Kiki Reskianti, Nurtiti Sunusi dan Nasrah Sirajang

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER BAYESIAN PADA ANALISIS DATA KETAHANAN HIDUP BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL MELALUI PENDEKATAN SELF. STUDI KASUS : ANALISIS KETAHANAN HIDUP FLOUROPHORES. Kiki Reskiati, Nurtiti Suusi da Nasrah Sirajag Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Hasauddi (UNHAS) Jl. Peritis Kemerdekaa KM. Makassar 9245, Idoesia kikireskiati@ymail.com Abstrak Dalam skripsi ii dikaji tetag estimasi Bayesia dega pedekata Squared Error Loss Fuctio (SELF) dega studi kasus aalisis Ketahaa Hidup Flourophores. Utuk megaalisa data ketahaa hidup, dibutuhka iformasi sebara prior da iformasi sampel, yag selajutya aka dibetuk mejadi distribusi posterior. Dega ditemukaya distribusi posterior, maka etimator θ dari distribusi ekspoesial dapat ditetuka dega ekspektasi miimum dari loss fuctio dega pedekata SELF maupu GELF. Iformasi prior da iformasi sampel merupaka fugsi yag diketahui, dimaa iformasi prior dalam kasus ii yaitu distribusi gamma, mea dari distribusi Gamma α, β sekaligus diguaka sebagai iformasi prior. Estimasi bayesia pada θ G dega pedekata GELF dapat diyataka mejadi SELF dega mesubtitusi α =. Namu tidak berlaku utuk α yag laiya, sehigga dapat peeliti simpulka pedekata SELF lebih baik dari pada pedekata GELF utuk distribusi ekspoesial. Kata Kuci : Estimasi, Estimasi Bayesia, SELF, GELF, loss fuctio, Aalisis Ketahaa Hidup, Distribusi Ekspoesial PENDAHULUAN Aalisis ketahaa hidup (lifetime) telah dikembagka mejadi topik yag petig di berbagai bidag, terutama di bidag tekik mesi (egieerig), sais da biomedis. Meurut Hidayah (994), distribusi waktu ketahaa hidup biasaya digambarka dega tiga fugsi yaitu fugsi ketahaa hidup (survival fuctio), fugsi kepadata peluag (probabily desity fuctio) da fugsi kegagala (hazard fuctio). Data ketahaa hidup dari beberapa idividu dalam suatu pegamata dapat dikembagka dega aalisis regresi liier utuk memeriksa hubuga atara variabel terikat (depedet) sebagai fugsi distribusi kumulatif da variabel bebas (idepedet) sebagai waktu kegagala. Estimasi parameter diperluka utuk membetuk suatu model peramala terbaik. Saat ii dikeal dua pedekata utama utuk megestimasi parameter yaitu pedekata klasik (classical approach) da pedekata Bayesia (Bayesia approach). Salah satu metode estimasi parameter dega pedekata klasik adalah Maximum Likelihood Estimates (MLE). Metode Maksimum Likelihood merupaka suatu metode yag medasarka iferesiya pada sampel, sedagka Bayes memperkealka suatu metode di maa seseorag perlu megetahui betuk distribusi awal (prior). Sebelum mearik sampel dari suatu populasi terkadag diperoleh iformasi megeai parameter yag aka diestimasi. Iformasi ii kemudia digabugka dega iformasi dari sampel yag merupaka fugsi Likelihood utuk diguaka dalam megestimasi parameter populasi (Walpole da Myers, 995). Terdapat beberapa metode estimasi Bayes yag diguaka utuk megestimasi parameter distribusi yaitu Geeral Etropy Loss Fuctio (GELF), Squared Error Loss Fuctio (SELF) da lai-lai. Meurut Shah da Patel (29), pedekata dega estimasi Bayesia melalui metode GELF lebih baik dari pada pedekata SELF utuk data yag berdistribusi Geometrik. Namu dalam tulisaya tidak dibahas apakah peryataa tersebut berlaku utuk semua betuk distribusi data. Oleh karea itu, tujua dari peelitia ii yaitu megaalisa data ketahaa hidup

2 berdistribusi ekpoesial megguaka pedekata Bayesia dega pedekata SELF. MASALAH DAN PEMBAHASAN. Distribusi Prior Dalam aalisis Bayesia, ketika suatu populasi megikuti distribusi tertetu dega suatu parameter di dalamya (misal dalam hal ii θ), maka dimugkika bahwa parameter θ megikuti suatu distribusi peluag tertetu yag dikeal sebagai distribusi prior. Dalam meetuka distribusi prior dapat dilihat berdasarka ruag parameterya. Dalam kasus ii, distribusi Gamma ditetapka sebagai distribusi prior sekawa utuk distribusi ekspoesial dega parameter θ dimaa < θ <. Distribusi ekspoesial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Fugsi gamma didefiisika oleh: Γ α = θ α e θ dθ, utuk α >. Terlihat fugsi gamma dega parameter θ dimaa < θ <. Dimaa θ merupaka peluag sukses dalam distribusi ekspoesial. Permasalaha selajutya yag mucul adalah peetua parameter α da β utuk distribusi Gamma α, β yag diguaka sebagai distribusi prior. Peetua parameter α da β utuk distribusi Gamma α, β ii dapat diselesaika dega mecocokka atara mea da variasi distribusi gamma dega mea da variasi distribusi ekspoesial. Mea da variasi distribusi ekspoesial masig-masig diberika oleh: E X = θ da Var X = θ 2 Mea da variasi distribusi gamma masig-masig diberika oleh: E X = αβ da Var X = αβ 2 distribusi ekspoesial diperoleh ilai α = da β = x. 2. Distribusi Posterior Dalam estimasi Bayes, setelah iformasi sampel diambil da prior telah ditetuka maka distribusi posteriorya dicari dega megalika priorya dega iformasi sampel yag diperoleh dari likelihoodya, di maa prior ii idepede terhadap likelihoodya (Bolstad, 27 dalam Ade Cadra 2). Distribusi posterior tersebut diberika oleh: f θ; x i = f θ f x i ; θ f θ f(x i ; θ) dθ fugsi kepadata f θ; x i meujukka distribusi posterior, f θ meujukka distribusi prior da fugsi f x i ; θ meujukka fugsi likelihood. f θ; x i = = f θ f θ; x i f θ f θ; x i θ +α e θ Γ + α dθ i= x i+ β i= x i + β atau bisa ditulis Gamma + α, +α i= x i + β. Jika diketahui ilai x maka dega metode dega mecocokka atara mea da variasi distribusi gamma dega mea da variasi

3 3. Estimasi Bayesia Distribusi Ekspoesial melalui Pedekata SELF Estimasi parameter yag diguaka dalam kasus ii megguaka symmetric loss fuctio yag dikeal sebagai SELF atau Squared Error Loss Fuctio, dimaa loss fuctio utuk SELF diberika sebagai berikut: L θ, δ = δ θ 2 utuk < θ <. Dimaa δ merupaka estimator bayesia utuk θ dega pedekata SELF. Estimator Bayesia dari θ pada distribusi ekspoesial dega megguaka pedekata Squared Error Loss Fuctio diperoleh dega memiimumka ekspektasi loss fuctio yag diperoleh sebagai berikut: d dy sehigga estimator pedekata SELF adalah E L θ, δ = bayesia utuk θ dega θ s = E θ sehigga estimasi Bayesia utuk θ dega pedekata SELF adalah: 4. Estimasi Bayesia Distribusi Ekspoesial melalui Pedekata GELF Geeral Etropy Loss Fuctio (GELF) meyagkut pada fugsi kerugia asymmetric yag diberika oleh Shah da Patel (29) yaitu: L θ, y = y θ α α l y θ ; y = z θ, θ 2, p utuk α, < θ <. Parameter α meujukka peyimpaga asimetri da y merupaka estimator bayesia utuk θ dega pedekata GELF. Estimator Bayesia dari θ pada distribusi ekspoesial dega megguaka pedekata Geeral Etropy Loss Fuctio diperoleh dega memiimumka ekspektasi loss fuctio yag diperoleh sebagai berikut: d dy E L θ, y = sehigga estimator Bayesia utuk θ dega pedekata GELF adalah: karea θ G = E θ α α θ s = E θ = θ θ +α e θ Γ + α i= x i+ β i= x i + β +α dθ E θ α = θ α = Γ +α α Γ +α θ +α e θ Γ + α i= x i + β i= x i+ β i= x i α + β +α dθ θ s = + α i= x i + β maka θ G = E θ α α θ G = Γ + α α Γ + α α i= x i + β

4 5. Studi Kasus Estimasi Bayesia utuk θ dega pedekata SELF adalah: θ s = + α i= x i + β diketahui bahwa ilai α =, β = x persamaa diatas dapat ditulis mejadi: θ s = dega = 44, + i= x i maka i= x i = 6,28 da x = 2,64 maka estimasi Bayesia dega pedekata SELF dapat dituliska sebagai: θ s = ,28 + 2,64 maka hasil estimasi data ketahaa hidup plourophores adalah: θ s =,38 Grafik. Estimasi parameter dega θ s =,38,4,3,2, f(x) pada distribusi ekspoesial expoesial 5 x Sumber: olahdata excel expoesial Estimasi Bayesia utuk θ dega pedekata GELF adalah: θ G = Γ + α α Γ + α α i= x i + β diketahui bahwa ilai α =, β = x i= x i = 6,28, x = 2,64 da = 44. Dalam peelitiaya Syah da Patel (29) meuliska estimasi bayesia pada θ G dega pedekata GELF dapat diyataka mejadi SELF dega mesubtitusi α =, sedagka dega mesubtitusi α = ekuivale dega hasil estimasi SELF. Jika α = maka θ G = Γ 44 + Γ 44 + = Γ 44 da jika α = maka θ G = Γ Γ 44 + = Γ 46 diperoleh ilai yag i= x i 6,28 + 2,64 =,37 i= x i 6,28 + 2,64 =,38 Namu tidak berlaku utuk α yag laiya, jika α = 2 maka θ G = Γ Γ 44 + = Γ 43 2 jika α = 2 maka θ G = Γ Γ 44 + = Γ i= x i 6,28 + 2,64 = 3685, 2 i= x i 6,28 + 2,64 = 3673,32,

5 KESIMPULAN Berdasarka uraia dari bab-bab sebelumya, maka dapat ditarik kesimpula sebagai berikut:. Utuk megaalisa data ketahaa hidup dibutuhka iformasi sebara prior da iformasi sampel, yag selajutya aka dibetuk mejadi distribusi posterior. Dega ditemukaya distribusi posterior maka etimator θ dari distribusi ekspoesial dapat ditetuka dega ekspektasi miimum dari loss fuctio dega pedekata SELF maupu GELF. 2. Utuk studi kasus megguaka data ketahaa hidup flourophores: Mea dari distribusi Gamma α, β sekaligus mejadi iformasi prior. Mea distribusi gamma diberika oleh: Mea x = E x = αβ = 2,64 =,38 hasil estimasi data ketahaa hidup plourophores dega pedekata SELF adalah: θ s =,38 Sedagka utuk pedekata GELF diperoleh, Jika α = maka θ G = Γ 44 + Γ 44 + = Γ 44 Jika α = maka θ G = Γ Γ 44 + = Γ 46 i= x i 6,28 + 2,64 =,37 i= x i 6,28 + 2,64 =,38 estimasi bayesia pada θ G dega pedekata GELF dapat diyataka mejadi SELF dega mesubtitusi α =, sedagka dega mesubtitusi α = diperoleh ilai yag ekuivale dega hasil estimasi SELF. Namu tidak berlaku utuk α yag laiya. Sehigga dapat peeliti simpulka pedekata SELF lebih baik dari pada pedekata GELF utuk distribusi ekspoesial.

6 REFERENSI Cadra Siska, Ade. 2. Iferesi Statistik Distribusi Biomial Dega Metode Bayes Megguaka Prior Kojugat. Uiversitas Dipoegoro: Semarag. _cadra.pdf Flourescece ad Biomedical Itrumetatio. Lifetime Data of Selected Fluorophores. atables/lifetimedatafluorophores.pd f Gupta, R.D. ad Kudu, D. 2. Geeralized Expoetial Distributio: Differet Method of Estimatios. Joural of Statistical Computatio ad Simulatios, 69: Hidayah, Ey Aalisis Ketahaa Hidup dega Metode Geha Matel-Haeszel da Taroe-Ware utuk 2 Sampel Sampai K Sampel. Uiversitas Dipoegoro : Semarag. Hidayah, Eti. 2. Model Disagregasi Data Huja Temporal Dega Pedekata Bayesia Sebagai Iput Pemodela Bajir. Istitut Tekologi Sepuluh Nopember: Surabaya J. B. Shah ad M. N. Patel. 2. Bayes Estimatio of a Two-Parameter Geometric Distributio udermultiply Type II Cesorig. Iteratioal Joural of Quality, Statistics, ad Reliability Volume 2, Article ID Li, T.I. ad Lee, J.C. 23. Bayesia aalysis of Mixtures Modellig Usig the Multivariate t- Distributio. Statistics ad Computig 4: 9-3. Lee, E.T. 23. Statistical Methods for Survival Data Aalysis 3 rd Editio. Joh Wiley & Sos Ic: Caada. Motgomery, D.C ad Ruger, G.C. 2. Applied Statistics ad Probability for Egieers 5 rd Editio. Joh Wiley & Sos, Ic: Caada Rahmawati, Diaa. 2. Estimasi Model Regresi Liier Dega Pedekata Bayes. Malag. Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim. Rahmiyati, I. 23. Metode Geeral Etropy Loss Fuctio (Gelf) Dalam Estimasi Parameter Distribusi Campura Geometrik. Uiversitas Hasauddi : Makassar Sugito da Mukid, Moch Abdul. 2. Distribusi Poisso Da Distribusi Ekspoesial Dalam Proses Stokastik. Udip Sugito da Dwi Ispriyati. 2. Distribusi Ivers Gamma Pada Iferesi Bayesia. FMIPA UNDIP. Walpole, Roald E da Myers, Raymod H Ilmu Peluag da Statistika utuk Isiyur da Ilmuwa Edisi ke-4. ITB : Badug. Kismiatii ad Himmawati. 23. Hubuga atara Estimator Bayes dega Estimator Klasik pada Distribusi Peluag Diskrit yag Khusus. Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam UNNES: Semarag.

7 Lampira Data Ketahaa Hidup Flourophores yag diperoleh dari Flourescece ad Biomedical Itrumetatio. No. Fluorophore Lifetime [s] DAPI.6 2 Hoechst o DNA.2 3 CY3.3 4 Hoechst oDNA.35 5 Idocyaie Gree.52 6 Alexa Flour CY5 8 CY5.5 9 Hoechst ssDNA.5 Alexa Flour 68.2 Hoechst dsDNA.22 2 Proda.4 3 Ethidium Bromide-oDNA.6 4 YOTO+ ss DNA.67 5 Rhodamie B.69 6 DAPI+ssDNA.88 7 Hoechst ddDNA.94 8 Acridie Orage 2 9 YOTO- o DNA 2. 2 Orego Gree DAPI+dsDNA TOTO Hoechst dsDNA YOTO+ ds DNA Coumari CY3B Alexa Flour GFP ATTO ATTO Alexa Flour Flourescei 4 33 Rhodamie 4 34 Rhodamie 6G Alexa Flour FITC Orego Gree Texas Red 4.2

8 39 Rhodamie CY BODIPY TR-X HPTS BODIPY FL Lucifer Yellow 5.7 Sumber :