dan hal-hal apa saja yang terkait di dalamnya. Sehingga setelah menyelesaikan bab ini

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "dan hal-hal apa saja yang terkait di dalamnya. Sehingga setelah menyelesaikan bab ini"

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN A. Kmpetensi yang diharapkan Bab ini memberikan gambaran menyeluruh secara garis besar mengenai apa itu sistem dinamik dan hal-hal apa saja yang terkait di dalamnya. Sehingga setelah menyelesaikan bab ini mahasiswa diharapkan mampu : 1. Memahami gambaran secara garis besar hal-hal yang terkait dengan sistem dinamik. Menunjukkan ketunggalan slusi suatu persamaan diferential rdre satu 3. Menggambarkan trayektri dari persamaan diferensial autnmus pada bidang Cartesius. 4. Menentukan kestabilan dari titik kritis pada persamaan diferensial autnmus scalar. B. Selayang pandang tentang sistem dinamik Sistem dinamik adalah suatu masalah yang sudah lama dipelajari leh para ilmuwan sebagai dari cnthnya adalah masalah peredaran benda-benda langit celestial mechanics, dinamik dari cairan fluid dynamics dan juga silasi dari pegas masa nnlinear scillatins. Dengan berkembangnya kmputer maka semakin pesat juga perkembangan dari sistem dinamik. Tpik sistem dinamik ini merupakan suatu tpik lanjutan artinya untuk mempelajari sistem dinamik ini dengan baik sesrang memerlukan landasan pengetahuan sebelumnya yakni persamaan difernsial khususnya persamaan diferensial autnmus yaitu persamaan diferensial dimana variable bebasnya tidak muncul secara ekplisit dalam persamaan. Pada dasarnya sistem dinamik adalah mempelajari perubahan apa yang terjadi dengan suatu sistem atau keadaan yang memenuhi kndisi tertentu dengan seiring berubahnya waktu apakah sistem tersebut stabil menuju ke keadaan tertentu ataukah tidak stabil. Sebagai cnth yang sederhana yaitu persamaan diferensial autnmus berikut ini : dengan adalah turunan dari terhadap variable bebas t biasanya mensimbulkan waktu. Jelas bahwa 0 merupakan slusi. Apabila nilai psitip maka nilai negatip sehingga nilai mengecil ini artinya apabila diberikan nilai awal 0 psitip maka slusi akan menuju ke nl demikian juga apabila diberi nilai awal 0 negatip maka slusi juga akan menuju nl sebab apabila negatip maka bernilai psitip. Dalam hal ini slusi = 0 dikatakan stabil. Slusi = 0 ini disebut juga sebagai slusi knstan atau slusi setimbang equilibrium

2 slutin atau titik kritis critical pints. Slusi setimbang ini yang memegang peranan penting pada tpic system dinamik. Keadaan di atas dapat digunakan untuk menggambarkan pergerakan partikel pada garis. Yakni apabila partikel tersebut berada disebelah kanan = 0 maka akan bergerak menuju titik nl dan juga apabila partikel berada di sebelah kiri titik nl akan begerak juga menuju nl dan apabila partikel berada di titik nl maka partikel tersebut akan tetap berada di nl sampai kapanpun. Dengan demikian apabila kita mempunyai system persamaan autnmus yang terdiri dari dua variable tak bebas maka system tersebut bias untuk menggambarkan pergerakan partikel pada bidang dan apabila kita memiliki tiga variable tak bebas maka system tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan pergerakan partikel pada ruang semua pergerakan pada alam semesta yang kita tempati ini seperti pergerakan angin atau udara pada ramalan cuaca ataupun pergerakan dari system tata surya kita dan lain sebagainya. Di samping itu apabila pada system itu memuat suatu parameter maka kita bias membahas hal lain yakni yang disebut dengan bifurkasi yaitu perubahan apa saja yang terjadi apabila nilai parameter yang ada pada system tersebut divariasikan. Sebagai ilustrasi kita perhatikan persamaan diferensial autnmus berikut ini : dengan merupakan suatu parameter skalar. Tampak bahwa slusi knstan atau slusi ekuilibriumnya ada dua yakni = 0 dan = Slusi knstan diperleh dengan cara meyamadengakan nl ruas kanan dari persamaan di atas. Dengan demikian apabila parameter divariasikan maka slusi knstannya akan mengalami perubahan juga yakni hanya mempunyai satu slusi knstan yaitu = 0 saat nilai = 0. Sedangkan untuk nilai tidak nl maka system mempunyai dua slusi knstan. Tentu saja juga akan terjadi perubahan kestabilan dari masing-masing slusi knstan tersebut. Selain kasus yang kntinu system dinamik juga muncul untuk kasus diskret yakni dinamik pada persamaan beda difference equatins. Kasus ini banyak muncul pada perhitungan numeric karena pada saat melakukan pendekatan secara numeric persamaan diferensial diubah menjadi persamaan beda. C. Ketunggalan slusi Secara umum persamaan diferensial biasa rder satu autnmus dapat dituliskan dalam bentuk f dengan merupakan variable tak bebas yang bias berupa scalar atau vectr. Apabila diberikan nilai awal tertentu yaitu 0 maka akan didapatkan slusi khusus yang bergantung pada nilai awal tersebut dan persamaannya dapat dituliskan menjadi f, 0 1

3 yang biasa juga dinamakan dengan Masalah Nilai Awal Initial Value Prblem. Apabila variable berupa scalar maka persamaan di atas dapat diinterprestasikan sebagai pergerakan partikel pada garis sedangkan apabila variable merupakan vectr berdimensi maka dapat diinterprestasikan sebagi gerakan partikel pada bidang datar dan apabila berdimensi 3 menggambarkan gerakan partikel pada ruang dan apabila berdemensi lebih dari 3 maka tidak dapat digambarkan secara visual. Untuk kasus merupakan variable scalar maka slusi dari persamaan 1 dapat diselesaikan dengan metde separatin f variable dan didapatkan slusi dalam bentuk implicit 1 ds t t f s apabila integralnya dapat diselesaikan. Meskipun pengintegralan dapat dilaksanakan namun belum tentu hasil slusinya yang berbentuk implicit dapat dinyatakan secara ekplisit. Tapi pada kenyataanya tanpa mengetahui slusi secara ekplisit kita dapat menganalisis perilaku dari slusinya hanya dengan menganalisis sifat-sifat dari turunan-turunannya. Namun slusi dari persamaan 1 belum tentu tunggal tergantung dari sifat fungsi f nya. Apabila fungsi f bersifat smth artinya turunan dari fungsi f bersifat kntinu maka slusinya akan tunggal. Hal ini dapat dilihat pada cnth berikut ini. Perhatikan masalah nilai awal 0, 0 Slusinya dapat diperleh secara ekplisit yakni t t 4 dan untuk 0 ada juga slusi yang lain yakni t = 0 untuk semua nilai t. Jadi masalah nilai awal ini mempunyai slusi yang tidak tunggal untuk 0. Pada cnth di atas slusinya terdefinisikan untuk semua nilai t dengan kata lain terdefinisikan pada seluruh interval,. Hal ini tidak selalu terjadi artinya ada kasus dari suatu masalah nilai awal yang slusinya tidak terdefinisikan untuk seluruh interval seperti ditunjukkan pada cnth berikut. Perhatikan masalah nilai awal 0 Dengan menggunakan frmula dapat ditujukkan dengan mudah bahwa slusi dari masalah nilai awal tersebut adalah t. 1 t

4 1 Sehingga untuk 0 slusi terdefinisikan pada interval, sedangkan untuk 0 1 slusi terdefinisikan pada interval, dan untuk 0 slusinya t 0 pada seluruh interval,. Untuk cnth seperti yang sudah dibicarakan sebelumnya yaitu 0 mempunyai slusi t t e, sehingga slusinya terdefinisikan pada seluruh interval di samping itu slusinya tunggal. Jadi ada kasus yang slusinya tidak tunggal dan juga slusinya tidak terdefinisikan pada seluruh interval. Untuk mengetahui apakah slusinya tunggal atau tidak maka ada rambu-rambu seperti yang tertuang pada terema berikut ini. Terema 1.1. Keberadaan dan ketunggalan slusi Diberikan persamaan diferensial f, 0 i Jika f merupakan fungsi kntinu maka ada suatu slusi t yang terdefinisikan pada suatu interval I α, β yang bias jadi merupakan interval infinite yang memuat t = 0. Lebih lanjut jika finite maka lim maka lim t. t dan apabila finite ii Jika f merupakan fungsi yang turunan pertamanya kntinu maka slusi t tunggal dan lebih lanjut beserta turunan-turunan parsialnya kntinu pada bidang t. Lebih lanjut disebut flw dari f, 0 dan untuk setiap nilai t flw mendefinisikan suatu pemetaan dari himpunan semua bilangan riel R ke R dengan aturan. Dan sifat-sifat dari pemetaan tersebut seperti berikut ini : i 0, ii t s, s, untuk setiap t dan s. iii Untuk setiap t pemetaan mempunyai invers yakni pemetaan. Suatu pemetaan dari R ke R yang memenuhi sifat di atas dinamakan suatu system dinamik di R.

5 D. Trayektri dari persamaan diferensial autnmus scalar Perhatikan persamaan diferensial autnmus scalar f. Ruas kanan dari persamaan di atas memberikan nilai turunan dari terhadap t yang mana dapat diinterprestasikan sebagai penggal garis singgung yang melalui titik pada bidang dapat digambarkan sebagai anak panah yang berawal pada titik tersebut. Kleksi dari semua penggal garis seperti itu disebut medan arah directin fields dari persamaan di atas seperti yang terlihat pada Gambar 1.1. Grafik slusi dari persamaan di atas dengan nilai awal 0 yang melalui adalah himpunan bagian pada bidang yang didefinisikan sebagai himpunan { t I} dan disebut trayektri yang melalui. Suatu trayektri akan menyinggung penggal garis pada medan arah di setiap titik yang dilaluinya. Ruas kanan dari persamaan di atas tidak tergantung pada t secara ekspli si sehingga pada sebarang garis yang sejajar dengan sumbu-t segmen garis pada medan arah mempunyai kemiringan yang sama. Dengan demikian kita dapat menyederhanakan keadaan dengan memperhatikan pryeksi dari medan arah ataupun trayektri pada sumbu-. Untuk setiap titik pada sumbu- dapat dipasangkan dengan penggal garis berarah dari ke +f. Kita dapat memandang garis berarah tersebut sebagai vectr dengan pangkal titik. Kumpulan dari semua vectr seperti itu disebut medan vectr vect r fields yang dihasikan leh persamaan di atas. Untuk penyederhanaan dapat disebut medan vectr dari f. Berikut ini akan diberikan suatu definisi yang disebut rbit. Definisi 1.1. rbit Psitip rbit yang dintasikan dengan, negatip rbit yang dintasikan dengan dan rbit yang dintasikan dengan berikut : t[0, t,0] masing-masing didefinisikan sebagai t,

6 Tampak dari definisi di atas bahwa rbit adalah pryeksi dari suatu trayektri yang melaluii titik. Kita dapat menambahkan gambar anak panah pada rbitnya yang menunjukkan arah perubahan dari apabila nilai t meningkat. Gambar gabungan tersebut dinamakan phase prtrait seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.3. Ada rbit yang sederhana yang hanya berupa sebuah titik namun memegang peranan penting pada permasalahan nilai awal ataupun aplikasinya. Hal itu didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1.. Titik kritis Sebuah titik di R disebut titik kesetimbangan equilibrium pints atau titik kritis critical pints atau juga disebut steady state slutins dari f jika memenuhi f 0. Dengan demikian apabila merupakan titik kritis maka fungsi knstan t merupakan slusi dari f dan disebut sebagai slusi knstan dan rbit merupakan himpunan singletn yakni { }. Lebih lanjut dengan mengetahui ada tidaknya titik kritis maka akan memudahkan kita menggambarkan phase prtraitnya. Apa bila tidak ada titik kritis maka phase prtraitnya hanya satu arah yaitu naik atau turun tergantung apakah f definite psitip atau definite negatip. Untuk kasus hanya ada satu titik kritis maka apabila nilai t membesar slusinya akan menuju ke negatip tak hingga atau menuju titik kritis jika f 0. Dan sebaliknya apabila f 0 maka slusinya akan menuju ke psitip tak hingga atau menuju titik kritis. Selanjutnya apabila masalah nilai awal dari persamaan diferensial autnmus scalar mempunyai slusi yang tunggal untuk setiap maka slusinya bersifat sebagai berikut : i merupakan fungsi mntn dalam ii < y untuk semua nilai t apabila y, iii Apabila terbatas maka untuk t, iv Apabila terbatas maka untuk t. E. Kestabilan dari Titik Kritis Pada persamaan diferensial autnmus scalar yang mempunyai titik kritis maka slusi-slusi yang nilai awalnya dekat dengan titik kritis adakalanya slusinya masih dekat dengan titik kritis tersebut namun kadang ada juga yang menjauhi titik kritis tersebut. Keadaan apabila semua slusi yang nilai awalnya dekat dengan titik kritis kemudian slusinya juga masih dekat dengan titik kritis tersebut maka dikatakan bahwa titik kritisnya stabil apabila tidak demikian maka dikatakan tak stabil. Definisi secara matematis dituliskan sebagai berikut : Definisi 1.3. Kestabilan titik kritis

7 Sebuah titik kritis dari f dikatakan stabil apabila untuk setiap 0 yang diberikan terdapat dapat dicari suatu 0 yang bergantung pada sedemikian sehingga untuk setiap yang memenuhi maka slusi yang melalui pada saat t = 0 memenuhi untuk semua t 0. Titik kritis dikatakan tak stabil apabila dia bukan titik kritis yang stabil. Sedang titik kritis dikatakan stabil asimttik apabila ia merupakan titik kritis yang stabil dan sekaligus memenuhi tambahan syarat yakni ada suatu bilangan psitip r sedemikian sehingga 0 jika t untuk semua yang memenuhi r. Berdasarkan definisi di atas untuk mengetahui kestabilan suatu titik kritis harus tahu dulu secara ekplisit bagaimana bentuk dari slusinya, tentu saja untuk fungsi f yang tidak sederhana maka slusi ekplisitnya belum tentu didapatkan. Berikut ini ada dua terema yang secara teknis bias membantu untuk melihat apakah titik kritisnya stabil atau tidak. Terema 1.. Titik kritis critical pints dari f dikatakan stabil jika ada suatu bilangan psitip sedemikian sehingga f 0 untuk. Titik kritis asimttik stabil jika dan hanya jika ada suatu bilangan psitip sedemikian sehingga f 0 untuk 0. Sedangkan titik kritis dikatakan tak stabil jika ada suatu bilangan psitip sedemikian sehingga f 0 untuk 0 0. atau Terema 1.3 Misalkan f sebuah fungsi yang turunan pertamanya kntinu dan titik di R merupakan titik kritis critical pints dari f yakni f 0. Jika f 0 maka titik kritis asimttik stabil dan jika f 0 maka titik kritis tak stabil. Salah satu cnth penggunaan terema di atas adalah pada persamaan diferensial berikut. Misalkan diberikan persamaan diferensial autnmus scalar 1. Untuk permasalahan ini dapat dituliskan bahwa f 1, sehingga persamaan di atas mempunyai tiga buah titik kritis yakni 0, 1dan 1 yang diperleh dari menyelesaikan persamaan 1 0. Selanjutnya dengan menurunkan fungsi f terhadap variable diperleh hasil f 1 3. Dengan demikian untuk menentukan kestabilan dari titik-titik kritisnya tidak perlu menyelesaikan persamaan diferensial di atas untuk mendapatakan slusinya secara ekplisi namun cukup dengan mengevaluasi nilai dari f pada titik-titik kritisnya. Hasilnya adalah f 0 1, f 1 dan f 1. Sehingga dapat disimpulkan bahwa titik kritis 0 merupakan titik kritis yang tak stabil

8 sebab nilai dari f 0 psitip, sedangkan dua titik kritis yang laini yakni 1dan 1 keduanya bersifat stabil asimttik karena nilai dari f 1 dan f 1 bernilai negatip. Namun terema di atas tidak dapat diaplikasikan pada kasus persamaan diferensial autnmus. Hal ini dikarenakan persamaan di atas mempunyai satu titik kritis yakni 0 dan nilai f 0 0 sebab f sehingga f. Dengan demikian untuk mengetahui kestabilan titik kritisnya dapat dilihat dari phase prtraitnya atau dengan mendapatkan slusi ekplisitnya. Sal latihan Nmr 1 : Diberikan persamaan diferensial autnumus 1 3 Apakah persamaan tersebut mempunyai slusi yang tunggal? Nmr : Gambarkan trayektri dari persamaan diferensial berikut 1 apabila diberikan nilai awal 0 1, 0 1 1, 0, 0. Selanjutnya tentukan kestabilan dari titik-titik kritisnya. Apakah terema 1.3 dapat diaplikasikan?

BAB I PENDAHULUAN. disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang. menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit.

BAB I PENDAHULUAN. disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang. menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit. BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik dapat dipandang sebagai suatu sistem yang bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik yang menggunakan waktu kontinu disebut dengan sistem dinamik

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk

Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2

Lebih terperinci

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f). Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan

Lebih terperinci

INTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

INTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,

Lebih terperinci

BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA

BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA 3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah

Lebih terperinci

MODUL 1 GEJALA TRANSIEN

MODUL 1 GEJALA TRANSIEN MODUL GEJALA TRANSIEN Pendahuluan. Deskripsi Singkat Bab ini akan membahas tentang kndisi awal kapasitr dan induktr sebagai elemen pasif penyimpan energi.. Manfaat Memahami gejala transien pada elemen

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN SILABUS PEMBELAJARAN Nama Seklah... Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas/Prgram XII / IPA Semester 1 STANDAR KOMPETENSI 1. Menggunakan knsep integral dalam pemecahan masalah. Dasar Dan Karakter Kegiatan Penilaian

Lebih terperinci

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,

Lebih terperinci

POTENSIAL LISTRIK. Mengingat integral garis dari medan listrik tidak bergantung pada bentuk lintasan, maka didefinisikan suatu besaran baru, yaitu

POTENSIAL LISTRIK. Mengingat integral garis dari medan listrik tidak bergantung pada bentuk lintasan, maka didefinisikan suatu besaran baru, yaitu POTENSIL LISTRIK Mengingat integral garis dari medan listrik tidak bergantung pada bentuk lintasan, maka didefinisikan suatu besaran baru, yaitu Keterangan: = = ptensial listrik pada suatu titik dengan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Materi Pkk Metde : Kinematika dengan Analisis Vektr : Pertama dan kedua / 4 x 45 menit : demnstrasi dan mengerjaklan sal A. Kmpetensi Dasar 1.1 Menganalisis gerak lurus, gerak melingkar dan gerak parabla

Lebih terperinci

x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1.

x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1. Bab. Fungsi Kmpleks BAB. FUNGSI KOMPLEKS Sebelum membahas ungsi kmpleks,berikut ini diberikan beberapa knsep dan istilah ang akan banak digunakan dalam pembahasan selanjutna.. Daerah di bidang kmpleks

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X SUDUT Kurikulum 2013 A. Definisi Sudut

matematika WAJIB Kelas X SUDUT Kurikulum 2013 A. Definisi Sudut Kurikulum 20 Kelas X matematika WAJIB SUDUT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi sudut. 2. Memahami sudut kterminal.. Memahami

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan

Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan 1-eb-17 ungsi Dua Peubah atau Lebih Pertemuan 9 Turunan Parsial ungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinatakan dalam bentuk eksplisit maka

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,

Lebih terperinci

Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak.

Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak. Lecture 4. Limit C A. Infinite Limits Definisi 4.1 Notasi lim f(x) = Menyatakan bahwa nilai f(x) membesar tanpa batas jika nilai x semakin dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. lim f(x) = lim f(x)

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

Bab II Teori Pendukung

Bab II Teori Pendukung Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci

Lebih terperinci

Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang

Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari

Lebih terperinci

DERIVATIVE Arum Handini primandari

DERIVATIVE Arum Handini primandari DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan

Lebih terperinci

A. Menentukan Letak Titik

A. Menentukan Letak Titik Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis

Lebih terperinci

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6

Lebih terperinci

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya

BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB TINJAUAN PUSTAKA. Definisi Gelombang dan klasifikasinya. Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi yaitu :. Gelombang

Lebih terperinci

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan

BAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,

Lebih terperinci

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim 1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx o Abstrak Dalam

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan

BAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi

Lebih terperinci

TOPIK: KESETIMBANGAN STATIK DAN ELASTISITAS. 1. Dapatkah sebuah berada dalam kesetimbangan jika dalam keadaan bergerak? Jelaskan!

TOPIK: KESETIMBANGAN STATIK DAN ELASTISITAS. 1. Dapatkah sebuah berada dalam kesetimbangan jika dalam keadaan bergerak? Jelaskan! TOPIK: KESETIMBANGAN STATIK DAN ELASTISITAS SOAL-SOAL KONSEP 1. Dapatkah sebuah berada dalam kesetimbangan jika dalam keadaan bergerak? Jelaskan! Ya. Anggaplah sebuah benda berada pada sebuah pegas yang

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data

BAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu (Kuznetsov,

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif

CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparati Statik dan Konsep Derivati A. Pengertian Komparati Statik dan Konsep Derivati Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu, mempunyai

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI D3 JURUSAN TEKNIK KOMPUTER POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA PALEMBANG TK Teori Dempster-Shafer Hand On Lab 3 Inteligensi Buatan 100 menit

PROGRAM STUDI D3 JURUSAN TEKNIK KOMPUTER POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA PALEMBANG TK Teori Dempster-Shafer Hand On Lab 3 Inteligensi Buatan 100 menit Jl Srijaya Negara Bukit Besar Palembang 30139, Telpn : +62711 353414 PROGRAM STUDI D3 JURUSAN TEKNIK KOMPUTER POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA PALEMBANG TK Teri Dempster-Shafer Hand On Lab 3 Inteligensi Buatan

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

MASALAH SYARAT BATAS (MSB)

MASALAH SYARAT BATAS (MSB) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta

BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN SILABUS PEMBELAJARAN Nama Seklah :... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Prgram : XII / IPS Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Menggunakan knsep integral dalam pemecahan masalah sederhana. Dasar Kegiatan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. dicatat, atau diobservasi sepanjang waktu secara berurutan. Periode waktu dapat

BAB II KAJIAN PUSTAKA. dicatat, atau diobservasi sepanjang waktu secara berurutan. Periode waktu dapat BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu Data runtun waktu (time series) merupakan data yang dikumpulkan, dicatat, atau diobservasi sepanjang waktu secara berurutan. Periode waktu dapat berupa

Lebih terperinci

BILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah.

BILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah. BILANGAN BULAT 1. Bilangan Asli (Natural Number) Bilangan Asli berkaitan dengan hasil membilang, urutan, ranking. Bilangan Cacah berkaitan dengan banyaknya anggota suatu himpunan. Definisi penjumlahan:

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam

Lebih terperinci

Persamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10

Persamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10 1 KEGIATAN BELAJAR 10 Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal

Lebih terperinci

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO i FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO Departemen Fisika Universitas Airlangga, Surabaya E-mail address, P. Carlson: i an cakep@yahoo.co.id URL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com Puji

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : dan = 3

III PEMBAHASAN. Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : dan = 3 8 III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang terdapat pada masalah osilasi berpasangan.

Lebih terperinci

TUJUAN PERCOBAAN II. DASAR TEORI

TUJUAN PERCOBAAN II. DASAR TEORI I. TUJUAN PERCOBAAN 1. Menentukan momen inersia batang. 2. Mempelajari sifat sifat osilasi pada batang. 3. Mempelajari sistem osilasi. 4. Menentukan periode osilasi dengan panjang tali dan jarak antara

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Regresi Perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Solusi Penyelesaian Persamaan Laplace dengan Menggunakan Metode Random Walk Gapar 1), Yudha Arman 1), Apriansyah 2)

Solusi Penyelesaian Persamaan Laplace dengan Menggunakan Metode Random Walk Gapar 1), Yudha Arman 1), Apriansyah 2) Solusi Penyelesaian Persamaan Laplace dengan Menggunakan Metode Random Walk Gapar 1), Yudha Arman 1), Apriansyah 2) 1) Program Studi Fisika Jurusan Fisika Universitas Tanjungpura 2)Program Studi Ilmu Kelautan

Lebih terperinci

: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil

: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik

BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

BAB IV GERAK PELURU. Gambar 4.1 Gerak Peluru sebuah benda yang diberi kecepatan awal vo dan membentuk sudut θ.

BAB IV GERAK PELURU. Gambar 4.1 Gerak Peluru sebuah benda yang diberi kecepatan awal vo dan membentuk sudut θ. BAB IV GERAK PELURU 4.1 Penertian Gerak Peluru Gerak peluru adalah erak yan lintasanya berbentuk parabla atau melenkun. Lintasan yan melenkun ini disebabkan adanya perpa-duan antara erak lurus beraturan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.

Lebih terperinci

ANGKA UKUR. Angka ukur diletakan di tengah-tengah garis ukur. Angka ukur tidak boleh dipisahkan oleh garis gambar. Jadi boleh ditempatkan dipinggir.

ANGKA UKUR. Angka ukur diletakan di tengah-tengah garis ukur. Angka ukur tidak boleh dipisahkan oleh garis gambar. Jadi boleh ditempatkan dipinggir. PEMBERIAN UKURAN ANGKA UKUR Angka ukur diletakan di tengah-tengah garis ukur. Angka ukur tidak boleh dipisahkan oleh garis gambar. Jadi boleh ditempatkan dipinggir. ANGKA UKUR Jika angka ukur ditempatkan

Lebih terperinci

BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 9 BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )

MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Bab 5 Potensial Skalar. A. Pendahuluan

Bab 5 Potensial Skalar. A. Pendahuluan Bab 5 Potensial Skalar A. Pendahuluan Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang memberikan informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial informasi

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1 VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Materi Pkk Metde : Hukum-Hukum Newtn Tentang Gerak dan Gravitasi : Pertama dan kedua / 4 x 45 menit : Ceramah dan mengrjakn sal A. Kmpetensi Dasar 1. Menganalisis keteraturan gerak planet dalam tatasurya

Lebih terperinci

A. Peta 1. Pengertian Peta 2. Syarat Peta

A. Peta 1. Pengertian Peta 2. Syarat Peta A. Peta Dalam kehidupan sehari-hari kamu tentu membutuhkan peta, misalnya saja mencari daerah yang terkena bencana alam setelah kamu mendengar beritanya di televisi, sewaktu mudik untuk memudahkan rute

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor

BAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor BAB II LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka 1. Vektor Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI

BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI TIPE A Olimpiade Sains Nasional Pertamina 2012 Petunjuk : 1. Tuliskan secara lengkap Nama, Nomor Ujian dan data lainnya pada Lembar Jawab Komputer

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai. I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk

Lebih terperinci