SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI

Transkripsi

1 SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 009

2 ABSTRAK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI. Sifat Sifat Statistika Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik. Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI. Pada karya ilmiah ii dibahas pedugaa turua pertama da turua kedua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. Diperhatika keadaa terburuk dimaa haya terdapat sebuah realisasi dari suatu proses Poisso periodik yag diamati pada iterval [0,]. Diasumsika bahwa periode dari fugsi itesitas proses tersebut adalah diketahui. Masalah utama yag dikaji adalah perumusa pedekata asimtotik utuk bias da ragam turua pertama da turua kedua yag telah dirumuska. Kemudia, simulasi komputer diselesaika utuk mempelajari perilaku dari pedekata asimtotik dega ukura cotoh terbatas.

3 ABSTRACT RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI. Statistical Properties of Estimators for The First ad Secod Order Derivatives of The Itesity Fuctio of a Periodic Poisso Process. Supervised by I WAYAN MANGKU ad RETNO BUDIARTI. This mauscript is cocered with estimatio of the first ad secod derivatives of itesity fuctio of a periodic Poisso process. It is cosidered the worst coditio if there is oly available oe realizatio of periodic Poisso process observed i iterval [0, ]. It is assumed that the period of this process is kow. The mai problem discussed i this mauscript is the formulatio of asymptotic approximatios to the bias ad variace of the estimators for the first ad secod derivatives of the itesity of the process cosidered. I additio, computer simulatios were carried out to study the behaviour of these asymptotic approximatios for fiite sample size.

4 SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 009

5 Judul Nama NRP : Sifat Sifat Statistika Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik : Rata Galuh Nike Pramarai : G Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. Ir. Reto Budiarti, M.S. NIP NIP Megetahui, Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. drh. Hasim, DEA NIP Taggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Magelag pada taggal 4 Maret 987 sebagai aak kedua dari tiga bersaudara, aak dari pasaga Hartoo da Ei Kustiati. Tahu 999 peulis lulus dari SDN Pucag Secag. Tahu 00 peulis lulus dari SMPN Magelag. Tahu 005 peulis lulus dari SMAN Magelag da pada tahu yag sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujia Sariga Masuk IPB (USMI). Peulis memilih Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Selama megikuti perkuliaha, peulis mejadi asiste mata kuliah Kalkulus II pada tahu ajara 007/008. Peulis juga aktif pada kegiata kemahasiswaa Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Departeme Sosikom pada periode da staf Biro Kesekretariata periode

7 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala rahmat da karuia-nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika. Peyusua karya ilmiah ii juga tidak lepas dari batua berbagai pihak. Utuk itu peulis megucapka terima kasih yag sebesar-besarya kepada:. Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. selaku dose pembimbig I (terima kasih atas semua ilmu, kesabara, motivasi, da batuaya selama peulisa skripsi ii).. Ir. Reto Budiarti, M. S. selaku dose pembimbig II (terima kasih atas semua ilmu, sara, da motivasiya).. Dr. Ir. Hadi Sumaro, MS. selaku dose peguji (terima kasih atas semua ilmu da saraya). 4. Semua dose Departeme Matematika (terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika). 5. Bu Susi, Bu Ade, Mas Boo, Mas Dei, Mas Yoo, Mas Heri. 6. Keluargaku tercita: bapak da ibu (terima kasih bayak atas semua doa, dukuga, da kasih sayagya), kakak, ade, kakek da eek (terima kasih atas doaya). 7. Bima (terima kasih atas waktu, doa, dukuga, sara, da segala batuaya). 8. Tema sebimbiga : Vera da Ilyas (makasih atas batuaya). 9. Tema-tema Math 4: Diedie, Erli, Jae, Idha, Eyyi, Oby, Lisda, Achy, Vio, Hapsari, Octa, Ryu, Vita, Luri, Hikmah, Ricke, Ocoy, Nyoma, Ages, Ayu, Fachri, Djawa, Ayeep, Septia, Waro, Sapto, Dedy, Siti, Zil da tema-tema Math 4 laiya (selamat berjuag tema-temaku ). 0. Tema-tema Math 4: Nia, Suci, Supri, Apri, Copy, Lia, Destya, Nee, Vera, Margi, Kabil, Peli, Rizky, Arum, Fitria, Adrew, da tema-tema Math 4 laiya (makasih buat dukuga, batua da doaya).. Adik-adik TPB 45 : Dewi, Tyas, Vita, Erma, Hafiza, Isya, Irma, Icha, Marlia, Dea, Ocha, Mery (makasih atas doa da dukugaya).. Para Pegajar Ellips: K Lia, K Wal, Cici, Irma (makasih atas semagat da motivasiya).. Tema-tema Wisma Ayu : Mb Nidia, Mb Ecah, Mb Zahroh, Mb Titi, Mb Rii, Nita, Rita, Aggi, Ika, Kiki, Mb Wida, Vei, Nur, Nisa, Tyas, Nee, Fatima, Ria, Sita (terima kasih atas doaya). Yu i, teteh (makasih atas doaya). Semoga karya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua khususya Matematika da mejadi ispirasi bagi peelitia-peelitia selajutya. Bogor, Mei 009 Rata Galuh Nike Pramarai

8 DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakag... Tujua... LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag... Peubah Acak da Fugsi Sebara... Mome, Nilai Harapa da Ragam... Kekovergea Peubah Acak... Peduga... Proses Stokastik... 4 Proses Poisso... 4 Beberapa Defiisi da Lema Tekis... 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi (s) da Sifat-Sifat Statistikaya... 6 Perumusa Peduga Bagi s da Sifat-Sifat Statistikaya... 8 Perumusa Peduga Bagi s da Sifat-Sifat Statistikaya... 0 Simulasi... Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Pertama... Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Kedua... 5 KESIMPULAN... 8 DAFTAR PUSTAKA... 9 LAMPIRAN... 0

9 DAFTAR GAMBAR Halama. Gambar. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 4. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 5. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 6. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 7. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth DAFTAR LAMPIRAN Halama Pembuktia Lema... Pembuktia Lema... Program Peetua Gambar (s)... Program Peetua Gambar (s)... 5 Program Peetua Gambar (s)... 6 Program Peetua Nilai Harapa da Ragam Turua Pertama da Kedua... 7

10 PENDAHULUAN Latar Belakag Bayak feomea dalam kehidupa sehari-hari yag dapat dijelaska dega proses stokastik. Model semacam ii megguaka atura-atura peluag utuk meggambarka perilaku suatu sistem yag tidak diketahui dega pasti di masa yag aka datag. Proses stokastik mempuyai peraa yag cukup petig dalam berbagai bidag pada kehidupa sehari-hari. Sebagai cotoh, dalam feomea yata misalya, proses kedataga pelagga ke pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya) da proses kedataga peggua lie telepo dapat dimodelka dega proses stokastik. Proses stokastik dibedaka mejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Pada karya ilmiah ii pembahasa haya dibatasi pada proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses ii atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke pusat servis dega periode satu hari. Pada proses kedataga pelagga tersebut, fugsi itesitas lokal (λ(s)) meyataka laju kedataga pelagga pada waktu s. Dalam bayak peerapa, di sampig diperluka peduga bagi fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik, diperluka juga peduga bagi turua fugsi itesitas tersebut. Pada tulisa ii dipelajari perumusa peduga bagi turua pertama da turua kedua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. Kemudia ditetuka sifatsifat statistikaya. Tujua Tujua peulisa karya ilmiah ii adalah utuk : (i) Mempelajari perumusa peduga turua pertama da turua kedua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. (ii) Membuktika perumusa pedekata asimtotik bagi bias utuk peduga turua pertama da turua kedua. (iii) Membuktika perumusa pedekata asimtotik bagi ragam utuk peduga turua pertama da turua kedua. LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag mucul disebut percobaa acak. Defiisi (Ruag cotoh) Ruag cotoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa acak, da diotasika dega Ω. (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi (Kejadia) Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag cotoh Ω. (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi (Kejadia lepas) Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog (Ф). (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi 4 (Meda - σ) Meda σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag cotoh Ω, yag memeuhi syarat berikut... c. Jika A, maka A.. Jika A, A,..., maka A. i i (Hogg et al. 005)

11 Defiisi 5 (Ukura peluag) Misalka Ω adalah ruag cotoh suatu percobaa da F adalah meda - σ pada Ω. Suatu fugsi P yag memetaka usur-usur F ke himpua bilaga yata R, atau P : disebut ukura peluag jika :. P tak egatif, yaitu utuk setiap A, P(A) 0.. P bersifat aditif tak higga, yaitu jika A, A,... dega A A, j k, maka P A. P berorma satu, yaitu P. Pasaga (Ω, F, P) disebut ruag ukura peluag atau ruag probabilitas. (Hogg et al. 005) Defiisi 6 (Kejadia salig bebas) Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: P A B P A P B. Secara umum, himpua kejadia Ai ; i I dikataka salig bebas jika : P Ai P Ai ij ij utuk setiap himpua bagia J dari I. (Grimmett ad Stirzaker 99) Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah acak) Misalka Ω adalah ruag cotoh dari suatu percobaa acak. Fugsi X yag terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ke satu da haya satu bilaga real X(ω) = x disebut peubah acak. Ruag dari X adalah himpua bagia x : x X,. bilaga real j k (Hogg et al. 005) Peubah acak diotasika dega huruf kapital, misalya X, Y, Z. Sedagka ilai peubah acak diotasika dega huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fugsi sebara. Defiisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikataka diskret jika semua himpua ilai dari peubah acak tersebut merupaka himpua tercacah. (Hogg et al. 005) P A. Defiisi 9 (Fugsi sebara) Misalka X adalah peubah acak dega ruag. Misalka kejadia A, x, maka peluag dari kejadia A adalah P X x F x. Fugsi F disebut fugsi sebara dari peubah acak X. (Hogg et al. 005) Defiisi 0 (Fugsi massa peluag) Fugsi massa peluag dari peubah acak diskret X adalah fugsi p : 0, yag diberika oleh : p x P X x X X. (Hogg et al. 005) Defiisi (Peubah acak Poisso) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisso dega parameter, 0 jika fugsi massa peluagya diberika oleh utuk k = 0,, X k, p k e k! (Ross 007) Lema (Jumlah peubah acak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah acak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut da. Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter +. (Taylor ad Karli 984) Bukti : lihat Lampira. Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi (Nilai harapa) Misalka X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p x. Nilai X harapa dari X, diotasika dega E(X), adalah E X xpx x, jika jumlah di atas koverge mutlak. (Hogg et al. 005) Defiisi (Ragam) Misalka X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p x da X ilai harapa E(X). Maka ragam dari X, diotasika dega Var(X) atau, adalah X

12 X X X x X px x. E E E x (Hogg et al. 005) Defiisi 4 (Mome ke-k) Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome ke-k atau m k dari peubah acak X adalah k mk E X. (Hogg et al. 005) Defiisi 5 (Mome pusat ke-k) Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome pusat ke-k atau dari peubah acak k X adalah k E X m k. (Hogg et al. 005) Nilai harapa dari peubah acak X juga merupaka mome pertama dari X. Nilai harapa dari kuadrat perbedaa atara peubah acak X dega ilai harapaya disebut ragam atau variace dari X. Ragam merupaka mome pusat ke- dari peubah acak X. Defiisi 6 (Fugsi idikator) Misalka A adalah suatu kejadia. Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi I : 0,, yag diberika oleh : A I A, jika A 0, jika A. (Grimmett ad Stirzaker 99) Dega fugsi idikator kita dapat meyataka hal berikut : EI P A. Kekovergea Peubah Acak A Terdapat beberapa cara utuk megiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah acak, X X utuk. Defiisi 7 (Kekovergea dalam peluag) Misalka X, X, X,... adalah barisa peubah acak pada suatu ruag peluag (Ω, F, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge p dalam peluag ke X, diotasika X, X jika utuk setiap > 0 berlaku P X X, utuk. 0 Peduga (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi 8 (Statistik) Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah acak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui. (Hogg et al. 005) Defiisi 9 (Peduga) Misalka X, X,..., X adalah cotoh acak. Suatu statistik U X, X,..., X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g, dikataka sebagai peduga (estimator) bagi g dilambagka dega g. Bilamaa ilai X x, X x,..., X x, maka ilai U X, X,..., X disebut sebagai dugaa (estimate) bagi g. (Hogg et al. 005) Defiisi 0 (Peduga tak bias) (i) Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g, yaitu E U X, X,..., X g disebut peduga tak bias bagi g. Jika sebalikya, peduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim E U X, X,..., X g, maka U X, X,..., X disebut sebagai peduga tak bias asimtotik bagi g. (Hogg et al. 005) Defiisi (Peduga kosiste) Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g, disebut peduga kosiste bagi g. (Hogg et al. 005) Defiisi (MSE suatu peduga) Mea Square Error (MSE) dari suatu peduga U bagi parameter g didefiisika sebagai MSE U EU g. Bias U Var U dega Bias U E U g.. Proses Stokastik

13 Defiisi (Proses stokastik) Proses stokastik X X t, t T adalah suatu himpua dari peubah acak yag memetaka suatu ruag cotoh Ω ke suatu ruag state S. (Ross 007) Jadi utuk setiap t pada himpua ideks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita serig megiterpretasika t sebagai waktu da X(t) sebagai state (keadaa) dari proses pada waktu t. Defiisi 4 (Proses stokastik waktu kotiu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval. (Ross 007) Defiisi 5 (Ikreme bebas) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X t, t Tdisebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t0 t t... t, peubah acak X t X t0, X t X t,..., X t X t adalah bebas. (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidih (tidak overlap) adalah bebas. Defiisi 6 (Ikreme stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X X t, t T disebut memiliki ikreme stasioer jika X t s X t memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t. (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme stasioer jika sebara (distribusi) dari perubaha ilai atara sembarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut, da tidak tergatug dari lokasi titik-titik tersebut. Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses ii, kecuali diyataka secara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu 0,. Defiisi 7 (Proses pecacaha) Suatu proses stokastik N t, t 0 disebut proses pecacaha jika N(t) meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t. Dari defiisi tersebut, maka suatu proses pecacaha N(t) harus memeuhi syaratsyarat berikut : (i) N t 0 utuk semua t 0,. (ii) Nilai N(t) adalah iteger. (iii) Jika s t maka N s N t, s, t 0,. (iv) Utuk s t maka N t N s sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada selag s, t. (Ross 007) Defiisi 8 (Proses Poisso) Suatu proses pecacaha N t, t 0 disebut proses Poisso dega laju, 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut. (i) N t 0. (ii) Proses tersebut memiliki ikreme bebas. (iii) Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara (distribusi) Poisso dega ilai harapa t. Jadi utuk semua t, s 0, t k e t P N t s N s k, k! k 0,,... (Ross 007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme yag stasioer. Dari syarat ii juga dapat diperoleh: E N t t. Defiisi 9 (Proses Poisso tak homoge) Suatu proses Poisso N t, t 0 disebut proses Poisso tak homoge jika laju λ pada sembarag waktu t merupaka fugsi tak kosta dari t yaitu λ(t). Defiisi 0 (Itesitas lokal) Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge X dega fugsi itesitas λ pada titik s adalah λ(s) yaitu ilai fugsi (s) di s. (Cressie 99) Defiisi (Fugsi periodik) Suatu fugsi λ disebut periodik jika utuk

14 s k s semua s da k. Kostata terkecil τ yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut. (Browder 996) Defiisi (Proses Poisso periodik) Proses Poisso periodik adalah proses Poisso tak homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik. (Magku 00) Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi (Fugsi teritegralka lokal) Fugsi itesitas λ disebut teritegralka lokal jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B kita peroleh ( B) ( s) ds. B (Dudley 989) Defiisi 4 (O(.) da o(.)) Simbol-simbol O(.) da o(.) merupaka cara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x meuju suatu limit L. (i) Notasi u x O vx, x L, meyataka bahwa u x v x terbatas, utuk. x L. meyataka bahwa u x 0, utuk v x (Serflig 980) Defiisi 5 (Titik Lebesque) Kita kataka s adalah titik Lebesque dari λ jika berlaku h lim s x s dx 0. h0 h (Wheede ad Zygmud 977) Lema (Formula Youg dari Teorema Taylor) Misalka g memiliki turua ke- yag berhigga pada suatu titik x. Maka ( k ) g x k g y g x y x o y x, k! utuk x L y x. h k Bukti : lihat Serflig 980. (Serflig 980) Lema (Pertidaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dega ilai harapa µ da ragam, maka utuk setiap k 0, X k P k. (Ross 007) (ii) Notasi,, u x o v x x L Bukti : lihat Lampira

15 HASIL PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi (s) da Sifat- Sifat Statistikaya Diasumsika bahwa N adalah suatu proses Poisso periodik dega fugsi itesitas yag diamati pada suatu iterval [0, ]. Pembahasa haya dibatasi utuk kasus periode yag diketahui dari fugsi itesitas. Misalka h adalah barisa dari bilaga real positif yag koverge meuju ol, yaitu h 0 jika. Peduga bagi (s) dapat dirumuska sebagai : s N s k h, s k h h k 0,. () Teorema : (Aproksimasi asimtotik utuk ilai harapa λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal jika h. 0 a) Jika λ memiliki turua ketiga berhigga di s da h, maka E s s s h o h 6 () jika. b) Jika λ memiliki turua keempat 4 berhigga di s da h, maka 4 4 E s s s h sh 6 0 jika. () Bukti : Dari persamaa () maka ilai harapaya dapat diyataka sebagai berikut: E, k h s E N s k h s k h o h 0, 4 E E, h s N s k h s k h k h sk h 0, I 0, k sk h x x dx (4) Misalka y x s k x s y k, maka dy dx. Batas itegralya adalah jika x s k h maka y h jika x s k h maka y h Sehigga persamaa (4) mejadi E h (5) Karea periodik (dega periode ) diperoleh bahwa s y k s y (6) Dega mesubstitusi (6) ke (5) maka E h s s y h h k h I s y k 0, dy s y s y k 0, dy h I h k (7) Perhatika bahwa I s y k 0, = O k jika. Dega mesubstitusika (8) ke (7) maka E s O s y dy h E s s y k h h h s s y dy O h jika. k h h h I s y k 0, dy (8) (9)

16 a) Jika λ memiliki turua ketiga berhigga di s da h maka s s s y s y y!! s y o h! (0) Dega mesubstitusika (0) ke (9) diperoleh E h s h s h s s dy y dy h h h h y dy 4h h h h s O oh s s h O oh h 6 jika. h s s h oh y dy b) Jika λ memiliki turua keempat 4 berhigga di s da h, maka 4 s s 4 4 y y oh! 4! () Dega mesubstitusika () ke (9) diperoleh E h s h s 4 h s h s s dy y dy h h y dy 4h h 48h s h h h h h s h y dy O oh s s h h h 40 5 h y dy 4 O oh 4 E s s s h s h o h jika. 4 s s s y s y y!! Teorema : (Aproksimasi asimtotik utuk ragam λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal serta h 0, maka a) Jika memiliki turua ketiga berhigga pada s, maka s s h h Var s o h () jika. b) Jika memiliki turua keempat berhigga pada s, maka Var s jika. s s h h 4 s h h 40 Bukti : Ragam dari λ (s) adalah o 0, () Var s Var N s k h, k h s k h Var s Var N s k h 4, h k 0, s k h (4) Karea utuk sebara Poisso ilai harapa sama dega ragam maka persamaa (4) mejadi E Var s N s k h 4, h k 0, s k h E Var s N s k h, h k h h E s 0, s k h (5) Maka Teorema terbukti.

17 a) Jika memiliki turua ketiga berhigga pada s, dega mesubstitusika persamaa () ke (5), maka Var s s s h h 6 o h s s h h o h jika. b) Jika memiliki turua keempat berhigga pada s, dega mesubstitusika persamaa () ke (5), maka Var s s s h h s h oh 4 s s h s h h 40 h o jika. Maka Teorema terbukti. Perumusa Peduga bagi s da Sifat- Sifat Statistikaya Jika s adalah peduga bagi s, maka peduga bagi s dapat dirumuska sebagai berikut : s (6) Peduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, utuk ilai h > 0 yag cukup kecil, maka s s h s h h s h s h h (7) Teorema : (Aproksimasi asimtotik utuk ilai harapa λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika h 0, h utuk da memiliki turua ketiga berhigga pada s, maka E s s s h o h (8) jika. Bukti : Nilai harapa di ruas kiri (8) dapat diyataka sebagai berikut : s h s h E s E h s h s h h E E Kita igat kembali persamaa (), yaitu E s s sh oh 6 maka E s h s h s h h 6 jika da. o h E s h s h s h h 6 o h (9) (0) () jika. Dega megguaka Deret Taylor maka diperoleh bahwa s s s h s h h!! s h o h! s s h s h oh! s s s h s h h!! s h o h! () () (4)

18 s s h s h oh! (5) Dega mesubstitusika persamaa () da () ke persamaa (0) maka didapatka E s h s sh sh sh o h (6) jika. Da dega mesubstitusika persamaa (4) da (5) ke persamaa () maka didapatka E s h s s h s h sh oh (7) jika. Dega mesubstitusika persamaa (6) da (7) ke persamaa (9) maka didapatka E s s s h o h jika. Maka Teorema terbukti. Teorema 4 : (Aproksimasi asimtotik utuk ragam λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika h 0, h utuk, da memiliki turua ketiga berhigga pada s, maka s s Var s o 4h 6h (8) jika. Bukti : Var s dapat ditetuka sebagai berikut. s h s h Var s Var h Var s Var sh Var s h 4h Dari persamaa () yaitu Cov sh, sh s N s k h, s k h h k 0, Sehigga megakibatka:, h (9) s h N s k s k h k da 0,, h s h N s k h s k k 0, Dari h 0 jika maka utuk ilai yag cukup besar selag da s k h, s k s k, s k h tidak salig tumpag tidih (tidak overlap). Sehigga N s k, s k h da N s k h, s k adalah peubah acak bebas. Dega demikia Cov s h, s h 0, sehigga persamaa (9) mejadi Var s Var s h 4h Var s h Igat kembali peryataa (), bahwa jika. Sehigga meyebabka : jika da s s h h Var s o h s h s h h Var s h h. h o s h s h h Var s h h h o (0) ()

19 () jika. dega mesubstitusika () da () ke () maka diperoleh s s s h Var s h h s h h o 6 () jika. dega mesubstitusika (4) da (5) ke () maka diperoleh s h h o 6 (4) jika. dega mesubstitusika () da (4) ke (0) maka s s Var s o 4h 6h jika. Maka Teorema 4 terbukti. Perumusa Peduga Bagi λ (s) da Sifat- Sifat Statistikaya Jika s adalah peduga bagi s, maka peduga bagi s dapat dirumuska sebagai berikut : s h s h s s 4h (5) Peduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, utuk ilai h > 0 yag cukup kecil, maka s s s s h Var s h h s h s h h s h s h s s 4h (6) Teorema 5 : (Aproksimasi asimtotik utuk ilai harapa s ) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. 4 Jika h 0, h utuk, da memiliki turua keempat berhigga pada s, maka jika. (7) Bukti : Nilai harapa di ruas kiri (7) dapat diyataka sebagai berikut : s h s h s E s E 4h E E E s s h s h 4h E s Kita igat kembali persamaa (), yaitu 4 E s s sh sh 6 0 jika. maka E s h s h s h h 6 0 jika da E s s s h o h (8) s h h oh E s h s h s h h 6 0 (9) jika. 4 4 o h s h h oh (40) Dega megguaka Deret Taylor maka diperoleh bahwa

20 s s 4 s s s h s h 4h!! 4 4 8h 6h oh! 4! (4) 4 4 s h s o s s 4 s s (4) (4) s h s h 4h!! 4 4 8h 6h oh! 4! (44) (45) (46) Dega mesubstitusika persamaa (4), (4), da (4) ke persamaa (9) maka didapatka E s h s s h sh s h s h 0 jika. o h 4 (47) Dega mesubstitusika persamaa (44), (45), da (46) ke persamaa (40) maka didapatka E s h s s h s h s h s h 0 jika. o h 4 s 4 s s h s h 4h o h!! s (48) Dega mesubstitusika persamaa (), (47) da (48) ke persamaa (8) maka didapatka 4 s s h s h 4h o h 4 4 s h s o!! jika. Maka Teorema 5 terbukti. Teorema 6 : (Aproksimasi asimtotik utuk ragam s ) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. 4 Jika h 0, h utuk, da memiliki turua keempat berhigga pada s, maka s 4 s s s 5 Var jika h 96h 90h o h (49) Bukti : Var s dapat ditetuka sebagai berikut. s h s h s Var s Var 4h Var s h Var s h 6h 4Var s Cov s h s h Cov s h s, 4, 4Cov s h, s Dari persamaa () yaitu s N s k h, s k h h 0, (50) k Sehigga meyebabka, h s h N s k h s k h k da 0, E s s s h o h 4

21 , h s h N s k h s k h k 0, Dari h 0, jika maka utuk ilai yag cukup besar selag s k h, s k h, s k h, s k h, da s k h, s k h tidak salig tumpag tidih (tidak overlap). Sehigga N s k h, s k h N s k h, s k h, da N s k h, s k h adalah bebas. Dega demikia Cov s h, s h 0, Cov s h, s 0, da Cov s h, s 0, sehigga (50) mejadi 4 Var s Var s h 6h 4 Var s h Var s Igat kembali peryataa (), bahwa Var s s s h h 4 s h h 40 jika. Sehigga meyebabka: o (5) s h s h h Var s h h jika da. 4 s h h h o 40 (5) s h s h h Var s h h jika. 4 s h h h o 40 (5) dega mesubstitusika (4), (4), da (4) ke (5) maka s s s h Var s h h 4 5 s h s h 6 40 h o (54) dega mesubstitusika (44), (45), da (46) ke (5) maka s s s h Var s h h 4 5 s h s h 6 40 h o (55) dega mesubstitusika (54), (55) da () ke (5) maka s jika. Sehigga Teorema 6 terbukti. 4 s s s 5 Var 5 6h 96h 90h o h

22 Simulasi Utuk megecek kebeara teori yag telah dikaji serta utuk melihat perilaku peduga-peduga yag dikaji utuk ukura sampel yag terbatas, dilakuka simulasi komputer dega megguaka pemrograma-r. Dalam simulasi ii megambil fugsi itesitas lokal s s expcos 5 (56) Data realisasi proses Poisso periodik dibagkitka pada iterval 0,, utuk 000. Grafik fugsi (56) dapat dilihat pada Gambar. memiliki ilai s yag besar. Selai itu, dipilih = 000 da megguaka badwidth h optimal MSEyag sdiperoleh dari miimum. Dega megguaka peduga fugsi itesitas yag didefiisika pada persamaa () da berdasarka Teorema da 4, aproksimasi asimtotik dari bias da ragam pedugaa turua pertama bagi fugsi itesitas adalah sebagai berikut : Bias s s h o h (58) da s 4 6 s Var s o h h jika. sehigga (59) MSE s Bias s Var s s s sh 4h 6h (60) Gambar. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.8 Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Pertama Turua pertama dari fugsi (56) yaitu 4 s s s exp cos si (57) Fugsi itesitas s periodik dega periode 5, maka utuk meduga s pada s 0,, kita cukup memperhatika ilaiilai spada s 0,5. Pada simulasi utuk bias da ragam turua pertama diguaka titik s, yaitu s = 0.8 yag memiliki ilai s yag kecil, s = yag memiliki ilai s yag sedag da s = 4. yag Utuk memperoleh ilai h optimum maka dilakuka miimisasi persamaa (60) terhadap h, kemudia dievaluasi saat turua pertama berilai ol. Sehigga diperoleh s s 4 7 s h h (6) Hasil Simulasi : (i). Utuk s = 0.8, maka s s s s s (4) Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (6) diperoleh h =0.05 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (58) da (59) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua pertama, yaitu :

23 s Bias 0.66 da Var s 0.57 Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s da s 0.56 Var Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s 0.00 Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 4) dapat dilihat pada Gambar. ragam dari peduga turua pertama, yaitu : Bias s 0.09 da Var s Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s 0.04 da s Var Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 4) dapat dilihat pada Gambar. Gambar. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.05 (ii). Utuk s =, maka s s s s s (4).699 Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (6) diperoleh h =0.40 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (58) da (59) diperoleh aproksimasi bias da Gambar. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.40 (iii). Utuk s = 4., maka s s s s s (4).8978 Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (6) diperoleh h =0.6 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (58)

24 da (59) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua pertama, yaitu : Bias s 0.87 da Var s 0. Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s 0.89 da s Var Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 4) dapat dilihat pada Gambar 4. Gambar 4. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.6 Dari hasil simulasi di atas, hasil aproksimasi asimtotik utuk bias da ragam peduga turua pertama fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi komputer. Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Kedua Turua kedua dari fugsi (56) yaitu s 8 s s exp cos si s cos 5 (6) Fugsi itesitas s periodik dega periode 5, maka utuk meduga s pada s 0,, kita cukup memperhatika ilaiilai spada s 0,5. Pada simulasi utuk bias da ragam turua kedua diguaka titik s, yaitu s =.9 yag memiliki ilai s yag besar, s = 4.5 yag memiliki ilai s yag sedag da s = 4.9 yag memiliki ilai s yag kecil. Selai itu, dipilih = 000 da megguaka badwidth h optimal yag diperoleh dari MSE s miimum Dega megguaka peduga fugsi itesitas yag didefiisika pada persamaa () da berdasarka Teorema da 4, aproksimasi asimtotik dari bias da ragam pedugaa turua kedua bagi fugsi itesitas adalah sebagai berikut : 4 Bias s s h o h (6) da Var s jika. 4 s s s 5 5 6h 96h 90h o h (64) MSE s Bias s Var s s 5 96h 90 s 4 s h 6h 5 4 s h (65)

25 Utuk memperoleh ilai h optimum maka dilakuka miimisasi persamaa (60) terhadap h, kemudia dievaluasi saat turua pertama berilai ol. Sehigga diperoleh s s 45 s s h h h Hasil Simulasi : (i) Utuk s =.9, maka s s s s s (4).9586 (66) Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (66) diperoleh h =0.065 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (6) da (64) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua kedua, yaitu: Bias s.049 da Var Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s da s Var s 0.89 Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s 0.00 Var s Var s 0.07 Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 5) dapat dilihat pada Gambar 5. Gambar 5. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth (ii) Utuk s = 4.5, maka s s s Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (66) diperoleh h = sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (6) da (64) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua kedua, yaitu: Bias s 0.97 da Var s Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s da s Var s s (4).84 Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s 0.00

26 Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 5) dapat dilihat pada Gambar 6. Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut: Bias s Bias s 0.76 Var s Var s 0. Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 5) dapat dilihat pada Gambar 7. Gambar 6. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth (iii) Utuk s = 4.9, maka s s s s s (4) 8.08 Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (66) diperoleh h =0.747 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (6) da (64) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua kedua, yaitu: Bias s.989 da Var s.608 Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s.5786 da s.7489 Var Gambar 7. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth Dari hasil simulasi di atas, hasil aproksimasi asimtotik utuk ragam peduga turua kedua fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi. Namu secara umum hasil aproksimasi asimtotik utuk biasya relatif jauh dega hasil simulasi.

27 KESIMPULAN Pada tulisa ii dikaji suatu metode utuk merumuska peduga turua pertama da turua kedua suatu fugsi itesitas proses Poisso periodik. Utuk tujua ii terlebih dahulu ditetuka peduga bagi fugsi itesitas lokal pada titik s dari proses Poisso periodik dega periode (diketahui) yag diamati pada iterval [0,] yag dirumuska sebagai berikut : s N s k h, s k h h k 0, Dari peduga di atas, kemudia dituruka peduga bagi λ (s) yag dirumuska sebagai: s h s h s h Selajutya dari peduga di atas, dituruka lagi peduga bagi λ (s) yag dirumuska sebagai : s h s h s s 4h Pada ketiga peduga di atas, h disebut badwidth. Pegkajia yag dilakuka mecakup sifat-sifat statistika peduga turua pertama da turua kedua. Dari hasil pegkajia yag dilakuka dapat disimpulka bahwa : (i). Peduga λ (s) merupaka peduga tak bias asimtotik bagi λ (s). (ii). (iii). (iv). Peduga λ (s) merupaka peduga tak bias asimtotik bagi λ (s). (v). (vi). E s s s h o h s s Var s o 4h 6h E s s s h o h s 5 s Var s 5 6h 96h s o 90h h (vii). Hasil aproksimasi asimtotik utuk bias da ragam peduga turua pertama fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi komputer. (viii). Hasil aproksimasi asimtotik utuk ragam peduga turua kedua fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi. Namu secara umum hasil aproksimasi asimtotik utuk biasya relatif jauh dega hasil simulasi. 4 4

28 DAFTAR PUSTAKA Browder A Mathematical Aalysis : A Itroductio. Spriger. New York. Cressie NAC. 99. Statistic for Spatial Data. Revised Editio. Wiley. New York. Dudley RM Real Aalysis ad Probability. Wadsworth & Brooks. Califoria. Durret R Probability : Theory ad Examples. Ed. Ke-. Duxbury Press. New York. Grimmet GR, Stirzaker DR. 99. Probability ad Radom Processes. Ed. ke-. Claredo Press. Oxford. Hogg RV, Graig AT, McKea JW Itroductio to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Pretice Hall, Eglewood Cliffs. New Jersey. Magku IW. 00. Estimatig the Itesity of a Cyclic Poisso Process (Ph. D. Thesis). Uiversity of Amsterdam, Amsterdam. Ross SM Itroductio to Probability Model. Ed. Ke-9. Academic Press Ic. Orlado, Florida. Serflig RJ Approximatio Theorems of Mathematical Statistic. Joh Wiley & Sos. New York. Taylor HM, Karli S A Itroductio to Stochastic Modellig. Academic Press, Ic. Orlado, Florida. Wheede RL, Zygmud A Measure ad Itegral : A Itroductio to Real Aalysis. Marcel Dekker, Ic. New York.

29 LAMPIRAN

30 Lampira. Pembuktia Lema Lema (Jumlah Peubah Acak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah acak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut λ da λ. Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter λ + λ. (Taylor ad Karli 984) Bukti : Dega megguaka atura peluag total (law of total probability), dapat kita yataka k k k0 k! k!( k)! P X Y P X k, Y k k 0 k 0 k 0 P P X k Y k ( X da Y salig bebas) k k e e k 0 k! ( k)! e e! k! k!( k)! k 0 Igat, dega perluasa biomial kita dapat meyataka, utuk setiap iteger positif, k k Sehigga dega mesubstitusika () ke () kita peroleh ruas kaa () adalah e! ( ) k. Betuk () di atas adalah fugsi peluag dari sebara Poisso dega parameter (λ + λ ). () () () Maka Lema terbukti.

31 Lampira. Pembuktia Lema Lema (Pertidaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dega rataa µ da ragam σ, maka utuk setiap k > 0, P X k k. () (Ross 007) Bukti : Utuk membuktika pertidaksamaa Chebyshev diperluka Pertidaksamaa Markov (Lema 4) berikut : Lema 4 (Pertidaksamaa Markov) Jika X adalah peubah acak dega E(X) terbatas, maka utuk setiap a > 0, P X a E a X. () Bukti : Misalka A X a maka X ai, dega I adalah fugsi idicator dari A, yaitu : I Jika kita tetuka ilai harapaya, maka aka diperoleh A E X E ai, jika X a. 0, jika X a A aei A ap X a. Sehigga diperoleh P Jadi Lema 4 terbukti. X a E a X. Selajutya dega Pertidaksama Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktika Lema. P P. X k X k E k X k Jadi Lema terbukti.

32 Lampira. Program Peetua Gambar (s) Radom<-fuctio(,tau) { maxlambda<-5.5 LAB<-(maxlambda)* N<-rpois(,LAB) poits<-ruif(n,0,) lambda<-*exp(cos((*pi*poits)/tau)) p<-lambda/maxlambda p[p<0]< p[p>=]< hold<-rbiom(n,,p)== selected<-poits[hold] retur(selected) } # Membagkitka proses Poisso tak homoge dega = 000 da tau = 5

33 Lampira. (Lajuta) Duga<-fuctio(Data,,titik,bad,tau) { K<-floor((-titik)/tau) vdt<-:k for(k i :K) { pusat<-titik+(k-)*tau bawah<-pusat-bad atas<-pusat+bad sample<-data[data>=bawah&data<=atas] vdt[k]<-legth(sample)/(*bad) } Dugaa<-(sum(vdt)*tau)/ retur(dugaa) } Peduga<-fuctio(Data,,a,b,bad,tau) { x<-seq(a,b,0.) yduga<-seq(a,b,0.) K<-legth(yduga) for(k i :K) { titik<-x[k] yduga[k]<-duga(data,,titik,bad,tau) } retur(yduga) } Gambar<-fuctio(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.) ytrue<-*exp(cos((*pi*x)/tau)) plot(x,ytrue,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="l",col=4) par(ew=t) plot(x,yduga,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="o",col=6) } # Program meampilka gambar fugsi sebearya vs fugsi dugaa dega a,b adalah batas bawah da batas atas da badwidth 0.8. # Utuk me-ru program: Data<-Radom(,tau) yduga<-peduga(data,,a,b,bad,tau) Gambar<-Gambar(a,b,tau)

34 Lampira 4. Program Peetua Gambar (s) Peduga_tp<-fuctio(Data,,a,b,bad,tau) { x<-seq(a,b,0.) yduga_tp<-seq(a,b,0.) K<-legth(yduga_tp) for(k i :K) { titik<-x[k]+bad titik<-x[k]-bad duga<-duga(data,,titik,bad,tau) duga<-duga(data,,titik,bad,tau) yduga_tp[k]<-((duga-duga)/(*bad)) } retur(yduga_tp) } Grafik<-fuctio(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.) ytrue_tp<-(-4*exp(cos((*pi*x)/tau))*pi*si((*pi*x)/tau))/tau plot(x,ytrue_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="l",col=4) par(ew=t) plot(x,yduga_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="o",col=6) } # Program meampilka gambar fugsi sebearya vs fugsi dugaa dega a,b adalah batas bawah da batas atas da badwidth 0.05, 0.40, da 0.6. # Utuk me-ru program: Data<-Radom(,tau) yduga_tp<-peduga_tp(data,,a,b,bad,tau) Gambar<-Grafik(a,b,tau)

35 Lampira 5. Program Peetua Gambar (s) Peduga_tk<-fuctio(Data,,a,b,bad,tau) { x<-seq(a,b,0.) yduga_tk<-seq(a,b,0.) K<-legth(yduga_tk) for(k i :K) { titik4<-x[k]+(*bad) titik5<-x[k]-(*bad) titik6<-x[k] duga<-duga(data,,titik4,bad,tau) duga4<-duga(data,,titik5,bad,tau) duga5<-duga(data,,titik6,bad,tau) yduga_tk[k]<-((duga+duga4-(*duga5))/(4*(bad)^)) } retur(yduga_tk) } Kurva<-fuctio(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.) ytrue_tk<-((8*pi^* exp(cos((*pi*x)/tau))* si((*pi*x)/tau)^)/(tau^))-( 8*pi^* exp(cos((*pi*x)/tau))* cos((*pi*x)/tau))/(tau^) plot(x,ytrue_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="l",col=4) par(ew=t) plot(x,yduga_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="o",col=6) } # Program meampilka gambar fugsi sebearya vs fugsi dugaa dega a,b adalah batas bawah da batas atas serta badwidth 0.065, , da # Utuk me-ru program: Data<-Radom(,tau) yduga_tk<-peduga_tk(data,,a,b,bad,tau) Gambar<-Kurva(a,b,tau)

36 Lampira 6. Program Peetua Nilai Harapa da Ragam Turua Pertama da Kedua Peduga<-fuctio(,titik,bad,tau,M) { Dugaa<-:M for(m i :M) { Data<-Radom(,tau) Dugaa[m]<-Duga(Data,,titik,bad,tau) } retur(dugaa) } Peduga<-fuctio(,titik,bad,tau,M) { titik<-titik+bad titik<-titik-bad Dugaa_Turua<-:M for(m i :M) { Data<-Rph(,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa_Turua[m]<-((Dugaa-Dugaa)/(*bad)) } retur(dugaa_turua) } Peduga<-fuctio(,titik,bad,tau,M) { titik<-titik+(*bad) titik4<-titik-(*bad) Dugaa_Turua<-:M for(m i :M) { Data<-Rph(,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa4<-Duga(Data,,titik4,bad,tau) Dugaa_Turua[m]<-((Dugaa+Dugaa4-(*Dugaa))/(4*(bad)^)) } retur(dugaa_turua) }

37 # Utuk mecari ilai harapa da ragam turua pertama dega ilai s = 0.8, s = da s = 4. dega ilai badwidth-ya masig-masig. Dugaa_Turua<-Peduga(,titik,bad,tau,M) Nilai_Harapa<-mea(Dugaa_Turua) Ragam<-(sd(Dugaa_Turua))^ # Utuk mecari ilai harapa da ragam turua kedua dega ilai s =.9, s = 4. da s = 4.9 dega ilai badwidth-ya masig-masig. Dugaa_Turua<-Peduga(,titik,bad,tau,M) Nilai_Harapa<-mea(Dugaa_Turua) Ragam<-(sd(Dugaa_Turua))^