PENJADWALAN MATA KULIAH MENGGUNAKAN INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING Studi Kasus di Bina Sarana Informatika Bogor ERLIYANA

Transkripsi

1 PENJADWALAN MATA KULIAH MENGGUNAKAN INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING Studi Kasus di Bia Saraa Iformatika Bogor ERLIYANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABSTRACT ERLIYANA. Courses Schedulig Usig Iteger Noliear Programmig. A Case Study of Bia Saraa Iformatika Bogor. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO ad FARIDA HANUM. This research aims to formulate courses schedulig based o lecturers ad studets prefereces ad other costraits. The model used is Iteger Noliear Programmig (INLP), with lecturers ad studets prefereces are represeted by course weights. The smaller weights of subjects idicate that their prefereces are more prefered. This model is implemeted to schedule courses of 5 th semester classes at the Academy of Bia Saraa Iformatika Bogor. The solutio of this model is carried out usig Ligo 8.0. The result shows that the schedule fulfill 98,57% prefereces of regular studets, 00% of extesio studets, ad 00% of lecturers.

3 ABSTRAK ERLIYANA. Pejadwala Mata Kuliah Megguaka Iteger Noliear Programmig. Studi Kasus di Bia Saraa Iformatika Bogor. Dibimbig Oleh PRAPTO TRI SUPRIYO da FARIDA HANUM. Tujua peelitia ii adalah membuat model pejadwala mata kuliah berdasarka preferesi dose da mahasiswa da memeuhi berbagai kedala lai. Model yag diguaka adalah Iteger Noliear Programmig (INLP), sedagka preferesi dose da mahasiswa direpresetasika dega suatu bobot. Bobot mata kuliah yag lebih kecil meadaka bahwa preferesiya lebih diutamaka. Model pejadwala yag telah disusu diimplemetasika utuk meyusu jadwal mata kuliah semester 5 di Akademi Bia Saraa Iformatika. Solusi yag diperoleh dari peyelesaia model dega megguaka Ligo 8.0 utuk studi kasus yag dilakuka adalah jadwal mata kuliah yag memeuhi 98,57% keigia mahasiswa reguler, 00% keigia mahasiswa ekstesi, da 00% keigia dose.

4 PENJADWALAN MATA KULIAH MENGGUNAKAN INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING Studi Kasus di Bia Saraa Iformatika Bogor ERLIYANA Skripsi sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul : Pejadwala Mata kuliah Megguaka Iteger Noliear Programmig: Studi Kasus di Bia Saraa Iformatika Bogor Nama : Erliyaa NIM : G Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP Dra. Farida Haum, M.Si. NIP Megetahui: Ketua Departeme Dr. Berlia Setiawaty, M.S. NIP Taggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas berkat, rahmat da kasih sayag-nya sehigga peulis mampu meyelesaika karya ilmiah ii. Berbagai kedala dialami oleh peulis sehigga bayak sekali orag yag membatu da berkotribusi dalam pembuata karya ilmiah ii. Oleh karea itu, dalam kesempata ii peulis megucapka terima kasih kepada:. Sag pecipta, Tuha semesta alam Allah SWT, atas maha karya-nya yaitu bumi yag sempura ii;. abi besar Muhammad SAW sebagai peutup para abi;. keluarga tercita: bapak da ibu, ibu sebagai pemberi motivasi da bapak sebagai sumber ispirasi, utuk Istiajid yag selalu memberika semagat da doa.. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dose pembimbig I yag telah meluagka waktu da pikira dalam membimbig, memberi motivasi, semagat da doa; 5. Dra. Farida Haum, M.Si. selaku dose pembimbig II yag telah memberika ilmu, kritik da sara, motivasi serta doaya; 6. Dr. Ir. Amril Ama, M.Sc. selaku dose peguji yag telah memberika ilmu, sara da doaya; 7. semua dose Departeme Matematika, terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika; 8. staf Departeme Matematika: Bapak Yoo, Bapak Hery, Bapak Dei, Ibu Ade, Bapak Epul, Bapak Boo da Ibu Susi atas semagat da doaya, 9. Raka yag selalu setia medampigi, memberi dukuga, da doa, 0. sahabat yag selalu memberi semagat: Nike, Idha, Oby, Eyyi, Jae,. tema-tema yag megajarka Ligo: Apri, Dj, Bima,. tema yag selalu memberi motivasi da batua: Dio, Erpa,. Adri yag membatu dalam pembuata abstrak,. semua tema Matematika yag selalu mejadi cotoh yag baik, 5. semua tema Matematika yag selalu mejadi bagia dari keluarga, 6. semua tema Matematika yag selalu medukug agar terus berkembag, 7. tema satu pembimbig: Yudi, Slamet, Zil, 8. Gumatika yag telah megasah pribadi ii mejadi pribadi yag tagguh, 9. semua pihak yag telah membatu dalam peyusua karya ilmiah ii. Peulis meyadari bahwa dalam tulisa ii masih terdapat kekuraga da jauh dari kesempuraa, oleh karea itu peulis megharapka kritik da sara yag membagu dari pembaca. Semoga tulisa ii dapat bermafaat. Bogor, Jui 0 Erliyaa

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Bogor pada 0 Maret 987 sebagai aak pertama dari dua bersaudara, aak dari pasaga Mochammad Yahya Permaa da Usmaah. Pada tahu 999 peulis lulus dari SD Negeri Guug Batu 0 Bogor kemudia tahu 00 lulus dari SLTP Negeri 06 Bogor. Tahu 005 peulis lulus dari SMA Negeri 6 Bogor da pada tahu yag sama peulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Udaga Seleksi Masuk IPB). Pada tahu 007, peulis memilih Mayor Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Selama megikuti perkuliaha, peulis aktif dalam megajar Matematika bimbiga belajar privat maupu kelompok mahasiswa da siswa SMA. Peulis aktif dalam orgaisasi kemahasiswaa di kampus, seperti orgaisasi himpua profesi Departeme Matematika yag dikeal dega GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai aggota Departeme KEWIRAUSAHAAN tahu 006/007 da kepala divisi Departeme KEWIRAUSAHAAN tahu 007/008. Selai itu, peulis juga terlibat dalam beberapa kegiata, atara lai koordiator Humas Try-Out Pegatar Matematika mahasiswa IPB 007, koordiator dekorasi Masa Pegeala Departeme Matematika 008, koordiator Dekorasi da Dokumetasi Matematika Ria dalam acara Pesta Sais se-idoesia 009. Pada tahu 009 peulis mecoba utuk megajar di SMP/SMK Nusatara Madiri da beberapa lembaga bimbiga belajar.

8 DAFTAR ISI Halama DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN viii viii viii I PENDAHULUAN. Latar Belakag. Tujua II LANDASAN TEORI. Pemrograma Liear. Iteger Programmig. Noliear Programmig. Iteger Noliear Programmig.5 Metode Brach ad Boud 5 III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH. Deskripsi Masalah 9. Formulasi Masalah 9. Model Matematika 0 IV PENYELESAIAN MASALAH PENJADWALAN MATA KULIAH V SIMPULAN DAN SARAN 5. Simpula 6 5. Sara 6 DAFTAR PUSTAKA 6 LAMPIRAN 7 vii

9 DAFTAR TABEL Halama Subproblem-subproblem masalah INLP (0) 7 Pecabaga Subproblem P(X ) 7 Pecabaga Subproblem PX ( ) 7 Pecabaga Subproblem P(X ) 8 5 Pecabaga Subproblem PX ( ) 8 6 Pecabaga Subproblem PX ( ) 8 7 Pecabaga Subproblem PX ( ) 8 8 Daftar mata kuliah semester lima di AMIK 9 Ruaga yag tersedia 0 Periode hari Periode waktu Daftar kelompok Daftar dose Jadwal kegiata belajar megajar utuk program regular Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor 5 5 Jadwal kegiata belajar megajar utuk program ekstesi Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor 5 DAFTAR GAMBAR Halama Daerah fisibel (daerah yag diarsir) utuk NPL-relaksasi dari INLP (0). 6 Daerah fisibel subproblem P(X ) da subproblem P(X ). 6 Bobot suatu mata kuliah yag diharapka diajarka di awal periode waktu utuk mahasiswa program regular. 0 Bobot suatu mata kuliah yag diharapka diajarka di akhir periode waktu utuk mahasiswa program ekstesi. 0 5 Bobot mata kuliah Pemrograma Visual FOXPRO (K) yag diharapka diajarka di awal periode waktu utuk mahasiswa program regular. 6 Bobot mata kuliah Pemrograma Visual FOXPRO (P) yag diharapka diajarka di akhir periode waktu utuk mahasiswa program ekstesi. DAFTAR LAMPIRAN Halama Sytax Program LINGO 8.0 dalam mecari ilai awal solusi fisibel Cotoh 8 Sytax Program LINGO 8.0 utuk Meyelesaika Masalah Pemrograma Takliear dega Metode Brach-ad-Boud Beserta Hasil yag Diperoleh 8 Program utuk meyelesaika masalah pejadwala kegiata belajar megajar di Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor. viii

10 I PENDAHULUAN. Latar Belakag Salah satu bagia petig yag tidak dapat dipisahka dalam sekolah tiggi da uiversitas adalah masalah pejadwala mata kuliah dega kedala waktu yag diigika (preferesi) dose, mahasiswa, da bayakya ruaga yag terbatas. Oleh sebab itu perlu dibuat sebuah pejadwala mata kuliah yag memeuhi semua kedala da memuaska semua pihak. Bia Saraa Iformatika (BSI) merupaka salah satu pergurua tiggi yag meyeleggaraka program regular da ekstesi. Program regular diseleggaraka pada waktu pagi atau siag hari, sedagka program ekstesi diseleggaraka pada waktu sore atau malam hari. Setiap mahasiswa da dose mempuyai preferesi hari da periode waktu dalam pelaksaaa kuliah. Atas dasar ii, masalah pejadwala mata kuliah aka dibuat. Permasalaha pejadwala mata kuliah ii dapat dimodelka sebagai masalah Iteger Noliear Programmig (INLP). INLP adalah suatu model pemrograma matematika dimaa variabel keputusa berupa bilaga iteger dega fugsi objektif atau kedalaya oliear. Tulisa ii merupaka rekotruksi dari artikel A 0- iteger programmig approach to a uiversity timetablig problem yag ditulis oleh M Akif Bakir da Ciha Askop.. Tujua Tujua dari karya ilmiah ii adalah memodelka masalah pejadwala mata kuliah yag memiimumka ketidakpuasa mahasiswa da dose di Bia Saraa Iformatika (BSI) Bogor ke dalam betuk INLP. Selajutya model diselesaika dega batua software LINGO 8.0. II LANDASAN TEORI Berikut ii aka dijelaska defiisi da teori yag terkait dega Iteger Noliear Programmig (INLP).. Pemrograma Liear Fugsi liear da pertidaksamaa liear merupaka salah satu kosep dasar yag harus dipahami terkait dega kosep pemrograma liear. Defiisi (Fugsi Liear) Suatu fugsi f ( x, x,..., x ) dalam variabel-variabel x, x,..., x adalah suatu fugsi liear jika da haya jika utuk suatu himpua kostata c, c,..., c, f ( x, x,..., x ) = cx + c x c x. (Wisto 00) Sebagai cotoh, f( x, x) = x + x merupaka fugsi liear, semetara f ( x, x ) = x x buka fugsi liear. Defiisi (Pertidaksamaa da Persamaa Liear) Utuk sembarag fugsi liear f ( x, x,..., x ) da sembarag bilaga b, pertidaksamaa f ( x, x,..., x ) b atau f ( x, x,..., x ) b adalah pertidaksamaa liear. Misalka b sembarag bilaga, suatu persamaa f ( x, x,..., x ) = b merupaka persamaa liear. (Wisto 00) Pemrograma liear (PL) atau liear programmig (LP) adalah suatu masalah optimisasi yag memeuhi ketetuaketetua sebagai berikut: a) Tujua masalah tersebut adalah memaksimumka atau memiimumka suatu fugsi liear dari sejumlah variabel keputusa. Fugsi yag aka dimaksimumka atau dimiimumka ii disebut fugsi objektif. b) Nilai variabel-variabel keputusaya harus memeuhi suatu himpua kedala. Setiap kedala harus berupa persamaa liear atau pertidaksamaa liear. c) Ada pembatasa tada utuk setiap variabel dalam masalah ii. Utuk sembarag variabel x i, pembatasa tada meetuka x i harus takegatif ( x i 0) atau tidak dibatasi tadaya (urestricted i sig). (Wisto 00)

11 Suatu PL mempuyai betuk stadar seperti yag didefiisika sebagai berikut. Defiisi (Betuk Stadar PL) Suatu PL dikataka berbetuk stadar jika berbetuk: T mi z = cx terhadap Ax = b () x 0 dega x da c berupa vektor berukura, vektor b berukura m, sedagka A berupa matriks berukura m yag disebut juga matriks kedala. (Nash & Sofer 996) Sebagai catata, yag dimaksud dega vektor berukura adalah vektor yag memiliki dimesi (ukura). Solusi Pemrograma Liear Suatu masalah PL dapat diselesaika dalam berbagai tekik, salah satuya adalah metode simpleks. Metode ii dapat meghasilka suatu solusi optimum bagi masalah PL da telah dikembagka oleh Datzig sejak tahu 97, da dalam perkembagaya merupaka metode yag palig umum diguaka utuk meyelesaika masalah PL. Metode ii berupa metode iteratif utuk meyelesaika masalah PL berbetuk stadar. Pada masalah PL (), vektor x yag memeuhi kedala Ax = b disebut solusi PL (). Misalka matriks A diyataka sebagai A= ( B N ), dega B adalah matriks taksigular berukura m m yag elemeya berupa koefisie variabel basis da N merupaka matriks berukura m ( m) yag eleme-elemeya berupa koefisie variabel obasis pada matriks kedala. Dalam hal ii matriks B disebut matriks basis utuk PL (). Misalka x diyataka sebagai vektor xb x =, dega x B adalah vektor variabel xn basis da x N adalah vektor variabel obasis, maka Ax = b dapat diyataka sebagai Ax = ( B ) x B N x N = Bx + Nx = b. () B N Karea matriks B adalah matriks taksigular, maka B memiliki ivers, sehigga dari () x dapat diyataka sebagai: B x = B B b B Nx N. () Kemudia, fugsi objektifya berubah mejadi: mi z = cx T T + cx. B B N N Defiisi (Daerah Fisibel) Daerah fisibel suatu masalah PL adalah himpua semua titik yag memeuhi semua kedala da pembatasa tada pada masalah PL tersebut. (Wisto 00) Defiisi 5 (Solusi Basis) Solusi dari suatu masalah PL disebut solusi basis jika memeuhi syarat berikut: i. solusi tersebut memeuhi kedala pada masalah PL; ii. kolom-kolom dari matriks kedala yag berpadaa dega kompoe takol dari solusi tersebut adalah bebas liear. (Nash & Sofer 996) Defiisi 6 (Solusi Basis Fisibel) Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x merupaka solusi basis da x 0. (Nash & Sofer 996) Ilustrasi solusi basis da solusi basis fisibel diberika dalam Cotoh. Cotoh Misalka diberika masalah PL berikut: mi z = x x, terhadap x + x + x =, x + x + x = 8, x + x = 5, 5 x, x, x, x, x 0. 5 Dari PL tersebut diperoleh: 0 0 A = 0 0, b = Misalka dipilih T xb = ( x x x ) da x N = ( x x ) maka matriks basisya adalah T 5, ()

12 B= 0 0, B = 0 0, N = T ( 8 5), ( 0 0) c c. T = = B N Dega megguaka matriks basis tersebut, diperoleh x x N B = T ( 0 0), - B b = ( ) = 8 5 T (5) T - z= cbb= 5 B Solusi (5) merupaka solusi basis, karea memeuhi kedala pada masalah PL () da kolom-kolom pada matriks kedala yag berpadaa dega kompoe takol dari (5), yaitu B bebas liear (kolom yag satu buka merupaka kelipata dari kolom yag lai). Solusi (5) juga merupaka solusi basis fisibel, karea ilai-ilai variabelya lebih dari atau sama dega ol. Hal yag juga petig dalam kosep pemrograma liear utuk model ii adalah daerah fisibel da solusi optimum yag didefiisika sebagai berikut. Defiisi 7 (Solusi Optimum) Utuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dega ilai fugsi objektif terbesar. Utuk masalah miimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dega ilai fugsi objektif terkecil. (Wisto 00). Iteger Programmig Iteger programmig (IP) atau pemrograma iteger adalah suatu model pemrograma liear dega variabel yag diguaka berupa bilaga bulat (iteger). Jika semua variabel harus berupa iteger, maka masalah tersebut diamaka pure iteger programmig. Jika haya sebagia yag harus berupa iteger, maka disebut mixed iteger programmig (MIP). IP dega semua variabelya harus berilai 0 atau disebut 0- IP. (Garfikel & Nemhauser 97) Defiisi 8 (Pemrograma Liear Relaksasi) Pemrograma liear relaksasi atau serig disebut PL-relaksasi merupaka suatu pemrograma liear yag diperoleh dari suatu IP dega meghilagka kedala iteger atau kedala 0- pada setiap variabelya. Utuk masalah maksimisasi, ilai optimum fugsi objektif PL-relaksasi lebih besar atau sama dega ilai optimum fugsi objektif IP, sedagka utuk masalah miimisasi, ilai optimum fugsi objektif PLrelaksasi lebih kecil atau sama dega ilai optimum fugsi objektif IP. (Wisto 00). Noliear Programmig Model oliear programmig (NLP) meliputi pegoptimuma suatu kodisi berikut : a) fugsi objektif oliear terhadap kedala liear, b) fugsi objektif oliear terhadap kedala oliear, c) fugsi objektif oliear da takberkedala. (Sharma 006) Defiisi 9 (betuk umum suatu NLP) Betuk umum suatu oliear programmig adalah : max (atau mi) z = f(x, x,..., x ) terhadap kedala: g (x, x,..., x ) ( =,, ) b g (x, x,..., x ) ( =,, ) b M g m (x, x,..., x ) ( =,, ) b m (6) Kompoe x, x,..., x merupaka variabel keputusa da b, b,..., b m adalah kostata. f(x, x,..., x ) adalah fugsi objektif da g j (x, x,..., x ) meyataka fugsi-fugsi kedala persamaa atau pertaksamaa, dega j =,,, m. Jika betuk umum memiliki kedala, maka masalah (6) diamaka masalah oliear programmig berkedala. Jika betuk umum tidak memiliki kedala, maka masalah (6) diamaka masalah oliear programmig takberkedala. (Wisto 00).. Kosep Dasar NLP Utuk meyelesaika suatu masalah oliear programmig diperluka kosep

13 dasar, yaitu gradie da matriks Hesse fugsi bayak variabel. Vektor Gradie da Matriks Hesse Misalka f adalah fugsi dari variabel x, x,..., x (biasa dituliska dega f ( x) = f( x, x,..., x ) da terdiferesialka dua kali secara kotiu, da diyataka dega f C. Utuk f C didefiisika vektor gradie fugsi f di titik x adalah f ( x) x f ( x) f ( x) = x M f ( ) x x Jika fugsi terdiferesialka secara kotiu dua kali maka di titik x terdapat matriks turua parsial yag disebut matriks Hesse (Hessia matrix) f ( x) H ( x) = = f ( x ) xi xj f( x) f( x) f( x) L x x x x x f( x) f( x) f( x) K = x x x x x M M O M f( x) f( x) f( x) L x x x x x.. Fugsi Koveks da Fugsi Kokaf Defiisi 0 (Fugsi Koveks da Kokaf) Fugsi f dikataka fugsi koveks pada selag I jika haya jika f( λx+ ( λ) x) λ f( x) + ( λ) f( x), utuk setiap x, x I da utuk setiap 0 λ. Fugsi f dikataka fugsi kokaf pada selag I jika haya jika f( λx+ ( λ) x) λ f( x) + ( λ) f( x), utuk setiap x, x I da utuk setiap 0 λ. (Ecker & Kupferschmid 998).. Pegoptimuma Berkedala Metode yag dapat diguaka dalam meyelesaika pegoptimuma berkedala di ataraya adalah metode iteratif (metode pealti) da metode aalitik (pegali Lagrage da kodisi Karush-Kuh-Tucker). Di bawah ii aka dibahas salah satu metode peyelesaia utuk pegoptimuma berkedala. Kodisi Karush-Kuh-Tucker (KKT) Misalka diberika pegoptimuma kedala pertidaksamaa, maka salah satu alteratif peyelesaia adalah dega megubah semua pertaksamaa mejadi persamaa dega meambah variabel tambaha, seperti: g( x) 0 g( x) + y = 0 Namu dega cara ii tidak efektif jika terlalu bayak kedala yag harus diubah karea megakibatka bertambah bayak variabel keputusa yag harus dilibatka. Tekik lai utuk meyelesaika masalah tersebut adalah dega megguaka kodisi Karush-Kuh-Tucker. Misalka diberika masalah pegoptimuma: mi f ( x ) (8) terhadap g ( x) = 0, j =,,..., m j g j ( x) 0, j = m,..., p da x R dega f da g j merupaka fugsi-fugsi yag mempuyai turua pertama yag kotiu. Didefiisika fugsi Lagrage L(x,λ) = f(x) + m j = λ g ( x ) j j Karush (99) da Kuh da Tucker (95) secara terpisah meuruka syarat perlu yag harus dipeuhi oleh solusi (miimizer) x* dari masalah (8), yag disebut kodisi KKT, yaitu terdapat λ * R sehigga: f. x (x*) m g * j + λ j (x*) = 0, i =,,..., l i j = xi. g j (x*) 0, j = m,..., p *. λ jg j(x*) = 0, j = m,..., p *. λ j 0, j = m,..., p dega λ * pegali Lagrage. Kodisi di atas dapat mejadi syarat cukup utuk strog global miimizer x* jika f da g j merupaka fugsi koveks. (Syma 005). Iteger Noliear Programmig Model iteger oliear programmig (INLP) merupaka suatu model pemrograma matematika di maa variabel keputusa

14 5 berupa bilaga iteger dega fugsi objektif atau kedalaya oliear. (Ecker & Kupferschmid 998) Betuk umum dari masalah iteger oliear programmig (INLP) adalah sebagai berikut: mi f ( x ) terhadap g ( x) b, i =,,..., m i i h ( x ) = c, k =,,..., l k k x X Z (9) dega f ( x ), g ( x ), h ( x) merupaka fugsi bilaga real pada i k R da Z merupaka himpua ilai-ilai iteger di R. x Î X adalah solusi fisibel pada masalah (9) jika g ( x ) b, utuk semua i =,..., m da h ( k ) i k i x = c, utuk semua k =,..., l. Sebuah solusi fisibel x* diamaka solusi optimal pada masalah (9) jika f ( x* ) f ( x) utuk semua solusi fisibel x pada masalah (9). Setiap meyelesaika masalah INLP dilakuka relaksasi utuk melepaska ilai x yag berilai iteger. Peyelesaia masalah relaksasi pada oliear programmig, di ataraya megguaka kodisi Karush Kuh Tucker (KKT) da metode global descet..5 Metode Brach-ad-Boud Dalam peulisa karya ilmiah ii, utuk memperoleh solusi optimum dari masalah INLP diguaka software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yag didesai utuk meetuka solusi model liear, oliear, da optimisasi iteger. Software LINGO 8.0 ii megguaka metode brach ad boud utuk meyelesaika masalah IP atau INLP. Prisip dasar metode brach ad boud adalah memecah daerah fisibel dari masalah (9) dega memartisi ruag pecaria, dilakuka dega membagi daerah fisibel ke dalam p himpua bagia X, X,, X p dega p. Brach Brachig (pecabaga) adalah proses membagi-bagi permasalaha mejadi subproblem-subproblem yag mugki megarah ke solusi. Boud Boudig (pembatasa) adalah suatu proses utuk mecari atau meghitug batas atas (dalam masalah miimisasi) da batas bawah (dalam masalah maksimisasi) utuk solusi optimum pada subproblem yag megarah ke solusi. Metode brach-ad-boud utuk masalah miimisasi diawali dega membuat subproblem-subproblem. Sebuah subproblem pada ode i, (P(X i )), i=,, p adalah betuk dari masalah (9) dega meggatika X dega X i. Satu atau lebih subproblem dipilih dari daftar subproblem yag ada. Utuk setiap ode dipilih sebuah batas bawah LB i dari ilai optimal subproblem (P(X i )) yag diperkiraka. Jika LB i lebih besar atau sama dega ilai fugsi objektif dari ilai awal maka kadidat solusi fisibel terbaik telah ditemuka, kemudia subproblem (P(X i )) dielimiasi dari pertimbaga selajutya. Jika tidak, masalah (P(X i )) disimpa dalam daftar subproblem. Nilai awal diperbarui setiap kali sebuah solusi fisibel terbaik ditemuka. Satu dari ode yag tidak dielimiasi, (P(X i )), dipilih utuk dilakuka pecabaga (brachig) mejadi subproblem yag lebih kecil. Proses ii diulag sampai tidak ada subproblem yag tersisa dalam daftar. Berikut ii adalah lagkah-lagkah peyelesaia suatu masalah miimisasi dega metode brach-ad-boud. Misalka diberika masalah INLP (9). Lagkah 0 (Iisialisasi) Didefiisika L = {P(X)} sebagai subproblem dari fugsi INLP, x* da v* = f (x) sebagai kadidat solusi optimum masalah INLP. Jika tidak ada solusi fisibel yag tersedia, maka dimisalka v * = + da i = 0. Lagkah (Pemiliha ode) Jika L =, proses berheti da x* adalah solusi optimum INLP. Jika tidak, pilih salah satu atau lebih subproblem {P(X)} dari L sebagai bagia masalah berikutya utuk diperiksa. Diotasika k sebagai bayakya subproblem yag dipilih dari L s = {P(X ),... P(X k )}. Misalka L: = L\ L s ; i =. Lagkah (Boudig) Subproblem P( X i ) diselesaika sehigga didapatka batas bawah LB. LB = + jika P(X) takfisibel. Jika LB v * proses i i i

15 6 dilajutka ke Lagkah 5. Jika tidak, proses dilajutka ke Lagkah. Lagkah (Solusi fisibel) Simpa solusi fisibel yag ditemuka pada Lagkah atau temuka solusi fisibel yag lebih baik dari metode heuristik tertetu. Perbarui kadidat solusi optimal x* da v*. Jika solusi INLP yag diperoleh lebih baik dari solusi fisibel yag diperoleh sebelumya, elimiasi P( Xi ) dari LB v *; j i. j s L yag memeuhi < Jika i < k ; i = i+ maka Lagkah diulagi. Jika tidak, proses dilajutka ke Lagkah utuk melakuka pecabaga P( X i ). Lagkah (Brachig) s Jika L =, kembali ke Lagkah. Jika tidak pilih salah satu subproblem P(X i ) dari s L da X dibagi mejadi subset yag lebih i s s p kecil Li = { X,..., Xi }. Elimiasi P(X i ) dari L s s s da misalka L: = LU L U L i. Kembali ke Lagkah. Lagkah 5 (Fathomig) Elimiasi P( X i ) dari L s. Jika i < k dega i = i+ maka kembali ke Lagkah. Jika tidak, kembali ke Lagkah. (Li & Su 006) Utuk memudahka pemahama megeai metode brach-ad-boud diberika cotoh sebagai berikut. Cotoh Misalka diberika INLP berikut: mi v = x + x xx x terhadap x + x 6, x, (0) x, x 0 x, x iteger. Solusi optimum NLP-relaksasi dari masalah INLP (0) adalah x =.57, x =.06, da v =. (lihat Lampira ). Batas atas ilai optimum fugsi objektif masalah (0) adalah v =.. Daerah fisibel masalah (0) ditujukka pada Gambar. Solusi optimum berada di daerah fisibel yag berasal dari kedala pertidaksamaa masalah (0). Gambar Daerah fisibel (daerah yag diarsir) utuk NLP-relaksasi dari INLP (0). Lagkah awal metode brach ad boud adalah meetuka daftar subproblem L = {P(X)} dari kedala yag ada. Solusi yag didapatka masalah (0) belum memeuhi syarat iteger, maka dimisalka v * =+. Karea L maka dibuat subproblemsubproblem baru, dimisalka sebayak k = yag memeuhi kedala masalah INLP (0). Subproblem-subproblem tersebut diotasika L s ={P(X ), P(X )}, didefiisika sebagai berikut: Subproblem P(X ): masalah INLP (0) ditambah kedala 0 x ; Subproblem P(X ): masalah INLP (0) ditambah kedala x Hal ii diilustrasika secara grafis pada Gambar. Gambar Daerah fisibel subproblem P(X ) da subproblem P(X ) Lagkah selajutya adalah meghitug batas atas UB i setiap subproblem. UB i merupaka pedekata ilai fugsi objektif yag terdapat pada subproblem (P(X i )). Jika subproblem (P(X i )) memiliki solusi tidak fisibel maka. i P(X ) P(X ) Daerah fisibel UB = + Peghituga semua subproblem megguaka software LINGO 8.0, ditulis pada Lampira. Hasil semua

16 7 subproblem masalah INLP (0) ditulis dalam Tabel di bawah ii: Tabel Subproblem-subproblem masalah INLP (0) No Subproblem x UB i P(X ) (.5,) 0. P(X ) (.57,.06). Lagkah berikutya adalah boudig da fathomig. Jika UB v* maka elimiasi i subproblem P(X i ). Perbarui ilai x* da v* dega solusi fisibel yag memiliki ilai fugsi objektif terkecil da memeuhi kedala iteger. Batas atas yag dihasilka pada subproblem P(X ), UB = 0. tidak lebih dari v* da solusi yag dihasilka tidak memeuhi kedala iteger, maka dipilih salah satu variabel utuk dasar pecabaga. Misalya dipilih x sebagai dasar pecabaga dari subproblem P(X ). Pecabaga Subproblem P(X ) s meghasilka L = { PX ( ), PX ( ), PX ( ), PX ( )}, yaitu: Subproblem PX ( ) : Subproblem P(X ) ditambah kedala 0 x ; Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala x ; Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala x ; Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala x Solusi dari hasil pecabaga Subproblem P(X ) ditujukka dalam Tabel. Tabel Pecabaga Subproblem P(X ) No Subproblem x UB i PX ( ) (,) 7 PX ( ) (,) 0 PX ( ) (.5,) 0.5 PX ( ) (,) 9 Periksa setiap subproblem baru, jika UBi v * maka elimiasi subproblem (P(X i )). Dari Tabel, solusi yag dihasilka Subproblem PX ( ) memeuhi kedala iteger da UB = 7 < v *, maka perbarui x* = (,) da v* = 7 sebagai kadidat solusi optimum. Lagkah selajutya adalah memeriksa Subproblem PX ( ). Batas atas yag dihasilka Subproblem PX ( ) yaitu UB = 0 < v*, solusi yag dihasilka memeuhi kedala iteger da lebih baik dari Subproblem PX ( ) sehigga perbarui x* = (,) da v* = 0 sebagai kadidat solusi optimum INLP. Dari Tabel, batas atas Subproblem PX ( ) tidak memeuhi syarat elimiasi, karea UB = 0.5 < v *. Solusi yag dihasilka tidak memeuhi kedala iteger, maka dipilih salah satu variabel utuk dasar pecabaga. Misalya x sebagai dasar pecabaga subproblem PX ( ). Pecabaga subproblem PX ( ) didefiisika. s.. L = { P( X ), P( X )}, yaitu:. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala 0 x ;. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x ; Solusi dari hasil pecabaga Subproblem PX ( ) ditujukka dalam Tabel. Tabel Pecabaga Subproblem PX ( ) No Subproblem x UB i. PX ( ) (,) 7. PX ( ) (.5,) 0.5 Dari Tabel, batas atas Subproblem. PX ( ) memeuhi syarat elimiasi karea. UB = 7 > v*, sedagka batas atas. subproblem PX ( ) tidak terelimiasi karea. UB = 0.5 < v *. Solusi yag dihasilka. Subproblem PX ( ) tidak diperbarui karea tidak memeuhi kedala iteger. Selai dari. itu Subproblem PX ( ) memiliki daerah fisibel yag tidak dapat dipartisi sehigga tidak dicabagka lagi. Selajutya diperiksa Subproblem PX ( ). Batas atas Subproblem PX ( ), yaitu UB = 9 > v* sehigga x* da v* tidak diperbarui. Subproblem yag belum diperiksa, yaitu Subproblem P(X ). Batas atas Subproblem P(X ) adalah UB =. < v * da solusi yag dihasilka tidak memeuhi kedala iteger, maka dilakuka pecabaga. Hasil pecabaga Subproblem P(X ) didefiisika s L = { P( X ), P( X ), P( X ), P( X )}, yaitu:

17 8 Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala 0 x ; Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala x ; Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala x ; Subproblem PX ( ): Subproblem P(X ) ditambah kedala x. Solusi dari hasil pecabaga Subproblem P(X ) ditujukka dalam Tabel. Tabel Pecabaga Subproblem P(X ) No Subproblem x UB i PX ( ) (,) 7 PX ( ) (,.) PX ( ) (.57,.06). PX ( ) (,.65).6 Periksa setiap subproblem baru, jika UBi v * maka elimiasi subproblem (P(X i )). Dari Tabel, batas atas yag dihasilka subproblem PX ( ), yaitu UB = 7 > v*, sehigga x* da v* tidak diperbarui. Batas atas PX ( ), PX ( ),da PX ( ) tidak lebih dari v* da solusi yag dihasilka tidak memeuhi kedala iteger, maka dilakuka pecabaga dari setiap subproblem. Hasil pecabaga Subproblem PX ( ), yaitu:. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x ;. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x. Solusi dari hasil pecabaga Subproblem PX ( ) ditujukka dalam Tabel 5. Tabel 5 Pecabaga Subproblem PX ( ) No Subproblem x UB i. PX ( ) (,) P(X. ) (,) Dari Tabel 5, batas atas Subproblem.. PX ( ) da PX ( ), UB = < v* sehigga perbarui ilai x* da v*... Subproblem PX ( ) da PX ( ) memiliki daerah fisibel yag tidak dapat dipartisi, maka subproblem ii tidak dicabagka lagi. Semua.. variabel subproblem PX ( ) da PX ( ) berilai iteger (solusiya memeuhi kedala iteger) da solusi yag dihasilka pada subproblem ii lebih baik dari batas atas sebelumya sehigga solusi pada subproblem ii mejadi kadidat batas atas baru dari solusi INLP (0) yaitu x* = (,), v * =. Hasil pecabaga subproblem PX ( ), yaitu:. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x ;. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x. Solusi dari hasil pecabaga Subproblem PX ( ) ditujukka dalam Tabel 6. Tabel 6 Pecabaga Subproblem PX ( ) No Subproblem x UB i. PX ( ) (.65,).0. PX ( ) (.57,.06). Nilai batas bawah Subproblem P(X. ),. UB =.0 < v* da Subproblem P(X.. ), UB =. < v* sehigga perbarui ilai x* da v*. Aka tetapi, solusi yag dihasilka tidak memeuhi kedala iteger sehigga x* da v* tidak diperbarui... Subproblem PX ( ) da PX ( ) memiliki daerah fisibel yag tidak dapat dipartisi lagi, maka subproblem ii tidak dicabagka. Lagkah selajutya adalah memilih masalah yag belum diselesaika, yaitu pecabaga Subproblem PX ( ). Hasil pecabaga Subproblem PX ( ), yaitu:. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x ;. Subproblem PX ( ): Subproblem PX ( ) ditambah kedala x. Solusi dari hasil pecabaga Subproblem PX ( ) ditujukka dalam Tabel 7. Tabel 7 Pecabaga Subproblem PX ( ) No Subproblem x UB i. PX ( ) (,.65).7. PX ( ) Takfisibel +.. Nilai batas atas PX ( ), UB =.7 < v*, sehigga tidak memeuhi syarat elimiasi. Aka tetapi, solusi yag dihasilka tidak memeuhi kedala iteger sehigga x* da v* tidak diperbarui. Subproblem. PX ( ) memiliki daerah fisibel yag tidak

18 9 dapat dipartisi lagi, maka subproblem ii tidak. dicabagka. Subproblem PX ( ) memeuhi syarat elimiasi, yaitu UBi v *. Karea subproblem pada percabaga ii terelimiasi maka x* da v* tidak diperbarui. Semua subproblem sudah diperiksa da tidak ada subproblem tersisa dalam daftar. sehigga L =. Subproblem PX ( ) da. PX ( ) meghasilka solusi optimal yag berupa iteger. Dega demikia, solusi optimum pada masalah INLP (0) adalah x * =, x * =, v * =. III PEMODELAN Model pejadwala pada karya ilmiah ii megguaka eam parameter utama sebagai peyusu jadwal yaitu;. Hari, yaitu hari di maa kegiata perkuliaha diseleggaraka. Hari = {Sei, Selasa,, Jumat}.. Periode waktu, yaitu waktu kuliah di maa mata kuliah diseleggaraka. Periode waktu = { , ,, (tt+)}.. Kelompok, yaitu kelompok mahasiswa yag meghadiri mata kuliah yag sama berdasarka program kuliah yag telah tersedia. Kelompok program regular diseleggaraka pukul , sedagka pukul utuk program ekstesi.. Dose, yaitu orag yag megajar suatu mata kuliah tertetu dalam suatu kelas. Dose = {Dose, Dose,, Dose l}. 5. Mata kuliah, yaitu pelajara yag diajarka di kelas oleh seorag dose. Mata kuliah = {mata kuliah, mata kuliah,, mata kuliah m}. 6. Ruaga, yaitu tempat berlagsugya kegiata perkuliaha. Ruaga = {ruaga, ruaga,, ruaga }. Jadwal tersebut dibuat sedemikia rupa sehigga memeuhi kedala utama da kedala tambaha. Kedala utama dalam pejadwala, yaitu:. Semua mata kuliah terjadwalka di setiap semesterya.. Tidak ada overlappig mata kuliah.. Dose tidak boleh megajar lebih dari satu kelas pada periode waktu yag sama. Sedagka kedala tambaha, yaitu :. Utuk mata kuliah yag tediri atas kuliah da praktikum, jadwal kuliah dilaksaaka lebih dulu dari jadwal praktikum.. Setiap mata kuliah diseleggaraka pada periode waktu yag sesuai. Misalka mata kuliah dega waktu tatap muka jam tidak boleh diseleggaraka pada waktu tatap muka jam.. Setiap dose tidak megajarka mata kuliah yag buka bidagya.. Sebagia dose berharap tidak megajar pada waktu tertetu. Dalam model pejadwala karya ilmiah ii terdapat koefisie (bobot) yag merupaka ilai dari ketidakpuasa yag diberika oleh mahasiswa program regular da ekstesi terhadap pejadwala suatu mata kuliah. Peetua besar kecilya bobot ditetuka atas keigia mahasiswa terhadap suatu mata kuliah yag aka dijadwalka di awal atau di akhir periode waktu. Semaki kecil bobot maka peluag dijadwalkaya mata kuliah yag sesuai dega keigia mahasiswa semaki besar. Peetua bobot yag disebutka tidaklah mutlak. Bobot yag ada di sii hayalah sebagai gambara saja. Sebagai cotoh :. Mahasiswa program regular megharapka mata kuliah dapat diajarka di awal periode waktu. Oleh karea itu kepuasa mahasiswa ii diberi bobot (koefisie) yag kecil di awal periode waktu da bobot yag besar di akhir periode waktu, sehigga mata kuliah ii memiliki peluag yag lebih besar utuk dijadwalka di awal periode waktu (Gambar ).. Mahasiswa program ekstesi megharapka mata kuliah diajarka di akhir periode waktu. Oleh karea itu kepuasa mahasiswa ii diberi bobot (koefisie) yag kecil di akhir periode waktu da bobot yag besar di awal periode waktu, sehigga mata kuliah ii memiliki peluag yag lebih besar utuk dijadwalka di akhir periode waktu (Gambar ).

19 0 Gambar Bobot suatu mata kuliah yag diharapka diajarka di awal periode waktu utuk mahasiswa program regular. Gambar Bobot suatu mata kuliah yag diharapka diajarka di akhir periode waktu utuk mahasiswa program ekstesi. Variabel-variabel yag diguaka: J kr = himpua periode waktu pada kelompok mahasiswa regular J kx = himpua periode waktu pada kelompok mahasiswa ekstesi J w = himpua periode waktu tatap muka jam K r = himpua mahasiswa regular K x = himpua mahasiswa ekstesi M ls = himpua mata kuliah yag buka spesialisasi dari dose M p = himpua mata kuliah berpraktikum M w = himpua mata kuliah dega waktu tatap muka jam L tj = himpua dose yag tidak dapat megajar pada periode waktu tertetu L ts = himpua dose yag tidak megajar mata kuliah yag buka spesialisya I tl = himpua hari di maa dose berharap tidak megajar J tl = himpua periode waktu di maa dose berharap tidak megajar J m = himpua periode waktu utuk mata kuliah dega tatap muka jam N m = himpua ruaga perkuliaha = himpua ruaga praktikum N p Selai itu, diperluka pula pedefiisia suatu variabel keputusa: ; jika di hari ipada periode jkelompok mahasiswa k diajar oleh dose l utuk mata kuliah m x = yag diseleggaraka di ruaga 0 ; selaiya b = ; jika di hari i pada periode waktu j dose l berharap tidak megajar ijl 0 ; selaiya { Model bertujua memiimumka ketidakpuasa mahasiswa program regular, ekstesi, da dose terhadap pejadwala mata kuliah, maka fugsi objektif dari permasalaha ii adalah sebagai berikut: x x x mi a ( ) + a ( ) + b ( ) mj mj ijl m j i k l m j i k l i j l k m dega: a mj = koefisie yag ilaiya bersesuaia dega ketidakpuasa mahasiswa program regular terhadap pejadwala mata kuliah, = koefisie yag ilaiya bersesuaia a mj dega ketidakpuasa mahasiswa program ekstesi terhadap pejadwala mata kuliah. Kedala yag terkait adalah sebagai berikut:. Setiap mata kuliah yag diseleggaraka haya dihadiri oleh satu kelompok. i j l x, mk,. Palig bayak satu mata kuliah yag diseleggaraka di setiap periode waktuya. x, i, j, m k l. Palig bayak satu ruaga yag diperguaka dalam suatu periode waktu perkuliaha. x, i, j, k l m

20 . Setiap periode waktu perkuliaha haya dihadiri oleh satu kelompok. x, i, j, k m l 5. Terpeuhiya jumlah periode waktu yag diperluka utuk setiap mata kuliah. x = hm ( ), m i j k l dega: hm ( ) = total periode waktu selama semiggu utuk mata kuliah m 6. Jadwal kuliah mata kuliah berpraktikum harus diseleggaraka sebelum jadwal praktikum. x / wm ( t ) i j k l Nm x / wm ( p ) > 0, m M i+ j+ k l Np dega: wm ( t ) = lamaya waktu kuliah utuk mata kuliah teori (dalam jam) wm ( p ) = lamaya waktu kuliah utuk mata kuliah praktikum (dalam jam) 7. Tidak ada mata kuliah yag diberika setelah pukul 7.00 WIB utuk program regular. p i l m x = 0, j Jkx, k K 8. Tidak ada mata kuliah yag diberika sebelum pukul 7.00 WIB utuk program ekstesi. x = 0, j Jkr, k K x i l m 9. Mata kuliah dega waktu tatap muka jam tidak boleh diseleggaraka pada waktu tatap muka jam. x = 0, j Jm, m M w i k l 0. Setiap dose tidak megajarka mata kuliah yag buka spesialisasiya. x = 0, m Mls, l Lts i j k. Beberapa dose berharap tidak megajar pada waktu tertetu. Jika dose l berharap tidak megajar pada hari i periode waktu j, maka b = ijl. Semua variabel keputusa berilai ol atau satu. x {0,}, i, j, k, l, m, b ijl {0,}, i, j, l r IV STUDI KASUS Masalah yag aka dicotohka di sii adalah masalah pejadwala perkuliaha semester lima di Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi Bia Saraa Iformatika (AMIK) BSI Bogor. Hal yag perlu diperhatika adalah kepuasa dose da mahasiswa dalam meyelesaika kegiata perkuliaha, ketersediaa ruaga yag terbatas serta preferesi dose da mahasiswa berbeda-beda, sehigga kegiata perkuliaha ii dilakuka lima hari dalam semiggu yag setiap hariya dibagi mejadi dua waktu dega sejumlah mata kuliah yag dijadwalka. Pertama, kelompok mahasiswa yag tergolog dalam program regular melaksaaka kegiata perkuliaha pada pukul WIB. Kedua, kelompok mahasiswa yag tergolog dalam program ekstesi melaksaaka kegiata perkuliaha pada pukul WIB. Di Departeme AMIK, telah ditetuka bahwa satu jam tatap muka di kelas dilakuka selama 5 meit. Utuk mata kuliah yag terdiri dari dua pertemua yaitu kuliah da praktikum, jadwal kuliah harus medahului jadwal praktikum. Data yag diperluka utuk memodelka pejadwala mata kuliah semester lima utuk mahasiswa program regular da program ekstesi diberika sebagai berikut: Tabel 8 Daftar mata kuliah semester lima di AMIK Ideks (m) Mata Kuliah (MK) Kode MK Bayakya periode waktu Keteraga Pemrograma Visual FOXPRO (K) 75 jam kuliah Pemrograma Visual FOXPRO (P) 75 jam praktikum Web Programmig (K) 5 jam kuliah

21 Lajuta Tabel 8 Ideks (m) Mata Kuliah (MK) Kode MK Bayakya periode waktu Keteraga Web Programmig (P) 5 jam praktikum 5 Tekologi Ilmu Komputer jam kuliah 6 Etika Profesi 57 jam kuliah 7 E-Commerce 0 jam kuliah Tabel 9 Ruaga yag tersedia Ideks () Ruaga Ruag 0 Ruag 0 Ruag 0 LAB A-B Tabel 0 Periode hari Ideks (i) Nama hari Sei Selasa Rabu Kamis 5 Jumat Tabel Periode waktu Tabel Daftar kelompok Ideks (j) Periode waktu Ideks (k) Program Kelompok Periode regular Periode ekstesi Periode Periode Periode Periode Periode Tabel Daftar dose Ideks (l) Nama dose Mata kuliah spesialisasi dose Dose berharap tidak megajar Hari Periode waktu Djuada Sampua Web Programmig (K) Jumat,, 7 Sadra Setyaigsih Tekologi Ilmu Komputer Kamis,, 7 R. Ey Erawa Etika Profesi Rabu,, 7 Muhammad Tabrai Pemrograma Visual FOXPRO (K) Selasa,, 7 5 Yauar Massuki Ami E-Commerce Ria Idriay Tekologi Ilmu Komputer Kamis,, 7 7 Isaei Web Programmig (K) Jumat,, 7 8 Ei Kustii Pemrograma Visual FOXPRO (K) Rabu,, 7 9 Dio Pratama Web Programmig (P) Hermawa Pemrograma Visual FOXPRO (P) Jumat

22 Tujua karya ilmiah ii adalah membuat pejadwala terbaik dega memiimumka suatu fugsi objektif yaitu pejumlaha dari koefisie-koefisie yag meyataka ketidakpuasa dari mahasiswa program regular, ekstesi, da dose terhadap pejadwala mata kuliah. Peetua koefisie (bobot) yag telah disebutka pada bagia sebelumya tidaklah mutlak harus seperti itu. Pada kasus ii hayalah gambara saja. Beberapa cotoh grafik bobot mata kuliah yag mugki dapat diguaka diperlihatka sebagai berikut: Gambar 5 Bobot mata kuliah Pemrograma Visual FOXPRO (K) yag diharapka diajarka di awal periode waktu utuk mahasiswa program regular. Gambar 6 Bobot mata kuliah Pemrograma Visual FOXPRO (P) yag diharapka diajarka di akhir periode waktu utuk mahasiswa program ekstesi. Utuk memformulasika pejadwala mata kuliah ii dalam model INLP, peubah x didefiisika pada setiap periode hari i =,,, 5, periode waktu j =,,, 7, kelompok mahasiswa k =,, dose l =,,, 0, mata kuliah m =,,, 7, ruaga =,,,. Sehigga masalahya dapat diformulasika dalam model INLP berikut: x x x mi a ( ) + a ( ) + b ( ) mj mj ijl m j i k l m j i k l i j l k m dega kedala-kedala:. Setiap mata kuliah yag diseleggaraka haya dihadiri oleh satu kelompok. x, mk, i j l. Palig bayak satu mata kuliah yag diseleggaraka di setiap periode waktuya. x, i, j, m k l. Palig bayak satu ruaga yag diperguaka dalam suatu periode waktu perkuliaha. x, i, j, k l m. Setiap periode waktu perkuliaha haya dihadiri oleh satu kelompok. x, i, j, k m l 5. Terpeuhiya jumlah periode waktu yag diperluka utuk setiap mata kuliah. x = hm ( ), m i j k l utuk h(m) =,,,,,,. Misalka bayakya periode waktu yag diperluka utuk mata kuliah Pemrograma Visual FOXPRO per miggu adalah, satu periode utuk program regular da satu periode utuk program ekstesi. x = i j k l 6. Jadwal kuliah mata kuliah berpraktikum, harus diseleggaraka sebelum jadwal praktikum a. Program regular i j= k= l m= = i= j= k= l m= = x / x /> 0

23 i j= k= l m= = i= j= k= l m= = x / x /> 0 b. Program ekstesi 7 i j= 5 k= l m= = 6 i= j= 5 k= l m= = x / x /> 0 7 i j= 5 k= l m= = 6 i= j= 5 k= l m= = x / x /> 0 7. Tidak ada mata kuliah yag diberika setelah pukul 7.00 WIB utuk program regular. Utuk k =, j = 5, 6, 7 x = 0 i l m 8. Tidak ada mata kuliah yag diberika sebelum pukul 7.00 WIB utuk program ekstesi. Utuk k =, j =,,, x = 0 i l m 9. Mata kuliah dega waktu tatap muka jam tidak boleh diseleggaraka pada waktu tatap muka jam. Utuk m =,, da j =,, 5, 6 x = 0 i k l 0. Setiap dose tidak megajarka mata kuliah yag buka spesialisasiya. Utuk l =, 7, da m =,,, 5, 6, 7 x = 0 i j k Utuk l =, 6, da m =,,,, 6, 7 x = 0 i j k Utuk l =, da m =,,,, 5, 7 x = 0 i j k Utuk l =, 8, da m =,,, 5, 6, 7 x = 0 i j k Utuk l = 5, da m =,.., 6 x = 0 i j k Utuk l = 9, da m =,,, 5, 6, 7 i j k x = 0 Utuk l = 0, da m =,,, 5, 6, 7 x = 0 i j k. Beberapa dose berharap tidak megajar pada waktu tertetu. Utuk i = 5, da l =, 7 b = 7 ijl j Utuk i =, da l =, 6 b = 7 ijl j Utuk i =, da l =, 8 b = 7 ijl j Utuk i =, da l = b = 7 ijl j Utuk i = 5, j =, da l = 0 b = ijl. Semua variabel keputusa berilai ol atau satu. x {0,}, i, j, k, l, m, b {0,}, i, j, l ijl Peyelesaia masalah pejadwala mata kuliah Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor pada karya ilmiah ii dilakuka dega batua software LINGO 8.0 megguaka metode brach ad boud. Sytax program da hasil komputasi dicatumka pada Lampira. Solusi yag didapat adalah solusi optimal dega ilai fugsi objektifya adalah 080 didapatka pada iterasi ke 58. Waktu yag dibutuhka utuk medapatka solusi tersebut sekitar jam 6 meit detik dega megguaka komputer Itel Petium processor komputer. GHz dega RAM GB. Hasil komputasi tidak semuaya dicatumka, karea terlalu bayak. Hasil yag dicatumka haya utuk variabel keputusa x (jadwal perkuliaha) da b (jadwal sebagia dose tidak bisa megajar) yag berilai satu saja, sedagka jadwal perkuliaha yag terbetuk ditujukka dalam Tabel 5 da Tabel 6. Dari hasil yag didapatka bisa dilihat persetase rata-rata ketidakpuasa dose adalah 0%, ketidakpuasa mahasiswa program regular,%, da ketidakpuasa mahasiswa program ekstesi 0%.

24 5 Tabel 5 Jadwal kegiata belajar megajar utuk program regular Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor. Hari Periode Waktu Mata kuliah Ruaga Dose Sei Web Programmig (K) 0 Isaei Pemrograma Visual FOXPRO (K) 0 Muhammad Tabrai Selasa Etika Profesi 0 R. Ey Erawa Pemrograma Visual FOXPRO (P) Lab A-B Hermawa Rabu Tekologi Ilmu Komputer 0 Sadra Setyaigsih Web Programmig (P) Lab A-B Dio Pratama Kamis E-Commerce 0 Yauar Massuki Ami Tabel 6 Jadwal kegiata belajar megajar utuk program ekstesi Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor. Hari Periode Waktu Mata kuliah Ruaga Dose Sei Web Programmig (K) 0 Isaei Rabu Tekologi Ilmu Komputer 0 Sadra Setyaigsih E-Commerce 0 Yauar Massuki Ami Kamis Web Programmig (P) Lab A-B Dio Pratama Jumat Pemrograma Visual FOXPRO (K) 0 Ei Kustii Etika Profesi 0 R. Ey Erawa Pemrograma Visual FOXPRO (P) Lab A-B Hermawa

25 6 V SIMPULAN DAN SARAN 5. Simpula Telah diperlihatka bahwa masalah pejadwala perkuliaha di Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi dapat dipadag sebagai masalah INLP. Peyelesaia masalah ii megguaka software LINGO 8.0 yag berbasis metode brach ad boud. Hasil yag diperoleh yaitu jadwal perkuliaha semester gajil yag memeuhi kedala yag diperoleh pada iterasi ke 589. Keutuga peyelesaia masalah pejadwala megguaka INLP adalah memugkika peggua utuk megotrol atau meambahka kedala dega bebas. Sebagai cotoh, jika megigika keadaa bahwa dose tidak dapat megajar dua mata kuliah dalam waktu yag beruruta, maka kedala tersebut dapat ditambahka. Begitu pula, tigkat kepuasa piliha mata kuliah da piliha waktu dapat diubah dega meyertaka ke dalam koefisie fugsi objektif. Perubaha yag lai sagat mugki utuk dilakuka. 5. Sara Pada tulisa ii telah dibahas pejadwala mata kuliah di BSI Bogor dega peyederhaaa yaitu kelompok yag sedikit. Aka lebih baik lagi jika ada yag dapat meidaklajuti peelitia ii dega masalah yag lebih besar, kompleks, da membuat software yag lebih umum diguaka dalam megaplikasika model ii. DAFTAR PUSTAKA Bakir MA, Askop. C A 0- iteger programmig approach to a uiversity timetablig problem: Hattepe Joural of Mathematics ad Statistics 7(): -55. Ecker JG, Kupferschmid M Itroductio to Operatio Research. New York: Joh Willey & Sos. Li D & Su X Noliear Iteger Programmig. Chia: Spriger. Nash SG, Sofer A Liear ad Noliear Programmig. New York: McGraw-Hill. Garfikel RS, Nemhauser GL. 97. Iteger Programmig. New York: Joh Willey & Sos. Sharma S Applied Noliear Programmig. New Delhi: New Age Iteratioal. Syma Ja A Practical Mathematical Optimizatio. New York: Spriger. Wisto WL. 00. Operatios Research Applicatios ad Algorithms. th ed. Duxbury, New York.

26 LAMPIRAN 7

27 8 Lampira. Sytax Program LINGO 8.0 dalam mecari ilai awal solusi fisibel Cotoh mi v = x + x x x x x 5 x terhadap x + 6, x, x 0 x 0 Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; 5*(x)-*(x)>=-; x>=0; x>=0; ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 66 Objective value: -.0 X X Lampira. Sytax Program LINGO 8.0 utuk Meyelesaika Masalah Pemrograma Takliear dega Metode Brach-ad-Boud Beserta Hasil yag Diperoleh Subproblem (P(X )) mi v = x + x x x x x + x terhadap 6, x, x 0 x [0, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; 5*(x)-*(x)>=-; (0,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 60 Objective value: X X Subproblem (P(X )) mi v = x + x x x x x + x terhadap 6, x, x 0 x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; x+x<=7; 5*(x)+9*(x)<=5; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 59 Objective value: -.0 X X

28 9 Pecabaga subproblem P(X ) Subproblem ( PX ( ) ) mi v = x + x x x x x 5 x terhadap x + 6, x, x [0,] x [0, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (0,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 6 Objective value: X X E Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [, ] x [0, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (0,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 7 Objective value: X X Subproblem ( PX ( ) ) mi v = x + x x x x x + x terhadap 6, x, x [,] x [0, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (0,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 0 Objective value: X X Pecabaga subproblem. Subproblem ( PX ( )) PX ( ) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [,] x [0,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,);

29 (0,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 6 Objective value: -7 X X Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [,] x [, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 9 Objective value: X X Subproblem ( PX ( ) ) mi v = x + x x x x x + x terhadap 6, x, x [, ] x [0, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5*(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (0,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 6 Objective value: X X Pecabaga subproblem P(X ) Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [0,] x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: Objective value: X X

30 Subproblem ( PX ( )) mi v = x + x x x x x 5 x terhadap x + 6, x, x [, ] x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 0 Objective value: X X Subproblem ( PX ( )) mi v = x + x x x x x + x terhadap 6, x, x [,] x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 59 Objective value: -.0 X X Subproblem ( PX ( ) ) mi v = x + x x x x x + x terhadap 6, x, x [, ] x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 7 Objective value: X X Pecabaga subproblem ( PX ( )). Subproblem ( PX ( ) ) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [, ] x = [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh

31 Global optimal solutio foud at iteratio: 8 Objective value: X X E Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [, ] x [, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: Objective value: X X E Percabaga subproblem ( PX ( )). Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [,] x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 8 Objective value: -.06 X X E Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [,] x [, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 9 Objective value: -.0 X E-07 X

32 Percabaga subproblem ( PX ( )). Subproblem ( PX ( ) ) mi v = x + x x x x x 5 x terhadap x + 6, x, x [, ] x [,] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh Global optimal solutio foud at iteratio: 8 Objective value: Subproblem ( PX ( )) 5 x + x mi v = x + x x x x x terhadap 6, x, x [, ] x [, ] Sytax program pada LINGO 8.0!Fugsi Objektif; mi=*(x)^+(x)^- *(x)*(x)-5(x)-*(x);!kedala; (x)^+(x)^<=6; (,x,); ed Hasil yag diperoleh X X Lampira Program utuk meyelesaika masalah pejadwala kegiata belajar megajar di Akademi Maajeme Iformatika da Komuikasi BSI Bogor. SETS: HARI/HR..HR5/; PERIODE_WAKTU/PW..PW7/; KELOMPOK/K,K/; DOSEN/L..L0/; MATA_KULIAH/MK..MK7/:H; RUANGAN/R..R/; LINKS(HARI,PERIODE_WAKTU,KELOMPOK,DOSEN,MATA_KULIAH,RUANGAN):X; LINKS(HARI,PERIODE_WAKTU,DOSEN):B; LINKS(MATA_KULIAH,PERIODE_WAKTU):A,A; ENDSETS DATA: A=

33 ; A= ; H= ; ENDDATA!FUNGSI OBJEKTIF; MIN=@SUM(LINKS(I,J,K,L,M,N):X*A(M,J))+@SUM(LINKS(I,J,K,L,M,N):X*A (M,J))+@SUM(LINKS(I,J,K,L,M,N):X*@SUM(LINKS(i,j,l):B));!KENDALA;!. Setiap satu mata kuliah yag diseleggaraka haya dihadiri oleh satu RI(I):@SUM(DOSEN(L):@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)))))<=));!. Palig bayak satu mata kuliah yag diseleggaraka di setiap periode OK(K):@SUM(DOSEN(L):@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N))))<=)));!. Palig bayak satu ruaga yag diperguaka dalam suatu periode waktu ):@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M):X(I,J,K,L,M,N))))<=)));!. Setiap periode waktu prkuliaha haya dihadiri oleh Terpeuhiya jumlah periode waktu yag dperluka utuk masig-masig mata :@SUM(PERIODE_WAKTU(J):@SUM(HARI(I):X(I,J,K,L,M,N))))))=H(M));!6. Jadwal kuliah pada mata kuliah berpraktikum harus diseleggaraka sebelum jadwal praktikum. Pemrograma visual FOXPRO kelas J#LE#:@SUM(KELOMPOK(K) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N) N#LE#:(X I#LE#:@SUM(PERIODE_WAKTU(J) J#LE#:@SUM(KELOMPOK(K) K#EQ#:@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N) N# EQ#:(X(I+,J+,K,L,M,N))/))))))>0;!WEB J#LE#:@SUM(KELOMPOK(K) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N) N#LE#:(X I#LE#:@SUM(PERIODE_WAKTU(J) J#LE#:@SUM(KELOMPOK(K) K#EQ#:@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N) N# EQ#:(X(I+,J+,K,L,M,N))/))))))>0;

34 5!Pemrograma visual FOXPRO kelas ekstesi; (K) ) I#LE#:@SUM(PERIODE_WAKTU(J) J#LE#6#AND#J#GE#5:@SUM(K ELOMPOK(K) K#EQ#:@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RU ANGAN(N) N#EQ#:(X(I+,J+,K,L,M,N))/))))))>0;!WEB J#LE#7#AND#J#GE#5:@SUM(KELOMPOK (K) K#EQ#:@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N ) I#LE#:@SUM(PERIODE_WAKTU(J) J#LE#6#AND#J#GE#5:@SUM(K ELOMPOK(K) K#EQ#:@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RU ANGAN(N) N#EQ#:(X(I+,J+,K,L,M,N))/))))))>0;!7. Tidak ada mata kuliah yag diberika setelah pukul 7.00 WIB utuk program K#EQ#:@FOR(PERIODE_WAKTU(J) J#LE#7#AND#J#GE#5:@S UM(HARI(I):@SUM(DOSEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M):@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)))))=0));!8.Tidak ada mata kuliah yag diberika sebelum pukul 7.00 WIB utuk program K#EQ#:@FOR(PERIODE_WAKTU(J) ))=0));!9.Mata kuliah dega waktu tatap muka jam tidak boleh diseleggaraka pada waktu tatap muka J#EQ#:@SUM(KELOMPOK(K):@SUM(DO SEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)+X J#EQ#:@SUM(KELOMPOK(K):@SUM(DO SEN(L):@SUM(MATA_KULIAH(M) M#EQ#:@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)+X (I,J+,K,L,M,N)+X(I,J+,K,L,M,N)+X(I,J+5,K,L,M,N)))))))=0;!0.Setiap dose tidak megajarka mata kuliah yag buka L#EQ#:@SUM(MATA_KULIAH(M) M#NE#:@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)+X L#EQ#:@SUM(MATA_KULIAH(M) M#NE#5:@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)+X L#EQ#:@SUM(MATA_KULIAH(M) M#NE#6:@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N))) L#EQ#:@SUM(MATA_KULIAH(M) L#EQ#5:@SUM(MATA_KULIAH(M) M#LT#7#AND#M#GE#:@SUM(RUANGAN(N):X(I,J,K,L,M,N)))))))=0;

35 6 ))))=0; )))))=0;!.Beberapa dose berharap tidak megajar pada waktu B(5,,0)=;!INTEGER CONDITION TO X, B; END Local optimal solutio foud at iteratio: 589 Objective value: X( HR, PW, K, L7, MK, R) X( HR, PW, K, L, MK, R) X( HR, PW6, K, L7, MK, R) X( HR, PW, K, L, MK6, R) X( HR, PW, K, L0, MK, R) X( HR, PW, K, L, MK5, R) X( HR, PW, K, L9, MK, R) X( HR, PW5, K, L, MK5, R) X( HR, PW6, K, L5, MK7, R) X( HR, PW, K, L5, MK7, R) X( HR, PW6, K, L9, MK, R) X( HR5, PW5, K, L8, MK, R) X( HR5, PW6, K, L, MK6, R) X( HR5, PW7, K, L0, MK, R) E

36 B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW5, L) B( HR, PW6, L) B( HR, PW7, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW5, L) B( HR, PW6, L) B( HR, PW7, L) B( HR, PW, L8) B( HR, PW, L8) B( HR, PW, L8) B( HR, PW, L8) B( HR, PW5, L8) B( HR, PW6, L8) B( HR, PW7, L8) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW, L) B( HR, PW5, L) B( HR, PW6, L) B( HR, PW7, L) B( HR5, PW, L7) B( HR5, PW, L7) B( HR5, PW, L7) B( HR5, PW, L7) B( HR5, PW5, L7) B( HR5, PW6, L7) B( HR5, PW7, L7) B( HR5, PW, L0)

37 8