SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID ( MATEMATIKA DASAR )

Transkripsi

1 SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID ( MATEMATIKA DASAR ) Sunaryo Oentara * I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sebuah artikel di internet menuliskan bahwa jumlah sudut pada segitiga tidak selalu berjumlah 180 0, penulis cukup penasaran dan mencoba membuktikan kejadian tersebut. Ternyata ketika penulis membuat segitiga pada bidang bola jumlah sudutnya memang berbeda, tidak berjumlah Hal ini juga terdapat pada buku ensiklopedia matematika & peradaban manusia terbitan departemen pendidikan Nasional. Keunikan karya tulis ini juga karena hanya sedikit atau jarang ilmuwan yang meneliti tentang perbedaan sudut ini. Berdasarkan hal-hal diatas yang menyebabkan penulis tertarik untuk membuat karya tulis ilmiah dengan mengambil judil sudut segitiga pada bidang non-euclid, yang nantinya penulis akan hubungkan dengan berbagai macam bentuk segitiga hingga dapat dibandingkan satu dengan lainnya Rumusan Masalah Adapun yang menjadi rumusan permasalahan dalam penulisan ini adalah: a. Mengapa jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak berjumlah 180 0? b. Factor-faktor apa saja yang menyebabkan jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak 180 0? c. Apakah jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid ini terjadi pada semua jenis segitiga atau tiak? d. Bagaimana jumlah sudut segitiga pada bangun ruang sisi lengkung ini? e. Berapa jumlah besar sudut maksimal dan sudut minimal dari segitiga pada bidang Non-Euclid? * Penulis adalah siswa SMA Xaverius Jambi

2 1.3. Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penulisan ini adalah untuk menambah wawasan dan memberikan hasil maksimal serta berharap menemukan beberapa pola atau rumus dalam segitiga non-euclid, sehingga mampu berpartisipasi dalam kemajuan ilmu pengetahuan Manfaat penelitian Adapun manfaat yang diharapkan adalah agar penulis dapat menemukan beberapa hal penting dalam penambahan ilmu pengetahuan dalam bidang geometri khususnya segitiga pada bidang non-euclid Metode Penelitian Metode Yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode perbandingan, dimana dalam penelitian ini akan dibandingkan beberapa segitiga dengan sudut yang kongruen dan sebangun pada bidang Euclid dan Non-Euclid. Dengan metode pendekatan kualitatif. II. KAJIAN TEORI 2.1. Sudut Sudut adalah suatu cara untuk mengungkapkan besarnya perpindahan atau perputaran yang terjadi pada suatu garis atau objek lainnya. Sudut bias dibentuk oleh 2 buah garis lurus yang bertemu pada suatu titik, atau dalam cara lain seperti yang terjadi pada sebuah kendaraan yang berjalan membentuk sudut. Satu putaran penuh pada saat suatu objek berputar dari suatu titik asalnya adalah 360 0, sudut siku-siku besarnya 90 0, sudut yang kurang dari 90 0 disebut sudut lancip, sudut antara 90 0 dan disebut sudut tumpul. Sudut yang lebih dari disebut sudut reflex Garis Lurus Bangun paling sederhana dalam geometri adalah garis. Garis hanya memiliki satu deimensi, yaitu panjang.

3 2.3. Segitiga Segitiga atau segi tiga aalah sebuah bangun yang mempunyai tiga sisi lurus dan tiga sudut. Segitiga memiliki jumlah garis lurus yang paling sedikit yang dibutuhkan untuk membuat bangun ruang yang tertutup. Segitiga pada dasarnya dapat diklasifikasikan menjadi 2 yakni: a. Berdasarkan panjangnya - Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama penang, sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besarnya yaitu Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua daru tiga sisinya sama panjang,segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar. - Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda. Segitiga sama sisi segitiga sama kaki segitiga sembarang b. Berdasarkan besar sudutnya. - Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besr sudutnya sama dengan Sisi didepan sudut 90 0 disebut hipotenusa atau sisi miring. - Segitiga lancip adalah segitiga yang besar semua sudut < Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya >90 0 Segitiga siku-siku segitiga Tumpul Segitiga Lancip 2.4. Non-euclid Geometri Sebuah geometri non-euclidean adalah study tentang bentuk dan konstruksi yang tidak petta langsung kesetiap system Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh rieman tensor

4 kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri Non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus kebaris ketiga; dalam geometiri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dkenal sebagai parallel. Dalam geometri hiperbolik mereka kurva jauh dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titiktitikpersimpangan dengan tegak lurus umum. Garis ini sering disebut ultraparalels. Noneuclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk. III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 3.1. Hasil penelitian Membandingkan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada bidang Euclid dan Non-Euclid pada Segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga samakaki. Langkah kerja: a. Menyediakan peralatan utama : bola plastik, busur, spidol, dan kertas/karton. b. Menggambar segitiga siku-siku dengan panjang 3cm dan tinggi 4 cm di bola plastik juga dikertas/karton. Segitiga sama sisi dengan panjang 4cm dengan cara melukis agat setepat mungkin membentuk segitiga sama sisi dibola plastik juga di kertas/karton. segitiga sama kaki dengan panjang 4cm, 4 cm, dan 3 cm dengan cara melukis agar setepat mungkin membantuk segitiga sama sisi di bola plastik juga dikarton/kertas. c. Potong segitiga pada karton dan bola d. Mengukur sudut yang dimiliki kedua instrument tersebut e. Membandingkan umlah sudut yang dimiliki benda tersebut. Tabel 1. Hasil Percobaan pada media kertas dan bola No Jenis segitiga Media Panjang Besar sudut Jumlah sudut segitiga 1 Segitiga siku-siku Kertas 3,4,5 cm 90 0,64 0,

5 2 Segitiga sama sisi 3 Segitiga sama kaki Bola 3,4,5 cm 90 0,63 0, Kertas 4,4,4 cm 60 0,60 0, Bola 4,4,4 cm 66 0,66 0, Kertas 4,4,3 cm 46 0,68 0, Bola 4,4,3 cm 48 0,70 0, Dari hasil diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa jumlah sudut segitiga pada bidang non-euclid dalam hal ini bola bukan berjumlah 1800 seperti segitiga pada bidang Euclid dalam hal ini kertas biasa sebagai bahan percobaan. Namun meskipun demikiansudut siku-siku pada segitiga siku-siku memiliki sudut yng sama baik pada bidang Euclid maupun non-euclid. Pada segitiga sama sisi ketiga sudutnya selalu sama walaupun tidak berjumlah Juga demikian dengan segitiga sama kaki sudut yang sama yag digambarkan pada bidang Euclid juga sama pada bidang non-euclid meskipun besar sudutnya tidak identik. Membandingkan jumlah sudut segitiga yang sebangun pada bidang Non-Euclid yang sama, pada segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga samakaki Langkah kerja: a. Menyediakan peralatn utama : 2 bola plastik dengan ukuran yang sama, busur, sspidol dan kertas/karton b. Menggambarkan segitiga dengan ukuran:segitiga siku-siku panjang 3 cm dan tinggi 4 cm dibola plastik dan panjang 4,5cm dan tinggi 6 cm dibola yang lain.segitiga sama sisi panjang 4cm dan 5cm di bola yang lain.segitiga sama kaki panjang 3vm,3cm,4cm dibola plastik dan 4,5cm,4,5cm dan 6cm dibola yang lain. c. Memotong segitiga di kedua bola tersebut. d. Mengukur sudut yang dimiliki kedua instrument tersebut e. Membandingkan jumlah sudut yang dimiliki benda tersebut. Tabel 2. Hasil percobaan Membandingkan jumlah sudut segitiga yang sebangun pada bidang Non-Euclid yang sama Panjang Jumlah No Jenis segitiga Media Besar sudut segitiga sudut

6 1 Segitiga siku-siku 2 Segitiga sama sisi 3 Segitiga sama kaki Bola 3,4,5 cm 90 0,63 0, Bola 4,5; 6;7,5 cm 90 0,78 0, Bola 4,4,4 cm 66 0,66 0, Bola 5,5,5 cm 72 0,72 0, Bola 6,6,6 cm 76 0,76 0, ,7,7 cm 112 0,112 0, Bola 4,4,3 cm 48 0,70 0, Bola 6;6;4,5 cm 62 0,72 0, Dari tabel diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa semakin besar segitiga yang dibuat meski sebangun akan menghasilkan jumlah sudut yang lebih besar. Keistimewaan segitiga siku-siku, yakni salah satu sudutnya adalah 90 0 tetap berlaku disini, demikian pula untuk segitiga sama sisi yang ketiga sisinya sama meskipun tidak 60 0 dan juga segitiga sama kaki yang kedua sudutnya selalu sama. Membandingkan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada bidang Non-Euclid yang sama berbeda ukuran, pada segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga samakaki Langkah kerja : a. Menyediakan peralatan utama; 2 buah bola plastik dengan ukuran yang berbeda, busur,spidol dan kertas/karton. b. Mengambar segitiga siku-siku dengn panjang 3 cm dan tinggi 4 cmdi kedua bola. Segitiga sama sisi panjang 4 cm dengan car melukis agar setepat mungkin membentuk segitiga sama sisi pada kedua bola, dan segitiga sama kaki panjang 4 cm,4cm dan 3 cm pada kedu bola tersebut. c. Memotong segitiga di kedua bola tersebut. d. Mengukur sudut yang dimiliki kedua instrument tersebut e. Membandingkan jumlah sudut yang dimiliki benda tersebut.

7 Tabel 3. Membandingkan sudut segitiga yang kongruen pada bidang Non-Euclid yang sama berbeda ukuran N o Jenis segitiga Media Jari-jari Panjang segitiga Besar sudut Jumlah sudut 1 Segitiga sikusiku 2,25cm 3,4,5 cm 90 0,94 0, ,5 cm 3,4,5 cm 90 0,63 0, cm 3,4,5 cm 90 0,51 0, Segitiga sama sisi Bola 2,25 cm 4,4,4, cm 107 0,107 0, ,5 cm 4,4,4 cm 66 0,66 0, cm 4,4,4 cm 60 0,60 0, Segitiga sama kaki 2,25 cm 4,4,3 cm 79 0,103 0, ,5 cm 4,4,3 cm 48 0,70 0, cm 4,4,3 cm 68 0,68 0, Dari tabel diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa semakin besar bidang non-euclid yang digunakan maka semakin jumlah sudut semakin mendekati sementara asemakin kecil bidang Non-Euclid yang digunakan maka semakin besar dan menjauhi Membandingkan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada jenis bidang non-euclid yang berbeda. Tabel 4. Perbandingan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada jenis bidang non-euclid yang berbeda.

8 No Jenis segitiga Media Panjang segitiga Besar sudut Jumlah sudut Bola 3,4,5 cm 90 0,63 0, Segitiga siku-siku 2 Segitiga sama sisi 3 Segitiga sama kaki Kerucut 3,4,5 cm 90 0,51 0, Tabung 3,4,5 cm 90 0,51 0, Bola 4,4,4 cm 66 0,66 0, Kerucut 4,4,4 cm 60 0,60 0, Tabung 4,4,4 cm 60 0,60 0, Bola 4,4,3 cm 48 0,70 0, Kerucut 4,4,3 cm 68 0,68 0, Tabung 4,4,3 cm 68 0,68 0, Dari hasil percobaan seperti ditnjukkan dalam tabel diatas memperlihatkan bahwa sudut pada bangun ruang lain, seperti tabung dan kerucut adalah tetap berjumlah berbeda dengan jumlah sudut segitiga pada bidang bola Pembahasan Jumlah besar sudut segitiga pada bidang non-euclid tidak berjumlah Jumlah besar sudut segitiga pada bidang Euclid yang berdmensi 2 selalu berjumlah 180 0, tetapi jumlah sudut segitiga pada bidang non-euclid tidak. Ini dikarenakan segitiga pada bidang Non-Euclid yang berdimensi 3 tidak sama. Segitiga pada bidang Euclid adalah pembentukan 3 garis lurus, sementara garis lurus segitiga pada bidang Non-Euclid, sesungguhnya bvila dipotong bukan merupakan garis lurus melainkan garis lengkung yang berbentuk seperti juring lingkaran. Oleh karena itu, sudut segitiga pada bidang Non-Euclid lebih dari Factor-faktor yang menyebabkan segitiga pada bidang Non-Euclid tidak dan jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak Dari beberapa penelitian yang telah dilakukan dapat ditarik kesimpulan bahwa factor-faktor penyebab jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak adalah: a. Semakin besar segitiga yang dibuatpada bidang noneuclid terutama bola, maka kelengkungan semakin bertambah, sehingga jumlah besar sudutnya semakin lebih dari 180 0, kebalikannya semakin kecil segitiga yang dibuat

9 pada bidang Non-Euclid maka kelengkungan semakin kecil dan jumlah besar sudutnya semakin dekat atau sama dengan b. Semakin besar bidang Non-Euclid yang digunakan, terutama bola maka semakin kecil juga kelengkungan dan jumlah besar sudut semakin kecil. Berbalikan jika bidang Non-Euclid semakin kecil, maka bidang semakin lengkung, sehingga jumlah besar sudut segitiga semakin besar. Jenis segitiga tidak mempengaruhi jumlah besar sudut, tetapi jenis segitiga tertentu memiliki keistimewaan, seperti halnya segitig sama sisi yang ketiga sisinya sama, demikian pula pada bidang Non-Euclid, segitiga sama sisi pada bidang Non- Euclid memiliki ketiga sudut yang sama, meskipun tidak sebesar Segitiga sama kaki yang kedua sudutnya sama pada bidang Euclidpun terjadi pada segitiga bidang Non-Euclid, meskipun sudutnya tidak identik. Sementara pada segitiga siku-siku, pada bidang Non-Euclid juga memiliki satu sudut siku-siku dan dua sudut yang lebih besar dari pada segitiga siku-siku pada bidang Euclid. Bangun ruang Non-Euclid, yaitu bola memiliki keistimewaan jumlah besar sudut yang lebih dari 1800, sementara bidang lain seperti kubus, balok, kerucut maupun tabung. Penyebab terjadinya hal ini dapat kita hubungkan dengan Hairy ball theorem(teorema bola berbulu yang berbunyi: diberikan vector-vektor kontiniu yang menyinggung permukaan bola (sphere)pada dimensi tiga, maka terdapat titik pada permukaan bola yang tidak disinggung vector Dari teorema diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa bola tidak memiliki titik sudtu, sehingga bola disebut sebagai segi-n dalam segi-n, maka tidak ada garis lurus yang jelas jika dieuclidkan, oleh karena itu garis lurus yang digambarkan oleh bola sesungguhnya ada garis yang berbentuk cembung dan garis lurus yang sebenarnya adalah garis cekung pada bola Jumlah besar sudut maksimal dan sudut minimal dari segitiga pada bidang Non- Euclid. Semakin kecil segitiga yang dibuat maka kelengkungan semakin kecil, hingga yang terkecil adalah kembali menjadi sebuah garis lurus dan tidak mungkin cembung. Oleh karena itu jika di euclidkan maka sudut minimumnya adalah terbentuk dari tiga

10 garis yang benar-benar lurus yang sama dengan segitiga pada bidang datar. Maka kita dapat simpulkan bahwa sudut terkecil dalam segitiga pada bidang Non-Euclid adalah Tetapi perlu diingat bahwa semakin kecil bidang Non-Euclid semakin mustahil kita membuat segitiga dalam bidang tersebut. IV. PENUTUP 4.1. Kesimpulan Jumlah besar sudut segitiga pada bidang non-euclid tidak 1800, hal ini dipengaruhi oleh kelengkungan yang dimiliki oleh benda tersebut. Besar sudut segitiga pada bidang bidang Non-Euclid dipengaruhi oleh besar segitiga dan bidang Non- Euclidnya yang digunakan. Aturan beberapa jenis segitiga seperti segitiga sama kaki, sama sisi dan siku-siku pun dimiliki oleh segitiga tersebut jika dilukiskan pada bidang non-euclid, meskpun jumlah besar sudutnya lebh dari 1800 itupun berlaku hanya pada bidang Non-Euclid dengan segi-n. dari asil penelitia juga didapatkan bahwa segitiga pada bidang Non-Euclid memiliki jumlah besar sudut minimal 1800 dan jumlah besar sudut maksimal Saran Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis banyak menemukan kesulitasn terutama dalam hal mencari bahan Non-Euclid yang tepat sebagai media untuk penglukisan segitiga pada bidang non-euclid. Karena harus mencari bidang Non-Euclid lain seperti kerucut plastic, yang memiliki jari-jari yang sama dan tingginyapun harus sama dengan diameter lingkaran dan penulis juga mengalami kesulitan dalam penglukisan segitiga karena untuk menghasilkan ukuran yang tepat penulis tidak bias dengan mudah mengukur menggunakan oenggaris, karena kelengkungannya dari bidang Non-Euclid tersebut. Penulis juga berharap agar karya ilmiah ini dapat dilanjutkan dan dikembangkan demi kemajuan ilmu pengetahuan. DAFTAR PUSTAKA Wahyudin dan Sudrajat, 2003, Ensiklopedia Matematika & Peradaban Manusia, Departemen Pendidikan Nasional: Jakarta.