MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH
|
|
- Dewi Hartono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 009
2 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 009 Miftahul Jannah NIM G
3 ABSTRACT MIFTAHUL JANNAH. Mathematical Model for Temperature Changes and Dopant Concentration Changes on the Optical Fiber Drawing. Under supervision of JAHARUDDIN and SISWANDI Optical fibers are made of transparent material (glass) with different refractive indices in the inner core and the outer cladding regions. This refractive index difference is achieved normally by adding a dopant to the inner core region. The objective of this thesis is to analyze a mathematical model for the temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing process. Using a long-wave approximation, the governing equations can be reduced to a simple diffusion equation. As a result, we are able to identify key dimensionless parameters that contribute to the diffusion process. We also derive solutions for the temperature and dopant concentration. Temperature and dopant concentration depend on the viscosity and the diffusion coefficient. Some numerical simulations using Maple software are carried out to explain the attitude of the solution with respect to temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing. Keywords : dopant diffusion, optical fiber drawing, long-wave approximation
4 RINGKASAN MIFTAHUL JANNAH. Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan di luarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka terasselubungnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di dalam teras. Masalah dalam peneitian ini adalah bagaimana menentukan hubungan antara konsentrasi dopant, suhu, dan jari-jari turbulen pada tungku pembakaran. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji model matematika untuk suhu, jarijari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. Berdasarkan solusi yang diperoleh akan ditentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. Hasilnya disajikan dalam suatu simulasi numerik. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat massa fluida yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, maka diperoleh persamaan difusi yang sederhana. Kajian terhadap persamaan difusi yang telah diperoleh dilakukan dengan meninjau dua proses fisis, yaitu proses sebelum melalui pendinginan dan proses dalam keadaan pendinginan. Dari kedua proses tersebut di atas diperoleh suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant. Konsentrasi dopant diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Karakteristik solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik. Simulasi numerik dilakukan dengan bantuan software Maple. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk perubahan konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil.
5 Pengetahuan mengenai besaran-besaran yang mempengaruhi pembentukan serat optik sangat diperlukan agar hasil yang didapatkan optimal dan akurat. Hal ini perlu dilakukan karena serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Dengan demikian hasil dari tesis ini memiliki manfaat yang cukup besar. Kata kunci : difusi dopant, pembentukan serat optik, gelombang panjang.
6 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 008 ini adalah serat optik, dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing, serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku penguji luar komisi yang telah membimbing dan banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Ucapan terima kasih yang tiada hingga kepada abeh, mamah, suami, serta seluruh keluarga, atas segala do a dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 009 Miftahul Jannah
7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 0 Oktober 98 dari ayah Sobur dan ibu Aminah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Tahun 000 penulis lulus MAN 8 jurusan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan dan selesai pada tahun 004. Tahun 005 penulis menjadi staf pengajar di MAN 8 Jakarta. Pada tahun 007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
8 @ Hak Cipta Milik IPB, tahun 009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang. Dilarang mengutip sebagian seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa izin IPB
9 Judul Tesis Nama NIM : Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik : Miftahul Jannah : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Jaharuddin, M.S. Ketua Drs. Siswandi, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 4 Agustus 009 Tanggal Lulus:
10 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Ali Kusnanto, M. Si.
11 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... x I PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Tujuan Penelitian... II LANDASAN TEORI. Persamaan Dasar Syarat Batas Penyederhanaan Model... 5 III PEMBAHASAN DAN HASIL 3. Suhu dan Jari-jari turbulen Proses Sebelum Melalui Pendinginan Proses Dalam Keadaan Pendinginan Difusi Dopant... 8 IV KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesimpulan Saran... DAFTAR PUSTAKA... 3 LAMPIRAN... 4
12 DAFTAR GAMBAR Halaman. Skema Pemanasan dan Pendinginan Grafik fungsi θ dan s untuk H f = 00, α μ = 30, dan D r = Grafik fungsi θ dan s dengan A =,7 dan H c = Grafik fungsi θ dan s dengan A = 0,78 dan H c = Grafik Konsentrasi Dopant dengan α D = 0, = 0,5, P = , H f = 350, α μ = 40, dan D r =
13 DAFTAR LAMPIRAN Halaman. Penurunan Persamaan (.4) (.8) Penurunan Persamaan (3.) (3.5) Penurunan Persamaan (3.6) (3.7) Penurunan Persamaan (3.8) dan (3.9) Penurunan Persamaan (3.4) dan (3.5) Penurunan Persamaan (3.8) dan (3.9) Penurunan Persamaan (3.33) dan (3.34) Penurunan Persamaan (3.35) (3.39) Penurunan Persamaan (3.4) dan (3.4) Penurunan Persamaan (3.44) (3.46) Penurunan Persamaan (3.49) (3.5) Penurunan Persamaan (3.56) Penurunan Persamaan (3.60) Penurunan Persamaan (3.63) Penurunan Persamaan (3.65) dan (3.66) Nilai Parameter Fisis... 65
14 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan diluarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka terasselubungnya. Serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat cystoscope dipakai oleh ahli bedah untuk mengamati dan melakukan operasi dengan kendali jarak jauh. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Serat optik tersebut terbuat dari kaca yang dilelehkan kemudian direntangkan dengan menggunakan penarik mekanis. Kaca setengah jadi tersebut dibuat sebuah komponen peranti sehingga terjadi perbedaan antara indeks bias di bagian dalam inti dengan bagian lapis terluarnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di bagian dalam inti [3]. Umumnya material penghalus yang digunakan adalah germanium dioksida (GeO ), fosfor pentoksida (P O 5 ), dan boron (B) yang tersedia dalam bentuk silika (SiO ). Selama perentangan, pemotongan, dan penggabungan, indeks bias tersebut dapat berubah dikarenakan adanya material penghalus tersebut [6,9]. Perubahan konsentrasi material penghalus tersebut diakibatkan oleh pemotongan dan penggabungan dari serat optik. Proses perubahan konsentrasi akan menjadi lebih rumit karena adanya penyatuan material penghalus tersebut. Penyatuan material tersebut tidak hanya bergantung pada suhu, akan tetapi banyak faktor lainnya termasuk proses mekanisnya. Beberapa peneliti telah melakukan suatu simulasi yang mengkhususkan pada pembentukan serat optik [4]. Dalam penelitiannya tersebut, suatu perentangan yang relatif perlahan, diperlihatkan bahwa semakin besar kecepatan perentangan tersebut, dan semakin rendahnya suhu material penghalus, maka akan mengurangi penyatuan material penghalus tersebut. Pada literatur lain, Yan dan
15 Pitchumani [9] melakukan simulasi numerik pada proses pembentukan, termasuk difusi dopant. Mereka menyederhanakan perhitungan dengan menggunakan batas permukaan fiber yang bebas. Penelitian mereka merupakan perluasan dari kajian numerik pada proses pembentukan yang diamati oleh Lee dan Jaluria [5]. Dalam tesis ini, akan dikaji model matematika untuk perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. Berdasarkan asumsi gelombang panjang, akan diturunkan persamaan difusi yang bergantung pada kecepatan, jari-jari turbulen, suhu dan konsentrasi dopant. Bentuk sederhana untuk koefisien dari persamaan akan diperhatikan untuk mengetahui kebergantungan semua parameter yang terlibat dalam proses difusi.. Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:. Mengkaji model matematika untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik.. Menentukan penyelesaian dari model matematika bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen, serta konsentrasi dopant yang telah diperoleh dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. 3. Menentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. 4. Melakukan simulasi numerik untuk mengetahui perilaku penyelesaian dari perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan bantuan software Maple.
16 3 II LANDASAN TEORI. Persamaan Dasar Persamaan dasar fluida yang digunakan dalam penelitian ini, diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant seperti dalam [9,0]. Misalkan gerak partikel fluida dinyatakan dalam dua dimensi dengan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan arah vertikal berturut-turut adalah u dan v. Fluida mempunyai rapat massa ρ(z,r) dengan z dan r, masing-masing menyatakan jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber dan jari-jari turbulen. Berdasarkan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant diperoleh persamaan dasar sebagai berikut: ρu z (ρu ) z (ρuv) z + r + r + r rρv (rρuv) (rρv ) (ρc p ut) + (rρc p vt) = z r z uc z + r rvc = 0 (.) = z = p z + z µ u z + r = p + z µ u + v z k T z c D z + r + r + r rk T u rµ + v z rµ v. µv r (.3) (.4) rd c, (.5) dengan p tekanan, T suhu, c konsentrasi dopant, µ koefisien kekentalan, c p konstanta pemanasan, k = k T + k R konduktivitas, dan D variabel difusi dari dopant [9].
17 4. Syarat Batas Tinjau domain fluida yang disajikan dalam Gambar. u 0 u d Pemanasan Pendinginan z = 0 z = L f z = L Gambar. Skema Pemanasan dan Pendinginan Syarat batas diberikan pada furnace (di z = 0 dan z = L) dan permukaan fiber (di r = R(z)). Syarat batas pada furnace adalah r = R 0, u = u 0, v = 0, T = T o, c = c o (r) pada z = 0 (.6) dan u = u d pada z = L. (.7) Syarat batas pada permukaan fiber di r = R(z) mengikuti syarat batas dinamik dan kinematik dari fluida dengan bentuk umum sebagai berikut: n T ς n = Гk, t T ς t = 0, v = R u, di r = R(z) (.8) dengan σ tegangan tensor, n vektor normal, t vektor ortogonal terhadap n, k lengkungan rata-rata, dan Г koefisien tegangan permukaan. Syarat batas untuk suhu di permukaan fiber ditentukan berdasarkan Hukum Pendinginan Newton [0] yang diberikan oleh: k T n = q h f T f T, 0 z < L f, (.9) h c T T c, L f z L, dengan T f suhu pada furnace, T c suhu sekitarnya, h f koefisien penghantar panas, dan h c koefisien penghantar dingin.
18 5 Syarat batas untuk konsentrasi dopant pada permukaan fiber [8,] di r = R(z) adalah dan D c n c = 0, di r = R(z) (.0) = 0 di r = 0 (.) Selanjutnya, koefisien kekentalan didasarkan pada rumus Arrhenius [] yang dinyatakan oleh μ T = μ 0 exp ( G μ T T 0 ), (.) dengan µ 0 kekentalan dari T 0 dan G µ konstan. Kemudian koefisien difusi untuk dopant Arrhenuis [7,] yang dinyatakan oleh didasarkan pada rumus D T = D exp ( G D T ), (.3) dengan G D penjumlahan antara D koefisien difusi pada suhu tinggi dan suatu konstanta..3 Penyederhanaan Model Pada bagian ini akan diawali dengan menyederhanakan model untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik fiber. Persamaan dasar (.) - (.5) dinondimensionalkan dengan menggunakan pengskalaan berikut: z = z L, r = r, R = R, u = u, v = Lv, p = R 0 R 0 R 0 u 0 R 0 u 0 μ 0 u 0 L μ = μ μ 0, θ = T T 0 T f T 0, C 0 = c 0 c 0 (0), D = D D. Satuan dari variabel-variabel fisis yang muncul dalam pembahasan di atas diberikan dalam Lampiran 6. Jika pengskalaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan dasar (.) sampai (.5), maka diperoleh z ρu + r r ρv = 0, (.4) p
19 6 R e λl f z α μ α D H f ρu z z + r ρuv + r r ρuv = ρ p 3δ z + ρ 3δ r r ρv + ρ 3 r μ u z = Γ p l + L 3δ3 f z u μ z + ρ 3 r u μ r μ + l z v z v μ z, (.5) v + l r μ L f μ v r (.6) u θ + + r r v θ + = π B i δ z z θ + + α μ α D δ r r θ +, (.7) P z uc + r r vc = δ z D c z + r r D c (.8) dengan syarat batas pada furnace adalah dan r =, u =, v = 0, T = T 0, c = c 0 (r) pada z = 0 (.9) u = D r pada z =. (.0) Penurunan persamaan (.4) (.8) dapat dilihat pada Lampiran. Beberapa notasi yang muncul dalam persamaan (.4) (.0) diberikan sebagai berikut: D r = u d u 0, δ = R 0 L, R e = ρu 0L ΓL, λ =, 3μ 0 3μ 0 u 0 R 0 α μ = G μ T f T 0, α D = G D, = T 0, P = u 0R 0 T f T 0 T f T 0 LD H f = πh fl ρc p u 0 R 0, H c = πh cl ρc p u 0 R 0, l = L f L, B i = h fr 0 k.
20 7 Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan gelombang panjang δ dan asumsi λ, R e dan B i, pada persamaan (.4) (.8) dengan menggunakan syarat batas (.9) dan (.0), kemudian membuang tanda topinya sebagai penyederhanaan penulisan, maka diperoleh Z s z us = 0, (.) μs u z = 0, (.) u θ z = H f θ H l z H c θh(z l) s /, (.3) P u c z r u c z = r rd c, (.4) dengan syarat batas dimana s =, u =, θ = 0 di z = 0, (.5) u = D r di z =, (.6) c = c 0 di z = 0, (.7) c r = 0 di r = 0 dan r = s, (.8) s = R, μ = e α μ θ, D = e α D θ+. (.9) Persamaan (.) - (.3) dengan syarat batas (.5) dan (.6) merupakan model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen. Persamaan (.4) dengan syarat batas (.7) dan (.8) merupakan model persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant. Selanjutnya persamaan (.) - (.4) dengan syarat batas (.5) - (.8) akan disederhanakan menjadi suatu sistem persamaan yang mudah ditentukan penyelesaiannya.
21 8 (.6) adalah dengan F = Penyelesaian persamaan (.) dan (.) dengan syarat batas (.5) dan su = dan μsu z = F (.30) ln D r 0 μ dz merupakan gaya efektif yang ditentukan dengan menggunakan syarat batas pada z =. Jika persamaan (.30) digunakan untuk mengeliminasi u dan u z yang muncul, maka dari persamaan (.) dan (.), dan syarat batas (.5) dan (.6) diperoleh masalah nilai batas untuk s dan θ berikut: s z = Fs μ, (.3) θ z = s / H f θ H l z H c θh z l, (.3) dengan syarat batas dan s =, θ = 0 di z = 0 s = D r di z =. (.33) Selanjutnya untuk menyederhanakan persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant, didefinisikan variabel berikut: z φ(z) Dθ z dz 0 dan transformasi koordinat berikut Besaran ξ = r R, dan φ φ(), (.34) φ(z) τ = φ. (.35) D = φ P (.36) merupakan koefisien difusi dan P bilangan peclet untuk dopant. Dengan demikian masalah nilai batas untuk konsentrasi dopant diberikan sebagai berikut: c τ = D ξ ξ dengan syarat batas dan ξ c ξ, (.37) c = c 0 ξ di τ = 0 c ξ = 0 di ξ = 0 dan ξ =. (.38)
22 9 Solusi untuk konsentrasi dopant [] yang diberikan pada persamaan (.37) dengan syarat batas (.38) adalah sebagai berikut c τ, ξ = π G τ, ξ; η c 0 η ηdη, (.39) 0 dengan G fungsi Green yang diberikan sebagai berikut G τ, ξ; η = 4πDτ exp ξ + η 4Dτ I 0 ξη Dτ dimana I 0 adalah fungsi Bessel jenis pertama [5]. (.40)
23 0 III PEMBAHASAN DAN HASIL Dalam bagian ini akan dibahas perilaku penyelesaian dari model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen selama pembentukan serat optik berdasarkan alur yang diberikan dalam pustaka []. Selain itu, juga akan dibahas perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. 3. Suhu dan Jari-jari turbulen Untuk menentukan solusi bagi suhu θ dan jari-jari turbulen s pada pembentukan serat optik, maka ditinjau dua proses, yaitu proses sebelum melalui pendinginan (l = ) dan proses dalam keadaan pendinginan (l < ). 3.. Proses Sebelum Melalui Pendinginan (l = ) Persamaan (.3) dan (.3) dapat ditulis menjadi s z = se α μ ( θ), (3.) θ z = H f s θ, (3.) dengan F = Fe α μ ln D r. Berdasarkan persamaan (3.) dan (3.) diperoleh ds dθ = H f se αμ ( θ) θ, (3.3) sedangkan syarat batas (.33) memberikan s 0 = dan θ 0 = 0. (3.4) Jika persamaan (3.3) diintegralkan terhadap θ dan syarat batas (3.4) digunakan, maka diperoleh s = H f E α μ ( θ) E α μ (3.5) dengan E z = z e x x dx.
24 Fungsi E z memenuhi e z E z ~ z z, dan E z ~ ln z γ z 0. Penurunan persamaan (3.) (3.5) dapat dilihat pada Lampiran. Selanjutnya, jika persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.), maka diperoleh θ z = H f H f E α μ θ E α μ ( θ). (3.6) Jika α μ, maka E [α μ ] kecil, sehingga E α μ θ juga kecil, jika θ α μ. Jadi dari persamaan (3.6) diperoleh θ z = H f θ. (3.7) Jika persamaan (3.7) diintegralkan tarhadap z, maka diperoleh θ = e H fz. (3.8) Apabila z meningkat ke untuk H f, maka θ 0, sehingga untuk z H f, diperoleh θ z = H f + H f ln α μ θ + γ ( θ). (3.9) Untuk menentukan penyelesaian θ, maka diperkenalkan variabel θ sebagai berikut α μ θ = e H f F ln Dr θ. Dengan variabel baru ini, maka persamaan (3.9) menjadi θ z = ln θ + γ θ. (3.0) Jika persamaan (3.0) diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln θ = γ + C e z, (3.) dengan C adalah konstanta pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Karena untuk z = 0, diperoleh θ = 0 dari persamaan (3.8), maka dari persamaan (3.) diperoleh C = γ + ln α μ + H f. (3.)
25 Jika nilai C pada persamaan (3.) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.), maka diperoleh θ = exp γ + γ + ln α μ + H f Kembalikan ke variabel awal, diperoleh e F ln Dr z. (3.3) θ = exp γ + ln α μ + H f e F ln Dr z. (3.4) Selanjutnya fungsi s diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.5), dengan θ memenuhi persamaan (3.4). Jika z = disubstitusikan ke dalam persamaan (3.4) dan (3.5) dan menggunakan syarat s = D r, maka diperoleh nilai F berikut F = + ln D r ln + F(ln α μ +γ) ln D r H f, (3.5) asalkan α μ. Secara analitik nilai F sulit ditentukan dari persamaan (3.5), karena F dinyatakan dalam persamaan implisit. Tetapi karena (ln α μ +γ) ln D r H f ~0, (3.6) maka nilai F dapat dihampiri oleh F = + ln α μ +γ H f. (3.7) Penurunan persamaan (3.6) (3.7) dapat dilihat pada Lampiran 3. Dengan demikian fungsi s dapat ditentukan berdasarkan persamaan (3.5) dengan F diberikan oleh persamaan (3.7). Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi θ dan s, masingmasing berdasarkan persamaan (3.4) dan (3.5). Untuk itu, dimisalkan H f = 00, α μ = 30, dan D r = 0 4, sedangkan F =, diperoleh berdasarkan persamaan (3.7)
26 3 s Gambar. Grafik fungsi θ dan s untuk H f = 00, α μ = 30, dan D r = 0 4 Berdasarkan Gambar diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai θ semakin besar dan nilai s semakin mengecil. 3.. Proses Dalam Keadaan Pendinginan (l < ) Kasus ini terjadi pada z > l, persamaan (.3) dan (.3) dapat ditulis menjadi s z = e α μ (θ ) s, (3.8) θ z = H c s θ, (3.9) dengan syarat batas s l = s l dan θ l = θ l. (3.0) Penurunan persamaan (3.8) dan (3.9) dapat dilihat pada Lampiran 4. Untuk menentukan penyelesaian masalah nilai batas (3.8) (3.0), maka diperkenalkan variabel berikut: θ = α μ (θ l θ), (3.) s = s s l, (3.) Y = e α μ (θ l ) z l. (3.3) Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.8) (3.0) diperoleh masalah nilai batas berikut: s Y = s e θ, (3.4) θ Y = A s θ (3.5)
27 4 dan syarat batas dimana θ 0 = 0 dan s 0 = (3.6) A = s l H c α μ θ l e α μ ( θ l ) dan = α μ θ l, (3.7) A adalah konstanta laju penurunan suhu. Penurunan persamaan (3.4) dan (3.5) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dari persamaan (3.4) dan (3.5), diperoleh dθ ds = A θ eθ. (3.8) Jika persamaan (3.8) diintegralkan terhadap s dan syarat batas (3.6) digunakan, maka diperoleh Karena s = + A θ s = + A e θ θ A θ 0 e w dw w, maka persamaan (3.9) dapat dihampiri oleh e θ. (3.9) θ. (3.30) Penurunan persamaan (3.8) dan (3.9) dapat dilihat pada Lampiran 6. Nilai A akan mempengaruhi solusi s. Dalam hal ini akan ditinjau nilai A dalam 3 kasus yang berbeda, yaitu: A =, A <, dan A >. Kasus. A =. Berdasarkan persamaan (3.30) dan (3.5), untuk diperoleh hampiran untuk s dan θ Y masing-masing sebagai berikut: s = e θ (3.3) θ Y = e θ. (3.3) Jika persamaan (3.3) diintegralkan terhadap Y dengan syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka diperoleh θ = ln Y +. (3.33) Selanjutnya, jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.3), maka diperoleh s = Y+. (3.34) Penurunan persamaan (3.33) dan (3.34) dapat dilihat pada Lampiran 7.
28 5 Kasus. A <. Karena A < dan suhu terbatas di bawah oleh A =, maka dengan menggunakan kasus di atas diperoleh bahwa θ maks = ln e α μ (θ l ) l +. (3.35) Karena θ maks berorde satu bila ln ln D r, maka θ juga berorde satu θ = O, sehingga dari persamaan (3.30) diperoleh hampiran sebagai berikut s = + A e θ. (3.36) Hal yang sama, diperoleh pula hampiran θ Y sebagai berikut θ Y = A s, sehingga menurut persamaan (3.36) diperoleh θ Y = e θ + A. (3.37) Jika persamaan (3.37) diintegralkan terhadap Y dan syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka diperoleh θ = ln Ae A Y. (3.38) A Jika persamaan (3.36) disubstitusikan ke dalam lim A s, maka diperoleh s = A e A A Y. (3.39) Penurunan persamaan (3.35) (3.39) dapat dilihat pada Lampiran 8. Kasus 3. A >. Pada kasus ini, ditinjau dua kemungkinan, yaitu θ = O dan θ besar. Jika θ = O, maka hasil yang diperoleh sama dengan kasus A <, sehingga diperoleh persamaan (3.38) dan (3.39). Selanjutnya θ besar, misalkan θ, maka berdasarkan persamaan (3.30) dengan mengabaikan bentuk eksponensial, diperoleh hampiran s berikut s =. (3.40) A Jika persamaan (3.40) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.5), maka diperoleh θ Y = A θ. (3.4)
29 6 Selanjutnya, jika persamaan (3.4) diintegralkan terhadap Y, maka diperoleh θ = C A Y e dimana C adalah konstan pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.40) (3.4) dapat dilihat pada Lampiran 9. (3.4) Karena θ besar, maka syarat batas θ 0 = 0 tidak bisa digunakan. Oleh karena itu, untuk menentukan C, dibutuhkan bentuk θ yang diberikan oleh persamaan (3.38) dan θ besar oleh (3.4). Untuk θ 0 dari persamaan (3.4), diperoleh θ~ C A Y. (3.43) Untuk θ besar, dipilih Y 0, maka persamaan (3.38) memberikan θ~ A Y + ln A A. (3.44) Bandingkan persamaan (3.43) dan (3.44), diperoleh C = ln A A. (3.45) Dengan demikian persamaan (3.4) menjadi θ = e A Y + ln A A e A Y. (3.46) Jika A dan C ~, maka θ dapat dihampiri oleh θ = e A Y. (3.47) Penurunan persamaan (3.44) (3.46) dapat dilihat pada Lampiran 0. Penyelesaian θ ditentukan dengan cara mengkombinasikan nilai θ kecil dan θ besar, yaitu θ = ln Ae A Y A + e A Y + ln A A A Y e A Y ln A A. (3.48) Berikut ini akan ditentukan bentuk s berdasarkan solusi untuk s yang diberikan oleh persamaan (3.30). Dengan menggunakan variabel awal θ = θ l α μ θ, maka untuk A diperoleh θ = θ l ln Ae A β z l α μ A (3.49) dan untuk A >, diperoleh
30 7 θ = θ l ln Ae A β z l θ α μ A l α μ ln A A A β e αμ θ l z l + α μ A β z l, (3.50) dengan β = e α μ (θ l ). Dengan demikian solusi untuk s diperoleh dari persamaan (3.30) adalah s = s l A + θ l e α μ θ θ l Jika syarat batas s = D r Aθ D r = s l A + θ l e α μ θ θ l Aθ. (3.5) dan z = digunakan, maka diperoleh Penurunan persamaan (3.49) (3.5) dapat dilihat pada Lampiran. (3.5) Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi θ dan s. Persamaan (3.50) adalah solusi θ untuk A >, dan persamaan (3.5) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan H f = 350, D r = 0 4, α μ = 40, l = 0,, A =,7 dan H c = 350, sedangkan F =, diperoleh berdasarkan persamaan (3.7) θ s Gambar 3. Grafik fungsi θ dan s untuk A =,7 dan H c = 350 Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai θ dan s semakin mengecil. Persamaan (3.49) adalah solusi θ untuk A, dan persamaan (3.5) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan H f = 350, D r = 0 4, α μ = 40, l = 0,, A = 0,78 dan H c =, sedangkan F =, diperoleh berdasarkan persamaan (3.7).
31 8 θ s Gambar 4. Grafik fungsi θ dan s untuk A = 0,78 dan H c = Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai θ dan s semakin mengecil. 3. Difusi Dopant dalam bentuk Berikut ini akan ditentukan nilai D. Untuk itu tuliskan persamaan (3.4) θ = e C e F ln Dr z, (3.53) dengan C diberikan oleh (3.). Selanjutnya, diperkenalkan variabel ζ sebagai berikut ζ = e dan dinotasikan z (3.54) φ ζ φ z. (3.55) Jika persamaan (3.54) dan (3.55) diturunkan terhadap z, maka diperoleh dan dζ = ζ dz φζ = α D e + e C ζ ζ φ 0 = 0, (3.56) Penurunan persamaan (3.56) dapat dilihat pada Lampiran.
32 9 Karena C, maka persamaan (3.56) akan ditinjau dalam dua kasus, yaitu ζ~c dan ζ~. Kasus. ζ~c. Pada kasus ini, diperkenalkan variabel baru ζ = C ζ, sehingga persamaan (3.56) menjadi φ ζ i = e α D + e ζ ζ, φ i 0 = 0 (3.57) dengan solusi φ dinotasikan dengan φ i yang diberikan sebagai berikut: φ i ζ = C α D E x e + E x α D + x= x= α D α D + e ζ. (3.58) Kasus. ζ~. Pada kasus ini, persamaan (3.56) dapat menjadi solusi outer dinotasikan dengan φ 0 yang memenuhi φ ζ 0 = e α D + ζ, (3.59) dengan solusi φ dinotasikan dengan φ 0 yang diberikan sebagai berikut φ 0 ζ = e α D + ln ζ + C 3 (3.60) dengan C 3 adalah konstanta pengintegralan yang akan ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.60) dapat dilihat pada Lampiran 3. Solusi φ i dan φ 0 harus memenuhi lim ζ φ i ζ = lim ζ 0 φ 0 ζ. (3.6) Untuk ζ 0, diperoleh φ 0 ζ ~ C 3 + e α D +θ Selanjutnya, untuk z yang kecil diperoleh E z ~ γ ln z. ζ. (3.6)
33 0 Berdasarkan persamaan (3.58) diperoleh bahwa untuk ζ, φ i ζ C E α D + E α D α D e + E γ ln α D + ln + + e α D + E α D + + e α D + Penurunan persamaan (3.63) dapat dilihat pada Lampiran 4. Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.63) diperoleh ζ C. (3.63) C 3 = C E α D + E α D α D e + E γ ln α D + ln + + e α D + E α D + Dengan mengembalikan ke variabel awal, diperoleh. (3.64) φ 0 z = e α D + z + C 3, (3.65) Jadi dari persamaan (.3) diperoleh D = e α D + + C 3 P. (3.66) Penurunan persamaan (3.65) dan (3.66) dapat dilihat pada Lampiran 5. Berikut ini akan dijelaskan tentang koefisien difusi efektif. Berdasarkan persamaan (.36) dapat disimpulkan bahwa D pada persamaan (3.66) adalah koefisien difusi efektif untuk θ = untuk semua z. Untuk itu dimisalkan α D = 0, = 0,5, P = , H f = 350, α μ = 40, dan D r = 0 4, untuk menentukan nilai D. Kemudian persamaan (.35) dan (3.66) disubstitusikan ke persamaan (.39).
34 c Gambar 5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan α D = 0, = 0,5, P = , H f = 350, α μ = 40, dan D r = 0 4 Berdasarkan Gambar 5 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai c semakin mengecil.
35 IV KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesimpulan Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Kemudian model tersebut disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat masa yang yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, sehingga diperoleh persamaan difusi yang sederhana dan lebih mudah ditentukan solusinya. Berdasarkan persamaan difusi yang diperoleh, maka ditinjau dua proses fisis yaitu proses sebelum melalui pendingnan dan proses dalam keadaan pendingnan. Dari kedua proses tersebut diperoleh solusi untuk suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant yang diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Perilaku solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik dengan menggunakan bantuan software Maple. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil. 4. Saran Untuk menentukan persamaan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant dapat digunakan pendekatan asimtotik, sehingga dapat dengan mudah ditentukan solusinya. Pendekatan asimtotik dapat dikaji dalam sistem lain, misalkan bioteknologi.
36 3 DAFTAR PUSTAKA [] Huang H, Miura RM, Ireland WP, and Puil E Heat-induced stretching of a glass tube under tension. SIAM J. Appl. Math. 63: [] Huang H, Miura RM, and Wylie JJ. 00. Optical fiber drawing and dopant transport. html [ November 008]. [3] Izawa T Early days of VAD process. IEEE J. Selected Topics Quantum Electronics, 6:0-7. [4] Lyytikainen K, Hungtington ST, Carter ALG, McNamara P, Fleming S, Abramczyk J, Kaplin I, Schotz G Dopant diffusion during optical fiber drawing. Optical Express, : [5] Lee and Jaluria Y Effects of variable properties and viscosity dissipation during optical fiber drawing. Trans. ASME, 8: [6] Pone E, Daxhelet X, and Lacroix S Refractive index profile of fusedfiber couplers cross-section. Optical Express, : [7] Rodney B Arrhenius hukum-arrhenius equation-van t Hoff Hukum. html [5 Januari 009]. [8] Suchecka M, Borisovich A, and Serbinski W. Green s functions methods for mathematical modeling of unidirectional diffusion process in isothermal metal bonding process. html [0 Maret 009]. [9] Yan Y and Pitchumani R Numerical study on the dopant consentration and refractive index profile evolution in an optical fiber manufacturing process. Int. J. Heat Mass Transfer, 49:097-. [0] Yunus A Heat transfer a practical approach. Mc. Graw Hill companies. p [] Diffusion. p Html [6 Maret 009]. [] Persamaan bessel dan fungsi-fungsi bessel jenis pertama. rbaryans.files.wordpress.com. html [7 April 009].
37 LAMPIRAN
38 4 Lampiran Misalkan diberikan pengskalaan berikut: z = z L, r = r, R = R, u = u, v = Lv, p = R 0 R 0 R 0 u 0 R 0 u 0 μ 0 u 0 L Penurunan Persamaan (.4) μ = μ μ 0, θ = T T 0 T f T 0, C 0 = c 0 c 0 (0), D = D D. Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam persamaan (.) diperoleh bentuk berikut: z u 0 u 0 L z z ρu 0 u z z + R 0 r z z ρu L + R 0 u 0 R 0 r L ρu + u 0 L ρu + r ρu + r r r ρv = 0 r ρv = 0 R 0 r ρ R 0u 0 L r ρv = 0 v = 0 r ρv R 0 = 0 p Penurunan Persamaan (.5) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.) diperoleh bentuk berikut: z u 0 z u 0 L ρu 0 u z z + R 0 r z ρu L + R 0 u 0 R 0 r L ρu + u 0 L r R 0 r ρu 0 u R 0u 0 L r ρuv r ρuv R 0 v
39 5 u 0 L z ρu + r r ρuv Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.) diperoleh bentuk berikut: z μ 0u 0 L R 0 μ 0u 0 R 0 μ 0u 0 R 0 μ 0 u 0 L R 0 p z z + z + R 0 r p z L + z p + μ 0u 0 z L p + μ 0u 0 z L μ 0 μ z R 0 r μ 0 μ μ 0 u 0 μ + R R 0 r 0 μ 0 z z u μ z u μ z u z L L u 0 u z z r μ u 0 u + μ 0 R 0 r + μ 0u 0 R 0 r z z u 0 u + z + R 0u 0 R 0 L u 0 r μ r μ R 0 u 0 L v z L z v z R 0 u + R 0 v R 0 L z u + R 0 v R 0 L z μ 0 u 0 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z
40 6 Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.), maka diperoleh persamaan berikut: u 0 L z ρu + r r ρuv = μ 0 u 0 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z u 0 L z ρu + r r ρuv = μ 0 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z ρu 0 L 3μ 0 z ρu + r r ρuv = ρl 3 p + R 0 z L z u μ z + R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z R e z ρu + r r ρuv = ρl p + ρ 3R 0 z 3 z u μ z + ρl 3R 0 r r μ u + R 0 v R 0 L z R e z ρu + r r ρuv = ρ 3δ p z + ρ 3 z u μ z + ρl 3R 0 r r μ u + ρρ 3 r r μ v z
41 7 R e z ρu + r r ρuv = ρ 3δ p z + ρ 3 + ρ 3 r r μ v z z u μ z + ρ 3δ r r μ u Penurunan Persamaan (.6) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.3) diperoleh bentuk berikut: z u 0 R 0 L u 0 R 0 L ρu 0 u R 0u 0 L z z z v z + R 0 r ρuv L + R 0 r ρuv + u 0 R 0 L r R 0 3 u 0 R 0 r ρ R 0 u 0 L L r ρv R 0 r ρv v u 0 R 0 L z ρuv + r r ρv Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.3) diperoleh bentuk berikut: μ 0 u 0 L R 0 p + z + R 0 r μ 0u 0 L p + R 0 R 0 z + R 0 r μ 0 μ μ 0 u 0 μ u 0 u + R 0 u 0 z L v z z R 0 r μ 0 μ R 0 u 0 L v u + R 0 v R 0 L z R 0 u 0 μ 0 L L z z μ R 0 u 0 0μ L v R 0 r v r μ μ 0u 0 R 0 μ v R 0 R 0 R 0 r
42 8 μ 0u 0 L p 3 + μ 0u 0 R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + μ 0u 0 R 0 L r v r μ μ 0u 0 R 0 μ v r μ 0 u 0 L p 3 + R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.3), maka diperoleh persamaan berikut: u 0 R 0 L z ρuv + r r ρv = μ 0 u 0 L p 3 + R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r ΓL μ 0 u 0 R 0 z ρuv + r r ρv = ΓL3 3R L p R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r λ z ρuv + r r ρv = ΓL 3δ L p 3 + R 0 L z μ u + R 0 v R 0 L z + R 0 L r v r μ R 0 μ v r
43 9 λ z ρuv + r r ρv = δ 3 Γ p + Γ 3L 3 z Γ μ v 3 r u μ + Γ 3L z v μ z + Γ 3L r v r μ λl f z ρuv + r r ρv = Γ p l + L 3δ3 f z L f μ v r u μ + l z v μ z + l r v r μ Penurunan persamaan (.7) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.4) diperoleh bentuk berikut: z z L z ρc p u 0 u T f T 0 θ + T 0 z z + R 0 r R 0 r ρc p R 0 u 0 L ρc p u 0 u T f T 0 θ + ρc p u 0 ut 0 L + R 0 r R 0 u 0 L ρc p u 0 u T f T 0 θ + ρc p u 0 ut 0 + r v T f T 0 θ + T 0 r ρc p v T f T 0 θ + R 0 u 0 L T f T 0 ρc p u 0 r vθ + T 0 ρc p u 0 r vt 0 r ρc p vt 0 R 0
44 30 Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.4) diperoleh bentuk berikut: z k z T f T 0 θ + T 0 z z z z + R 0 r R 0 r k T f T 0 θ + T 0 L z T f T 0 k θ + T z 0 k z + R 0 r T f T 0 kr θ + T 0 kr Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.4), maka diperoleh persamaan berikut: L z ρc p u 0 u T f T 0 θ + ρc p u 0 ut 0 + r T f T 0 ρc p u 0 r vθ + T 0 ρc p u 0 r vt 0 = L z T f T 0 k θ + T z 0 k z + R 0 r T f T 0 kr θ + T 0 kr L z ρc p u 0 uθ + T 0 T f T 0 ρc pu 0 u + r ρc p u 0 r vθ + T 0 T f T 0 ρc pu 0 r vt 0 = L z k z θ + T 0 T f T 0 k z + R 0 r kr θ + T 0 T f T kr 0
45 3 L z ρc p u 0 R 0 πh f L H f z α μ α D H f ρc p u 0 uθ + ρc p u 0 u + r z = L z uθ + u + r = R 0k πh f L z uθ + u + r z k θ + k z z k = πh f L δ z u θ + + r ρc p u 0 r vθ + ρc p u 0 r vt 0 r vθ + r v θ z + z r vθ + r v θ z + z r v θ + + R 0 r + R 0k πh f R 0 r + π B i r kr θ + kr θ r θ r + r + r = π B i δ z z θ + + α μ α D δ r r θ + Penurunan persamaan (.8) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (.5) diperoleh bentuk berikut: z u 0 c 0 0 L u 0 uc 0 0 c z z z + R 0 r uc + u 0c 0 0 L r R 0 u 0 R 0 r L vc 0 0 c r vc
46 3 Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (.5) diperoleh bentuk berikut: z D c 0 0 L D D z c z 0 0 c z z D c z z z + R 0 r + D c 0 0 R 0 r R 0 r D D r D c c 0 0 c Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (.5), maka diperoleh persamaan berikut: u 0 c 0 0 L u 0 L z u 0 R 0 LD P z z uc + r z uc + r uc + u 0c 0 0 L = D c 0 0 L uc + r r vc r vc r z r vc D c z = D L z r vc = R 0 = δ z L + D c 0 0 R 0 D c z z D c z r + D R 0 r D c z + r + r r D c r D c r D c r D c
47 33 Lampiran Penurunan persamaan (3.) Tinjau persamaan (.3) berikut: s z = F s μ. Karena μ = e α μ θ, maka persamaan (.3) menjadi s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ e α μ e α μ s z = F s e α μ e α μ ( θ) s z = F eα μ ln D r ln D r s e α μ ( θ) s z = s e α μ ( θ). Penurunan persamaan (3.) Tinjau persamaan (.3) berikut θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ], θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ] Karena l =, maka H c = 0 sehingga diperoleh θ z = s [ H f θ. 0. θ. ] θ z = H f s θ.
48 34 Penurunan persamaan (3.3) Karena s z θ z = ds dz dθ dz = ds dθ, maka dengan menggunakan persamaan (3.) dan (3.) diperoleh ds dθ = s e αμ ( θ) H f s θ ds dθ = H f s e αμ θ ( θ) Penurunan persamaan (3.5) Tinjau persamaan (3.3) berikut ds dθ = H f ds s = H f s e αμ θ ( θ) e αμ θ θ dθ Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap θ, maka diperoleh ds s = H f s = H f e αμ θ θ e x θ dθ dx α μ Selanjutnya misalkan x = α μ θ, maka dx = α μ dθ sehingga diperoleh s = H f e x x dx s = H f x e x + c
49 35 4s = H f x e x + c 4s = H f (α μ θ ) e α μ θ + c s θ = H f α μ θ e α μ θ + c Jika syarat batas s (0) = digunakan, maka memberikan sehingga s 0 = H f α μ e α μ + c c = + H f α μ e α μ = s = H f α μ θ e α μ θ + + H f α μ e α μ s = H f α μ θ e α μ θ H f α μ e α μ s = e αμ θ H f α μ θ d α μ θ e α μ α μ d α μ
50 36 s = e x H f x α μ θ dx s = H f E α μ θ E α μ α μ e x x dx dengan E z = z e x x dx
51 37 Lampiran 3 Penurunan persamaan (3.6) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.) berikut diperoleh θ z = H f s θ θ z = H f H f E α μ θ E α μ θ Penurunan persamaan (3.8) Tinjau persamaan (3.7) berikut θ z = H f θ dθ dz = H f θ dθ θ = H f dz Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln θ = H f z ln θ = H f z θ = e H f z θ = e H f z Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (3.6) berikut θ z = H f H f E α μ θ E α μ θ Karena E z ~ ln z γ, maka persamaan (3.6) menjadi θ z = H f H f ln α μ θ γ ( ln α μ γ) θ
52 38 θ z = H f + H f ln α μ θ + γ ln α μ γ θ θ z = H f + H f ln α μ θ + γ θ Penurunan persamaan (3.0) Karena α μ θ = e H f F ln Dr θ, maka persamaan (3.9) menjadi α μ θ = α μ e H f θ θ = e H f θ α μ Jika persamaan di atas diturunkan terhadap z pada kedua ruas, maka diperoleh H f e α μ θ z = θ z Jika persamaan (3.9) digunakan, maka diperoleh e H f α μ θ z = H f + H f ln α μ θ + γ θ H f e α μ H f θ z = H f + ln e θ + γ H f e H f α μ θ θ z = H f θ z = H f H f + ln e θ + γ θ H f H f + ln e + ln θ + γ θ H f
53 39 θ z = H f θ z = H f + H f H f + ln θ + γ θ + H f ln θ + γ θ θ z = H f H f ln θ + γ θ θ z = ( ln θ + γ)θ Penurunan persamaan (3.) Tinjau persamaan (3.0) berikut dθ dz = ( ln θ + γ)θ dθ ( ln θ + γ)θ = dz Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln ln θ + γ = ( z + C ) ln θ + γ = C e z ln θ = γ + C e z
54 40 Penurunan persamaan (3.) Dengan mensubstitusikan z = 0 ke dalam persamaan (3.8) berikut θ = e H f z, maka diperoleh θ = 0 sehingga persamaan berikut α μ θ = e H f F ln Dr θ memberikan α μ 0 = e H f θ α μ = e H f θ H f θ = ef ln Dr α μ. Berdasarkan bentuk ln θ = γ + C e maka untuk z = 0, diperoleh z, ln θ = γ + C ln H f e α μ = γ + C. Jadi bentuk C diperoleh berikut: C = γ + ln e H f α μ C = γ + ln α μ + ln e H f H f C = γ + ln α μ +
55 4 Penurunan persamaan (3.3) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.) ke dalam persamaan (3.) berikut diperoleh ln θ = γ + C e z θ = e γ + C e z θ = e γ + γ+ln α μ + H f e z Penurunan persamaan (3.4) Tinjau persamaan (3.3) berikut α μ θ = e H f θ θ = α μ e H f θ θ = α μ e H f θ Kembalikan ke variabel awal, diperoleh θ = α μ e H f e γ + γ+ln α H f μ + e z θ = α μ e H f e γ+ln α H f μ + e z e γ θ = e γ+ln α μ + α μ H f e ze γ+ H f θ = e ln α μ e α μ z e γ+ H f e ze γ+ H f θ = e ln α μ e ln α μ e z e γ+ H f e z θ = e ln α μ e ln α μ e z e γ+ H f F ln Dr e z
56 4 θ = e ln α μ e F ln Dr z e γ+ H f e z θ = e γ+ln α μ + H f e z Penurunan persamaan (3.5) Dengan mensubstitusikan z = ke dalam persamaan (3.4) diperoleh θ = e γ+ln α μ + H f F ln Dr e Substitusikan persamaan (3.4) ke dalam persamaan berikut diperoleh E α μ θ = ln α μ θ γ E α μ θ = ln α μ e γ+ln α μ + H f e z γ E α μ θ = ln α μ e γ+ln α μ + H f e z γ E α μ θ = ln α μ + ln e γ+ln α μ + H f e z γ E α μ θ = ln α μ γ + γ + ln α μ + Karena E α μ = e α μ sehingga persamaan (3.4) berikut menjadi H f α μ, untuk α μ, maka E α μ, s = H f E α μ θ E α μ s = H f ln α μ γ + γ + ln α μ + H f Dengan menggunakan syarat batas s = D r diperoleh e z e z H f ln α μ γ + γ + ln α μ + H f e = D r
57 43 H f H f γ + ln α μ + H f e = D r + F ln α μ + γ ln D r e = D H r f + F ln α μ + γ ln D r e = D H r f ln + F ln α μ + γ ln D r e = ln D H r f ln + F ln α μ + γ ln D r + ln e = ln D H r f ln + F ln α μ + γ ln D r H f = ln D r = ln D r + ln + F ln α μ + γ ln D r H f Jadi bentuk F diperoleh berikut: F = + ln D r + ln + F ln α μ + γ ln D r H f Penurunan persamaan (3.7) Diketahui bahwa Misal ε = ln α μ + γ ln D r H f ~0 ln α μ +γ ln D r H f f ε = ln + ε F, dengan ε. Dengan menggunakan deret Taylor dari fungsi f di sekitar ε = 0, diperoleh f ε f 0 ε f(ε) Fε. Jadi persamaan (3.5) berikut F = + ln D r dapat dinyatakan berikut F ln α μ + γ ln D r H f
58 44 ln D r F = F = ln D r ln α μ + γ H f ln α μ + γ ln D r H f F = ln α μ + γ ln D r H f Karena β = ln α μ +γ H f diperoleh F = + β F = + ln α μ + γ H f. cukup kecil, maka dengan deret Taylor dari F terhadap β
59 45 Lampiran 4 Penurunan persamaan (3.8) Dengan menggunakan persamaan (.3) berikut F s s z = μ dan μ = e α μ θ, diperoleh s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ s z = F s e α μ θ e α μ e α μ s z = F s e α μ e α μ ( θ) s z = F s e α μ e α μ θ ln D r ln D r s z = F eα μ ln D r ln D r s e α μ ( θ) s z = s e α μ ( θ) s z = e α μ (θ ) s
60 46 Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (.3) berikut θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ] θ z = s [ H f θ H l z H c θh z l ] Karena l < memberikan H f = 0, maka diperoleh θ z = s [ 0. θ. H c θ. ] θ z = H c s θ
61 47 Lampiran 5 Penurunan persamaan (3.4) Misalkan Karena θ = α μ (θ l θ), s = s s l, Y = e α μ (θ l ) s z = ds dz z l, maka diperoleh persamaan berikut sehingga e α μ (θ ) s = ds ds ds dy dy dz e α μ (θ ) s = s l s s Y e α μ (θ l ) e α μ (θ ) s = s l s s Y e α μ (θ l ) s = s l s s Y e α μ (θ l ) e α μ (θ ) s = s l s s Y e α μ (θ l θ) s Y = s s l s e α μ (θ l θ) s Y = s s l s e θ s Y = s s l s s l e θ
62 48 s Y = s s l s l s e θ s Y = s s l s l s e θ s Y = s s l e θ s Y = s e θ. Penurunan persamaan (3.5) Misakan s = s s l dan θ = α μ θ l θ, maka θ = θ l θ α μ dan s = s l s Karena θ z = dθ dz, maka diperoleh persamaan berikut sehingga H c s θ = dθ dθ dθ dy dy dz H c s θ = α μ θ Y e α μ (θ l ) θ Y = s H c α μ θ e α μ (θ l ) θ Y = s H c α μ θ e α μ ( θ l )
63 49 θ Y = s l s H c α μ θ e α μ ( θ l ) θ Y = s l s H c α μ θ l θ α μ e α μ ( θ l ) θ Y = s l s H c α μ θ l θ l α μ θ l θ e α μ ( θ l ) θ Y = s l s H c α μ θ l α μ θ l θ e α μ ( θ l ) θ Y = s l H c α μ θ l e α μ ( θ l ) s α μ θ l θ Karena A = s l H c α μ θ l e α μ ( θ l ) dan = α μ θ l, maka diperoleh θ Y = A s θ
64 50 Lampiran 6 Penurunan persamaan (3.8) Dari persamaan (3.4) dan (3.5) diperoleh dθ ds dθ ds dθ ds = A s θ s e θ = A θ e θ = A θ eθ Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (3.8) berikut ds = A θ e θ dθ Jika kedua ruas persamaan (3.8) diintegralkan terhadap s, maka diperoleh ds = A θ e θ dθ Misalkan x = θ dan y = e θ + C, maka dy = e θ dθ dan dθ = θ sehingga diperoleh dx, s θ = A θ e θ + Jika syarat batas s 0 = digunakan, maka θ e θ dθ + C s 0 = A C memberikan C = A sehingga s = A θ e θ + θ e θ dθ + A
65 5 s = + A e θ θ A e θ θ dθ s = + A e θ θ A 0 θ e w w dw
66 5 Lampiran 7 Penurunan persamaan (3.33) Tinjau persamaan (3.3) berikut θ Y = e θ e θ dθ = dy. Jika kedua ruas persamaan (3.3) diintegralkan terhadap Y, maka diperoleh θ Y = ln Y + C. Jika syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka diperoleh θ 0 = ln 0 + C memberikan C = sehingga θ = ln Y + Penurunan persamaan (3.34) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.3), diperoleh ln Y+ s = e ln Y+ s = e s = Y + s = Y +
67 53 Lampiran 8 Penurunan persamaan (3.35) Karena A < dan suhu terbatas di bawah oleh A =, maka diperoleh θ maks = ln Y + Karena Y = e α μ (θ l ) z l dan z =, diperoleh θ maks = ln e α μ (θ l ) l + Penurunan persamaan (3.37) Tinjau persamaan (3.5) berikut θ Y = A s θ Karena θ berorde satu dan, maka persamaan (3.5) menjadi θ Y = A s θ Y = A + A e θ θ Y = e θ + A
68 54 Penurunan persamaan (3.38) Tinjau persamaan (3.37) berikut dθ dy = e θ + A e θ + A dθ = dy Jika kedua ruas persamaan (3.37) diintegralkan terhadap Y, dan dimisalkan p = + A e θ, maka persamaan (3.37) menjadi A A p dp = ln p = Y + C dy A ln + A eθ = Y + C ln + A e θ = A Y + A C + A e θ = e A Y+ C sehingga e θ = C e A Y A θ Y = ln C e A Y A Jika syarat batas θ 0 = 0 digunakan, maka memberikan θ 0 = ln C A C = A sehingga diperoleh θ = ln Ae A Y A
69 55 Penurunan persamaan (3.39) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.36) ke dalam lim A s, diperoleh lim s = lim + A A A e θ lim s = + A e θ lim s = e θ A sehingga diperoleh s = e θ s = e lnae A Y A s = Ae A Y A s = s = A Ae A Y A A e A Y
70 56 Lampiran 9 Penurunan persamaan (3.4) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.5), diperoleh θ Y = A A θ θ Y = A θ Penurunan persamaan (3.4) Tinjau persamaan (3.4) berikut dθ = A θ dy Jika kedua ruas persamaan (3.4) diintegralkan terhadap Y, maka diperoleh θ dθ = A dy. Misalkan p = θ maka dθ = dp, sehingga diperoleh p dp = A dy ln p = A Y + C A Y p = C e A Y θ = C e θ = C e A Y θ = C A Y e.
71 57 Lampiran 0 Penurunan persamaan (3.44) Dengan menggunakan persamaan (3.38) berikut memberikan θ = ln Ae A Y A θ~ ln e A Y + ln θ~ A Y + ln A A A A. Penurunan persamaan (3.45) Dengan membandingkan persamaan (3.43) dan (3.44) diperoleh C A Y = A Y + ln A A C A Y = A Y + ln C = ln A A. A A Penurunan persamaan (3.46) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.45) berikut C = ln A A ke dalam persamaan (3.4), diperoleh θ = θ = ln A A e A Y e A Y + ln A A e A Y
72 58 Lampiran Penurunan persamaan (3.49) Misalkan Y = e α μ (θ l ) z l, = α μ θ l, dan β = e α μ (θ l ), maka diperoleh sehingga Y = β z l θ = θ l α μ θ θ = θ l α μ ln Ae A Y A θ = θ l α μ ln Ae A β z l A θ = θ l ln Ae A β z l. α μ A Penurunan persamaan (3.50) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.48) ke dalam persamaan (3.49), maka diperoleh θ = θ l ln Ae A β z l, α μ A θ = θ l α μ A Y e + ln A A e A Y θ = θ l α μ e A β α μ θ l α μ θ l z l A + ln A e A β α μ θ l z l A β z l α θ = θ l θ l e μ θ l ln A α μ A e A β α μ θ l z l
73 59 A β z l α θ = θ l e μ θ l ln A α μ A e A β α μ θ l z l A β z l α θ = θ l + e μ θ l ln A α μ A e A β α μ θ l z l A β z l α θ = θ l e μ θ l ln α μ dan A A e θ 3 = θ l + α μ A Y + ln A A A β α μ θ l θ 3 = θ l + α μ A β z l + ln A A θ 3 = θ l + α μ A β z l + sehingga θ = θ + θ θ 3 θ = θ l α μ ln Ae A β z l A ln A α μ A e + ln A α μ A θ = θ l α μ ln Ae A β z l A z l ln A α μ A A β z l α + θ l e μ θ l A β α μ θ l z l θl + α μ A β z l θ l α μ ln A A A β z l α e μ θ l + α μ A β z l
74 60 Penurunan persamaan (3.5) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.) (3.3) ke dalam persamaan (3.30), diperoleh s = + A e θ θ s = A + θ A e θ s = A + α μ θ l α μ θ l θ A e α μ θ l θ s = A + α μ θ l α μ θ l α μ θ A e α μ θ θ l s = A + + θ θ l A e α μ θ θ l s = A θ l θ A e α μ θ θ l s = s l A + θ l e αμ θ θl Aθ s = s l A + θ l e αμ θ θl Aθ s = s l A + θ l e α μ θ θ l Aθ
MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH
MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciFORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI
FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM
PREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciMETODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR
METODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciPREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM
PREDIKSI KECEPATAN PHASE GELOMBANG SOLITER TERGANGGU AHMAD HAKIM SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI
SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI
MODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI
MODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA PERPINDAHAN KELOMPOK BELALANG DENGAN METODE GELOMBANG BERJALAN NURUDIN MAHMUD
MODEL MATEMATIKA PERPINDAHAN KELOMPOK BELALANG DENGAN METODE GELOMBANG BERJALAN NURUDIN MAHMUD SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN
PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA 2 CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH
PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA
MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi
Lebih terperinciANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciMODEL SKEDUL MIGRASI DAN APLIKASINYA DALAM PROYEKSI PENDUDUK MULTIREGIONAL MUSLIMAH
MODEL SKEDUL MIGRASI DAN APLIKASINYA DALAM PROYEKSI PENDUDUK MULTIREGIONAL MUSLIMAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciMODEL PEMBERIAN KOMPENSASI BAGI PENGANGGUR UNTUK MENCAPAI KESEJAHTERAAN EKONOMI HADI KUSWANTO
MODEL PEMBERIAN KOMPENSASI BAGI PENGANGGUR UNTUK MENCAPAI KESEJAHTERAAN EKONOMI HADI KUSWANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA STRUKTUR UMUR INFEKSI VIRUS HIV DENGAN KOMBINASI TERAPI OBAT MUHAMMAD BUWING
MODEL MATEMATIKA STRUKTUR UMUR INFEKSI VIRUS HIV DENGAN KOMBINASI TERAPI OBAT MUHAMMAD BUWING SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciEKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciNILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF
NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS YUSUF SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPemodelan Matematika dan Metode Numerik
Bab 3 Pemodelan Matematika dan Metode Numerik 3.1 Model Keadaan Tunak Model keadaan tunak hanya tergantung pada jarak saja. Oleh karena itu, distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai fungsi dari
Lebih terperinciANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI
ANALISIS POLA KELAHIRAN MENURUT UMUR STUDI KASUS DI INDONESIA TAHUN 1987 DAN TAHUN 1997 SUMIHAR MEINARTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciMetode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik
Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah nilai batas 1 3 Persamaan integral batas 2 4 Hasil
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE JUMADI
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE JUMADI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciEVALUASI KINERJA KEUANGAN SATUAN USAHA KOMERSIAL PERGURUAN TINGGI NEGERI BADAN HUKUM DARSONO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
1 EVALUASI KINERJA KEUANGAN SATUAN USAHA KOMERSIAL PERGURUAN TINGGI NEGERI BADAN HUKUM DARSONO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA
Lebih terperinciKAJIAN MODEL MIKROSKOPIK DAN MODEL KINETIK LALU LINTAS KENDARAAN DAN SIMULASINYA DESYARTI SAFARINI TLS
KAJIAN MODEL MIKROSKOPIK DAN MODEL KINETIK LALU LINTAS KENDARAAN DAN SIMULASINYA DESYARTI SAFARINI TLS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciMETODE BINOMIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI CALL INDONESIA DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA JAENUDIN
METODE BINOMIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI CALL INDONESIA DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA JAENUDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciBAB 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Dasar
BAB 2 Landasan Teori Objek yang diamati pada permasalahan ini adalah lapisan fluida tipis, yaitu akan dilihat perubahan ketebalan dari lapisan fluida tipis tersebut dengan adanya penambahan surfaktan ke
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciPEMBAHASAN. (29) Dalam (Grosen 1992), kondisi kinematik (19) dan kondisi dinamik (20) dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian berikut : = (30)
5 η = η di z = η (9) z x x z x x Dalam (Grosen 99) kondisi kinematik (9) kondisi dinamik () dapat dinyatakan dalam sistem Hamiltonian : δ H t = () δη δ H ηt = δ Dengan mengenalkan variabel baru u = x maka
Lebih terperinciANALISIS REGRESI TERPOTONG BEBERAPA NILAI AMATAN NURHAFNI
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN BEBERAPA NILAI AMATAN NOL NURHAFNI SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO
ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciMANAJEMEN RISIKO DI PERUSAHAAN BETON (STUDI KASUS UNIT READYMIX PT BETON INDONESIA) MUAMMAR TAWARUDDIN AKBAR
MANAJEMEN RISIKO DI PERUSAHAAN BETON (STUDI KASUS UNIT READYMIX PT BETON INDONESIA) MUAMMAR TAWARUDDIN AKBAR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciPENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA
PENETAPAN HARGA JAMINAN POLIS ASURANSI JIWA DENGAN PREMI TAHUNAN DAN OPSI SURRENDER WELLI SYAHRIZA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENGARUH SERTIFIKASI GURU TERHADAP KESEJAHTERAAN DAN KINERJA GURU DI KABUPATEN SUMEDANG RIZKY RAHADIKHA
1 PENGARUH SERTIFIKASI GURU TERHADAP KESEJAHTERAAN DAN KINERJA GURU DI KABUPATEN SUMEDANG RIZKY RAHADIKHA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. dengan, 1,2,3,, menyatakan koefisien deret pangkat dan menyatakan titik pusatnya.
2 II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teoriteori yang mendukung karya tulis ini. Teoriteori tersebut meliputi persamaan diferensial penurunan persamaan KdV yang disarikan dari (Ihsanudin, 2008;
Lebih terperinciMODEL OPTIMASI JADWAL UJIAN DAN IMPLEMENTASINYA PADA UNIVERSITAS TERBUKA ASMARA IRIANI TARIGAN
MODEL OPTIMASI JADWAL UJIAN DAN IMPLEMENTASINYA PADA UNIVERSITAS TERBUKA ASMARA IRIANI TARIGAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER
PERBANDINGAN HASIL PENGGEROMBOLAN METODE K-MEANS, FUZZY K-MEANS, DAN TWO STEP CLUSTER LATHIFATURRAHMAH SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER
Lebih terperinciBAB V PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR
A V PERAMATAN GELOMANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 5.. Pendahuluan erkas (beam) optik yang merambat pada medium linier mempunyai kecenderungan untuk menyebar karena adanya efek difraksi; lihat Gambar
Lebih terperinciSimulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (2015) 2337-3520 (2301-928X Print) A-13 Simulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga Vimala Rachmawati dan Kamiran Jurusan
Lebih terperinciPENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1 PENDEKATAN LOGIKA FUZZY UNTUK MEMPREDIKSI IPK AKHIR MAHASISWA MATEMATIKA INSTITUT PERTANIAN BOGOR ANA MARNIDA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciPENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS
PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciRISIKO GEMUK (FAT-TAILED ADRINA LONY SEKOLAH
PENENTUAN BESARNYA PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO YANG BEREKOR GEMUK (FAT-TAILED RISK DISTRIBUTION) ADRINA LONY SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lebih terperinciANALISIS PEMBENTUKAN WORD GRAPH KATA SIFAT MENGGUNAKAN METODE KNOWLEDGE GRAPH USEP RAHMAT
ANALISIS PEMBENTUKAN WORD GRAPH KATA SIFAT MENGGUNAKAN METODE KNOWLEDGE GRAPH USEP RAHMAT SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciMODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH TESIS. KARTIKA YULIANTI NIM : Program Studi Matematika
MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung Oleh KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010 Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak
BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.
Lebih terperinciTeori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas
Teori Relativitas Mirza Satriawan December 7, 2010 Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus Quiz 1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel. 2 Tuliskan
Lebih terperinciBab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton
Bab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton III.1 Stress dan Strain Salah satu hal yang penting dalam pengkonstruksian model proses deformasi suatu fluida adalah
Lebih terperinciPENGEMBANGAN LEMBAGA SIMPAN PINJAM BERBASIS MASYARAKAT (LSP-BM) SINTUVU DALAM UPAYA PEMBERDAYAAN USAHA-USAHA MIKRO TENRIUGI
PENGEMBANGAN LEMBAGA SIMPAN PINJAM BERBASIS MASYARAKAT (LSP-BM) SINTUVU DALAM UPAYA PEMBERDAYAAN USAHA-USAHA MIKRO (Studi Kasus di Desa Sidondo I Kecamatan Sigi Biromaru Kabupaten Donggala Sulawesi Tengah)
Lebih terperinciANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PENYALURAN KREDIT DI BANK UMUM MILIK NEGARA PERIODE TAHUN RENALDO PRIMA SUTIKNO
ANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PENYALURAN KREDIT DI BANK UMUM MILIK NEGARA PERIODE TAHUN 2004-2012 RENALDO PRIMA SUTIKNO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI
PENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2006 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciMODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA DAERAH BERDASARKAN MODAL DAN KNOWLEDGE MUHAMMAD TAUFIK NUSA TAJAU
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA DAERAH BERDASARKAN MODAL DAN KNOWLEDGE MUHAMMAD TAUFIK NUSA TAJAU SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN PANAS FLUIDA SISKO DALAM KEADAAN STEDI NURI ANGGI NIRMALASARI
ANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN PANAS FLUIDA SISKO DALAM KEADAAN STEDI NURI ANGGI NIRMALASARI 127 1 17 BAB I PENDAHULUAN LATAR BELAKANG RUMUSAN MASALAH BATASAN MASALAH TUJUAN MANFAAT LATAR BELAKANG Fluida
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Model Aliran Panas
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Model Aliran Panas Perpindahan panas adalah energi yang dipindahkan karena adanya perbedaan temperatur. Terdapat tiga cara atau metode bagiamana panas dipindahkan: Konduksi Konduksi
Lebih terperinciPengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan
Pengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas PAM 454 KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TERAPAN II Semester Ganjil 2016/2017 Review Teori Dasar Terkait
Lebih terperinciPENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI
PENGKAJIAN KEAKURATAN TWOSTEP CLUSTER DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GEROMBOL POPULASI KUDSIATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2006 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciHUBUNGAN EFEKTIVITAS SISTEM PENILAIAN KINERJA DENGAN KINERJA KARYAWAN PADA KANTOR PUSAT PT PP (PERSERO), TBK JULIANA MAISYARA
HUBUNGAN EFEKTIVITAS SISTEM PENILAIAN KINERJA DENGAN KINERJA KARYAWAN PADA KANTOR PUSAT PT PP (PERSERO), TBK JULIANA MAISYARA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciMODEL PERAMALAN HARGA SAHAM DENGAN JARINGAN SYARAF TIRUAN PROPAGASI BALIK TRIANA ENDANG
MODEL PERAMALAN HARGA SAHAM DENGAN JARINGAN SYARAF TIRUAN PROPAGASI BALIK TRIANA ENDANG SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini
Lebih terperinciMODEL CPA (COHORT PARITY ANALYSIS) DAN APLIKASINYA PADA DATA PENDUDUK INDONESIA INTAN BAIDURI
MODEL CPA (COHORT PARITY ANALYSIS) DAN APLIKASINYA PADA DATA PENDUDUK INDONESIA INTAN BAIDURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciMODEL PERDAGANGAN ANTARNEGARA BERDASARKAN AKUMULASI MODAL D A Y A T
MODEL PERDAGANGAN ANTARNEGARA BERDASARKAN AKUMULASI MODAL D A Y A T SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciMETODE BEDA HINGGA DALAM PENENTUAN DISTRIBUSI TEKANAN, ENTALPI DAN TEMPERATUR RESERVOIR PANAS BUMI FASA TUNGGAL
METODE BEDA HINGGA DALAM PENENTUAN DISTRIBUSI TEKANAN, ENTALPI DAN TEMPERATUR RESERVOIR PANAS BUMI FASA TUNGGAL TUGAS AKHIR Diajukan untuk melengkapi persyaratan dalam menyelesaikan tahap sarjana pada
Lebih terperinciSidang Tugas Akhir - Juli 2013
Sidang Tugas Akhir - Juli 2013 STUDI PERBANDINGAN PERPINDAHAN PANAS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DAN CRANK-NICHOLSON COMPARATIVE STUDY OF HEAT TRANSFER USING FINITE DIFFERENCE AND CRANK-NICHOLSON METHOD
Lebih terperinciPEMODELAN PENENTUAN KOMPOSISI PRODUK UNTUK MEMAKSIMALKAN KEUNTUNGAN PERUSAHAAN JENANG KUDUS ROSMA MULYANI
PEMODELAN PENENTUAN KOMPOSISI PRODUK UNTUK MEMAKSIMALKAN KEUNTUNGAN PERUSAHAAN JENANG KUDUS ROSMA MULYANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciKINETIKA AKTIVITAS REDUKSI NITRAT BAKTERI NITRAT AMONIFIKASI DISIMILATIF DARI MUARA SUNGAI PADA KONSENTRASI OKSIGEN (O 2 ) YANG BERBEDA TETI MARDIATI
KINETIKA AKTIVITAS REDUKSI NITRAT BAKTERI NITRAT AMONIFIKASI DISIMILATIF DARI MUARA SUNGAI PADA KONSENTRASI OKSIGEN (O 2 ) YANG BERBEDA TETI MARDIATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciKARAKTERISTIK Fe, NITROGEN, FOSFOR, DAN FITOPLANKTON PADA BEBERAPA TIPE PERAIRAN KOLONG BEKAS GALIAN TIMAH ROBANI JUHAR
KARAKTERISTIK Fe, NITROGEN, FOSFOR, DAN FITOPLANKTON PADA BEBERAPA TIPE PERAIRAN KOLONG BEKAS GALIAN TIMAH ROBANI JUHAR PROGRAM PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciPENENTUAN LAJU DISTRIBUSI SUHU DAN ENERGI PANAS PADA SEBUAH BALOK BESI MENGGUNAKAN PENDEKATAN DIFFUSION EQUATION DENGAN DEFINITE ELEMENT METHOD
PENENTUAN LAJU DISTRIBUSI SUHU DAN ENERGI PANAS PADA SEBUAH BALOK BESI MENGGUNAKAN PENDEKATAN DIFFUSION EQUATION DENGAN DEFINITE ELEMENT METHOD SKRIPSI Oleh: Ido Hilka Zirahya NIM. 090210102056 PROGRAM
Lebih terperinciBAB 3 PERAMBATAN GELOMBANG MONOKROMATIK
BAB 3 PERAMBATAN GELOMBANG MONOKROMATIK Dalam bab ini, kita akan mengamati perambatan gelombang pada fluida ideal dengan dasar rata. Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 3.1 Aliran Fluida pada Dasar
Lebih terperinciPERANCANGAN BALANCED SCORECARD UNTUK PENGEMBANGAN STRATEGI DI SEAMEO BIOTROP DEWI SURYANI OKTAVIA B.
PERANCANGAN BALANCED SCORECARD UNTUK PENGEMBANGAN STRATEGI DI SEAMEO BIOTROP DEWI SURYANI OKTAVIA B. PROGRAM STUDI MANAJEMEN DAN BISNIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERANCANGAN
Lebih terperinciAplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi
JURNAL FOURIER Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, 113-123 ISSN 2252-763X Aplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi Annisa Eki Mulyati dan Sugiyanto Program Studi Matematika Fakultas
Lebih terperinciFUNGSI DELTA DIRAC. Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi 2)
INTEGRAL, Vol. 1 No. 1, Maret 5 FUNGSI DELTA DIRAC Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi ) 1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung
Lebih terperinciMetode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi Panas
Metode Elemen Batas MEB) untuk Model Konduksi Panas Moh. Ivan Azis October 14, 011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah konduksi panas pada media ortotropik berhasil ditemukan pada tulisan ini. Solusi
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU
v PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA
Lebih terperinciKETERKAITAN NILAI TUKAR RUPIAH DENGAN INDEKS SAHAM DI BURSA EFEK INDONESIA. Oleh : Venny Syahmer
KETERKAITAN NILAI TUKAR RUPIAH DENGAN INDEKS SAHAM DI BURSA EFEK INDONESIA Oleh : Venny Syahmer PROGRAM STUDI MANAJEMEN DAN BISNIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010 SURAT PERNYATAAN Saya
Lebih terperinciSTUDI MODEL NUMERIK KONDUKSI PANAS LEMPENG BAJA SILINDRIS YANG BERINTERAKSI DENGAN LASER NOVAN TOVANI G
1 STUDI MODEL NUMERIK KONDUKSI PANAS LEMPENG BAJA SILINDRIS YANG BERINTERAKSI DENGAN LASER NOVAN TOVANI G74104018 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciSIMULASI PROSES EVAPORASI BLACK LIQUOR DALAM FALLING FILM EVAPORATOR DENGAN ADANYA ALIRAN UDARA
Jurusan Teknik Kimia Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2011 SIMULASI PROSES EVAPORASI BLACK LIQUOR DALAM FALLIN FILM EVAPORATOR DENAN ADANYA ALIRAN UDARA Dosen Pembimbing
Lebih terperinciSTRATEGI PENGEMBANGAN DAYA SAING PRODUK UNGGULAN DAERAH INDUSTRI KECIL MENENGAH KABUPATEN BANYUMAS MUHAMMAD UNGGUL ABDUL FATTAH
i STRATEGI PENGEMBANGAN DAYA SAING PRODUK UNGGULAN DAERAH INDUSTRI KECIL MENENGAH KABUPATEN BANYUMAS MUHAMMAD UNGGUL ABDUL FATTAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 iii PERNYATAAN
Lebih terperinciBab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
Bab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai dasar laut sinusoidal sebagai reflektor gelombang. Persamaan yang digunakan untuk memodelkan masalah dasar
Lebih terperinciHUBUNGAN TERPAAN PESAN PENCEGAHAN BAHAYA DEMAM BERDARAH DENGAN SIKAP IBU RUMAH TANGGA (KASUS: KELURAHAN RANGKAPAN JAYA BARU, KOTA DEPOK) KUSUMAJANTI
HUBUNGAN TERPAAN PESAN PENCEGAHAN BAHAYA DEMAM BERDARAH DENGAN SIKAP IBU RUMAH TANGGA (KASUS: KELURAHAN RANGKAPAN JAYA BARU, KOTA DEPOK) KUSUMAJANTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciANALISIS KEPUASAN DAN LOYALITAS KONSUMEN DALAM PENGGUNAAN METODE PEMBAYARAN NON-TUNAI
ANALISIS KEPUASAN DAN LOYALITAS KONSUMEN DALAM PENGGUNAAN METODE PEMBAYARAN NON-TUNAI (PREPAID CARD) LOVITA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 SURAT PERNYATAAN Saya menyatakan dengan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA. Definisi Gelombang dan klasifikasinya. Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi yaitu :. Gelombang
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN M U S T O P A
MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN M U S T O P A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciANALISIS KEBUTUHAN LUAS LAHAN PERTANIAN PANGAN DALAM PEMENUHAN KEBUTUHAN PANGAN PENDUDUK KABUPATEN LAMPUNG BARAT SUMARLIN
ANALISIS KEBUTUHAN LUAS LAHAN PERTANIAN PANGAN DALAM PEMENUHAN KEBUTUHAN PANGAN PENDUDUK KABUPATEN LAMPUNG BARAT SUMARLIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciAPLIKASI MODEL DINAMIKA POPULASI LOTKA DENGAN LAJU KELAHIRAN DAN KEMATIAN TIDAK KONSTAN UNTUK DATA INDONESIA SUSIATI NASIKIN
APLIKASI MODEL DINAMIKA POPULASI LOTKA DENGAN LAJU KELAHIRAN DAN KEMATIAN TIDAK KONSTAN UNTUK DATA INDONESIA SUSIATI NASIKIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan
PDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan Pada bagian ini akan dipelajari tiga jenis persamaan diferensial parsial (PDP) linear orde dua yang biasa dijumpai pada masalah-masalah dunia nyata, yaitu persamaan
Lebih terperinci