PRAKATA. Cirebon, Oktober 2014 Penulis

Transkripsi

1 PRAKATA Alhamdulillahirabbil aalamin, segala puja dan puji syukur penuli spanjatkan kepada Allah Swt. Tanpa karunia-nya, mustahillah buku ini dapat terselesaikan secara cepat dan tepat waktu mengingat tugas dan kewajiban lain yang ada. Buku ini ditulis dan disusun dengan urutan penyajian sedemikian rupa sehingga pembaca akan merasa senang untuk mendalaminya. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut pembaca untuk aktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Maka dengan adanya buku ini diharapkan dapat memberikan kontribusi yang positif terhadap peningkatan kualitas pelajaran matematika di sekolah. Kami menghaturkan terima kasih kepada Bapak Dede Trie Kurniawan S.Si,. M.Pd selaku dosen program komputer I yang telah memberikan bimbingan sehingga buku ini dapat selesai, para penulis yang telah dapat menyelesaikan penulisan buku ini tepat pada waktunya dan kepada khayalak pembaca. Secara khusus, penulis berharap semoga buku ini dapat berguna dan bermanfaat bagisiswa. Penulis menyadari bahwa buku ini belum sempurna baik dari segi teknik penyajian maupun dari segi materi. Oleh karena itu, kritik dan saran dari para pembaca sangat kami harapkan. Cirebon, Oktober 2014 Penulis i

2 DAFTAR ISI PRAKATA... i DAFTAR ISI... ii KATA-KATA MOTIVASI... iii TUJUAN PEMBELAJARAN... iv PEMBAHASAN MATERI A. PENGERTIAN SUKU BANYAK... 1 B. NILAI SUKU BANYAK DAN OPERASI ANTAR-SUKUBANYAK... 1 C. PEMBAGIAN SUKUBANYAK... 2 D. TEOREMA SISA... 4 E. TEOREMA FAKTOR... 5 F. AKAR-AKAR RASIONAL DARI PERSAMAAN SUKUBANYAK... 6 G. PENERAPAN SUKUBANYAK DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI... 7 CONTOH SOAL... 8 APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI LATIHAN SOAL DAFTAR PUSTAKA BIODATA KEOMPOK ii

3 Menjadi sukses itu bukanlah suatu kewajiban, yang menjadi kewajiban adalah perjuangan kita untuk menjadi sukses. Bila kegagalan itu bagai hujan, dan keberhasilan bagaikan matahari, maka butuh keduanya untuk melihat pelangi. iii

4 TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menentukan nilai sukubanyak dengan metode subtitusi dan metode sintetik (metode horner). 2. Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian pada suku banyak dengan menggunakan algoritma pembagian sukubanyak. 3. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah. iv

5 A. PENGERTIAN SUKUBANYAK Suku bnyak atau polynomial dalam x berderajat n mempunyai bentuk umum; aa nn xx nn + aa nn 1 xx nn 1 + aa nn 2 xx nn aa 2 xx 2 + aa 1 x + aa 0 dengan : aa nn, aa nn 1, aa nn 2,.., aa 2, aa 1, aa 0 adalah konstanta real. aa nn, koefisien xx nn, aa nn 1 koefisien xx nn 1, aa nn 2 koefisien xx nn 2, dan seterusnya. aa 0 disebut suku tetap. nn bilangan cacah yang menyatakan derajatsukubanyak. B. NILAI SUKU BANYAK DAN OPERASI ANTARA-SUKUBANYAK 1. Nilai Sukubanyak Sukubanyak dalam x berderajat n dapat diuliskan dalam fungsi sebagai berikut : f(x) = aa nn xx nn + aa nn 1 xx nn 1 + aa nn 2 xx nn aa 2 xx 2 + aa 1 x + aa 0 Nilai dari sukubanyak f(x) untuk x = k adalah f(k). Nilai dari f(k) dapat ditentukan dengan dua strategi, yaitu: a. strategi substitusi b. strategi skema (bagan) a. Strategi substitusi Nilai sukubanyak f(x) = aa nn xx nn + aa nn 1 xx nn 1 + aa nn 2 xx nn aa 2 xx 2 + aa 1 x + aa 0 untuk x = k, dengan k R dapat ditentukan dengan menggunakan cara substitusi sebagai berikut: f(k) = aa nn kk nn + aa nn 1 kk nn 1 + aa nn 2 kk nn aa 2 kk 2 + aa 1 k + aa 0 b. Strategi skema (Bagan) Misalkan suatu suku banyak f(x) = aa 3 xx 3 + aa 2 xx 2 + aa 1 xx + aa 0. Nilai sukubanyak f(k) dapat ditentukan dengan menggunakan operasi perkalian dan operasi penjumlahan yang di sajikan dalam model skema (bagan). 1

6 Pada baris atas skema dituilis nilai x = k, kemudian di ikuti oleh koefisien-koefisien sukubanyak yang disusun berurutan dari koefisien pangkat tertinggi sampai dengan koefisien pangkat terendah. x = k aa 3 aa 2 aa 1 aa 0 aa 3 k aa 3 kk 3 + aa 2 kk 2 aa 3 kk 3 + aa 2 kk 2 + aa 1 k + k = f(k) Tanda menyatakan kalikan dengan k. Jadi, nilai sukubanyak untuk x = k adalah f(k) = aa 3 kk 3 + aa 2 kk 2 + aa 1 kk + aa 0. Cara yang digunakan untuk menghitung nilai sukubanyak tersebut di namakan cara skema (bagan). 2. Operasi Antar-sukubanyak a. Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak Teorema Jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah sukubanyak berderajat m dan n maka 1. f(x) ± g(x) adalah sukubanyak berderajat maksimum m atau n. 2. f(x) g(x) adalah sukubanyak berderajat ( m + n ) b. Kesamaan Sukubanyak Teorema Misalkan terdapat sukubanyak f(k) = k + dan sukubanyak f(k) = k +. Jika f(x) g(x) maka haruslah, Cara pengerjaan demikian dinamakan sebagai koefisien tak tentu. C. PEMBAGIAN SUKUBANYAK 1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian a. Pembagian Sukubanyak dengan Strategi Pembagian Bersusun Misalkan sukubanyak f(x) = aa 2 kk 2 + aa 1 kk + aa 0 dibagi dengan (x - k) memberikan hasil bagi untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan: f(x) = (x - k) H(x) + S 2

7 untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisia S digunakan sukubanyak dengan cara pembagian bersusun berikut ini: x k x + ( + k) = H(x) + + Jadi hasil bagi dari H(x) = aa 2 xx + aa 2 kk + aa 1 dan sisa S = aa 0 + aa 1 k + aa 2 kk 2. b. Pembagian Sukbanyak dengan Strategi Pembagian Sinetik (Strategi Horner) Pembagian Sukubanyak dengan (x k) Misalkan sukubanyak f(x) = aa 2 kk 2 + aa 1 kk + aa 0 dibai dengan (x k) memberikan hasil bagi H(x)dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan f(x) = (x k) H(x) + S untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisia S digunakan pembagian sukubanyak denagn cara skematik yang dinama kan strategi pembgian sintetik (Strategi Horner) berikut ini. k - ( k)x + ( k)x - ( k)k + k + = S + + = Kesimpulan Jadi, hasil bagi dari H(x) = aa 2 x + aa 2 k + aa 1 dan sisa S = aa 2 kk 2 + aa 1 kk + aa 0 1. Jika sukubanyak f(x) di bagi dengan (x k) maka sisanya S = f(k). 2. Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (x k) memberikan sisa S = 0 maka f(x) habis dibagi dengan (x k) atau dikatakan (x k) merupakan factor dari f(x). Pembagian Sukubanyak dengan (ax + b) Misalkan k = - bb adalah bilangan rasional, sehingga bentuk (h k) menjadi (x + bb ). aa aa 3

8 Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (x + bb ) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S aa maka terdapat hubungan: f(x) = xx + bb HH (xx) H(x) + S = (ax + b) + S aa aa HH (xx) Dengan demikian, suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi aa dan sisa S. koefisien-koefisien H(x) dan S ditentukan dengan menggunakan strategi pembagian sintentik (strategi Horner) dengan mengganti k = - bb. aa c. Pembagian Sukubanyak dengan ax + bx + c Bentuk ax + bx + c yang Didak Dapat Difaktorkan Pembagian sukubanyak f(x) oleh ax + bx + c, dengan a 0, a, b, c R, yang tidak dapat difaktorkan dapat ditentukan dengan menggunakan strategi pembagian bersusun atau kesamaan sukubanyak. Bentuk ax 2 + by +c yangdapat Difaktorkan Pembagian sukubanyak f(x) oleh ax 2 + bx + c, dengan a 0, a, b, c R, yang dapat difaktorkan dapat ditentukan dengan menggunakan strategi pembagian bersusun, sedangkan untuk menentukan hasil bagi dapat menggunakan kesamaan sukubnyak. D. TEOREMA SISA (DALIL SISA) Misalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan P(x)memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka diperoleh hubungan f(x) = P(x) H(x) + S(x) Jika f(x) sukubanyak berderajat n dan P(x) adalahpembagi berderajat m, dengan m n maka: 1. H(x) adalah hasil bagi berderajat (m n). 2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m 1). a. Pembagian dengan (x k ) Teorema Sisa (Dalil Sisa) 1: Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x k) maka sisanya S= f(k). sisa f(k) adalah nilai sukubanyak untuk x = k yang dapat di tentukan dengan strategi subsitusi atau strategi skema (bagan) b. Pembagian dengan (ax + b) Teorema Sisa (Dalil Sisa) 2: Jika sukubanyak berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya S = f (- ). Sisa f(- ) adalah nilai sukubanyak untuk x = - yang dapat ditentukan dengan stategi substitusi ataustrategi skema (bagan). 4

9 c. Pembagi Berderajat Dua atau Lebih yng Dapat Difaktorkan Menjadi faktorfaktor Linear Penerapan teorema sisa atau dalil sisa dapat dikembangkan untuk menentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan sukubanyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear. E. TEOREMA FAKTOR Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak. (x k) merupakan factor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Teorema faktor dapat dibaca sebagai berikut: 1. Jika (f x) merupakan faktor dari f(x) maka f(k) = 0 2. Jika f(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor dari f(x). a. Bentuk yag Habis Bibagi Teorema: Misalkan (x k) adalah suku banyak. F(x) habis bibagi dengan (x k) jika dan hanya jika f(k) = 0. b. Pembagian Istimewa Pada pembagian istimewa diperoleh sisa S = 0 dan hasil bagi merupakan faktor dari f(x). pembagian istimewa yang dimaksud adalah: aa nn bb nn aa bb aa 2nn bb 2nn aa bb aa 2nn +1 bb 2nn +1 aa bb = a n-1 + a n-2 b +a n-3 b ab n-2 +b n-1 = a 2n-1 a 2n-2 + a 2n-3 b b 2n-1 = a 2n+1 b 2n-1 + a 2n-2 b 2... b 2n c. Menentukan Suku ke-k dari Hasil Istimewa 1. aa nn bb nn aa bb = a n-1 + a n ab n-2 + b n-1 Suku ke - k: u k = a n-k + b k-1 5

10 2. aa 2nn bb 2nn = a 2n-1 a 2n- b 2 +a 2n-3 b 2... b 2n-1 bb aa a 2n-k b k-1, k genap Suku ke - k: u k = a 2n-k b k-1, k ganjil 3. aa 2nn 1 bb 2nn +1 aa +bb Suku ke - k: u k = = a 2n a 2n-1 b + a 2n-2 b b 2n a 2n-k+1 b k-1, k genap a 2n-k+1 b k-1, k ganjil F. AKAR-AKAR RASIONAL DARI PERSAMAAN SUKUBANYAK Teorema 1. Misalkan f(x) suku banyak.(x k ) adalah faktor dari f(x)jika dan hanya jika k adalah akar dari persamaan f(x) = Misalkan f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0, dengan a 1 B. jika p B (p 0) adalah nilai nol f(x) maka p adalah pembagi a f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0, dengan a 1 B, memiliki akar p / q, dengan p, q B, dan 0 maka p adalah pembagi a 0 dan q adalah pembagi a n ( p / q adalah pecaahan murni). Catatan : 1) Jika sukubanyak f(x) berderajat n maka persamaan f(x) = 0 maksimun memiliki n buah akar real. 2) Tafsiran geometri dari k menyatakan koordinat titik potongan grafik fungsi y = f(x) dengan sumbu X. Sifat-Sifat Akar Sukubanyak 1) Persamaan Kuadrat (Pangkat Dua) Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a 0. a,b, c R maka: a. x 1 + x 2 = bb aa b. x 1 x 2 = cc aa 6

11 2) Persamaan Kubik (Pangkat Tiga) Jika x 1, x 2 dan x 3 adalah akar-akar persamaan kubik ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 maka: a. x 1 + x 2 + x 3 = bb aa b. x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = cc aa c. x 1 x 2 x 3 = dd aa 3) Perssamaan Pangkat Empat Jika x 1, x 2, x 3 dan x 4 adalah akar-akar persamaan ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka: a. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = bb aa b. x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = cc aa dd c. x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = aa d. x 1 x 2 x 3 x 4 = ee aa G. PENERAPAN SUKUBANYAK Untuk menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita, pertama-tama kita harus menerjemahkan soal-soal tersebut ke dalam model matematika yang berupa persamaan atau pertidaksamaan. Selanjutnya kita menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan tersebut dengan hasilnya merupakan solusi dari masalah itu. 7

12 CONTOH SOAL 1. Tentukan nilai sukubanyak dari 3xx 5 + 2xx 2 6xx + 4 untukxx = 2! Jawab : ff(xx) = 3xx 5 + 2xx 2 6xx + 4 ff(2) = 3. (2) (2) 2 6. (2) + 4 ff(2) = Dengan menggunakan metode sintetik atau metode horner tentukan nilai suku banyak dari xx 6 xx 3 + 2xx 2 xx + 20 untuk xx = 2! Jawab: Jadi, nilai dari xx 6 xx 3 + 2xx 2 xx + 20 untuk xx = 2 adalah Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian xx 3 + 3xx 2 + 4xx 5 oleh xx + 2! Jawab: Jadi, hasil baginya adalah xx 2 + xx + 2 dan sisa pembagiannya adalah 9 8

13 4. Diketahui suku banyak 2xx 3 xx 2 + 3xx 9 dibagi dengan 2xx + 1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya! Jawab: Jadi, hasil baginya 2xx 2 2xx +4 aaaaaaaaaah xx 2 xx Sukubanyak xx 3 + 3xx + 7 dibagi oleh xx 2 + xx 2 tentukan hasil bagi dan sisanya! Jawab: xx 2 + xx 2 = (xx + 2)(xx 1) Kemudian, Jadi, hasil baginya (xx 1) dan sisa pembagiannya 6(xx + 2) + ( 7) = 6xx = 6xx

14 1. PENERBANGAN PESAWAT Semakin maraknya jatuhnya pesawat di Indonesia ini sebenarnya disebabkan oleh beberapa faktor yang mungkin bisa mempengaruhi terbangnya pesawat dan karena beberapa faktor itulah pesawat dapat jatuh. Beberapa faktor tersebut seperti kesalahan pilot, mesin pesawat, body yang tidak layak, cuaca, dan lain-lain. Dengan masalah seperti itu maka diperlukan inisiatif yaitu untuk menerapkan sukubanyak sebagai faktorfaktor tersebut jika faktor itu kita berinama suku x1, x2, x3,.,xn maka terdapat banyak suku dalam satu kesatuan. Oleh sebab itu maka penerapan sukubanyak sangat diperlukan dalam penerbangan pesawat terbang. \ 2. JARAK SEPEDA MOTOR Saat kita berkendara dengan sepeda motor maka kita akan mengetahui kecepatan sepeda motor kita melalui jarum pada spedo. Tapi pernahkah kita berfikir jika kita memisalkan hubungan antara jarak yang ditempuh itu adalah x(t). Dan kita juga memisalkan waktu untuk menempuh itu adalah (t). Maka akan terjadi persamaan gerak sebuah sepeda motor itu dapat dinyatakan x(t) = 48t2 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam menit. Sehingga dengan persamaan tersebut kita dapat menerapkan sukubanyak dalam menghitung misalnya jarak sepeda motor setelah 3 menit, 6 menit, maupun 1 jam ( 60 menit ). 10

15 1. Diberikan sukubanyak ff(xx) = 2xx 3 5xx 2 + 4xx + 3, carilah hasil bagi dan sisanya jika ff(xx) dibagi dengan (xx 2)! 2. Diberikan sukubanyak ff(xx) = 2xx 3 xx 2 5xx + 6, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika ff(xx) jika (xx + 3)! 3. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian xx 3 4xx 2 + 3xx 5 dengan xx 2 + xx + 2! 4. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian 2xx 4 3xx 3 + 5xx 2 dengan xx 2 xx 2! 5. Carilah sisa pembagi sukubanyak 8xx 3 2xx dengan (xx + 2)! 6. Carilah sisa pembagian sukubanyak ff(xx) = 27xx 3 6xx 8 dengan (3xx + 1)! 7. Tentukan sisa pembagian sukubanyak xx 4 + xx 2 1 dengan xx 2 xx! 8. Carilah hasil bagi dari xx 3 yy 3 xx yy! 9. Carilah akar-akar persamaan xx 4 + 4xx 3 + 2xx 2 4xx 3 = 0! 10. Jika ff(xx) dibagi dengan xx + 1 dan xx 4 maka sisanya berturut-turut adalah 3 dan 17. Tentukan sisanya jika ff(xx) dibagi dengan xx 2 3xx 4! 11

16 DAFTAR PUSTAKA Tampomas, Husein Seribu Pena Matematika, Bogor. PT Erlangga 12

17 Nama : Gilang Fikasa Adhisty Adi Negoro NPM : T.T.L : Cirebon, 06 july 1993 No. Hp : Alamat : desa karang malang kec. Kr.sembung. kab. Cirebon rt/rw 003/007 Motto Hoby : kuantitas itu nomer 2 yang terpenting adalah kualitas : sepakbola, music, ceng-cengan, nonton anime Deskripsi kerja : Edit desain, bulletin, printing. 13

18 Nama : Yulia Rahmawati NPM : T.T.L : Cirebon No Hp : Alamat : Desa Karang Tengah, kec.karang sembung Motto : Fokus untuk satu tujuan. Hoby : Membaca. Deskripsi Kerja : pengetikan materi, mengumpulkan materi ajar. 14

19 Nama : Yudrick Maulana Fiqri NPM : T.T.L : Cirebon, 23 Januari 1996 No. Hp : Alamat : Losari, Cirebon Motto : Enjoy this life! My life my attitude! Hoby : Game online, Membaca. Deskripsi Kerja : Pengetikan materi, edit desain, printing. 16