ATURAN INFERENSI. Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar) Pertemuan 6 FONDASI MATEMATIKA. Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo

Transkripsi

1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 6 FONDASI MATEMATIKA

2 Masalah Penarikan Kesimpulan Kesimpulan apa yang dapat diambil dari deskripsi berikut 1 Jika seseorang kuliah di perguruan tinggi Muhammadiyah maka pengetahuan al-islamnya mumpuni. Ditemukan seseorang bernama Badu yang pengetahuan al-islamnya sangat minim. 2 Jika mahasiswa rajin belajar maka ia akan sukses studi. Ditemukan seorang mhs bernama Ani rajin belajar. 3 Jika kemarau maka cuaca panas. Jika cuaca panas maka kosumsi energi listrik tinggi. 4 Lebih banyak penduduk Yogyakarta daripada banyak rambut di kepala setiap penduduk. Tidak ada satupun penduduk yang botak total. (petunjuk: misalkan banyak penduduk adalah n. Setiap orang paling sedikit memiliki 1 helai rambut dan paling banyak n-1 helai. Andaikan semua orang mempunyai jumlah rambut yang berbeda, apa yang terjadi. Terus disimpulkan!)

3 Aturan Inferensi Aturan inferensi adalah aturan yang digunakan untuk pengambilan kesimpulan. Proses atau prosedur dalam inferensi disebut argumen. Bentuk argumen: p 1 p 2. pn q dengan p 1, p 2,, pn premis atau hipotesis dan q disebut kesimpulan. Notasi dibaca jadi. Sebuah argumen dikatakan valid atau sahih jika (p 1 p 2 pn) q (1) membentuk suatu tautologi. Jadi kesimpulan pada argumen valid harus didasarkan pada premis. Jika semua premis benar dan argumennya valid maka kesimpulannya pasti benar.

4 Bentuk Dasar Inferensi Modus ponens p p q q Penjelasan: bila p q benar dan p benar maka haruslah q juga benar, sebab bila q salah maka suatu kontradiksi dengan denisi implikasi. Contoh: Jika belanja anda lebih dari 100 ribu maka anda mendapat diskon 10% dan ternyata belanja anda 125 ribu. Maka dengan modus ponens, disimpulkan bahwa anda hanya membayar ribu Modus tollens q p q p Penjelasan: bila implikasi p q benar dan diketahui q benar (atau q salah) maka haruslah p salah (atau p benar). Bila tidak maka terjadi kontradiksi.

5 Bentuk Dasar Inferensi (Lanj...) Silogisme Hipotetis: p q q r p r Contoh: Jika x < y dan y < z maka disimpulkan x < z. Kesimpulan ini menggunakan silogisme hipotetis. Bentuk dasar inferensi lainnya adalah Silogisme disjungsi: (p q) p) q Resolusi: ((p q) ( p r)) q r Adisi: p (p q) Simplikasi: (p q) p Konjungsi: ((p) (q)) (p q)

6 Bahan Diskusi Buktikan semua bentuk dasar inferensi di atas merupakan argumen yang valid, yaitu membentuk sebuah tautologi. Diskusikan bagaimana kesimpulan pada masalah penarikan kesimpulan sebelumnya. Contoh: Tunjukkan bahwa hipotesis sore ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin, kalau kita berenang maka hari cerah, jika kita tidak pergi berenang, maka kita akan naik perahu, jika kita naik perahu maka kita akan tiba di rumah magrib, menghasilkan kesimpulan kita akan tiba di rumah magrib. Penyelesaian. Kumpulkan semua premis yang ada p q r s t : sore ini cerah : saat ini lebih dingin dari kemarin : kita akan pergi berenang : kita akan naik perahu : kita akan tiba di rumah magrib

7 Tulis semua konektivitas yang ada pada premis (hipotesis), terapkan aturan dasar inferensi: Langkah Alasan 1. p q hipotesis (diketahui) 2. p simplikasi 3. r p hipotesis 4. r modus tollens langkah 2 dan 3 5. r s hipotesis 6. s modus ponens langkah 4 dan 5 7. s t hipotesis 8. t modus ponens langkah 6 dan 7

8 Pembuktian 1=2 Misalkan a dan b dua bilangan real yang sama. Kita lakukan penjabaran berikut: Langkah 1. a = b diketahui Alasan dan keterangan 2. a 2 = ab kedua ruas pada (1) dikalikan dengan a 3. a 2 b 2 = ab b 2 kedua ruas (2) dikurangi oleh b 2 4. (a + b)(a b) = (a b)b kedua ruas (3) difaktorkan 5. a + b = b kedua ruas (4) dibagi oleh (a b) 6. 2b = b substitusi a dengan b (diketahui) 7. 2 = 1 kedua ruas dibagi dengan b Bagaimana menurut pendapat Anda? Mengapa terjadi kontradiksi?

9 Aturan Inferensi untuk Kuantikasi Aturan inferensi x, P(x) P(c) P(c) untuk sebarang c x, P(x) x, P(x) P(c) untuk suatu c P(c) untuk suatu c x, P(x) Nama Instantisasi 1 universal Generalisasi 2 universal Instantisasi eksistensial Generalisasi eksistensial Jika berlaku untuk setiap (for every) maka berlaku untuk tertentu (for some) Untuk membuktikan kebenaran x, P(x) cukup ditunjukkan berlaku untuk sebarang x. 1 Pengkhususan 2 Perumuman

10 Contoh Inferensi Kuantikasi Tunjukkan bahwa premis-premis berikut 1 Seorang mahasiswa dalam kelas ini belum membaca buku Pak Julan, 2 Setiap orang dalam kelas ini lulus pada ujian pertama menghasilkan kesimpulan Seseorang yang lulus pada ujian pertama belum membaca buku Pak Julan. Penyelesaian. C(x) : x di dalam kelas ini, B(x) : x sudah membaca buku Pak Julan dan P(x) : x lulus pada ujian pertama. Maka premis di atas berbentuk sebagai berikut 1 x (C(x) B(x)) 2 x (C(x) P(x)) dan kesimpulannya adalah x (P(x) B(x)).

11 Penyelesaian Lanj... Tahap Keterangan dan alasan 1. x (C(x) B(x)) premis 1 2. C(a) B(a) untuk suatu a instantisasi eksistensial 3. C(a) aturan simplikasi 4. x (C(x) P(x)) premis 2 5. C(a) P(a) untuk suatu a instantisasi universal 6. P(a) modus ponens dari (3) dan (5) 7. B(a) simplikasi dari (2) 8. P(a) B(a) konjungsi dari (6) dan (7) 9. x (P(x) B(x)) generalisasi eksistensial dari (8) Tugas Terstruktur (wajib dikumpul) pekan depan: Kerjakan 5 soal sebarang pada exercise h , No 1-16.