Nilai Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
|
|
- Susanto Budiaman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Materi Nilai Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Oleh: Anang Wibowo, S.Pd MatikZone s Series matikzone@gmail.com Blog : HP : Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya Ponorogo, Februari 015
2 Nilai Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Anang Wibowo, S.Pd Dari buku-buku pelajaran yang ada, ternyata ada beberapa bahasan yang masih belum menemui titik temu/kepastian alias masih memberikan kesimpulan yang berbeda-beda. Pertama, mengenai menentukan nilai limit yang menghasilkan c/0 apakah kesimpulan akhirnya tak hingga Kedua, untuk limit tak hingga bentuk pecahan dengan pangkat tertinggi pada pembilang apakah juga bernilai tak hingga Berikut ini sedikit apa yang kami ketahui, semoga dapat menambah wawasan dan bahan diskusi untuk kita semua. Telah kita ketahui bersama bahwa: Definisi limit: lim f ( ) L (ada) lim f ( ) a + a lim f ( ) L (limit kiri limit kanan) a A. Menentukan Nilai lim f ( ) a Dari beberapa buku pelajaran yang pernah kami buka, banyak yang menyimpulkan bahwa, dengan cara SUBTITUSI akan diperoleh: k, f( a) k...1 k lim f( ), f( a)... a 0 0 BTT, f( a)... 0 BTT Bentuk Tak Tentu, maka harus diproses lebih lanjut dengan cara: a). Pemfaktoran atau b). Perkalian dengan bentuk sekawan. Yang menjadi pertanyaan adalah persamaan kedua, benarkah bahwa: lim f( ), jika f ( a) a k 0
3 Perhatikan soal: Soal Pertama: o Lihat grafiknya! y f()(+)/(-) Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan tidak sama untuk mendekati, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati adalah TIDAK ADA. Soal Kedua: Lihat grafiknya! y f()(^--)/(^+5+6) Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk mendekati, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati adalah Tak Hingga.
4 Soal Ketiga: lim apakah nilai lilmitnya tak hingga Perhatikan grafik!, demikian juga, lim ( ) + ( ) 1 ( ) Limit kiri Limit kanan -4 Jadi, nilai + 1 lim 9 TIDAK ADA, demikian juga untuk + 1 lim 9 Soal Keempat: o Lihat grafiknya! Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk mendekati 1, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati 1 adalah Tak Hingga.
5 Soal kelima: lim Perhatikan grafik! Dari grafik di atas terlihat bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk mendekati, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati adalah Min Tak Hingga. Apabila kita tidak dapat membuat grafiknya, baik dengan komputer maupun manual, minimal kita bisa membuat tabel nilai-nilai fungsi di sekitar a, kemudian menganalisanya apakah jika mendekati a dari kiri dan dari kanan menuju nilai yang sama atau tidak. Misalnya soal pertama di atas: + lim... Perhatikan tabel berikut! 0 0, 0,5 0,8 1 1, 1,5 1,8,,5,8,,5 F() -1,5-1,78 -, -, , ,5 6 5,17 4, Turun Naik Terlihat bahwa jika didekati dari kiri maka nilai F () semakin mengecil, dan didekati dari kanan maka nilai F () semakin membesar. Artinya limit kiri TIDAK SAMA dengan limit kanan. Jadi, F () tidak mempunyai limit untuk mendekati.
6 Kesimpulannya adalah, mungkin Tak Hingga, Min Tak Hingga atau mungkin juga Tak Ada, diperlukan analisa grafik untuk menentukannya. B. Menentukan Nilai lim f ( ) Untuk menyelesaikan lim f ( ), dimana n n 1 + ( ) a b m n 1 p + q f adalah dengan membaginya dengan variable pangkat tertinggi dari penyebut (karena jika disubtitusi diperoleh bentuk tak tentu ). Dari penyelesaian soal-soal yang ada, diperoleh kesimpulan: 0, jk n < m n n 1 + Jika ( ) n a b a a f m n 1 p + q maka lim f ( ) lim m, jk n m p p, jk n > m n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. Pertanyaannya adalah, apakah benar bahwa jika n > m, maka nilai limitnya adalah TAK HINGGA Perhatikan Soal Berikut: Soal Pertama: o
7 Perhatikan grafik! Dari grafik, benar bahwa nilai limit lim f ( ) adalah Tak Hingga. Soal Kedua: o Perhatikan grafik! y f()(-^+)/(-) Ternyata ketika mendekati Tak Hingga, nilai y mendekati Min Tak Hingga. Jadi lim f ( ) adalah MIN TAK HINGGA. Soal Ketiga: o Perhatikan grafik!
8 y f()(+-4^)/(^-+6) Ternyata ketika mendekati Tak Hingga, nilai y mendekati Min Tak Hingga. Jadi lim f ( ) adalah MIN TAK HINGGA. Soal Keempat: Telitilah kebenarannya dengan menggunakan grafik! a. c. b. d. Perhatikan Grafik! y f()(^+)/(-^) Grafik Soal 4a. y f()(-^+)/(+^) Grafik Soal 4b. -60
9 Grafik Soal 4c. f()(^+)/(+^) Grafik Soal 4d f()(-^+)/(-^) Membagi dengan Variabel Pangkat Tertinggi Variabel Pangkat Tertinggi Soal lim lim lim 1 + lim+ lim 1 lim 1 + lim Variabel Pangkat Tertinggi Penyebut + lim lim lim 1 + lim + lim 1 lim 1 + lim
10 Soal lim + 1 lim 1 lim+ lim 1 lim 1 lim lim + + lim lim + 1 lim 1 lim + lim 1 lim 1 lim + 0 atau 0 + lim lim lim Sepertinya cara dengan pembagi variabel pangkat tertinggi dari penyebut lebih aman untuk kita gunakan. Hati-hati bentuk c/0 atau k/0 bisa disimpulkan tak hingga atau min tak hingga HANYA untuk limit di tak hingga, tidak untuk kasus A. Apakah yang dapat kita simpulkan Kesimpulannya adalah: Jika n n 1 + ( ) a b f m n 1 p + q maka lim f ( ) lim a p n m dimana n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. Ini adalah akhir dari rasa penasaran kami, berdasarkan pendekatan grafiknya, ternyata ada beberapa kesimpulan yang berbeda dari apa yang selama ini kita ketahui dan kita ajarkan kepada siswa di kelas. Ini merupakan sebuah wacana dari kami, silakan Anda mengkoreksi atau menambahnya demi kebenaran yang sesungguhnya mengenai masalah di atas. Kami tunggu di matikzone@gmail.com Semoga ada manfaatnya. Ponorogo, Ahad 1 Maret 01 Pukul 09. ditambah dan diedit pada Sabtu 1 Pebruari 015
11 Beberapa kesimpulannya (cara cepat) dalam menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi adalah: 1). Jika n n 1 + ( ) a b f m n 1 p + q n a maka lim f ( ) lim m p dimana n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. ). Jika f ( ) a + b+ c p + q+ r maka lim f ( ), jk a > p b q, jk a p a, jk a < p ). Jika f ( ) a+ b p + q maka lim f ( ), jk a > p 0, jk a p, jk a < p
Nilai Limit Tak Hingga dan Limit Tak Hingga
Materi Nilai Limit Tak Hingga dan Limit Tak Hingga Oleh: Anang Wibowo, S.Pd Maret 013 MatikZone s Series Email : matikzone@gmail.com Blog : HP : 085 33 897 897 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang
Lebih terperinciMasalah dalam Menentukan Nilai Limit Suatu Fungsi
Masalah dalam Menentukan Nilai Limit Suatu Fungsi Anang Wibowo, S.Pd Semakin banak membaca / menuntut ilmu, maka seseorang akan semakin banak tahu akan kebodohanna, semakin mengerti bahwa ia lebih banak
Lebih terperinci65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Galeri Soal Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmailcom Blog : HP : 8 8 8 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengkutip
Lebih terperinciGaleri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd
Galeri Soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April Semoga sedikit conto soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika kususnya Bab Limit Kami mengusaakan agar soal-soal yang kami baas
Lebih terperinciLimit Fungsi. semua x bilangan real, kecuali x = 2
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LIMIT FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 27 Limit Fungsi Kompetensi Dasar
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciMATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
Lebih terperinciDefinisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak.
Lecture 4. Limit C A. Infinite Limits Definisi 4.1 Notasi lim f(x) = Menyatakan bahwa nilai f(x) membesar tanpa batas jika nilai x semakin dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. lim f(x) = lim f(x)
Lebih terperinciPERTEMUAN 6-7 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI
PERTEMUAN 6-7 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI LIMIT Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati
Lebih terperinciLAPORAN KOMPUTASI MATEMATIKA PRAKTIKUM 3. Limit dan Turunan
LAPORAN KOMPUTASI MATEMATIKA PRAKTIKUM 3 Limit dan Turunan Disusun Oleh : PRIMA AMMARAY BAROO NIM. M3116053 PROGRAM DIPLOMA III TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciBahan Ajar. Limit Fungsi Aljabar. (Edisi 1,00) Disusun Oleh : Fendi Alfi Fauzi
Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar (Edisi 1,00) Disusun Oleh : Fendi Alfi Fauzi Fendi Alfi Fauzi Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar (Edisi 1,00) Tulisan ini bebas dibaca dan disebarluaskan kepada siapapun dengan
Lebih terperinciPengertian limit secara intuisi
Pengertian it secara intuisi Perhatikan fungsi f ( ) = Fungsi diatas tidak terdefinisi di =, karena di titik tersebut f() berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f() jika mendekati Dengan
Lebih terperinciE-learning matematika, GRATIS
Penyusun : Edi Sutarto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Definisi Istilah it diartikan pendekatan. Dalam penulisannya dituliskan:, dibaca
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan XI IPA2 pada bulan April- Mei Pada bulan April 2014 peneliti
33 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian Penelitian dilaksanakan di SMAN 1 Kasihan untuk kelas XI IPA1 dan XI IPA2 pada bulan April- Mei 2014. Pada bulan April 2014 peneliti melakukan
Lebih terperinciBAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN PECAHAN
PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Lebih terperinciIntisari + Latihan Hitung Kalkulus Dan Fungsi Transeden (Tingkat Lanjut) Tanggal: 28 Maret Oleh: Tjandra Satria Gunawan
Intisari + Latihan Hitung Kalkulus Dan Fungsi Transeden Tingkat Lanjut) Tanggal: 28 Maret 2010 Oleh: Tjandra Satria Gunawan Materi kalkulus tingkat lanjut: Kalkulus merupakan salah satu bagian materi matematika
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
LIMIT FUNGSI Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperincimatematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan
Lebih terperinciLIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:
LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat
Lebih terperinci: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Latar belakang penyusunan: Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan
Lebih terperinciKedua, lim f(x)=l harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungi f(x).
MATERI 4 LIMIT Sub Materi : 1. Pengertian limit 2. Limit sisi kiri 3. Limit sisi kanan 4. Kaidah-kaidah limit 5. Penyelesaiaan kasus khusus 6. Kesinambungan 7. Penerapan ekonomi Pertemuan ke-6 dan 7 Tujuan
Lebih terperinciBILANGAN PECAHAN. A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
BILANGAN PECAHAN A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a b dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Bilangan a disebut pembilang dan
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciSoal, Kartu Soal, Kisi-kisi Soal
Ulangan Tengah Semester Ganjil SMA Negeri 1 Ponorogo TA 00/010 Soal, Kartu Soal, Kisi-kisi Soal Bentuk Soal : Uraian Jl. Budi Utomo 1 Ponorogo Telp. 4114 E-mail: Ganesa@smazapo.sch.id Web: www.smazapo.sch.id
Lebih terperinciLATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB LOGARITMA. Untuk soal seperti di atas, maka kita perlu mengingat sifat logaritma
LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB LOGARITMA 1. Nilai dari 2 log 4 + 2 log 12 2 log 6... A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 E. 3 Untuk soal seperti di atas, maka kita perlu mengingat sifat logaritma
Lebih terperinciPertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat
Lebih terperinciDefinisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
Lebih terperinciModul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan
Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan 5.1. Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI Program Studi Agribisnis
MATEMATIKA EKONOMI Program Studi Agribisnis Dosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Email : asyahza@yahoo.co.id Website: http://almasdi.unri.ac.id HUBUNGAN FUNGSIONAL Pengertian dan unsur-unsur
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciB. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
B. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kaat-kaat seperti : a. Mobil itu nyaris masuk ke jurang. b. Kita hampir memasuki kota Jakarta. c. Kecantikannya mendekati sempurna.
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN
PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN PERTEMUAN III Nur Edy, PhD. Tujuan Mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan Pokok Bahasan: Persamaan (Minggu 3 dan 4) Pertidaksamaan (Minggu 3 dan 4) Harga mutlak
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciSistem Bilangan Riil
Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0
Lebih terperinciMACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka
MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )
MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA
Lebih terperinciUntuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x c).
5 LIMIT FUNGSI 5. PENDAHULUAN LIMIT Untuk sebuah fungsi y f(), bagaimana perilaku dari f() jika mendekati c, akan tetapi tidak sama dengan c ( c). Contoh, kita ambil fungsi f() dan g() dan akan kita cari
Lebih terperinciMAKALAH. Bantuan dalam Penghitungan Integral Tentu KALKULUS LANJUT Dosen Pengampu: Sugeng Riyadi S.Si M.Pd DISUSUN OLEH: Kelompok V
MAKALAH Bantuan dalam Penghitungan Integral Tentu KALKULUS LANJUT Dosen Pengampu: Sugeng Riyadi S.Si M.Pd DISUSUN OLEH: Kelompok V 1. NURVITA 2. ROSI LUSIANA 3. PUJI ASTUTI 4. SURTA MD PANGGABEAN 5. SUTRISNO
Lebih terperinciDefinisi Bilangan Biner, Desimal, Oktal, Heksadesimal
Definisi Bilangan Biner, Desimal, Oktal, Heksadesimal Bilangan desimal adalah bilangan yang menggunakan 10 angka mulai 0 sampai 9 berturut2. Setelah angka 9, maka angka berikutnya adalah 10, 11, 12 dan
Lebih terperinciPEDOMAN KULIAH BLENDED LEARNING UNTUK DOSEN BAGIAN 1. Disusun oleh: Dr. Khaerudin, M.Pd.
PEDOMAN KULIAH BLENDED LEARNING UNTUK DOSEN BAGIAN 1 Disusun oleh: Dr. Khaerudin, M.Pd. Program Studi Teknologi Pendidikan Program Pascasarjana Universitas Negeri Jakarta 2011 DAFTAR ISI BAGIAN I PERSIAPAN
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciMembuat Gambar Animasi Bergerak dengan PhotoScape
Membuat Gambar Animasi Bergerak dengan PhotoScape Nuzulia Eka Putri nuzulia@raharja.info Abstrak Biasanya orang membuat gambar animasi bergerak dengan menggunakan aplikasi Photoshop, namun kali ini aplikasi
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN A. Identifikasi Hambatan Epistimologis Konsep Limit Fungsi Aljabar Pada Bab IV ini, akan disajikan analisis data dan pembahasan mengenai hambatan epistimologis siswa
Lebih terperinciTinjauan Mata Kuliah
i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah
Lebih terperinciMATEMATIKA LIMIT FUNGSI ALJABAR BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI. WAKTU 8 x 45 MENIT (4 KALI PERTEMUAN) KELAS X SEMESTER II Kelompok :.
BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI MATEMATIKA LIMIT FUNGSI ALJABAR WAKTU 8 x 45 MENIT (4 KALI PERTEMUAN) Nama :. NIS :. Kelas :. KELAS X SEMESTER II Kelompok :. SEKOLAH MENENGAH ATAS PENGANTAR Puji Syukur
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
Lebih terperinciKONVERSI BILANGAN. Bilangan oktal adalah bilangan berbasis 8, yang menggunakan angka 0 sampai 7. Contoh penulisan : 17 8.
KONVERSI BILANGAN Bilangan desimal adalah bilangan yang menggunakan 0 angka mulai 0 sampai 9 berturut2. Setelah angka 9, maka angka berikutnya adalah 0,, 2 dan seterusnya. Bilangan desimal disebut juga
Lebih terperincikarena limit dari kiri = limit dari kanan
A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami
Lebih terperinciBAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL
BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL A. Pertidaksamaan Rasional Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika
Lebih terperinciPRAKATA. Cirebon, Oktober Penyusu
PRAKATA Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas berkat, rahmat,dan karunia Nya, penyusun buku Matematika untuk SMA dan MA kelas XI dapat di selesaikan. Buku ini di susun sebagai
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperincix 3 NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan limit matematis dapat dituliskan sebagai berikut: lim
NAMA : KELAS : A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan it matematis dapat dituliskan sebagai berikut: x 3 (2x -1) =.. Grafiknya dapat diperhatikan sebagai berikut:
Lebih terperincib) Tentukan nilai dari C. Tentukan nilai dari d. Tentukan nilai dari e. Tentukan nilai dari f. Tentukan nilai dari
Contoh soal dan pembahasan bentuk pangkat dan akar, materi matematika kelas X SMA. Perhatikan contoh-contoh berikut: Soal-Soal Dasar a) Tentukan nilai dari 3 2 x 2 3 b) Tentukan nilai dari C. Tentukan
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : dan = 3
8 III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang terdapat pada masalah osilasi berpasangan.
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Secara ringkas pelaksanaan penelitian ini dilakukan di Kelas X SMA Prasetya Gorontalo,
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Penelitian 4.1.1 Deskripsi Penelitian Secara ringkas pelaksanaan penelitian ini dilakukan di Kelas X SMA Prasetya Gorontalo, untuk Mata Pelajaran Matematika,
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum
Lebih terperinciBAB VII Tabel. Susanto, S.Kom. Bab VII Tabel
BAB VII Tabel Setiap tabel minimal tersusun dari tiga tag dasar yaitu tag yang menandai sebuah tabel, tag yang membentuk baris dan tag yang membentuk kolom. Masing-masing tag tersebut harus
Lebih terperinciPRAKTIKUM 3 SOLUSI MATEMATIKA DENGAN MAPLE
PRAKTIKUM 3 SOLUSI MATEMATIKA DENGAN MAPLE (BAGIAN ). MINGGU KE : 4. PERALATAN : LCD, E-LEARNING 3. SOFTWARE : MAPLE 4. TUJUAN Mahasiswa dapat menggunakan Software Aplikasi Matematika (Maple) untuk menyelesaikan
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Makalah ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP 1 Dosen Pengampu :Palupi Sri Wijayanti, M. Pd Disusun Oleh: Deviana Nian Kumandari
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. hlm. 15. 1 Pantur Silaban, Kalkulus Lanjutan, (Jakarta: Erlangga, 1984), hlm. 1.
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Bilangan bulat merupakan salah satu pokok bahasan di dalam pelajaran Matematika jenjang SMP/M.Ts. kelas VII. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB II ALJABAR Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya
Lebih terperinciTAP Akuntansi NASKAH UJIAN TUGAS AKHIR PROGRAM (EKSI4500) PROGRAM STUDI AKUNTANSI MASA UJIAN
TAP Akuntansi 2011.2 NASKAH UJIAN TUGAS AKHIR PROGRAM (EKSI4500) PROGRAM STUDI AKUNTANSI MASA UJIAN 2011.1 Kode Naskah 32; Tgl Ujian : Sabtu, 19-11-11 STUDI KASUS PT. GLOBAL NUSANTARA PT Global Nusantara
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciTeknik Menguadratkan Suatu Bilangan dengan Mudah Oleh: Pujiati
Teknik Menguadratkan Suatu Bilangan dengan Mudah Oleh: Pujiati Operasi hitung perkalian sudah diajarkan sejak di sekolah dasar (SD) kelas II semester 2, namun kadang siswa masih mengalami kesulitan apabila
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciREFERENSI SINGKAT (STEP BY STEP TUTORIAL)
REFERENSI SINGKAT (STEP BY STEP TUTORIAL) SCELE FOR SCHOOL MODUL SISWA WORKSHOP E-LEARNING FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA 17 JANUARI 2009 DAFTAR ISI LOGIN 2 MENGUBAH PROFILE.. 3 MELIHAT PARTISIPAN
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
9 BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang
Lebih terperinciSETTING BLOG PEMBELAJARAN DI WORDPRESS
1 SETTING BLOG PEMBELAJARAN DI WORDPRESS Dibuat oleh Pak Sukani Teacher, Trainer, Narasumber, Motivator, Pembicara dalam pelatihan dan seminar di seluruh wilayah Indonesia Situs : http://trainergurumelekit.wordpress.com
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Lebih terperinciPEMANFAATAN SOLVER EXCEL UNTUK OPTIMASI PENJADWALAN MATA PELAJARAN
PEMANFAATAN SOLVER EXCEL UNTUK OPTIMASI PENJADWALAN MATA PELAJARAN Erika Eka Santi Dosen Universitas Muhammadiyah Ponorogo Email : erikapmatumpo@gmail.com ABSTRAK Penyusunan jadwal pelajaran merupakan
Lebih terperincihttp://www. Cara Mudah Matematika Abdul Hanan Materi Pelajaran Cara Mudah Matematika Oleh : Abdul Hanan Document License : copyright 2004 Dokumen ini diperkenankan untuk digunakan, disalin dan diperbanyak
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Penelitian ini dilaksanakan pada tanggal Agustus 2010 di kelas X SMA
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Penelitian Penelitian ini dilaksanakan pada tanggal 14 16 Agustus 21 di kelas X SMA Muhammadiyah 2 Bandarlampung tahun ajaran 21/211. Pelaksanaan penelitian ini bertujuan
Lebih terperinciPREDIKSI UN 2015 MATEMATIKA IPA Soal D:
NAMA : KELAS : Indikator 1: (Soal Nomor 1) PREDIKSI UN 2015 MATEMATIKA IPA 1. Logika Matematika Diketahui 2 atau 3 Premis, Premis Menggunakan kesetaraan, dan penarikan MP atau MT 1 P r e d i k s i M a
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma
KATA PENGANTAR Segala puji syukur ke hadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan hidayah-nya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan Buku Panduan Media Pembelajaran Berbantuan Komputer
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS
PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL Perhatikan segitiga di bawah ini! Tentukan nilai sec cosec cot INGAT definisi: sin depan miring cosec sin miring depan cos samping
Lebih terperinciPEMBUATAN TES TERTULIS
PEMBUATAN TES TERTULIS BENTUK SOAL 1. SOAL JAWABAN SINGKAT 2. SOAL BENAR- SALAH 3. SOAL MENJODOHKAN 4. SOAL PILIHAN GANDA 5. SOAL URAIAN SOAL JAWABAN SINGKAT KARAKTERISTIK: SOAL YANG MENUNTUT PESERTA TES
Lebih terperinci53
LAMPIRAN 53 54 55 56 57 RENCANA PELAKSAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMP Negeri 1 Sooko Ponorogo Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII / 1 Materi Pokok : Persamaan Garis Lurus Alokasi
Lebih terperinciANALISIS VARIABEL REAL 2
2012 ANALISIS VARIABEL REAL 2 www.alfirosyadi.wordpress.com UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 1/1/2012 IDENTITAS MAHASISWA NAMA : NIM : KELAS : KELOMPOK : 2 PENDAHULUAN Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa
Lebih terperinci