk, eleme kecil tersebut juga aka berubah betuk, aki pajag sisi da sudut-sudut atara ag semula siku-siku juga aka berubah (Gambar.8). Dega membatasi pembatasa kita pada perubaha betuk ag kecil, kita defiisika regaga ormal, ε, sebagai perubaha pajag satua. Misala, regaga ormal dalam arah X adalah ε d, d (.13a) Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:18) Gambar.8. Deformasi suatu eleme

12 dimaa pertambaha d dapat diataka dega suku kedua deret Talor ( d (u / )d); jadi, dapat ditulis u u ε, εy, da u ε z z (.13b) Akibat pegaruh tegaga geser, permukaa eleme tersebut aka berputar (Gambar.8b). Sebagai cotoh, dega megambil proeksi eleme tersebut pada bidag XY seperti ag ditujukka dalam Gambar.9, dapat didefiisika regaga geser sebagai distorsi sudut; jadi v u ' '' γ γ γ γ. (.14) Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:19) Gambar.9. Distorsi ag diproeksika Dega cara ag sama, kita peroleh u w v w γ z γ z da γ z γ z. (.15) z z Sama hala dega tesor tegaga [Persamaa (.3)] di suatu titik regaga tesor dapat didefiisika: [ ε ] ε z 1 γ 1 γ z 1 1 γ ε γ z γ z γ z ε z 1 1 (.16)

13 c. Hukum Hooke Umum Utuk baha struktur ag meujukka batas elastis liear ag jelas, hokum hooke suatu dimesi meghubugka tegaga da regaga ormal sebagai σ Eε, (.17) dimaa E adalah modulus elastis oug. Jika tegaga ormal bekerja dalam arah X, perpajaga ε, diikuti oleh perpedeka lateral; jadi, regaga dalam arah X,Y, da Z adalah σ σ σ ε, ε, da (.18 ) ε z, E E E dega ν adalah agka poisso ag bekisar atara.15 da.35 utuk kebaaka baha struktur. Utuk struktur liear ag megikuti Hukum Hooke, prisip supeposisi dapat diterapka; dega demikia, jika tegaga σ, σ, da σ z bekerja secara bersamaa pada eleme ag kecil tersebut, hukum Hooke diperluas mejadi [ ] 1 ε (.19) σ ν ( σ σ z ) E 1 ε [ σ ν ( σ σ z )] E 1 ε z [ σ z ν ( σ σ )] E Dega cara ag sama, hubuga atara tegaga da regaga geser adalah τ γ, (.) G dimaa G adalah modulus elaslisitas geser atau modulus geser/gelicir. Jika tegaga geser bekerja pada semua permukaa eleme, Persamaa (.1) mejadi γ 1, G τ γ 1, z z G τ da γ 1, z z G τ (.1)

14 Hubuga ataara modulus elastisitas Youg E da mmodulus geser G adalah E E G(1 ν ), atau G. (.) (1 ν ).3 Persamaa Differesial Pelat dalam Sistem Koordiat Kartesius a. Sistem Koordiat da Perjajia Tada. Betuk pelat cukup ditetuka dega meujukka geometri bidag pusata (middle surface), ag merupaka bidag /permukaa ag membagi dua tebal pelat h setiap titik (Gambar.1). Szilard (1989:4) megataka teori pelat dega leduta kecil. Yag serig kali disebut teori Kirchhoff da Love, didasarka pada aggapa berikut: 1. Baha pelat bersifat elastis, homoge, da isotropis. Pelat pada mulaa datar 3. Tebal pelat relatif kecil dibadigka dega dimesi laia. Dimesi lateral terkecil pada pelat palig sedikit sepuluh kali lebih besar daripada ketebalaa 4. Leduta sagat kecil dibadigka dega pelat. Leduta maksimum sebesar sepersepuluh sampai seperlima tebal pelat diaggap sebagai batasa utuk teori leduta ag kecil. Batasa ii juga dapat diataka dalam pajag pelat; misala, leduta maksimum lebih kecil dari satu perlima puluh pajag betag ag terkecil 5. Kemiriga bidag pusat ag meledut jauh lebih kecil dari satu 6. Perubaha betuk pelat bersifat sedemikia rupa sehigga garis lurus ag semula tegak lurus bidag pusat pelat, tetap berupa garis lurus da tetap tegak lurus bidag (perubaha betuk gaa geser trasversal aka diabaika)

15 7. Leduta pelat diakibatka oleh perpidaha titik-titik bidag pusat ag tegak lurus awala 8. Besara tegaga ag lurus bidag pusat sagat kecil sehigga bias diabaika. Baak dari aggapa ii terkeal karea sama seperti balok dasar. Pegujia dega skala kecil da besar telah membuktika berlakua aggapa-aggapa tersebut. 9. Pada kasus pelat ag memiliki daa taha letur, aggapa peerdehaaa tambaha dapat juga dibuat: regaga pada bidag pusat akibat gaa-gaa sebidag biasaa dapat diabaika jika dibadigka dega regaga akibat letur (teori pelat iterasioal) Utuk pelat segiempat (persegi), pemakaia sstem koordiat kartesius merupaka cara ag palig mudah (Gambar.1). Gaa luar da dalam serta kompoe leduta u, v, da w diaggap positif bila searah dega arah positif sumbu koordiat X, Y, da Z. Dalam praktik bidag tekik, mome positif meimbulka tarika pada serat ag terletak dibagia bawah struktur. Perjajia tada seperti ii juga berlaku utuk pelat. Kita tijau suatu kotak kecil ag dipotog dari sebuah pelat pada (Gambar.11). Kemudia kita berika gaa dalam da mome positif pada bidag-bidag dekat (ear face). Agar eleme tersebut seimbag, gaa dalam mome egatif harus bekerja pada bidag jauha (far side). Subkrip pertama pada gaa dalam meujukka arah garis ormal (garis tegak lurus) permukaa peampag tempat mome atau gaa dalam tersebut bekerja.

16 Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:5) Gambar.1. Pelat segiempat ag memikul beba lateral

17 Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:6) Gambar.11. Gaa dalam da luar pada eleme bidag pusat Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:5) Gambar.11. Pelat segiempat ag memikul beba lateral

18 b. Keseimbaga eleme pelat Dega megaggap pelat haa memikul beba lateral, diatara keeam persamaa keseimbaga dasar haa tiga persamaa berikut ag diguaka: da (.3) Perilaku pelat dalam baak hal aalog dega perilaku jariga silag dua dimesi. Jadi beba luar P z dipikul oleh gaa trasversal Q da Q serta oleh mome letur M da M. perbedaa ag jelas dega aksi jariga balok silag duadimesi ialah adaa mome putir M da M (Gambar.11a). Dalam teori pelat, umuma gaa dalam da mome diataka persatua pajag bidag pusat (Gambar.11b). Utuk membedaka gaa dalam ii dega resulta ag disebut diatas, otasi Q, Q, M, M, M, da M, aka diguaka disii. Prosedur utuk meuruka persamaa differesial keseimbaga adalah sebagai berikut: 1. Pilih sstem koordiat ag memudahka da gambarka suatu eleme pelat (gambar.11). Tijaulah semua gaa dalam da luar ag bekerja pada eleme tersebut 3. Berika gaa dalam positif dega peambahaa (q q da seterusa) pada bidag dekat 4. Beriaka gaa dalam egatif pada bidag jauh 5. Nataka pertambaha tersebut dalam deret Talor ag dipeggal: Q Q M dq Q d, M dm M d, dst. (.4)

19 6. Tuliska keseimbaga gaa dalam da luar ag bekerja pada eleme tersebut. Sebagai cotoh, kita samaka jumlah mome semua gaa dalam terhadap sumbu Y dega ol (gambar.11b), sehigga diperoleh M M d d M d M M d d M d Q d d Q d d Qd (.5) Setelah disederhaaka, kita abaika suku ag megadug besara 1 δ δ q ( d) d. Karea merupaka suku berorde tiggi ag sagat kecil. Dega demikia, persamaa (.5) mejadi M M d. d d. d Qd. d (.6) Da, setelah dibagi dega d d, kita peroleh M M Q (.7) Dega cara ag sama, perjumlaha mome-mome lterhadap sumbu X meghasilka M M Q (.8) Pejumlaha semua gaa dalam arah Z meghasilka persamaa keseimbaga ketiga: Q Q d. d d. d q. d. d d (.9)

20 Yag setelah dibagi oleh d d mejadi Q Q d q (.3) Dega memasukka persamaa (.7) da (.8) ke persamaa (.3) da memperhatika bahwa M M, kita peroleh M M M q (.31) Mome letur da putir dalam persamaa (.31) tergtug pada regaga, sedag regaga merupka fugsi dari kompoe perpidaha. Oleh karea itu, lagkah selajuta ialah mecari hubuga atara mome dalam da kompoe perpidaha. c. Hubuga Atara Tegaga, Regaga, da Perpidaha Aggapa bahwa baha bersifat elastis memugkika pemakaia hukum Hooke dua-dimesi (ag diperoleh dari persamaa (.19) dega σ ), σ Eε vσ (.3a) z da σ Eε vσ (.3b) Yag meghubugka tegaga da regaga pada suatu eleme pelat. Subtitusi persamaa (.3b) ke persamaa (.3a) meghasilka E ( ) ( ε ) vε 1 v σ (.33) Dega cara ag sama, aka diperoleh

21 E ( ) ( ε ) vε 1 v σ (.34) Mome putir M da M meimbulka tegaga sebidag (i-plae shear) τ da τ (Gambar.1), ag berhubuga dega regaga geser γ melalui persamaa ag sejeis dega hukum Hooke Persamaa (.1), aitu E τ Gγ γ τ. (.35) (1 v) Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:8) Gambar.1. Tegaga pada suatu eleme pelat Selajuta, ditijau geometri pelat ag meledut utuk meataka regaga dalam koefesie perpidaha. Dega megambil sutu irisa pada ilai ag kosta, seperti ag ditujukka dalam Gambar.13, kita badigka peampag (irisa) sebelum da sesudah meledut. Dega memakai aggapa 5

22 da 6, ag disebutka di muka bagia ii, kita bisa ataka sut rotasi garis I-I da II-II sebagai ν ν ν da ν... ν d (.36) d Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:9) Gambar.13. Peampag sebelum da sesudah berubah betuk. Setelah berubah betuk,pajag suatu deret AB ag terletak pada jarak z dari bidag pusat mejadi A ' B ' ( gambar.13 ).dega memakai defeisi regaga ag diberika dalam persamaa (.13 ),dapat dituliska [ d z( v / ) d] ' ' d A B AB v ε z. (.37 ) d AB d Kemudia persamaa pertama disubtitusi dari persamaa (.36 ) ke persamaa ii aka meghasilka ε w z, (.38) Dega cara ag sama,kita bisa memperoleh regaga

23 ε w z. (.39) Selajuta ditetuka distorsi sudut γ γ γ ' '' dega membadigka segiempat ABCD ( gambar.14 ) ag terletak pada suatu jarak kosta z dari bidag pusat,dega keadaaa setelah berubah betuk ' ' ' ' A B C D pada permukaa pelat ag meledut.dari kedua segitiga kecil dalam gambar.14 da dari persamaa (.14 ) jelas terlihat bahwa ' v " u γ da γ ; (.4 ) Tetapi dari gambar.13, w u zv z ; (.41 ) Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:3 ) Gambar.14. Distorsi Sudut. Dega cara ag sama, w v z, Sehigga,

24 ' '' w γ γ γ z (.4 ) Perubaha kelegkuga pada bidag pusat ag meledut didefeisika sebagai k w w, k, da w χ (.43 ) Dimaa χ meataka pemilia ( warpig ) pelat. d.gaa dalam ag diataka dalam w Kompoe tegaga σ da σ ( gambar.1 ) meimbulka mome letur pada eleme pelat dega cara ag sama seperti pada teori balok dasar. Jadi, dega megitegrasika kompoe tegaga ormal, kita peroleh mome letur ag bekerja pada eleme pelat: ( k / ) ( k / ) M σ zdz da (.44 ) ( k / ) ( k / ) M σ zdz (.44 ) Demikia pula,mome putir akibat tegaga geser τ τ τ dapat dihitug dari ( k / ) M τ zdz da ( k / ) ( k / ) M τ zdz (.45 ) ( k / ) Namu τ τ τ sehigga M. M Jika persamaa (.38 ) da (.39 ) disubtitusika ke dalam persamaa (.33 ) da (.34 ),tegaga ormal σ da σ bisa diataka dalam leduta lateral w.jadi,dapat ditulis sebagai Ez w w σ v (.46 ) 1 v Da

25 Ez w w σ v (.47 ) 1 v Itegrasi persamaa (.44 ), setelah substitusi persamaa di atas meghasilka σ da σ, M 3 Eh w w ( ) v 1 1 v ( ) w w D v D k vk (.48) Da ( vk ) w w M D v D k (.49 ) Di maa D 3 Eh (.5 ) 1 v ( 1 ) Meataka ketegara letur/kekakua pelat ( fletural rigidit ) pelat. Dega cara ag sama,kita peroleh persamaa mome putir dalam leduta lateral: M ( h / ) M τ zdz ( h / ) G ( h / ) ( h / ) w z dz w D(1 v) D(1 v)χ (.51) Jika persamaa (.48 ),(.49 ) da (.51 ) disubstitusika ke persamaa (.31 ) aka meghasilka persamaa differesial peetu utuk pelat ag memikul beba lateral :

26 4 w w w q (.5 ) 4 D Persamaa ii merupaka persamaa differesial parsial takhomoge,berorde-empat ag termasuk jeis eliptis dega koefesie kosta, ag serig kali disebut persamaa biharmois takhaloge (szilard, 1989:31).Persamaa (.5) bersifat liear karea turua dari w tidak memiliki ekspoe ag lebih besar dari satu. Selajuta, merumuska gaa geser trasversal dalam leduta lateral. Persamaa (.48) da, (.49), da (.51) disubstitusi ke persamaa (.7) da (.8) meghasilka M M w w Q D (.53 ) M M w w Q D (.54 ).4 Kodisi Tepi Meurut Teori Letur Peelesaia eksak utuk persamaa pelat ( persamaa.5 ) harus juga memeuhi persamaa differesial tersebut dalam kodisi tepi ( sarat batas ) masalah pelat tertetu.karea persamaa (.5 ) merupaka persamaa differesial berorde empat, dua kodisi tepi, baik utuk perpidaha ataupu utuk gaa-gaa dalam, diperluka setiap tepi. Dalam teori letur pelat, ada tiga kompoe gaa dalam ag harus ditijau: mome letur, mome putir da gaa geser trasversal. Demikia pula, kompoe perpidaha ag harus dipakai dalam perumusa kodisi tepi adalah leduta lateral da kemiriga ( putara sudut ). Kodisi tepi pelat ag megalami letur umuma dapat digologka sebagai salah satu dari kodisi

27 tersebut. Adapu kodisi tepi ag diguaka dalam pembahasa tugas akhir ii adalah sebagai berikut : a. Kodisi tepi geometris ( jepit ). Kodisi geometris tertetu ag diperoleh berdasarka besara perpidaha ( traslasi da rotasi ) dapat diguaka utuk merumuska kodisi tepi dala betuk matematis.misala, leduta da kemiriga permukaa pelat ag meledut di tepi jepit( gambar.15a ) sama dega ol, jadi, dapat dituliska w w ( ), ( atau a ) Da (.55 ) w w ( ), ( atau b ) Kodisi tepi seperti ii disebut kodisi tepi geometris b. Kodisi tepi statis ( tepi bebas ). Utuk kodisi tepi statis, gaa-gaa tepi memberika persamaa matematis ag diperluka. Misala, di tepi bebas suatu pelat ag tidak dibebai ( gambar.15b ), kita dapat kataka bahwa mome da gaa geser trasversal ( V ) di tepi tersebut sama dega ol; jadi, Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:33 ) Gambar.15. Berbagai kodisi tepi

28 ( ) ( V ) M di, a, Atau (.56 ) ( ) ( V ) M di, b, Gaa geser di tepi pelat terdiri dari dua suku,aitu gaa geser trasversal da pegaruh mome putir. Dega memperhatika tepi-tepi pelat ag memiliki garis ormal dalam arah X da Y, gaa tepi per satua pajag diperoleh sebagai V M 3 w D 3 3 w v) Q ( (.57 ) Dimaa Q da V Q M 3 w D 3 3 w ( v) Q adalah gaa geser lateral ( persamaa.53 da.54 ).Suku kedua m m / da / dalam persamaa (.57 ) meataka gaa geser tambaha di tepi tersebut ag diakibatka oleh mome putir M M.Dega meggati mome putir dega kopel ekivale secara statis M d / d da M d / d ( gambar.16 ),gaa-gaa ii salig meghapus di eleme eleme ag bersebelaha,kecuali bagia pertambahaa: M d da M d Dega membagi persamaa ii masig-masig dega d da d,kita peroleh gaa geser tambaha persatua pajag : Q M da Q M Gaa ii disebut gaa tambaha Kirchhoff (Kirchhoff Ersatzkrafte )

29 Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:34 ) Gambar.16. Pegaruh tepi dari mome putir Dega meggati mome putir dega gaa geser ekivale ii, Kirchhoff meguragi jumlah gaa dalam ag harus ditijau,aki dari tiga mejadi dua.dega demikia,dari persamaa (.48 ),da (.49 ), da (.56, da (.57 ) Kodisi tepi bebas adalah : w v w, ( ) w v w (.58 ) Da, w v w ( ) w v w (.59 ) c. Kodisi tepi sederhaa.tepi ag bertumpua sederhaa (gambar.15c ) Meghasilka kodisi tepi campura. Karea leduta da mome letur di sepajag tepi ii melibatka persamaa ag berkaita dega perpidaha da gaa. Jadi, ( ), w ( ) w v w M

30 Da (.6 ) ( ), w ( ) M w w v.5 Deret Fourier dalam Peelesaia Persamaa Differesial Pelat Deret Fourier merupaka alat ag ampuh utuk medapatka peelesaia aalitis dari baak masalah dalam bidag mekaika terapa (applied mechaics ), seperti peelesaia persamaa differesial parsial pada teori elastisitas, getara, lira paas, trasmisi listrik, da gelombag elektromagetik. Begitu pula aalisa pelat ag aka dibahas kemudia, aitu metode M.Lev. Perluasa deret Fourier meghasilka itegral Fourier da trasformasi Fourier.Walaupu metode terahkir diaggap alat ag caggih utuk aalisis tigkat tiggi, kita tidak aka megguakaa disii utuk meelesaika masalah pelat agar tidak melampaui tujua tulisa ii sebagai pegeala. Utuk peelesaia persamaa differesial dari persamaa ag diguaka dalam peurua rumus utuk metode M.Lev, disii haa diguaka deret Fourier tuggal utuk medapatka peelesaia aalitisa. Dalil fourier meataka bahwa suatu fugsi sembarag f () dapat diataka dega deret tak-higga ag terdiri dari suku sius da kosius.jadi,fugsi semula dapat digati dega superposisi sejumlah gelombag sius da kosius.jika f () adalah fugsi periodik,dalil Fourier meataka bahwa 1 π f ( ) A A1 cos A T 4π cos T... A π cos T... π 4π B si B si T T... B π si T 1... (.61 ) Atau dalam betuk ag rigkas,

31 1 f ( ) A A cos ω si ω (.6 ) 1 Dimaa A, A, da ( 1,,3,...) adalah koefesie ekspasi Fourier;ω adalah B 1 ω π T (.63) Serta T adalah periode fugsi ag ditijau ( gambar.17 ) Gambar.17. Fugsi periodik sembarag Persamaa (.6 ) berlaku utuk sembarag fugsi periodik beratura ag terdiri dari sejumlah segme ( piecewise ), ag boleh memiliki diskotiuitas.persamaa ii meataka fugsi periodic sembarag f () dalam seluruh jagkaua dari sampai, sehigga disebut ekspasi dega jagkaua peuh ( full-rage epasio). Koefesie A, A, da B dihitug sebagai A T T f ( )d (.64 ) A T T f ( ) cos ω d (.65 ) Da

32 B T T f ( ) si ω d, ( 1,3,5,...) (.66 ) Gambar.18. Aalisis Harmois Bila betuk aalitis dari fugsi f () tidak diketahui atau terlalu rumit utuk diitegrasi,kita dapat memafatka aalitis harmois ag meggati itegral dega pejumlaha.dega membagi periode T mejadi iterval-iterval ag sama sebesar m ( lihat gambar.18 ),koefesie Fourier bisa ditetuka sebagai 1 1 m k m k A (.67 ) A 1 1 m m k k cos kπ m (.68 ) Da B 1 1 m kπ k si, (.69 ) m k m ( k,1,,..., m da 1,,3,..., m ) Metode pedekata laia utuk meghitug kostata ekspasi Fourier ialah dega meggambarka kurva f (), () f cos( π / T ) da ( / T ) si π da meetuka luas masig-masig kurva dega plaimeter ( alat pegukur luas ).

33 Jika suatu fugsi periodic,fugsi tersebut dapat dibuat periodik dega meeruska fugsi secara sembarag keluar itervala.peerusa sembarag ii dapat berupa harmois gelap, harmois gajil ( gambar.19 ), atau geap gajil ( gambar.). Karea dalam baak hal tujua kita adalah meataka fugsi f () haa pada pajag tertetu L, kita lebih mudah memakai ekspasi setegahjagkaua( half-rage epasio ) dega pegulaga iterval TL da dega megambail titik awal swbagai pusata, seperti diperlihatka pada gambar.. Misalka kita hedak meataka fugsi f () haa dalam suku kosius. utuk itu, kita tambahka secara sembarag suatu fugsi geap dalam pada fugsi tak- periodik semula ( gambar.a ), sehigga hubuga Gambar.19. Harmoisasi gajil ( a ),harmoisasi geap ( b )

34 f ( ) f ( ) (.7) berlaku;jadi suku sius, dalam persamaa (.6 ) meghilag selama itegrasi.demikia pula, dega membuat fugsi gajil ( gambar.b ) sehigga hubuga f ( ) f ( ) (.71 ) Berlaku,suku sius aka hilag dalam itegrasi da aka diperoleh deret trigoometris sius dega cara ekspasi deret Fourier setegah-jagkaua.car terahkir, karea deret ii megadug kostata A [ sebeara merupaka suku kosius meurut persamaa (.64 ) da (.65 ) ] da dapat meataka kodisi tepi geometris bagi tumpua sederhaa, aka serig diguaka dalam peelesaia masalah ilai tepi ag sesuai. Gambar.. Fugsi geap ( a ),fugsi gajil ( b )

35 Cotoh ekspasi deret Tuggal ( Szilard,1989:47 ). Kita dapat megekspasika fugsi pada gambar.1 mejadi deret Fourier dega tiga ( 3 ) cara : Gambar.1. Fugsi ag aka diekspasika mejadi deret Fourier 1. Ekspasi jagkaua-peuh,ag megadug kostata serta suku sius da kosius.. Ekspasi setegah-jagkaua,ag haa megadug suku sius. 3. Ekspasi setegah-jagkaua,ag haa megadug suku kosius 1 Utuk ekspasi jagkaua-peuh.64): Periode ekspasi adalah T. Suku kosta diperoleh dari persamaa( Da persamaa(.65 ) 1 A f ( ) d f (.7 ) A 1 π f ( ) cos d, ( 1,,3...) (.73 ) Koefesie suku sius kemudia ditetuka dega persamaa (.66 )

36 B 1 f ( ) si π f π f d f ( ) si d (cos π 1) π (.74) Sehigga diperoleh f utuk 1,3,5,... π B (.75 ) B, utuk 1,3,5,... Nilai-ilai tersebut disubtitusika ke persamaa (.6 ), meghasilka ekspasi deret Fourier peuh f ( ) 1 f π 1 3π 1 5π f si si si... π 3 5 (.76 ) Gambar.a meujuka kurva tiga suku pertama dari persamaa (.7.6 ) Sumber : Teori da Aalisis Pelat (Szilard, 1989:48 ) Gambar.. Grafik ekspasi deret Fourier

37 . Berikuta kita ubah fugsi ag sama ( gambar.1 ) mejadi deret trigoometris ag haa megadug suku sius.utuk itu, diguaka ekspasi setegah-jagkaua dega periode T 4. Kemudia, fugsi ii secara sembarag diperpajag melampaui titik pusat sehigga diperoleh fugsi gajil ( gambar.b ). Karea fugsi dalam itegral f () da f ( ). cos ω merupaka fugsi gajil,persamaa (.64 ) da (.65 ) meghasilka A A.amu, f ( ) si ω F( ) adalah fugsi geap, da utuk fugsi geap. Dimaa T L F( ) d F( ) d, (.77 ) T L.Dega demikia,persamaa (.66 ) mejadi B L π L f ( ) si L d, (.78 ) Nilai-ilai utuk cotoh ii kita subtitusika ke persamaa (.78 ),kita peroleh B π f ( ) si d 1 π si f d f π f π cos cos 1 π π (.79 ) Utuk berbagai ilai, kita peroleh f B, utuk 1,3,5,... π 4 f B, utuk,6,1,... π B, utuk,6,1,...

38 B B B f, utuk 1,3,5,..., π 4f, utuk,6,1,..., π, utuk 4,6,1,..., (.8 ) Dari ilai-ilai diatas da persamaa (.6 ),kita peroleh f ( ) B si ω 1 f π π 1 3π 1 5π si si si si... π 3 5 (.81 ) Grafik pejumlaha berbagai suku-suku ii ditujuka pada gambar.b. 3. Selajuta,kita ekspasika fugsi ag sama ( gambar.1 ) ke deret trigoometris ag haa megadug suku kosius. Kembali, kita aka guaka ekspasi setegah-jagkaua dega periode T L 4. Aka tetapi, utuk kasus ii, perpajaga sembarag ag melampaui titik awal aka meghasilka suatu fugsi geap seperti ag diperlihatka pada gambar.b. Sekarag, fugsi dalam itegral f () da f ( ) cos ω dalam persamaa (.64 ) da (.65 ) merupaka fugsi geap, sedag f ( ) si ω dalam persamaa (.66 ) adalah fugsi gajil. jadi, kita simpulka bahwa B, da dari persamaa (.64 ) da (.65 ), diperoleh L A f ( ) d L L π da A f ( ) cos d. L L (.8 ) Dega demikia,ekspasi Fourier utuk sembarag fugsi geap berperiose L dapat dituliska sebagai

39 f ( ) 1 A π A cos. 1 L (.83 ) Peelesaia utuk koefesie-koefesie meghasilka Da f f A d [ ] f (.84 ) A si π 1 π f f cos d π (.85 ) f π si, π Utuk berbagai ilai,kita peroleh A A A f, π, f, π utuk utuk utuk 1,5,9,...,,4,6,..., 3,7,11,..., (.86 ) Subtitusi ilai-ilai ke persamaa (.83 ) meghasilka f () f f π 1 3π 1 5π cos cos cos... π 3 5 (.87 ) Pejumlaha kurva berbagai suku ii ditujuka pada gambar.c.

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH

MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA Jl. Boulevard Bitaro Sektor 7, Bitaro Jaa Tagerag Selata 154 PENDAHULUAN Megapa mempelajari kekuata taah? Keamaa

Lebih terperinci

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 96 BAB I KESIPUAN AN SARAN I1 Kesimpula Berdasarka hasil pegujia, aalisis, da studi kasus utuk megetahui kekuata da desai pelat komposit beto-dek metal diperoleh kesimpula sebagai berikut: 1 Jika meurut

Lebih terperinci

PENGARUH JENIS TUMPUAN TERHADAP FREKUENSI PRIBADI PADA GETARAN BALOK LENTUR

PENGARUH JENIS TUMPUAN TERHADAP FREKUENSI PRIBADI PADA GETARAN BALOK LENTUR PENGARUH JENIS TUMPUAN TERHADAP FREKUENSI PRIBADI PADA GETARAN BALOK LENTUR Naharuddi 1 1 Staf Pegajar Jurusa Tekik Mesi, Utad Abstrak. Tujua peelitia ii adalah utuk meetuka ilai frekuesi pribadi getara

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

FUNGSI BANYAK VARIABEL DAN PENERAPANNYA

FUNGSI BANYAK VARIABEL DAN PENERAPANNYA FUNGSI BANYAK VAIABEL DAN PENEAPANNYA KATA PENGANTA Segala puji sukur peulis pajatka haa utuk Allah SWT ag telah memberika rahmat da hidaaha, sehigga atas izi Allah, Alhamdulillah buku ag cukup sederhaa

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Aplikasi Interpolasi Bilinier pada Pengolahan Citra Digital

Aplikasi Interpolasi Bilinier pada Pengolahan Citra Digital Aplikasi Iterpolasi Biliier pada Pegolaha Citra Digital Veriskt Mega Jaa - 35408 Program Studi Iformatika Sekolah Tekik Elektro da Iformatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 403, Idoesia veriskmj@s.itb.ac.id

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Buleti Ilmiah Math. Stat. da Terapaya (Bimaster) Volume 02, No. 1(2013), hal 1-6. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Demag, Helmi, Evi Noviai INTISARI Permasalaha di bidag tekik

Lebih terperinci

Karakteristik Dinamik Elemen Sistem Pengukuran

Karakteristik Dinamik Elemen Sistem Pengukuran Karakteristik Diamik Eleme Sistem Pegukura Kompetesi, RP, Materi Kompetesi yag diharapka: Mahasiswa mampu merumuskaka karakteristik diamik eleme sistem pegukura Racaga Pembelajara: Miggu ke Kemampua Akhir

Lebih terperinci

Bab II Dasar Teori Analitik Shell

Bab II Dasar Teori Analitik Shell Bab II Dasar Teori Aalitik Shell II. Kosep Dasar II.. Persamaa Differesial Shell Perbedaa yag utama atara struktur cagkag (shell) da struktur pelat adalah pada kelegkugaya. Dega adaya kelegkuga awal mempegaruhi

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

STABILITAS LERENG runi_ runi asma _ ran asma t ran t ub.ac.id

STABILITAS LERENG runi_ runi asma _ ran asma t ran t ub.ac.id STABILITAS LERENG rui_asmarato@ub.ac.id ANALISA STABILITAS LERENG Dalam bayak kasus, para isiyur sipil/pegaira diharapka mampu membuat perhituga stabilitas lereg gua memeriksa keamaa suatu kodisi : Lereg

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

BAB V PERENCANAAN PELAT LANTAI

BAB V PERENCANAAN PELAT LANTAI GROUP BAB V PRNCANAAN PLAT LANTA 5. Perecaaa Pelat Latai Perecaaa pelat latai seluruhya megguaka beto bertulag dega mutu beto f c = 0 MPa da baja utuk tulaga megguaka mutu baja fy = 40 MPa. Asumsi perhituga

Lebih terperinci

τ = r x F KESETIMBANGAN

τ = r x F KESETIMBANGAN KESETIMBG Moe Gaa ( τ ) Moe gaa atau torsi adalah besara ag dapat eebabka beda berotasi atau berputar. Besar oe gaa didefiisika sebagai hasil kali atara gaa ag bekerja dega lega. Moe gaa terasuk dala besara

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

Sidang Tugas Akhir Teknik Manufaktur

Sidang Tugas Akhir Teknik Manufaktur Sidag Tugas Akhir Tekik Maufaktur Aplikasi pegguaa Metode Butterorth Lopass Filter dega Edge Detectio Ca-Roberts utuk megetahui Karakteristik stress-strai Material berbasis Image Processig Oleh : HANIF

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Studi Plasma Immersion Ion Implantation (PIII) dengan menggunakan Target Tak Planar

Studi Plasma Immersion Ion Implantation (PIII) dengan menggunakan Target Tak Planar JURNAL FISIKA DAN APLIKASINYA VOLUME 6, NOMOR JUNI,1 Studi Plasma Immersio Io Implatatio PIII dega megguaka Target Tak Plaar Yoyok Cahyoo Jurusa Fisika, FMIPA-Istitut Tekologi Sepuluh Nopember ITS Kampus

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi.

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi. SOL-SOL HOTS. LJBR Pagkat Bulat Positif, Betuk kar, da Logaritma 1. Jumlah bakteri pada saat mula-mula adalah M 0. Karea suatu hal, setiap selag satu hari jumlah bakteri aka leyap r%. Jika M0 1.0 da r

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARSA DAN FAKTOR DISKON

BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARSA DAN FAKTOR DISKON BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARA DAN FAKTOR DIKON 3.1 Ecoomic Order Quatity Ecoomic Order Quatity (EOQ) merupaka suatu metode yag diguaka utuk megedalika

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. Lokasi penelitian dilakukan di Provinsi Sumatera Barat yang terhitung

III. METODE PENELITIAN. Lokasi penelitian dilakukan di Provinsi Sumatera Barat yang terhitung 42 III. METODE PENELITIAN 3.. Lokasi da Waktu Peelitia Lokasi peelitia dilakuka di Provisi Sumatera Barat yag terhitug mulai miggu ketiga bula April 202 higga miggu pertama bula Mei 202. Provisi Sumatera

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Osilator Harmonik (Bagian 2)

Osilator Harmonik (Bagian 2) Osilator armoik Bagia Osilator harmoik mekaika kuatum Tijau osilator harmoik -dimesi: ˆ = E ki + E pot kostata gaa ˆ m d d k perpidaha E pot k massa k Tigkat eergi osilator Tigkat eergi osilator harmoik

Lebih terperinci

Oleh: Bambang Widodo, SPd SMA Negeri 9 Yogyakarta

Oleh: Bambang Widodo, SPd SMA Negeri 9 Yogyakarta Oleh: Bambag Widodo, SPd SMA Negeri 9 Yogyakarta PETA KONSEP Prisip Superposisi Liier Sefase π π beda faseya : 0,2, 4,. beda litasa : 0,,2, 3,. terjadi iterferesi Kostruktif/ salig meguatka, amplitudo

Lebih terperinci

Statistika MAT 2 A. PENDAHULUAN NILAI MATEMATIKA B. PENYAJIAN DATA NILAI MATEMATIKA NILAI MATEMATIKA STATISTIKA. materi78.co.nr

Statistika MAT 2 A. PENDAHULUAN NILAI MATEMATIKA B. PENYAJIAN DATA NILAI MATEMATIKA NILAI MATEMATIKA STATISTIKA. materi78.co.nr materio.r Statistika A. PENDAHULUAN Statistika adalah ilmu yag mempelajari pegambila, peyajia, pegolaha, da peafsira data. Data terdiri dari dua jeis, yaitu data kualitatif (sifat) da data kuatitatif (agka).

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2. 1 Baha Baja Utuk Kostruksi Pegguaa baja sebagai baha struktur utama dimulai pada akhir abad kesembila belas ketika metoda pegolaha baja ag murah dikembagka dega skala ag luas.

Lebih terperinci

BAB 5 OPTIK FISIS. Prinsip Huygens : Setiap titik pada muka gelombang dapat menjadi sumber gelombang sekunder. 5.1 Interferensi

BAB 5 OPTIK FISIS. Prinsip Huygens : Setiap titik pada muka gelombang dapat menjadi sumber gelombang sekunder. 5.1 Interferensi BAB 5 OPTIK FISIS Prisip Huyges : Setiap titik pada muka gelombag dapat mejadi sumber gelombag sekuder. 5. Iterferesi - Iterferesi adalah gejala meyatuya dua atau lebih gelombag, membetuk gelombag yag

Lebih terperinci

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09 METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM09 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pada metode ii, utuk

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

BAB II PEMBAHASAN. Dalam statistik Maxwell- Boltzman, ada dua ciri- ciri yang digunakan:

BAB II PEMBAHASAN. Dalam statistik Maxwell- Boltzman, ada dua ciri- ciri yang digunakan: BAB II PEMBAHASAN A. Keadaa Makro da Keadaa Mikro Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistik adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel- partikel kedalam tigkat- tigkat eergi da keadaa- keadaa

Lebih terperinci

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH 89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas

Lebih terperinci

STATISTIKA MAT 2 NILAI MATEMATIKA NILAI MATEMATIKA NILAI MATEMATIKA A. PENDAHULUAN B. PENYAJIAN DATA. Diagram garis

STATISTIKA MAT 2 NILAI MATEMATIKA NILAI MATEMATIKA NILAI MATEMATIKA A. PENDAHULUAN B. PENYAJIAN DATA. Diagram garis materio.r A. PENDAHULUAN Statistika adalah ilmu yag mempelajari pegambila, peyajia, pegolaha, da peafsira data. Data terdiri dari dua jeis, yaitu data kualitatif (sifat) da data kuatitatif (agka). B. PENYAJIAN

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak: PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Lebih terperinci

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal

Lebih terperinci

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO

PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

BAB IV METODE PENELITIAN

BAB IV METODE PENELITIAN BAB IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia sikap kosume terhadap kopi ista Kopiko Brow Coffee ii dilakuka di Wilaah Depok. Pemiliha dilakuka secara segaja (Purposive) dega pertimbaga

Lebih terperinci

POSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan

POSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan POSITRON, Vol. II, No. (0), Hal. -5 ISSN : 30-4970 Peetua Eergi Osilator Kuatum Aharmoik Megguaka Teori Gaggua Iklas Saubary ), Yudha Arma ), Azrul Azwar ) )Program Studi Fisika Fakultas Matematika da

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

BAB 3 METODE PENELITIAN

BAB 3 METODE PENELITIAN Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik CATATAN KULIAH ertemua VII: Kosep Total erivati a Aplikasia paa Komparati tatik A. ieresial Masalah ag ihaapi: Bagaimaa aalisis komparati-statik jika tiak aa solusi betuk-rigkas reuce-orm ikareaka oleh

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN : JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan

TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan TURUNAN FUNGSI. Gardie Garis siggug Kurva Peratika graik ugsi pada gambar berikut. 8 B 6 C A Gambar Titik A, B, da C terletak pada graik, bila absisa berturut-turut,, da, maka koordiat titik A,, B,, da

Lebih terperinci

Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL

Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL 3. Tipe-tipe model Model matematika da model siyal Model matematika adalah deskripsi sistem dimaa hubuga atara variael da siyal model diyataka dalam betuk-betuk

Lebih terperinci

Contoh Produksi dua jenis sepatu A dan B memberikan fungsi keuntungan bulanan sebagai berikut :

Contoh Produksi dua jenis sepatu A dan B memberikan fungsi keuntungan bulanan sebagai berikut : I. OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA Utuk fugsi dua peubah ) f ag terdiferesial dua kali. Jika di titik ) P dipeuhi :. sarat stasioer)... > maka mecapai ekstrim di ) P. Jika : ekstrim maksimum mecapai maka

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI

REGRESI DAN KORELASI REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata Probabilitas da Statistika da Adam Hedra Brata Dua Peubah Acak dua perubah acah X da Y dega rata-rata da diberika oleh rumus : E(XY) - - - Sifat Sifat Sifat kovariasi utuk X da Y diskrit : f(, ) f(, )

Lebih terperinci

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang.

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang. SOAL N MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN PAKET KC-F TAHN PELAJARAN /. Ekstrakurikuler pramuka suatu SMK aka

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL. : harga saham : tingkat harapan pendapatan. yaitu

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL. : harga saham : tingkat harapan pendapatan. yaitu III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL 3. Model Kotiu da Model Diskret Perkembaga Harga Saham Saham merupaka aset fiasial yag ilaiya berubah-ubah megikuti harga pasar, sehigga dalam jagka waktu tertetu

Lebih terperinci

Bab III Metoda Taguchi

Bab III Metoda Taguchi Bab III Metoda Taguchi 3.1 Pedahulua [2][3] Metoda Taguchi meitikberatka pada pecapaia suatu target tertetu da meguragi variasi suatu produk atau proses. Pecapaia tersebut dilakuka dega megguaka ilmu statistika.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. STABILITAS LERENG Suatu permukaa taah yag mirig yag membetuk sudut tertetu terhadap bidag horisotal disebut sebagai lereg (slope). Lereg dapat terjadi secara alamiah atau dibetuk

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU 1 Nama Mata Kuliah : Matematika I 2 Kode Mata Kuliah : TSS - 1105 3 Semester : I 4 (sks) : 2 5 Dose Pegampu

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur 0 III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI BANDUNG

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI BANDUNG PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PDP MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI BANDUNG PDP: Persamaa ag pada suku-sukua megadug betuk turua diferesia parsia aitu turua terhadap ebih dari satu variabe

Lebih terperinci

TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA

TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 115 122 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA ELVI YATI, DODI DEVIANTO, YUDIANTRI ASDI Program

Lebih terperinci