Pertemuan 11 s.d. 13 STATISTIKA INDUSTRI 2. Nonparametric. Skala Pengukuran...(review) 27/05/2016. Statistik Non Parametrik

Transkripsi

1 Pertemuan 11 s.d. 13 STATISTIKA INDUSTRI TIN 4004 Outline: Nonparametric Statistics Referensi: Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K., Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9 th Ed. Prentice Hall, 01. Nonparametric Distribution-free methods Analysis of ranks Small sample size Disadvantages: Do not utilize all information provided by the sample Less efficient than parametric procedure Statistik Non Parametrik Statistik Non parametrik Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum. Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll Uji Statistik Parametrik Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio Biasanya datanya besar : > 30 4 Parametrik Vs Non Parametrik Parametrik menuntut ukuran ukuran tingkat taraf tinggi Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi. Misal: Ukuran berat (kg) Perbedaan (0-485 kg) sama dengan perbedaan ( kg) Non Parametrik Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi) Misal: Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,,3,4,5) 3 memiliki preferensi > dari tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,,3,4) Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8 Rank : 1 3 Skala Pengukuran...(review) Semua skala pengukuran dapat diklasifikasikan kedalam empat jenis skala berikut ini : 1.Nominal Juga disebut sebagai skala kategorik Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll. Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas- dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik

2 Skala Pengukuran Skala Pengukuran.Ordinal Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan lebih besar atau lebih sedikit. Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk. Very satisfied Product A Product B Product C Not at all satisfied Brand Rank A 1 B C 3 3. Interval Skala pengukuran yang bersifat membedakan, mengurutkan dan memiliki jarak yang sama Tidak memiliki nilai nol mutlak. Contoh : Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala suhu yang lain, seperti celcius adalah 6,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F, seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya tidak dua kalinya. 7 8 Skala Pengukuran Statistik Non Parametrik 4. Ratio Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak. Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain. Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian. Contoh : 100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg 1000 meter memiliki panjang 0 kali 50 meter dll Kelebihan statistik non parametrik 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal Kekurangan statistik non parametrik 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan SI - Statistik Non Parametrik 9 10 Statistik non parametrik Kapan digunakan?? Langkah langkah pemilihan metode statistik 1. Apakah distribusi data diketahui? Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi Data yang digunakan : data ordinal atau nominal Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi Bila penghitungan harus dilakukan secara manual LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA. Apakah data berdistribusi normal? PARAMETRIK 3. Apakah sampel ditarik secara random? ya tidak NON PARAMETRIK ya tidak NON PARAMETRIK 11 PARAMETRIK ya tidak 1 NON PARAMETRIK

3 Langkah langkah pemilihan metode statistik - 4. Apakah varians kelompok sama? Langkah pemilihan metode statistik LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA ya tidak NON PARAMETRIK 5. Bagaimana jenis skala pengukuran data? PARAMETRIK INTERVAL RASIO NOMINAL ORDINAL NON PARAMETRIK Parametrik Vs Non Parametrik Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Langkah langkah pengujian hipotesis: 1. Menentukan formulasi hipotesis. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel 3. Menentukan kriteria pengujian 4. Menentukan nilai uji statistik 5. Membuat kesimpulan Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Uji Non Parametrik yang akan dipelajari: Uji Tanda (Sign Test) Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Uji Korelasi urutan Spearman Uji Mann-Whitney Uji Kruskal Wallis (H Test) Uji Run Uji Median Uji kolmogorov Sign Test Used to test hypotheses on a population median Population mean = population median when distribution is symmetric In testing the H 0 : μ = μ 0 against an appropriate alternative, with random sample size = n, replace each sample value exceeding μ 0 with +, and each sample value exceeding μ 0 with - The sign test is applicable only in situations where μ 0 cannot equal the value of any of the observations Binomial random variable X, representing the number of plus signs in our random sample 17 3

4 Sign Test Test H 0 that the number of + is a value of a random variable having the binomial distribution with p = 1/. P-values are calculated using binomial distribution Sign Test Reject H 0 if proportion of + is sufficiently less than ½, when the value x of our random variable is small. P value α Reject H 0, jika P-value α Contoh: Sign Test Contoh: Sign Test Contoh Sign Test Contoh Sign Test 4

5 Wilcoxon Signed-Rank Test Symmetric continuous distribution Subtract sample value with μ 0, rank it from absolute smallest to the largest one When there are more than one differences are the same, rank it with the average number of the differences Wilcoxon Signed-Rank Test Test Procedures Wilcoxon Signed-Rank Test n < 5, and level of significance 0,05 (onetailed test), level of significance 0,01 (twotailed test) >>> w +, w, w will lead to acceptance H 0 5 n 30, check table to set critical region Contoh: Wilcoxon Signed-Rank Test Contoh: Wilcoxon Signed-Rank Test Contoh: Wilcoxon Signed-Rank Test 5

6 Wilcoxon Signed-Rank Test Wilcoxon Rank-Sum Test Testing equality of means of two continous distributions that nonnormal and samples are independent Take random sample, assign n 1 for smaller number sample and n for larger one. Assigned randomly if two population have the same number of sample Arrange n 1 + n observations in ascending order. If there are the identical observations value, mean the ranks w 1 = sum of ranks of n 1 observations w = sum of ranks of n observations Wilcoxon Rank-Sum Test Wilcoxon Rank-Sum Test Procedures: Reject H 0 : u 1, u, u table value less than or equal to the Wilcoxon Rank-Sum Test Wilcoxon Rank-Sum Test Contoh: 6

7 Wilcoxon Rank-Sum Test Kruskal-Wallis Test Nonparametric alternative to analysis of variance ANOVA: testing equality of k population means, must be normal distribution when using F-statistic Kruskal-Wallis Test is a nonparametric procedure for testing the equality of means in the one-factor analysis of variance without normal populations assumption Generalization of Runk-Sum test for case k > samples Kruskal-Wallis Test Procedure: Test H 0 : μ 1 = μ = = μ k ; H 1 : Not all means are equal Condition: samples are independent Steps: 1. Arrange the k samples in ascending order, and assigne the smallest number observations as n 1 and so on. Compute n = n 1 + n + + n k. Rank all the observations inascending order. For identical observations, assign it with the mean of the ranks 3. Sum the rank of each sample, denote it by random variable R. R i is sum of ranks corresponding to the n i observation in the i-th sample Procedure: Steps: Kruskal-Wallis Test 4. Compute the H-statistic: k 1 Ri H = 3(n + 1) n(n + 1) n i i=1 >>> approximated very well by chi-squared distribution with df = k 1 5. Critical Region: H > χ α,v=k 1 Contoh soal: Kruskal-Wallis Test Contoh soal: Kruskal-Wallis Test 7

8 Runs Test Randomness Test Run: subsequence of one or more identical symbols representing a common property of the data Runs test divides the data into two mutually exclusive categories, so a sequence will always be limited to two distinct symbols n 1 : the number of symbols category that the least occurs; n : the number of symbols belong to other category n = n 1 + n Based on the random variable V V: total number of runs that occur in the complete sequence of experiment Runs Test Hipotesis: H 0 : the sequence is random H 1 : the sequence is not random Tabel Runs Test to determine the P-value: One tailed test: P = P(V v, when H 0 is true) Two tailed test: P = P(V v, when H 0 is true) When v is large (> n/), use: P = P V v, when H 0 is true = 1 P(V v 1, when H 0 is true) Critical Region: P value α Contoh Soal: Runs Test Contoh Soal: Runs Test Runs Test When n 1 and n ( 10 for each) is large, the sampling distribution of V approaches the normal distribution with mean and variance as follow: Runs Test Lakukan uji apakah data berikut random atau tidak: Z Test: 8

9 Kolmogorov-Smirnov Test Test for normality An alternative to the chi-squared test for distribution hypothesis test Kolmogorov-Smirnov Test Kolmogorov-Smirnov Test Spearman Coefficient of Rank Correlation Spearman Coefficient of Rank Correlation 9

10 Spearman Coefficient of Rank Correlation Disebut juga pengujian U. Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney Digunakan untuk menguji rata-rata dari sampel berukuran tidak sama Data ordinal Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama. Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak. Untuk sampel kecil Tahapan: Menentukan n 1 dan n. Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan (ranking) tiap-tiap anggota Menjumlahkan urutan masing-masing sampel Menghitung statistik U Jika sample size kecil 30 U n 1 n ( n 1) n R1 U n n ( n 1) 1. n R

11 Contoh 1. Misalkan μ 1 dan μ merupakan produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik 1. Hipotesis H 0 : μ 1 = μ (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik adalah sama) H 1 : μ 1 μ (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik tidak sama atau berbeda). Tingkat signifikansi 5% 61 6 Tabel U /Mann-Whitney Dipakai adalah U terkecil Latihan!! Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random Jika sample size besar SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan A O B 80 3,5 P 80 3,5 C 770 Q D 90 7 R E R 1=19,5 R = 5,5 Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur

12 Contoh. Berikut adalah nilai UAS Statistika mahasiswa fakultas Ekonomi dan ilmu komputer Urutan Nilai Rank Catatan: jumlah sampel mahasiswa Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer? Contoh 3. Penyelesaian Untuk menguji tingkat rata- rata operasi antara perusahaan 1 dan. Diambil sampel random n 1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n = 1 hari pada perusahaan. Jumlah n 1 + n =, kemudian tingkat rata-rata operasi diranking. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan berturut turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah tingkat rata-rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari perusahaan? Jawab Misalkan μ 1 dan μ merupakan tingkat rata rata operasi perusahaan 1 dan 1. Hipotesis H 0 : μ 1 = μ (tingkat rata rata operasi perusahaan 1 dan adalah sama) H 1 : μ 1 > μ (tingkat rata rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pershn ). Nilai kritis Dengan α = 0,05, diperoleh: Z 0,05 = 1,64 3. Nilai hitung Standar deviasi populasi Nilai statistik Z sampel 4. Kesimpulan Karena nilai statistik Z sampel =,01 > Z 0,05 = 1,64 maka tolak H 0. Ini berarti tingkat rata rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pada tingkat rata rata operasi perusahaan

13 Contoh 4. Penyelesaian 1. Hipotesis H 0 : μ 1 = μ H 1 : μ 1 μ. Nilai kritis Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/ ) = 0,05. Sehingga Z 0,05 = 1,64 3. Nilai hitung μ R1 = n 1(n 1 + n + 1) 14( ) = = 18 Standar deviasi populasi δ R = n 1 n (n 1 + n 1 + 1) = 1 (14)(11)( = 1) = 18, Penyelesaian Uji Median Nilai statistik Z sampel Z sampel = R 1 μ R = σ R 18,67 = 1,6 4, Kesimpulan Karena nilai statistik Z sampel = 1,6 < Z 0,05 = 1,64 maka terima H 0. Ini berarti taraf rata rata kedua paket adalah sama Untuk menguji apakah dua sampel independen berbeda mediannya. Kedua sampel acak yang diambil dapat memiliki besar sampel yang berbeda Daerah penolakan H 0 Daerah penolakan H Uji Median Uji Median

14 Uji Median Uji Median Contoh. Uji Median Penyelesaian 81 8 Penyelesaian Pertemuan 14 - Persiapan Materi Validitas dan Realibilitas 83 14

15 15