METODE PENGAKARAN Metode Berhitung Cepat Tanpa Kalkulator

Transkripsi

1 KABAKUTA METODE PENGAKARAN Metode Berhitung Cepat Tanpa Kalkulator oscar ridhwan KABAKUTA

2 BAB 6 PENGAKARAN Setelah anda berkenalan dengan metode-metode dalam operasi tambah, kurang, kali, bagi dan kuadrat, di bab ini anda akan berkenalan dengan metode untuk operasi matematika dasar lain yaitu akar suatu bilangan. Seperti biasanya penjelasan metode diawali dengan review tentang metode yang sering kita pakai dalam menyelesaikan soal akar suatu bilangan. Penjelasan langkah langkah dari tiap metode langsung diterapkan pada bilangan. 1. METODE BIASA (Kebalikan dari metode Trachtenberg) CONTOH Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 4, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 22. jadi angka tersebut adalah 4. kemudian tulislah seperti berikut ini hasil ==> Angka pertama pada hasil 2

3 Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (4) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut hasil ==> x. ==> (2 x 4) Langkah 4 Mengisi titik-titik disamping angka 8, dengan angka yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (609) hasil ==> x 7 ==> Angka kedua pada hasil Jadi, CONTOH Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 4, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian

4 Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 44. jadi angka tersebut adalah 64. kemudian tulislah seperti berikut ini hasil ==> Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (6) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut hasil ==> x.==> (2 x 6) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 12, dengan angka yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (889) hasil ==> x 7 ==> Angka kedua pada hasil Jadi,

5 CONTOH Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 5, maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 6. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini hasil Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (2) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut hasil x.==> (2 x 2) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 4 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (215) 5

6 hasil x 4 ==> Angka kedua pada hasil Langkah 5 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 4 (44) dengan 4(hasil pada langkah 4), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut hasil x 4 ==> x ==> (44 + 4) Langkah 6 Mengisi titik-titik di samping angka 48 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (3904) 6

7 hasil x 4 ==> x 8 ==> Angka ketiga pada hasil Jadi, CONTOH Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 6, maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 6. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini hasil ==> Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (5) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 7

8 hasil ==> x.==> (5 x 2) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 10 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (492) hasil ==> x 4 ==> Angka kedua pada hasil Langkah 5 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 4 (104) dengan 4(hasil pada langkah 4), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut hasil ==> x 4 ==> x ==> ( ) 8

9 Langkah 6 Mengisi titik-titik di samping angka 108 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (7609) hasil ==> x 4 ==> x 7 ==> Angka ketiga pada hasil Jadi, hasilnya 547 Contoh 1 sampai 4 di atas menjelaskan bagaimana mencari akar dari suatu bilangan dimana hasil akarnya merupakan bilangan bulat, artinya hasil pengakarannya bersisa 0. Selain itu metode ini juga bisa menyelesaikan perhitungan untuk mencari akar suatu bilangan yang hasilnya bukan merupakan bilangan bulat. Langkah yang digunakan sama dengan contoh 3 dan 4. Berikut contohnya Contoh Sudah tentu akar bilangan di atas bukan merupakan bilangan bulat. Akarnya berada diantara 22 dan 23. penyelesaiannya. Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 3, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 9

10 5 15 Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 5. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini 5 15 hasil Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (2) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 5 15 hasil x.==> (2 x 2) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 4 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (115) 5 15 hasil x 2 ==> Angka kedua pada hasil 10

11 Langkah 5 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 4 (42) dengan 2(hasil pada langkah 4), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 5 15 hasil x 2 ==> x ==> (42 + 2) Karena sisanya 31, sedangkan angka hasilnya akan diperoleh dari (44... x ), maka sisa bilangan tersebut harus dikalikan 100, sehingga menjadi maka hasil yang kita peroleh harus diberi tanda (, ). Hasil sementara 22, Langkah 6 Mengisi titik-titik di samping angka 44 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (3100) 5 15 hasil 22, x 2 ==> x 6 ==> Angka ketiga Langkah

12 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 6 (446) dengan 6(hasil pada langkah 6), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 5 15 hasil 22, x 2 ==> x 6 ==> x ==> ( ) Langkah 8 Kalikan bilangan sisa (424) dengan 100. kemudian isilah titik di samping bilangan 452 pada langkah 7 dengan angka sehingga hasil kalinya mendekati hasil 22, x 2 ==> x 6 ==> x 9 ==> Angka keempat Langkah 9 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 8 (4529) dengan 9(hasil pada langkah 8), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 12

13 5 15 hasil 22, x 2 ==> x 6 ==> x 9 ==> x ==> ( ) Langkah 10 Kalikan bilangan sisa (1639) dengan 100. kemudian isilah titik di samping bilangan 4538 pada langkah 7 dengan angka sehingga hasil kalinya mendekati hasil 22, x 2 ==> x 6 ==> x 9 ==> x 3 ==> Angka ke 5 Untuk memperoleh digit yang banyak dibelakang koma, maka langkah di atas dilanjutkan terus, maka anda akan memperoleh hasil akar yang sama dengan yang diperoleh dengan perhitungan kakulator ,

14 2. METODE RIDHWAN Metode kedua dalam pencarian akar suatu bilangan yang akan dibahas berikut ini merupakan operasi kebalikan dari metode Ridhwan dalam operasi penguadratan. Langkah untuk mencari akar suatu bilangan dengan menggunakan metode ini akan dijelaskan beserta contohnya sehingga dapat dipahami dengan mudah. CONTOH Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 3, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Bagilah 10 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 7 2,9... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 7. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa (7-2 2 ) = ,9 hasil 2 2 Angka pertama pada hasil 14

15 Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(32) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(2). Karena hasil dari Pengakaran terdiri dari 2 angka, maka angka hasil perhitungan diatas haruslah 7 Angka sisa ,9 hasil : 2 2 = 7 sisa 4 Langkah 4 Kurangi bilangan sisa (49) dengan kuadrat dari angka kedua pada hasil(7), kemudian bagi dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil (2) Angka sisa ,9 hasil 27,0 2 7, = 0 0 : (2 x 2) = 0 Karena angka sisa sudah 0 dan tidak ada angka lagi dibelakang angka 9, maka perhitungan dihentikan sehingga hasil akhirnya adalah 27. Jadi, CONTOH

16 Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 4 maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Bagilah 10 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 18 4,9... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 18, jadi angka tersebut adalah 4. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa ( ) = ,9 hasil 4 4 Angka pertama pada hasil Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(24) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Karena hasil dari Pengakaran terdiri dari 2 angka, maka angka hasil perhitungan diatas haruslah 3 Sisa ,9 hasil : (2 x 4) = 3 sisa

17 Langkah 4 Kurangi bilangan sisa (09) dengan kuadrat dari angka kedua pada hasil(3), kemudian bagi dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil (4) Sisa ,9 hasil 43,0 4 3, = 0 0 : (2 x 4) = 0 sisa 0 Jadi, CONTOH Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 6 maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Bagilah 100 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian 28 51,56... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 28, jadi angka tersebut adalah 5. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa ( ) = 3 51, hasil

18 Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(35) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(5). Sisa , hasil : (2 x 5) = 35 : 10 = 3 sisa 5 Langkah 4 Kurangilah bilangan sisa(51) dari langkah 3 dengan kuadrat angka kedua pada hasil(3) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(5). Sisa , , hasil 534, = 42; 42 : (2 x 5) = 4 sisa 2 Karena ketiga angka sudah didapatkan, maka langkah selanjutnya adalah mengecek apakah sisanya sama dengan 0 atau tidak Langkah 5 Kurangilah bilangan sisa(25) dari langkah 4 dengan 2 kalinya perkalian antara angka kedua pada hasil(3) dengan angka ketiga pada hasil(4), kemudian bagi 2 kalinya angka pertama pada hasil (5) 18

19 Sisa , , 0 hasil 534,0 25 (2 x 3 x 4) = 1 1 : (2 x 5) = 0 sisa 1 Karena sisanya tidak sama dengan nol, maka perhitungan dilanjutkan. Langkah 6 Kurangi bilangan sisa (16) dengan kuadrat dari angka terakhir pada hasil(4) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 (3) dengan angka ke-4 (0), kemudian hasilnya bagi dengan angka pertama pada hasil (5) Sisa ,5 6 hasil 534, , (2 x 3 x 0) = 0 0 : (2 x 5) = 0 sisa 0 Karena hasil pembagian terakhir bernilai 0 sisa 0, maka perhitungan bisa dihentikan. Jadi, Nah, mudah bukan? CONTOH

20 Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 6 maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Bagilah 100 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian 55 65,16... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 55, jadi angka tersebut adalah 7. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa ( ) = ,16 hasil 7 7 Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(66) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(7). Sisa ,16 hasil : (2 x 7) = 66 : 14 = 4 sisa 10 Langkah 4 Kurangilah bilangan sisa(105) dari langkah 3 dengan kuadrat angka kedua pada hasil(4) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(7). 20

21 Sisa ,16 hasil = = : (2 x 7) = 89 : 14 = 6 sisa 5 Langkah 5 Kurangilah bilangan sisa(51) dari langkah 4 dengan 2 kalinya perkalian antara angka kedua pada hasil(4) dengan angka ketiga pada hasil(6). Kemudian hasilnya bagi dengan 2 kalinya angka pertama (7) Sisa , , 0 hasil 746,0 51 (2 x 4 x 6) = = 3 3 : (2 x 7) = 0 sisa 3 Langkah 6 Kurangi bilangan sisa (36) dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka kedua pada hasil (4) dengan angka keempat pada hasil (0) dan kurangi lagi dengan kuadrat dari angka ketiga pada hasil(6), hasilnya bagi dengan 2 kalinya angka pertama (7) 21

22 Sisa ,1 6 hasil 746, , (2 x 4 x 0) = = 0 sisa 0 0 : (2 x 7) = 0 sisa 0 Jadi, Metode ini dapat menyelesaikan akar suatu bilangan berapapun besarnya, yang diperlukan hanyalah menambah langkah langkah perhitungan apabila jumlah angka dalam bilangan tersebut lebih dari 3 angka. Contoh berikutnya akan menjelaskan cara mencari akar suatu bilangan apabila hasilnya bukan merupakan bilangan bulat ( ada angka dibelakang tanda koma). CONTOH Langkah 1 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 17, jadi angka tersebut adalah 4. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa ( ) = 1, hasil 4, 4 Langkah 2 Bagilah bilangan sisa(10) dari langkah 1 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). 22

23 Sisa ,0 4, hasil 4,1 10 : (2 x 4) = 10 : 8 = 1 sisa 2 Langkah 3 Kurangilah bilangan sisa(20) dari langkah 2 dengan kuadrat angka kedua pada hasil(1) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka angka pertama pada hasil(4). Sisa ,0 0 4, hasil 4, = 19; 19 : (2 x 4) = 19 : 8 = 2 sisa 3 Langkah 4 Kurangilah bilangan sisa(30) dari langkah 3 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-3 pada hasil(2) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka angka pertama pada hasil(4). Sisa , , hasil 4, (2 x 1 x 2) = : (2 x 4) = 26 : 8 = 3 sisa

24 Langkah 5 Kurangilah bilangan sisa(20) dari langkah 4 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-4 pada hasil(3) dan kurangi kuadrat angka ke-3 (2) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Sisa , , hasil 4, (2 x 1 x 3) = : (2 x 4) = 1 sisa 2 Langkah 6 Kurangilah bilangan sisa(20) dari langkah 5 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-5 pada hasil(1) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-3 (2) dengan angka ke-4 (3). kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Sisa , , hasil 4, (2 x 1 x 1) (2 x 2 x3) = 6 6 : (2 x 4) = 0 sisa 6 Langkah 7 Kurangilah bilangan sisa(60) dari langkah 6 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-6 pada hasil(0) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-3 (2) dengan angka ke-5 (1) kurangi lagi dengan Kuadrat angka ke-4 (3). kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). 24

25 Sisa , , hasil 4, (2 x 1 x 0) (2 x 2 x 1) = : (2 x 4) = 5 sisa 7 Langkah 8 Kurangilah bilangan sisa(70) dari langkah 7 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-7 pada hasil(5) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-3 (2) dengan angka ke-6 (0) kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-4 (3) dengan angka ke-5 (1). kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Sisa , , hasil 4, (2 x 1 x 5) (2 x 2 x 0) (2 x 3 x 1) = : (2 x 4) = 6 sisa 6 Langkah ini apabila dilanjutkan terus kita akan mendapatkan hasil akar yang sama dengan perhitungan kalkulator. Jadi, 17 4, Dengan menggunakan kalkulator akan kita dapatkan 17 4, Nah, semua metode yang dibahas disini berlaku umum, sehingga dapat menyelesaikan semua akar bilangan, yang perlu ditekankan adalah dalam melakukan perhitungan mencari nilai akar dari suatu bilangan dengan menggunakan metode Ridhwan 25

26 ini anda harus berhati hati dalam pengambilan angka hasil, akan tetapi dengan menggunakan metode Ridhwan ini anda akan segera tahu bahwa anda telah melakukan kesalahan, Karena apabila kita salah mengambil angka, misal terlalu besar atau terlalu kecil, maka pada langkah selanjutnya anda akan mengalami kesulitan dalam proses pengurangannya. Misalnya angka yang akan anda kurangi lebih kecil daipada angka pengurangnya, bila hal ini terjadi saat anda melakukan perhitungan yang perlu anda lakukan hanyalah mengoreksi ulang perhitungan anda pada langkah sebelumnya, bisa jadi anda salah menghitungnya. Perbanyaklah berlatih dengan menggunakan metode Ridhwan ini, Karena metode ini lebih banyak menekankan pada susunan angka per angka, sedangkan metode Trachtenberg lebih menekankan pada susunan bilangan yang sebenarnya hanya menyederhanakan proses pembagian biasa, akan tetapi ada langkah yang digabungkan. Selamat Mencoba