OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG)

Transkripsi

1 OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG) Fitriani Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM ABSTRACT Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 2 Edisi: Januari Juni 2014 Artikel No.: 5 Halaman: ISSN: X Prodi Matematika UINAM Fourier transform Techniques have important role in Financial Mathematics. Fast Fourier Transformation (FFT) is a technique Fourier transform with high accuracy and more efficient by using characteristic function than density function itself. FFT is used to option valuation under Lévy processes. This journal described Fourier transfor with its properties and Lévy processes. The section Lévy processes, we present a list of Lévy processes commonly used in financial applications together with their characteristic functions. FFT Algorithms is computed by using characteristic function of Variance Gamma (VG) with parameter σ, v, θ). At the end, we simulated computing Eropa call option value with FFT technique using VG by Carr and Madan s approach. Key Word: Fourier transform, Lévy processes, fast Fourier transform, Characteristic function, Variance Gamma, European call option Carr and Madan s approach 1. PENDAHULUAN Model Black-Schole dan Merton merupakan model yang sering digunakan dalam perhitungan harga opsi pada suatu pergerakan harga saham. Model tersebut menggunakan Geometric Brownian Motion dan dengan teorema limit pusat diperoleh bahwa model pergerakan harga saham berdistribusi lognormal. Namun, pada perkembangan dalam dunia keuangan, pada kenyataannya perubahan pergerakan harga saham yang tajam dan volatilitas return harga saham yang bersifat stokastik mengakibatkan model harga saham tidak selalu mengikuti distribusi lognormal. Dalam matematika keuangan, proses Lévy digunakan untuk memodelkan harga saham yang tidak mengikuti distribusi normal. Salah satu model harga saham yang berkembang saat ini adalah model eksponensial proses Lévy. Metode transformasi Fourier banyak digunakan dalam mencari solusi permasalahan matematika dan fisika. Metode transformasi Fourier juga digunakan dalam matematika keuangan untuk perhitungan harga opsi dengan pergerakan harga saham mengikuti proses Lévy. Integral dari transformasi Fourier dapat dihitung dengan mudah dengan menggunakan fungsi karakterstik atau density function dari proses Lévy dibandingkan dengan density function dari transformasi Fourier. Metode transformasi Fourier dalam penentuan harga opsi lebih efisien dengan menggunakan komputasi numeric algoritma fast Fourier transform (FFT). Pada jurnal ini akan dilakukan perhitungan harga opsi eropa dengan menggunakan algoritma FFT dengan fungsi Variansi Gamma (VG). 2. Transformasi Fourier Misal f(x) adalah suatu fungsi real yang kontinu di (, ) yang memenuhi: fx dx <. (1) 36

2 Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli Des Transformasi Fourier dari f(x) didefinisakan: Ƒ f (u) = e iuy f(y)dy. (2) Rumus invers Fourier diperoleh dengan mengikuti integral fungsi Dirac δ(y x), dimana δ(y x) = 1 2π eiu(y x) du. (3) Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke dalam fungsi f(x): f(x) = f(x) = f(y) 1 f(x) = 1 2π eiux f(y)δ(y x) dy 2π eiu(y x) du ( f(y)e iuy dy dy)du. Sehingga diperoleh dari rumus invers Fourier: f(x) = 1 2π e iux Ƒ f (u)du. (4) Suatu proses stokastik X t dengan density function (df) adalah, maka transformasi Fourier dari p adalah Ƒ p (u) = e iuy p(x)dx = E[e iux ]. (5) Persamaan (5) disebut sebagai fungsi dari X t. Berikut diberikan sifat-sifat matematika transformasi Fourier yang akan digunakan pada pembahasan jurnal ini adalah: a. Diferensiasi b. Modulasi c. Konvolusi Ƒ f (u) = iu Ƒ f (u) Ƒ e λx f (u) = Ƒ f(u iλ), λ R. Konvolusi antara dua fungsi yang integrabel f(x) dan g(x) dinitasikan dengan: maka h(x) = f g(x) = Ƒ h = Ƒ f Ƒ g. f(y)g(x y)dy, d. Relasi Parseval (Parseval relation) Perkalian scalar atau perkalian dalam dari dua fungsi pada L 2 (R) didefinisikan: f g = f(x) g(x) dx. Transformasi Fourier dari fungsi f dan g berturut-turut adalah Ƒ f dan Ƒ g, maka Untuk f(x) = 1 Maka: Ƒ f Ƒ g = Ƒ f Ƒ g dx. 2π 1 2π e iux Ƒ f (u)du, diperoleh: f(x) g(x) dx = e iux Ƒ f g(u) dudx 1 Ƒ 2π f = e iux g(u) dxdu = 1 2π Ƒ f Ƒ g du. f g = 1 2π Ƒ f(u) Ƒ g (u). Selanjutnya, kita akan menerapkan Parseval relation ke perhitungan harga opsi. Misal V adalah harga opsi dengan payoff pada waktu T adalah V T (x) dan p(x) adalah df dari riskneutral. V = e rt V T (x)p(x)dx = e rt V T (x) p(x). Dengan Parseval relation diperoleh: V = e rt 2π Ƒ p(u) Ƒ VT (u). (6) 37

3 Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli Des. 2014V Transformasi Fourier Diskrit Diberikan suatu barisan {x k }, k = 0, 1,, N 1 dan transformasi Fourier diskrit dari {x k } adalah {y j }, j = 0, 1,, N 1, dengan N 1 e 2πijk y j = N k=1 x k, j = 0, 1,, N 1. (7) Jika x dan y ditulis sebagai suatu vector yang berdimensi N x = (x o, x 1,, x N 1 ) T dan y = (y o, y,, y N 1 ) T, dan F N adalah matriks N N yang anggotanya adalah (j, k), F N j,k = e 2πijk N, 1 j, k N, maka x dan y direlasikan oleh: y = F N x. (8) Untuk memperoleh y diperlukan N 2 langkah. Jika dipilih N = 2 L, Perhitungan dengan menggunakan teknik FFT hanya memerlukan 1 2 NL = N 2 log 2 N langkah.ide dari algoritma FFT adalah dengan memanfaatkan sifat-sifat periodic dari kesatuan akar ke- N. Misal M = N 2, dan membagi vector x kedalam dua vector yang berukuran setengahnya. x = (x o, x 2,, x N 2 ) T dan x = (x 1, x 3,, y N 1 ) T. Selanjutnya kita bentuk suatu vektor berdimensi M. y = F M x dan y = F M x, dengan F M adalah matriks M M yang anggotanya adalah (j, k), F M j,k = e 2πijk M, 1 j, k M, Kompen M yang pertama dan terakhir dari y adalah y j = y j + e 2πij N y, j = 0, 1,, M 1, y j+m = y j e 2πij N y, j = 0, 1,, M 1. (9) Dari perkalioan vector matriks F N x kita dapat mereduksi jumlah operasi dengan perkalian dua vector matriks F M x dan F M x. Jumlah operasi direduksi dari N 2 ke 2( N 2 )2 = N2. Prosedur yang 2 sama untuk mereduksi panjang barisan menjadi setengah dapat dilakukan berulang-ulang. Melalui algoritma FFT, jumlah total operasi direduksi dari Ο(N 2 ) ke Ο(N log 2 N). 4. Proses Lévy Suatu proses stokastik X t dengan X 0 = 0 disebut proses Lévy jika memenuhi sifat-sifat berikut: a. Independent Increments. Untuk setiap barisan naik pada waktu t 0, t 1,, t n dengan peubah acak X t0, X t1 X t0,, X tn X tn 1 yang saling bebas.2. b. Time-homogeneus. Distribusi dari {X t+s X s ; t 0} tidak bergantung pada s. c. Continuous Stochastically. Untuk setiap ε > 0, P[ X t+h X t ε] 0, h 0. d. Cadlag Process. Kontinu denganlimit kiri sebagai fungsi dari t. Proses Lévy adalah kombinasi linear drift, gerak Brown, dan lompatan (jump). Ketika proses Lévy X t, lompatan, besarnya lompatan tidak nol. Suatu ukuran Lévy w dari X t didefinisikan di R \ {0} menyatakan bagaimana proses lompatan terjadi. Pada model finite-activity kita mempunyai R w(dx) < sedangkan pada model infiniteactivity kita mempunyai R w(dx) = dan intensitas Poisson tidak didefinisikan. Ukuran Lévy w(dx) memberikan tingkat (rate) kedatangan dari lompatan berukuran (x, x + dx). Fungsi dari proses Lévy menggunakan rumus Lévy-Kinchine. φx(u) = E[e iux t] = exp (aitu σ2 2 tu2 + t R\{0} (e iux 1 iux1 x 1 )w(d(x)) 38

4 (10) = exp(tψx(u)), Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli Des t t v K ( ( iu) ) exp( iut), ( iu) K ( Dimana R min(1, x 2 ) w(dx) <, a R, σ 2 0. a merupakan rate drift, σ adalah volatilitas proses difusi dan 1 fungsi indikator. ψx(u) merupakan eksponen dari X d t tx 1 X t,. Semua momen dari X t dapat diperoleh dari fungsi pada saat fungsi pembangkit momen ke domain kompleks. Jadi, proses Lévy X t sepenuhnya ditentukan oleh fungsi φx. Beberapa proses Lévy yang secara umum digunakan dalam aplikasi keuangan beserta fungsi masingmasing adalah a. Model Finite-activity 1. Gerak Brown Geometrik, memiliki fungsi exp (iuμt 1 2 σ2 tu 2 ) 2. Difusi lompatan Lognormal, memiliki fungsi exp (iuμt 1 2 σ2 tu 2 + λt (e iuμj 1 2 σ J 2 u 2 1) 3. Difusi lompatan eksponensial ganda, memiliki fungsi exp (iuμt 1 2 σ2 tu 2 + λt ( 1 η2 1+u 2 η 2 e iuk 1) ) b. Model Infinite-activity 1. Variansi Gamma, memiliki fungsi exp (iuμt)(1 iuvθ σ2 vu 2 ) t v 2. Normal Invers Gaussian, memiliki fungsi exp (iuμt + δt α 2 β 2 α 2 (β + iu) 2 ) 3. Generalized Hyperbolic, memiliki fungsi K Iv ( z) I v ( z) ( z), 2 sin( v ) z I v ( z) 2 v k0 2 k ( z 4) k! ( v k 1) 4. Finite-momen stabil, memiliki fungsi exp (iuμt t(iuσ) α sec πα ) 2 5. CGMY, memiliki fungsi exp(cγ( Y)) [(M iu) Y M Y + (G + iu) Y G Y ], dengan C, G, M > 0 dan Y > 2 5. FFT pada Perhitungan Harga Opsi Eropa Berdasarkan ukuran risk-neutral Q, misal harga pokok saham pada waktu t adalah S t = S 0 e ( rt+x t), t > 0, (11) dimana X t adalah proses Lévy dan r adalah suku bunga (interest rate). Misal Y = log(s 0 ) + rt dan F VT adalah transformasi Fourier dari fungsi payoff V T (x) dengan x = logs T. Dengan mensubstitusi ekspektasi discount ke persamaan (4), opsi Eropa dapat dinyatakan dengan rumus: V(S t, t) = e r(t t) E Q [V T (x)] = e r(t t) iμ+ iμ E 2π Q [ e izx F VT (z)dz] = e r(t t) iμ+ iμ e izx φx 2π T ( z)f VT (z)dz, (12) dengan μ = Im z dan φx T (z) adalah fungsi dari X T. Rumus pada persamaan (12) sesuai dengan persmaam (6) yang diperoleh dengan menggunakan relasi Parseval (Parseval relation). 39

5 Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli Des. 2014V Jika harga saham pada saat t = 0 adalah sebesar S 0, maka pada saat T harga opsi call Eropa dengan payoff sebesar (S T K + ) adalah C(S 0, T; K) = Ke rt = Ke rt 2π iμ+ 2π e izk φx t ( z) iμ z 2 iz iμ+ e izk φx t ( z) i dz iμ z iμ+ e izk φx t ( z) i dz [ iμ z i ] = S 0 [ π Re(e iu log k φx t (u i) 0 iuφx t ( i) Ke rt [ 1 2 )du] dz + 1 Re log k φx t (u) π (e iu ) du], (13) 0 iuφx t (iu) dengan k = log S + rt. Rumus harga opsi pada K persamaan (13) menyerupai rumus Black- Scholes. Adanya sifat singular pada u = 0 pada integral fungsi mengakibatkan FFT tidak dapat digunakan untuk menghitung integral. Jika integral diperluas dengan ekspansi deret Taylor di u, maka leading term pada ekspansi untuk kedua integral adalah ο( 1 ) yang divergen ketika u terjadi kenaikan dari fungsi payoff yang diskontinu di S T = K. Akibatnya, transformasi Fourier dari fungsi payoff memiliki frekuensi yang tinggi. Untuk memperkecil frekuensi dapat dilakukan dengan mengalikan payoff dengan suatu fungsi eksponensial decay. Rumus Carr-Madan merupakan rumus alternative dalam perhitungan harga opsi Eropa dengan menggunakan fungsi dari pergerakan harga saham. Carr and Madan (1999), mengasumsikan transformasi Fourier dari harga Call Eropa kemudian menghitung invers Fourier agar harga Call dapat dihitung dengan FFT. Misal k = log K dan transformasi Fourier dari harga call C(k) ada jika memenuhi fungsi kuadrat-integrabel. Pengatur (dampening factor) harga call c(k). c(k) = e αk C(k), (14) untuk α > 0. Nilai positif dari α dilihat dari meningktnya integrabilitas dari modifikasi nilai call di atas sumbu-k negative. Syarat cukup untuk kuadrat-integrabel fungsi c(k) diberikan E Q [S T α+1 ] <. Tulis ψ T (u) sebagai transformasi Fourier dari c(k), P T (s) sebagai fungsi kepadatan (df) dari pergerakan harga saham, dimana s = log S T dan φ T (u) adalah fungsi transformasi Fourier dari P T (s), maka ψ T (u) = e iuk c(k)dk s = e iuk P T (s) [e s+αk e (1+α)k ] e iuk dk ds = e rt φ T (u (α+1)i) α 2 α u 2 +i(2α+1)u. (15) 6. Algoritma Fast Fourier Transform (FFT) Harga call C(k) dapat dihitung dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dimana = e αk C(k) = e αk 2π e iuk ψ T (u)du 0 π e iuk ψ T (u)du. (16) Dengan menggunakan aturan trapezoid untuk mengintegralkan persamaan (16) diperoleh: N C(k) e αk π j=1 e iujk ψ T (u j ) u, (17) dengan u j = (j 1) u, j = 1, 2,, N, dan N = 2 L. Semi-infinite integral dengan domain [0, ] pada persamaan (15) diaproksimasi melalui integrasi domain berhingga, dimana batas atas dari u pada integrasi numeriknya adalah N u. 40

6 Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli Des FFT merupakan algoritma numeric yang efisien dalam menghitung transformasi Fourier diskrit. Pada FFT kita menghitung N y(k) = e i 2π N j=1 (j 1)(k 1) x(j), k = 1,2,, N. (17) Misal batas integrasi limit adalah a, dimana a = N u. Selanjutnya akan dilakukan perhitungan harga opsi call dengan pengambilan k bernilai diskrit. k m = b + (m 1) k, m = 1,2,, N, (18) dengan b 41

7 Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli Des. 2014V Kesimpulan Jurnal ini membahas perhitungan harga call Eropa dengan menggunakan teknik Fast Fourier Transform (FFT). Fungsi yang digunakan dalam FFT adalah fungsi Variance Gamma (VG). Proses VG diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik dengan drift θ dan volatilitas σ pada waktu acak yang diberikan oleh proses gamma dengan mean 1 dan variansi v, X t (σ, θ, v). Dari hasil pembahasan di atas dapat dilihat langkahlangkah matematika serta simulasi teknik FFT dengan fungsi VG dalam memntukan nilai opsi call Eropa. Dari hasil simulasi terlihat bahwa dengan nilai N yaitu titik diskrit transformasi Fourier yang besar yaitu 2 12 =4906 titik, waktu yang dibutuhkan untuk menghitung nilai opsi call sangat efisien yaitu hanya Elapsed time = detik. Namun, Teknik FFT dengan menggunakan VG hanya cocok untuk short-time maturity. Oleh karena itu kedepannya perlu dilakukan modifikasi time valued method. 9. Daftar Pustaka [1] Schmelzle, martin Option Pricing Using Fourier Transform: Theory and Aplication. [2] Bu, Yongqiang Option using Lévy Processes. Göteborg, Sweden: Deaprtment of mathematical Statistics, Chalmers University of Technology. [3] J. C. Duan et al Handbook of Computational Finance. Berlin Heidelberg: Springer. [4] Carr and Madan Option Valuation using Fast Fourier Transformation. Journal of Computational Finance, [5] Carr, Madan and Chang The Variance Gamma Process and Option Pricing. European Finance Review 2: Netherlands: Kluwer Academic Publishers. [6] Raible, Sebastian Lévy Processes in Finance: Theory, Numerics and Enpirical Fact. Freiburg: Institut für Mathematische Stochastik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. 42