Konstruksi Ring Bersih dari Sebarang Ring

Transkripsi

1 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: Kostruks Bersh dar Sebara Kartka Sar Jurusa atematka PA Uverstas Udayaa, Bukt Jmbara-Ba e-ma: sarkaartka@uud.ac.d dah Ema Wjayat Jurusa atematka PA Uverstas Gadjah ada, Yoyakarta e-ma: d_wjayat@yahoo.com Abstract: The ams of ths research was to costruct a cea r from ay r. The base o the fact that the edomorphsm r of every pure-jectve modue s cea, t was costructed a cea r from ay r. So, the resut of ths research was t aways coud be costructed a cea r from ay r. Keywords: costruct, a cea pure-jectve modue Abstrak: Tujua dar peeta adaah utuk membau r bersh dar sebara r. Berdasarka keyataa bahwa r edomorfsma dar setap modu pure-jectve merupaka r bersh, daam peeta dbau suatu r bersh dar sebara r. Oeh karea tu, sebaa has dar peeta adaah bahwa seau dapat dkostrukska r bersh dar sebara r. Kata kuc: kostruks, suatu r bersh, modu pure-jectve 1. Pedahuua Suatu r dkataka r bersh apaba setap eeme dar r dapat dyataka sebaa pejumaha suatu eeme dempote da suatu eeme ut dar r. Defs dberka oeh choso pada tahu 1977 (choso & Zhou [10]. Berdasarka s, r dar hmpua semua baa rasoa (Q da r semua baa rea merupaka r bersh, sedaka r dar hmpua semua baa buat Z buka r bersh, karea terdapat eeme d Z ya tdak dapat dyataka sebaa pejumaha suatu eeme dempote da suatu eeme ut dar r Z. Dea demka, tdak semua r merupaka r bersh. eat tdak semua r merupaka r bersh, tmbu pertayaa mukkah dkostrukska suatu r bersh dar sebara r ya dberka?. Saah satu cara membau r ya memk sfat ya dharapka dar r ya dberka adaah meau peyspa. Suatu r T dapat dsspka ke daam suatu r 79

2 Sa K. &. E. Wjayat/Kostruks Bersh dar Sebara S apaba terdapat suatu moomorfsma dar T ke S, ya jua berart terdapat subr d S dea T (ak dkk. [9]. Daam ha, r S damaka r peruasa dar r T. Teah dketahu bahwa sebara r ya berupa daerah tera dapat dsspka ke daam suatu apaa has ba, ya merupaka r bersh, msaya r Z dapat dsspka ke daam r Q. Lebh ajut a, utuk r da S sepert dsebutka terdahuu, subr d S dkataka esesa apaba utuk setap dea tak o d S beraku {0} (Adruszkewcz [1]. Daam keadaa, r S dkataka r peruasa esesa dar r. Dperhatka bahwa r baa buat Z merupaka subr dar r baa rasoa Q. Q merupaka r peruasa esesa dar r baa buat Z, karea satu-satuya dea tak o d Q adaah Q da beraku Q Z {0}. Dea demka r Z ya buka r bersh dapat dsspka daam r bersh Q ya merupaka r peruasa esesa dar r Z. Ser dea feomea, Buress & aphae [2] daam artkeya meujukka bahwa sebara r dapat dsspka ke daam suatu r bersh ya merupaka r peruasa esesa dar r ya dberka. Berdasarka artke Buress & aphae [2], daam peeta dakuka kaja da pembahasa medet meea baamaa cara meyspka sebara r ke daam suatu r bersh ya merupaka r peruasa esesa dar r. Sea tu, daam peeta jua dberka cotoh kostruks r bersh dar r Z dea cara tersebut. 2. Edomorfsma dar odu jektf-ur saka dberka r = Z. dea-dea dar r adaah kz, dea k Z. D atara dea-dea tersebut terdapat dea ya setap eemeya bsa dyataka daam betuk pejumaha suatu eeme dempote da suatu eeme ut d, yatu dea {0}. dea semacam damaka dea bersh, sesua dea s ya dberka oeh Che & Che [4] berkut. Defs 1 (Che & Che [4] Dberka r. dea dar r dkataka bersh apaba setap eeme daam dapat dyataka daam betuk pejumaha suatu eeme dempote da suatu eeme ut d. Seajutya, berdasarka Defs 1, choso & Zhou [10] memberka sfat dea da r faktor dar suatu r bersh. Teorema 3 (choso & Zhou [10] Dberka r da dea dar r. Jka r merupaka r bersh, maka dea da r merupaka dea da r bersh. secara berturut-turut 80

3 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: Berkutya, mash berhubua dea r faktor dar suatu r bersh, dberka sfat hubua r dea r faktorya, apaba deaya termuat daam atau merupaka suatu radka Jacobso dar r tersebut. Teorema 4 (Ha & choso [6] Dberka dea dar r da J( dea J ( radka Jacobso dar r. Jka r faktor merupaka r bersh da setap eeme dempote dar r faktor dapat dakat mejad dempote dar r, maka r merupaka r bersh. Seajutya, Camo dkk. [3] meujukka r edomorfsma dar modu semsederhaa atau kotu o suar merupaka r bersh, sepert sepert dberka daam teorema berkut. Teorema 5 (Camo dkk. [3] Dberka -modu semsederhaa atau kotu o sua f Ed ( da hmpua pasaa terurut f, beraku a. (W,e maksma jka da haya jka W =. b. Utuk sebara (W 0,e 0 f, terdapat dekomposs bersh f e u dea u eeme ut d Ed ( da e eeme dempote d Ed (. Khususya, modu bersh. Lebh ajut a, msaka { } suatu keuara -modu kaa dea hmpua deks ya tdak harus berha, maka hmpua has ka kartesus merupaka hmpua ya eeme-eemeya berupa barsa ( dea x x utuk setap. Hmpua dekap dea operas pejumaha da perkaa skaar kompoe dem kompoe, membetuk -modu kaa. Hmpua ser dtus sebaa.. Berkut dbahas suatu jes submodu d Aka tetap sebeumya, dberka beberapa kosep meea fter suatu hmpua, modu jektf mu modu kompak secara persamaa da hubua atara modu jektf mur da modu kompak secara persamaa. Defs 6 (Hrbacek & Jech [7] Dberka hmpua tak koso S. ter pada hmpua S adaah keuara hmpua-hmpua baa dar S, ya memeuh aksoma-aksoma: 1. S da. 2. Jka X, Y, maka X Y. 81

4 Sa K. &. E. Wjayat/Kostruks Bersh dar Sebara 3. Jka X, Y S, X da X Y, maka Y. Berdasarka Defs 6, berkut dberka beberapa cotoh fter. Cotoh 7 a. Dberka hmpua S {1,2,3 }. Cotoh-cotoh fter pada hmpua S atara a adaah hmpua-hmpua A {S}, B {{1,2},{1,2,3 }} da D {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. b. ter-fter pada hmpua baa as atara a adaah P {, \{1 }}, da {{1},{1,2},{1,3},...,{1,2,3},..., } T. c. Dberka hmpua tak berha W. Hmpua W { X W W \ X adaah hmpua dea berha eeme} merupaka fter pada W da ser dsebut sebaa fter réchet. Daam Cotoh 7 baa a da b, tampak bahwa daam setap fter tersebut terdapat suatu eeme ya termuat daam setap eeme fter tersebut. Berkut dberka s fter ya memuat suatu eeme ya termuat daam setap eeme fter tersebut. Defs 8 (Hrbacek & Jech [7] Dberka suatu hmpua tak koso S. ter dkataka fter utama (prcpa pada hmpua S apaba terdapat utuk setap ya memeuh. Berdasarka Defs 8, setap fter pada setap hmpua berha merupaka fter utama. Sea fter utama, terdapat fter ya buka fter utama (o prcpa fte msaya fter W pada Cotoh 7 baa c. Berkutya, dberka s modu jektf mur da modu kompak secara persamaa beserta hubua atara kedua modu. Defs 9 (Camo, dkk. [3] -modu kaa K dkataka modu jektf-mur apaba utuk setap moomorfsme mur h' : ' da utuk setap homomorfsme f ': ' K terdapat homomorfsme ' : K dea f ' ' h'. Defs 10 (Daus [5] Utuk sebara baa karda tak berha, modu dkataka < -kompak secara persamaa apaba utuk setap sstem persamaa ear x r j m j ( j J dea J, ya mempuya peyeesaa berha d jua peyeesaa meyeuruh d. odu kompak secara persamaa apaba modu tersebut < -kompak secara persamaa utuk semua baa karda tak berha. 82

5 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: Hubua atara modu jektf mur dea modu kompak secara persamaa dberka oeh Daus daam Teorema berkut. Teorema 11 (Daus [5] Apaba dberka -modu da ] [ max(, 0 yatu baa karda succesor dar 0, maka peryataa-peryataa berkut ekuvae: 1 kompak secara persamaa. 2 < -kompak secara persamaa 3 jektf-mur. Lebh ajut a, berkut dberka suatu ema meyakut kostruks submodu dar. Lemma 12 (Jese & Zmmerma-Huse [8] Dberka keuara -modu { }, suatu fter pada hmpua, dea suatu hmpua deks. Jka dska hmpua maka U {( x terdapat, x 0 utuk semua } U submodu dar Bukt: Damb sebara ( x,( y U da 1 seha utuk semua 1 terdapat, 0 seha utuk semua 2 2 Karea suatu fte maka koso r. Karea ( x U, maka terdapat x. Demka pua, karea ( y U, maka, Akbatya utuk setap 2 y. Dperoeh x r ( xr U. Oeh karea tu, terdapat hmpua tak ( x ( y ( x y. Dea demka x ( y U d. (., beraku x y 0 pada (. Jad U submodu Berkata dea submodu ya dkostrukska sepert pada Lemma 12, berkut dberka sfat modu faktor ya dbetuk dea meuaka submodu tersebut. Teorema 13 (Jese & Zmmerma-Huse [8] Dberka keuara -modu { }. Jka suatu fter pada ya memuat suatu rata deumerabe... ya mempuya rsa koso, maka has

6 Sa K. &. E. Wjayat/Kostruks Bersh dar Sebara ka tereduks = 0 +. merupaka modu -kompak secara persamaa, dea U Bukt: Dberka keuara -modu deumerabe { }, suatu fter pada ya memuat suatu rata ya mempuya rsa koso. Berdasarka Lemma 12, Karea maka dapat dbetuk modu faktor U U submodu dar, msaka damaka. Seajutya, dperhatka suatu sstem persamaa ear deumerabe ya mempuya peyeesaa berha dea L m x rj m j ( j (1 j [ m ], L suatu hmpua deks. Karea sstem persamaa (1 j mempuya peyeesaa berha, maka utuk setap k terdapat suatu ( k peyeesaa a ya merupaka peyeesaa dar k persamaa pertama, seha beraku L a r ( k j L m Dperhatka bahwa L a r ( k j j m j a ( j ( k [ a 0 ( k U ], maka utuk 1 j k, beraku Ha berart, sebaa eeme has ka asu, suatu hmpua deks ya bersesuaa dea eeme o pada has ka asu, merupaka eeme dar. Karea tu terdapat eeme U ya eeme-eemeya o utuk setap 1 j k, dperoeh hmpua L a r ( k j m k dea k k, seha utuk semua k beraku j (1 j k. 84

7 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: Seajutya, berdasarka asums eeme dar semua hmpua pada barsa, tdak ada eeme ya mejad { }. Karea tu utuk suatu terdapat q ( seha q( eeme terakhr dar barsa { k} k dea q( Sekara, dska j seha da j1 ( q( a rj L m j k k ( ( a dea a [ q ] utuk setap. a Damb q( j utuk setap j, akbatya utuk semua q(. Dea demka eeme-eeme a memberka peyeesaa meyeuruh utuk sstem persamaa (1. Dea kata a -modu merupaka modu -kompak secara persamaa, dea = 0 +. Jka dberka keuara -modu has ka asu keuara 12, maka modu faktor ya terbetuk, yatu moduo terbetuk, yatu U, sedaka apaba utrafter pada, modu faktor { }, fter pada da { }, U submodu dar, sepert dkostrukska daam Lemma U, damaka has ka tereduks utuk setap, maka modu faktor ya damaka pakat tereduks moduo U. U U da U Daam kasus secara berturut-turut damaka utraproduct da utrapowe sedaka apaba utrafter tdak utama pada, modu faktor da U U secara berturut-turut damaka utraproduct da utrapower o trva. Umumya, submodu U haya dtus. Berkut, dberka akbat asu dar Teorema 13. Akbat 14 (Jese & Zmmerma-Huse [8] Jka 0, maka setap has ka tereduks -modu, dea suatu fter ya memuat semua hmpua baa dar ya kompemeya merupaka hmpua berha d, merupaka modu jektf-mur. Khususya, setap - modu utraproduct deumerabe o-trva merupaka modu jektf-mur. U 85

8 Sa K. &. E. Wjayat/Kostruks Bersh dar Sebara Bukt: Dberka -modu dea 0. Berdasarka Teorema 13, -modu merupaka modu < -kompak secara persamaa dea = 0 +. D a U phak, karea 0 maka [ ] + = + 0 =. Oeh karea tu berdasarka Teorema 11, -modu merupaka modu kompak secara persamaa. U Kemba berdasarka Teorema 11, -modu merupaka modu jektfmur. Berdasarka Akbat 14, -modu U U merupaka cotoh modu jektfmu utuk suatu keuara -modu { }, dea U suatu submodu dar modu sepert ya dbau pada Lemma 12. Seajutya, Zmmerma-Huse & Zmmerma [11] meujukka beberapa sfat dea sfat r edomorfsma dar modu jektf-mu sepert dyataka berkut. Teorema 15 (Zmmerma-Huse & Zmmerma [11] Dberka -modu jektf-mu S Ed (, da J (S radka Jacobso dar r S. faktor S J(S merupaka r reuer (vo ewma, r quas-jektf kaa da setap eeme dempote dar r faktor eeme dempote dar r S. S J(S dapat dakat mejad Berdasarka Teorema 15, Teorema 4 da Teorema 5 dperoeh akbat asu berkut. Akbat 16 (Camo dkk. [3] edomorfsma dar modu jektf-mur merupaka r bersh. 86

9 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: Kostruks Bersh dar Sebara Berkut dbahas teorema ya mejad kaja utama dar tusa. Teorema 19 (Buress & aphae [2] Sebara r dapat dsspka ke daam suatu r bersh ya merupaka r peruasa esesa dar r ya dberka. Bukt: Dberka sebara r. Dbetuk has ka kartesus sebayak terhtu dar, yatu dea hmpua semua baa as. Pada dska operas pejumaha da perkaa sepert pada, kompoe dem kompoe., maka merupaka r dea eeme satua 1,1,1,... Jeas, jua dapat dpada sebaa maka ( -modu kaa sekaus Z-modu kr. Karea sfat kompabtas terpeuh, dapat dpada sebaa (Z, -bmodu. Seajutya, dkostrukska suatu peata d sebaa berkut: d : d : r (... udah dtujukka bahwa d merupaka suatu homomorfsma r. Seajutya, dbetuk hmpua, yatu fter tdak utama pada, yatu da dska { X \ X hmpua dea bayak eeme berha} {( r utuk suatu, r 0 utuk setap }. Lebh ajut a, aka dtujukka ( r ',( r ". Dperoeh dea dar r. Damb sebara ( r ' ( r ". ( 2 Kemuda, damb sebara ( r *. Karea r ' (, maka terdapat da r 0 utuk setap. Oeh karea tu, r * ' 0 utuk setap. ' Dea demka dperoeh r ( r * r '. (3 Dea aasa ya sama, dperoeh ( r ' r *. (4 Karea utuk setap maka dea dar r ( r ',( r " da. ( r *, beraku (2, (3 da (4, 87

10 Sa K. &. E. Wjayat/Kostruks Bersh dar Sebara Karea dea dar r merupaka r dea eeme satua Lemma 13, dperoeh dbetuk modu faktor, maka dapat dbetuk r faktor submodu dar ya ( 1,1,1,.... D a phak, berdasarka -modu kaa sebaa modu kaa atas, seha dapat. Tetuya, dapat dpada sebaa modu kr atas Z. Oeh karea syarat kompabtas terpeuh, maka r atura merupaka (Z, -bmodu. Lebh ajut a, karea v : v : ( r ( r Sekara, msaka dbetuk merupaka maka terdapat homomorfsma T. Karea T merupaka Z-modu k maka dapat S Ed T. Karea T suatu modu kaa atas r dska peata: :T S ( s utuk setap utuk setap Z : (( s ( s T, dea (( s (( s : T T : (( r (( s (( r, maka dapat (( r T. Karea T suatu berdasarka sfat dstrbutf operas pada T, maka (( s suatu homomorfsma Z-modu. Oeh karea tu (( s S. Berkutya, damb sebara ( s,( s ' T dea ( s, maka utuk setap t T ( s' ( beraku (( s (( t (( s' (( t atau (( s (( t (( s ' (( t. Dea demka (( s (( s' Seajutya, dperhatka bahwa (( s (( s' (( s s '. Ha berart ters dea bak. 88

11 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: da utuk semua (( s s ' (( s (( s' (( s + (( s ' ( t T, beraku (( t (( s ' (( t (( s s ' = ( s s t ' ( s = (( s (( t (( s' (( t = (( s (( t (( s ' (( t = (( t ( (( s (( s ' Dea demka (( s s' (( s (( s'. Lebh ajut a, dperoeh da (( s (( s' (( s s ' (( s s ', seha (( s (( s' (( s (( s ' seha utuk semua (( t ( t T, beraku (( s s ' (( t (( s s ' = ( s s t ' ( = (( s (( s' t (( s ' t (( s (( t (( s (( s ' Dea demka (( ss' (( s (( s'. Dar s dperoeh bahwa suatu homomorfsma r. Lebh ajut a, karea d, v da homomorfsma maka v d jua merupaka homomorfsma r. Sekara, aka dtujukka v d jektf. Damb sebara r Ker ( v d maka ( v d( r ( v(... (( r, r, r, (( 89

12 Sa K. &. E. Wjayat/Kostruks Bersh dar Sebara (( 0,0,0,... seha utuk setap Khususya utuk (( t' T beraku (( t' ((0,0,0,... (( t ((... (, beraku t' (1,1,1,... (( 1,1,1,... ((0,0,0,... (( t ' ((... atau... ((1,1,1,... ((0,0,0,... (( t ' (( (.... Oeh karea tu r = 0. Jad v d Dea demka ' suatu moomorfsma r da mudah dtujukka bahwa ( v d( subr daam r S. Berdasarka Akbat 14, Z-modu kr T merupaka modu jektf-mur. Berdasarka Akbat 16, r S Ed (T merupaka r bersh. Karea terdapat Z moomorfsma v d dar ke S, maka ( v d( S Karea ( v d( merupaka subr d S, maka dapat dsspka ke daam r bersh S sebaa subr. Seajutya, tetuya terdapat dea K d S ya maksma dea sfat K ( v d( { ( 0,0,0,... } dea 0 merupaka eeme o d S, seha S K merupaka r peruasa esesa dar r. Berdasarka Teorema 3, karea S merupaka r bersh, maka S jua merupaka r bersh. Dea demka K dapat dsspka sebaa subr ke daam r bersh S, ya merupaka r K peruasa esesa dar r. Sebaa cotoh peerapa Teorema 17, berkut dkostrukska r bersh dar r baa buat Z. Cotoh 18 Dar r Z dapat dkostrukska r bersh Z pz ya merupaka r peruasa esesa dar r Z ( p P, p p j, utuk setap, j, j dea P hmpua semua baa prma 4. Kesmpua Berdasarka kaja ya teah dbahas dapat dsmpuka bahwa seau dapat dkostrukska r bersh dar sebara r. 90

13 Jura atematka Vo. 5 o.2, Desember SS: Ucapa Terma Kash Atas terseesakaya artke, peus ucapka terma kash kepada bu dah Ema Wjayat ya teah member bayak masuka da bmba. Daftar Pustaka [1] Adruszkewcz, O axma Esseta Exteso of s, Bu. Aust. ath. Soc. 83, pp [2] Buress, W.D., da aphae, O Embedd s Cea s. Dakses taa 15 Ju [3] Camo, V. P., Khuraa, D., Lam, T.Y., choso, W. K., da Zhou, Y Cotous odues are Ceas, J Aebra 304, pp [4] Che, Huay da Che, aose O Cea deas. Pubsh Corp. Dakses taa 24 ebruar [5] Daus, Johs odues ad s. ew York: Cambrde Uversty Press. [6] Ha da choso Extesos of Cea s, Commucatos Aebra, pp [7] Hrbacek, Kare da Jech, Thomas troducto to Set Theory, Thrd Edto. ew York: arce Dekke c. [8] Jese, C.U. da Zmmerma-Huse, B Aebrac Compactess of Utrapowers ad epresetato Type. Pacfc Joura of athematcs, Voume 39, o. 2. [9] ak, D.S., ordeso, J.. da Se,.K udametas of Abstrack Aebra. Sapore: cgraw-h Compaes c. [10] choso, Keth W da Zhou, Yqa Cea s: A Survey, Advaced Theory, pp [11] Zmmerma-Huse, B. da Zmmerma, W Aebracay Compact s ad odues, athematsche Zetschrft 161, pp