TE Dasar Sistem Pengaturan

Transkripsi

1 TE4345 Dasar Sistem Pengaturan Model Matematik Ir. Jos Pramudijanto, M.Eng. Jurusan Teknik Elektro FTI ITS Telp Fax

2 Objektif: Penyajian Model Matematik Model Sistem Mekanik Model Sistem Elektrik Model Sistem Mekatronika (Elektromekanik) 2

3 Model Matematik Sistem Fisik Model matematik adalah deskripsi matematik dari sistem yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematik dari Input dan Output sistem. 3

4 Penyajian Model Matematik Dalam bentuk Persamaan Matematik Pers.Differensial, untuk sistem kontinyu Pers.Beda, untuk sistem diskrit Dalam bentuk Fungsi Alih (Transfer Function) TF dalam fungsi s, untuk sistem kontinyu TF dalam fungsi z, untuk sistem diskrit Dalam bentuk Persamaan State State kontinyu State diskrit Dalam bentuk Polinomial Polinomial dalam s, untuk sistem kontinyu Polinomial dalam q, untuk sistem diskrit Dalam bentuk Diagram Diagram Blok Signal Flow Graph 4

5 Hubungan Penyelesaian Model Matematik Persamaan Deferensial x(t) penyelesaian langsung (analitik) Penyelesaian x(t) transformasi laplace invers transformasi laplace Persamaan Aljabar Operator s perhitungan aljabar Penyelesaian Aljabar X(s) 5

6 Model Matematik dalam bentuk PD Hubungan Input-Output sistem dapat dituliskan sebagai: x(t) f(, ) y(t) f(, ) = weighting function d Atau dalam bentuk PD dapat pula ditulis sebagai berikut (*): n d y n dt t y( t) = f ( t) x( t τ ) dτ 0 y ( t) = f ( t) x( t) n m m d y dy d x d x dx + dn d d y cm cm c c n + 0 = + m m + dt dt dt dt dt n 0 x 6

7 7 Model Matematik dalam bentuk TF Transfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari TL bentuk PD dengan asumsi semua kondisi awal=0. TL dari persamaan di atas (*) dengan semua kondisi awal=0, menjadi: Transfer Function: [ ] [ ] ) (... ) ( s X c s c s c s c s Y d s d s d s d m m m m n n n n = ) ( ) ( ) ( d s d s d s d c s c s c s c s X s Y s G n n n n m m m m = =

8 Model Matematik Sistem Mekanik Pada sistem mekanik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum Newton. Gerakan Translasi: Gerakan Rotasi: ΣF = m a Στ = J α di mana : F = gaya yang bekerja pada massa m m = massa benda a = percepatan benda τ = torsi yang bekerja pada benda J = momen inersia benda α = percepatan sudut 8

9 Sistem Mekanik Massa Translasi: Rotasi: x, v, a τ(t) m f(t) J θ, ω, α Persamaan dinamik: f(t) = m a(t) τ(t) = J α(t) f ( t) = f ( t) = dv( t) m dt 2 d x( t) m 2 dt τ ( t) = J τ ( t) = J dω( t) dt 2 d θ ( t) 2 dt 9

10 Sistem Mekanik Pegas Translasi: Rotasi: k x f k Persamaan dinamik: τ θ f ( t) = kx( t) τ ( t ) = kθ ( t) 0

11 Sistem Mekanik- Rodagigi Rodagigi n diputar oleh torsi Τ, menghasilkan torsi Τ 2 pada rodagigi n 2 : di mana: r = jari-jari roda ω = kecepatan sudut roda α = percepatan sudut roda Τ = torsi n = jumlah gigi

12 Sistem Mekanik Pengungkit Suatu gaya F diberikan pada batang yang mempunyai panjang l, akan diteruskan oleh batang m sebesar F 2 : Persamaan dinamik: m x 2( t) = x( t) l m v 2( t) = v ( t) l F = l m 2 F l m x 2 F 2 m a 2 ( t) = a( t) l F x 2

13 Sistem Mekanik- Daspot/Damper Translasi: f Rotasi: B f x,y τ θ B fluida/ gas Persamaan dinamik: f ( t) = B dx( t) dt τ ( t) = B dθ ( t) dt f ( t) = B dy( t) dt 3

14 Translasi pada Accelerometer Hukum Newton II m x y = ky ( 2 ' ' s + b s + k ) Y + b k y+ y+ y = m m Bentuk Laplace b y x = U = X 4

15 Sistem Suspensi Kendaraan 5

16 Model Sistem Suspensi 6

17 Contoh: Sistem Mekanik Sistem mekanik seperti gambar berikut: di mana: f(t) = gaya yang bekerja pada massa m K = konstanta pegas B = konstanta daspot (peredam viscos) y(t) = simpangan pegas f(t) m K Carilah model dinamik sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input. Carilah transfer function sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input. B y(t) 7

18 Model Matematik Sistem Elektrik Pada sistem elektrik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum-hukum pada rangkaian listrik. persamaan tegangan Kirchoff, dan arus Mesh I in = I out ; V = 0 i i 8

19 i R R Komponen Pasif: R-L-C Resistor: Kapasitor: Induktor: i C C i L L v R v C Model Dinamik vr ( t) = RiR ( t) v t = C ( ) ic ( t) dt C TL: VR ( s) = RI R ( s) VC ( s) = IC ( s) Cs v V L v L dil ( t) ( t) = L dt ( s) LsI ( s) L = L 9

20 Contoh: Sistem Elektrik R-L-C Suatu Filter yang terdiri dari komponen RLC. Tegangan input v i (t) dan tegangan output v o (t). R L v i C v o Carilah model dinamik sistem elektrik tersebut Carilah transfer function sistem elektrik tersebut 20

21 Komponen Pasif: Transformator Ideal i i 2 v n n 2 v 2 Model Dinamik n v ( t) = 2 v ( t) 2 n Transformasi Laplace n V ( s) = 2 V ( s) 2 n 2

22 Transformator tidak ideal i i 2 v n n 2 v 2 M Ada pengaruh induktansi gandeng (M) Titik menandakan awal lilitan v = tegangan input v 2 = tegangan output i = arus kumparan primer i 2 = arus kumparan sekunder n = jumlah lilitan kumparan n 2 = jumlah lilitan kumparan 2 22

23 Trafo tidak ideal (sisi primer) v i di M 2 dt L v L Persamaan Dinamik v di ( t) di2( t) ( t) L M dt dt = Transformasi Laplace V I 2 ( s) L si ( s) = Ms ( s) { V ( s) L si ( s) } MsI 2 0 ( s) = 0 23

24 Trafo tidak ideal (sisi sekunder) Persamaan Dinamik i 2 v Transformasi Laplace V V 2 2 di2( t) di ( t) ( t) + L2 + M dt dt 2 = ( s) + ( s) L 2 si = L 2 2 si ( s) + 2 MsI ( s) MsI ( s) ( s) 0 = 0 L 2 v L2 di M dt v 2 24

25 Contoh: Sistem Elektrik - Trafo Rangkaian input transformator (trafo) dihubungkan seri oleh kapasitor C, dan rangkaian output diberi beban R dan R 2 secara seri-paralel. i i 2 v C R n n R v M Carilah transfer function sistem elektrik tersebut 25

26 Komponen Aktif: Operational Amplifier Sifat sifat Operasional Amplifier:. Gain sangat besar K= 0 5 sampai dengan 0 6 kali. 2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif (v) dan masukan negatif (v2). 3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat besar sehingga arus input pada masukan positif atau masukan negatif kecil sekali 0 4. Mempunyai keluaran vo = K (v v2) 26

27 Non Inverting Amplifier 27

28 Inverting Amplifier 28

29 Pendekatan Impedansi (Inverting Amplifier) 29

30 Tabel Variasi Impedansi 30

31 Tabel Variasi Impedansi 2 3

32 Contoh: Operational Amplifier Rangkaian Operational Amplifier dikonfigurasi dengan rangkaian pasif R-C untuk menjadi filter Carilah transfer function rangkaian Operational Amplifier tersebut. 32

33 Model Sistem Mekatronik Untuk mencari persamaan dinamik sistem berikut, digunakan persamaan-persamaan sistem elektrik pada motor dan selenoid (plunger). motor DC, AC, selenoid 33

34 Motor DC penguat medan tetap 34

35 Rangkaian Kumparan Jangkar Motor DC 35

36 Torsi pada Motor DC () 36

37 Torsi pada Motor DC (2) 37

38 Tegangan GGL Motor DC 38

39 Blok Diagram Motor DC Gambar yang pertama Ω(s) output dan gambar kedua θ(s) output. E a (s) + - E ggl L a s + R a I a (s) T(s) K TM Js + B K g Ω(s) atau E a (s) + I a (s) T(s) L a s + R a K TM Js 2 + Bs - E ggl Ω(s) K g s θ(s) 39

40 Penyederhanaan Blok Diagram Motor DC E a (s) input dan Ω(s) output: E a (s) input dan θ(s) output: 40

41 Motor AC-Servo Motor AC-Servo pada prinsipnya dapat berupa sebuah motor induksi dengan 2-kutub/dua-fasa Fasa ref. e c(t) τ e c θ J b Fasa kontrol (a) 4

42 Arsitektur Motor AC-Servo Salah satu dari kumparan medan sebagai lilitan referensi (fase reference) dan kumparan medan yang lainnya sebagai lilitan kontrol (fase control) dengan tegangan AC yang berbeda 90 listrik terhadap tegangan referensi. Hal ini didasarkan bahwa torsi yang dihasilkan pada poros, paling efisien jika sumbu-sumbu kumparan fasa saling tegak lurus dan tegangan kedua fasa tersebut mempunyai beda fasa

43 Persamaan Torsi Motor AC-servo Torsi τ yang dibangkitkan merupakan fungsi dari kecepatan sudut poros motor dan. tegangan kontrol EC, adalah: τ = K nθ + K di mana: K n dan K C konstanta positif. Kesetimbangan torsi. untuk motor servo dua-fasa adalah: τ = J θ + bθ c di mana: J = momen inersia motor dan beban pada poros motor b = koefisien gesekan viskos motor dan beban poros motor E c Gabungan kedua persamaan. di atas diperoleh: J θ + ( b + Kn) θ = KcEc 43

44 Fungsi Alih Motor AC-servo Tegangan kontrol E C adalah input dan perpindahan poros motor adalah output, maka fungsi alih (transfer-function) sistem ini diberikan: θ ( s) E ( s) c di mana : = Js K m = K C /( b + K n ) = konstanta penguatan motor T m = J /( b + K n ) K c m 2 + ( b + Kn )s s( Tms + = = konstanta waktu motor K ) 44

45 Diagram Kotak Motor AC-servo Fungsi alih didasarkan pada anggapan bahwa motor servo linier. Namun dalam praktek, motor servo tidak benar-benar linier. Karena kurva torsi-kecepatan tidak benar-benar sejajar dan berjarak sama, maka harga K n tidak konstan. Sehingga harga K m dan T m juga tidak konstan, harga-harga tersebut berubah terhadap tegangan kontrol. Diagram blok dari motor Servo dua-fasa di atas sebagai berikut : E c (s) K m s(t m s +) θ(s) 45

46 Model Matematik Selenoid (Plungger) Suatu kumparan yang dililitkan pada media isolator yang mempunyai inti besi yang bebas bergerak. Tegangan v p (t) sebagai input dan x(t) sebagai output. Kp = konstanta plungger i p = arus yang mengalir pada plungger. L p ; R p x (t) Plunger v v p (t) dip ( t) ( t) = Lp + Rpip ( t) dan x( t) K pip ( t) dt p = 46

47 Contoh: Sistem Elektromekanik Consider the temperature control system shown in figure. It is assume that the heat q pumped into the chamber is proportional to the valve opening x and the temperatur y inside the chamber related to q by the differential equation dy/dt = -cy + k c q. Compute transfer function of each blok. dy = cy + k q dt c 47